Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Содержание:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки:

Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки называют такое движение, при котором одна точка тела остается все время неподвижной. Это вращение часто называют сферическим движением твердого тела в связи с тем, что траектории всех точек тела при таком движении располагаются на поверхностях сфер, описанных из неподвижной точки. Тело, совершающее вращение вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как закрепление одной точки тела уменьшает число степеней свободы на три единицы, а свободное тело имеет шесть степеней свободы. Одной из главных задач при изучении вращения тела вокруг неподвижной точки является установление величин, характеризующих это движение, т. е. углов Эйлера, угловой скорости, углового ускорения, и вывод формул для вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки (Углы Эйлера)

Три степени свободы, которые имеет тело при вращении вокруг неподвижной точки, требуют для задания положения тела относительно какой-либо системы координат трех независимых величин. Эти три величины, или параметра, можно задать различными способами. В теоретической механике наибольшее применение получили так называемые углы Эйлера, рассмотренные ниже.

Через неподвижную точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Первый из этих углов—угол прецессии Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — определяет положение линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, которая является линией пересечения координатных плоскостей Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике относительно неподвижной координатной оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг координатной оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, которую называют осью прецессии. Положение линии узлов при движении тела изменяется как относительно неподвижной системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, так и относительно движущегося тела, т. е. подвижной системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Угол Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике от положительной части оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до положительного направления линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике считается положительным, когда он отсчитывается против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. За положительное направление на линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике выбираем то ее направление, с которого поворот оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике к оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике на наименьший угол виден происходящим против часовой стрелки.

Вторым углом Эйлера является угол между координатными плоскостями Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Его измеряют углом Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике между перпендикулярами к этим координатным плоскостям, которыми являются оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Угол Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике отсчитывают от оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике в положительном направлении, если направление поворота оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике с положительного направления линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике происходит против часовой стрелки.

Угол Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике называют углом нутации, а ось Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, вокруг которой вращается тело при изменении угла Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, соответственно называют осью нутации или линией узлов.

Для полного определения положения рассматриваемого тела относительно системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике нужно задать угол между подвижной осью координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и положительным направлением линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механикеугол собственного вращения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Угол Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике от линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике считается положительным, если вокруг оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике поворот оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике от линии Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике виден происходящим против часовой стрелки.

При изменении угла Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тело вращается вокруг так называемой оси собственного вращения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, перпендикулярной плоскости, в которой лежат прямые Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, образующие этот угол. Таким образом, угол Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике определяет положение подвижной координатной оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике относительно линии узлов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 74

Углы Эйлера широко применяются  в теории гироскопов. Движение гироскопа, т. е. симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии и быстро вращающегося вокруг этой оси, в общем случае можно представить состоящим из трех движений (рис. 74): вращения с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии, или оси собственного вращения, при котором изменяется угол собственного вращения (р; вращения гироскопа вместе со своей осью симметрии вокруг неподвижной оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике,  при котором изменяется угол прецессии Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Третье движение совершает ось симметрии, которая, участвуя в прецессионном движении, описывает коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке, а вследствие изменения угла нутации Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике описывает в общем случае волнистую поверхность.

Если угол Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике не изменяется, то коническая поверхность является круговым конусом. Если коническую поверхность пересечь плоскостью, перпендикулярной оси прецессии, то получится кривая линия, на которой возможны узловые точки, или точки возврата. Известно, например, что земной шар кроме собственного вращения вокруг своей оси еще прецессирует и совершает нутационное движение.

В технике особенно важное значение имеет так называемая регулярная прецессия, когда угловые скорости вращения вокруг оси собственного вращения и вокруг неподвижной оси прецессии постоянны и угол между этими осями (угол нутации) остается тоже постоянным.

При вращении тела вокруг неподвижной точки в общем случае изменяются все три угла Эйлера: Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Углы Эйлера являются независимыми параметрами, или обобщенными координатами, характеризующими положение тела с одной неподвижной точкой относительно неподвижной системы координат. Задание трех углов Эйлера для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, как функций времени является необходимым и достаточным для полного описания такого движения тела.

Итак, для определения положения тела с одной неподвижной точкой в любой момент времени надо задать углы Эйлера как однозначные функции времени, т. е.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Уравнения (1) являются уравнениями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Если эти уравнения заданы, то в любой момент времени известно положение твердого тела относительно системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Отметим, что углы Эйлера не являются единственной комбинацией трех независимых углов для тела, имеющего одну неподвижную точку. Существуют и другие комбинации углов, определяющих положение одной системы координат относительно другой.

Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку

Тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку. Эту ось называют осью конечного вращения.

Положение тела с неподвижной точкой относительно некоторой системы отсчета можно полностью определить, если задать на какой-либо неподвижной сфере, описанной из неподвижной точки тела, положение сферической фигуры, скрепленной с этим телом. За сферическую фигуру можно принять любую часть поверхности сферы таким же радиусом, что и радиус неподвижной сферы, который обычно принимают равным единице. За сферическую фигуру можно принять также всю сферу единичного радиуса.

При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса движется по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, крепленной со сферой.

Пусть положение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тела характеризуется дугой большого круга Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, описанной из неподвижной точки тела, а в положении Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике—той же дугой, но в другом положении на сфере Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (рис. 75). Аналогично тому, как находится центр конечного вращения для плоской фигуры при плоском перемещении, найдем точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике на сфере в случае тела, имеющего одну неподвижную точку. Для этого соединяем точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике с Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике с Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике дугами большого круга, проведенными из неподвижной точки тела и целиком лежащими на неподвижной сфере. В серединах дуг Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике из точек Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике проводим сферические перпендикуляры, т. е. дуги большого круга Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике касательные к которым перпендикулярны в точках Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике соответственно касательным дуг Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике  и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

 Рис. 75

Эти перпендикуляры, лежащие на сфере, пересекутся в точке Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Из равенства прямоугольных сферических треугольников Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, имеющих общий катет Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и равные катеты Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, следует, что гипотенузы этих сферических треугольников тоже равны, т. е. точки 5 и й, равноудалены от точки Р.

Аналогично доказывается, что точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тоже одинаково удалены от точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Если повернуть заштрихованный сферический треугольник Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вокруг оси, проходящей через точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и неподвижную точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, то этот треугольник, перемещаясь по сфере, совпадет всеми своими точками с равным ему по трем сторонам сферическим треугольником Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, так как сферический угол на сфере, на который надо повернуть вокруг Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике дугу Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до совпадения с дугой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, равен сферическому углу на той же сфере, на который надо повернуть дугу Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до совпадения с дугой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Итак, путем поворота вокруг оси, перпендикулярной поверхности сферы и проходящей через точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и, следовательно, проходящей также и через центр сферы, где расположена неподвижная точка, тело можно переместить из одного положения в любое другое. Для каждых двух положений тела получаются соответствующая точка Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и, следовательно, соответствующая ось конечного вращения, проходящая через эту точку и неподвижную точку тела.

Мгновенная ось вращения (Аксоиды)

Ось, вокруг которой следует вращать тело, имеющее одну неподвижную точку, для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения (или мгновенной осью) для данного момента времени.

Любое движение тела вокруг неподвижной точки можно заменить последовательностью вращений вокруг совокупности мгновенных осей. Геометрическое место мгновенных осей относительно неподвижных осей координат, по отношению к которым рассматривается движение тела, называется неподвижным аксоидом. Неподвижный аксоид является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке тела, так как все мгновенные оси проходят через неподвижную точку.

Геометрическое место мгновенных осей в движущемся теле представляет подвижный аксоид, являющийся также конической поверхностью. Для каждого движения твердого тела вокруг неподвижной точки имеется пара аксоидов. При этом, когда тело совершает вращение вокруг неподвижной точки, подвижный аксоид катится по неподвижному без скольжения, так как общая образующая этих аксоидов в каждый момент времени служит мгновенной осью, вокруг которой вращается тело, и, следовательно, все точки оси в рассматриваемый момент времени неподвижны. Если подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному аксоиду, то осуществляется движение тела вокруг неподвижной точки.

Очевидно, что при плоском движении твердого тела конические аксоиды являются цилиндрическими поверхностями, которые в пересечении с плоскостью движения плоской фигуры образуют центроиды для этой фигуры.

