Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Периодические дроби с примерами решения

Каждое рациональное число является действительным числом, а поэтому может быть записано в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной. Хорошо известно, как это делается, когда Периодические дроби с примерами решения

Периодические дроби с примерами решения

Применим теперь этот метод обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу Периодические дроби с примерами решения Для этого разделим Периодические дроби с примерами решения Периодические дроби с примерами решения

Таким образом, Периодические дроби с примерами решения

Бесконечная дробь, стоящая в правой части этого равенства, содержит периодически повторяющуюся группу цифр 72. Эта группа цифр называется периодом дроби, а сама дробь — периодической. При записи таких дробей период заключают в скобки и пишут один раз:

Периодические дроби с примерами решения

(Читается: «Одна целая семьдесят два в периоде».)

Еще один пример: Периодические дроби с примерами решения

(Читается: «Нуль целых восемь десятых шестьдесят три в периоде».)

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы получаем бесконечную десятичную дробь. Поэтому конечные десятичные дроби тоже считаются периодическими с периодом 0. (При делении двух натуральных чисел не могут получиться дроби с числом 9 в периоде, поэтому в школьном курсе алгебры их не рассматривают.)

Приведенные примеры дают возможность догадаться, что каждое рациональное число записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Чтобы в этом убедиться, заметим, что для обращения обыкновенной дроби Периодические дроби с примерами решения в десятичную мы на каждом шаге остаток от деления (он был равен либо 8, либо 3) умножали на 10 и делили на 11. Но при делении на 11 вообще возможны лишь 11 различных остатков. Значит, на каком-то шаге остаток обязательно повторится (в нашем примере это случилось на третьем шаге), и поэтому в результате деления должна получиться периодическая дробь.

Наоборот, каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Каждую периодическую десятичную дробь можно рассматривать либо как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, либо как сумму конечной десятичной дроби и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это позволяет представлять периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей.

Пример №1

Обратить в обыкновенную дробь число:

Периодические дроби с примерами решения

Решение:

Периодические дроби с примерами решения

Периодические дроби с примерами решения

Таким образом, число 0,(7) есть Периодические дроби с примерами решения — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Периодические дроби с примерами решения где Периодические дроби с примерами решения

Значит, Периодические дроби с примерами решения

б) Периодические дроби с примерами решения

Периодические дроби с примерами решения

Сумму, стоящую в скобках, обозначим буквой S. ТогдаПериодические дроби с примерами решения есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом Периодические дроби с примерами решения и знаменателем Периодические дроби с примерами решения

Значит, Периодические дроби с примерами решения

Таким образом,

Периодические дроби с примерами решения

Ответ: Периодические дроби с примерами решения

Изучением периодических дробей занимался великий немецкий математик К- Ф. Гаусс (1777—1855). Уже в детстве он делил единицу на все подряд простые числа р из первой тысячи. При этом Гаусс подметил, что, начиная с какого-то места, десятичные знаки начинают повторяться, т. е. получаются периодические десятичные дроби. А периоды некоторых дробей достигали нескольких сотен десятичных знаков. Рассматривая эти примеры, Гаусс установил, что число цифр в периоде всегда является делителем числа Периодические дроби с примерами решения

Пример №2

Найти значение выражения:

Периодические дроби с примерами решения

Решение:

Обратив каждое из чисел в обыкновенную дробь (см. пример 1), получим: Периодические дроби с примерами решения

Ответ: Периодические дроби с примерами решения