Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела:

Мерой инертности материальной точки, а также тела при поступательном движении является их масса.

Если же тело вращается, то мерой инертности служит его момент инерции —величина, зависящая от величины массы тела и от того, каким образом масса распределена относительно оси вращения тела.

Как известно, моментом инерции тела относительно некоторой оси называется величина, составленная из суммы произведений масс всех материальных точек тела на квадраты расстояний от этих точек до оси вращения.

В математической форме величину момента инерции тела можно представить такой формулой:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Этой формулой можно пользоваться для определения моментов инерции тел, имеющих геометрическую форму тел вращения.

Если тело составлено из нескольких частей, имеющих определенную геометрическую форму, удобно использовать еще формулу

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
где Jc—момент инерции тела относительно центральной оси (т. е. относительно оси, проходящей через центр тяжести тела); J — момент инерции тела относительно оси, параллельной центральной оси; m—масса тела и а —расстояние между осями.

Если тело имеет очень сложную форму, то момент инерции определяется либо из опыта, либо по формулам, приведенным в различных технических справочниках.

Приведем несколько формул для определения моментов инерции тел (во всех формулах т—масса тела, а линейные размеры обозначены на рисунках).

1.    Момент инерции тонкого прямого    

стержня относительно его центральной оси, перпендикулярной к стержню (рис. 265,а)

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

2.    Момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 265, б):

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
3.    Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 266, а)

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

4.    Mомент инерции полого однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 266, б)

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Сопоставляя между собой при помощи рисунков формулы (I) и (2), а также (3) и (4). необходимо учитывать то, что при одной и тон же массе стержней и одинаковой длине второй стержень обладает в четыре раза большим моментом инерции (см. рис. 265, б), а также при одинаковых внешних размерах цилиндров и одинаковой массе (если цилиндры изготовлены из различных материалов, например из алюминия и стали) полый цилиндр обладает большим моментом инерции.

Если в формуле (4) пренебречь толщиной стенки цилиндра, т. е считать, что D—d. (вся масса распределена по ободу цилиндра), то

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Единицей измерения момента инерции тела являются в СИ: Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

в системе МКГСС:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

При вращательном движении (см. § 45-11) движущим фактором является вращающий момент (пара сил).

Если алгебраическая сумма моментов всех пар сил, приложенных к телу, имеющему ось вращения, не равна нулю, то тело приобретает угловое ускорение, числовое значение которого прямо пропорционально вращающему моменту Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

В этом уравнении, выражающем основной закон динамики для вращательного движения тела, множителем пропорциональности является момент инерции тела. Тело с большим моментом инерции труднее привести во вращение.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Если тело находится в плоскопараллельном движении, например катящееся колесо, то его кинетическая энергия складывается из двух слагаемых:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике—кинетическая энергия, получающаяся от поступательной части этого сложного движения (см. § 37-8) при скорости Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеравной скорости центра тяжести тела, а  Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике   кинетическая энергия от вращательной части, причем J —момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Задача №1

Два цилиндра, изготовленных из различных материалов (см. рис. 266), имеют одинаковую массу Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике = 80 кг; их наружные диаметры Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике= 240 мм, а внутренний диаметр полого цилиндра Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике = 200 мм. Полый цилиндр вращается вокруг собственной оси с угловой скоростьюЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике С какой скоростью должен вращаться сплошной цилиндр, чтобы оба цилиндра имели одинаковый запас кинетической энергии?

Решение.

1. Если кинетические энергии обоих цилиндров обозначить, соответственно,

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
то по условию задачи
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
2.    Если определять числовые значения моментов инерции обоих цилиндров, то

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Определим скорость сплошного цилиндра

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

3.    Если же числовые значения моментов инерции не определять, то
 Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
В полученную формулу

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
подставим числовые значения диаметров:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Для второго варианта решения, как видно, массу цилиндров можно и не задавать.

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задача №2

Стержень длинойЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике и массой 3 кг имеет на концах шарообразные массы по 2 кг каждая (диаметры шариков d—10 см). Какой вращающий момент нужно приложить к стержню, чтобы привести его во вращение с угловым ускорением Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикевокруг оси, перпендикулярной к стержню и

проходящей через центр тяжести системы (рис. 267)?

Решение.

1. Чтобы определить необходимый вращающий момент, нужно воспользоваться уравнением основного закона динамики для вращательного движения тела

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
но предварительно надо определить момент инерции системы стержня и шариков.

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

2. Находим момент инерции этой системы Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике который складывается из момента инерции стержня Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеи двух моментов инерции шариков Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикекоторые считаем материальными точками, т. е. при определении моментов инерции шариков принимаем, что их массы сосредоточены в центрах шариков на расстоянии

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Следовательно,

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Подставим числовые значения:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
3.    И теперь определим вращающий момент, необходимый для сообщения стержню ускорения Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
 

Задача №3

Тормозной шкив, масса которого m— 2 кг, диаметр d—0,8 м, имеет форму сплошного диска и вращается но инерции с угловой скоростьюЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механикеДля остановки вала

к шкиву прижимают тормозную колодку k с силой Q—5 н. Через сколько секунд вал остановится и сколько оборотов он сделает до остановки, если коэффициент трения колодки о шкив f — 0,4? Трением в подшипниках вала, на котором насажен шкив, пренебречь; массу вала не учитывать.

Решение 1 - при помощи основного закона для вращающегося тела.

1.    Изобразим шкив на рис. 268. Прижатая к шкиву колодка создает силу трения F=fQ, направленную в сторону, противоположную вращению колеса. Таким образом, на шкив с момента прижатия колодки начинает действовать тормозной момент, направленный в сторону, противоположную его

вращению,

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

2.    Шкив имеет форму сплошного диска, его момент инерции определяется но формуле
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
3.    Из основного уравнения динамики для вращательного движения Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикенаходим угловое ускорение е:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

4.    Из формулы для углового ускорения равнопеременного вращенияЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике находим время торможения:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

5.    По уравнению равнопеременного вращения определяем угол поворота шкива (вала) за это время:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

6. Находим число оборотов вала, сделанное им с момента начала торможения до остановки:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
Эту задачу можно решить и другим способом (используя закон кинетической энергии для вращающегося тела).

Решение 2.

1.    Закон кинетической энергии вращающегося тела выражается уравнением

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

2.    В данном случае тормозной моментЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике производит при остановке шкива (вала) работу

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

так как конечная угловая скорость Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике  энергии шкива имеет вид
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
Отсюда (значение J —найдено в первом решении)

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Число оборотов вала

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
4. Время торможения можно найти из формулы Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
 

Задача №4

Цилиндр 1, масса которого Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеи диаметр d=24 сж, может свободно вращаться около горизонтальной оси. На цилиндр намотана гибкая нить, имеющая на конце груз 2

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
массой Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеПадая, груз разматывает нить и вращает цилиндр (рис. 269, а).

Определить угловое ускорение цилиндра, натяжение нити, кинетическую энергию груза А и цилиндра через t = 4 сек после начала движения.

Массой нити и трением в оси цилиндра пренебречь.

Решение — при помощи метода кинетостатики и уравнения основного закона динамики для вращающегося тела.

1.    В задаче рассматриваются два связанных между собой тела: вращающийся цилиндр и поступательно двигающийся груз. Мысленно разрежем нить и изобразим оба тела с действующими на них силами отдельно друг от друга.

2.    На рис. 269, б показан цилиндр, на который действует вращающий момент нары сил Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике созданной натяжением нити (сила Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеприложена к подшипнику цилиндра, см. § 45-11):

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

3. Вращение цилиндра определяется уравнением:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике(а)
В полученное выражение для Т входит вторая неизвестная величина е. Чтобы облегчить дальнейшие вычисления, подставим сюда те величины, которые известны (в единицах СИ: Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеи d = 0,24 м):
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике(а')
4.    Изобразим теперь (рис. 269, в) груз, на который действуют его вес Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикереакция нити Т, равная ее натяжению. Так как цилиндр падает с ускорением Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикето силы Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике не уравновешивают друг друга. Добавим к ним силу инерции Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике Тогда уравнение равновесия сил примет вид

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Заменим в последнем уравнении силу инерции и вес груза их значениямиЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

5.    Считая нить нерастяжимой, получаем, что ускорение а, груза равно ускорению любой точки нити, а следовательно, и точки А на ободе цилиндра (см. рис. 269, б). Но точка А принадлежит телу, вращающемуся с угловым ускорением е, поэтому

и теперь

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Получено второе уравнение с теми же неизвестными Т и е.

Подставив в (б) числовые значения Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике и d=0,24 м), получаем

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике    (б')

6.    Решим систему уравнений (а') и (б'). Правые части обоих уравнений равны 7, значит

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Отсюда

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Подставим найденное значение е в любое из уравнений, например в (а'):

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

7.    Определим кинетическую энергию цилиндра и груза через t = 4 сек после начала движения системы:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

8.    Таким образом, общий запас кинетической энергии обоих тел

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Решение 2 —при помощи закона кинетической энергии.

1. Второе решение начинается с того, чем заканчивается первое.

Через t — 4 сек оба тела приобретают кинетическую энергию благодаря работе, произведенной грузом 2 при падении с высоты h (рис.70)

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

2. Работа груза

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

кинетическая энергия цилиндра

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Здесь h —путь, пройденный грузом за t = 4 сек с ускорением Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикепоэтому

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

4.    Подставим в левую часть равенства (а) значение h и сократим обе части равенства на общие множители:
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
откуда
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
5. Натяжение Т нити найдем при помощи уравнения основного
закона динамики        
Здесь        Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
        Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
поэтому        
Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике       

6.    Так как значение углового ускорения е известно, легко найти величины кинетических энергийЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике(см. п. 2 решения).

Вращательное движение тела

При изучении темы ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА вы научитесь решать простые задачи кинематики тела. В таких задачах вводятся векторные величины — угловая скорость Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике и угловое ускорение Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике Важно понять, что для вращательного движения тела эти векторы постоянно направлены по оси вращения. При сферическом движении (§ 10.1) векторы угловой скорости и углового ускорения могут лежать на разных прямых, и направления их в общем случае зависят от времени.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Заданы некоторые кинематические характеристики движения тела и (или) кинематические характеристики движения точки этого тела. Найти остальные кинематические характеристики движения тела или точки.

План решения:

Пусть тело вращается вокруг оси z. Кинематические характеристики движения тела:

  • —  угол поворота Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
  • — угловая скорость Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
  • — угловое ускорение Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Кинематические характеристики точки на теле:

  • — радиус траектории (расстояние до оси вращения) R:
  • — скорость Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике
  • — ускорение Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

1. Записываем систему уравнений для всех величин, входящих в условие задачи. В зависимости от условия возможны три основных варианта решения.
Гл.7.Вращательное движение тела

—    Неизвестный закон вращения. Записываем систему двух уравнений для скорости Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике точки, лежащей на расстоянии R от оси вращения, и ее ускорения W:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Для решения задачи необходимо, чтобы три из пяти величин Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике входящих в (1), были заданы в условии.

—    Вращение с постоянной угловой скоростью. Интегрируя уравнение Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике,приЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механикеполучаем

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Как правило, отсчет ведется от Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике поэтому в системе трех уравнений (1-2) содержатся семь величин Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механикечетыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

—    Вращение с постоянным угловым ускорением. Дважды интегрируя уравнение

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

получаем, при Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — начальная угловая скорость. Совместно с (1) получаем систему четырех уравнений для восьми величин Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

2. Решаем систему. Находим искомые величины.

Замечание. Ряд величин задан в тексте задач неявно. Например, угол поворота Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике может быть задан числом оборотов Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеСлова "покой" и "остановка" соответствуют математической записи Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задача №5

Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике Найти ускорение точки, лежащей на расстоянии 4 см от оси вращения, через 7 с после начала движения из состояния покоя.

Решение

1. В задаче задано постоянное угловое ускорение. Записываем систему уравнений для величин, входящих в условие задачи:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

По условию задачи диск в начальный момент находился в покое, следовательно, Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике Кроме того, при t = 7 с, даны значения R = 4 см,Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике Решая систему двух уравнений (4) с двумя неизвестными Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике и W, находим

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Ответ. Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Передача вращения

Постановка Задачи. Механизм состоит из вращающихся на неподвижных осях блоков и поступательно движущихся элементов. Все элементы находятся во фрикционном, зубчатом или ременном зацеплениях. Задана какая-либо кинематическая характеристика одного из тел. Найти кинематические характеристики других тел.

План решения:

1.    Определяем кинематические характеристики тела, с заданным законом движения. Если это тело движется прямолинейно поступательно, то скорость и ускорение любой его точки имеет вид

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — закон движения тела. При заданном вращательном движении находим угловую скорость и угловое ускорение:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — закон вращения тела (зависимость угла поворота в радианах от времени).

2.    Определяем угловую скорость тела, связанного нерастяжимой нитью (ремнем, тросом), фрикционно или зубчатым зацеплением с телом, угловая скорость которого известна:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — радиусы ободов колес (блоков) 1, 2, на которые надет ремень в случае ременной передачи, или радиусы колес, находящихся в зацеплении; Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — проекции угловых скоростей колес на ось, параллельную осям вращения. Знак минус берем при внешнем зацеплении, или крестообразной ременной передаче, когда вращение колес происходит в разные стороны. При внутреннем зацеплении (рис. 83) или простой ременной передаче (рис. 84) берем знак плюс. Отношение Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике называется передаточным числом от тела 1 к телу 2. Для зубчатых соединений аналогом (1) является соотношение угловых скоростей

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

в которое вместо радиусов Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике входят числа зубцов Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикепропорциональные длинам окружностей шестеренок.

Если поступательное движение тела 1 передается вращательному движению тела 2 (или наоборот), то связь линейной и угловой скоростей имеет вид

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — радиус обода, находящегося в контакте с поступательно движущимся телом.

3.    Повторяя п.2 для всех пар кинематически связанных тел, составляем и решаем систему уравнений для неизвестных линейных и угловых скоростей.

4.    Дифференцируя уравнения полученной системы, получаем аналогичную систему для угловых и линейных ускорений. Например, из уравнения (1) следует, что Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Аналогично, из (2) следует связь линейного ускорения поступательно движущегося тела и углового ускорения связанного с ним вращающегося тела:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — тангенциальная составляющая ускорения точки вращающегося тела в месте контакта. Было бы ошибкой считать Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике так как полное ускорение точки на вращающемся теле включает в себя и нормальную составляющую Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеРешаем систему уравнений для ускорений.

Задача №6

Механизм состоит из двух колес 1, 3 и блока 2, вращающихся на неподвижных осях. Ведущее колесо 1 механизма соединено ремнем с внутренним ободом блока 2. Внешний обод блока находится во фрикционном зацеплении с колесом 3 (рис. 84). Проскальзывание в точке зацепления отсутствует, ремень считать нерастяжимым.Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Задан закон движения ведущего колеса: Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике Стрелкой указано положительное направление изменения угла Задачи на вращательное движение тела в теоретической механикеЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механикеПри t = 0.5 с найти ускорение точки М, лежащей на ободе колеса 3.

Решение

1. Находим угловую скорость ведущего колеса 1:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

7.2.Передача вращения

2.    Определяем угловую скорость блока 2, связанного нерастяжимым ремнем с колесом 1:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

где Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике — радиусы ободов, огибаемые ремнем.

3.    Колеса 2 и 3 находятся во внешнем зацеплении и вращаются в разные стороныЗадачи на вращательное движение тела в теоретической механике, следовательно

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Уравнения (3-5) образуют систему, решая которую, при t = 0.5 с, получаем

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

4.    Дифференцируя уравнения системы (3-5), получаем аналогичную систему для угловых ускорений:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Решаем систему уравнений для ускорений (6) и получаем

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Вычисляем ускорение точки М:

Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике

Ответ. Задачи на вращательное движение тела в теоретической механике