Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин:

Пусть Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

где функции Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения и Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения непрерывно дифференцируемы и отображение (2.15.1) взаимно однозначно, т.е. существуют функции Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения и Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения такие, чтоФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Если Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения – функция плотности вероятности случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения а Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения – функция плотности вероятности случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения тоФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Пример:

Случайный вектор Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения имеет плотность вероятностиФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Найти плотность вероятности случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения если Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Решение. Найдем обратное к (2.15.3) преобразование:Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Заметим, что из условия неотрицательности Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения и Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения следует: Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения Так как

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

то функция плотности вероятности случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения в соответствии с формулой (2.15.2), имеет видФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Ответ.  Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решенияпри Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения и Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения при остальных Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Пример:

Случайные величины X и Y независимы и имеют нормальные законы распределения с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Пусть X и Y декартовы координаты случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения. Производится переход к полярным координатам по формуламФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Требуется найти функцию плотности вероятности случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения и функции плотности вероятности компонент этого вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Решение. Так как X и Y независимы, то плотность вероятности случайного вектора Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения имеет вид

 Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Якобиан преобразования (2.15.4) равен Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

по формуле (2.15.2) получаем  Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Плотность вероятности (2.15.5) позволяет вычислить маргинальные плотности вероятности. Плотность распределения величины Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решенияФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Это распределение известно как распределение Релея (Rayleigh distribution). График его плотности вероятности для нескольких значений параметра s приведен на рис. 2.15.1.

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Плотность распределения случайной величины Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решенияФункциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Это равномерное распределение на отрезке Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения

Ответ. Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения   

Функциональные преобразования двухмерных случайных величин с примерами решения