Система сил на плоскости в теоретической механике

Содержание:

Различные случаи приведения плоской системы сил:

Плоской системой сил называют совокупность сил, расположенных в одной плоскости

Приведение плоской системы сил к точке. Для изучения плоской системы сил, т. е. совокупности сил, приложенных к твердому телу и расположенных в одной плоскости, приведем все силы к центру приведения, выбрав его где-либо в той же плоскости. Тогда мы получим в центре приведения плоский пучок сил, геометрически сложив которые, мы найдем главный вектор системы. Кроме того, при приведении всех сил к точке мы получим пары, расположенные в одной плоскости. Как уже было сказано, в плоской системе моменты сил относительно точки и моменты пар направлены перпендикулярно к плоскости системы в ту или другую сторону. Эти моменты вполне характеризуются величиной и знаком, а потому для вычисления главного момента плоской системы относительно центра приведения, лежащего в плоскости системы, нужно взять алгебраическую сумму моментов всех сил системы относительно центра приведения. Следовательно, система сил, произвольно расположенных на плоскости, эквивалентна главному вектору, равному геометрической сумме всех сил и приложенному к твердому телу в любой точке этой плоскости, и главному моменту, равному алгебраической сумме моментов всех сил относительно той же точки:

Величину главного вектора удобно вычислить по его проекциям на координатные оси, равным суммам проекций на эти оси всех сил плоской системы:

      (5)

Направление главного вектора можно определить по направляющим косинусам (6').

Если за центр приведения принято начало координат, то, выражая момент каждой силы плоской системы по (16) и суммируя, получим следующее выражение для главного момента плоской системы сил относительно начала координат:
      (29')

Задача №1

К твердому телу в точке A (x₁=+10, у =+4) приложена сила F₁ = 3, направленная вниз по вертикали; сила F₂ = 4 направлена по оси Ox в положительную сторону и приложена к тому же телу. Длины выражены в метрах и силы — в ньютонах. Направление осей координат обычное (Ох горизонтально вправо, Oy вертикально вверх). Привести обе силы к началу координат и заменить данную систему сил главным вектором и главным моментом (см. рис. 52).

Решение. Определив сумму проекций данных сил на оси координат, величину главного вектора вычислим по формуле (5), а его направление—по (6'): F_гл=5; cos а==0,800; cosβ = —=—0,600. Главный момент относительно начала координат вычислим по формуле (29') или (29): М_{гл. о} = —30.

Ответ. Главный вектор равен 5 н, приложен в начале координат и направлен вправо и вниз под углом 36^о52' к оси Ox и 126^о52' к оси Оу, главный момент равен —30 н∙м.

Если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующей

Случай приведения к равнодействующей

Величину и направление главного вектора произвольной системы сил определяют по формулам, аналогичным тем, по которым определяют равнодействующую системы сходящихся сил. Между тем главный вектор произвольной системы сил не является равнодействующей этой системы. В самом деле, равнодействующей называют силу, которая одна эквивалентна системе сил, а главный вектор сам по себе не эквивалентен данной системе сил, но эквивалентен ей только в совокупности с главным моментом.

Рис. 51

Главный вектор может быть равнодействующей плоской системы сил лишь в случае, если главный момент системы относительно центра приведения равен нулю. Тогда главный вектор один, без главного момента, эквивалентен данной системе сил.

Следовательно: если главный вектор не равен нулю, а главный момент относительно центра приведения равен нулю, то система приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения.

Если же главный момент не равен нулю, то мы можем представить его в виде пары сил, которые мы выберем равными главному вектору, а плечо h—равным отношению величин главного момента и главного вектора (рис. 51,а):

      (30)

Действие пары на тело не зависит от положения этой пары в ее плоскости, и мы вправе расположить ее так, чтобы одна из сил этой пары была направлена по линии действия главного вектора в сторону, ему противоположную (рис. 51,6). Тогда, отбрасывая эту силу вместе с главным вектором, как взаимно уравновешенные, мы получим только одну силу (рис. 51, в), эквивалентную данной системе; эта сила является равнодействующей данной системы. Мы видим, что равнодействующая по модулю равна главному вектору, параллельна ему по направлению, но отличается от него линией действия.

Следовательно: если главный вектор и главный момент плоской системы сил не равны пулю, то система приводится к равнодействующей, линия действия которой не проходит через центр приведения.

Учитывая, что главный вектор по величине и направлению равен равнодействующей (рис. 51), а также учитывая (29), можно равенство (30) переписать так:

        (18)

Мы получили теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно какой-либо точки, лежащей в этой плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно той же точки.

Задача №2

Найти равнодействующую системы сил, заданных в условии задачи №1.

Решение. При решении задачи № 15 данная система приведена к главному вектору 5 н и главному моменту —30 н^.м. Представим этот главный момент в виде пары, силы которой по модулю равны главному вектору, а плечо равно отношению величии главного момента и главного вектора, т. е. F= 5 и h==6. Момент пары отрицательный — вращение по стрелке часов. Расположим пару так (рис. 52), чтобы одна из ее сил уравновесила главный вектор. Система приведена к одной силе, равной и параллельной главному вектору, но линия действия этой силы отстоит от начала координат на 6 м. Нетрудно из (29') получить уравнение линии действия равнодействующей, т. е. —хЗ—у4 — —30.

Рис. 52

К тому же результату можно прийти (и в данном случае проще), если заданные силы F1 и Ft перенести в точку В пересечения их линий действия и там сложить.

Ответ. Равнодействующая равна 5 я и лежит на прямой 3x+4y = 30.

Если главный вектор системы сил равен нулю, а главный момент нулю не равен, то система приводится к паре сил

Случай приведения к паре

Исследуем случай, когда главный вектор системы равен нулю, но главный момент системы относительно центра приведения нулю не равен. Если главный вектор системы равен нулю, то, следовательно, нет и равнодействующей. Главный момент мы всегда можем представить в виде пары. Следовательно, если главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, то система приводится к паре сил.

Заметим, что главный момент не зависит от центра приведения в том случае, когда главный вектор системы равен нулю. В самом деле, если система сил эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, а момент пары, как известно (см. § 10), не зависит от центра моментов, то, следовательно, и главный момент (в этом случае) не зависит от центра приведения. Это ясно и из логических соображений: правильно (без ошибок) полученный результат приведения системы сил зависит только от данной системы, но не может зависеть от нашего подсчета. Он существует объективно, независимо от нас. Если система сил эквивалентна паре, то ясно, что, какую бы точку мы ни принимали за центр приведения, мы всякий раз должны получать одну и ту же пару и один и тот же главный момент.

Задача №3

В точках Л, В и C к твердому телу приложены силы , и . В некотором масштабе (например, 1 н = 1 см) эти силы изображаются направленными отрезками: =, =, = (рис. 53, а). Исследовать систему сил.

Решение. Выбрав за центр приведения какую-либо точку, например точку О, и перенеся по методу Пуансо в эту точку все силы, убедимся, что силовой многоугольник замкнут, а следовательно, главный вектор равен нулю. Главный момент системы относительно точки О равен алгебраической сумме моментов трех сил, изображаемых удвоенными площадями треугольников (рис. 53, б):

Рис. 53

Независимо от центра приведения О главный момент системы равен удвоенной площади треугольника АВС, т. е. система сил эквивалентна паре.

К такому же результату мы придем путем следующих рассуждений. Главный вектор системы (а следовательно, и равнодействующая) равен нулю, так как силовой многоугольник замкнут. Вместе с тем система данных трех сил не может находиться в равновесии, так как не удовлетворено необходимое условие равновесия трех сил: линии их действия не пересекаются в одной точке. Перенеся силу  (рис. 53, в) по ее линии действия в точку C и сложив ее с силой , получим равнодействующую этих двух сил, равную и противоположную третьей силе и составляющую вместе с ней пару сил.

Ответ. Данная система трех сил эквивалентна паре сил. 

Если главный вектор и главный момент системы сил равны нулю, то система сил находится в равновесии

Случай равновесия

Если дана система сил и, приведя ее к какому-либо центру, мы убеждаемся, что и главный вектор и главный момент системы равны нулю, то наличие этой системы эквивалентно ее отсутствию, т. е. система находится в равновесии.

Справедливо и обратное заключение: если данная система сил находится в равновесии, то главный вектор системы и главный момент системы относительно центра приведения равняются нулю. Следовательно, условия
       (31)

являются необходимыми и достаточными условиями равновесия плоской системы сил. И в этом случае главный момент не зависит от центра приведения. В самом деле, если система сил находится в равновесии, то равновесие не может нарушиться от того, выберем ли мы за центр приведения ту или иную точку плоскости.

Все возможные частные случаи приведения плоской системы сил к данной точке представлены в следующей таблице:

Fгл	0	0	0	0
Мгл	0	=0	0	=0
	Равнодействующая не проходит | проходит через центр приведения		Пара сил	Равновесие

Таблица систематизирует возможные случаи приведения плоской системы сил и не нуждается в пояснениях.

Равновесие плоской системы сил

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости

Первая форма уравнений равновесия

Условия равновесия (31) плоской системы сил можно переписать так:
    (32)

Первое из этих равенств является геометрическим. Мы можем заменить это геометрическое равенство двумя аналитическими, как это было сделано при отыскании аналитической формы условий равновесия плоского пучка сил. Оставляя второе из равенств (32) без изменений, мы получим условия равновесия плоской системы сил в следующем виде:

    (33)

Таким образом, для равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости.

Заметим, что оси координат не обязательно должны быть между собой перпендикулярны, а могут составлять любой отличный от нуля угол, если по условию задачи целесообразно дать им такие направления. Сумму моментов можно взять относительно любой точки плоскости системы сил, поскольку при равновесии системы главный момент ее не зависит от центра приведения.

Соотношения (33) называют условиями равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Если эти соотношения содержат неизвестные величины, то их называют уравнениями равновесия.

Задача №4

Однородная балка AB весом P = 20κΓ опирается на гладкий горизонтальный пол в точке В под углом 60° и, кроме того, поддерживается двумя опорами C и D. Определить реакции опор в точках В, C и D, если длина AB=3м, CB=0,5 м , BD= 1 м (рис. 54).

Решение. Порядок решения задач на равновесие плоской системы сил такой же, как и при решении задач на равновесие плоской системы сходящихся сил, только в данном случае мы имеем три, а не два уравнения равновесия.

Все искомые и известные силы в этой задаче действуют на балку АВ, поэтому рассмотрим равновесие балки АВ.

На балку действуют одна активная сила (собственный вес) и три реакции в трех точках опоры. Реакции, как всегда, направлены перпендикулярно виртуальным перемещениям. Таким перемещением балки АВ, не нарушающим ее связи с полом, является горизонтальное перемещение, и реакцию R_В мы направим вертикально вверх. Давая балке AB мысленные малые перемещения, не нарушающие ее связи с полом, мы не должны беспокоиться о том, чтобы эти перемещения не нарушили связи в других местах, например в точке С. Аналогично, определяя виртуальные перемещения в точке С, мы не заботимся о том, что при этом нарушается связь в точке В. Перемещениями, не нарушающими связи в точках C и D, являются перемещения вдоль балки (подобно смычку по струне), поэтому реакции в точках C и D направим перпендикулярно балке.

Строим оси координат:

Удачный выбор системы координат может упростить уравнения равновесия. Можно пользоваться и косоугольной системой координат, например, направив одну ось горизонтально, а другую—под углом 60° по BA. Мы направим оси, как указано на чертеже. Тогда

За центр моментов удобнее принимать точку, в которой пересекаются линии действия неизвестных по величине реакций. Так, в данном случае удобно принять точку, в которой пересекаются линии действия реакций R_B и R_C. В результате такого выбора обе эти реакции не войдут в уравнение моментов. Чтобы определить плечо реакции R_D, опустим перпендикуляр из центра моментов на линию действия этой реакции. Нетрудно видеть, что плечо CD = 0,5 м. Чтобы определить плечо силы тяжести, опустим перпендикуляр из центра моментов на линию действия этой силы. Получим cos 60° = 0,75 м. Реакция R_D относительно центра моментов направлена против хода часов (момент положителен), а сила тяжести — по ходу часов (момент отрицателен). Уравнение моментов имеет вид

Решая совместно все три уравнения равновесия, получаем ответ.

Ответ. R_B=20 κΓ, R_C.=30 κΓ,R_D = 30 кГ.

Для равновесия плоской системы сил необходимо н достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно трех каких-либо точек плоскости, не лежащих на одной прямой:

Система сил, действующих на балку АВ, состоит из двух пар сил. Рекомендуем решить эту задачу при помощи уравнения (26') равновесия системы пар на плоскости, по примеру задачи № 13. Вторая форма уравнений равновесия. Необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы сил можно выразить не только равенствами (33). К одному из других видов условий равновесия плоской системы сил приводит теорема, обычно называемая теоремой о трех моментах: для равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил системы относительно каждой из трех точек, произвольно взятых на плоскости, но не лежащих на одной прямой. Докажем эту теорему.

Пусть дана плоская система сил. Возьмем в плоскости произвольную точку А и определим сумму моментов всех сил относительно этой точки. Если бы сумма моментов не равнялась нулю, то система, конечно, не была бы в равновесии. Если же , то система может либо находиться в равновесии, либо быть приведенной к равнодействующей, проходящей через точку А (см. таблицу на стр. 79). Следовательно, написанное условие хотя и необходимо, но не достаточно для равновесия системы. Возьмем в той же плоскости другую произвольную точку В и определим сумму моментов всех сил системы относительно точки В. Если  ,   то это равенство вместе с предыдущим все же не может быть достаточным условием равновесия системы, поскольку равнодействующая системы (если она существует) может проходить через обе эти точки, тогда моменты равнодействующей относительно каждой из этих точек, а следовательно, и суммы моментов составляющих (теорема Вариньона) равны нулю, но система не в равновесии, а приводится к равнодействующей, проходящей через точки А и В.

Возьмем сумму моментов всех сил относительно третьей точки, выбрав эту точку C где-либо не на прямой АВ. Если сумма моментов всех сил системы относительно точки C равна нулю, то система находится в равновесии, так как равнодействующая не может проходить через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Следовательно, три равенства
      (34)

выражают, так же как и равенства (33), необходимые и достаточные условия равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости.

Если равенства (34) являются уравнениями равновесия, т. е. содержат неизвестные величины, которые нужно определить, то соответствующим выбором центров моментов A, B и C можно составить уравнения так, чтобы каждое из них содержало только одну неизвестную величину, и вместо системы трех уравнений с тремя неизвестными получить три уравнения, каждое из которых содержит только по одной неизвестной.

Задача №5

Однородный стержень длиной 2l и весом P прикреплен в точке В при помощи шарнира к стене (рис. 55), а в точке D опирается на угол другой стены. Найти все реакции, если известно, что точка D отстоит от первой стены на расстоянии а и находится на высоте b над шарниром В.

Решение. Равновесие какого тела надо рассматривать? Ответ на этот вопрос в данной задаче очевиден: равновесие стержня. Какие силы действуют на это тело? На него действуют вес Р, приложенный в середине стержня; реакция R_D в точке D, направленная перпендикулярно виртуальному перемещению, т. е. перпендикулярно стержню; реакция в шарнире В, которую мы раскладываем на две составляющие X_B н Y_B, поскольку направление реакции в шарнире обычно бывает неизвестно, хотя в данном случае это направление можно было бы определить по необходимому условию равновесия трех непараллельных сил . Теперь составляем уравнения равновесия, для чего воспользуемся равенствами (34).

Рис. 55

За центры моментов выберем точки пересечения линий действия искомых сил Эти точки обычно называют точками Риттера. Уравнения равновесия принимают вид:

Остается решить эти уравнения, содержащие по одной неизвестной.

Ответ. 

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек плоскости и сумма проекций всех сил на любую ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через эти две точки:

Третья форма уравнений равновесия

Если две из неизвестных сил параллельны друг другу и точка пересечения их, следовательно, уходит в бесконечность, то для решения задачи удобно воспользоваться третьим видом уравнений равновесия. Пусть суммы моментов плоской системы сил относительно произвольно выбранных точек А и В равняются нулю:

В таком случае, как только что было показано, система сил или находится в равновесии, или приводится к равнодействующей, проходящей через точки А и В. Спроецируем все силы на какую-либо ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки А и В. Если система сил ... приводится к равнодействующей, лежащей на  прямой АВ, то сумма проекций всех сил на g выбранную нами ось должна равняться модулю | этой равнодействующей, помноженному на коси- | нус утла между осью и прямой АВ. Если же система находится в равновесии, то сумма проекций всех сил равняется нулю. Обратно, если сумма | проекций всех сил на эту ось равна нулю, то, следовательно, равна нулю равнодействующая, т. е. эта система находится в равновесии.

Таким образом, для равновесия системы сил, расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил системы относительно двух произвольно
выбранных точек плоскости и сумма проекций всех сил системы на какую-либо ось Ох, не перпендикулярную к прямой, проходящей через выбранные центры моментов:
     (35)

Задача №6

Между двумя вертикальными стенами, находящимися на расстоянии а друг от друга (рис. 56), помещен стержень весом P и длиной 21, который может вращаться вокруг шарнира А. прикрепляющего конец его к одной из стен. Найти реакции опор.

Решение. 1. Равновесие какого тела надо рассмотреть? Равновесие стержня.
2.    Какие силы на это тело действуют? Вес Р; реакция в точке D, направленная перпендикулярно виртуальному перемещению стержня (стержень, не нарушая связи, можно перемещать вдоль стены, поэтому реакция Rq направлена перпендикулярно стене DC); реакция в шарнире А, которую мы разложим на X_А и Y_А.
3.    Составим уравнения равновесия в третьей форме, выбрав за центры моментов точки А и В, в которых пересекаются линии действия искомых реакций. Точка пересечения Rq и Xa находится в бесконечности, поэтому в качестве третьего уравнения возьмем сумму проекций всех сил на какую-либо ось, лишь бы эта ось не была перпендикулярна к АВ. Имеем

Определив из чертежа sin а и cos а и решая эти уравнения, содержащие по одной неизвестной, найдем ответ.

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на какую-либо ось, не перпендикулярную линиям действия сил, и сумма моментов относительно какой-либо точки:

Условия равновесия плоской системы параллельных сил

Если все силы системы параллельны друг другу, то одно из трех уравнений становится следствием двух Других.

В самом деле, в этом случае линия действия главного вектора (если он не равен нулю) параллельна линиям действия всех сил и для его определения достаточно взять сумму проекций всех сил на ось, параллельную их лилиям действия. Если сумма проекций всех сил равна нулю, то и главный вектор равен нулю. Если же, кроме того, равен нулю и главный момент, то система находится в равновесии. Справедливо и обратное заключение: если система параллельных сил, расположенных на плоскости, находится в равновесии, то равняются нулю сумма проекций сил на любую ось и сумма моментов сил относительной любой точки плоскости:

        (36)

Ось Ox может быть и не параллельной линиям действия сил, а составлять с ними какой-либо угол, кроме прямого. 

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух точек плоскости, не лежащих на прямой, параллельной линиям действия сил:

Пусть дана система сил, расположенных в одной плоскости и параллельных друг другу. Возьмем на этой плоскости произвольную точку А. Если , то система может либо находиться в равновесии, либо быть приведенной к равнодействующей, проходящей через точку А параллельно линиям действия составляющих сил. Возьмем сумму моментов всех сил относительно какой-либо точки В, выбрав эту точку так, чтобы прямая AB не была параллельна силам системы. Если сумма моментов относительно этой точки равна нулю, то система находится в равновесии, потому что равнодействующая не может проходить через точки А и В, так как должна быть параллельной силам системы. Поэтому равенства

       (37)

являются необходимыми и достаточными условиями равновесия плоской системы параллельных сил.

Задача №7

На двухконсольную горизонтальную балку действует пара сил (PP), на левую консоль —равномерно распределенная нагрузка интенсивности р, а в точке D правой консоли — вертикальная нагрузка Q. Определить реакции опор, если P=1Т, Q=2Т, p=2T∕м, а =0,8 м (рис. 57).

Рис. 57

Решение. Иногда (как в данной задаче), кроме сил, действующих на тело, имеется пара, заданная моментом. Силы пары равны и противоположны, поэтому пара сил не входит в уравнения проекций, но входит в уравнения моментов.

Рассмотрим равновесие балки CD. На балку действуют: 1) пара сил (PP) с моментом +P∙a= 0,8 T∙m∙, 2) вертикальная сосредоточенная нагрузка Q = 2T, приложенная в точке О; 3) равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем одной вертикальной силой (равнодействующей) p∙α=1,6T, приложенной в середине CA; 4) реакция R_В в подвижной опоре В, направленная перпендикулярно виртуальным перемещениям, т. е. вертикально; 5) реакция R_А в неподвижном шарнире А. Направление реакции в неподвижном шарнире, вообще говоря, неизвестно. Если повернем пару, изображенную на чертеже, на 90°, отчего, как известно, действие пары на балку не изменится, то все силы, действующие на балку, станут вертикальными, следовательно, и реакция R_А вертикальна. Для решения задачи составим уравнение равновесия в форме (36):

Пара сил в это уравнение не входит, но обязательно должна войти в уравнение моментов:

Решая совместно два этих уравнения, получим ответ.
Можно воспользоваться также и уравнениями (37). Тогда вместо уравнения проекций надо составить второе уравнение моментов:

Решая первое уравнение, найдем R_В, решая второе, найдем R_А.
Ответ. R_А=1,5Т, R_В = 2,1Т.

Задача №8

Балка AB длиной 4 м, весом 200 кГ может вращаться вокруг горизонтальной оси А и опирается концом В на другую балку CD длиной 3 м, весом 160 кГ, которая подперта в точκe E и соединена со стеной шарниром D. В точках M и N помещены грузы по 80кГ каждый. Расстояния: AM=3м, ED = 2м, ND=1м. Определить опорные реакции (рис. 58, а).

Решение. Балки AB и CD не являются одним твердым телом, а представляют собой систему сочлененных тел. Рассмотрим отдельно равновесие каждого тела под действием всех приложенных к этому телу сил.

1-й вопрос: равновесие какого тела рассматривать?
Ответ: равновесие балки АВ.

2-й вопрос: какие силы действуют на это тело?
Ответ: на балку AB действуют (рис. 58, б):

Рис. 58

а)    собственный вес балки 200 кГ, приложенный к середине балки н направленный по вертикали вниз;
б)    вес 80кГ груза М, направленный по вертикали вниз;
в)    реакция R_В со стороны балки CD, поддерживающей балку АВ. Эта реакция приложена к балке AB в точке В и направлена по вертикали вверх;
г)    реакция R_А в шарнире А. Эта реакция вертикальна, так как балка находится в равновесии, а все остальные действующие на балку силы направлены по вертикали. Нетрудно сообразить, что R_А направлена вверх.
Уравнения равновесия можно составить в форме (36) или в форме (37) по нашему желанию. Составим их в форме (37), приравняв нулю суммы моментов относительно точки А и относительно точки В:

Решая эти уравнения, находим R_А= 120 кГ, R_В = 160 кГ.

Теперь приступаем ко второй части задачи и опять задаем себе тот же вопрос: равновесие какого тела рассматривать? На этот раз рассмотрим равновесие балки CD. Какие силы на нее действуют? На нее действуют (рис. 58, в):
а)    собственный вес балки 160 кГ, приложенный в середине балки;
б)    вес 80 кГ груза N, приложенный между опорами E и D;
в)    давление балки АВ, приложенное к балке CD в точке С, направленное по вертикали вниз и (по закону равенства действия и противодействия) равное реакции R_В, а следовательно, равное 160 кГ;
г)    реакция R_Е, прило/кенная в точке E и направленная вверх;
д)    реакция RD. Эта реакция должна быть вертикальной, так как вертикальны все остальные действующие на балку силы, а балка находится в равновесии. Однако трудно сказать (без предварительных вычислений), направлена ли эта реакция вверх или вниз. При составлении уравнений равновесия примем условно, что RD направлена вверх, но если в результате решения уравнений мы получим отрицательную величину реакции RD, то это будет означать, что мы реакцию направили неверно, и тогда изменим ее направление на обратное. При правильном направлении сил значения их из уравнений равновесия должны всегда получаться положительными.

Возьмем сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно точки D:

Решая эти уравнения, находим ответ.
Ответ. R_А= 120 кГ, R_В =160 кГ, R_Е= 400 кГ, RD = 0.

Статически определенной задачей называют задачу о равновесии, в которой число неизвестных равно числу уравнений равновесия

Итак, имеется только два уравнения равновесия системы параллельных сил, расположенных в одной плоскости, вместо трех уравнений равновесия системы сил, расположенных на плоскости произвольно. Равновесие плоского пучка сил определяется двумя уравнениями, если же силы пучка не лежат в одной плоскости, то появляется третье уравнение равновесия, как это показано в гл. III.

В системе уравнений число неизвестных не должно превышать числа уравнений, иначе система уравнений не имеет однозначных решений.

Статически определенными задачами называют задачи о равновесии твердого тела, в которых число неизвестных равно числу уравнений равновесия. В противном случае задачи не могут быть решены методами статики и являются статически неопределенными.

Равновесием системы тел называют такое состояние, при котором каждое из тел находится в равновесии

Равновесие системы сил. Часто встречается необходимость в статическом расчете системы тел, так или иначе соединенных («сочлененных») между собой.

Силы, действующие на тела такой системы, можно подразделить на две категории: внешние - силы, приложенные к телам данной системы, но обусловленные наличием других тел, не входящих в эту систему, и внутренние - силы взаимодействия между телами одной и той же системы. Такое подразделение относится как к активным силам, так и к реакциям связей.

Если система находится в равновесии, то в равновесии находится каждое тело, входящее в состав этой системы. Мы можем рассматривать каждое тело отдельно от других тел системы и составить уравнения равновесия всех сил, приложенных к этому телу, не исключая и сил, обусловленных действием на это тело соседних тел системы, т. е. внутренних сил системы, приложенных к этому телу. Так было сделано, например, при решении задачи № 22 о равновесии двух балок.

Вместе с тем, пользуясь аксиомой затвердения, мы можем всю систему рассматривать как одно абсолютно твердое тело и составить уравнения равновесия всех внешних сил системы. Внутренние же силы в эти уравнения равновесия всей системы не входят, так как они взаимно уравновешиваются по принципу равенства действия и противодействия, поскольку взаимодействия каждых двух тел «затвердевшей» системы оказываются приложенными к частям одного абсолютно твердого тела.

Задача №9

На невесомую трехшарнирную арку ABC (рис. 59, а)

Рис. 59

действует вертикальная сила Р. Определить реакции шарниров А, В и С. Размеры указаны на чертеже.

Решение. Конструкция состоит из двух полуарок AB и ВС, сочлененных шарниром В. Собственным весом полуарок пренебрегаем, поэтому на арку ABC действуют следующие внешние силы: вертикальная сила P и реакции в шарнирах А и С.

Между полуарками имеется взаимодействие в точке В их сочленения. Одна нз этих внутренних сил системы приложена к полуарке АВ, другая равна ей по величине, обратна по направлению, но приложена к полуарке ВС. Если всю арку рассматривать как твердое тело, то эти две силы учитывать не надо, так как они оказываются приложенными к одному твердому телу и, следовательно, взаимно уравновешивают друг друга. В уравнения равновесия всей арки войдут только внешние силы системы:

Имеем три уравнения с четырьмя неизвестными.
Для определения горизонтальной реакции в шарнире С, а также R_В, рассмотрим равновесие всех сил, действующих на полуарку ВС. На эту полуарку действуют (рис. 59, б): реакции X_С и Y_С в шарнире C (внешние реакции системы) и реакция в шарнире В (внутренняя реакция для всей системы, но внешняя для полуарки ВС) со стороны полуарки АВ. Эту реакцию мы тоже разложим по осям координат на X_В и Y_В- Составим уравнения равновесия для полуарки ВС:

Мы получили три уравнения, содержащие четыре неизвестных, но две из этих неизвестных входят также и в предыдущие три уравнения. Всего мы имеем шесть уравнений с шестью неизвестными. Решая уравнения, получим ответ.

Ответ.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Жесткая заделка

Задачи на тему: жёсткая заделка

Задача №10

Брус, вес которого Р= 100 кГ, приложен в точке С, жестко заделан в стену, образуя с ней угол а =60° (рис. 60, а). Внутри угла DAВ лежит цилиндр весом Q = 180 кГ, касающийся бруса в точке Е, причем АЕ=0,3 м и AC = 0,4 м. Определить реакцию заделки.

Решение. Если балка заделана в стену, то на заделанный конец балки действует система распределенных сил (реакций). Приведем их по методу Пуансо к точке А, заменим одной неизвестной реакцией заделки (с проекциями X_А и Y_А) и одним неизвестным моментом заделки М. Эти три неизвестные определим из уравнений равновесия сил, действующих па балку.

