Линейная алгебра - примеры с решением заданий и выполнением задач

Содержание:

Линейная алгебра

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры.

Матрицы и операции над ними

Основные определения:

В математике и ее приложениях наряду с числами часто бывает удобным использовать чис­ловые таблицы, которые называются матрицами. Аппарат теории матриц эффективно приме­няется, например, при решении систем линейных уравнений, как мы скоро в этом убедимся. Перейдем к точным определениям.

Определение: Матрицей размерности m х n называется прямоугольная таблица дейст­вительных чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для доступа к элементам мат­рицы используются два индекса: первый указывает на номер строки, второй - на номер столб­ца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Обозначаются матрицы, как правило, прописными латинскими буквами A, B, C,иногда указывается размерность, например, Amxn. В развернутой форме матрица записывается как таблица:

Более компактно с указанием элементов матрица записывается в виде:

Матрицы А и В одинаковой размерности считаются равными, если все элементы одной матрицы равны соответвующим элементам другой матрицы.

Рассмотрим некоторые специальные виды матриц.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается через O.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Размерность квадратной матрицы часто называют ее порядком.

Числа  в квадратной матрице называются диагональными элементами. Совокупность диагональных элементов составляет главную диагональ квадрат­ной матрицы.

Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные - нулю, называется единичной матрицей и обозначается через где n - порядок матрицы.

Таким образом,

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, треугольной является матрица

Матрица называется трапециевидной, если она представляет собой следующую таблицу:

Операции над матрицами

Введем сначала линейные операции над матрицами.

Произведением действительного числа  на матрицу называется матрица

 

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица 

Таким образом, элементы суммы матриц равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Разность матриц А и B можно определить как А - В = А + (-1)В.

Свойства линейных операций над матрицами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Пример №1

Даны матрицы

Найти матрицу -2А +3В.

Решение.

Тогда

Определим теперь операцию умножения матриц. Рассмотрим сначала матрицу-строку и матрицу-столбец с одинаковым числом элементов, т.е.

Произведением этих строки и столбца называется число1

Рассмотрим так называемые согласованные матрицы , у первой из которых число столбцов равно числу строк второй матрицы. Обозначим строку с номером i матрицы А через а столбец с номером j матрицы B через

Произведением данных согласованных матриц А и B называется матрица

Часто для суммы n чисел  мы будем использовать короткое обо значение

размерности m х p, элементы которой равны произведениям строк матрицы A на столбцы B.

Пример №2

Найти произведение согласованных матриц

Решение. Найдем произведение строк матрицы А на столбцы матрицы В.

Осталось записать искомое произведение матриц: 

Отметим некоторые свойства произведения матриц1. 

Первые три сразу следуют из определения произведения матриц. Докажем последнее свой­ство. Пусть заданы три матрицы Элемент dij произ­ведения (AB)C  равен произведению строки с номером i матрицы AB на столбец с номером j матрицы C : Поменяв порядок суммирования в последней двойной сумме, получим:

что представляет собой произведение Тем строки с номером i матрицы A на столбец с номером j матрицы ВС. Тем самым свойство 4 доказано. 

Заметим, что в отличие от чисел матрицы, вообще говоря, не коммутируют (не переста­новочны). Приведем соответствующий

 Контрпример. Доказать, что матрицы

не коммутируют. 

Действительно, 

Таким образом, для этих матриц 

Замечание. Пользуясь случаем, введем здесь определение n-мерного векторного пространства Rn, как множество упорядоченных совокупностей n действительных чисел. Каждую такую совокупность мы будем обозначать через и называть n-мерным вектором.

Мы предполагаем, что все матрицы в свойствах согласованы.

Очевидно, каждый вектор мы можем отождествить с соответствующей матрицей-строкой или матрицей-столбцом, поэтому на векторы автоматически переносятся линейные операции, которые мы определили выше для матриц.

Определитель матрицы и его свойства

Познакомимся теперь с такой важнейшей характеристикой матрицы, как определитель. Вве­дем предварительно понятие перестановки и изучим некоторые ее свойства.

Перестановки

Перестановкой n натуральных чисел 1, 2, ....., n называется строка

                                                          (1)

содержащая все эти числа.

Первым элементом перестановки может быть любое из чисел 1, 2, ...., n, вторым - любое из оставшихся n — 1 чисел и так далее, следовательно, число различных перестановок данных чисел равно  (читается n-факториал).

Два числа в перестановке находятся в инверсии, если большее из них имеет меньший номер. Число всех инверсий в перестановке (1) мы обозначим через 

В связи с этим перестановка (1) называется четной, если в ней число  четно и нечетной - в противном случае.

Отметим два свойства перестановок, которые мы будем использовать ниже.

Лемма 1. Характер четности перестановки изменится на противоположный, если в ней поменять местами какие-нибудь два элемента.

Доказательство. Предположим сначала, что меняются местами рядом стоящие элементы к и l перестановки. В этом случае число инверсий в новой перестановке изменится на единицу, а именно, увеличится на единицу, если к и l не находились в инверсии, или на­столько же уменьшится, если они находились в инверсии. Таким образом, характер четности перестановки изменится на противоположный. Рассмотрим теперь случай, когда числа к и l разделяют s других элементов перестановки. Тогда поменять местами данные элементы мы можем последовательно переставляя число к с s промежуточными элементами, а затем пере­ставляя число l в обратном порядке с элементом к и всеми s промежуточными. В результате мы выполним 2s + 1 обменов рядом стоящих элементов и, таким образом, характер четно­сти исходной перестановки изменится нечетное число раз и, следовательно, он изменится на противоположный. Лемма  доказана.

Из этой леммы сразу же следует, что количество четных перестановок равно количеству нечетных. В самом деле, поменяв местами любые два элемента в каждой из p четных переста­новок, мы получим p нечетных и, следовательно,  где q - количество нечетных перестано­вок. Аналогично мы можем убедиться в справедливости неравенства  Из этих неравенств и следует, что p = q.

Лемма 2. Пусть

                                                              (2)

- перестановка чисел 1, 2, ..., n - 1. Зафиксируем число j из множества {1, 2, ... , n} и оставим его перестановку (2) на место с номером i, сдвинув вправо на одну позицию все ее элементы с номерами i, i + 1, ... , n - 1 и увеличив на единицу все не меньшие, чем j элемен­ты этой перестановки. В результате получим перестановку

                                                                                                         (3)

чисел 1, 2, .... , n. Четности перестановок (2) и (3) связаны равенством

Действительно, предположим сначало, что элемент j в перестановке (3) стоит на первом месте. Тогда, очевидно, количество инверсий в этой перестановке равно  Перегоним теперь число j на место с номером i, последовательно обменивая его со следующими i - 1 элементами. По лемме 1 характер четности перестановки изменится i - 1 ра и, значит, 

Определитель и его вычисление для матриц второго и третьего порядков

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n :

Составим произведение элементов данной матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Упорядочив элементы этого произведения по возрастанию номеров строк, мы можем записать его в виде:

 

Номера столбцов в записанном произведении образуют перестановку чисел 1, 2, ... , n.

Определение: Число, равное сумме всех n! произведений

называется определителем данной квадратной матрицы А (определителем n-го порядка) и обозначается через |А| или det А. В развернутой форме определитель записывается как

Найдем пользуясь этим определением выражение для определителей второго и третьего порядков.

Так как то

Аналогично, для вычисления определителя третьего порядка найдем число инверсий в каждой из перестановок чисел 1, 2, 3 :

Тогда

Для упрощения вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников, согласно которому со знаком " + " следует брать произведения по схеме

а со знаком " - " - по схеме 

Пример №3

Вычислить определитель

Решение. Воспользуемся правилом треугольников: = —2 + 6 — 6 — 9 — 8 — 1 = -20.

Свойства определителя

1) Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то и определитель равен нулю.

2) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

3) Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны суммам двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей, в которых в указан­ной строке (столбце) стоят, соответственно, первые и вторые слагаемые, а остальные элементы обоих определителей такие же, как и в исходном определителе.

Эти свойства напрямую следуют из определения определителя.

4) Если переставить две какие-нибудь строки (столбца) определителя, то он поменяет знак на противоположный.

Действительно, переставим, например, две строки определителя. В результате получим определитель, каждое слагаемое которого отличается знаком от соответствующего слагаемого исходного определителя, так как по доказанной в пункте 1 лемме 1 четность соответствующей перестановки вторых индексов изменится па противоположную.

5) Если в определителе совпадают (пропорциональны) две какие-нибудь строки (столбцы), то этот определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе совпадают две каие-нибудь строки (столбцы), то, с одной стороны, определитель при этом не изменится, а, с другой стороны, по предыдущему свойству его знак поменяется на противоположный. Таким образом |A| = — |A| и, стало быть, |A| = 0. Если же в определителе имеются две пропорциональные строки (столбца), то после вынесе­ния за его знак по свойству 2) общего множителя элементов строки (столбца), мы получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), который равен нулю.

6) Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) доба­вить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Это следует из свойств 3) и 5), так как в этом случае полученный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен исходному, а в другом имеются пропорциональные строки (столбцы), и поэтому он равен пулю.

Прежде чем сформулировать очередное свойство, введем понятие алгебраического дополне­ния к элементу матрицы.

Алгеброическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A = (aij)nxn мы будем называть число

где - определитель порядка n - 1, полученный из определителя этой матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. 

7) Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столб­ца) на соответствующие алгебраические дополнения. Таким образом,

или

Докажем, например, первую из этих формул. Убедимся в том, что правая часть данной формулы содержит все слагаемые определителя матрицы А. Выражение

содержит n(n — 1)! = n! различных произведений элементов определи теля матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Осталось проверить соответствие знаков.

Рассмотрим произвольное произведение

Каждое слагаемое определителя  представляет собой произведение элементов данной мат­рицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, исключая строку с номером i и столбец с номером j. Знак этого произведения определяется четностью перестановки

чисел 1, 2, ... , n — 1. Умножив данное произведение на число  и поставив множитель  на место с номером i, мы получим соответствующее произведение определителя матрицы А с перестановкой вторых индексов  и знаком который по лемме 2  пункта 1 соответствует четности перестановки

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

Пример №4

Вычислить определитель.

Решение. Разложим этот определитель по элементам второй строки:

Пример №5

Вычислить определитель треугольной матрицы

Разлагая этот и следующие определители по первому столбцу, получим:

таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных эле­ментов.

8) Сумма произведений n действительных чисел на алгебраические дополнения к элементам какой-нибудь строки (столбца) равна определителю, в котором в указанной строке (столбце) расположены данные числа, а все остальные элементы совпадают с соответствующими элементами исходного определителя.

Это свойство является прямым следствием предыдущего.  

9) Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические до­полнения к элементам какой-нибудь другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Действительно, по предыдущему свойству эта сумма произведений равна определителю с двумя совпадающими строками (столбцами), а такой определитель по свойству 5) равен нулю.

10) Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Достаточно громоздкое доказательство этого свойства мы приводить не будем.

Обратная матрица

Определение:  Обратной к квадратной матрице  называется обозначаемая  через А-1 матрицы, для которой АА-1 = А-1А = Е, где Е - единичная матрица.

Из этого определения следует, что матрица А-1 также является квадратной той же размер­ности, что и матрица А.

Отметим некоторые свойства обратной матрицы, следующие из ее определения.

а) У матрицы не может существовать больше одной обратной.

Действительно, пусть для матрицы А имеются две обратные Тогда

Умножив обе части первого равенства слева на матрицу получим

b) (A-1)-1 = A.

c) Если для квадратных матриц А и В одного порядка существуют обратные, то и у матрицы АВ также существует обратная , причем

Выясним условия, при которых обратная матрица существует.

Теорема (критерий существования обратной матрицы). Для того, чтобы существовала матрица, обратная данной, необходимо и достаточно, чтобы данная матрица была невырожденной, то есть чтобы ее определитель был не равен нулю.

Доказательство. Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть для матрицы А существует обратная матрица. Тогда из равенства АА-1 = E, воспользовавшись свойством 10) определителя произведения матриц, получаем: det(AA-1) = det А det А-1 = det E = 1. Следователь но, det А  0.

Убедимся теперь в том, что условие теоремы является и достаточным. Предположим, что матрица А является невырожденной. Проверим, что обратной к данной является матрица со следующей структурой 1:

Действительно, если 

откуда, воспользовавшись свойствами 7) и 9) определителя (§2, пункт 3), заключаем:

т. е. АА-1 = Е. Аналогично убеждаем, что А-1А = Е. Теорема доказана.

В строках указанной ниже матрицы записаны алгебраические дополнения к элементам соответствующих столбцов.

Пример №6

Найти обратную к матрице

Решение. Найдем сначала определитель матрицы:  Обратная матрица существует. Находим алгебраические дополнения к элементам данной матрицы:

Следовательно,

Обратную матрицу можно использовать при решении линейных матричных уравнений. Пусть, например, требуется решить матричное уравнение

AX = B

с известными матрицами А и B, причем матрица A является невырожденной. Умножая обе части данного матричного уравнения слева на обратную матрицу A-1, получим:

Аналогично, решением матричного уравнения XA = B является матрица X = BA-1, а ре­шением матричного уравнения AXB = С с невырожденными матрицами A и B является матрица X = A-1CB-1.

Ранг матрицы и его вычисление

Рассмотрим произвольную матрицу

Минором порядка k матрицы A называется определитель, стоящий на пересечении выбран­ных k строк и k столбцов данной матрицы.

Определение: Рангом матрицы А называется максимальный из порядков ненулевых миноров этой матрицы. Обозначается ранг через rang A.

Естественно считать, что rang O = 0. Очевидно также, что

Пример №7

Найти ранг матрицы

Решение. Вычислим минор, находящийся на пересечении первых двух строк и первого и четвертого столбцов:

Все же миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как третья строка равна разности второй и первой строк. Следовательно, rang A = 2.

Как видно из определения, вычисление ранга матрицы через миноры является весьма тру­доемкой задачей, особенно для матриц большой размерности. Значительно сократить объем вычислений позволяет другой метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции над ее стро­ками или столбцами:

1. перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2. умножение строки (столбца) на ненулевое действительное число;
3. добавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на действительное число.

Тот факт, что матрица В получена из матрицы А с помощью одного или нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований, мы будем обе тачать как

Теорема. Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Доказательство этого утверждения для первого и второго элементарных преобразований следует из того, что по свойствам 2) и 4) определителя (§2, пункт 3) миноры исходной матрицы могут отличаться от миноров преобразованной разве лишь знаком или ненулевым множителем, что. естественно, не отражается на ранге матрицы. Пусть теперь матрица А' получена из матрицы А с помощью третьего элементарного преобразования, для определенности будем считать, что к строке с номером i добавлена строка с номером j, умноженная на действительное число Возьмем в матрице А' минор М порядка (если такого минора нет, то rang ). Этот минор либо совпадает с минором матрицы A, либо по свойствам 3). 2). 4) определителя он равен сумме двух миноров матрицы А с действительными коэффициентами, один из которых равен 1. а второй В обоих случаях по определению ранга матрицы минор М равен 0. Следовательно, rang А' < rang А. Точно также мы можем убедиться в том, что rang А < rang А', так как матрица А может быть получена из матрицы А' вычитанием из ее строки с номером i строки с номером j. умноженной на числоТаким образом, и для третьего элементарного преобразования rang что и завершает доказательство теоремы.

Из этой теоремы следует, что для вычисления ранга матрицы достаточно привести ее с помощью элементарных преобразований к более простой - трапециевидной, ранг которой легко находится. Изложим соответствующий алгоритм, который мы будем использовать ниже при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Итак, рассмотрим матрицу

Если А = О, то rang A = 0. Пусть теперь . Мы всегда можем считать, что так как в противном случае этого всегда можно добиться перестановкой соответствующих строк и столбцов. Превратим теперь в нули все элементы первого столбца, расположенные ниже первого диагонального элемента Для этого из каждой строки с  данной матрицы вычтем первую строку, умноженную на число В результате получим матрицу:

Повторяя теперь все рассуждения из предыдущего абзаца применительно к полученной матрице с вычеркнутыми из нее первой строкой и первым столбцом и всем последующим матрицам, после конечного числа шагов, не превышающего m — 1, мы придем к трапециевидной матрице

и в дальнейшем под записью мы подразумеваем, что величина р последовательно принимает значения 1, 2,..., q.