Практически понятие аксоидов используется для классификации видов прецессионных движений гироскопов.

Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки

Так как движение тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый момент времени можно считать вращением вокруг мгновенной оси, то в качестве величин, характеризующих это движение, можно ввести мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Очевидно, вводимая угловая скорость является векторной величиной, направленной в каждый момент времени по соответствующей мгновенной оси, и при использовании правой системы координат вектор угловой скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлен по мгновенной оси так, что с направления этого вектора видно вращение тела вокруг мгновенной оси против часовой стрелки. Модуль вектора угловой скорости можно выразить через элементарный угол поворота Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вокруг мгновенной оси за время Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Элементарный угол поворота Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, аналогично случаю вращения тела вокруг неподвижной оси, следует рассматривать как угол между двумя положениями в моменты Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике подвижной плоскости, скрепленной с телом и проходящей через мгновенную ось в момент времени Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Введенный таким образом вектор угловой скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике характеризует угловую скорость вращения вокруг мгновенной оси, направление мгновенной оси и направление вращения тела вокруг этой оси. Вектор угловой скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно прикладывать в любой точке мгновенной оси (рис. 76).

За вектор углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике при вращении тела вокруг неподвижной точки принимают вектор, который характеризует изменение угловой скорости со в данный момент как по числовой величине, так и по направлению. Известно, что такой характеристикой является производная по времени от вектора угловой скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Таким образом, угловое ускорение

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 76

Так как угловая скорость может изменяться по модулю и направлению, то в общем случае угловое ускорение не направлено по мгновенной оси, а имеет направление как производная по времени от вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, параллельное касательной к годографу этого вектора. Условимся угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике изображать в любой точке прямой, параллельной этой касательной годографа Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, но проходящей через неподвижную точку тела.

Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки

При рассмотрении вращательного движения тела вокруг неподвижной оси получена векторная формула Эйлера, по которой скорости точек тела полностью характеризуются общей для всех точек тела угловой скоростью вращения и расположением точек тела относительно оси вращения.

Формула Эйлера справедлива и для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

В этом случае в каждый момент времени тело вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку, с угловой скоростью со, направленной по мгновенной оси. Точки тела, лежащие на мгновенной оси, имеют скорости, равные нулю, как и в случае неподвижной оси вращения.

Следовательно, линейные скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной точки можно вычислять также по векторной формуле Эйлера, как и в случае вращения вокруг неподвижной оси, только радиус-вектор каждой точки удобно проводить из неподвижной точки тела.

Итак, скорость Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике какой-либо точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тела (рис. 77), по векторной формуле Эйлера,

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Модуль скорости

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси.

Таким образом, скорости точек тела пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенной оси. Направление скорости какой-либо точки тела перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, а следовательно, перпендикулярно отрезку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 77

Если требуется найти модуль угловой скорости тела в определенный момент времени, то для этого, согласно (3), достаточно разделить скорость какой-либо точки в этот же момент времени на кратчайшее расстояние от этой точки до мгновенной оси.

Мгновенную ось в конкретных задачах часто находят из механических условий задачи, т. е. в рассматриваемый момент времени она всегда проходит через две неподвижные точки тела. Так, если движущееся тело касается в какой-либо точке неподвижной поверхности другого тела и при этом нет скольжения, то мгновенная ось проходит через эту неподвижную в данный момент времени точку.

В случае качения без скольжения одного конуса по другому, неподвижному, конусу (рис. 78) мгновенной осью является та общая образующая этих конусов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, вдоль которой в данный момент времени они касаются друг друга. Если, например, скорость Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике известна, то угловая скорость подвижного конуса

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — угол полураствора подвижного конуса.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 78

Проекции угловой скорости тела Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике как на подвижные, так и неподвижные оси координат можно определить также через углы Эйлера как функции времени, характеризующие положение тела относительно неподвижной системы координат.

Если спроецировать правую и левую части (2) на координатные оси, то получим формулы Эйлера для проекций скоростей Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механикеВращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике— координаты точек тела, скорости которых определяются.

