Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Векторное исчислени

Основы векторного исчисления:

Существуют две категории физических величин: скалярные и 
векторные. 

Скалярные и векторные величины

Скалярные величины характеризуются при выбранной единице меры одним числом. Сюда относятся, например, масса, объем тела, время, температура и т. п. 

Векторные величины в отличие от скалярных характехарактеризуются, помимо численного значения, еще своим направлением в пространстве; к векторным величинам относятся сила, перемещение, скорость и ускорение точки, напряжение и т. п. 

Условимся .в дальнейшем в тексте и на рисунках обозначать векторы жирными буквам  латинского или греческого алфавита: 

Векторное исчислени

Скаляры и численные значения векторов условимся обозначать светлым 
шрифтом латинского или греческого алфавита: 

Векторное исчислени

Так, например, если величина А вектора А (рис. 1) равна 5 кГ, а выбранный ними масштаб таков, что 1 см соответствует 1 кГ, то длина А изобразится отрезком в 5 см. 

Векторное исчислени

Рис. 1.

Иногда вектор обозначают двумя буквами, стоящими в начале и в конце вектора с чертой наверху, а его модуль обозначается теми же буквами, но без черты. 

Так, например, вектор А (рис. 1) можно обозначать через Векторное исчислени,  а его модуль — через Векторное исчислени

Типы векторов

Имеются три типа векторов — свободные, скользящие (или передвижные) и определенные. 

Вектор называется свободным, если по смыслу выражаемой им величины начало вектора может быть взято в любой точке пространства. Начало передвижного вектора может быть передвинуто вдоль линии действия вектора, и, наконец, начало определенного вектора всегда скреплено с определенной точкой пространства. 

Два свободных вектора А и В называются равными, если они имеют одинаковую численную величину и одинаковое направление. Два передвижных вектора равны один другому, когда они, помимо одинаковой численной величины и одинакового направления, лежат на одной прямой. Для равенства определенных векторов дополнительным условием является общая точка их приложения. Равенство двух векторов А и В записывается в виде: А = В

Те операции, которые можно производить над свободными векторами. Эти операции могут быть распространены на передвижные и определенные векторы с некоторыми ограничениями, которые будут рассмотрены ниже в специальных отделах теоретической механики. 

Векторное исчислени

Рис. 2.

Суммой двух векторов.А и В или их результирующей (рис. 2) называется вектор С, равный по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на слагаемых векторах. 
Сложение векторов записывается в виде: 

Векторное исчислени


Разностью двух векторов А и В называется такой вектор, который в сумме с вычитаемым вектором В дает уменьшаемый вектор А

Вычитание векторов обозначается равенством: 

Векторное исчислени

Векторное исчислени

Рис. 3.

Отсюда следует, что для нахождения разности С надо оба вектора А и В отложить из общего начала О (рис. 3) и соединить их концы; отрезок, направленный  от конца вычитаемого к концу уменьшаемого вектора, даст искомую разность С.

Векторное исчислени

Рис. 4.

Несколько векторов А, В, С и D складывают по правилу многоугольника векторов, для чего из конца , вектора А (рис. 4) проводят вектор Векторное исчислени равный вектору В, далее из точки b — вектор Векторное исчислени, равный С, и из точки с — вектор Векторное исчислени, равный D. Соединяя начало О первого вектора с концом d последнего вектора Векторное исчислени, получим результирующий вектор Е, имеющий направление, обратное направлению составляющих векторов:

Векторное исчислени

Вектор Е называется также геометрической суммой векторов, или замыкающей многоугольника векторов.

Если три вектора А, В и С не лежат в одной плоскости, то их результирующая D выразится диагональю построенного на слагаемых векторах (рис. 5).

Векторное исчислени

Рис. 5.

Это следует из того, что любые два вектора, найример В и А, можно заменить одним вектором Е = А + В. В свою очередь, векторы Е и С можно заменить вектором D, равным D = Е + С = А + В + С, что и доказывает изложенное правило.

