Корень n-й степени с примерами решения

Содержание:

Перейдем к изучению корней степени п для произвольного натурального числа

Определение:

Пусть называется такое число степень которого равна .

Таким образом, утверждение « — корень -й степени из » означает, что .

Корень 3-й степени называется также кубическим.

Например, кубический корень из числа — это число , так как . Кубический корень из числа — это число , так как .

Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как . Корень 7-й степени из числа -128 — это число -2, так как . Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как .

Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени п из любого числа . Этот корень обозначается

Например, .

Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда п нечетное, то при любом значении а верно равенство

Например,

Заметим, что 0 — это единственное число, -я степень которого равна 0. Поэтому при любом натуральном существует единственный корень -й степени из 0 — это число 0, т. е. .

Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: -7 и 7 — квадратные корни из 49, а -15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и -3, так как и . Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и -2, так как и .

Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени п из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается

Например,

Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда четное, то при любом положительном, значении а верно равенство

Например, .

Не существует такого числа, 4-я степень которого равна -81. Поэтому корня 4-й степени из числа -81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то не существует корня четной степени из отрицательного числа.

Определение:

Неотрицательный корень -й степени из числа называется арифметическим корнем -й степени из .

При четном символом обозначается только арифметический корень -й степени из числа (при чтении записи слово «арифметический» обычно пропускают).

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь корень -й степени из числа — это значит найти значение выражения

Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение при четном и отрицательном не имеет смысла.

Например, не имеют смысла выражения

Как мы установили, при любом значении , при котором выражение имеет смысл, верно равенство

(1)

Поэтому равенство (1) является тождеством.

В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ (от латинского слова radix — корень). Так, выражение в символике Шюке имело вид

Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.

Знак еще называют радикалом.

Определение корня n-й степени

Корнем степени из числа называется число, степень которого равна .

Например, корнем степени из числа является , потому что . Корнем степени из числа является и , потому что и .

Если нечетное число, то для любого числа существует единственное действительное число, степень которого равна .

Если четное число, то при существуют два действительных числа, степень которых равна . Эти числа являются взаимно противоположными.

Если четное число, при не имеет действительного корня.

Арифметическим корнем степени из числа называется неотрицательное число, степень которого равна . Обозначается и читается так: «корень степени из числа ». Число называется подкоренным числом или подкоренным выражением, - показателем корня. При отрицательный корень четной степени из числа обозначается

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень той же степени. Например,

Если , то

Если нечетное число, то выражение имеет смысл для любого

Если четное число, то выражение имеет смысл только при

При всех значениях имеющего смысл выражения , справедливо

Если нечетное число, Если четное число, то

Пример 1:

Если , то

Пример 2:

Примеры:

1. Уравнение с нечетной степенью имеет единственный действительный корень:
2. Уравнение не имеет действительных корней, т.к. степень с четным показателем не равна отрицательному числу.
3. Уравнение имеет два действительных корня:

Корень n-й степени и его свойства

Свойство 1.

Если и то,

Корень степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней степени сомножителей.

Пример:

Свойство 2.

Если и то,

Корень из дроби степени с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен отношению корней степени числителя и знаменателя.

Пример:

Свойство 3.

Если - натуральные числа и , то

Пример:

Свойство 4.

Если - натуральные числа и , то

Действительно, при выражения и имеют смысл и их значения неотрицательны. Т.к. то,

Пример:

Свойство 5.

Если натуральные числа и то, . Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Действительно, согласно свойству 4,

Пример:

Пример: Вычислите значение выражения

• Заказать решение задач по высшей математике

Вынесение множителя из-под знака контроля

Примеры:

Примеры с решением

Пример №1

Верно ли, что:

а) б)

Решение:

а) По определению арифметический корень -й степени из неотрицательного числа (—четное число) является неотрицательным числом, -я степень которого равна подкоренному выражению .

Поскольку , то равенство неверное. Верно равенство

б) По определению корень -й степени из числа ( — нечетное число) является числом, -я степень которого равна подкоренному выражению .

Поскольку — верное равенство, то равенство верное.

Пример №2

Решить уравнение:

Решение:

а) Решением этого уравнения является такое значение , 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают , то второй корень равен , т. е.

Ответ:

В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:

Решение:

Ответ:

Пример №3

Решить уравнение:

Решение:

а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при , поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения

б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении , поэтому решением уравнения является любое действительное число, a R — множество всех его корней.

Ответ:

Пример №4

Решить уравнение:

Решение:

Обозначим , тогда получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем

откуда (поясните, почему уравнение не имеет корней).

Ответ: