Интегрирование тригонометрических функций с примерами решения

Содержание:

Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка

При вычислении неопределенных интегралов от рациональной функции, зависящей только от тригонометрических функций применяется универсальная тригонометрическая подстановка, применение которой обосновано следующими формулами, связывающими функции синуса и косинуса с тангенсом половинного аргумента

При исчислении интегралов вида

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой

Замечание: Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку следует применять не во всех случаях. Для некоторых типов интегралов от тригонометрических функций, которые будут рассмотрены ниже, существуют более простые способы вычисления.

2. Интегралы вида ( и - целые числа)

а). Если хотя бы одно из чисел m или n является нечетным целым числом, то от нечетной степени отделяют один множитель, а оставшуюся четную часть выражают через другую тригонометрическую фу нкцию с помощью основного тригонометрического тождества , при этом надо помнить, что, а .

Пример:

Вычислить

Решение:

Согласно изложенному способу вычисления, получим

Пример:

Вычислить

Решение:

б). Если m и n являются четными неотрицательными целыми числами, то используют тригонометрические формулы понижения степени: формулы подобия, например,

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Вычислить

Решение:

3. Интегралы вида .

При вычислении таких интегралов используют формулы:

и формулы подобия:

и

Пример:

Вычислить

Решение:

Так как (обратите внимание на тот факт, что величина всегда определяется по синусу при наличии косинуса), то

Пример:

Вычислить

Решение:

Интегралы вида и .

( и - целые положительные числа). Напомним, что При интегрировании используются формулы , , при этом надо помнить, что и

Пример:

Вычислить

Решение:

Преобразуем подынтегральную функцию к виду

Частными случаями рассмотренных интегралов являются интегралы вида и Такие интегралы вычисляются путем отделения квадрата подынтегральной функции и использованием вышеприведенных формул.

Пример:

Вычислить

Решение:

Интегралы вида и

(n- целое положительное число).

Такие интегралы вычисляются по частям с использованием рекуррентных формул. Вычислим, например,

Решая это равенство относительно величины получаем

Определение: Соотношения полученного типа называются рекуррентными. Рекуррентные соотношения позволяют по известному значению более низкого порядка вычислять значения искомой величины более высокого порядка. Аналогично полученному рекуррентному соотношению получают формулу для вычисления

Пример:

Вычислить

Решение:

Согласно рекуррентному соотношению получаем:

Интеграл вычислен в п. 2а), поэтому окончательный ответ имеет вид