Теорема количества движения в теоретической механике

Теорема количества движения:

Количеством движения системы называется вектор, равный геометрической сумме векторов количеств движения всех материальных точек системы:

где

В целях сокращения записи здесь и ниже пределы суммирования и опущены.

При движении системы ее вектор количества движения изменяется. Найдем это изменение.

Обозначим равнодействующую всех внешних сил, приложенных к точке системы через , а всех сил, с которыми остальные точки системы действуют на точку, — через . Тогда для выбранной точки основное уравнение динамики будет:

или

Напишем теперь такие геометрические равенства для всех точек системы и просуммируем их; тогда получим:

Но так как в силу того, что внутренние силы попарно уравновешиваются, т. е. их геометрическая сумма равна нулю, то получаем окончательно:

Итак, в каждый момент первая производная по времени от вектора количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил.

В этом заключается теорема количества движения системы. Проинтегрировав обе части уравнения (182), найдем:

Как было указано, в динамике точки

есть импульс силы ;

представляет собой геометрическую сумму импульсов; обозначим . Таким образом, теорема количества движения системы может быть представлена также в следующей форме:

т. е. геометрическое приращение количества движения системы равно геометрической сумме импульсов внешних сил.

Если , то . Важно отметить, что подобно тому, как внутренние силы не могут изменить движения центра инерции системы, так и количество движения системы не меняется в случае уравновешивающихся внешних сил. Так например, если человек идет вперед по платформе, свободно перемещаемой по абсолютно гладкой плоскости, то платформа будет перемещаться назад; при этом скорости движения человека и платформы направлены в разные стороны и их отношение обратно пропорционально массам человека и платформы, так как количество движения системы остается все время постоянным. В этом случае, как мы знаем, и положение проекции центра инерции системы на плоскость платформы не меняется.

Векторное равенство (182) можно представить в виде трех-скалярных равенств путем проектирования его на координатные оси х, у и z:

Теорема количества движения находит большое применение при изучении движения сплошных систем (жидкости и пр.), а также в теории удара.

Задача №1

Найти количество движения однородного цилиндра, вращающегося вокруг геометрической оси с угловой скоростью .

Решение. Из равенства (179 а), определяющего положение центра инерции системы, находим:

Продифференцируем это равенство по t:

или

т. е. количество движения системы равно произведению ее массы на скорость центра инерции и направлено по этой скорости.

Так как в нашем случае центр тяжести цилиндра, совпадающий с осью вращения, неподвижен, то отсюда и количество движения цилиндра равно нулю.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №2

Найти импульс сил, приложенных к диску, катящемуся без скольжения по кpyгy, за время, когда диск пройдет путь, равный четверти окружности и перейдет из положения I в положение II (рис. 320). Вес диска и скорость его центра инерции .

Рис. 320.

Решение. Применяя теорему количества движения в конечной форме (182 а), получим:

а так как , то:

Построив векторный треугольник, находим величину и направление : 

Задача №3

Резервуар для хранения воды весом наполнен водой в количестве . В некоторый момент заслонку А, прикрывающую отверстие, имеющееся в днище резервуара, отодвигают, и вода будет свободно вытекать через отверстие диаметром . Пренебрегая гидравлическими сопротивлениями и скоростями частиц воды внутри резервуара, вычислить давление N резервуара на опоры в момент полного открытия заслонки. Среднюю скорость, с которой вода будет вытекать через отверстия после открытия заслонки, принять , где (рис. 321).

Рис. 321.

Решение. Применяем теорему количества движения в проек циях на вертикальную ось у:

где —проекция равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе.

Считая, что количество воды в резервуаре в момент открытия заслонки не меняется, получим:

где  площадь отверстия.

Отсюда

Задача №4

Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью под углом к горизонту; сечение канала при входе ; вода выходит из канала под углом к горизонту со скоростью (рис. 322). Определить горизонтальную составляющую давления, которое вода оказывает на сечение канала.

Рис. 322.

Решение. Применяем теорему количества движения в проекциях на ось х:

Так как .количество воды, поступающей в канал и выходящей из него за одно и то же время, постоянно, то отсюда:

где F — площадь входного сечения;

или