с r ненулевыми диагональными элементами a11, b22, . . . , crr. Ранг матрицы равен r, так как минор этой матрицы, расположенный первых ее r строках и столбцах равен а все миноры более высокого порядка содержат нулевую строку и потому равны нулю. Так как матрица получена из матрицы A с помощью
элементарных преобразований, то 

Замечание. При практическом использовании приведенного алгоритма матрицу бывает
иногда удобно приводить к форме, которая отличается от трапециевидной порядком следования столбцов.

Пример №8

Найти ранг матрицы

Решение.

Приведем матрицу к трапециевидной с помощью элементарных преобразований:

Здесь вторая матрица получена из исходной вычитанием в ней из второй и третьей строк первой, умноженной на 4 и 3 соответственно, а затем вторая матрица преобразована в третью вычитанием из последней строки, умноженной на 5, второй строки. Перегнав в последней матрице четвертый столбец на первое место, получим трапециевидную матрицу с тремя ненулевыми элементами на диагонали. Следовательно, rang

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения:

Определение: Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, короче, линейной системой) называется система вида

где действительные числа коэффициенты системы, правые части уравнений системы, неизвестные.

Числа которые при подстановке их в систему обращают каждое из уравнений в верное равенство, составляют решение линейной системы. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, иначе несовместной. Представим линейную систему в компактной матричной форме.

Для этого введем следующие обозначения:
- основная матрица системы,
− столбец неизвестных, 
 - столбец правых частей.

В этих обозначениях данная линейная система принимает вид:
AX = B.

Линейная система с нулевыми правыми частями, т.е. система АХ = О, называется однородной.

Решение невырожденных линейных систем

Рассмотрим линейную систему n уравнений с n неизвестными и невырожденной основной матрицей. Такая система называется невырожденной.

Рассмотрим два метода решения невырожденных систем.

Метод обратной матрицы

Так как определитель основной матрицы невырожденной системы линейных уравнений отличен от Iгуля. то решение этой системы мы можем найти как решение матричного линейного уравнения (§3)

по формуле

Полученное таким образом решение является единственным. Действительно, пусть -два решения системы. Тогда и, следовательно, после умножения слева обеих частей первого из этих равенств на матрицу , получим, что

Пример №9

Решить систему линейных уравнений:

Решение.

Здесь

В §3 был вычислен определитель матрицы данной системы следовательно, она является невырожденной. Там же была найдена и обратная матрица:

Тогда

Таким образом,  

Формулы Крамера

Воспользовавшись представлением обратной матрицы через алгебраические дополнения, получим:

следовательно,

По свойству 8) определителя выражение в скобках равно

т. е. определителю, который может быть получен из определителя основной матрицы системы заменой в нем столбца с номером j столбцом правых частей. Таким образом, решение данной невырожденной системы линейных уравнений может быть найдено по следующим формулам Крамера:

 

Пример №10

Решить систему линейных уравнений:

Решение. Для этой системы (§2. пункт 2). следовательно, она является невырожденной. Кроме того,

Тогда по формулам Крамера

 

Решение произвольных систем линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса)

Рассмотрим линейную систему общего вида:

Определим, как и для матриц, элементарные преобразования над уравнениями линейной системы. Таковыми являются:

1. перестановка двух уравнений системы;
2. умножение обеих частей уравнения на отличное от. нуля действительное число:
3. добавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на действительное число.

Все эти преобразования, очевидно, обратимы и поэтому их результатом является система, эквивалентная исходной, т. е. система, множество решений которой, совпадает с множеством решений данной системы.

Упростим теперь систему, последовательно исключая неизвестные из ее уравнений с помощью элементарных преобразований. Для этого, расширенную матрицу системы

с помощью элементарных преобразований над ее строками приведем к трапециевидной форме с помощью алгоритма, изложенного в §4. В результате получим матрицу

где диагональные элементы матрица является расширенной, имеет вид:

Очевидно, последняя система получена из исходной с помощью тех же элементарных преобразований, какими матрица приведена к трапециевидной и, следовательно, эта упрощенная система эквивалентна данной.

Рассмотрим два случая, которые здесь возможны.

a) Тогда система (2). а, значит, и система (1) несовместны.

b) В этом случае имеем совместную систему

Здесь, в свою очередь, представляются две возможности.

Из последнего, самого короткого, уравнения этой системы мы находим неизвестное которое линейно выражается через неизвестные называемые свободными. Далее из предпоследнего уравнения системы (3), подставив в него полученное выражение для неизвестного мы определяем неизвестное Продолжая этот процесс, мы найдем неизвестные которые называются базисными, через свободные неизвестные. На свободные неизвестные никаких ограничений нет, поэтому подставляя их произвольные значения в полученные выражения для базисных неизвестных, мы найдем тем самым множество решений системы (1). Таким образом, в этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Здесь свободных неизвестных нет и система имеет единственное решение, так как все неизвестные однозначно находятся таким же образом, как и в предыдущем пункте.

Приведенный алгоритм метода исключения неизвестных позволяет сформулировать критерий совместности линейной системы.

Теорема Кронекера. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство немедленно следует из вида матрицы к которой приводится расширенная матрица системы. Совместность имеет место и том и только в том случае, когда , что равносильно тому, что

Из теоремы Кронекера следует, что если то система линейных уравнений (1) несовместна, если же то система имеет единственное решение и, наконец, если rang то множество решений данной линейной системы бесконечно.

Пример №11

Решить систему линейных уравнений:

Решение. Приведем расширенную матрицу этой системы к трапециевидной с помощью элементарных преобразований над ее строками:

Вторая матрица получена из первой вычитанием из третьей строки второй и добавлением ко второй строке, умноженной на 2, первой строки. С точностью до перестановки столбцов, мы получили трапециевидную матрицу. Здесь, очевидно, rang поэтому система совместна. Осталось решить упрощенную систему

Придавая свободным неизвестным произвольные значения - найдем базисные неизвестные Из третьего уравнения системы мы находим неизвестное Подставив его во второе уравнение, определим неизвестное -Наконец, из первого уравнения получим: - Таким образом, линейная система имеет бесконечное множество решений

где — любые действительные числа.

Замечание. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как она имеет нулевое решение. Если rang A = n, то однородная система имеет единственное (нулевое) решение. а если то множество решений этой системы бесконечно. В частности, если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m = n, то она имеет единственное (нулевое) решение в том и только в том случае, когда . Соответственно, эта система имеет ненулевое решение (а, значит, и бесконечно много решений) тогда и только тогда, когда

Обращение невырожденной матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу Решая невырожденную систему линейных уравнений с матрицей А и столбцом правых частей В методом исключения неизвестных (пункт 3), мы приведем расширенную матрицу этой системы с помощью элементарных преобразований над ее строками к виду - треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. Продолжая далее элементарные преобразования над строками, мы можем привести расширенную матрицу к виду - единичная матрица. Столбец представляет собой решение системы, т. е. . Следовательно, выбирая в качестве В столбцы единичной матрицы, мы получим соответствующие столбцы обратной матрицы как решения соответствующих систем линейных уравнений.

Таким образом, для того, чтобы найти матрицу, обратную к данной невырожденной матрице А, достаточно в расширенной матрице с помощью элементарных преобразований над ее строками перегнать матрицу А в единичную Е. В результате получим матрицу

Пример №12

Найти обратную к матрице

Решение. Воспользуемся изложенным выше алгоритмом.

Следовательно,

Изложенный выше алгоритм нахождения обратной матрицы является более экономичным по сравнению с изложенным в §3, так как он требует гораздо меньшего объема вычислений. Заметим также, что программирование этого метода также не представляет трудностей.

Справочный материал по линейной алгебра

Этот раздел математики возник в связи с необходимостью решать  системы линейных уравнений.  

Рассмотрим систему линейных уравнений: 

Чтобы  решить  ее,  можно,  например,  выразить  одну  из  переменных  из первого уравнения, подставить во второе, после чего найти неизвестные  x  и  y .  
Однако можно найти решение быстрее: легко убедиться, что  

Способ получения этого результата станет ясным, если рассмотреть таблицы, составленные из коэффициентов системы: 

   

Такие таблицы называются матрицами второго порядка (так как в них две строки и два столбца), а соответствующие числа  -  определителями. Матрицы и определители играют важную роль при решении более сложных систем линейных уравнений, поэтому начнем изучение линейной алгебры с матриц. 
 

Матрицы и действия над ними

Определение:  Числовой  матрицей  размера    называется  совокупность   чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n  
столбцов. 

 – элемент матрицы, стоящий на пересечении i -й строки и k -го столбца.

Определение:  Если   то матрица называется  квадратной n -го порядка, в противном случае – прямоугольной.  

Элементы   квадратной матрицы  А образуют ее главную диагональ.  

Матрица размера  называется матрицей-строкой, а матрица размера  – матрицей-столбцом.  

Пример №13

    

Определение:  Две  матрицы  называются  равными,  если  они  имеют 
одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых  местах. 

Пример №14

 

Определение:  Квадратная  матрица  называется  диагональной,  если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть  

На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой  E .  

Пример №15

        – единичная матрица третьего порядка. 
 – диагональная матрица 3-го порядка. 
 

Определение: Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю. 

Пример №16

  – треугольная матрица третьего порядка, 
 – треугольная матрица второго порядка.

Линейные операции над матрицами

К числу линейных относятся операции сложения и умножения на число. 
 

Определение:  Пусть   – матрицы размера  Матрица  также размера  называется суммой матриц  A  и  B , если

Пример №17

 
 

Определение:    Произведением  матрицы    размера  на число называется  матрица    того  же  размера,  элементы  которой

Пример №18

 
 

Определение:  Нулевой матрицей O  называется матрица, все элементы которой равны нулю. 

Определение: Матрица  (-1) * A называется противоположной для  A и обозначается  -A. 

Очевидно, что    для любой матрицы А. 
 
 

Определение: Разностью матриц  A и  B  одного размера называется сумма   и обозначается A- B. 

Определение:    Результат  конечного  числа  линейных  операций  над матрицами называется их линейной комбинацией. 

Пример №19

Пусть  
Матрица   – линейная  комбинация матриц  A  и  B  с коэффициентами 2 и 4.

Свойства линейных операций

Если  A ,  B , и C  – матрицы одного размера,  – числа, то, очевидно, справедливо следующее: 
1.   – свойство коммутативности сложения. 
2.    – свойство ассоциативности. 
3.  – свойство дистрибутивности.  
4.       
5.
 

Транспонирование и умножение матриц

Эти операции над матрицами не относятся к числу линейных. 

Определение: Транспонированной матрицей    для матрицы  A  размера называется матрица размера , полученная из  A заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами. 
То есть, если  

Пример №20

 

Определение: Если   , то матрица А называется симметрической. 

Все диагональные матрицы симметрические, так как равны их элементы, 
симметричные относительно главной диагонали. 

Очевидно, справедливы следующие свойства операции транспонирования: 

 

Определение: Пусть    –  матрица  размера    – 
матрица  размера  .  Произведение  этих  матриц       –  матрица    размера , элементы которой вычисляются по формуле:  
 то есть элемент i -й строки  и  j -го столбца матрицы C  равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы  A  и  j -го столбца матрицы B.

Пример №21

Произведение  – не существует.

Свойства операции умножения матриц

1. , даже если оба произведения определены. 

Пример №22

 

Определение: Матрицы  A  и  B  называются перестановочными, если , в противном случае  A  и  B  называются не перестановочными. 
Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера. 

Пример №23

   

матрицы C  и  L   перестановочные. 
 – перестановочные матрицы. 

Вообще единичная матрица перестановочная с любой квадратной матрицей того же порядка, и для любой матрицы   . Это свойство матрицы  E  объясняет, почему именно она называется единичной: при умножении 
чисел таким свойством обладает число 1. 

Если соответствующие  произведения определены, то: 

Пример №24

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной. 
 

Пример №25

Определители и их свойства

Каждой  квадратной  матрице  можно  по  определенным  правилам  поста-
вить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем. 
Рассмотрим  квадратную  матрицу  второго  порядка:  
Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так: 
 
Такой определитель называется определителем второго порядка и может  
обозначаться по-другому: 

Определителем  третьего  порядка  называется  число,  соответствующее квадратной матрице  , которое вычисляется по правилу: 

Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так: 
 
 

Пример №26

Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать: 

Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных. 

Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что  

То  есть  при  вычислении  определителя  третьего  порядка  используются 
определители второго порядка, причем    – определитель матрицы, полученный из    вычеркиванием элемента   (точнее, первой строки и первого столбца,  на  пересечении которых  стоит  ),    – вычеркиванием элемента  – элемента  
 

Определение: Дополнительным минором    элемента  квадратной матрицы  A  называется определитель матрицы, получаемой из  A  вычеркиванием i -ой строки и k -го столбца. 

Пример №27

и так далее:  матрица третьего порядка  имеет  9 дополнительных миноров. 
 

Определение: Алгебраическим  дополнением элемента aik  квадратной 
матрицы  A  называется  число  

Пример №28

Для матрицы  A2 : 
Для матрицы  A3:    и так далее.  
Итак, с учетом сформулированных определений (1.3) можно переписать в 
виде:   
Перейдем теперь к общему случаю.

Определение:  Определителем  квадратной  матрицы     порядка  n называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом: 

Равенство  (1.4)  называется  разложением  определителя  по  элементам  первой строки. В этой формуле алгебраические дополнения вычисляются как определители -го порядка. Таким образом, при вычислении определителя  4-го порядка по формуле (1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4 определителя 3-го порядка; при вычислении определителя 5-го порядка – 5 определителей   4-го порядка  и  т.д.  Однако  если,  к  примеру,  в  определителе  4-го  порядка  первая строка содержит 3 нулевых элемента, то в формуле (1.4) останется лишь одно ненулевое слагаемое.  

Пример №29

Рассмотрим (без доказательства) свойства определителей: 

1.  Определитель можно разложить по элементам первого столбца: 

Пример №30

    

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. 

2.  При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется:  
 
Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны. 

3.  Если  в  определителе  поменять  местами  две  строки  (два  столбца),  то 
определитель  изменит  свой  знак,  не  изменившись по  абсолютной  вели-
чине.  

4.  Определитель, имеющий две  равные строки (столбца), равен нулю. 

5.  Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на число , то величина определителя  умножится на это число. 
Отсюда, в частности, следует, что общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Кроме того, определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю. 

6.  Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю. 

7.  Определитель  можно  разложить  по  элементам  любой  строки  (любого 
столбца):    
или  
Равенство  (1.6)  называется  разложением  определителя  по  элементам  i -й строки. 
Равенство  (1.7)  называется  разложением  определителя  по элементам k -го столбца.       

8.  Сумма  произведений  всех  элементов  некоторой  строки  (столбца)  на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки  (столбца) равна нулю, то есть при 

9.  Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам некоторой строки  (столбца)  соответствующих  элементов  другой  строки  (столбца),умноженных на одно и то же число.  

10.  Определитель произведения двух матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц: ( A, B – квадратные матрицы одного порядка).

Пример №31

 ,  так  как  элементы  первой  и  второй  строк этого определителя соответственно пропорциональны (свойство 6).  
Особенно часто при вычислении определителей используется свойство 9, так как оно позволяет в любом определителе получать строку или столбец,  где все элементы, кроме одного, равны нулю.  

