Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производящие функции:

Пусть дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Функция

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

называется производящей функцией этого распределения.

Заметим, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Напомним:

1) Начальным моментом порядка Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения называется математическое ожидание Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения-й степени случайной величины

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Само математическое ожидание является начальным моментом первого порядка.

2) Центральным моментом Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения-го порядка называется математическое ожидание Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения-й степени соответствующей центрированной случайной величиныПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Дисперсия является центральным моментом второго порядка Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

3) Асимметрией распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения случайной величины: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Если распределение симметрично, то Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения На рис. 2.17.1 слева (в качестве примера закона равпределения с положительной асимметрией) изображен многоугольник распределения для биномиального закона распределения приПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения В правой части рис. 2.17.1 приведен пример закона распределения с отрицательной асимметрией (биномиальный закон при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

4) Для нормального закона распределения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Безразмерный коэффициент Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения называется эксцессом. Этот коэффициент характеризует «островерхость» распределения в сравнении с нормальным законом распределения. Например, если говорить о функциях плотности вероятности, то при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения график функции плотности вероятности более островерхий, чем график кривой нормального распределения (см. левую часть рис 2.17.2). При Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения график плотности вероятности имеет более плоскую вершину, нежели нормальная кривая при тех же математическом ожидании и дисперсии (см. правую часть рис. 2.17.2).Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Через производящую функцию можно выразить и другие начальные и центральные моменты случайной величины. Выразим через производящую функцию, например, дисперсию. Так какПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

то 

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Сформируем в правой части последнего равенства дисперсию. Для этого прибавим и отнимем квадрат математического ожидания: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Величина Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения равна дисперсии. ПоэтомуПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Итак, при z =1 имеем

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

откуда

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

а с учетом (2.17.2) Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим модифицированную производящую функцию Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

С помощью этой функции можно вычислять сразу центральные моменты случайной величины. Например

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

откуда

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Х имеет пуассоновский закон распределения:Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и коэффициент асимметрии этой случайной величины.

Решение. Производящая функция пуассоновского распределения имеет видПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и, в соответствии с (2.17.3),

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления коэффициента асимметрии составим модифицированную производящую функцию. Так как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения то Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Тогда

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения 

Поэтому по формуле (2.17.5) имеем Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

В итоге Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Х имеет закон распределенияПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(Это частный случай отрицательного биномиального распределения или распределения Паскаля с параметрами 2 и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения). Требуется найти Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и коэффициент асимметрии Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Составим производящую функциюПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления суммы ряда в скобке рассмотрим сумму рядаПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

который абсолютно сходится при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Легко видеть, что нас интересует Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Проинтегрируем почленно ряд (2.17.6) внутри его области сходимости: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

В последней строке мы воспользовались формулой суммы бесконечной убывающей прогрессии:

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Откуда Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Воспользуемся теперь производящей функцией (2.17.7) для вычисления числовых характеристик случайной величины X:

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

откуда следует, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

По формуле (2.17.3)

  Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решенияПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Далее 

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

По формуле (2.17.4) вычисляем Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Так как

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

то с учетом (2.17.8) и (2.17.9) имеем

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая это получаем значение коэффициента асимметрии Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Преобразование Лапласа

Для непрерывной и неотрицательной случайной величины роль производящей функции может играть преобразование Лапласа.

Пусть Х – непрерывная, неотрицательная случайная величина с функцией распределения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

называется преобразованием Лапласа для этого распределения. (Фактически роль величины z в формуле (2.17.1) играет величина Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения. Преимущество такого выбора состоит в том, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения.)

Отметим, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения а Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производная любого порядка от преобразования Лапласа связана с начальными моментами случайной величины соотношением Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

где Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения – так называемая гамма-функция Эйлера, которая при целых положительных a принимает значения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Случайная величина X имеет функцию плотности вероятности

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(гамма-распределение с параметрами Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения). Требуется найти Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и коэффициент асимметрии Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Соответствующее преобразование Лапласа имеет вид Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(интегрируем по частям)

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(первое слагаемое в скобке равно нулю, так как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения с увеличением Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения убывает быстрее, чем растет Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения)

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(интегрируем еще раз по частям)

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим начальные моменты распределения:

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

поэтому

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Далее

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим центральный момент третьего порядка: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения – последовательность независимых неотрицательных одинаково распределенных случайных величин с функцией плотности вероятности Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения И пусть N – неотрицательная целочисленная случайная величина, независящая от величин Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и имеющая пуассоновский закон распределения с параметром Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Для случайной величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения требуется найти Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Производящая функция пуассоновского закона распределения равна Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Преобразование Лапласа показательного распределения равноПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому по формуле (2.17.14) имеемПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения а Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

то 

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Характеристические функции

Замена z на Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения в определении производящей функции позволила рассматривать непрерывные неотрицательные величины. Выгода от такой замены состоит в мультипликативном свойстве: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Таким же свойством обладает и показательная функция чисто мнимого аргумента, которая для действительных x определяется равенством:

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Характеристической функцией Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения случайной величины X называется комплексно-значная функция, определенная при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения соотношением

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Если Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения – функция распределения случайной величины X, то Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Существование интеграла, определяющего характеристическую функцию, вытекает из непрерывности функции Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и ее ограниченности: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Для дискретной случайной величины X с возможными значениями Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и их вероятностями Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения запись (2.17.15) расшифровывается как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Для непрерывной случайной величины X с функцией плотности вероятности Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения 

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть случайная величина X имеет пуассоновский закон распределения, т.е.Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Тогда по формуле (2.17.11)Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Тогда в соответствии с формулой (2.17.12) Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Вместо непосредственного вычисления интеграла, которое требует специальной математической техники, найдем его величину косвенным способом. Заметим, что

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Полученный интеграл берем по частям, полагая Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(первое слагаемое равно нулю так как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения а Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения).

В итоге для искомой характеристической функции получаем уравнение, которое при начальном условии Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет решение Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Подобным же образом можно показать, что закон распределения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет характеристическую функциюПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Свойства характеристических функций.

1. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения для всех вещественных Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

2. Если существует Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения– момент порядка Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения то функцияПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения непрерывных производных и

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

3. Пусть Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения где Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения – постоянные величины, а X имеет характеристическую функцию Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Тогда характеристическая функция случайной величины Y имеет вид Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

4. Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

5. Если X1 и X2 – независимые случайные величины, а Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения – их характеристические функции, то характеристическая функция суммы Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения равна произведению характеристических функций слагаемых:Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Это следует из того, что в силу независимости слагаемых Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Можно показать, что для любого конечного числа независимых случайных величин Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения характеристическая функция их суммы Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения равна произведению характеристических функций слагаемых.

Пример:

Случайные величины X и Y независимы и имеют пуассоновские законы распределения с параметрами Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения соответственно: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти закон распределения случайной величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения.

Решение. Согласно формуле (2.17.18) характеристические функции случайных величин X и Y имеют вид: Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Сумме независимых случайных величин соответствует произведение характеристических функций слагаемых. Поэтому Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет характеристическую функцию Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет пуассоновский закон распределения с параметром Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Полученный результат известен как факт устойчивости пуассоновского закона распределения. Этот результат можно обобщить на сумму любого конечного числа пуассоновских случайных величин.

Теорема. Если случайные величины Х1 и Х2 независимы и имеют соответственно нормальные законы распределения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения то их сумма Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решенияимеет тоже нормальный закон распределения

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Пусть Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Их характеристические функции в соответствии с формулой (2.17.15) имеют вид Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Тогда характеристическая функция суммы Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения:Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

А это и означает, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Случайная величина Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет закон распределения.Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти характеристическую функцию этой случайной величины. Используя свойства характеристических функций, найти характеристическую функцию случайной величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения полагая слагаемые независимыми. Используя запись характеристической функции, найти Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Решение. По формуле (2.17.16)Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому характеристическая функция случайной величины Y имеет видПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения находим Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Последнее выражение при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения равно нулю. По свойству 2 это означает, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Так как вторая производная характеристической функции по z равнаПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения равна Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения то из свойства 2 следует, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

ОтветПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Требуется найти характеристическую функцию случайной величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения где все Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеют закон распределения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения независимы в совокупности. С помощью характеристической функции найти Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Найдем сначала характеристическую функцию для Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения В соответствии с формулой (2.17.7)

 Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

После замены переменных Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения получаемПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

так как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Из свойства 5 характеристических функций следует, что случайная величина Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет характеристическую функциюПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления числовых характеристик случайной величины Y найдем сначала первую и вторую производные характеристической функции при Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Случайная величина Х имеет функцию плотности вероятностиПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти характеристическую функцию этой случайной величины и ее Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения и Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Требуется также найти характеристическую функцию случайной величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения где величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения независимы и имеют распределение (2.17.21).

Решение. Найдем сначала характеристическую функцию:Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

(так как Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения то равенство можно продолжить следующим образом)Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Откуда Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решенияПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения поэтому Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Характеристическая функция случайной величины Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решенияПроизводящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения Производящие функции в теории вероятностей - определение и вычисление с примерами решения