Чтобы определить реакцию заделки (X_А, Y_А и М), надо составить три уравнения равновесия сил, действующих на брус, и, решив их, найти три неизвестные величины. Однако среди сил, действующих на брус, имеется еще одна неизвестная (четвертая)—сила давления F цилиндра, приложенная к брусу в точке Е.

Для определения этой силы предварительно рассмотрим равновесие цилиндра (рис. 60, б), на который действуют вес Q = 180 кГ, реакция R' стены, направленная горизонтально вправо (перпендикулярно виртуальным перемещениям цилиндра вдоль стены), и реакция R" бруса, направленная влево вверх, перпендикулярно брусу (перпендикулярно виртуальным перемещениям цилиндра по брусу). По принципу равенства действия и противодействия эта реакция R" по величине равна, а по направлению противоположна силе F давления цилиндра на брус.

Рис. 60

Из системы сил, действующих на цилиндр, надо определить лишь одну (R" ), а потому достаточно одного уравнения равновесия, если составить его так, чтобы в него не входила другая неизвестная (R")> Таким уравнением может быть уравнение  относительно какой-либо точки, лежащей на линии действия R' (кроме точки 0), или . Сумма проекций на вертикальную ось всех сил, приложенных к цилиндру, имеет вид

откуда 

Сила F давления цилиндра на брусок равна , но направлена в противоположную сторону (рис. 60, в).

Кроме силы F, на брусок действуют его вес Р = 100 кГ и реакция в заделке, которую мы представили проекциями X_А и Y_А, а также моментом М.

Уравнения проекций и моментов всех сил, приложенных к бруску, напишем, приняв за центр моментов точку А:

Решая эти уравнения, находим неизвестные величины.

Ответ. X_А =—103,8 кГ; Y_А = +280 кГ^. M = +96,9 кГ^. м.

Знак минус перед реакцией X_A показывает, что направление реакции противоположно принятому на рис. 60, в. Это и очевидно, так как давление цилиндра стремится выдернуть брусок из заделки.

Определение внутренних усилий в стержнях фермы

Задачи на тему: Определение внутренних усилий в стержнях фермы

Задача №11

Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы крана (рис. 61, а) при нагрузке G = 8 Т. Весом стержней пренебречь.

Решение. В задаче требуется определить опорные реакции и внутренние усилия в стержнях фермы. Под фермой понимают жесткое сооружение, состоящее из стержней, соединенных шарнирами.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие крана. На кран действуют три внешние силы: 1) вес груза G = 8T; 2) реакция R₂ в опоре O₂, направленная вертикально вверх, перпендикулярно виртуальным перемещениям, и 3) реакция R₁ в шарнире O₁. Реакции в шарнирах мы обычно раскладывали по координатным осям и определяли проекции из уравнений равновесия. Очевидно, что в данном случае проекция R₁ на горизонтальную ось равна нулю, потому что все остальные действующие на кран внешние силы вертикальны, следовательно, вертикальна и реакция R₁. Эта реакция направлена вниз, так как груз стремится повернуть кран вокруг опоры O₂.

Определим плечо силы G относительно O₂. Треугольник O₁AO₂ равносторонний и AO₂ = 3 л. В прямоугольном треугольнике ABO2 катет AO2 равен половине гипотенузы, следовательно, угол AO₂В = 60°. Таков же угол, составляемый BO₂ с горизонтальной прямой, и искомое расстояние h = 6 cos 60° = 3. Итак,

откуда 

Переходим к определению внутренних усилий в стержнях фермы. Как уже было сказано (см. задачу № 8), усилием в стержне называют силу, действующую вдоль стержня, растягивающую или сжимающую его; если стержень растянут, то на шарнир действует сила, направленная к стержню, а если сжат, то от него. В уравнения равновесия, выводимые в статике твердого тела, входят только внешние силы, потому что внутренние силы согласно принципу равенства действия и противодействия попарно равны и противоположны.

Для определения внутренних усилий в стержнях фермы надо рассмотреть равновесие не всей фермы, а лишь части ее, мысленно разрезав ферму, отбросив одну из отрезанных частей и заменив отброшенную часть силами, направленными вдоль разрезанных стержней. Этот метод определения внутренних усилий 1 называют методом РОЗ по первым буквам слов, определяющих те операции, которые надо проделать (разрежем, отбросим, заменим).

Итак, для определения внутренних усилий в стержнях фермы надо сначала определить реакции, а потом:
1)    разрежем мысленно ферму на две части, но так, чтобы разрезано было не более трех стержней с неизвестными усилиями, потому что мы имеем всего три уравнения равновесия. При этом нельзя разрезать ферму так, чтобы все три разрезанных стержня с неизвестными усилиями были между собой параллельны или же все три сходились в одной точке, потому что для этих случаев мы имеем всего по два уравнения. Например, если усилия в стержнях AO₁, AO₂ и AB неизвестны, то не следует мысленно отрезать узел А. Можно сначала отрезать узел В, определить усилие в стержне АВ, а затем уж отрезать узел А, тогда из двух уравнений равновесия сил, приложенных к шарниру А, определим усилия в стержнях AO₁ и AO₂. C этим ограничением можно не только разрезать ферму, но и вырезать из фермы отдельные шарниры. Разрежем ферму крана, как показано на чертеже (рис. 61, б);
 

Рис. 61

2)    отбросим мысленно одну из частей, на которые разрезана ферма. Принципиально говоря, безразлично, которую из частей отбросить. Отбросим верхнюю часть (рис. 61, в). В результате этих действий жесткость фермы нарушилась бы и, чтобы сохранить равновесие оставленной части фермы, необходимо к ней приложить внешние силы, в точности такие же, как внутренние усилия в соответствующих стержнях неразрезанной фермы. Поэтому мы
3)    заменим отброшенную часть фермы неизвестными по величине силами, направив их по разрезанным стержням в сторону от оставленной части, т. е. наружу (рис. 61, г). Если среди разрезанных стержней имеются такие стержни, усилия в которых известны, то наружу мы их направляем только в том случае, если стержень растянут; когда стержень сжат, мы направляем вектор, изображающий это усилие внутрь, к шарниру. Эти силы, равные внутренним усилиям в стержнях, обозначают буквой S с индексом, соответствующим номеру стержня. Теперь составим уравнения равновесия оставленной части фермы. Здесь удобно применить третий вид (35) уравнений равновесия:

