Тождества с корнями, содержащие одну переменную с примерами решения

Содержание:

Корни

Теорема:

Пусть — нечетное число. Тогда при любом значении верны равенства:

Доказательство:

Равенства (1) и (2), как и другие равенства в теоремах этого пункта, очевидно, верны при . Поэтому доказательства проводятся для

Рассмотрим равенство (1). Возведя его левую и правую части в -ю степень, получим

Согласно тождеству (1) из п. 1.2 это верное числовое равенство при любом значении По следствию из п. 1.1 верно и равенство

Равенство (2) доказывается аналогично: устанавливается, что степени его левой и правой частей равны, и на основании следствия из п. 1.1 делается вывод об истинности равенства (2) при любом значении

Аналогичными рассуждениями можно обосновать и остальные равенства в теоремах этого пункта.

Заметим, что каждое из этих равенств является тождеством, поскольку оно обращается в верное числовое равенство при любом значении переменной, при котором входящие в это равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

Пусть — четное число. Тогда при любом значении верно равенство:

Теорема 3. Пусть — натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном значении верны равенства:

Заметим, что, когда оба числа нечетные, равенства (4) и (5) верны для любых значений , а не только для неотрицательных.

Равенство (5) означает, что при извлечении корня, из корня подкоренное выражение остается прежним, а показатели корней перемножаются.

Теорема:

Пусть — целое число. Тогда при любом положительном значении верно равенство

Примеры с решением

Пример №1

Найти значение при:

Решение:

б)

Ответ:

Пример №2

Сравнить числа

Решение:

Поскольку верно неравенство 12 > 8, то будет верным и неравенство Следовательно,

Ответ:

Пример №3

Решить уравнение:

Решение:

а) По определению корня -й степени имеем, что данное уравнение равносильно уравнению

б)

Ответ:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда и получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем:

Решив эти уравнения, найдем:

Ответ: