Аксиомы и теоремы статики в теоретической механике

Содержание:

В статике твердого тела рассматриваются свойства сил, приложенных к твердому телу. В частности, изучается приведение сложных систем сил к более простому виду и устанавливаются условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело или материальную точку.

Теоретическая механика, как и всякая другая наука, имеет свои понятия и определения, которые используются для формулирования ее аксиом и теорем. Статика базируется на аксиомах, из которых по законам логики, вводя новые понятия, получают все необходимые следствия в удобной для применения форме.

Основные понятия и определения аксиом

Материальной точкой называют простейшую модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют механическую систему, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях. Все тела в природе в той или иной мере деформируемы, но в некоторых задачах деформациями тел можно пренебречь, считая тела твердыми. При рассмотрении движения Земли вокруг Солнца ее можно считать абсолютно твердым телом и даже материальной точкой, хотя в действительности она не твердая, так как на ней есть океаны, воздушная оболочка и т. д. В дальнейшем абсолютно твердое тело будем называть просто твердым телом.

Понятие силы в теоретической механике является основным, первичным понятием. Силой называют одну из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Имеются разные меры действия: скалярные и векторные. Обычно за эталон числового значения силы принимают значение линейной силы упругости, например пружинного динамометра, которая пропорциональна его деформации. Числовые значения сил различной природы определяют путем сравнения со значением линейной силы упругости.

Сила кроме числового значения характеризуется точкой приложения и направлением действия. Она является векторной величиной. Механическое действие материальных тел друг на друга осуществляется при их соприкосновении (давление стула на пол в местах соприкосновения его ножек с полом) или как действие на расстоянии при посредстве силовых полей (притяжение Луны Землей и т. п.).

Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора, например

Системой сил называют совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело или в более общем случае на точки механической системы. Можно рассматривать систему сил, приложенных к одной материальной точке.

Системой сил, эквивалентной нулю (или равновесной системой сил), называют такую систему сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

Две системы сил называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях, т. е. если одна система сил приводит твердое тело или материальную точку в какое-то движение, например из состояния покоя, то другая система сил, эквивалентная первой, сообщит такое же движение. Движения, вызванные действием эквивалентных систем сил, имеют одинаковые характеристики для каждого момента времени. Условие эквивалентности двух систем сил и выражают в форме

где и — число сил в системах.

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называют силу, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующая сила обозначается , и условие ее эквивалентности рассматриваемой системе сил выражается в виде

Равновесная система сил имеет равнодействующую, равную нулю.

Уравновешивающей силой заданной системы сил считается такая сила, добавление которой к заданной дает новую систему, эквивалентную нулю. Если  является уравновешивающей силой системы сил , то, согласно определению, она удовлетворяет условию

В дальнейшем убедимся, что не всякая система сил имеет равнодействующую и уравновешивающую силы. Есть системы сил, которые не находятся в равновесии и не эквивалентны одной силе.

Аксиомы статики

Справедливость аксиом механики проверяется на опыте как непосредственно, так и по тем следствиям, которые из них получают.

При формулировке аксиом предполагаем, что на твердое тело или материальную точку действуют силы, которые указаны в соответствующей аксиоме. Твердое тело или материальную точку в общем случае следует считать свободными, имеющими возможность совершать в рассматриваемый момент любые перемещения в пространстве.

Аксиома о равновесии системы двух сил

Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложения, в противоположных направлениях (рис. 1). Этой аксиомой устанавливается простейшая система сил, эквивалентная нулю. Если силы и находятся в равновесии, то, естественно, они образуют систему сил, эквивалентную нулю. Действие такой системы сил на покоящееся твердое тело не изменяет состояния покоя этого тела. Аксиома справедлива и для сил, приложенных к одной точке тела или одной материальной точке.

Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю

Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) систему сил, эквивалентную нулю. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил является эквивалентной первоначальной системе сил. Под действием заданной системы сил и новой, полученной после добавления (отбрасывания) равновесной системы сил, тело будет двигаться (или находиться в покое) совершенно одинаково при прочих равных условиях. В частности, к любой системе сил можно добавить (отбросить) простейшую равновесную систему сил, состоящую из двух равных по модулю сил, действующих вдоль одной прямой в противоположных направлениях и приложенных в одной или разных точках твердого тела в соответствии с первой аксиомой.

Рис. 1

Аксиома параллелограмма сил

Две силы, действующие в одной точке твердого тела или на одну материальную точку, можно заменить одной равнодействующей силой, равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданных силах (рис. 2). Очевидно, справедливо и обратное. Одну силу, приняв за равнодействующую, можно разложить по правилу параллелограмма на две составляющие силы.

Рис. 2

Эту аксиому долгое время в истории развития механики пытались доказать и, следовательно, считали теоремой. Тщательный анализ таких доказательств, часто очень остроумных, показал, что для этого дополнительно используются положения, которые следует принимать за аксиомы.

Замену двух сил одной равнодействующей силой по правилу параллелограмма называют векторным сложением этих сил. Векторное сложение сил и  математически выражают так:

Если силы и направлены по одной прямой в одну или противоположные стороны, то векторное сложение переходит в алгебраическое.

Модуль равнодействующей силы  как векторную сумму сил вычисляют по формуле диагонали параллелограмма

Применяя теорему синусов к одному из треугольников параллелограмма, определяют синусы углов, которые образует равнодействующая r* с составляющими ее силами и :

Более предпочтительным способом определения числового значения и направления равнодействующей силы по отношению к каким-либо прямоугольным осям координат является метод проекций, который особенно удобен в случае векторного сложения более чем двух сил. Этот метод рассматривается дальше, при изучении систем сходящихся сил.

Аксиома о равенстве сил действия и противодействия

Аксиома о равенстве сил действия и противодействия — один из основных законов классической механики, сформулированных Ньютоном: всякой силе действия есть равная, но противоположная сила противодействия. По отношению к двум материальным точкам эта аксиома утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой, проходящей через взаимодействующие точки. Материальные точки при этом могут взаимодействовать как через посредство силовых полей, т. е. на расстоянии, так и путем соприкосновения друг с другом, если их считать твердыми телами очень малых размеров.

В статике эту аксиому применяют для твердых тел. Силы взаимодействия двух твердых тел (при взаимодействии путем соприкосновения или на расстоянии при посредстве силовых полей) равны по модулю и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия всегда приложены к разным телам или к различным взаимодействующим точкам одного и того же тела.

Таким образом, в природе силы встречаются всегда по две: силы действия и противодействия.

Аксиома связей

Связью для твердого тела или материальной точки называют материальные объекты (тела и точки), которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого твердого тела или материальной точки. Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой, реакцией связей (в простейшем случае) или системой сил (в общем случае). Эта аксиома фактически уже содержится в определении силы, но в истории развития механики это не было осознано сразу. Длительное время после формулировки Ньютона основных законов классической механики их применение к несвободным твердым телам и механическим системам встречалось с трудностями, пока не была дополнительно сформулирована аксиома связей. Учитывая большое значение аксиомы связей для дальнейшего изложения теоретической механики, оставим эту аксиому как самостоятельную.

Почти все теоремы и окончательные результаты теоретической механики формулируются для материальной точки или твердого тела, освобожденных от связей, т. е. когда связи заменены силами реакций связей. Поэтому очень важно уметь правильно заменять отброшенные связи силами реакций связей. Это одна из главных задач при изучении статики, которой следует уделить наибольшее внимание.

Силы реакций связей для рассматриваемого тела или точки зависят прежде всего от приложенных сил и от вида связей. При движении силы реакций связей зависят еще и от характеристик движения. Так, при движении тела в воздухе сила реакции воздуха на движущееся тело зависит от скорости движения тела относительно воздуха.
 

Рис. 3

Приведем примеры связей и их замены силами реакций связей. Если связью для твердого тела (рис. 3, а) является абсолютно гладкая поверхность другого тела, то сила реакции такой поверхности, если соприкосновение происходит в одной точке, направлена по нормали к общей касательной соприкасающихся поверхностей тел независимо от сил, приложенных к  рассматриваемому телу (рис. 3, б). Сила реакции связи направлена в сторону, противоположную направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела. Числовое значение силы реакции при равновесии определяется приложенными к телу силами, которые в отличие от сил реакций связей часто называют активными силами.

Если соприкосновение происходит не в одной точке, а по некоторой площади поверхности, то реакция такой связи сводится к системе распределенных по поверхности сил, которые в некоторых случаях удается заменить одной равнодействующей силой реакции связи. В общем случае система распределенных сил может не иметь равнодействующей.

В тех случаях, когда сила реакции связей не только по модулю, но и по направлению зависит от приложенных сил, ее обычно раскладывают по правилу параллелограмма на составляющие параллельно осям координат. Через составляющие легко определяется как модуль силы реакции, так и ее направление.

Рис. 4

Неизвестную по модулю и направлению силу реакции создают цилиндрический (плоский) и шаровой шарниры. Пусть имеем балку , находящуюся в равновесии под действием силы и закрепленную на одном конце с помощью цилиндрического шарнира , а на другом — катковой опоры (рис. 4. а). Цилиндрическим шарниром называют устройство, позволяющее балке поворачиваться в плоскости вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Устройство катковой опоры ясно из рисунка. На рис. 4, б показана та же балка после освобождения от связей. Сила реакции катковой опоры направлена по нормали к общей касательной, если поверхности соприкосновения гладкие. Неизвестная по модулю и направлению реакция цилиндрического шарнира разложена на две составляющие  и , предположительно направленные в положительном направлении осей координат.

В случае шарового шарнира силу реакции раскладывают на три составляющие, параллельные осям координат.

Гибкие связи (канаты, тросы, нити) дают силы реакции связей (силы натяжения), направленные по касательной к гибкой связи. На рис. 5, а, б сила натяжения нити заменяет действие нити на груз. На рис. 6, а, б показаны силы натяжения провода в сечениях и , действующих на часть провода .

Рис. 5

Рис. 6

На рис. 7, а, б показаны силы реакции цилиндрического шарнира  и стержня на балку . Стержень , имеющий на концах шарниры В и С, создает силу реакции на балку только в направлении самого стержня (шарнирный стержень), если на этот стержень не действуют другие силы между -его шарнирами и . Действительно, если рассмотреть находящийся в равновесии стержень , то на него действуют только две силы в точках и . Согласно первой аксиоме, эти силы должны быть направлены по одной прямой, проходящей через точки и . Следовательно, сила реакции стержня на балку направлена по , так как действие балки на стержень дает силу, направленную по стержню.

Рис. 7

Силы реакций других наиболее часто встречающихся связей рассматриваются в примерах.

Аксиома затвердевания

Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие его без изменения системы приложенных сил не нарушится от наложения на точки тела дополнительных связей, включая превращение деформируемого тела в абсолютно твердое. С помощью этой аксиомы устанавливается, в частности, связь между условиями равновесия сил, приложенных к твердому и деформируемому телам. Из аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, необходимы и для равновесия деформируемого тела. Но условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, не являются достаточными для равновесия деформируемого тела.

Сформулированные аксиомы и являются той основой, на которой строится вся статика сил, приложенных к твердому телу.

Аксиомы статики характеризуют свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу или одной точке. Но они не учитывают материальных свойств тела или точки, характеризуемых их массой, а для тела — еще распределением массы в теле, влияние которых существенно при их движении.

Совместный учет действия сил и материальных свойств тел или точки содержится в аксиомах динамики. Такие аксиомы статики, как аксиома о параллелограмме сил, о равенстве сил действия и противодействия, аксиома связей, справедливы и в динамике. Так как в статике рассматриваются свойства и неравновесных систем сил, под действием которых твердое тело или точка не могут находиться в покое относительно инерциальной системы отсчета, то для оправдания этого в статике можно считать, что эти системы сил являются частями более укрупненных равновесных систем сил, под действием которых тело или материальная точка находится в покое или совершает движение по инерции.

Простейшие теоремы статики

Теорема о переносе силы вдоль линии действия

Действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль своей линии действия.

Пусть в точке твердого тела приложена сила (рис. 8). К этой силе на ее линии действия в точке  в соответствии с аксиомой II добавим систему сил , эквивалентную нулю, для которой . Выберем силу , равную силе . Полученная система трех сил эквивалентна, согласно аксиоме о добавлении равновесной системы сил, силе , т. е.

Система сил , согласно аксиоме I, эквивалентна нулю и, согласно аксиоме II, ее можно отбросить. Получится одна сила , приложенная в точке , т. е. . Окончательно получаем

Сила приложена в точке . Она эквивалентна такой же по модулю и направлению силе , приложенной в точке , где точка —любая точка линии действия силы . Теорема доказана. Таким образом, точка приложения силы в абсолютно твердом теле несущественна. Силу для твердого тела можно считать приложенной в любой точке линии действия. Векторные величины, которые можно прикладывать в любой точке линии действия, называют скользящими. Сила, приложенная к твердому телу, есть вектор скользящий. В деформируемом теле силу нельзя переносить вдоль линии действия. Сила в этом случае не является скользящим вектором.

Рис. 8

Теорема о трех силах

Если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пересекаются в одной точке.

Обратная теорема неверна, т. е. если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то такая система сил не обязательно является равновесной.

Пусть имеем систему трех сил , две из которых, например и , пересекаются в одной точке  (рис. 9). Докажем, что если тело находится в равновесии под действием этих трех сил, то линия действия силы F3 пройдет через точку , т. е. линии действия трех сил пересекаются в одной точке.

Силы и , линии действия которых пересекаются в уточке , перенесем в эту точку и заменим их равнодействующей  по аксиоме параллелограмма сил. Система трех сил свелась к эквивалентной системе двух сил , находящихся в равновесии, так как твердое тело, на которое они действуют, по условиям теоремы находится в равновесии. Согласно аксиоме I, такие две силы должны быть направлены по одной прямой, проходящей через точки их приложения. Следовательно, линия действия силы должна пройти через точку приложения силы , т. е. точку пересечения сил и . Таким образом, три силы пересекутся в одной точке.

Теорема о трех силах позволяет в некоторых случаях определить линию действия неизвестной силы, приложенной к твердому телу.

Рис. 9  

Рис. 10

Рис. 11

Пример. Дана балка , закрепленная, как указано на рис. 10. На балку действует активная сила , направление которой задано углом . Определить линию действия силы реакции цилиндрического шарнира .

Решение. Освободим балку от связей, заменив их силами реакций связей (рис. 11). Сила реакции стержня на балку направлена по стержню . Ее линия действия пересекается с линией действия заданной силы в точке . Согласно теореме о трех силах при равновесии балки, через точку должна пройти и линия действия силы реакции . Ее направление определится углом , который зависит от угла и положения точки :

Если , то .

Всё о аксиомах статики

Как было указано выше, статика изучает условия относительного равновесия твердых тел или механических систем, находящихся под действием сил.

Силы возникают в результате взаимодействия между собой различных материальных тел. По своей природе сила является величиной векторной и вполне определяется, если известны ее точки приложения (или линия действия), направление и величина.

Величина силы измеряется при помощи прибора, называемого динамометром, и может быть выражена в единицах веса. За единицу силы мы в дальнейшем примем вес 1 л воды при 4°С; такая единица силы называется килограммом и обозначается сокращенно через кГ.

Линией действия силы называется прямая, вдоль которой направлена сила. В дальнейшем мы. будем обозначать силы жирными буквами Р, Q, F, N, а их численные значения (модули) светлыми буквами Р, Q, F, N... Несколько сил, приложенных к твердому телу, представляют систему сил.

Если твердое тело под действием системы сил остается в покое или движется по отношению к выбранным координатным осям так, что все его точки имеют одинаковые скорости и движутся прямолинейно и равномерно, то такое тело находится в состоянии равновесия, а силы, приложенные к нему, образуют уравновешивающуюся систему. Любая из сил уравновешивающейся системы является уравновешивающей по отношению к остальным силам.

Две системы сил называются эквивалентными, если при замене одной системы сил, приложенных к твердому телу, другой системой не нарушается покой тела, или если тело находилось в движении, то не изменяется это движение.

Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей системы, а отдельные силы системы по отношению к их равнодействующей называются составляющими силами.

В основу изучения статики положены истины, которые на протяжении многих столетий подтверждаются опытом. Эти истины, как было указано выше, называются аксиомами статики.

В дальнейшем, для краткости изложения, тело мы будем называть просто телом.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к свободному телу, взаимно уравновешиваются тогда, и только тогда, когда они равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Эта аксиома выражает, условие равновесия двух сил Р, приложенных к телу (рис. 17).

Рис. 17.

Аксиома 2. Присоединение и отбрасывание сил, взаимно уравновешивающихся, не изменяет действия сил, приложенных ранее к телу.

На основании этой аксиомы можно вывести важное следствие.

Пусть мы имеем силу Р, действующую на тело (рис. 18).

Рис. 18.

Возьмем на линии действия этой силы любую точку А и, согласно аксиоме 2, приложим в этой точке две силы , направленные по линии действия силы Р в противоположные стороны. Тогда силы и , согласно аксиоме 1,взаимно уравновешиваются, а на основании аксиомы 2 их можно отбросить и 
вместо силы Р получим силу перенесенную в точку А.

Отсюда следует, что не нарушая действия силы на тело, силу можно переносить в любую точку вдоль ее линии-действия. Следовательно, сила, приложенная к твердому телу, является вектором, скользящим или передвижным.

Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке и составляющих между собой некоторый угол, приложена в этой же точке и выражается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на данных силах.

Обозначим равнодействующую двух сил и приложенных к точке А (рис. 19), через Р, тогда на основании этой аксиомы имеем .

Рис. 19.

Последнее равенство обозначает операцию геометрического сложения сил  , т. е. сложения их по правилу параллелограмма.

Обратно, всякую силу Р можно разложить на составляющие по любым заданным направлениям I и II (рис. 20), для чего продолжаем направления I  и II, и из конца силы Р проводим линии, параллельные заданным направлениям.

Рис. 20.

Эти линии отсекут на заданных направлениях I и II искомые составляющие силы .

Аксиома 4. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Эта аксиома выражает равенство действия и противодействия при взаимодействии друг на друга двух тел. Так, например известно, что между Землей и Луной имеются силы взаимного притяжения, причем эти силы равны по величине и направлены по прямой, соединяющей центры Земли и Луны, в противоположные стороны. Точно так же, если на неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар, то действие шара на плоскость будет передаваться в точке касания плоскости и шара в виде давления, равного весу шара, направленного вертикально вниз.

В свою очередь, плоскость в той же точке будет действовать на шар вверх.

Эта сила называется реакцией плоскости; она равна по величине ддвлению и направлена вертикально вверх.

Аксиома 5. Равновесие нетвердого тела не нарушается, если это тело станет абсолютно твердым.

Эта аксиома, называемая принципом затвердения, находит широкое применение при изучении равновесия нетвердых тел.

Аксиома 6. Если тело несвободное, то действие связей на тело может быть заменено их реакциями.

При решении большинства задач механики приходится иметь дело с телами несвободными. Движение таких тел ограничено опорами или направляющими, которые являются связями для тел. В тех местах, где тело соприкасается со связями, происходят взаимодействия между телом и связями; эти взаимодействия могут быть представлены в виде сил. Силы, с которыми связи действуют на тело, называются реакциями связей, или просто реакциями, а равные и противоположно направленные им силы, представляющие действие тела на связи, называются давлениями.

На основании последней аксиомы при решении задач статики можно связи отбросить и рассматривать, например, равновесие несвободного тела, как тела свободного, находящегося под действием заданных сил и реакций связей. Такой прием удобен, как мы увидим дальше, при решении многих задач статики, где силами, подлежащими определению, являются реакции связей.

Различные виды связей и реакции, которыми эти связи могут быть заменены, рассмотрены в следующем параграфе.

Справочный материал о аксиомах статики

Статикой называют раздел механики, в котором изучают преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной уравновешенности сил, приложенных к твердому телу

Предмет статики

Рассмотрим систему сил, приложенных к одному абсолютно твердому телу. Изучение возможности замены такой системы сил другими системами, оказывающими на данное тело такое же механическое воздействие, и, в частности, изучение условий взаимной уравновешенности сил, приложенных к твердому телу, составляют предмет статики.

Таким образом, статикой называют раздел механики твердого тела, в котором изучают преобразование системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной уравновешенности таких систем.

В высших технических учебных заведениях курс теоретической механики обычно начинают со статики. Такое построение курса обусловлено требованиями учебных планов, необходимостью возможно раньше ознакомить студента со статикой как обязательной предпосылкой для курса сопротивления материалов и всех последующих инженерно-технических дисциплин. Имеет значение и то, что для изучения статики высшая математика не нужна в столь большом объеме, в котором она требуется для других разделов механики. Наконец, как уже было упомянуто, такое построение соответствует и историческому развитию нашей науки.

Исторические корни статики уходят в глубокую древность. Со времен Архимеда учение о силах и их равновесии является уже вполне сложившейся наукой. Крупными вехами в дальнейшем развитии статики явились открытие Стевином закона параллелограмма сил (см. § 3) и открытие современником Ньютона Вариньоном (1654—1722) его знаменитой теоремы о моменте равнодействующей силы (см. § 8). Однако окончательное оформление статика получила лишь после исследований Пуансо и, в частности, после открытия им метода приведения силы к данной точке (см. § 11).

Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики

Механика — наука точная

Все свои теоремы и правила она выводит путем строгих математических выкладок. Однако в основе механики и, в частности, статики лежат аксиомы—законы, принятые без математического доказательства. Математических доказательств этих законов не существует, хотя законы эти настолько просты, что кажутся очевидными. Под аксиомой механики мы не будем понимать какую-то непреложную и настолько очевидную истину, что даже доказательство ее совершенно излишне. Они представляют собой результат обобщения выводов, полученных из многолетних и многочисленных опытов и наблюдений над движением и покоем тел. Мы не имеем возможности проверить их непосредственно и располагаем лишь косвенными доказательствами, т. е. мы видим, что следствия, вытекающие из этих аксиом, подтверждаются наблюдениями: сооружения, построенные на основании законов механики, прочны, машины работают, приборы и аппараты действуют, корабли плавают, самолеты летают, запущенные нами космические корабли выходят на предписанные им орбиты, а затмения Солнца и Луны происходят в точности так, как это было заранее предсказано. Все это является доказательством правильности всех положений механики (в частности, ее аксиом), на основе которых были рассчитаны эти сооружения, сконструированы машины и произведены астрономические вычисления, потому что верные практические результаты могут быть получены только из правильных
предпосылок.

В статике принимают обычно шесть аксиом: принцип инерции, аксиому об абсолютно твердом теле, аксиому о присоединении уравновешенной системы сил, закон параллелограмма, принцип равенства действия и противодействия, аксиому о затвердении.

«Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» (Ньютон)

Принцип инерции

Принцип (т. е. основоположение, с позиции которого надо рассматривать всякое механическое явление) инерции был сформулирован Ньютоном и принят им в качестве первого основного закона механики. Закон утверждает, что всякое тело должно находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока это состояние не будет изменено действующими на тело силами. Ньютон ничего не говорит о размерах тела, но в дальнейшем он показывает, что высказанные им аксиомы относятся к отдельной материальной частице или же к центру тяжести, в котором предполагается сосредоточенной масса всего тела. Таким образом, здесь под телом надо понимать материальную точку.

Проявление присущего материи свойства сохранять механическое движение, без действия сил сохранять свою скорость, называют инерцией.

Аксиома инерции содержит в себе как бы две части — аксиома инерции покоя и аксиома инерции движения. Та часть, которая утверждает, что тело остается в покое, пока силы не изменят этого состояния, очевидна и подтверждается повседневным опытом: мы никогда не видели, чтобы покоящиеся тела сами, без действия на них сил, приходили в движение. Эта так называемая инерция покоя была известна еще со времен Аристотеля.

Напротив, открытое Галилеем свойство материальных тел без действия сил сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения (инерция движения) на первый взгляд как будто бы противоречит повседневному опыту. И движущиеся тела обычно нуждаются в постоянном действии силы для поддержания движения: чтобы передвигать телегу, нужна конская тяга, парусное судно без ветра не движется и т. д. Однако это противоречие закона инерции движения нашим повседневным наблюдениям только кажущееся. В обыденной жизни мы не встречаем тел, на которые не действовали бы никакие силы, на всяком движущемся теле всегда сказываются действия других тел. Катящаяся телега испытывает- сопротивление дороги, трение в осях, сопротивление воздуха; плывущее судно претерпевает сопротивление воды и воздуха. Эти силы (их называют диссипативными) и замедляют движение тел. Диссипативные силы невозможно уничтожить, но их иногда возможно значительно уменьшить.

Например, в машине можно смазать трущиеся части, заменить подшипники скольжения шариковыми подшипниками и т. п. Чем меньше диссипативные силы, тем дольше тело сохраняет свое движение. Велосипед, находящийся в хорошем состоянии, на свободном ходу катится дольше, чем старый и запущенный велосипед.

Отсюда можно заключить, что если бы нам удалось совершенно устранить сопротивление движению тела, то движение было бы равномерным. Вместе с тем, очевидно, движение было бы и прямолинейным, если, конечно, никакие силы не заставили бы это тело свернуть со своего прямолинейного пути. Практически невозможно никакой смазкой полностью уничтожить силы сопротивления. Поэтому для поддержания движения к телу необходимо приложить силу. Эта сила нужна не для осуществления движения, а лишь для преодоления сопротивлений. Для равномерного и прямолинейного движения нужна в точности такая движущая сила, какая необходима для преодоления сил сопротивления. Действительно, если движущая сила меньше сил сопротивления, то движение тела постепенно замедляется и тело останавливается. Если она больше сил сопротивления, то тело движется ускоренно. Если же движущая сила равна силе сопротивления, то не происходит ни замедления, ни ускорения—тело движется равномерно и, разумеется, прямолинейно.

Две силы, действующие на твердое тело, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине и действуют по одной прямой в противоположные стороны

Аксиома об абсолютно твердом теле. При равномерном движении или при покое тела движущая сила и сила сопротивления как бы уничтожают, или, как говорят, уравновешивают друг друга. Очевидно, что для равновесия двух сил, действующих на какое-либо твердое тело, точнее говоря, для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии под действием только двух сил, необходимо, чтобы они были равны по величине, противоположны по направлению и действовали по одной и той же прямой. Если они направлены в противоположные стороны по одной и той же прямой, но не равны по величине, то тело приобретает ускоренное движение в сторону большей силы. Если же две силы, хотя бы и равные между собой, действуют по пересекающимся или скрещивающимся прямым, ю они тоже не могут уравновесить друг друга. Случай двух сил, направленных по разным прямым и приложенных к одной точке, рассмотрен в аксиоме параллелограмма. Такие две силы не находятся в равновесии. Две силы не уравновешивают друг друга и в том случае, если они действуют на одно и то же тело в противоположные стороны, но не по одной, а по параллельным прямым, что подробно рассмотрено в гл. IV.

Сформулируем условия равновесия двух сил: две силы, действующие на твердое тело, взаимно уравновешивают друг друга в том и только в том случае, если они равны по величине и действуют в противоположные стороны по одной и той же прямой. Это не только необходимые, но и достаточные условия равновесия двух сил.

Напомним, что здесь, как и всюду в теоретической механике, под твердым телом мы понимаем абсолютно твердое тело. Совершенно ясно, что две такие силы, приложенные к какому-либо реальному физическому телу, могут вызвать деформацию и даже разрушение тела. Лишь на абсолютно твердое тело такие взаимно уравновешенные силы никакого действия оказать не могут. Поэтому рассмотренную аксиому следует называть аксиомой об абсолютно твердом теле.

От присоединения к телу или отбрасывания от него уравновешенной системы сил равновесие тела не нарушается

Аксиома о присоединении уравновешенной системы сил. Взаимно уравновешенная система сил — это такая система, наличие которой эквивалентно ее отсутствию. В самом деле, поскольку согласно аксиоме об абсолютно твердом теле две взаимно уравновешенные силы не могут изменить движение или нарушить покой тела, мы вправе сделать
заключение, что такая взаимно уравновешенная система сил никак не влияет на твердое тело. Как мы скоро убедимся, взаимно уравновесить друг друга могут не только две силы, но и любое большее количество сил. Вообще под уравновешенной системой сил понимают совокупность сил, которая, будучи приложена к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.

В статике принимают как аксиому, что равновесие твердого тела не нарушится, если к телу приложить или от него отбросить взаимно Уравновешенную систему сил. Если же твердое тело находилось не в покое, а в движении перед тем, как мы приложили к нему или отбросили от него взаимно уравновешенную систему сил, то движение тела от этого не изменится.

Всякая данная система сил, действующих на твердое тело, и другая система, полученная из данной путем присоединения или отбрасывания уравновешенной системы сил, оказывает на твердое тело, совершенно одинаковое действие. Обе эти системы эквивалентны.

Действие силы на твердое тело не изменится, если эту силу перенести по линии ее действия.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Сила как скользящий вектор

Докажем теорему, согласно которой всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести по прямой, по которой эта сила направлена, в какую-либо другую точку тела, отчего действие силы не изменится.

Пусть на тело действует сила F, приложенная к телу в точке А (рис. 1, а). Прямую линию, вдоль которой направлен вектор силы, называют линией действия силы, или прямой действия силы. Возьмем наней произвольную точку В и приложим к телу в этой точке две силы F₁ и F₂, численно равные силе F и направленные по той же линии действия, причем пусть F₁ направлена в ту же сторону, что и F, a F₂ — в противоположную (рис. 1, б).

Действие силы F на тело не изменилось от приложения к нему взаимно уравновешенных сил F₁ и F₂. Но силы F и F₂ также являются двумя равными и противоположно направленными силами, действующими на то же абсолютно твердое тело по одной и той же прямой. :Можно отбрасывать такие уравновешенные системы сил. Отбросив F и F₂ (рис. 1, в), убедимся, что на тело действует только одна сила F₁, которая представляет собой силу F, перенесенную вдоль линии действия в другую точку, что и требовалось доказать. Это свойство силы выражают словами: сила есть вектор скользящий. Выражение образное и очень распространенное, но не вполне правильное, так как оно характеризует свойство не вектора, а абсолютно твердого тела.

Рис. 1

Наши рассуждения символически можно записать так:

F=F+[(F₁ + F₂)=0]=[(F + F₂) = 0]+F₁=F₁.

Каждая из сил F и F1 может быть уравновешена одной и той же силой F₂. Силу F₂, которая, будучи приложенной к твердому телу, уравновешивает данную силу F, называют уравновешивающей данную силу. Две силы F и F₁ называют эквивалентными, т. е. равноценными по своему действию на тело, если они имеют одну и ту же уравновешивающую силу.

Это понятие распространяется и на систему сил: системы сил, имеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил, называют эквивалентными системами сил.

Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке н направленных под углом друг к другу, изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах

Закон параллелограмма сил

Две силы, приложенные к одной материальной частице и направленные под углом друг к другу, эквивалентны одной силе, называемой равнодействующей силой; эта равнодействующая может быть представлена как диагональ параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах, частице О твердого тела приложены две силы: 1) по величине равная P и направленная по прямой OA и 2) по величине равная Q и направленная по прямой OB (рис. 2). Мы представим эти силы в виде векторов, т. е. изобразим силу P вектором и силу Q-вектором . На этих отрезках как на сторонах построим параллелограмм OA₁C₁B₁. Согласно аксиоме параллелограмма две силы и по своему действию на данную материальную частицу О эквивалентны одной силе , т. е. сила, изображаемая вектором R, является равнодействующей системы сил  и .

Это правило называют правилом параллелограмма, а самый процесс—сложением сил по способу параллелограмма. Название это нельзя признать удачным, так как физического сложения сил не происходит, равнодействующая не есть сумма слагаемых сил, а лишь равноценна им обеим, вместе взятым. Пусть, например, два трактора тянут какой-либо груз О: один с силой по направлению OA, второй с силой по направлению OB. Правило параллелограмма лишь утверждает, что эти два трактора оказывают на груз О такое же действие, какое оказывал бы один трактор, который тянул бы груз О с силой  по направлению ОС.

Рис. 2

Сложение сил, направленных под углом друг к другу, называемое геометрическим сложением, сильно отличается от сложения величин, к которому мы привыкли в арифметике и в алгебре.

Геометрическое сложение обозначается обычным знаком « + », но над слагаемыми и над суммой ставят стрелки, означающие, что это векторные величины.

Геометрические равенства выглядят иногда необычно с точки зрения арифметики.

Так, например, на рис. 3, а сила P = 3 н и сила Q = 4 н перпендикулярны друг другу; по теореме Пифагора находим R= 5 н; на рис. 3,б сила Р = 3 н и сила Q = 3 н по той же теореме ; на рис. 3, в величины сил P и О

Рис. 3

те же, но направлены они под углом 120^о друг к другу, а потому R = 3 н; на рис. 3, г сила Р = 3 н, сила Q = 4 н и направлены они под углом 60° друг к другу. Применяя теорему косинусов, находим R² = 9 + 16—2∙3∙4∙cos 120° = 37 н; иа рис. 3, д те же силы составляют угол 120° и по той же теореме R² = 9+ 4-16—2∙3∙4∙cos60°=13 н.

Из геометрии известно, что диагональ параллелограмма всегда меньше арифметической суммы его непараллельных сторон и больше их разности. Поэтому, если в геометрической сумме

P больше Q, то всегда имеет место алгебраическое неравенство
P-Q≤R≤P+Q.

Равенство P+Q = R имеет место, если силы P и Q направлены по одной прямой и в одну сторону, а равенство P — Q = R, если PnQ направлены в противоположные стороны. В этом случае равнодействующая R направлена в сторону большей силы Р.

Аксиома говорит о сложении сил, приложенных к одной материальной частице, к одной точке. Но складывать силы по правилу параллелограмма можно и в том случае, если они приложены к одному твердому телу и линии их действия пересекаются. В таком случае нужно перенести обе силы в точку пересечения их линий действия и там сложить по правилу параллелограмма, причем если эта точка находится за пределами того тела, на которое действуют обе слагаемые силы, то равнодействующую силу нужно перенести вдоль ее линии действия в какой-либо из точек тела.

Для равновесия трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, необходимо, чтобы их линии действия пересекались в одной точке

Аксиомы, с которыми мы только что ознакомились, позволяют вывести необходимое условие равновесия трех непараллельных сил: если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, взаимно уравновешены, то их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть в каких-либо точках А, В и C (рис. 4) к твердому телу, не показанному на чертеже, приложены три силы , и, линии действия которых непараллельны между собой, но лежат в одной плоскости. Покажем, что если система этих трех сил уравновешена, то линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Всякие две непараллельные прямые на плоскости пересекаются. Следовательно, линии действия двух сил  и пересекаются где-либо в точке О. Перенесем силы  и точку пересечения их линий действия и сложим их, т. е. заменим одной равнодействующей . Данная уравновешенная система трех сил , , и заменена нами эквивалентной ей (а следовательно, также уравновешенной) системой двух сил и . Но всякие две силы, находящиеся в равновесии, действуют по одной прямой, а потому линия действия силы проходит через точку 0. Предположение, что все три уравновешенные силы лежат в одной плоскости, сделано для упрощения доказательства, и оно излишне, поскольку три уравновешенные силы не могут не лежать в одной плоскости.

Рис. 4

Это условие равновесия трех сил является необходимым, но не достаточным условием, т. е. если три непараллельные силы находятся в равновесии, то их линии действия обязательно пересекаются в одной точке. Но если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил.

В качестве иллюстрации необходимого условия равновесия трех непараллельных сил приведем такой пример. Для установившегося движения самолета, т. е. чтобы он мог, не теряя набранной высоты, лететь равномерно и прямолинейно, необходимо, чтобы система действующих сил была уравновешенной. Можно считать, что на самолет действуют три силы: его вес, сила тяги и сила сопротивления воздуха (точнее, равнодействующая всех сил сопротивления воздуха, действующих на различные части самолета). Для равновесия этих трех сил необходимо, чтобы их линии действия пересекались в одной точке. Линией действия веса самолета является вертикаль, проходящая через центр тяжести, а сила тяги действует вдоль оси пропеллера. Отсюда вытекает правило, называемое основным правилом самолетостроения: равнодействующая сил сопротивления воздуха должна пересекать ось пропеллера в той же точке, где ее пересекает вертикаль, проходящая через центр тяжести самолета.

«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в противоположные стороны» (Ньютон)

Принцип равенства действия и противодействия. Силы, приложенные к данному телу, вызываются другими материальными телами. Отдельно от материальных тел, независимо от них, сил в природе не существует. Поясним это следующим примером.

Представим себе, что санки C скользят по ледяной горе AB (рис. 5). На санки действуют следующие силы: сила тяжести (вес санок), сила  давления со стороны наклонной плоскости АВ, сила трения о лед и сила сопротивления воздуха. Все эти силы действуют на данное тело вследствие наличия других материальных тел и не существовали бы, если бы этих тел не было. Так, сила тяжести является силой притяжения санок Землей. Давление горы на санки и сила трения санок о гору вызваны наличием горы АВ. Сила сопротивления воздуха не существовала бы, если бы санки двигались в безвоздушном пространстве. Все силы, действующие на санки, вызваны другими материальными телами.
Но действия материальных тел не бывают односторонними, они всегда взаимны, тела взаимодействуют между собой.

В рассмотренном примере на санки действует сила , с которой санки притягиваются к Земле, точнее, к ее центру. Однако санки тоже притягивают к себе Землю, и сила притяжения Земли санками приложена к центру Земли. Санки испытывают сопротивление воздушной среды, но они и сами действуют на эту среду, вызывая в ней перемещения ее частиц. Покрытые льдом доски горы не допускают перемещения санок в сторону дощатого настила. Но и сани давят на ледяную гору. Мы видим, что и здесь действия двух тел взаимны. При движении санок по льду трутся обе соприкасающиеся поверхности (полозья саней и ледяная поверхность горы) и возникают две силы трения. Одна приложена к саням и замедляет скольжение; другая — к ледяному покрытию горы, отрывает и увлекает за санями частицы льда. Лед и сани взаимодействуют между собой, и для трения необходимо наличие обоих тел — санок и льда.

Рис. 5

Аксиома утверждает, что действия двух тел друг на друга равны и противоположны. В нашем примере согласно этой аксиоме Земля притягивает к себе санки с такой же, но обратно направленной силой, с какой санки притягивают Землю; давление санок на гору равно и противоположно давлению горы на санки, силы трения санок о гору и горы о санки равны и противоположны, а воздух сопротивляется движению санок с силой, равной и противоположной той, с которой санки действуют на воздух.

Таких примеров можно привести сколь угодно много и на каждом из них убедиться, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и противоположны.

Нужно твердо усвоить, что механические взаимодействия двух тел хотя и равны по величине и противоположны по направлению и действуют по одной прямой, но не уравновешивают друг друга, так как они приложены не к одному, а к разным телам. Давление или притяжение одного тела может привести в движение другое тело именно потому, что действие и. противодействие приложены к двум различным телам.

Если, например, буксирный теплоход тянет на канате баржу, то и баржа тянет буксир в обратном направлении с равной силой. В этом можно убедиться, прикрепив на обоих концах каната по динамометру, чтобы один из них измерял силу, с которой буксир тянет баржу, а другой — силу, с которой баржа противодействует буксиру. Показания обоих динамометров будут одинаковы. Следовательно, действие буксира на баржу равно и противоположно действию баржи на буксир. Почему же в таком случае вся система перемещается в сторону буксира, а не в обратном направлении? Ответ на этот вопрос очевиден: буксир отталкивается от воды винтом или гребными колесами. По той же аксиоме этой силе, приложенной к шлицам гребного колеса, соответствует другая, равная и противоположная сила, приложенная к воде. Обе эти силы не уравновешивают друг друга, поскольку они не приложены к одному телу.

Приложенная к буксиру сила, с которой он отталкивается от воды, при ускоренном движении больше той силы, также приложенной к буксиру, с которой тянет его назад баржа, при замедленном—меньше, при равномерном движении и при покое — равна. Но всегда — и в покое, и во всяком движении — взаимодействия гребных колес и воды равны и противоположны между собой, и всегда действие буксира на баржу равно и противоположно действию баржи на буксир. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие.

Эту аксиому называют принципом равенства действия и противодействия. Она сформулирована Ньютоном, принята им в качестве третьего основного закона механики и опубликована в книге «Математические начала натуральной философии».

Равновесие нетвердого тела не нарушится, если это тело затвердеет

Аксиома затвердения

Если какое-либо нетвердое тело находится в равновесии под действием некоторой системы сил, то можно предположить, что другое. тождественное пo форме, но абсолютно твердое тело под действием такой же системы сил тоже должно быть в равновесии. Аксиома утверждает, что от затвердения равновесие нетвердого тела не нарушится. В статике встречаются задачи о равновесии тела, состоящего из нескольких твердых тел, так или иначе связанных («сочлененных») между собой. Такое тело находится в равновесии, если в равновесии находятся все составляющие его тела. В некоторых случаях такое тело рассматривают как затвердевшее, т. е. как одно абсолютно твердое тело.

Обратим внимание на то, что обратное утверждение является неправильным, т. е. нельзя утверждать, что равновесие твердого тела обязательно сохранится, если это тело перестанет быть твердым.

Что нужно знать о статике

В результате изучения раздела «Статика» необходимо уметь складывать силы, определять равнодействующую любого числа данных сил. Нужно уметь также решить и обратную задачу — данную силу разложить на две или три составляющих.

Главное место в статике занимает учение о равновесии систем сил. Системой называется совокупность сил, приложенных к телу или к точке.

Для удобства изучения системы сил разделяются на плоские и пространственные. В свою очередь плоские системы сил делятся на три группы: а) системы сил, сходящихся в одной точке; б) системы параллельных сил и в) системы сил, расположенных в плоскости как угодно. На аналогичные три группы делятся и пространственные системы сил.

В соответствии с этим дальнейшее изложение методов и примеров решения задач проведено по этой классификации систем сил.

Для любой плоской, а также и пространственной системы сил показаны способы и методы сложения сил и, в частности, определения их равнодействующей силы. В главе II «Плоская система сходящихся сил» показаны способы разложения силы на две составляющие; в главе IV «Пространственная система сил» показан способ разложения силы на три составляющие вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. Наиболее широко рассмотрены задачи на равновесие сил, при решении которых используются условия равновесия всех перечисленных выше систем сил.

При решении задач необходимо иметь в виду, что с I января 1963 г. в СССР введена в действие Международная система единиц (ГОСТ 9867 —61), или сокращенно СИ (интернациональная система).

В настоящее время осуществляется переход всех измерений и технических расчетов на эту систему.

Международная система (СИ) имеет шесть основных единиц и две дополнительные. Из основных только три непосредственно применяются в теоретической механике:

• единица длины —метр (1 м),
• единица массы—килограмм (1 кг),
• единица времени —секунда (1 сек).
• Из дополнительных в механике употребляется лишь единица измерения плоского угла — радиан (1 рад) — угол между двумя
• радиусами круга, вырезающий на окружности дугу, длина которой равна радиусу.
• Остальные единицы Международной системы (СИ)— производные и в их числе единица измерения силы ньютон (1 н).

Если в известную из физики формулу второго закона Ньютона

вместо массы т и ускорения а подставить единицы их измерения — соответственно 1 кг и 1 то получим единицу измерения силы равную к. Таким образом,

Иными словами, ныотон — это сила, сообщающая единице массы (1 кг) единицу ускорения

Если в условии задачи задана масса нагрузки, то необходимо определить ее вес G:

G = mg,

где —ускорение силы земного притяжения.

В технической системе единиц (в системе МКГСС) сила измеряется в килограммах

Соотношение между 1 н и 1 кГ таково:

1 н = 0,102 кГ и 1 кГ = 9,81 н.

При приближенных расчетах можно пользоваться округленными соотношениями:

Общую формулу перехода от единиц технической системы (Т кГ) к единицам СИ (S н) можно выразить так:

Соответственно формула перехода от единиц СИ (S н) к единицам технической системы (Т кГ) выразится в виде