Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Теорема моментов количества движения:

Моментом количества движения системы относительно некоторой точка О называется геометрическая сумма моментов количества движения всех материальных точек системы относительно той же точки.

Обозначим момент количества движения Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Из динамики точки мы знаем, что теорема моментов количества движения для Теорема моментов количества движения в теоретической механике точки системы может быть представлена так:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

где Теорема моментов количества движения в теоретической механике — момент внешних сил, приложенных к Теорема моментов количества движения в теоретической механике точке системы,

    а Теорема моментов количества движения в теоретической механике — момент всех сил, с которыми остальные точки системы действуют на Теорема моментов количества движения в теоретической механике точку. Равенство (а) можно написать для каждой точки системы. Складывая все эти равенства, получим:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Но так как Теорема моментов количества движения в теоретической механике в силу того, что внутренние силы попарно уравновешиваются и геометрическая сумма моментов их относительно любой точки обращается в нуль, то можем написать:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

или окончательно:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Это равенство и выражает теорему моментов количества движения системы, которая читается так:

Первая производная пo времени от вектора момента количества движения системы относительно точки равна взятому относительно той же точки главному моменту всех внешних сил. Непосредственно из равенства (185 а) следует, что главный момент внешних сил можно рассматривать как скорость конца вектора, представляющего момент количества движения системы (рис. 323).

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Рис. 323.

Векторное равенство (185) равносильно трем скалярным, получаемым, путем проектирования его на неподвижные координатные оси:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Предположим теперь, что момент внешних сил относительно одной из осей, например Теорема моментов количества движения в теоретической механике, обращается в нуль, тогда, полагая правую часть третьего из равенств (185 б) равной нулю, найдем для этого уравнения первый интеграл

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Но мы уже знаем, что согласно (156 б) выражение Теорема моментов количества движения в теоретической механике представляет удвоенную секторную скорость Теорема моментов количества движения в теоретической механике точки в плоскости ху, поэтому, заменяя Теорема моментов количества движения в теоретической механике через Теорема моментов количества движения в теоретической механике, найдем:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Итак, если связи системы допускают вращение ее около неподвижной оси, причем сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, то сумма произведений масс точек системы на векторные скорости проекций этих точек на плоскость, перпендикулярную к оси вращения, есть величина постоянная.

Из уравнения (а) следует, что если С=0, то Теорема моментов количества движения в теоретической механике тоже нуль. Поэтому, например, если человек, стоя спокойно с вытянутыми горизонтальнб руками на горизонтальной платформе, могущей без трения вращаться вокруг вертикальной оси, поворачивает руки на некоторый угол, его тело вместе с платформой поворачивается в обратную сторону. Как только человек прекращает поворачивать руки, то платформа вместе с телом вновь становится неподвижной. Указанное явление объясняется тем, что при повороте рук создается некоторый момент количества движения, который в сумме с моментом количества движения тела и платформы (поворачивающимися в обратную сторону) должен быть равен нулю, так как в начальный момент Теорема моментов количества движения в теоретической механике.

Предположим теперь, что внешние силы отсутствуют, или их главный момент относительно некоторой точки равен нулю (что происходит, например, при действии на точки системы центральных сил). Это приводит нас к тому, что М=0, а следовательно, L=const.

Итак, если внешние силы отсутствуют или если их главный момент относительно точки, или, что то же, относительно осей х, у и z, проходящих через эту точку, равен нулю, то момент количества движения системы остается постоянным по величине и направлению.

Полагая в уравнениях (185 б) правые части равными нулю, получим первые интегралы этих уравнений:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Задача №1

На ободе массивного кольца весом Теорема моментов количества движения в теоретической механике и радиусом Теорема моментов количества движения в теоретической механике в точке А стоит человек, вес которого Теорема моментов количества движения в теоретической механике 60 кГ. Кольцо может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 324). В некоторый момент человек начинает идти по кольцу с постоянной относительной скоростью Теорема моментов количества движения в теоретической механике. Какова будет при этом угловая скорость Теорема моментов количества движения в теоретической механике вращения кольца.

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Рис. 324.

Решение. Все внешние силы, приложенные к системе (кольцу и человеку), параллельны оси z, поэтому Теорема моментов количества движения в теоретической механике и Теорема моментов количества движения в теоретической механике. Так как в начальный момент система находится в покое, то Теорема моментов количества движения в теоретической механике.

