Действия с корнями нечетной степени с примерами решения

Содержание:

Теорема:

Пусть

1) При любых значениях

2) При любых значениях верно равенство

3) при любых значениях верно равенство

Доказательство:

Легко убедиться, что выражения, входящие в равенства (1)—(3), имеют смысл. Эти равенства, очевидно, верны при а равенства (1) и (3) — и при Поэтому доказательства проводятся при

Докажем утверждение 1). Возведем левую и правую части равенства (1) в степень:

(поясните каждое равенство).

Тогда и согласно следствию из п. 1.1 имеем

Тождества (2) и (3) из утверждений 2), 3) теоремы доказываются аналогично (докажите их самостоятельно). ▲

Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так:

Пусть — нечетное число. Корень степени из произведения двух чисел равен произведению корней степени из этих чисел.

Такая же теорема верна при любом числе перемножаемых корней (доказывается она совершенно аналогично).

Пусть — нечетное число. Корень степени из произведения нескольких чисел равен произведению корней степени из этих чисел.

Таким образом, при любых значениях верно равенство

В частности, полагая в этом равенстве получим

Утверждение 2) теоремы можно сформулировать так:

Пусть — нечетное число. Корень степени из дроби равен частному от деления корня степени из числителя на корень степени из знаменателя.

Преобразование выражения к виду (в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени.

Преобразование выражения к виду называется внесением множителя под знак корня нечетной степени.

Заметим, что каждое из равенств (1)—(5) является тождеством.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры с решением

Пример №1

Найти значение выражения

Решение:

Пример №2

Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Пример №3

Внести множитель под знак корня:

Решение:

Пример №4

Освободиться от иррациональности в знаменателе:

Решение:

используем формулу домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности выражений т. е. на выражение