Исследование функций с помощью производных с примерами решения

Содержание:

Исследование функций с помощью производных

Необходимое условие возрастания и убывания функции

Из определений возрастающей и убывающей функций следует необходимое условие возрастания и убывания функции.

Теорема: Если дифференцируемая функция

Доказательство: Пусть дифференцируемая функция возрастает на сегменте Возьмем произвольную точку и дадим ей приращение Тогда в силу возрастания функции ее приращение Отсюда следует,что величина Совершая предельный переход в этом неравенстве при получим Аналогично теорема доказывается в случае, когда функция убывает на сегменте

Замечание: С геометрической точки зрения возрастающая на сегменте функция в каждой точке своего графика характеризуется касательной, которая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол. Если функция убывает на сегменте , то касательная образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

Пример:

Найти интервалы возрастания и убывания функции

Решение:

Из графика этой функции видно, что Согласно необходимому признаку возрастания и убывания функции вычислим ее первую производную: Эта производная будет отрицательной положительной величиной. Следовательно, в полном соответствии с графиком функции

Достаточное условие возрастания и убывания функции

Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная то функция возрастает на сегменте Если ее первая производная , то функция убывает на сегменте

Доказательство: Пусть первая производная функции Возьмем из этого интервала две любые точки (для определенности примем, что ). Тогда по теореме Лагранжа (см. Лекцию № 19) на интервале найдется хотя бы одна точка х такая, что Так как на интервале следовательно,

Таким образом, функция возрастает на сегменте В силу произвольности выбранных точек полученное утверждение справедливо для всего сегмента Достаточное условие убывания функции на сегменте доказать самостоятельно.

Условия постоянства функции на сегменте (a; b)

Условия постоянства функции на сегменте .

ТЗ. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная , то функция постоянна на сегменте .

Доказательство: Пусть первая производная функции Возьмем произвольную точку и рассмотрим сегмент На этом сегменте выполняются все условия теоремы Лагранжа, следовательно,

Так как по условию теоремы то и в точке с первая производная функции обращается в нуль. Отсюда получаем,что В силу произвольности точки х полученное равенство выполняется т.е. функция постоянна на сегменте

Минимум и максимум (экстремумы) функции

Пусть функция непрерывна в точке

Определение: Функция имеет в точке минимум (min), если существует такая -окрестность точки что значение функции в любой другой точке -окрестность точки превышает значение функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство

Обозначение

Определение: Функция имеет в точке максимум (max), если существует такая -окрестность точки значение функции в любой другой точке из -окрестность точки х0 меньше значения функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство

Обозначение

Пример:

Найти на заданном графике точки максимума и минимума (Рис. 77).

Рис. 77. Максимумы и минимумы заданной функции.

Решение:

Определение: Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.

Замечание: Точки экстремума всегда являются внутренними точками области определения функции.

Замечание: Не следует путать минимальное значение функции с наименьшим значением функции на сегменте а максимальное значение функции - с наибольшим значением функции на сегмен- те

Замечание: Из определения экстремума следует, что в точке минимума выполняется неравенство а в точке максимума - в некоторой малой -окрестности точки

Необходимое условие существования экстремума функции

Теорема: Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее первая производная в этой точке равна нулю, т.е.

Доказательство: Пусть в точке функция имеет максимум. Так как функция дифференцируема в точке то в этой точке существует ее первая производная При стремлении (слева) приращение аргумента , а приращение функции следовательно, При стремлении (справа) приращение аргумента а приращение функции следовательно, Так как производная в точке не может одновременно быть и отрицательной и положительной, то в этой точке она равна нулю, т.е. Случай, когда в точке х0 наблюдается минимум, доказать самостоятельно.

Замечание: Обращение в нуль первой производной функции в точке х0 я взлетел необходимым, но не достаточным условием существования экстремума в этой точке. Непрерывная функция может иметь экстремум в точке х0 даже в том случае, когда ее первая производная в этой точке не существует. В этом случае говорят об “острых” экстремумах.

Пример:

Доказать, что функция имеет “острый” экстремум в точке

Решение:

Из Рис. 72 видно, что в точке функция определена и непрерывна, одна- ко ее первая производная т.е. в точке первая производная функции не существует. Однако по графику функции видно, что в точке заданная функция имеет “острый” экстремум.

Определение: Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Замечание: Всякая точка экстремума является критической точкой, однако не любая критическая точка будет экстремумом.

Пример:

Доказать, что функция не имеет экстремума в точке

Решение:

В точке первая производная функции Однако из графика кубической параболы видно (график кубической параболы см. в Лекции № 22), что в точке она экстремума не имеет. Следовательно, исследуемая точка является критической точкой, но не точкой экстремума.

Исследование функций с помощью производных

Первый и второй достаточные признаки существования экстремума

Первый достаточный признак существования экстремума:

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки

, кроме может быть самой точки , и при переходе через эту точку слева направо ее первая произвол пая меняет свой знак с “+” на то в точке функция имеет максимум, а если ее первая производная меняет свой знак с на “+”, то в точке функция имеет минимум. Если при переходе через точку первая производная не меняет свой знак, то в этой точке экстремума нет.

Второй достаточный признак существования экстремума:

Теорема: Если в точке первая производная функции обращается в нуль(), а вторая производная существует, непрерывна в некоторой окрестности этой точки и отлична от нуля в самой точке (), то в точке наблюдается экстремум. Если при этом то точка является точкой минимума, а при - точкой максимума.

Пример:

Найти и определить тип экстремумов функции

Решение:

Вычислим первую производную функции и приравняем ее к нулю с целью отыскания критических точек: Так как показательная функция Отсюда находим критические точки Отложим эти точки на числовой оси и на каждом интервале определим знак первой производной функции, т.е. применим первый достаточный признак существования экстремума:

При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с "-" на "+," следовательно, в этой точке наблюдается минимум. При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “+” на "-" следовательно, в этой точке наблюдается максимум. Применим второй достаточный признак существования экстремума, для чего вычислим вторую производную функции: Вычислим значение второй производной функции в точке следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Вычислим значение второй производной функции в точке следовательно, в этой точке функция имеет максимум.

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте (a; b)

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Пусть функция непрерывна на сегменте и имеет конечное число точек экстремума на этом интервале. Если наибольшее значение функция достигает внутри сегмента, то очевидно, что это будет один из максимумов (аналогично для наименьшего значения - один из минимумов). Однако возможны варианты, когда функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений на концах заданного сегмента. Поэтому для отыскания этих значений применяют следующую схему:

1. Находят область определения функции и убеждаются в том, что заданный сегмент входит в эту область.
2. Находят критические точки, для чего решают уравнение и точки, в которых первая производная функции не существует.
3. Вычисляют значения функции в критических точках, принадлежащих заданному сегменту, в точках, в которых первая производная функции не существует и на концах заданного сегмента.
4. Из полученных чисел выбирают наименьшее и наибольшее.

Пример:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Решение:

Действуя согласно вышеприведенной схеме, находим:

1. Следовательно, функция определена и непрерывна на заданном сегменте.

2. Вычислим первую производную Производная существует на всей числовой оси, поэтому найдем критические точки Отсюда на- ходим, что

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах заданного сегмента:

4. Из полученных чисел выбираем наименьшее и наибольшее числа, которые определяют наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Определение: График функции называется выпуклым на интервале если он лежит ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале (Рис. 78).

Рис. 78. Выпуклый график функции

Определение: График функции называется вогнутым на интервале если он лежит выше любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале (Рис. 79).

Рис. 79. Вогнутый график функции

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции на том или ином интервале определяются теоремой:

ТЗ. Если вторая производная функции на интервале существует и положительна, то на этом интервале график функции будет вогнутым. Если вторая производная функции на интервале существует и отрицательна, то на этом интервале график функции будет выпуклым.

Пример:

Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции

Решение:

Найдем вторую производную от заданной функции В силу того, что то график функции будет вогнутым на всей числовой оси.

Пример:

Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции

Решение:

Найдем вторую производную от заданной функции В силу того, что

то график функции будет выпуклым при отрицательных значениях аргумента и вогнутым при положительных значениях аргумента.

Определение: Точка, отделяющая вогнутую часть графика функции от выпуклой (или выпуклую часть графика функции от вогнутой), называется точкой перегиба.

Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба

Рассмотрим необходимое условие существования точки перегиба.

Теорема: Если функция дважды непрерывно дифференцируема на некотором интервале, содержащем точку перегиба , то в точке перегиба вторая производная равна нулю, т.е.

Замечание: Обращение в нуль второй производной функции в точке перегиба является необходимым, но не достаточным условием существования такой точки на графике функции.

Пример:

Доказать, что точка не является точкой перегиба графика функции

Решение:

Если вычислить вторую производную от заданной функции, то она будет равна Если приравнять это выражение к нулю, то получим, что точка должна быть точкой перегиба графика функции Однако график этой функции (см. Лекцию № 22) на всей числовой оси является вогнутым, т.е. точка не является точкой перегиба графика функции

Теорема: Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на некотором интервале, вторая производная которой в точке , принадлежащей этому интервалу, обращается в нуль () или не существует. Если при переходе через точку вторая производная функции меняет свой знак, то точка определяет точку перегиба графика функции

Пример:

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции (найти самостоятельно). Найдем точки подозрительные на перегиб: а)б) - не существует знаменатель дроби обращается в нуль при и Отложим эти точки на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале:

Из рисунка видно, что точка является точкой перегиба, так как при переходе через нее вторая производная изменяет свой знак. Точка не является точкой перегиба, так как при переходе через нее вторая производная не изменяет своего знака.

Асимптоты графика функции f (x)

Асимптоты графика функции

В большинстве практических случаев необходимо знать поведение функции при неограниченном росте (убыли) аргумента. Одним из наиболее интересных случаев, которые возникают при таком исследовании, является случай, когда график функции неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение: Прямая (l): называется асимптотой графика функции если расстояние от переменной точки графика до этой прямой стремится к нулю при стремлении аргумента

Замечание: График функции может приближаться к асимптоте сверху, снизу, слева, справа или колеблясь возле этой прямой (Рис. 80).

Рис. 80. Различные случаи приближения графика функции к асимптотам.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение: Вертикальная прямая называется вертикальной асимптотой, если Горизонтальная прямая называется горизонтальной асимптотой, если Прямая называется наклонной асимптотой (параметр и параметр отличаются от

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты: если то наклонная асимптота вырождается в горизонтальную при условии, что Если параметр то горизонтальной асимптоты нет.

Полная схема исследования функции с помощью производных

Из изложенного в Лекциях № 20 и №21 материала следует следующая схема исследования функции с помощью производных:

1. Находят область определения функции. При наличии точек разрыва II рода изучают поведение функции в их малой окрестности, т.е. вычисляют лево- и правосторонние пределы. При задании функции словесным образом также вычисляют лево- и правосторонние пределы для граничных точек интервалов, на которых функция описывается разными формулами.
2. Находят точки пересечения с координатными осями.
3. Определяют четная, нечетная или общего вида заданная функция.
4. Определяют периодическая или непериодическая заданная функция.
5. Находят критические точки, решая уравнение и определяют точки, в которых первая производная функции не существует. Точки откладывают на числовой оси и определяют знак первой производной на каждом интервале, определяя тем самым интервалы возрастания () и убывания( ) функции. Используя первый достаточный признак существования экстремума, находят точки экстремума и вычисляют значение функции в этих точках.
6. Находят точки подозрительные на перегиб, решая уравнение и определяют точки, в которых вторая производная функции не существует. Точки откладывают на числовой оси и определяют знак второй производной на каждом интервале, определяя тем самым интервалы вогнутости () и выпуклости () функции. Используя достаточный признак существования точки перегиба, находят точки перегиба и вычисляют значение функции в этих точках.
7. Находят асимптоты графика функции.
8. Результаты исследования заносят в сводную таблицу
9. Поданным таблицы строят схематичный график функции.

Замечание: При нахождении области определения функции надо помнить о действиях, запрещенных в области действительного переменного:

• нельзя делить на нуль, поэтому выражение, стоящее в знаменателе дроби, не должно равняться нулю;
• нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа, поэтому выражение, стоящее под корнем четной степени, должно быть неотрицательным ();
• основание логарифмической функции должно быть строго положительным и не равным единице;
• выражение, стоящее под логарифмом, должно быть строго положительным;
• выражение, стоящее под знаком arcsin или arccos, по модулю не должно превышать единицу ().

Пример:

Исследовать и построить схематичный график функции

Решение:

Используя схему исследования графика функции с помощью производных, найдем:

1.

2. Найдем точки пересечения графика функции с координатными осями

- точка пересечения с осью абсцисс;

- точка пересечения с осью ординат.

3. Вычислим - функция общего вида.

4. Функция непериодическая (периодическими среди элементарных функций являются функции: sinx, cosx, tgx и ctgx).

5. Найдем первую производную функции которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем критические точки, решая уравнение Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак первой производной на каждом интервале

Из рисунка видно, что Так как при переходе слева направо через точку х = -1 первая производная меняет свой знак с "-" на "+", то в точке наблюдается минимум. Вычислим значение функции в минимуме

6. Найдем вторую производную функции которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем точки, подозрительные на перегиб, решая уравнение Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале Из рисунка видно, что Так как при переходе слева направо через точку х = -2 вторая производная меняет свой знак, то в этой точке наблюдается точка перегиба. Вычислим значение функции в точке перегиба

7. Найдем асимптоты графика функции, для чего вычислим угловой коэффициент прямой Таким образом, при асимптот нет, а при возможна горизонтальная асимптота. Вычислим параметр Следовательно, график заданной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

8. Построим сводную таблицу

О(0; 0) - точка пересечения с координатными осями.

у = 0 - горизонтальная асимптота.

9. Построим схематичный график функции, выбрав по координатным осям разные масштабы измерения:

--------

Исследование функций с помощью производных

Определение 1. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на интервале ( a,b ), если
Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на
интервале ( a,b ), если
Возрастает:

Убывает:

Неубывает:

Невозрастает:

Функции из определения 1 называются монотонными.
Теорема 1. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ( a,b ) функция
y=f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале необходимо и достаточно,
чтобы
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим случай, когда f(x) не
убывает и докажем, что производная необходимо ≥ 0.
Пусть 

Пусть 
Таким образомчто и требовалось доказать.
Достаточность. Рассмотрим случай, когда и докажем, что этого достаточно для того, чтобы функция не убывала. Пусть 
Тогда по теореме Лагранжа (теорема 4 § 12) ∃ точка  такая, что
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ( a,b ) функция
y=f(x) возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы
.
Доказательство теоремы аналогично доказательству достаточности в теореме 1. Нужно заметить, что условие не является необходимым для возрастания (убывания) функции.

Пример 1.

Рассмотрим функцию  Она возрастает на промежутке ( -1;1). Но условие не выполнено в точке 

Теорема 3. (необходимое условие экстремума).
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки  и имеет в этой точке локальный экстремум (см. определение 1 §12). Тогда ее производная в этой точке равна 0 или не существует.

Доказательство.

Если производная  в точке не существует, то все доказано. Предположим, что - существует. Тогда по теореме Фермa (теорема 1 §12) , что и требовалось доказать.

Определение 2. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке  и производная  равна 0 или не существует. Тогда точка называется критической точкой для функции y=f(x) или точкой возможного экстремума.
Замечание. Для непрерывной функции любая точка локального экстремума
будет критической. Наоборот – не верно.
 

Пример 2.

Для функции , точка  - критическая, но не является точкой локального экстремума.
Для функции

(см. пример 9 §5)  - критическая и локальный максимум; =1 критическая и локальный минимум.
Для функции

точка  - локального минимума, производная y′ в точке  не существует. Точка  не является критической( в точке - разрыв 1-ого рода).
Для функции

точка = 0 - точка локального минимума. Точка не является критической( в точке  - разрыв 1-ого рода).
Теорема 4. (достаточное условие экстремума функции). Пусть функция y=f(x)
дифференцируема в некоторой окрестности  своей критической точки
за исключением может быть самой точки .
а) Пусть при переходе через точку производная меняет знак с « − »
на «+» :

Тогда  - точка локального минимума.
Пусть при переходе через точку  производная меняет знак с «+» на  « − »:

Тогда - точка локального максимума.
б) Пусть при переходе через точку  производная не меняет знака.
Тогда не является точкой локального экстремума.
Доказательство следует из теоремы 2. При этом важно, чтобы функция y=f(x) была непрерывна в точке (см. пример 2), а также то, что изолированная критическая точка.

Теорема 5. (второе достаточное условие экстремума функции).
Пусть  - стационарная точка для функции y=f(x), то есть =0.
Пусть  Тогда - точка локального минимума (локального
максимума).
Доказательство. Запишем формулу Тейлора 2-ого порядка для функции y=f(x) в окрестности точки :

(см. теорему 1 §14).
 =0, поэтому из (1) следует:

Из (2) следует, что ∃ окрестность точки , такая что знак совпадает со знаком  из этой окрестности, что и требовалось доказать.
Теорема 6. Пусть функция y=f(x) имеет в точке  n производных, причем
Тогда:
1) если n – четное и - точка локального минимума;
2) если n – четное и - точка локального максимума;
3) если n – нечетное, то в точке  локального экстремума нет.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.
 

Пример 3.

Исследовать на экстремум функцию 
Решение. Функция непрерывна ∀x∈R .

Найдем критические точки:

x=-2 - точка локального максимума: y(-2) = 108 y;
x = 0 - точка локального минимума; y(0) = 0.
x = −5 - не является точкой экстремума.

При исследовании функции на экстремум точки разрыва(если они есть)
также наносят на числовую прямую. При переходе через эти точки может
изменятся направление возрастания (убывания) функции.

Замечание. При решении ряда технических и экономических задач приходится находить не локальные, а глобальные экстремумы (наибольшие и наименьшие значения функций на некотором множестве). Из теоремы Вейерштрасса (см. теорему 1 §11) следует, что для непрерывной функции y=f(x) заданной на отрезке [ a,b] глобальные min и max существуют. При этом точки с 1 и с 2 – глобального min и max лежат либо на концах отрезка [ a,b], либо являются критическими для функции f(x).
 

Пример 4.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [ 0, 3 ].
Решение. Функция непрерывна ∀x∈R. Найдем критические точки:

 

Пример 5.

Боковые стороны и меньшее основание трапеции = а . Найти
длину большего основания, при котором площадь трапеции – наибольшая.

 критическая точка для функции S(α).

- точка локального максимума.
- наибольшее значение площади, при этом
 -длина большего основания.

-------

Исследование функций с помощью производных(часть вторая)

Определение 1. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале ( a,b) . И пусть  график функции y=f(x) расположен ниже (не выше), чем касательная y=y(x) к нему в точке то есть
Тогда f( x ) называется выпуклой(нестрого выпуклой вверх).
Пусть  график функции y=f(x) расположен выше (не ниже), чем касательная y=y(x) к нему в точке  то есть
Тогда f(x) называется вогнутой (нестрого вогнутой).

Пример 1.

а) − выпукла на всей оси ( −∞; +∞):

 нестрого выпукла вверх на всей оси (−∞; +∞) 

в) вогнута на всей оси (−∞; +∞):

г)  нестрого вогнута на всей оси (−∞; +∞):

Теорема 1. Для того, чтобы дифференцируемая функция y=f(x) была вогнутой (выпуклой) на интервале ( a,b ) необходимо и достаточно, чтобы ее производная возрастала(убывала) на этом интервале.
Докажем для случая, когда y=f(x) - вогнута.
Необходимость. Пусть 
 - касательные к графику y=f(x) в точках  Так как y=f(x) - вогнута, то

Сложим эти неравенства:

Достаточность. Пусть - возрастает. Докажем, что y=f(x)  - вогнута.
Пусть  - уравнение касательной в точке 

Пусть Найдем разность по теореме Лагранжа (терема 4 параграфа 12) = что и требовалось доказать.
Теорема 2. Для того, чтобы дифференцируемая функция y=f(x) была нестрого вогнутой (нестрого выпуклой) на интервале ( a,b ) необходимо и достаточно, чтобы производная неубывала (невозрастала) на этом интервале.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Теорема 3. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на интервале (a,b)  функция y=f(x) была не строго вогнутой (не строго выпуклой) необходимо и
достаточно, чтобы
Доказательство следует из теоремы 2 и теоремы 1 §15.
Теорема 4. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на интервале (a,b) 
функция y=f(x) была вогнутой (выпуклой) на этом интервале достаточно, чтобы
Доказательство следует из теоремы 1 и теоремы 2 §15. Нужно заметить, что
условие не является необходимым для вогнутости (выпуклости) функции.

Пример 2.

Рассмотрим функцию  Она вогнута на интервале ( -1;1). Но условие  не выполнено в точке

Определение 2. Пусть функция y=f(x) имеет касательную в точке  (см.
определение 1, 2 § 9, определение 5 §6) и пусть при переходе через точку 
направление выпуклости меняется на противоположное. Тогда точка называется точкой перегиба.

Теорема 5 (необходимое условие точки перегиба). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки  за исключением может быть самой точки  и точка  является точкой перегиба. Тогда ее вторая производная  в этой точке равна 0 или не существует.
Доказательство. Если   не существует, то все доказано. Предположим, что  существует. Тогда - непрерывна в точке и, так как - точка перегиба, то согласно теореме 1,  - точка локального экстремума для функции
, поэтому по теореме 3 §15  что и требовалось доказать.
Определение 3. Пусть вторая производная  функции y=f(x) равна 0 или не существует в точке  и пусть функция  имеет касательную в точке . Тогда точка называется точкой возможного перегиба.
Замечание. Согласно теореме 5 для дифференцируемой функции y=f(x)
любая точка перегиба будет удовлетворять определению 3. Наоборот неверно.
Для функции  из примера 2 точка x = 0 - точка возможного перегиба, но эта точка не будет точкой перегиба.

Теорема 6 (достаточное условие перегиба функции). Рассмотрим функцию
y=f(x) дважды дифференцируемую в некоторой окрестности  точки
возможного перегиба за исключением может быть самой точки 
Предположим также, что вторая производная меняет знак при переходе
через точку . Тогда будет точкой перегиба для функции y=f(x).
Доказательство следует из теоремы 4.

Пример 3.

Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости функции
из примера 3 §15.
Решение.
(см. пример 3 §15).

Найдем точки возможного перегиба(точки, где y′′ равна 0 или не существует).

 точки перегиба функции.
При нахождении интервалов выпуклости-вогнутости точки, где функции
имеют разрывы также наносят на числовую прямую. При переходе
через эти точки может меняться направление выпуклости-вогнутости.
Определение 4. Прямая y= kx +b называется наклонной асимптотой функции y=f(x) при x →+∞ (x→−∞), если , где a(x)  бесконечно-малая функция при x →+∞ (x→−∞) , то есть
Теорема 7. Для того, чтобы прямая y =kx +b была наклонной асимптотой для функции y=f(x) при x →+∞ (x→−∞) необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
Доказательство. Рассмотрим, например, случай x → +∞ .
Необходимость. Пусть , где a(x) бесконечно-малая функция. Докажем, что выполняются пределы (1).
что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть выполняется (1). Докажем, что y =kx +b - асимптота для y=f(x).
, где a(x) бесконечно-малая функция при x → +∞ , что и требовалось доказать. Таким образом теорема доказана.
Замечание. Наличие наклонной асимптоты значит, что при x →+∞ (x→−∞) график функции очень близок к прямой линии y =kx +b.

Пример 4.

Для функции  (см. пример 1 §5) y = x+1 - наклонная асимптота при x →±∞ .
Для функции  (пример 8 §5) y = 0 - горизонтальная асимптота при x →±∞ (k=0).
Для функции  (пример 10 §5) y = −1 - горизонтальная асимптота при x →±∞ .
Для функции , 1(0 1)  (пример 2 §5) y = 0 - горизонтальная
асимптота при x →+∞ (x→−∞).
Определение 5. Прямая  называется вертикальной асимптотой функции y=f(x), если хотя бы один из пределов  равен ∞.
Пример 5.

Для функции  (см. пример 1 §5) прямая x = 1 - вертикальная асимптота, для функции  (пример 8 §5) прямая x = 3 - вертикальная асимптота, для функции  (пример 10 §5) прямая x = 0 - вертикальная асимптота, для функции  − из упражнения 1 §5 прямая x = 2 - вертикальная асимптота

При построении графиков функции используют результаты §15, 16. Это можно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения D(f) функции и исследовать поведение функции в граничных точках D(f) . Определить точки разрыва, вертикальные асимптоты, нули функции, исследовать функцию на периодичность, четность, нечетность.
2. Найти наклонные асимптоты.
3. Найти интервалы монотонности, точки локального экстремума.
4. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
5. Построить график.

Пример 6.

Провести полное исследование и построить график функции 

Нули функции
Таким образом график пересекает оси координат в точке О(0; 0). Функция
ни четная, ни нечетная, не периодическая.
2. Наклонные асимптоты. По формулам (1);


x = 0 - точка локального максимума;  - точка локального минимума;

Точки где y′′ равна 0 или не существует: 


5. График функции.

--------

Исследование функции с помощью производных

Монотонность функции

Теорема 9.1. Пусть функция определена на отрезке и внутри отрезка имеет конечную производную Для того, чтобы функция была монотонно возрастающей (убывающей), достаточно, чтобы  для

Доказательство.

Возьмем отрезок таким образом, чтобы и применим к функции на этом промежутке формулу Лагранжа:

Тогда, если то Следовательно, функция возрастает. Если  то Следовательно, функция убывает. 

Замечание 9.1. Утверждение теоремы сохраняет силу и в том случае, если при условии, что производная  в конечном числе точек внутри отрезка т. е. вышесказанное условие не является необходимым.

Пример 9.1. Рассмотрим функцию на отрезке Хотя функция возрастает на отрезке

• Заказать решение задач по высшей математике

Достаточные условия экстремума

Теорема 9.2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки и непрерывна в точке Тогда, если  при и при то в точке  функция имеет локальный максимум; если при и  при то в точке  функция имеет локальный минимум.

Доказательство следует из теоремы 9.1.

Теорема 9.3 (второе достаточное условие экстремума). Если в критической точке функции существует  а  то при функция имеет локальный максимум, при — локальный минимум.

Доказательство.

Если в точке существует вторая производная то первая производная существует в некоторой окрестности этой точки  Тогда

Пусть  Тогда 

При производная  т. е., согласно теореме 9.1, функция возрастает; при  производная т. е. функция убывает. На основании теоремы 9.2: в точке функция имеет локальный максимум.

Случай  рассматривается аналогично. 

Замечание 9.2. Так как теорема формулирует только достаточное условие, то при функция может как иметь, так и не иметь экстремум.

Пример 9.2. Функция  имеет в точке минимум, при этом Функция  не имеет в точке экстремума, при этом также

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция  непрерывна на отрезке Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений, теорема 4.3 Вейерштрасса (раздел 1). Будем предполагать, что на данном отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее и наименьшее значения достигаются внутри отрезка то очевидно, что эти значения будут наибольшим максимумом и наименьшим минимумом функции (если имеется несколько экстремумов). Однако может наблюдаться такая ситуация, что наибольшее или наименьшее значения будут достигаться на одном из концов отрезка (рис. 9.1).

Таким образом, непрерывная функция  на отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на концах этого отрезка, либо в таких точках этого отрезка, которые являются точками экстремума.

Исходя из вышесказанного, можно предложить следующий алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке

1. Найти все критические точки. Если критическая точка то нужно вычислить в ней значение функции  Если критическая точка то в дальнейшем решении эта точка во внимание не принимается.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. найти и

3.    Из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее и наименьшее, они и будут представлять собой наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пример 9.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [—3; 3].

Решение.

Так как функция непрерывна на отрезке [-3; 3], то задача имеет решение.

1. Найдем критические точки функции.

- критические точки.

Так как  то вычислим 

так как то вычислим 

2. Определим значения функции на концах отрезка:

3. Сравним вычисленные значения функции и выберем наибольшее и наименьшее:

Ответ: 

Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба

Пусть функция задана на интервале непрерывна на этом интервале и в каждой точке графика этой функции существует единственная касательная.

Определение 9.1. График функции называется выпуклым или выпуклым вверх на интервале если он расположен ниже любой своей касательной, т. е. (рис. 9.2); график функции называется вогнутым или выпуклым вниз на интервале если он расположен выше любой своей касательной, т. е. (рис. 9.3).

Определение 9.2. Точки графика функции, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика.

Теорема 9.4. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на интервале  Тогда если  для то на этом интервале график функции вогнутый; если  для  то на этом интервале график функции выпуклый.

Доказательство.

Рассмотрим разность на отрезке если  и на отрезке если  Согласно теореме 7.4 (Лагранжа):

Поэтому 

Тогда, при следовательно на этом отрезке график функции будет вогнутый; при  следовательно на этом отрезке график функции будет выпуклый. 

Теорема 9.5 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции  имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке Xq непрерывную вторую производную. Тогда

Доказательство.

Пусть  - абсцисса точки перегиба графика функции Для определенности будем считать, что выпуклость сменяется вогнутостью, т. е. при справедливо неравенство при  справедливо неравенство  Тогда   Так как, по условию теоремы, вторая производная в точке существует, то 

Определение 9.3. Точка из области определения функции называется критической (стационарной) точкой второго рода, если вторая производная функции в этой точке обращается в нуль или не существует.

Замечание 9.3. Не всякая точка для которой является точкой перегиба.

Пример 9.4. График функции  не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя  обращается в 0 при

Теорема 9.6 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Тогда если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки то график функции имеет перегиб в точке

Доказательство.

Из того, что слева и справа от точки имеет разные знаки, на основании теоремы 9.4 можно сделать заключение, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки является различным. Это и означает наличие перегиба в точке

Замечание 9.4. Теорема остается верной, если функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и существует касательная к графику функции в точке   Тогда если в пределах указанной окрестности  имеет разные знаки справа и слева от точки то график функции имеет перегиб в точке

Пример 9.5. Точка (0; 0) является точкой перегиба графика функции  хотя вторая производная функции при не существует. Касательная к графику функции в точке (0; 0) совпадает с осью 

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при и при  или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к некоторой прямой.

Определение 9.4. Прямая называется асимптотой графика функции если расстояние  от переменной точки графика функции до прямой стремится к нулю при удалении точки  от начала системы координат.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 9.5. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции  если хотя бы одно из предельных значений  или  равно или

В этом случае расстояние от точки графика функции  до прямой  равно  и, следовательно, при

Пример 9.6. График функции имеет вертикальную асимптоту так как 

Определение 9.6. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при  если 

В этом случае расстояние от точки графика функции до прямой равно и, следовательно, при так как

Пример 9.6 (продолжение). График функции имеет горизонтальную асимптоту и при  и при так как

Определение 9.7. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при  если функцию  можно представить в виде

    (9.1)

где при

Теорема 9.7. Для того чтобы прямая являлась наклонной асимптотой графика функции при необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:

    (9.2)

Доказательство. Рассмотрим случай

Необходимость.

Если - наклонная асимптота графика функции при то, используя представление функции по формуле (9.1), получим:

Достаточность.

Пусть существуют пределы (9.2). Тогда из второго равенства следует, что

 где  при 

Полученное равенство легко преобразовать к виду (9.1), т. е. прямая - наклонная асимптота графика функции при

Схема исследования функции и построения ее графика

Рассмотрим примерный план, по которому целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график:

1. Найти область определения функции.

2. Проверить выполнение свойств четности или нечетности, периодичности.

3. Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их тип, проверить наличие асимптот.

4. Найти промежутки монотонности и точки экстремума.

5. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Построить график функции.

Замечание 9.5. Если исследуемая функция четная, то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Замечание 9.6. Если исследуемая функция нечетная, то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 9.7. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

1.

2. Так как область определения функции несимметрична относительно начала координат, то эта функция общего вида, т. е. функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

3. Функция непрерывна на области определения как элементарная. Точкой разрыва является  Так как

то  - точка разрыва второго рода. Можно также сделать заключение, что прямая  будет являться вертикальной асимптотой графика функции.

Проверим наличие горизонтальных асимптот. Так как

то данная функция не имеет горизонтальных асимптот. Проверим наличие наклонных асимптот. Так как

то график функции имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом  и свободным членом т. е.

4. Определим промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем критические точки первого рода:

Решим уравнение  т.е. Получаем 

 откуда  и - критические точки первого рода. Изменение знака первой производной покажем на числовой оси (рис. 9.4).

Так как при  то функция возрастает на указанных промежутках; так как при  то функция убывает на указанном промежутке. При переходе через точку  производная изменяет знак с «-» на «+», следовательно, в этой точке функция имеет минимум, причем

5. Определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба. Для этого найдем критические точки второго рода:

Решим уравнение т. е. Получаем единственное решение - критическая точка второго рода. Изменение знака второй производной покажем на числовой оси (рис. 9.5).

Так как  при то график функции будет выпуклым на данном промежутке; так как  при то график функции будет вогнутым на указанных промежутках. При переходе через точку выпуклость графика функции сменяется вогнутостью, следовательно, это абсцисса точки перегиба, тогда ордината Таким образом, (0; 0) - точка перегиба графика функции.

6. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Для точек оси  всегдат. е.  откуда

Для точек оси всегда т. е.

Таким образом, единственной точкой пересечения графика функции с осями координат является начало системы координат 

7. Построим график функции на рис. 9.6.