Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела, составленного из тонких однородных стержней

Задача 122-23. Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис. 178), изогнутой из тонкой проволоки.

Решение.

1.    Фигура состоит из четырех прямых отрезков: Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

2.    Оси координат расположим так, чтобы они совпали с отрезками DE (ось х) и DB (ось у). Так как фигура плоская, третья ось здесь не нужна.

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

3.    Для центров тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикекаждого отрезка соответственно найдем, исходя из размеров фигуры, их координаты.

а    Обозначив Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикекоординаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикенайдем, что
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
координаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

координатыОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
координатыОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
Для удобства, а также ввиду того, что координаты центров тяжести можно определить непосредственно по рисунку, данные для подстановки в формулы следует представлять в таком виде:

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
4. Подставим значения Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике в формулы (2) и сделаем вычисления:
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
5. Отложив вдоль осей х и у найденные координаты, отметим на рис. 178 положение центра тяжести С данной фигуры.

Задача 123-23. Определить положение центра тяжести плоской фигуры ОАВ, изогнутой из тонкой проволоки в виде квадранта (рис. 179).

Решение 1.

1.    Фигура состоит из трех частей: двух прямолинейных отрезков 1 и 2 длиной r и дуги 3, равной четверти окружности.
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

2.    Совместив оси координат с прямолинейными отрезками ОА и ОВ (рис. 179, а), приведем данные для подстановки в формулы:

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Координаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике находим из прямоугольного треугольника Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

но по формуле (5)
поэтомуОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике
3.    Подставим значение Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеи координат Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикев формулы (2) и сделаем вычисления:
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Решение 2.

1.    Так как фигура имеет одну ось симметрии, проходящую по биссектрисе прямого угла, одну из осей координат целесообразно совместить с осью симметрии (рис. 179, б)

В этом случае общий центр тяжести отрезков ОА и ОВ (точка Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике находится на оси симметрии (оси х).

2.    Определим исходные данные для подстановки в формулы (2):

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
3. Найденные значенияОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механикеи координат Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеподставим в формулы (2):

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике.
Сравнивая Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике из первого решения, видим, что (см. 2

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Задача 124-23. Определить положение центра тяжести пространственно изогнутой проволочной фигуры (рис. 180); размеры — в мм.

Решение.

1.    Расположив проволочную фигуру в осях координат как показано на рис. 180, разделим ее на пять прямолинейных участков 1, 2, 3, 4 и 5 и отметим точкамиОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механикецентры тяжести каждого участка.

2.    Найдем исходные данные для подстановки в формулыОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике — длины участков и координаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

3.    Найденные исходные данные подставим в формулы (2) и вычислим координаты центра тяжести всей фигуры:
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
4.    Таким образом, центр тяжести фигуры расположен в точке С (55,0; 62,2; 7,2).

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача 125-23. Определить положение центров тяжести плоской и пространственной проволочных фигур, показанных на рис 181
(размеры в мм).

Ответ (в осях, показанных на рис. 181);

а)    С (85,5; 26,5);

б)    С (6; 9,95; -2,19).
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести фигур, составленных из пластинок

Задача 126-24. Определить положение центра тяжести фигуры, составленной из трех тонких плоских пластинок прямоугольной формы, пересекающихся друг с другом под прямыми углами (рис. 182); размеры —в мм.

Решение.

1.    Поместим начало координат в вершине трехгранного угла и расположим оси координат вдоль линий пересечения пластинок.

Фигура состоит из трех прямоугольников с центрами тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикерасположенными на пересечении прямых, соединяющих середины противоположных сторон.

2. Исходя из размеров фигуры, определим необходимые данные для подстановки в формулы (3): Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике— площади прямоугольников и координаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике их центров тяжести:

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

3. Подставим эти данные в формулы (4) и вычислим искомые координаты центра тяжести фигуры:
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Центр тяжести фигуры расположен в точке С (13,7; 30,4; 8,5).

В последней задаче, а также в задачах, приведенных в предыдущем параграфе, расчленение фигур на составные части не вызывает особых затруднений. Но иногда фигура имеет такой вид, который позволяет разделить ее на составные части несколькими способами, например тонкую пластинку прямоугольной формы с треугольным вырезом (рис. 183). При определении положения центра тяжести такой пластинки ее площадь можно разделить на четыре прямоугольника (1, 2, 3 и 4) и один прямоугольный треугольник 5 — несколькими способами. Два варианта показаны на рис. 183, а к б.

Наиболее рациона.льным является тот способ деления фигуры на составные части, при котором образуется наименьшее их число. Если в фигуре есть вырезы, то их можно также включать в число составных частей фигуры, но площадь вырезанной части считать отрицательной. Поэтому такое деление получило название способа отрицательных площадей.

Пластинка на рис. 183,в делится при помощи этого способа всего на две части: прямоугольник 1 с площадью всей пластинки, как будто она целая, и треугольник 2 с площадью, которую считаем отрицательной.

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Задача 127-24. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, имеющей ось симметрии. Формаш размеры пластинки показаны на рис. 184.

Решение.

1.    Пластинка имеет ось симметрии, на которой находится центр тяжести. Совместим с осью симметрии ось у, а ось х — с нижним краем пластинки.
2.    Дополнив пластинку до прямоугольника ABCD, разобьем ее тем самым на три части: 1, 2 и 3.
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике

3.    Определим площади каждой части в Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеи координаты их центров тяжести в см:
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
4.    Определим ординату центра тяжести пластинки, подставив найденные значения во вторую формулу системы (3):
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
Таким образом, центр тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеимеет ординату

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
Задача 128-24. Определить положение центра тяжести плоской однородной пластинки ABCDEFG, размеры которой в см указаны на рис. 185.

Решение.

1.    Разбиваем пластинку на два прямоугольника АВСО и OHFG и на треугольник DHE, площадь которого считаем отрицательной.

2.    Начало координат помещаем в точке О, ось х совмещаем с прямой AG, ось у — с прямой CD.

3.    Определяем площади Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикесоставных частей и координаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикеОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механикеих центров тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

4.    Подставляем найденные значения площадей и координат в две первые формулы (3) и производим .вычисление:

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Таким образом, центр тяжести пластинки находится в точке Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике(4,8; 9,8).

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Задача 129-24. Определить положение центров тяжести тонких однородных пластинок, форма и размеры которых показаны на рис 186.

Ответ: Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

§ 28-8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ПРОФИЛЕЙ СТАНДАРТНОГО ПРОКАТА
При решении задач, приведенных в этом параграфе, нужно пользоваться таблицами из ГОСТа на прокатную сталь (табл. 1—4).
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Эти таблицы для каждого профиля содержат их размеры и площадь, а для уголков и швеллера, кроме того, — координаты центров тяжести.
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Задача 130-25. Определить положение центра тяжести симметричного сечения, составленного, как показано на рис. 187, из полосы размером 120x10 мм, двутавра № 12 (ГОСТ 8239—56) и швеллера Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике14 (ГОСТ 8240—56).

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Решение.

1.    Разбиваем сечение на три части: / — полоса, //—двутавр и /// — швеллер.

2.    Находим площади каждой части, выражая их в Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике. Площадь полосы определяем путем перемножения двух данных размеров, а площади двутавра и швеллера —по таблицам из ГОСТа.

Площадь сечения полосы

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Площадь сечения двутавра № 12

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Площадь сечения швеллера № 14

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

3.    Данное сечение имеет вертикальную ось симметрии. Совместим с этой осью ось у, а ось х проведем через середину двутавра через точку Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике— центр тяжести его сечения. Центр тяжести сечения полосы Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике расположен ниже точки Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике, принятой в данном случае за начало координат, на расстоянии

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Центр тяжести швеллера Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикенаходим при помощи тех же таблиц из ГОСТа Положение центра тяжести швеллеров в таблицах обозначено одной координатой Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике; для швеллера № 14 Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике = 1,66 см, следовательно,

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Таким образом,

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

4.    Подставляем эти значения в расчетную формулу для ординаты Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

В выбранных осях положения центра тяжести сечения выражены координатами Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Это значит, что центр тяжести сечения находится от его нижнего края (от точки А) на расстоянииОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Задача 131-25. Определить положение центра тяжести сечения, составленного, как показано на рис 188, из трех профилен стандартного проката: швеллера Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике10 (ГОСТ 8240—56), двутавра Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике12 (ГОСТ 8239—56) и неравпобокого уголка № 5/3,2 (размеры 50x32x4 мм ГОСТ 8510—57).

