Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. По стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке

2. Точка называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции f(x) в точке

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

Пример №32

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения При х=0 функция

не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как то х=0 - точка устранимого разрыва.

Если положить f(0)=0, то функция будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения и х=2 - точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то х=2 -точка разрыва второго рода.

Пример №33

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции - вся числовая прямая: Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Исследуем точку

Так как - точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен

Исследуем точку

Поскольку то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех

Построим график функции.

------

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка  будет точкой разрыва функции  если выполняется одно из условий:

1. функция в точке  не определена;
2. не существует предела функции в точке  или он равен бесконечности;
3. предел функции в точке  не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений  только справа или слева от точки  Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Обозначают:

•  — правосторонний предел функции  в точке 
•   — левосторонний предел функции  в точке 

Точку  называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку  называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке  — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку  называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Пример №522

Найдите точки разрыва функции  и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является  Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

 Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому  — точка разрыва второго рода.

Пример №523

Исследуйте функцию  на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов  функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой  то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Если  слева, то функция имеет вид

  а при  справа  Следовательно,  — точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая  называется вертикальной асимптотой кривой, если при  (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Например, ось  является вертикальной асимптотой для графиков функций  (см. рис. 17, б) и  (см. рис. 33).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №524

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Решение:

Поскольку функция не определена в точке  то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Следовательно,  вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если  — вертикальная асимптота функции  — точка разрыва второго рода.

Пример №525

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве 

а) Функция  не определена в точке  следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку  является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.

б) Функция  не определена в точке  эта точка является точкой разрыва. Поскольку  то  является точкой разрыва второго рода.

Пример №526

Заданные функции до определить в точке  так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Решение:

а) Имеем  Положив  получим, что  т.е. функция непрерывна в точке  Итак, 

б) Вычислим предел заданной функции в точке  Имеем:

Если теперь за значение функции в точке  взять число  , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак, 

Пример №527

Имеет ли уравнение  хотя бы один действительный корень на отрезке 

Рассмотрим функцию  Эта функция непрерывна на отрезке  и на его концах приобретает различные по знаку значения:  Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка  в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №528

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая 

Решение:

1) Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке  Поскольку  то прямая  — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Горизонтальных асимптот нет.