Если взять точки тела, лежащие на мгновенной оси в рассматриваемый момент времени, то для них скорости равны нулю, а следовательно, приняв равными нулю  Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механикеВращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике,Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, из (4) получим следующие уравнения для координат этих точек:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Эти уравнения можно представить в виде

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Для определенного момента времени формула (5) является уравнением мгновенной оси. Если же величины, входящие в (5), рассматривать как функции времени, то она будет представлять собой уравнения подвижного или неподвижного аксоида (в параметрической форме) в зависимости от того, в какой системе координат она составлена.

Если Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике  являются текущими координатами точки мгновенной оси относительно подвижных осей, скрепленных с движущимся телом, а Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — проекции угловой скорости тела на эти оси, то формула (5) является уравнением подвижного аксоида.

Если вместо подвижных осей координат взять неподвижные оси, относительно которых рассматривается движение тела, и проекции угловой скорости тоже взять на эти оси, то тогда формула (5) будет уравнением неподвижного аксоида.

Скорость какой-либо точки можно вычислить как первую производную по времени от радиуса-вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике этой точки, проведенного из неподвижной точки. С другой стороны, скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, можно вычислить по векторной формуле Эйлера (2). Следовательно, производная по времени от радиуса-вектора любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определится по формуле

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Длина радиуса-вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике как расстояние между двумя точками твердого тела является постоянной величиной при движении этого тела. Следовательно, равенство (6) можно рассматривать как формулу для вычисления производной по времени от вектора, модуль которого постоянен, и изменение этого вектора происходит только вследствие вращения его с угловой скоростью со вместе с телом вокруг неподвижной точки.

Если взять подвижную систему координат  Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, скрепленную с телом, которое вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, то для единичных векторов Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, направленных по этим осям координат, как для векторов, модули которых постоянны, на основании (6) имеем:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Формулы (7) называют формулами Пуассона.

Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки

Формулу для ускорения какой-либо точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, нельзя получить непосредственно используя формулу для ускорения при вращательном движении вокруг неподвижной оси, так как в рассматриваемом случае угловое ускорение в общем случае не направлено по оси вращения, а следовательно, и по а>. Во всем остальном формулы для ускорения в этих случаях полностью аналогичны.

Формулу для ускорения какой-либо точки тела Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно получить путем дифференцирования по времени вектора скорости, учитывая, что скорость вычисляют по формуле (2). Выполняя это дифференцирование, получаем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Так как

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

то

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Формулу (8) часто называют формулой Ривальса. Часть общего ускорения точки

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

называют вращательным ускорением, а другую часть

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

осестремительным ускорением. Следовательно, формула (8) примет вид

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

т. е. ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорений.

В общем случае вращательное и осестремительное ускорения не перпендикулярны; следовательно, модуль ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вычисляют как диагональ параллелограмма по формуле

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рассмотрим вращательное и осестремительное ускорения по отдельности. Вращательное ускорение вычисляют по формуле (9), аналогичной формуле (2) для скорости точки. Только здесь вместо угловой скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике входит угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Поэтому вращательное ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлено аналогично скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике если тело вращается в рассматриваемый момент времени с угловой скоростью, равной угловому ускорению Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Модуль вращательного ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике определяют аналогично модулю скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике [см. формулу (3)]:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — кратчайшее расстояние от точки тела до линии, по которой направлено угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (рис. 79). Формула (13) для Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике получается из (9):

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

гдеВращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 79

Из (13) следует, что вектор углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике расположен на прямой линии, проходящей через неподвижную точку. В противном случае эта точка имела бы не равное нулю вращательное ускорение.

Модуль осестремительного ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно получить из формулы (10):

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

так как угловая скорость Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике перпендикулярна скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Осестремительное ускорение направлено по перпендикуляру к мгновенной оси, опущенному из точки, для которой оно вычисляется, т. е. по отрезку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, так как, являясь векторным произведением Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, оно перпендикулярно плоскости, где находятся эти векторы, и имеет направление вектора этого векторного произведения. Если ввести вектор Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, направленный по перпендикуляру от мгновенной оси к рассматриваемой точке, то

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси угловое ускорение и угловая скорость направлены по этой оси; тогда расстояния Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, равны. Следовательно, вращательное ускорение превращается в касательное ускорение, а осестремительное— в нормальное или центростремительное ускорение.

