Формула Тейлора и ее применение с примерами решения

Содержание:

Формула Тейлора и ее применение

Формула Тейлора

Теорема: Если функция

Эта формула была получена в 1715 г. Бруком Тейлором, который был учеником Исаака Ньютона, и носит его имя. Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом, вид которого установил Лагранж: величина

В этой формуле неизвестной является только величина причем в указанном интервале согласно теореме Лагранжа такая точка всегда присутствует, хотя бы в единственном числе. Если зафиксировать начало интервала, а его конец считать переменной величиной, то формула Тейлора принимает вид:

При a = 0 формула Тейлора переходит в формулу Маклoрена:

Пример:

Представить по формуле Маклорена функцию ограничившись n=2.

Решение:

Вычислим три первых производных заданной функции:

При х = 0 получим Остаточный член имеет вид Следовательно, при n = 2 заданная функция по формуле Маклорена имеет вид: Отметим, что полученное выражение справедливо при Решим найденное равенство относительно величины Отсюда получаем Следовательно, Так как выражение под радикалом 4-ой степени должно быть неотрицательным и Таким образом, из двух корней теореме Тейлора удовлетворяет только корень который действительно лежит между нулем и х.

Замечание: При n = 0 формула Тейлора дает формулу конечных приращений:

(см. теорему Лагранжа ТЗ Лекции №18). При n = 1 получаем Если положить то получим формулу

Применение формулы Тейлора

Если известны величины то формула Тейлора позволяет вычислить значение функции в некоторой точке х. В зависимости от требуемой степени точности вычислений достаточно бывает вычислить два, три или несколько первых слагаемых в формуле Тейлора. Для оценки погрешности вычислений необходимо помнить, что величина в остаточном члене в форме Лагранжа лежит в пределах от а до х.

Пример:

Представить функцию по формуле Маклорена.

Решение:

Так как Следовательно, где Отсюда следует,

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

Так как основание Следовательно, при х = 1/2 остаточный член равен При n = 3: остаточный член Следовательно, удерживая пять первых слагаемых в формуле Маклорена, получим с требуемой точностью, что

Пример:

Вычислить число е с точностью

Решение:

Согласно результатам, полученным в предыдущем примере, для достижения требуемой точности, подсчитаем остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа

При n = 6 имеем

при n = 7 получаем

Итак,

Если вычислять значение числа е с точностью то потребуется взять 13 первых слагаемых, при этом Аналогично формула Маклорена-Тейлора применяется для вычисления и других функций. Например, для вычисления натуральных логарифмов используется формула:причем

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

В данном примере х = -0,1. Так как следовательно, остаточный член При n = 1 получаем Следовательно, достаточно взять первый член в формуле Маклорена-Тейлора

Формула тейлора

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение 

Пусть  тогда (14.1) перепишется в виде 
Рассмотрим многочлен 
Многочлен обладает следующими свойствами:

Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке . Найдем многочлен

обладающий аналогичными свойствами:

Из (14.2), (14.3) следует, что

Поэтому коэффициенты  многочлена (14.2) задаются формулой

Далее

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты
многочлена  задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.
Теорема 14.1. Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке , тогда

где  – бесконечно малая функция более высокого порядка
малости, чем
Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности в виде  – остаточным членом в форме Пеано.
Если функция  то (14.5) перепишется в виде

формула Маклорена.
Если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности
 точки , то остаточный член  можно представить в виде
остаточный член в форме Лагранжа и формула

называется формулой Тейлора порядка n с остаточным членом в форме
Лагранжа.

Пример 14.1
В условиях примера 9.4 оценим погрешность вычисления значений
Решение
Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

Поэтому

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Пример 14.2
Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции y=sin x:

(см. упражнение 10.1)

Таким образом,  и по формуле (14.6)

Аналогично

Формулы (14.7)–(14.11) называются основными разложениями.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример 14.3
Разложить  по формуле Маклорена до члена  используя основные разложения. Оценить погрешность при 
Решение
Пусть  Тогда (см. формулу (14.10))

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

поэтому 
Таким образом, и погрешность при  меньше чем

Пример 14.4
Найти 
Решение
Воспользуемся разложением (14.7):

Тогда