Решая эти уравнения, находим

Знаки минус при полученных из уравнений значениях усилий в третьем и в четвертом стержнях показывают, что направления сил на рис. 60, г нужно изменить на противоположные, так как эти стержни не растянуты, а сжаты.
Чтобы определить усилия в других стержнях, надо снова применить метод РОЗ, разрезав ферму по другим стержням;
4)    разрежем ферму, как показано на чертеже (рис. 60,д);
5)    отбросим одну часть, например правую (рис. 60, е);
6)    заменим отброшенную часть силами, направленными по стержням.
Если усилие в стержне неизвестно, то условно считаем, что стержень растянут, и направляем силу от шарнира: S₅ и S₂ (рис. 60, ж). Если же усилие в разрезанном стержне уже известно, то направляем его от шарнира, когда стержень растянут, и к шарниру, когда стержень сжат (усилие в третьем стержне, равное 4,6 T на рис. 60, ж). Затем составляем и решаем уравнения равновесия:

Из этих двух уравнений находим S₂ и S₅.

Ответ: в тоннах: R₁ = 8 (вниз), R₂= 16 (вверх), усилия в стержнях: S₁ = +9,2; S₂ = -4,6; S₃ = -4,6; S₄ = -13,8; S₅ = +8,0.

Заметим, что ферму (и вообще всякую неизменяемую механическую систему) называют статически определимой, если внутренние усилия ее элементов при любой нагрузке могут быть найдены из уравнений статики. В противном случае систему называют статически неопределимой.

Силы трения

Максимальное значение силы трения скольжения равно произведению нормального давления и коэффициента трения: F_мaκc = fN

Кулоново трение

Трение материальных тел связано с явлениями не только механического, но и электрического, термического, внутримолекулярного и пр. характера, и изучение трения относится к области физики. Трудами советских и зарубежных ученых открыты законы и выведены формулы, определяющие силы трения. Точные формулы очень сложны, но в технике обычно пользуются для приближенного определения трения простыми соотношениями, установленными еще в XVIII в. Ш. Кулоном опытным путем. Для вывода закона трения по Кулону проделаем опыт, обычно называемый опытом Морена, по имени одного из основателей научной практической механики. Однако этот же опыт еще задолго до Морена проделал Amohtoh — один из первых серьезных исследователей трения.

К телу (рис. 62), лежащему на горизонтальной негладкой плоскости, прикреплена перекинутая через блок нить, к другому концу которой привязана чашка с грузом. На тело действуют следующие силы: вес G, реакция R плоскости, натяжение Q нити, равное весу груза, приложенного к концу нити, сила трения F_тр направленная против натяжения нити. Из условия равновесия тела следует, что при покое тела сила трения равна и противоположна той силе Q, которая стремится вывести это тело из состояния покоя.

Рис. 62

Постепенно увеличивая груз Q, а следовательно, и натяжение нити, мы убедимся, что тело начнет двигаться, как только это натяжение достигнет определеной величины. До тех пор, пока натяжение нити меньше этой величины, оно уравновешивается силой трения, и тело находится в покое. Отсюда можно сделать заключение: при покое тела увеличение силы, стремящейся привести тело в движение, вызывает увеличение силы трения от нуля до известного предела F_мaκc, больше которого сила трения быть не может. Этот предел называют силой трения скольжения при начале движения:

       (38)

Как показывает опыт, максимальное значение силы трения пропорционально нормальному давлению:

       (39)

Под нормальным давлением мы понимаем составляющую полного давления, перпендикулярную к соприкасающимся плоскостям. Так, если тело веса G лежит на плоскости, составляющей угол а с плоскостью горизонта (см. рис. 63). то нормальное давление N = Gcos а.

Безразмерный коэффициент пропорциональности

называют статическим коэффициентом трения скольжения.
Сопоставляя равенства (38) и (39), находим, что во время покоя тела действующая на тело сила трения

       (38^/)

После начала движения коэффициент трения скольжения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента трения скольжения:

Согласно приближенным кулоновым законам трения коэффициенты трения скольжения не зависят ни от давления, ни от величины трущихся поверхностей, ни от скорости. Они зависят от физической природы трущихся тел, от шлифовки поверхностей, от расположения волокон и, конечно, от смазки. Числовые значения статического и динамического коэффициента трения имеются в любом техническом справочнике.

Статический коэффициент трения скольжения равен тангенсу угла трения.

Угол трения, тангенс трения, конус трения

Коэффициенты трения легко можно определить экспериментальным путем. Пусть тело (рис. 63) лежит на наклонной плоскости OA, угол наклона которой мы можем изменять по нашему желанию. На тело действуют три силы: вес G, сила трения скольжения F_тр, направленная вдоль плоскости соприкосновения тел, и реакция R плоскости, перпендикулярная к этой плоскости, по величине равная нормальному давлению N.

Рис. 63

Будем постепенно увеличивать угол наклона до тех пор, пока тело не начнет двигаться вниз по плоскости. Угол наклона плоскости, при котором начинается скольжение, называют углом трения α_тр для данной пары трущихся материалов. Если, например, тело сделано из бронзы, а плоскость стальная, то α_тр есть угол трения бронзы по стали.

Построим оси координат, как показана на чертеже, и составим уравнения равновесия:

Отсюда

Сравнивая это равенство с (39), находим, что статический коэффициент трения скольжения равен тангенсу угла трения. Тангенс угла трения иногда коротко называют тангенсом трения.

Реакцию, перпендикулярную к опорной поверхности (рис. 64, а), называют идеальной реакцией в отличие от полной реакции, выражающейся геометрической суммой идеальной реакции и силы трения.

Таким образом, сила трения является касательной составляющей полной реакции, идеальная реакция — нормальной составляющей полной реакции, а угол трения — углом максимального возможного отклонения полной реакции Pτp опорной поверхности от нормали к ней.

Если мы будем поворачивать силу P вокруг этой нормали, то также будут поворачиваться сила трения и полная реакция. При этом полная реакция опишет конус с осью, нормальной к поверхности соприкосновения тел, и с углом при вершине, равным удвоенному углу трения. Этот конус, называемый конусом трения, является геометрическим местом всевозможных направлений полной реакции R_тр.

Пусть к телу, лежащему на негладкой поверхности, весом которого можно пренебречь (рис. 64, б), приложена сила Р, составляющая угол β с нормалью к этой поверхности, как показано на чертеже. Убедимся, что сила P не может привести тело в движение, если угол β меньше угла трения α_тр. Разложим силу P на две составляющие:

Составляющая P₁ стремится привести тело в движение, a P₂ давит на поверхность, вследствие чего возникает сила трения F_тр, направленная против составляющей P₁. Движение тела под действием силы P произойдет лишь в том случае, если составляющая P₁ будет больше максимально возможного значения силы трения:

или, принимая во внимание предыдущие равенства,

Деля обе части неравенства на P cos β, получим следующее необходимое условие движения тела:

В это условие не входит значение силы P и надо сделать такое заключение: если на тело, лежащее на негладкой плоскости, оказывает давление сила, линия действия которой лежит внутри конуса трения, то, сколь бы велика ни была такая сила, она не приведет тело в движение.

Этим правилом широко пользуются в технике, на нем построены теория клина, теория самоторможения и др.

Рис. 65

Задача №12

Идеально сыпучее тело, лежащее на горизонтальной плоскости, принимает форму конуса. Определить угол наклона образующей к горизонтальной плоскости (угол естественного откоса).

Решение. Рассмотрим равновесие какой-либо частицы M (рис. 65), находящейся на поверхности конуса. На частицу действуют

1)    вес G, направленный по вертикали вниз;
2)    реакция/? соседних частиц сыпучего тела, направленная перпендикулярно возможному перемещению частицы и равная нормально му давлению частицы на поверхность конуса;
3)    сила трения Fтр=fN, направленная по образующей вверх. Многоугольник (треугольник) сил, действующих на частицу, должен быть замкнут, так как она находится в равновесии и

Но коэффициент трения, как известно, равен тангенсу угла трения, следовательно, угол естественного откоса равен углу трения:

Угол естественного откоса, называемый также углом ската, имеет большое значение при проектировании различных насыпей, элеваторов, овощехранилищ и пр.

Задача №13

Сколько яровой пшеницы можно насыпать на круглую площадку диаметром 10 м, если вес 1 л яровой пшеницы равен 750 Г, а f =0,75?

Решение. Умножив насыпной вес яровой пшеницы 0,75 Т/м3 на объем конуса , где φ—угол естественного откоса, получим ответ.
Ответ. 98 T.

Задача №14

Лестница AB (рис. 66) прислонена к стене под углом 30°. По лестнице поднимается человек весом P. Пренебрегая весом лестницы, определить наибольшее расстояние ВС, на которое может подняться человек, не уронив лестницы, если коэффициент трения лестницы о пол и о стену f = tg 15°.

Рис. 66

Решение. Рассмотрим равновесие лестницы в предельном положении. На лестницу действуют: 1) вес P человека, приложенный в точке С; 2) полная реакция Rтр.А в точке А, направленная вправо н вверх под углом 90° —15° = 75° к стене, так как в предельном положении она составляет с идеальной реакцией угол, равный углу трения; 3) полная реакция R_тр.B в точке В, направленная вверх и влево под углом 75° к полу. Уравнения равновесия имеют вид:

Определив R_тр.B из первого уравнения, подставим во второе:

Умножив это уравнение на sin 15°, найдем, что R_тр.А = P sin 15°, и, подставляя это значение в третье уравнение равновесия, получим

откуда 

Если человек поднимается по лестнице выше AB/2, то три силы, действующие на лестницу, не пересекутся в одной точке, и необходимое условие равновесия трех непараллельных сил (см. § 3) будет нарушено. Если же человек будет находиться на лестнице ниже, то равновесие сохранится, так как угол трения является максимальным углом, который может составлять полная реакция с идеальной реакцией. В этом случае сила трения будет меньше произведения коэффициента трения на нормальное давление, и три приложенные к лестнице силы пересекутся в одной точке.

Момент пары, противодействующей качению тела по опорной поверхности, называют моментом трения качения.

Трение качения

В различных задачах механики надо учитывать трение, возникающее при качении тел. Оно не может быть объяснено в механике абсолютно твердого тела, а потому мы коснемся его лишь в общих чертах.

Пусть перпендикулярно к оси цилиндрического катка (рис. 67) веса G и радиуса r, лежащего на негладкой горизонтальной поверхности, приложена горизонтальная сила . Вследствие деформаций катка и опорной поверхности их касание происходит не в одной точке, а по некоторой площадке, и нормальная реакция бывает смещена относительно вертикальной плоскости симметрии катка на некоторое расстояние δ. В направлении, обратном силе , в том месте, где каток касается опорной поверхности, возникает сила , которую называют силой трения качения. Во время равновесия катка эта сила по модулю равна F и составляет с ней пару , уравновешиваемую парой (GR), момент которой называют моментом трения качения. Плечо δ этой пары при предельном равновесии называют коэффициентом трения качения. Отметим, что в отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения коэффициент трения качения имеет размерность длины и его выражают в миллиметрах, поэтому оба эти коэффициента — величины несравнимые. Неправильно было бы считать, что трение качения всегда меньше, чем трение скольжения. Они зависят от свойства трущихся тел. Летом ездят на колесах, а зимой на санях.

Рис. 67

Момент трения качения вполне это трение характеризует, но иногда бывает удобно пользоваться силой трения качения, величину которой

      (40)

легко получить из равенств моментов двух пар.