Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Пространственная система сил в теоретической механике

Содержание:

Пространственная система сил:

Изменение главного момента при перемене центра приведения

При перемене центра приведения векторные моменты сил изменяются, так как изменяются радиусы-векторы их точек приложения. Вследствие этого изменяется главный момент. Оценим изменение главного момента системы сил Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

то для получения главного момента Пространственная система сил в теоретической механике достаточно привести к новому центру систему Пространственная система сил в теоретической механике. Силу Пространственная система сил в теоретической механике из точки Пространственная система сил в теоретической механике перенесем в точку Пространственная система сил в теоретической механике. Получим в этой точке силу Пространственная система сил в теоретической механике и, согласно теореме о параллельном пере носе силы, присоединенную пару сил с векторным моментом Пространственная система сил в теоретической механике. Векторный момент пары сил Пространственная система сил в теоретической механике, вычисленный относительно точки Пространственная система сил в теоретической механике как вектор свободный, можно приложить в любой точке тела. Новый главный момент относительно точки Пространственная система сил в теоретической механике по правилу сложения пар сил является векторной суммой моментов Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, т.е.

Пространственная система сил в теоретической механике

По формуле для векторного момента силы имеем

Пространственная система сил в теоретической механике

С учетом этого формула (1) примет вид

Пространственная система сил в теоретической механике

Итак, главный момент системы сил при перемене центра приведения изменяется на векторный момент главного вектора Пространственная система сил в теоретической механике, приложенного в старом центре приведения, относительно нового центра приведения Пространственная система сил в теоретической механике.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 71

Инварианты системы сил

Инвариантами в статике называются такие величины для рассматриваемой системы сил, которые не изменяются при изменении центра приведения. Одним из инвариантов является главный вектор, так как в любом центре приведения он выражается векторной суммой системы сил. Если в одном центре приведения Пространственная система сил в теоретической механике главный вектор Пространственная система сил в теоретической механике, а в другом Пространственная система сил в теоретической механике он Пространственная система сил в теоретической механике, то

Пространственная система сил в теоретической механике

Таким образом, главный вектор системы сил является векторным инвариантом. Для одной и той же системы сил он не зависит от выбора центра приведения.

Из векторного равенства (3) следует, что равны модули и проекции главных векторов на любые оси координат, т. е.

Пространственная система сил в теоретической механике

Для получения второго, скалярного, инварианта используем формулу (2):

Пространственная система сил в теоретической механике

Умножая обе части этого равенства скалярно на Пространственная система сил в теоретической механике причем в правой части при умножении вместо Пространственная система сил в теоретической механике, согласно (3), возьмем Пространственная система сил в теоретической механике, получим

Пространственная система сил в теоретической механике

или

Пространственная система сил в теоретической механике

так как смешанное произведение векторов, содержащих два одинаковых множителя Пространственная система сил в теоретической механике, равно нулю, т. е.

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 72

Соотношение (4) является вторым скалярным инвариантом: скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от центра приведения. Второй скалярный инвариант можно выразить в двух других эквивалентных формах, если раскрыть скалярное произведение векторов в (4). Обозначая проекции Пространственная система сил в теоретической механике на оси координат через Пространственная система сил в теоретической механике а проекции Пространственная система сил в теоретической механике — соответственно через Пространственная система сил в теоретической механике второй инвариант можно выразить в форме

Пространственная система сил в теоретической механике

Кроме того, формуле (4) можно придать вид

Пространственная система сил в теоретической механике

где Пространственная система сил в теоретической механике—угол между векторами Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, а Пространственная система сил в теоретической механике—между Пространственная система сил в теоретической механике и  Пространственная система сил в теоретической механике(рис. 72). После сокращения Пространственная система сил в теоретической механике получим

Пространственная система сил в теоретической механике

В этой форме второй инвариант утверждает, что проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от центра приведения.

Если главный момент в каждом центре приведения разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых направлена по главному вектору, то, учитывая, что главные векторы в различных центрах приведения параллельны, согласно (4"), получим

Пространственная система сил в теоретической механике

где Пространственная система сил в теоретической механике—составляющая главного момента Пространственная система сил в теоретической механике по направлению главного вектора Пространственная система сил в теоретической механике, а Пространственная система сил в теоретической механике — составляющая главного момента Пространственная система сил в теоретической механике по направлению главного вектора Пространственная система сил в теоретической механике. Соотношение (5) является следствием первого и второго инвариантов.

Рассмотренные инварианты (3) и (4) являются независимыми, т. е. из одного не следует другой. Комбинируя эти инварианты, можно получить другие, зависящие от них инварианты.

Частные случаи приведения пространственной системы сил

Произвольная система сил приводится к силе, равной главному вектору Пространственная система сил в теоретической механике, и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту Пространственная система сил в теоретической механике. В зависимости от их модулей и взаимного направления, т. е. угла Пространственная система сил в теоретической механике между ними, можно произвести дальнейшие упрощения.

Приведение к паре сил

Если Пространственная система сил в теоретической механике, Пространственная система сил в теоретической механике, то система сил приводится к одной паре сил, причем главный момент в этом случае, согласно (2), не зависит от выбора центра приведения. В рассматриваемом случае оба инварианта системы сил равны нулю, т. е.

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 73

Приведение к равнодействующей

Возможны два случая.

1. Если Пространственная система сил в теоретической механике, Пространственная система сил в теоретической механике (первый инвариант Пространственная система сил в теоретической механике, второй- Пространственная система сил в теоретической механике), то система приводится к равнодействующей силе Пространственная система сил в теоретической механике, равной по модулю и направлению главному вектору Пространственная система сил в теоретической механике, т. е. 

Пространственная система сил в теоретической механике

Линия действия равнодействующей силы в этом случае проходит через центр приведения.

2. Если Пространственная система сил в теоретической механике, Пространственная система сил в теоретической механике, но Пространственная система сил в теоретической механике, т.е. Пространственная система сил в теоретической механике (первый инвариант Пространственная система сил в теоретической механике, второй — Пространственная система сил в теоретической механике), то система сил тоже приводится к равнодействующей, причем опять

Пространственная система сил в теоретической механике

Но линия действия равнодействующей силы Пространственная система сил в теоретической механике отстоит от центра приведения на расстоянии Пространственная система сил в теоретической механике. Действительно, в этом случае имеем силу и пару сил с векторным моментом Пространственная система сил в теоретической механике, причем силы пары можно считать расположенными в одной плоскости с силой Пространственная система сил в теоретической механике так как векторный момент пары перпендикулярен силе Пространственная система сил в теоретической механике  (рис. 73). Поворачивая и перемещая пару сил в ее плоскости, а также изменяя силы пары и ее плечо, при сохранении векторного момента можно получить одну из сил пары Пространственная система сил в теоретической механике, равной по модулю, но противоположной по направлению главному вектору Пространственная система сил в теоретической механике. Другая сила пары Пространственная система сил в теоретической механике и будет равнодействующей силой. Действительно,

Пространственная система сил в теоретической механике

так как система двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил Пространственная система сил в теоретической механике и может быть отброшена. Таким образом, рассматриваемая система сил оказалась эквивалентной одной равнодействующей силе Пространственная система сил в теоретической механике, которая по модулю и направлению совпадает с главным вектором Пространственная система сил в теоретической механике. Плечо пары сил Пространственная система сил в теоретической механике определяется из условия

Пространственная система сил в теоретической механике

так как Пространственная система сил в теоретической механике. Отрезок Пространственная система сил в теоретической механике определяет кратчайшее расстояние от центра приведения Пространственная система сил в теоретической механике до линии действия равнодействующей силы Пространственная система сил в теоретической механике. Первый случай является частным случаем второго, когда за центр приведения Пространственная система сил в теоретической механике взята точка, расположенная на линии действия равнодействующей силы.

Приведение к динаме

Динамой в механике называют такую совокупность силы Пространственная система сил в теоретической механике и пары сил Пространственная система сил в теоретической механике, действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил (рис. 74). Используя векторный момент Пространственная система сил в теоретической механике пары сил Пространственная система сил в теоретической механике, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которых сила параллельна векторному моменту пары сил (рис. 75). Сила Пространственная система сил в теоретической механике и векторный момент пары сил Пространственная система сил в теоретической механике могут быть направлены как в одну, так и в противоположные стороны.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 74

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 75

Рассмотрим теперь случай, в котором Пространственная система сил в теоретической механике, Пространственная система сил в теоретической механике и векторы Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике не перпендикулярны. В этом случае оба инварианта не равны нулю, т. е.

Пространственная система сил в теоретической механике

Покажем, что система сил в этом случае приводится к динаме, причем элементами динамы являются сила Пространственная система сил в теоретической механике и момент-пары Пространственная система сил в теоретической механике, где Пространственная система сил в теоретической механике — угол между векторами Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике. Действительно, после приведения системы сил_ к центру О получим главный вектор Пространственная система сил в теоретической механике и главный момент Пространственная система сил в теоретической механике. Косинус угла а между ними можно определить выражая скалярное произведение векторов Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике в двух формах:

Пространственная система сил в теоретической механике

Разложим главный момент Пространственная система сил в теоретической механике на две взаимно перпендикулярные составляющие Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, одна из которых Пространственная система сил в теоретической механике направлена по главному вектору Пространственная система сил в теоретической механике (рис. 76). Имеем

Пространственная система сил в теоретической механике

Векторный момент пары сил Пространственная система сил в теоретической механике перпендикулярен главному вектору Пространственная система сил в теоретической механике. Такая система силы Пространственная система сил в теоретической механике и пары с моментом Пространственная система сил в теоретической механике приведется к одной силе Пространственная система сил в теоретической механике, линия действия которой находится от точки Пространственная система сил в теоретической механике на расстоянии 

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 76

Рассматриваемая система сил заменилась эквивалентной системой сил,  состоящей из силы Пространственная система сил в теоретической механике, и пары сил с векторным моментом Пространственная система сил в теоретической механике, который как свободный вектор можно перенести из точки Пространственная система сил в теоретической механике в любую точку, в том числе и точку Пространственная система сил в теоретической механике на линии действия силы Пространственная система сил в теоретической механике. Кратко результат можно выразить в форме

Пространственная система сил в теоретической механике

причем система сил Пространственная система сил в теоретической механике является динамой. Сила Пространственная система сил в теоретической механике и векторный момент пары Пространственная система сил в теоретической механике есть элементы динамы:

Пространственная система сил в теоретической механике

Линия, по которой направлена сила динамы, Пространственная система сил в теоретической механике, называется центральной винтовой осью. Во всех точках винтовой оси, принятых за центры приведения, система сил приводится к одной и той же динаме. Расстояние от центра приведения Пространственная система сил в теоретической механике до центральной винтовой оси

Пространственная система сил в теоретической механике

Если брать за центры приведения точки на поверхности цилиндра, осью которого является центральная винтовая ось, то главные моменты относительно таких центров будут одинаковы по модулю и составляют одинаковый угол с образующими цилиндра. Эти главные моменты состоят из одного и того же момента Пространственная система сил в теоретической механике, входящего в состав динамы, и моментов Пространственная система сил в теоретической механике, перпендикулярных Пространственная система сил в теоретической механике и по числовой величине пропорциональных расстоянию центра приведения от центральной винтовой оси.

Совокупность сил, образующих динаму, можно заменить двумя скрещивающимися силами. Для этого следует одну из сил пары Пространственная система сил в теоретической механике совместить с точкой приложения силы Пространственная система сил в теоретической механике и сложить с этой силой (рис. 77).

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 77  

Рассмотрены все возможные случаи, кроме_ случая равновесия системы сил Пространственная система сил в теоретической механике, рассмотренного ранее. Таким образом убедились, что только при обращении в нуль главного вектора и главного момента система может находиться в равновесии, т. е. обращение в нуль главного вектора и главного момента не только необходимо для равновесия системы сил, но и достаточно.

Из рассмотрения частных случаев приведения систем сил следует, что при приведении системы сил к равнодействующей силе Пространственная система сил в теоретической механике эта сила равна и параллельна главному вектору Пространственная система сил в теоретической механике. Но линия действия равнодействующей может не проходить через центр приведения, в котором приложен главный вектор. Если главный вектор не равен нулю, то равнодействующей может и не быть, если система приводится к динаме.

Уравнение центральной винтовой оси

Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор Пространственная система сил в теоретической механике с проекциями на оси координат Пространственная система сил в теоретической механике и главный момент Пространственная система сил в теоретической механике с проекциями Пространственная система сил в теоретической механике. При приведении системы сил к центру приведения  Пространственная система сил в теоретической механике(рис.78) получается динама с главным вектором Пространственная система сил в теоретической механике и главным моментом  Пространственная система сил в теоретической механике. Векторы Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике как образующие динаму, параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем Пространственная система сил в теоретической механике. Имеем

Пространственная система сил в теоретической механике

так как Пространственная система сил в теоретической механике. Главные моменты Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике удовлетворяют соотношению

Пространственная система сил в теоретической механике

Подставляя Пространственная система сил в теоретической механике из (2') в (9), получим

Пространственная система сил в теоретической механике

Координаты точки Пространственная система сил в теоретической механике в которой получена динама, обозначим Пространственная система сил в теоретической механике. Тогда проекции вектора Пространственная система сил в теоретической механике на оси координат равны координатам Пространственная система сил в теоретической механике. Учитывая это, (9') можно выразить в форме

Пространственная система сил в теоретической механике

где Пространственная система сил в теоретической механике —единичные векторы осей координат, а векторное произведение Пространственная система сил в теоретической механике представлено определителем. Векторное уравнение (9") эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания Пространственная система сил в теоретической механике можно представить в виде

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 78

Линейные уравнения (10) для координат Пространственная система сил в теоретической механике являются уравнениями прямой линии — центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.

Пример 1.

По ребрам куба с длиной стороны Пространственная система сил в теоретической механике действуют силы Пространственная система сил в теоретической механике (рис. 79). Привести систему сил Пространственная система сил в теоретической механике к простейшему виду.

Решение. Выберем точку Пространственная система сил в теоретической механике — начало координат— за центр приведения сил и вычислим главный вектор Пространственная система сил в теоретической механике и главный момент Пространственная система сил в теоретической механике. Для проекций этих векторов на оси координат имеем:

Пространственная система сил в теоретической механике

Величины главного вектора и главного момента имеют значения

Пространственная система сил в теоретической механике

Определим угол Пространственная система сил в теоретической механике между векторами Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике. Для этого образуем их скалярное произведение, которое выразим в двух следующих формах:

Пространственная система сил в теоретической механике

или

Пространственная система сил в теоретической механике

Отсюда получаем Пространственная система сил в теоретической механике, т. е. векторы Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике перпендикулярны. Система сил в этом случае приводится к равнодействующей, которая по величине и направлению равна главному вектору, т.е. Пространственная система сил в теоретической механике.

Кратчайшее расстояние от точки Пространственная система сил в теоретической механике (рис. 80) до линии действия равнодействующей вычислим по формуле

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 79

Пример 2.

К балке Пространственная система сил в теоретической механике, один конец которой заделан в сечении  Пространственная система сил в теоретической механике, в точке Пространственная система сил в теоретической механике приложена вертикальная сила Пространственная система сил в теоретической механике(рис. 81, а). К балке Пространственная система сил в теоретической механике в сечении Пространственная система сил в теоретической механике под прямым углом жестко прикреплена балка Пространственная система сил в теоретической механике. В концевом сечении балки Пространственная система сил в теоретической механике в плоскости, параллельной координатной плоскости Пространственная система сил в теоретической механике, действует пара сил с моментом Пространственная система сил в теоретической механике. Размеры тел и направление вращения пары сил указаны на рисунке. Определить силу и момент пары сил в заделке.

Решение. Рассматриваемые вместе балки Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике освобождаем от связей. Заделка для пространственной системы сил создает неизвестную силу Пространственная система сил в теоретической механике с проекциями на оси координат Пространственная система сил в теоретической механике и пару сил с векторным моментом Пространственная система сил в теоретической механике, проекции которого на координатные оси — Пространственная система сил в теоретической механике(рис. 81,6).

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 80 

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 81

В общем случае имеем шесть неизвестных. Для их определения составляем шесть условий равновесия пространственной системы сил. При проецировании сил на оси координат пары сил учитывать не надо, так как сумма проекций пары сил на любую ось равна нулю. В уравнения равновесия для моментов сил относительно осей координат следует включать проекции векторных моментов пар сил на эти оси. Для удобства проецирования пару сил в концевом сечении балки Пространственная система сил в теоретической механике представим ее векторным моментом Пространственная система сил в теоретической механике, который в рассматриваемом случае направлен по балке Пространственная система сил в теоретической механике параллельно оси Пространственная система сил в теоретической механике.

Составляем условия равновесия:

Пространственная система сил в теоретической механике

Учитывая, что Пространственная система сил в теоретической механике, имеем:

Пространственная система сил в теоретической механике

Задача считается решенной, если определены проекции неизвестных силы Пространственная система сил в теоретической механике и момента пары сил Пространственная система сил в теоретической механике на какие-либо прямоугольные оси координат.

Пример 3.

Изогнутый под прямым углом стержень Пространственная система сил в теоретической механике находится в горизонтальной плоскости. Стержень закреплен с помощью подпятника Пространственная система сил в теоретической механике и подшипника Пространственная система сил в теоретической механике (рис. 82). На стержень под прямым углом жестко насажен диск радиуса Пространственная система сил в теоретической механике. В плоскости диска по касательной действует сила Пространственная система сил в теоретической механике под углом Пространственная система сил в теоретической механике к вертикали. В точке Пространственная система сил в теоретической механике стержня приложена сила Пространственная система сил в теоретической механике под углом Пространственная система сил в теоретической механике к вертикали и углом Пространственная система сил в теоретической механике к линии Пространственная система сил в теоретической механике, которая находится в плоскости Пространственная система сил в теоретической механике.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 82

Определить силы реакций подпятника и подшипника, а также значение силы Пространственная система сил в теоретической механике, необходимой для равновесия, если Пространственная система сил в теоретической механике.

Решение. Рассмотрим равновесие стержня Пространственная система сил в теоретической механике вместе с диском. На эту систему тел действуют силы Пространственная система сил в теоретической механике, Пространственная система сил в теоретической механике; реакция в подпятнике с составляющими  Пространственная система сил в теоретической механике , реакция в подшипнике с составляющими Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, которые предполагаем направленными в положительные стороны осей координат.

Составим шесть условий равновесия для сил. Для проекций сил на оси координат имеем:

Пространственная система сил в теоретической механике

При определении проекций силы Пространственная система сил в теоретической механике на оси координат предварительно раскладываем ее на две перпендикулярные составляющие, одна из которых параллельна оси Пространственная система сил в теоретической механике и имеет проекцию на эту ось Пространственная система сил в теоретической механике. Перпендикулярная составляющая расположится в плоскости Пространственная система сил в теоретической механике и будет иметь величину проекции на эту плоскость

Пространственная система сил в теоретической механике

Силу Пространственная система сил в теоретической механике как вектор проецируем на оси координат Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике. Имеем

Пространственная система сил в теоретической механике

Для моментов сил относительно осей координат получаем:

Пространственная система сил в теоретической механике

При вычислении момента силы относительно оси координат, согласно определению, проецируем силу на плоскость, перпендикулярную оси, и затем вычисляем момент проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью. Силы, параллельные оси или ее пересекающие, дают моменты относительно этой оси, равные нулю. При определении момента силы Пространственная система сил в теоретической механике относительно осей координат раскладываем ее на составляющие, параллельные осям координат, вычисляем на основании теоремы Вариньона моменты каждой из составляющих относительно соответствующих осей координат и складываем их алгебраически. Значения составляющих сил равны проекциям этих сил на оси координат и их можно взять из уравнений (а). Аналогично вычисляются моменты силы Пространственная система сил в теоретической механике.

Решая систему линейных уравнений (а) и (б) относительно проекций неизвестных сил, можно определить все неизвестные силы.

Подставляя в уравнения (а) и (б) заданные значения сил, расстояний и углов, получим:

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Решая эту систему уравнений, имеем:

Пространственная система сил в теоретической механике

Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил

В отличие от произвольной системы сил пространственная система параллельных сил не приводится к динаме, так как для нее главный вектор и главный момент в общем случае взаимно перпендикулярны. Для доказательства этого рассмотрим пространственную систему параллельных сил, для которой главный вектор и главный момент не равны нулю. Выберем за центр приведения точку Пространственная система сил в теоретической механике — начало декартовой системы координат, ось Пространственная система сил в теоретической механике которой направим параллельно силам (рис. 83). Тогда проекции главного вектора на оси координат

Пространственная система сил в теоретической механике

так как параллельные силы перпендикулярны этим осям. Только проекция главного вектора на ось Пространственная система сил в теоретической механике в общем случае не равна нулю. Она равна алгебраической сумме параллельных сил, т. е.

Пространственная система сил в теоретической механике

Следовательно, главный вектор Пространственная система сил в теоретической механике параллелен оси Пространственная система сил в теоретической механике.

Для проекций главного момента на оси координат имеем:

Пространственная система сил в теоретической механике

Проекция главного момента на ось Пространственная система сил в теоретической механике равна нулю, так как каждая сила параллельна этой оси.

Таким образом, главный момент расположен в плоскости Пространственная система сил в теоретической механике, перпендикулярной главному вектору, направленному по оси Пространственная система сил в теоретической механике. В этом случае система сил приводится к равнодействующей.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 83

Для системы параллельных сил возможны следующие частные случаи приведения:

Пространственная система сил в теоретической механике

—    система приводится к паре сил;

Пространственная система сил в теоретической механике

или

Пространственная система сил в теоретической механике

—    система приводится к равнодействующей силе;

Пространственная система сил в теоретической механике

—    имеем равновесную систему сил.

Если главный вектор не равен нулю, то система параллельных сил приводится только к равнодействующей силе, параллельной главному вектору и равной ему по величине.

Центр системы параллельных сил

Для систем параллельных сил, приводящихся к равнодействующей, введем понятие центра параллельных сил. Для этого предположим,_ что на твердое тело действует система параллельных сил Пространственная система сил в теоретической механике, приводящаяся к равнодействующей, силы которой приложены в точках Пространственная система сил в теоретической механике. При введении понятия центра параллельных сил считаем силы приложенными в точках твердого тела. При переносе сил вдоль линий действия положение центра параллельных сил изменяется.

Определим линию действия равнодействующей Пространственная система сил в теоретической механике параллельных сил для заданного направления этих сил. Затем через точки приложения параллельных сил проведем взаимно параллельные оси, перпендикулярные силам. Повернем параллельные силы вокруг этих осей на общий угол в одном и том же направлении (рис. 84). Получим новую систему параллельных сил Пространственная система сил в теоретической механике. Равнодействующая этой системы параллельных сил Пространственная система сил в теоретической механике равна по модулю равнодействующей силе Пространственная система сил в теоретической механике, так как при повороте числовые значения параллельных сил не изменялись.

Линии действия двух равнодействующих сил Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике пересекутся в точке Пространственная система сил в теоретической механике, которая и называется центром параллельных сил. Если равнодействующую силу Пространственная система сил в теоретической механике приложить в точке Пространственная система сил в теоретической механике вместо Пространственная система сил в теоретической механике то при повороте заданных параллельных сил Пространственная система сил в теоретической механике на угол Пространственная система сил в теоретической механике она повернется на тот же угол Пространственная система сил в теоретической механике вокруг оси, проходящей через точку Пространственная система сил в теоретической механике и параллельной осям, вокруг которых поворачиваются заданные параллельные силы. Оси поворота параллельных сил должны быть перпендикулярны параллельным силам.

Центр параллельных сил не зависит от угла поворота и направления параллельных осей, вокруг которых поворачиваются параллельные силы. Из определения центра параллельных сил следует, что его положение зависит от точек приложения параллельных сил. Поэтому параллельные силы следует считать приложенными в точках твердого тела.

Получим формулу для определения радиуса-вектора центра параллельных сил, если известны параллельные силы и радиусы-векторы точек их приложения. Для этого выберем единичный вектор Пространственная система сил в теоретической механике, параллельный силам. Тогда каждая из параллельных сил

Пространственная система сил в теоретической механике

гдеПространственная система сил в теоретической механике — алгебраическое значение силы. Оно положительно, если сила Пространственная система сил в теоретической механике направлена в одну сторону с единичным вектором Пространственная система сил в теоретической механике, и отрицательно, если направление силы противоположно направлению единичного вектора.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 84

Для равнодействующей силы параллельных сил соответственно имеем

Пространственная система сил в теоретической механике

Так как система параллельных сил, по предположению, приводится к равнодействующей, то к ней можно применить теорему Вариньона относительно точки Пространственная система сил в теоретической механике:

Пространственная система сил в теоретической механике

Для векторных моментов сил относительно точки Пространственная система сил в теоретической механике имеем

Пространственная система сил в теоретической механике

где Пространственная система сил в теоретической механике— радиус-вектор центра параллельных сил, проведенный из точки Пространственная система сил в теоретической механикеПространственная система сил в теоретической механике — радиус-вектор точки приложения силы Пространственная система сил в теоретической механике, проведенный из той же точки (рис. 85).

Если подставить эти значения векторных моментов сил в (11), то после переноса всех слагаемых в левую часть равенства и вынесения за скобку общего множителя Пространственная система сил в теоретической механике получим

Пространственная система сил в теоретической механике

Так как центр параллельных сил, а следовательно, и его радиус-вектор не зависят от направления параллельных сил, характеризуемого единичным вектором Пространственная система сил в теоретической механике, то условие (11') должно выполняться при любом направлении этого вектора.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 85

Это возможно только при обращении в нуль векторной величины, стоящей в скобках, т. е.

Пространственная система сил в теоретической механике

или

Пространственная система сил в теоретической механике

По формуле (12) определяют радиус-вектор центра параллельных сил, если заданы эти силы и их точки приложения.

Так как алгебраические значения параллельных сил входят в числитель и в знаменатель (12), то Пространственная система сил в теоретической механике не зависит от того, какое из двух направлений параллельных сил считается положительным.

В проекциях на оси координат из (12) получаем:

Пространственная система сил в теоретической механике

По формулам (13) вычисляют координаты центра параллельных сил Пространственная система сил в теоретической механике если известны алгебраические значения параллельных сил Пространственная система сил в теоретической механике и координаты точек приложения этих сил Пространственная система сил в теоретической механике.

Векторную величину

Пространственная система сил в теоретической механике

называют статическим моментом системы параллельных сил относительно точки Пространственная система сил в теоретической механике. Алгебраические величины

Пространственная система сил в теоретической механике

называют статическими моментами относительно координатных плоскостей. Для плоской системы параллельных сил, расположенных, например, в плоскости Пространственная система сил в теоретической механике, вводят понятие статических моментов относительно осей координат Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике по формулам

Пространственная система сил в теоретической механике

Статические моменты параллельных сил относительно точки и координатных плоскостей определяются по единому правилу:  алгебраические значения сил умножают на расстояния от точек приложения сил до точки или плоскости и результаты суммируют. Расстояния от точек приложения сил до координатных плоскостей есть величины скалярные; это соответствующие координаты этих точек. Расстояния от точки Пространственная система сил в теоретической механике до точек приложения параллельных сил берутся векторные. Ими являются радиусы-векторы точек приложения параллельных сил, проведенные из точки Пространственная система сил в теоретической механике.

Частные случаи равновесия твердого тела

Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками

Твердое тело с двумя закрепленными точками Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике имеет неподвижную ось вращения, проходящую через эти точки. Пусть тело находится в равновесии под действием приложенных сил Пространственная система сил в теоретической механике. Освободим тело от связей, приложив в закрепленных точках Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, рассматриваемых как шаровые шарниры без трения, не известные по модулю и направлению силы реакций Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике. Эти силы разложим на составляющие, параллельные осям координат Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, и для освобожденного от связей тела составим шесть условий равновесия сил. Обозначив Пространственная система сил в теоретической механике через Пространственная система сил в теоретической механике (рис. 86), получим:

Пространственная система сил в теоретической механике

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 86

Пять первых уравнений содержат неизвестные реакции закрепленных точек, поэтому их называют уравнениями равновесия. В последнее (шестое) уравнение входят только заданные силы и не входят неизвестные силы реакций. Такие соотношения, которым должны удовлетворять при равновесии тела только одни заданные силы, называют условиями равновесия. Тело в рассматриваемом случае имеет одну степень свободы, оно может только вращаться вокруг оси Пространственная система сил в теоретической механике(ось Пространственная система сил в теоретической механике). Приложенные силы удовлетворяют тоже одному условию равновесия. Сумма моментов заданных сил относительно оси Пространственная система сил в теоретической механике обращается в ноль. В остальном приложенные силы могут быть любыми. Изменяя систему приложенных сил так, чтобы они удовлетворяли при этом условию равновесия, получим в соответствии с уравнениями равновесия каждый раз свои силы реакций.

Неизвестных реакций шесть, а уравнений для их определения только пять и, следовательно, только пять неизвестных можно определить. Из рассмотрения уравнений равновесия убеждаемся, что нельзя по отдельности определить Пространственная система сил в теоретической механике и Пространственная система сил в теоретической механике, можно определить только их сумму Пространственная система сил в теоретической механике. Задача нахождения сил реакций является статически неопределимой. Для того чтобы ее сделать статически определимой, в одной из точек вместо шарового следует установить цилиндрический шарнир. Если цилиндрический шарнир поместить в точке Пространственная система сил в теоретической механике, то Пространственная система сил в теоретической механике, так как реакция цилиндрического шарнира перпендикулярна его оси; в рассматриваемом случае перпендикулярна оси Пространственная система сил в теоретической механике. После этого неизвестных реакций останется только пять. Столько же уравнений имеется для их определения.

Твердое тело с одной закрепленной точкой

Тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы. Оно, например, может вращаться вокруг каждой из трех осей координат, проходящих через закрепленную точку. Если твердое тело с одной закрепленной точкой Пространственная система сил в теоретической механике, принимаемой за шарнир, освободить от этой связи, то для составляющих силы реакций связи Пространственная система сил в теоретической механике и приложенных к телу сил Пространственная система сил в теоретической механике можно составить следующие шесть условий (рис. 87):

Пространственная система сил в теоретической механике

В этом случае имеем три уравнения равновесия с тремя неизвестными. Задача статически определима. Приложенные силы удовлетворяют тоже трем условиям равновесия, т. е. равны нулю суммы моментов приложенных сил относительно каждой из трех осей координат. В эти условия не входят неизвестные силы реакций. Существует много разных систем сил, удовлетворяющих этим трем условиям. Для каждой из таких систем приложенных сил получим свои реакции связи.

В рассмотренных двух случаях число условий равновесия, которым должны удовлетворять заданные силы при равновесии твердого тела, совпало с числом степеней свободы этого тела. Это справедливо и для свободного твердого тела, у которого шесть степеней свободы и соответственно шесть условий равновесия для сил. При изучении аналитической статики, которая излагается вместе с аналитической динамикой (в одной главе), увидим, что число степеней свободы не только для твердого тела, но и для механических систем совпадает с числом условий равновесия для заданных сил, если связи, наложенные на систему, удовлетворяют некоторым специальным условиям.

Пространственная система сил в теоретической механике

Рис. 87