При сложении данного вектора с противоположным сумма обращается в нуль. Противоположным вектором называется вектор, численно равный данному, но имеющий противоположное направление.

Не трудно показать обратно, что вектор можно разложить по любым двум направлениям на два составляющих вектора по правилу параллелограмма и по любым трем направлениям, не лежащим в одной плоскости, по правилу параллелепипеда.

Из сложения векторов следует, что вектор А можно умножить на любую скалярную величину Векторное исчислени; при этом получается новый вектор В, определяемый равенством Векторное исчислени; при Векторное исчислени вектор В имеет то же направление, что и А; при Векторное исчислени вектор В направлен противоположно А.

Деление вектора А на скалярную величину Векторное исчислени сводится к умножению его на Векторное исчислени.

Если два вектора А и В дают в сумме вектор С, то при их умножении на скалярную величину Векторное исчислени и геометрическом сложении получим новый вектор, который найдем из рассмотрения подобных угольников (рис. 6):

Векторное исчислени                 

Векторное исчислени

Рис. 6.

Вообще:

Векторное исчислени

Вектор называется единичным, если его модуль равен единице. Единичные векторы мы будем обозначать малыми буквами, например Векторное исчислени и т. д.

Любой вектор А можно представить как произведение его модуля, т. е. численной величины А на единичный вектор а, имеющий направление вектора А. Найдем проекцию вектора Векторное исчислени на ось L, при этом рассмотрим случай, когда вектор А и ось L не лежат в одной плоскости (рис. 7).

Векторное исчислени

Рис. 7.

Для нахождения проекции проведем через начало О и конец Р вектора А две плоскости, перпендикулярные к оси проекций L, и тогда отрезок Векторное исчислени на оси L, заключенный между плоскостями, и будет искомой проекцией Векторное исчислени. Проекцию вектора А на ось L можно найти иначе. Для этого перенесем мысленно ось L параллельно самой себе в начало вектора О (положение Векторное исчислени) и из конца Р  вектора А опустим на перенесенную ось перпендикуляр Векторное исчислени, тогда отрезок Векторное исчислени будет проекцией вектора А на ось L, так как Векторное исчислени. Проекция вектора А на ось L является величиной скалярной и может быть найдена из прямоугольного треугольника Векторное исчислени по формуле:

Векторное исчислени

Знак для Векторное исчислени берется плюс, если направление проекции вектора совпадает с направлением оси L, как в нашем случае, и — минус, если направление проекции вектора обратно направлению оси L. Введя в рассмотрение единичный вектор оси Векторное исчислени; мы можем выразить вектор Векторное исчислени, равный проекции вектора А на ось L, в виде:

Векторное исчислени

Спроектируем теперь результирующую С и составляющие векторы А, В и С на ось L (рис. 8).

Векторное исчислени

Рис. 8.

Имеем:

Векторное исчислени

т. e. проекция замыкающей равна алгебраической сумме проекций составляющих.

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. Имеются две системы прямоугольных координатных осей — левая и правая (рис. 9); при этом одна является зеркальным отображением другой.

Векторное исчислени

Рис. 9.

Если мы захотим последовательно совместить координатные оси, т. е. ось Векторное исчислени и Векторное исчислени, то для левой системы осей это совмещение будет происходить по направлению движения часовой стрелки, для правой же — против движения стрелки часов.

В дальнейшем в качестве основной системы координат примем правую. Если-имеется вектор А, отнесенный к правой системе координат, и если Векторное исчислениединичные векторы (орты) координатных осей х, у и z (рис. 10), то вектор А может быть выражен через составляющие его векторы по координатным осям (компоненты) Векторное исчислени следующим образом:

Векторное исчислени

где

Векторное исчислени

Из равенств (5) находим косинусы углов, которые составляет вектор А с координатными осями:

Векторное исчислени
выразится фор-

Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то

Векторное исчислени

Отсюда модуль вектора А через его проекции выразится формулой:

Векторное исчислени

Возводя в квадрат и складывая равенства (6), получаем:

Векторное исчислени

Перейдем теперь к умножению векторов. При умножении векторов различают два вида их произведения — скалярное и векторное.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов А и В (рис. 11) называется скалярная величина, равная произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.

Векторное исчислени

Рис. 11.

Скалярное произведение векторов обозначается символом Векторное исчислени или Векторное исчислени и определяется:

Векторное исчислени

Примером скалярного произведения двух векторов из области механики является работа, где одним вектором является сила, другим — перемещение. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами.

1. От порядка расположения перемножаемых векторов результат не меняется (свойство коммутативности), т. е, Векторное исчислениВекторное исчислени. Это свойство вытекает из определения скалярного произведения.

2. Скалярное произведение параллельных векторов равно произведению их модулей:

Векторное исчислени

где знак плюс соответствует одинаково направленным, а знак минус — противоположно направленным векторам. В частности

Векторное исчислени

3. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, т. е. Векторное исчислени, и, следовательно:

Векторное исчислени

4. Скалярное произведение можно рассматривать как произведение проекции одного вектора на другой, умноженной на модуль другого вектора (рис. 11):

Векторное исчислени

что следует из определения скалярного произведения. Отсюда проекция вектора на ось есть скалярное произведение вектора на единичный вектор оси проекций.

5. Скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности (раскрытия скобок), например:

Векторное исчислени

6.  Чтобы умножить скалярное произведение на скалярный множитель Векторное исчислени, достаточно умножить на него один из векторов:

Векторное исчислени

7. Скалярное произведение равно алгебраической сумме произведений одноименных проекций:

Векторное исчислени

Равенство (9) получится, если векторы А и В выразить через их компоненты по равенству (4) и раскрыть скобки.

Остановимся на рассмотрении векторного произведения векторов.

Рассмотрим площадку в виде параллелограмма, построенного из векторов А и В (рис. 12).

Векторное исчислени

Рис. 12.

Этой площадке соответствует вектор С, направленный нормально к площадке и численно равный ее величине; такой вектор мы назовем вектором площадки, а откладывать его будем сообразно обходу контура площадки. Операцию, в результате которой получают вектор площадки, называют векторным произведением векторов А и В и обозначают символом Векторное исчислени или Векторное исчислени.

Таким образом, векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вектор С направлен перпендикулярно к плоскости этого параллелограмма в такую сторону, чтобы, смотря с острого конца этого вектора, направление обхода, задаваемое первым вектором, стоящим в векторном произведении, происходило против часовой стрелки при выбранной нами правой системе:

Векторное исчислени

где Векторное исчислени — единичный вектор нормали к площадке.

Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1. При перемене порядка перемножаемых векторов векторное произведение меняет знак:

Векторное исчислени

Это следует из того, что вектор С меняет свое направление.

2. Векторное произведение параллельных векторов равно нулю, т. е. Векторное исчислени, так как приВекторное исчислени. В частности

Векторное исчислени

3. Численное значение векторного произведения перпендикулярных векторов равно произведению их численных зйачений, т. е. Векторное исчислени. В частности

Векторное исчислени

Векторы же Векторное исчислени  Векторное исчислени

4.  Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности:

Векторное исчислени

Это свойство не трудно доказать.

5. При умножении векторного произведения на скалярный множитель достаточно умножить на него один из сомножителей:

Векторное исчислени

что следует из определения векторного произведения.

6. Векторное произведение может быть выражено через проекции перемножаемых векторов следующим образом:

Векторное исчислениВекторное исчислени

Эта более сокращенная запись называется детерминантом, или определителем. Наиболее часто встречаются детерминант второго порядка

Векторное исчислени


и детерминант третьего порядка

Векторное исчислени

В справедливости последнего равенства можно легко убедиться, если вместо А и В подставить их компоненты по равенству (4) и произвести преобразования.

Коэффициенты, стоящие при ортах Векторное исчислени и Векторное исчислени, суть величины проекций векторного произведения на координатные оси х, у и z, выпишем их отдельно:

Векторное исчислени

Формулы (11) легко запомнить, так как индексы у С, А и В меняются по закону круговой подстановки Векторное исчислени минус произведение А на В с обратно переставленными индексами.

Перейдем теперь к рассмотрению скалярно-векторного, или смешанного произведения векторов, обозначаемого Векторное исчислени или Векторное исчислени. Это произведение имеет простой геометрический смысл.

Векторное исчислени

Рис. 13.

Построим на перемножаемых векторах А, В и С параллелепипед (рис. 13) и обозначим Векторное исчислени через D, тогда имеем

Векторное исчислени

где Векторное исчислени — проекция вектора А на направление D, выражает высоту параллелепипеда, a D по величине равен основанию параллелепипеда. Следовательно, Векторное исчислени выражает объем параллелепипеда V

Не трудно видеть, что смешанное произведение не меняется при. циклической перестановке множителей, т. е.

Векторное исчислени

и обращается в нуль, если перемножаемые векторы комплонарны или если два из перемножаемых векторов коллинеарны, так как объем параллелепипеда, построенного на таких векторах, обращается в нуль.

Векторы, расположенные в одной плоскости, называются комплонарными.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.

Смешанное произведение можно выразить через проекции перемножаемых векторов в виде:

Векторное исчислени

Рассмотрим,наконец, двойное векторное произведение Векторное исчислени или Векторное исчислени, которое дает некоторый вектор, комплонарный с векторами В и С. Действительно, векторное произведение Векторное исчислени дает вектор Р, перпендикулярный к плоскости параллелограмма векторов В и С (рис. 14), а вектор Векторное исчислени должен быть перпендикулярен к плоскости параллелограмма векторов А и Р, а следовательно, лежать в плоскости параллелограмма векторов В и С. Далее имеем:

Векторное исчислени

что после преобразования дает:

Векторное исчислени

т. е.  двойное векторное произведение равно среднему - вектору с коэффициентом, равным скалярному произведению двух оставшихся векторов минус второй вектор, во внутренний скобках, с коэффициентом, равным скалярному произведению оставшихся векторов.

Задача:

Найти величину и направление результирующей D трех передвижных векторов, линии действия которых пересекаются в одной точке:

Векторное исчислени

Решение. По формуле (3) находим результирующую D заданных векторов: Векторное исчислени которая будет рас-положена в плоскости ху. Величина результирующей Векторное исчислени, а направление ее определится косинусами углов Векторное исчислени и Векторное исчислени, которые результирующая составляет с осями координат х и у:

Векторное исчислени

Краткие сведения из векторного анализа

Выше мы ограничились рассмотрением постоянных которые не меняли ни величины, ни направления с течением времени. Представим себе теперь движущуюся в пространстве точку М (рис. 15).

Векторное исчислени

Рис. 15.

Положение ее в пространстве в данный момент времени определяется тремя координатами х, у и z или концом радиуса вектора r, проведенного из начала координат. За малый промежуток времени Векторное исчислени точка М перейдет в положение Векторное исчислени, тогда ее положение в пространстве будет определяться уже другими координатами Векторное исчислени , а следовательно, и другим радиусом-вектором Векторное исчислени  Здесь мы имеем дело с переменным радиусом-вектором, который является функцией скалярного аргумента времени t.

Вообще переменные векторы, зависящие от различных скалярных аргументов, принято обозначать через Векторное исчислени и т. д.

За время Векторное исчислени радиус-вектор движущейся точки получит приращение Векторное исчислени, которое называется геометрическим приращением вектора Векторное исчислени и найдется как геометрическая разность:

Векторное исчислени

Вектор Векторное исчислени называется непрерывным, если при значении аргумента Векторное исчислени будет выполнено условие:

Векторное исчислени

или

Векторное исчислени

При дальнейших операциях мы будем рассматривать только непрерывные векторные функции. Если для ряда малых промежутков времени Векторное исчислени нам известен ряд последовательных положений Векторное исчислени переменного вектора г, то, перенося все векторы Векторное исчислени в общее начало О и переходя к пределу при Векторное исчислени, мы получим плавную кривую, соединяющую концы перенесенных векторов. Эта кривая, будучи непрерывной при непрерывности г, называется годографом вектора г и играет по отношению к вектору г ту же роль, что и график скалярной функции по отношению к координатам х, у и z.

Для движущейся точки М (рис. 15) годографом радиуса-вектора г, определяющего положение точки М, является та кривая, которую описывает точка М при своем движении.

При движении точки М быстрота изменения вектора г будет определяться отношением Векторное исчислени, которое представляет вектор, направленный по Векторное исчислени.

Переходя к пределу, получим:

Векторное исчислени

Последнее равенство выражает производную вектора г по скалярному аргументу t. Эта производная является вектором, направленным по касательной к кривой в точке М.

В самом деле, так как вектор г непрерывный, то при Векторное исчислени и Векторное исчислени, а поэтому Векторное исчислени в пределе совпадает с направлением касательной к кривой в данной точке. Если г = const, то Векторное исчислени.

Рассмотрим теперь основные свойства производных от векторных функций.

Выводы математического анализа, известные для скалярных переменных, могут быть распространены на область переменных векторов, зависящих от скалярных аргументов. Эти выводы, хорошо известные из курса анализа, мы здесь не приводим.

1. Производная суммы векторов равна сумме производных от каждого слагаемого:

Векторное исчислени

2. Производная от скалярного произведения двух векторов равна произведению первого вектора на производную второго плюс произведение второго вектора на производную первого:

Векторное исчислени

3. Производная от векторного произведения двух векторов находится аналогично предыдущему:

Векторное исчислени

4. Производная от произведения скаляра на вектор находится аналогично (15):

Векторное исчислени

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Векторное исчислени

6. Скалярное произведение вектора на его производную равно произведению модуля вектора на производную его модуля:

Векторное исчислени

Действительно:

Векторное исчислени

С другой стороны, Векторное исчислени; но так как Векторное исчислени,

то: Векторное исчислени 

или Векторное исчислени

7. Производная вектора, имеющего постоянную величину, равна его модулю, умноженному на производную по скалярному аргументу от угла поворота, и представляет вектор, направленный перпендикулярно данному вектору в сторону его вращения:

Векторное исчислени
17

гдеτ— единичный вектор, направленный перпендикулярно к вектору г в сторону его вращения.

В самом деле, если модуль вектора вижном начале О вектора г его конец будет описывать окружность с центром в точке О (рис. 16).

Векторное исчислени

Рис. 16.

При повороте вектора на угол Δθ его конец опишет дугу Векторное исчислени. Производная же вектора г по скалярному аргументу t согласно (а) найдется по выражению:

Векторное исчислени

Так как предел отношения длины хорды к длине дуги равен единице, то предел отношения Δг к Δs представляет вектор, численно равный единице и направленный перпендикулярно к вектору г; обозначим его τ. Отсюда получаем равенство (20). В частности производная от единичного вектора n радиуса-вектора г, изменяющего только свое направление, будет равна:

Векторное исчислени

Аналогично находим:

Векторное исчислени

8. Производная вектора г, зависящего от скаляра s, который в свою очередь, зависит от скалярного аргумента t, находится по тем же правилам, что и для сложных скалярных функций:

Векторное исчислени

9. Все свойства нахождения производных от векторных функций можно распространить на случай их дифференцирования. Например:

Векторное исчислени