Пример №32

 

Определение обратной матрицы

Определение:  Матрица    называется  обратной  для  матрицы  A , если она вместе с  A  удовлетворяет условию:   , где  E  – единичная матрица. 

Из определения следует, что  A  и    – перестановочные, значит, обратная матрица  существует  лишь  для  квадратной  матрицы  A   (прямоугольные  матрицы обратных не имеют).  

Определение:  Квадратная  матрица  A   называется  невырожденной, если . Если , то  A  называется  вырожденной.

Пример №33

по свойству 6 определителей, то есть  A  – вырожденная.  
, значит,  B – невырожденная.  
 

Теорема:  Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну. 

Доказательство: Рассмотрим  для  определенности  квадратную матрицу  A  третьего порядка: 

Покажем, что матрица вида  является обратной для   – алгебраические дополнения элементов  матрицы   ). 

По  условию  A   –  невырожденная,  т.е.     существует.    Найдем произведение  , используя свойства 7,8 определителей: 

Аналогично доказывается, что   . 

Следовательно, по определению матрица  X  является обратной для  A .  
Докажем единственность обратной матрицы. 
 

Пусть невырожденная матрица  A  имеет две обратные:   . Тогда по определению 

Умножим (1.8) слева на  
 

Используя свойство 2 умножения матриц и равенство (1.9), получим:  
 

Таким образом, обратная матрица единственна, что и требовалось доказать. 
Обратная матрица для матрицы  A  n - го порядка имеет вид: 

 

Пример №34

Найти матрицу, обратную для  

 существует.
Проверка: 

Пример №35

Найти матрицу, обратную для          

существует. 

Проверка: 

Аналогично проверяется, что
 

Крамеровские системы уравнений

Рассмотрим систему n  линейных уравнений с n  неизвестными: 

Матрица, составленная из коэффициентов системы (1.10)  

называется основной матрицей системы (1.10), – основной определитель системы (1.10). 
 
 

Определение: Система  линейных  уравнений  называется  Крамеровской, если 
1) число уравнений равно числу неизвестных; 
2) основной определитель не равен нулю. 

Рассмотрим матрицы   Х – столбец неизвестных,  
В – столбец правых частей. Очевидно, что система (1.10) может быть записана 
в виде матричного уравнения 

 

Определение: Совокупность  n  чисел  называется решением системы (1.10), если каждое из уравнений  системы обращается в верное числовое равенство при подстановке в него чисел  вместо соответствующих переменных  

Теорема: Всякая Крамеровская система имеет решение, причем одно.  

Доказательство: По условию . Значит, для основной матрицы А системы существует обратная матрица   . Умножим (1.11) на    слева: 

По формуле (1.12) определяется каждое из неизвестных    то есть находится  решение  системы  (1.10),  причем  оно  единственно,  так  как  единственна обратная матрица  .

ЗАМЕЧАНИЕ. Способ решения системы (1.10) по формуле (1.12) называется матричным способом решения системы линейных уравнений.

Пример №36

Решить систему уравнений матричным способом: 

В  предыдущем  примере    было  показано,  что   ,  значит,  систему матричным способом решить можно. Там же была найдена обратная матрица 

Таким образом,    Проверкой убеждаемся, что решение найдено верно. 
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Матричный способ удобен, когда надо решить несколько Крамеровских  систем, которые отличаются только правыми частями.  
Вернемся к равенству (1.12). Из него следует, что  
                                                     
где   –  определитель  матрицы,  полученной  из  А  заменой  ее  i -го столбца  на  столбец  правых  частей  системы  (1.10)  ,  .  Формулы (1.13) называются формулами Крамера. 
 

Ранг матрицы и элементарные преобразования

Определение:  Минором  порядка   k  матрицы А называется определитель  k -го порядка, составленный из элементов матрицы А, стоящих  на пересечении произвольно  выбранных k строк и  k столбцов без изменения порядка их следования. 

Пример №37

Рассмотрим матрицу 

Миноры первого порядка – каждый элемент матрицы  A .  
Миноры  второго порядка:   и так далее.  
Матрица   A  имеет всего 18 миноров второго порядка. 
Миноры третьего порядка:
Миноров четвертого порядка у этой матрицы нет. 
 

Теорема: Если  все миноры  k -го порядка  матрица  А  равны нулю, то равны нулю и все миноры старших порядков, если они существуют. 

Доказательство: Рассмотрим минор порядка  (k+1) . Это определитель  (k-1) -го порядка, который ( по свойству 7 ) можно разложить по элементам некоторой  строки (столбца ). В разложении будут алгебраические дополнения, которые с точностью до знака совпадают с минорами  k - го порядка и по условию равны нулю. Поэтому равен нулю и рассматриваемый минор порядка k( 1 ). Аналогично равны нулю и миноры старших порядков  если они существуют, что и требовалось доказать. 
 

Определение:. Рангом  матрицы А называется такое целое число  r , 
что среди ее миноров  r -го порядка есть хотя бы один ненулевой, а все миноры 
порядка (r+1) равны нулю. 

Из доказанной теоремы следует, что, другими словами, ранг матрицы – это наивысший порядок отличного от нуля минора. 
Будем обозначать  ранг матрицы  A . 
Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны 
нулю, то есть если матрица нулевая. 

Пример №38

Матрица  F , очевидно, имеет ненулевой минор второго порядка, например,, но все ее миноры третьего порядка – их всего 16 – равны нулю, 
поэтому  Для того чтобы обнаружить этот факт без трудоемких вычислений, введем понятие элементарных преобразований. 
 

Определение: Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия: 

1. умножение любой строки на число ; 
2. перемена местами двух строк; 
3. прибавление ко всем элементам строки  соответствующих элементов другой  строки, умноженных на одно и то же число ; 
4. отбрасывание нулевой строки; 
5. отбрасывание одной из двух пропорциональных строк; 
6. те же преобразования со столбцами. 

Теорема: Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. 
С их помощью всякую матрицу можно привести к диагональному виду, и ее ранг равен количеству ненулевых элементов на главной диагонали (без доказательства). 

Покажем теперь, что ранг матрицы F из последнего примера равен 2. 

При переходе от  F  к    использовались элементарные  преобразования  3), 5), 6): первую строку  F прибавили ко второй и четвертой, затем отбросили две из трех пропорциональных строк; далее первый столбец   прибавили ко второму и четвертому с коэффициентами 2 и (-4) соответственно и два из трех пропорциональных столбцов отбросили. По теореме  2 
Вычислить   очевидно, можно было, получив лишь матрицу   не выполняя дальнейших преобразований.

Исследование произвольных систем  линейных уравнений

Рассмотрим систему  m линейных уравнений с n неизвестными. 

Матрица называется основной матрицей системы (1.14), а    

– расширенной матрицей системы (1.14). 
 
 

Определение: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет. 

Определение:  Совместная  система  называется  определенной,  если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений у нее более одного. 

Пример №39

 - единственное решение системы
- решений нет
 - решений бесконечное множество

Теорема:  (Кронекера-Капелли,  критерий  совместности  системы  линейных уравнений)   Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен  рангу расширенной (без доказательства). 

Теорема: (о числе решений). Пусть выполнены условия совместности системы линейных уравнений. Тогда, если   , где n  – число неизвестных, то система имеет единственное решение. Если   , то система имеет  бесконечное множество решений, при этом  (n - r ) переменных задаются свободно, тогда оставшиеся  r  переменных определятся единственным образом (без доказательства). 

Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений вида  

называется однородной. 
 

Однородная система всегда совместна, так как    – ее решение. Такое решение называется нулевым или тривиальным.  
 

Теорема:  Для  того  чтобы  система  линейных  однородных  уравнений (1.15) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы  r   был меньше числа неизвестных  n . 

Доказательство:

1. Достаточность:  (1.15) имеет нетривиальное решение.  По теореме о числе решений система  в этом случае имеет бесконечное множество решений, среди которых содержатся и нетривиальные. 
2. Необходимость: (1.15) имеет нетривиальное решение  Пусть  r = n,  тогда  по  теореме  о  числе  решений  система  (1.15)  имеет  единственное решение. Это решение тривиальное, что противоречит условию. Поэтому сделанное предположение неверно  и r > n.

Следствие: Для того чтобы однородная система   n  уравнений  с   n  неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю. 

Доказательство:

1. Достаточность:  система имеет нетривиальное решение.  Так как единственный минор  n -го порядка равен нулю, то  r < n, значит, нетривиальное решение существует. 
2. Необходимость: система имеет нетривиальное решение Если  то не равен нулю минор  n -го порядка основной матрицы, значит,  r = n и решение единственно, что противоречит условию. 

Метод Гаусса

Этим методом можно решить любую систему линейных уравнений (1.14) или доказать, что она несовместна. Он состоит в  последовательном исключении  неизвестных  системы  (1.14)  по  следующей  схеме:  выписывается  расширенная  матрица  системы     и  приводится    к  наиболее  простому  виду  –  треугольному или виду трапеции – с помощью следующих преобразований над ее  строками: 

1. перемена местами двух строк  (уравнений); 
2. умножение любой строки (уравнения) на число
3.  отбрасывание  одной  из  двух  равных  или  пропорциональных  строк  (уравнений) ; 
4. прибавление к любой строке (уравнению) другой строки (уравнения),  умноженной на число

После выполнения преобразований возможны три  случая:  
а) . В этом случае  A  эквивалентна треугольной матрице и   , значит, решение системы единственно. Последовательно вычисляя  неизвестные снизу вверх, находим решение системы.

б)  В этом случае   A   эквивалентна  трапециевидной матрице, значит,  r < n и система имеет бесконечное множество решений: (n - r ) переменных перенесем вправо и будем считать их свободными (известными), тогда оставшиеся  r  переменных определятся единственным образом  как функции свободных. 
в) . В этом случае  , и система несовместна. 
 

Пример №40

Решить систему линейных уравнений: 
Выпишем расширенную матрицу и системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований над строками: 

Очевидно, что   по  теореме 

Кронекера-Капелли система совместна. 
, значит, по теореме о числе решений система неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений и   n - r = 2 – число свободных переменных.

Выпишем систему, соответствующую матрице     и  эквивалентную исходной: 

Перенесем  в  правую  часть    переменные    считая  их  свободными (– зависимые переменные):  

Теперь подставим    в первое уравнение и выразим    через свободные переменные: 
 – общее решение системы. 
 

Определение:  Общим решением системы (1.14) называется   решение, содержащее информацию обо всех неизвестных, в котором зависимые переменные выражаются как функции свободных. 

Решение,  полученное  из  общего  при  конкретных  значениях  свободных переменных, называется частным решением. 
Например, частными решениями этой системы являются:  

Сделаем проверку частного решения  (для всех уравнений исходной системы!): 

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Векторная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика