Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Содержание:

Определение:

Геометрическая прогрессия со знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий

Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Пример №1

Последовательность

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с

первым членом Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решенияи знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №2

Последовательность

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения (здесь Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения). Изобразим четыре первых члена геометрической прогрессии из примера 1 на координатной прямой (рис. 1).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Мы видим, что чем больше номер прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т.е. тем меньше его модуль, и с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,01, то

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,001, то Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения чем больше номер п члена прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения тем меньше Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения этот, модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется еще и так:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремящемся к бесконечности.

Заметим, что если Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решениястремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решениястремящемся к бесконечности.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членомБесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Запишем формулу суммы первых Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения членов этой прогрессии и преобразуем это выражение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Обозначим

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Тогда получим

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Так как Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решениястремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремящемся к бесконечности. Значит, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения стремится к нулю при Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения (чем больше слагаемых в сумме Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения), тем меньше разница между Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Поэтому число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример №3

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Решение:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Ответ: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Всё о бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Пример:

Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Будем продолжать этот процесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Естественно считать, что сумма Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата.

Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения из Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения слагаемых:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

С возрастанием значения переменной Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения значение выражения Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения становится все меньше и меньше: значение переменной Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения всегда можно подобрать так, что значение выражения Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения считают равной 1.

Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Для таких прогрессий истинно условие Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения со знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения называется число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Это определение объясняется тем, что с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения все меньше отличается от суммы первых Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения членов этой прогрессии. Действительно,

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Поскольку Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, то Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения с увеличением Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения приближается к нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому сумма Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения приближается к Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Пример №4

Найдем значение суммы Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, а дробная — с помощью цифр Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Теорема 7.

Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде.

Доказательство:

Пусть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — периодическая десятичная дробь, где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — цифры периода. Тогда число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения можно представить бесконечной суммой:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Это означает, что бесконечную периодическую дробь можно рассматривать как сумму Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым

членом Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и знаменателем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения. Поэтому

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Теорема 8.

Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде.

Доказательство:

Пусть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — периодическая десятичная дробь, где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — цифры предпериода, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — цифры периода. Тогда число Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения можно представить суммой

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

или, с учетом теоремы 7, суммой

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Преобразуем полученное выражение:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения