Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Содержание:

Определение:

Геометрическая прогрессия со знаменателем

Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий

Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Пример №1

Последовательность

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с

первым членом и знаменателем

Пример №2

Последовательность

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем (здесь ). Изобразим четыре первых члена геометрической прогрессии из примера 1 на координатной прямой (рис. 1).

Мы видим, что чем больше номер прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т.е. тем меньше его модуль, и с увеличением этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,01, то

Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2).

И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,001, то Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии чем больше номер п члена прогрессии тем меньше и с увеличением этот, модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется еще и так:

стремится к нулю при стремящемся к бесконечности.

Заметим, что если стремится к нулю при стремящемся к бесконечности.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем

Запишем формулу суммы первых членов этой прогрессии и преобразуем это выражение: Обозначим

Тогда получим

Так как стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Значит, стремится к нулю при , стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число (чем больше слагаемых в сумме ), тем меньше разница между и Поэтому число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример №3

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение:

Ответ:

• Заказать решение задач по высшей математике

Всё о бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Пример:

Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью .

Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью . Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью . Будем продолжать этот процесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность

у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на .

Естественно считать, что сумма равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата.

Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть из слагаемых:

Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Поэтому

С возрастанием значения переменной значение выражения становится все меньше и меньше: значение переменной всегда можно подобрать так, что значение выражения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму считают равной 1.

Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию

где . Для таких прогрессий истинно условие , их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем называется число .

Это определение объясняется тем, что с увеличением число все меньше отличается от суммы первых членов этой прогрессии. Действительно,

.

Поскольку , то с увеличением приближается к нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое . Поэтому сумма приближается к .

Пример №4

Найдем значение суммы

.

Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой и . Поэтому

Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например:

Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида . Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр , а дробная — с помощью цифр .

Теорема 7.

Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде.

Доказательство:

Пусть — периодическая десятичная дробь, где — цифры периода. Тогда число можно представить бесконечной суммой:

в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на . Это означает, что бесконечную периодическую дробь можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым

членом и знаменателем . Поэтому

Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58.

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем:

Теорема 8.

Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде.

Доказательство:

Пусть — периодическая десятичная дробь, где — цифры предпериода, — цифры периода. Тогда число можно представить суммой

или, с учетом теоремы 7, суммой

Преобразуем полученное выражение:

Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59.

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем: