Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ' месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

 Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают aN.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают ar.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над аr и aN ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике точки M и его составляющие Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике и Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике и Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике и Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике на касательную:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Составляющие ускорения Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике и Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (62')

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (62'')

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58') и (58").

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

ar = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему αа без другого внутреннего αυ, поэтому:

cos δ = cos (αа—aυ) = cos αа cos aυ + sin αа sin aυ

или, так как αа = 90°- βa и aυ = 90°-βυ

cos δ = cos αа cos aυ + cos βa cos βυ .

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62'), получим

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sint,   y=21,2 cost

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем υx = 21,2 sin 2t, υy = -21,2 sin 2t. Определим теперь полную скорость:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

αx = 42,2 cos 2t, αy = -42,4 cos 2t.

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (69')

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (69'')

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике, а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Точка А начала двигаться с начальной скоростью υ0= 1 м/сек и с ускорением aT =2 м/сек2. Через одну секунду следом за точкой А по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками А и В через t сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Разделяя переменные и интегрируя, получим

υ = aTt + C1

Постоянную C1 определим из начальных данных:

υ0 = a . 0 + C1;    C10

Следовательно, 

υ = υ + aTt.

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

где

С2 = s0 = 0.

Подставляя вместо υ0 и аT заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике
Рис. 92

Ответ. SA— SB = 2t м.

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим aN как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

aN = ay cos  αυ—ax cos βυ.

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58') и (58").

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль Mn (рис. 91, а):

aN = a sin δ = a sin (αα—αυ)

или

aN=a (sinαα cos αυ -cos αα sin αυ).

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin2 t, у= 212 cos2 t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υx, υy,  υ, ax, ау. Подставляя их в формулу (72), найдем

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ответ. Нормальное ускорение равно 2.

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58') и (58"),

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси Mn (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике нормали:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике      (74/)

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике
является прямолинейным и равенство Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике
Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (75)

или

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике      (75/)

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью  острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике
рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M1 (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M1 будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль Mn и бинормаль Mb пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (αb = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69') и (69") касательного ускорения, формулы (74) и (74') нормального ускорения, а также формулы (75) и (75') полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике   (76)

или

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике      (76/)

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

x=υx=α, χ=ax=0, y = υy = β-gt,  y= - g.

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось Mn — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ. Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υχ = 6 cos 2t, υy = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

ax= —12 sin 2t, ay =—16 sin 2t, 

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

По второму способу найдем Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; ат= —20sin 2t; αN = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

υx= rc (1 —cos ct), υy = rc sin ct.

Далее получаем
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Дифференцируя проекции скорости, найдем

ax = rc2 sin ct, ay = rc2 cos ct

полое ускорение 

а = rs2

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Вектор aτ перпендикулярен векторуКасательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ответ: Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ0 и движется согласно уравнениям x-υ0t, Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике. Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υo, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие aт= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, ат непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение aт через скорость υ:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ0, aт=0. Затем с увеличением υ величина ат растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v0) aN=g, а затем с увеличением υ аN убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t2 (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем
Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

υ=bt2.

Найдем коэффициент пропорциональности

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

откуда, интегрируя, получаем

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

или в конце 20-й секунды

αт=3 м/ceκ2.

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Ответ. а = 3,75 м/сек2, s = 200 м.