Решение.

1.    Разбиваем сечение на три части: / — швеллер, //-двутавр и ///—неравнобокий уголок.

2.    Начало координат поместим в вершине прямого угла неравнобокого уголка; ось х совместим с нижней полкой двутавра,

а ось у — с его вертикальной осью симметрии.

3 При помощи таблиц из ГОСТа находим:

площадь сечения швеллера Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

площадь сечения двутавра № 12 Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

площадь сечения уголка Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

4.    В таблицах из ГОСТа положение центра тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике швеллераОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механикепоказано одной координатой Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике 1,55см, так' как швеллер имеет одну ось симметрии. Положение центра тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикедвутавра в таблицах не показано, так как он имеет две оси симметрии и его центр тяжести расположен на их пересечении. Положение центра тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механикенеравнобокого уголка № 5/3,2 показано двумя координатами: Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Располагаем центры тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике на рисунке (см. рис. 188), а затем при помощи таблиц находим их координаты в выбранных осях, учитывая другие необходимые размеры профилей, которые также берутся из таблиц: координаты центра тяжестиОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

координаты центра тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

координаты центра тяжести Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

5.    Таким образом,

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

6.    Подставляем эти значения в расчетные формулы:

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

7.    Центр тяжести данного составного сечения имеет координаты (в мм) Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике(5,4; 82,3).

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача 132-25. Определить положение центра тяжести трех сечений, составленных из профилей стандартного проката, как показано на рис. 189.

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Ответ (в мм):

а)    С (0; 31,1);

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму

Чтобы решать задачи на определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму, необходимо иметь навыки определения координат

центра тяжести фигур, составленных из линий или площадей.

Задача 133-26. Определить положение центра тяжести тела, составленного из куба /, имеющего горизонтальную цилиндрическую канавку //, и прямоугольного параллелепипеда Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике (рис. 190); размеры —в мм.

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Решение.

1. Тело состоит из куба /, полуцилиндра //, объем которого считаем отрицательным, так как он вырезан из объема куба /, и прямоугольного параллелепипеда Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

2. Отметив на рисунке положение центра тяжести составных частей Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике—центр тяжести куба, Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике— центр тяжести полуцилиндра и Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике—центр тяжести параллелепипеда), найдем исходные величины для подстановки их в формулы (4) - объемы Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике- и координатыОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механикеОпределение положения центра тяжести тела в теоретической механикеих центров тяжести:

Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
3.    После подстановки в расчетные формулы имеем:
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике
Таким образом, центр тяжести данного тела находится в точке Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике(44; 216; 106).

Эту точку рекомендуется отметить на рис. 190 самостоятельно.
Определение положения центра тяжести тела в теоретической механике

Задача 134-26 (для самостоятельного решения). Определить положение центра тяжести тела, форма и размеры (в мм) которого показаны на рис. 191.

Ответ. С (122; 184; 80).

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

КИНЕМАТИКА
В кинематике изучаются законы движения материальных точек и твердых тел с чисто геометрической стороны. Законом движения точки или тела можно назвать такую совокупность математических образов и уравнений, которая в любой момент времени позволяет установить, где находится точка или тело, куда и как они движутся. При этом в кинематике не рассматриваются вопросы, почему точка или тело двигается именно так, а не иначе. Эти вопросы изучаются в разделе «Динамика».

Прежде чем решить задачи но кинематике, необходимо выяснить следующее:

а)    можно ли данный в задаче движущийся предмет рассматривать как материальную точку или его нужно считать твердым телом;

б)    в какой форме закон движения задан в задаче.

Необходимость выяснения первого положения вызывается тем,

что законы движения материальных точек (предметов, формой и размерами которых можно пренебречь) и законы движения твердых тел (предметов, состоящих из множества материальных точек), как правило, отличаются друг от друга.

От способа задания закона движения зависит ход решения задачи.