Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Теорема о движении центра инерции:

Центром инерции, или центром масс, материальной системы называется геометрическая точка, определяемая координатами:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

или векторно:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Умножив и разделив числитель и знаменатель правой части равенства (179а) на величину Теорема о движении центра инерции в теоретической механике ускорения земного притяжения, получим известное из статики выражение радиуса-вектора, определяющего центр тяжести системы.

Отсюда следует, что центр инерции и центр тяжести суть два названий одной и той же точки. Однако понятие «центра инерции», или «центра масс», является более общим, чем понятие «центра тяжести».

При движении системы ее центр инерции также перемещается в пространстве. Посмотрим теперь, как происходит движение центра инерции.

Обозначим равнодействующую всех внешних сил, приложенных к Теорема о движении центра инерции в теоретической механике точке системы через Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, а всех внутренних сил Теорема о движении центра инерции в теоретической механике. Тогда дифференциальные уравнения движения точек системы будут:  

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Произведя суммирование по всем точкам системы, будем иметь:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Умножая обе части равенства (179а) на М и беря вторую производную по t, найдем:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

На основании равенств (а) и (б) имеем:    

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Первое слагаемое правой части уравнения (в) Теорема о движении центра инерции в теоретической механике представляет главный вектор всех внешних сил, который находится по правилу многоугольника сил. Второе же слагаемое Теорема о движении центра инерции в теоретической механике представляет главный вектор всех внутренних сил, который обращается в нуль в силу того, что действия и противодействия всех точек системы, взятых попарно, равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому имеем окончательно:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Уравнение (180) может быть записано также через проекции на координатные оси в виде следующих дифференциальных уравнений движения:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Эти дифференциальные уравнения выражают движение материальной точки С, имеющей массу М и находящуюся под действием внешних сил. Внутренние силы в правые части уравнений (180а) не входят, так как они по закону «действие равно противодействию» попарно уравновешиваются и дают сумму проекций на координатные оси, равную нулю.

Итак, центр инерции системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует главный вектор всех внешних сил.

В этом заключается теорема о движении центра инерции. Изменить характер движения и положение центра инерции могут только внешние силы.

Так, если свободно летящая ракета, центр инерции которой движется по параболе (рис. 314), при воспламенении горючего разорвется в воздухе, то центр инерции осколков ракеты под действием все той же силы тяжести Q будет продолжать свое движение так, как если бы взрыва не было совсем. Изменение движения центра инерции ракеты произойдет только тогда, когда один из осколков упадет на землю. Точно так же, если человек будет идти по лодке, находящейся в спокойной воде, вперед, то лодка будет двигаться назад; центр же инерции системы (лодки и человека) будет оставаться на месте, и только сопротивление воды, являющееся внешней силой по отношению к системе, будет несколько влиять на смещение центра инерции.

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Рис. 314.

При прыжке цирковой акробат не в силах изменить движения своего центра тяжести, какие бы телодвижения он ни делал в воздухе; только какое-либо внешнее препятствие может изменить характер движения его центра тяжести. Таких примеров можно привести множество.

Положим теперь, что на систему не действуют внешние силы, или их главный вектор равен нулю (что возможно при действии пар). В этом случае сумма проекций внешних сил на каждую из осей равна нулю и мы приходим к равенствам:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

или

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

откуда

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Итак, если главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе, равен нулю, то центр инерции такой системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

В этом заключается теорема о сохранении движений центра инерции.

Задача №1

По наклонной плоскости, представляющей однородную треугольную призму весом Теорема о движении центра инерции в теоретической механике и свободно перемещаемой в горизонтальном направлении, катится однородный цилиндр весом Теорема о движении центра инерции в теоретической механике (рис. 315). Пренебрегая сопротивлениями, определить перемещение наклонной плоскости за время прохождения цилиндром всей длины ее, равной Теорема о движении центра инерции в теоретической механике.

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Рис. 315.

Решение. Пусть перемещение платформы за время прохождения цилиндром пути Теорема о движении центра инерции в теоретической механике равно Теорема о движении центра инерции в теоретической механике; тогда абсциссы центра инерции всей системы по отношению к неподвижным осям х и у для начального и конечного положений цилиндра будут:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Сумма проекций всех внешних сил на ось х равна нулю, поэтому проекция центра инерции всей системы на ось х должна двигаться по оси х равномерно или быть в покое, если центр инерции находился вначале в покое (как это имеет место в нашем случае), поэтому Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, откуда:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Задача №2

Однородный тонкий стержень АВ длиной Теорема о движении центра инерции в теоретической механике опирается концом А на гладкую горизонтальную плоскость (рис. 316). Стержень слегка отклоняют от вертикального положения, и, предоставленный самому себе, он падает под влиянием силы тяжести.

Какова траектория центра тяжести стержня, а также конца его В при падении?

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Рис. 316.

Решение. В момент падения стержня на него действуют две вертикальные силы: нормальная реакция плоскости Теорема о движении центра инерции в теоретической механике и вес стержня Q. Пусть ось Ох горизонтальна и ось стержня в начальном своем положении совпадает с осью Оy, тогда дифференциальные уравнения (180 а), движения центра инерции стержня будут:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Интегрируем два раза первое уравнение:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

При Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, откуда Теорема о движении центра инерции в теоретической механике; следовательно, Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, т. е. центр инерции стержня все время движется по вертикали.

Так как Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, то координаты конца В стержня соответственно равны:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Исключая из этих уравнений Теорема о движении центра инерции в теоретической механике и Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, находим, что траектория точки В эллипс:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Задача №3

Посредине балки АВ, опирающейся на две шарнирные опоры А и В, укреплена станина весом Теорема о движении центра инерции в теоретической механике так, что центр тяжести станины Теорема о движении центра инерции в теоретической механике совпадает с осью балки. Через точку Теорема о движении центра инерции в теоретической механике перпендикулярно к плоскости чертежа проходит ось вращения груза D весом Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, делающего Теорема о движении центра инерции в теоретической механике вокруг своей оси. Пренебрегая массой балки, определить амплитуду ее вынужденных колебаний; если известно, что для прогиба балки на 1 см нужна сила 5000 кГ и радиус вращения груза D равен Теорема о движении центра инерции в теоретической механике (рис. 317).

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Рис. 317.

Решение. Пусть под действием статической нагрузки центр станины переместится в положение О, а во время колебаний в Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, определяемое расстоянием Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, где Теорема о движении центра инерции в теоретической механике — прогиб балки от статического загружения ее силами Теорема о движении центра инерции в теоретической механике, а Теорема о движении центра инерции в теоретической механике — дополнительный прогиб балки, получившийся вследствие ее колебания. Проведя через точку О, соответствующую статическому прогибу балки, координатные оси, составим по отношению к оси дифференциальное уравнение движения центра инерции системы, состоящей из двух материальных точек — станины и груза D:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Здесь Теорема о движении центра инерции в теоретической механике — жесткость балки.

Из чертежа видно, что Теорема о движении центра инерции в теоретической механике. Определим теперь ординату центра инерции системы:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Подставив вместо Теорема о движении центра инерции в теоретической механике найденное его значение из последнего равенства в уравнение (а), получим:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Отсюда, после простых преобразований, имеем:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Сравнивая это уравнение с формулой (162)

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

видим, что вынужденные колебания станины происходят с амплитудой, определяемой равенством:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике

Здесь:

Теорема о движении центра инерции в теоретической механике