Таким образом, вращение тела вокруг неподвижной точки можно рассматривать как более общее движение, чем вращение тела вокруг неподвижной оси.

Вычисление углового ускорения

Для вычисления ускорения точек тела необходимо знать угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Рассмотрим два основных способа его вычисления.

1.    Если известны проекции угловой скорости на подвижные или неподвижные оси координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, то проекции углового ускорения на те же оси определяют по формулам

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

По проекциям легко найти модуль углового ускорения и косинусы его углов с осями координат.

2.    Другой способ определения углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике основан на его разложении на две взаимно перпендикулярные составляющие. Если ввести единичный вектор Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, направленный по Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, то

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Составляющая Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике полного углового ускорения  Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлена по вектору Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, когда Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, и противоположно ему при Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Составляющая Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике полного углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике всегда перпендикулярна Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, так как производная по времени от единичного вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике есть вектор, перпендикулярный дифференцируемому единичному вектору и, следовательно, перпендикулярный вектору Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Составляющая углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике является полным угловым ускорением при вращении тела вокруг неподвижной оси, так как составляющая Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике в этом случае равна нулю. Вычислим составляющую углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Часто угловая скорость постоянна по модулю и изменяется только по направлению. В этом случае составляющая Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и полное угловое ускорение совпадает с Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Если же угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике не равно нулю, то его можно вычислить отдельно и затем, сложив с составляющей Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, определить полное угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Итак, если угловая скорость постоянна, то

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

В этом случае воспользуемся определением углового ускорения через угловую скорость непосредственно:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Учитывая, что Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, и применяя формулу, аналогичную производной по времени от радиуса-вектора [см. формулу (6)], когда радиус-вектор постоянен по длине, будем иметь

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — угловая скорость вращения дифференцируемого по времени вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, т. е. угловая скорость вращения мгновенной оси, по которой направлен вектор Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Модуль углового ускорения можно найти аналогично скорости точки, т. е.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где расстоянием Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике является Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — кратчайшее расстояние от конца вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до оси, по которой направлена угловая скорость  Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (рис. 80).

Вектор углового ускорения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике пройдет через неподвижную точку и будет параллелен касательной к годографу вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Окончательно направление Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике берут в соответствии с формулой (18), т. е. по направлению вращения мгновенной оси в зависимости от угловой скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 80

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 81

Рассмотрим теперь пример на вычисление угловой скорости, углового ускорения и линейных скоростей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Пример с решением

Круговой конус I с углом раствора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике катится без скольжения по внутренней стороне неподвижного конуса II с углом раствора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (рис. 81). Скорость точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике подвижного конуса постоянна и равна Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Определить угловую скорость и угловое ускорение подвижного конуса, а также скорости и ускорения точек Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике этого конуса.

Решение. Мгновенной осью конуса I является образующая Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Если скорость точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлена от плоскости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике во внешнюю сторону, то угловая скорость конуса Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлена по мгновенной оси от точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике к точке Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Числовое значение угловой скорости

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Скорость точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике равна нулю, так как эта точка находится на мгновенной оси. Скорость точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вычисляем по формуле

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Скорость Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике перпендикулярна плоскости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и направлена от нее во внешнюю сторону.

Угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вычисляем по формуле (19):

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Годографом вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике является окружность радиуса Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Если рассмотреть плоскость, в которой находятся мгновенная ось Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, ось подвижного конуса Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и ось неподвижного конуса Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (плоскость рисунка), то при движении конуса I эта плоскость вращается вокруг оси неподвижного конуса Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, расположенной в указанной плоскости, а следовательно, вокруг этой оси вращается и мгновенная ось Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, находящаяся в этой плоскости. Угловую скорость этого вращения Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно определить, если скорость какой-либо точки этой плоскости, участвующей только во вращении вокруг Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и не имеющей другого движения, разделить на кратчайшее расстояние от этой точки до оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Отмеченными выше свойствами обладают все точки, расположенные на оси подвижного конуса Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Выбрав на этой оси точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, имеем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике—кратчайшее расстояние от точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике до Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Так как

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

то

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Таким образом,

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Так как скорость точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлена во внешнюю сторону от рисунка, то мгновенная ось Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вращается вокруг Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике по часовой стрелке и, следовательно, угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлено перпендикулярно плоскости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике во внешнюю сторону.

Ускорение какой-либо точки подвижного конуса можно определить по формуле

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Для точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике расстояние Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и поэтому Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Для вращательного ускорения имеем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, а следовательно, и полное ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике этой точки направлены перпендикулярно Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и находятся в плоскости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. С положительного направления вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направление Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике должно быть направлено как скорость при вращении против часовой стрелки вокруг Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Для точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике направлено по Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике от точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике к точке Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, а ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике—перпендикулярно Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и расположено в плоскости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Полное ускорение точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике вычисляется как диагональ параллелограмма, построенного на ускорениях Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, т. е.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Отметим, что Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно получить, если угловую скорость Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, направленную по мгновенной оси, разложить по правилу параллелограмма по осям подвижного и неподвижного конусов. Тогда составляющая по оси неподвижного конуса и будет угловой скоростью Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Общий случай движения свободного твердого тела

Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное

Рассмотрим общий случай движения свободного твердого тела, т. е. тела, имеющего шесть степеней свободы. Покажем, что самое общее движение свободного твердого тела можно представить состоящим из поступательного движения вместе с какой-либо точкой тела и вращательного движения вокруг этой точки.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 82

Положение тела относительно какой-либо системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике полностью определяется заданием трех точек тела, не лежащих на одной прямой, или заданием треугольника, скрепленного с телом (рис. 82). Треугольник Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, а следовательно, и тело, скрепленное с ним, из одного положения I в любое другое положение II можно переместить одним поступательным перемещением вместе с какой-либо точкой тела (например, точкой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, когда подвижная система координат  Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике перемещается поступательно) и поворотом относительно подвижной системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, т. е. вокруг оси, проходящей через эту точку.

Поступательная часть перемещения тела зависит от выбора точки, вместе с которой перемещается тело, а вращательная часть перемещения вокруг оси или вокруг точки не зависит от выбора точки. Поступательную часть перемещения можно поменять местами с вращательной частью, и, наконец, их можно выполнять одновременно, т. е. пока тело совершает поступательное перемещение из одного положения в другое, за это же время можно осуществить и поворот тела вокруг точки на требующийся угол.

Если два положения тела бесконечно близки, то истинное элементарное перемещение свободного твердого тела можно заменить элементарным поступательным перемещением вместе с какой-либо точкой тела и элементарным поворотом вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку, осуществляемыми за то же время, что и истинное перемещение, тела.

Любое движение свободного твердого тела, таким образом, можно заменить совокупностью поступательных движений вместе с какой-либо точкой тела и вращений вокруг этой точки, совершаемых за то же время, что и истинное движение. Поступательное движение вместе с точкой тела и подвижной системой координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике является переносным движением, а движение тела относительно этой подвижной системы координат, являющееся в каждый момент времени вращением вокруг своей мгновенной оси, проходящей через эту подвижную точку тела, есть относительное движение.

Итак, любое движение свободного твердого тела можно составить из поступательного движения вместе с подвижной системой координат и сферического движения относительно этой системы координат. Для относительного сферического движения можно ввести угловую скорость Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и угловое ускорение Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, которое является первой производной по времени от Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, как в случае вращения тела вокруг неподвижной точки.

Угловую скорость и угловое ускорение относительного вращательного движения вокруг какой-либо точки тела называют в общем случае угловой скоростью и угловым ускорением свободного твердого тела. Эти величины не зависят от выбора точки тела. От выбора точки тела зависит только переносное поступательное движение тела.

Уравнения движения свободного твердого тела

В общем случае для определения положения свободного твердого тела относительно системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике достаточно задать относительно этой системы координат положение другой системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, движущейся поступательно относительно первой системы вместе с ка-кой-либо точкой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике рассматриваемого тела, и углы Эйлера, определяющие положение системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, скрепленной с движущимся телом, относительно системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (рис. 83).

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 83

Для простоты предположим, что оси Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике соответственно параллельны осям Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Таким образом, положение свободного твердого тела относительно системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике полностью определяется, если относительно этой системы задать координаты точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тела как однозначные функции времени и углы Эйлера подвижной системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, скрепленной с движущимся телом, относительно системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, поступательно движущейся вместе с точкой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тела:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Уравнения (20) являются кинематическими уравнениями движения свободного твердого тела в общем случае его движения. Этих уравнений шесть, т. е. столько, сколько степеней свободы у свободного твердого тела. Первые три уравнения (20) определяют переносное движение тела вместе с точкой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механикеО, вторые три уравнения определяют вращательное движение вокруг этой точки.

Первые три уравнения для рассматриваемого движения свободного твердого тела зависят от выбора точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике тела; последние три уравнения (углы Эйлера) не зависят от выбора точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, вокруг которой рассматривается вращение тела.

Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае

Так как движение свободного твердого тела в общем случае можно представить как сложное движение, то и скорость, и ускорение какой-либо точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике этого тела можно вычислить соответственно по теоремам сложения скоростей и ускорений (рис. 84). Так, для скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 84    

Переносным движением является поступательное движение тела вместе с точкой О этого тела. Следовательно, скорости поступательного переносного движения одинаковы у всех точек тела и равны скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Относительное движение есть вращение вокруг точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, и, следовательно, скорость относительного движения можно вычислить по векторной формуле Эйлера:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — радиус-вектор точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике,  проведенный из точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике; Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике —угловая скорость вращения тела вокруг точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике или подвижной мгновенной оси, проходящей через точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 85

Окончательно для скорости точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике получим следующую формулу:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Формулу (21) можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

справедливого для любого момента времени. Возьмем полные производные по времени от обеих частей равенства, учитывая изменения векторов относительно неподвижной системы координат Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Имеем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Здесь Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — скорости точек тела Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике соответственно. Модуль вектора Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике как отрезка, соединяющего две точки тела, не изменяется при движении этого тела. Следовательно, по формуле производной по времени от вектора постоянного модуля получаем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Объединяя результаты, получаем формулу (21):

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Так же как и при плоском движении твердого тела, часть скорости Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно истолковать как скорость от вращения тела вокруг точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Ускорение а точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике (рис. 85) в частном случае, когда переносное движение является поступательным, определяем по формуле

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Ускорения переносного движения всех точек тела равны ускорению Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, так как за поступательное переносное движение принимается движение вместе с точкой Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике.

Ускорение относительного движения, как и при вращении тела вокруг неподвижной точки, состоит из вращательной и осестремительной составляющих, т. е.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — угловое ускорение тела.

Окончательная формула для ускорения точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике свободного тела в общем случае его движения имеет вид

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

или на основании формулы Ривальса

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Формулу (23) можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства для скоростей (21), справедливого в любой момент времени. Вычисляя полные производные по времени, при определении которых учитываются изменения векторов относительно неподвижной системы координат, получаем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Здесь Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — ускорения точек Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механикеВращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике— угловое ускорение.

Учитывая, что вектор Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике является вектором постоянного модуля, имеем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Окончательный результат выразится в форме

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Заметим, что если в кинематике свободного твердого тела в качестве точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике можно брать любую точку тела, то в динамике в качестве такой точки оказывается выгодным выбирать центр масс тела.

При выборе различных точек тела в качестве полюса изменяются скорость и ускорение полюса. Угловая скорость и угловое ускорение при этом не изменяются. Докажем это для угловой скорости, используя (21).

Пусть Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике и Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — две точки свободного твердого тела (рис. 86). Приняв за полюс точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, для скорости точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике имеем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — угловая скорость вращения тела вокруг точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Аналогично, приняв за полюс точку Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике, для скорости точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике получим

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

где Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике — угловая скорость вращения тела вокруг точки Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Из (25) и (26) имеем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

Рис. 86

для любых двух точек свободного твердого тела. Эти точки можно выбрать так, чтобы Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике не было параллельно вектору Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике. Тогда получаем

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

т. е. угловая скорость свободного твердого тела не зависит от выбора полюса. Она инвариантна по отношению к выбору полюса.

Так как равенство (27) справедливо для любого момента времени, то, дифференцируя его по времени, получим

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в теоретической механике

т. е. вектор углового ускорения свободного твердого тела тоже не зависит от выбора полюса.