Мгновенный центр вращения в теоретической механике

Мгновенный центр вращения:

Для двух бесконечно близких положений плоской фигуры вместо центра конечного вращения получим так называемый мгновенный центр вращения. Любое плоское перемещение фигуры можно приближенно заменить последовательностью вращательных перемещений вокруг своих центров конечного вращения. В пределе плоское перемещение фигуры можно заменить бесконечной последовательностью элементарных мгновенных поворотов вокруг мгновенных центров вращений, расположенных в определенной последовательности.

Рис. 71

Отсюда следует, что любое плоское движение фигуры можно заменить последовательностью мгновенных вращений, совершаемых за тот же промежуток времени, что и рассматриваемое плоское движение. Можно ввести угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра вращения или, точнее, вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр вращения и перпендикулярной плоскости движения.

При плоском движении фигуры мгновенный центр вращения перемещается как в неподвижной, так и в подвижной плоскости, скрепленной с движущейся плоской фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости называют неподвижной центроидой, а геометрическое место этих же мгновенных центров вращения на подвижной плоскости, скрепленной с движущейся фигурой,— подвижной центроидой. Для каждого плоского движения фигуры существуют свои две центроиды: подвижная и неподвижная. Очевидно, что точка плоской фигуры, с которой в рассматриваемый момент совпадает мгновенный центр вращения, имеет скорость, равную нулю; следовательно, она является в то же время мгновенным центром скоростей.

При плоском движении фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде. Эта теорема позволяет плоское движение твердого тела рассматривать как качение без скольжения одной плоской кривой по другой.

Центроиды нашли применение в некоторых вопросах кинематики механизмов. Рассмотрим пример нахождения центроид.

Пример:

Стержень

Решение. Скорость точки может быть направлена только по , а точки —только по , так как траекториями этих точек являются указанные прямые. Восстанавливая перпендикуляры в точках и к этим направлениям, получаем положение точки , которая и будет мгновенным центром скоростей на подвижной плоскости, скрепленной со стрежнем, и мгновенным центром вращения на неподвижной плоскости. Из рисунка видно, что во все время движения, как диагональ прямоугольника. Следовательно, неподвижная центроида является окружностью радиусом   с центром в точке .

На подвижной плоскости , скрепленной со стрежнем , точка обладает аналогичным геометрическим свойством, так как , поэтому подвижной центроидой является окружность радиуса  с центром в точке .

При качении подвижной окружности по неподвижной концы и диаметра окружности движутся прямолинейно соответственно по прямым и . Повернув на произвольный угол вокруг точки  в плоскости чертежа оси координат и рассмотрев этот случай после закрепления осей координат в новом положении, можно убедиться, что центроидами являются те же окружности. Следовательно, другие две точки подвижной окружности движутся прямолинейно.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Таким образом убеждаемся, что все точки подвижной окружности движутся по прямым линиям, проходящим через центр неподвижной окружности . Это свойство точек подвижной окружности можно использовать для преобразования вращательного движения в прямолинейное поступательное движение.

Рис. 72

В общем случае движения плоской фигуры мгновенный центр скоростей— точка — и мгновенный центр ускорений —точка — являются различными точками этой фигуры (рис. 72). Эти точки совпадают, если плоское движение вырождается во вращательное движение вокруг неподвижной оси.

Выберем точку плоской фигуры и отметим точки и . Поставим задачу — указать формулы, по которым можно вычислить проекции ускорения точки на оси  и , и . Ось перпендикулярна оси и . Точка является мгновенным центром ускорений. Следовательно, ускорение

и направлено всегда к точке ; проекция ускорения на перпендикулярное направление

Точка является мгновенным центром скоростей. Скорость точки перпендикулярна , а скорость всегда направлена по касательной к траектории. Следовательно, ось есть касательная к траектории и проекция ускорения на нее является касательным ускорением и вычисляется по формуле для касательного ускорения

Ось перпендикулярна касательной; следовательно, это главная нормаль траектории. Проекция ускорения на это направление вычисляется по формуле для нормального ускорения

Если , то траектория точки обращена выпуклостью к точке ; если , то вогнутостью.

Кажется, что у точки два различных нормальных и касательных ускорения. Но  и — касательное и нормальное ускорения абсолютного движения точки по отношению к неподвижной системе координат (на рис. 72 не показана), a и — соответственно касательное и нормальное ускорения относительного движения точки по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно относительно неподвижной вместе с точкой . Переносное ускорение точки  совпадает с абсолютным ускорением точки , а оно равно нулю, так как эта точка фигуры является мгновенным центром ускорений.