При движении человека по кольцу по часовой стрелке (по отношению к оси z) кольцо начинает вращаться против часовой стрелки. Поэтому абсолютная скорость человека равна разности: Теорема моментов количества движения в теоретической механике, где Теорема моментов количества движения в теоретической механике — окружная скорость кольца. Момент количества движения человека по отношению к оси z будет:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Для вычисления момента количества движения кольца относительно той же оси z выделим элемент кольца массой dM; тогда момент количества движения элемента:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

а всего кольца:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

При движении человека по кольцу момент количества движения системы, равный вначале нулю, остается неизменном, а поэтому:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

откуда

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Задача №2

Стержень, по которому могут перемещаться два одинаковых груза А и В весом Q кГ каждый, вращается вокруг вертикальной оси, делая Теорема моментов количества движения в теоретической механике. Грузы скреплены между собой нитью и расположены симметрично по отношению к оси вращения на взаимном расстоянии Теорема моментов количества движения в теоретической механике (рис. 325). В некоторый момент нить пережигают и грузы, отодвинувшись к краям стержня, устанавливаются на расстоянии Теорема моментов количества движения в теоретической механике м один от другого. Пренебрегая массой стержня, определить его новое число оборотов в минуту Теорема моментов количества движения в теоретической механике.

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Рис. 325.

Решение. На систему, состоящую из двух грузов, все время действуют вертикальные силы, а поэтому Теорема моментов количества движения в теоретической механике и, следовательно, Теорема моментов количества движения в теоретической механике.

Отсюда следует, что моменты количества движения системы Теорема моментов количества движения в теоретической механике относительно оси z до пережигания нити и после пережигания равны между собой, т. е. Теорема моментов количества движения в теоретической механике, или:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Но, так как:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

то

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

откуда

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Нами была выведена теорема моментов количества движения системы по отношению к неподвижным координатным осям. Покажем теперь, что эта теорема применима и по отношению к координатным осям, имеющим начало в центре инерции системы и движущимся вместе с ним поступательно.

Пусть положение центра инерции С по отношению к неподвижным осям х, у и z определяется радиусом-вектором Теорема моментов количества движения в теоретической механике, а положение Теорема моментов количества движения в теоретической механике точки системы — радиусом-вектором Теорема моментов количества движения в теоретической механике(рис. 326). Пусть также положение Теорема моментов количества движения в теоретической механике точки по отношению к подвижным осям Теорема моментов количества движения в теоретической механикеТеорема моментов количества движения в теоретической механике, Теорема моментов количества движения в теоретической механике, движущимся поступательно вместе с центром инерции, определяется радиусом-вектором Теорема моментов количества движения в теоретической механике Мы знаем, что теорема моментов количества движения системы по отношению к неподвижным осям х, у, z выражается:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Из чертежа видно, что Теорема моментов количества движения в теоретической механике Продифференцируем ато равенство по t; тогда:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

где Теорема моментов количества движения в теоретической механике — скорость Теорема моментов количества движения в теоретической механике точки по отношению к центру инерции.

Подставляя вместо Теорема моментов количества движения в теоретической механике найденные их значения в уравнение (а), получим:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

или, после перемножения:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Множители общие для всех точек, как, например, Теорема моментов количества движения в теоретической механике, вынесены за знак суммы.

Здесь:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

так как Теорема моментов количества движения в теоретической механике, а отсюда:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

См. координаты центра инерции.

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

так как Теорема моментов количества движения в теоретической механике, а следовательно, Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Векторы Теорема моментов количества движения в теоретической механике представляют соответственно момент количества движения системы и главный момент всех внешних сил, приложенных к системе относительно ее центра инерции.

После проделанных нами преобразований уравнение (б) принимает вид:

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

Но так как

Теорема моментов количества движения в теоретической механике

то окончательно имеем: Теорема моментов количества движения в теоретической механике Здесь Теорема моментов количества движения в теоретической механике в силу коллинеарности векторов Теорема моментов количества движения в теоретической механике, а Теорема моментов количества движения в теоретической механике —по теореме движения центра инерции.

Итак, производная по времени от вектора момента количества движения системы в ее движении по отношению к центру инерции равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к системе относительно ее центра инерции.