Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Содержание:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам

Прямоугольные координаты точки на плоскости

Координатами точки на плоскости называются числа, определяющие положение этой точки на плоскости.

Прямоугольные декартовы координаты (по имени математика Декарта) на плоскости вводятся следующим образом: на этой плоскости выбираются точка О (начало координат) и проходящие через нее взаимно перпендикулярные направленные прямые Ох и Оу (оси координат) (рис. 1). Для удобства рассмотрения будем предполагать, что ось Ох 0ось абсцисс) горизонтальна и направлена слева направо, а ось Оу (ось ординат) вертикальна и направлена снизу вверх; таким образом, ось О у повернута относительно оси Ох на угол 90° против хода часовой стрелки1). Кроме того, выбирается единица масштаба для измерения расстояний.

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Для данной точки М введем в рассмотрение два числа: абсциссу х и ординату у этой точки.

Абсциссой х называется число, выражающее в некотором масштабе расстояние от точки до оси ординат, взятое со знаком плюс, если точка лежит вправо от оси ординат, и со знаком минус, если точка лежит влево от оси ординат. Ординатой у называется число, выражающее в некотором масштабе (обыкновенно в том же, как и для абсциссы) расстояние от точки до оси абсцисс, взятое со знаком плюс, если точка лежит выше оси абсцисс, и со знаком минус, если точка лежит ниже оси абсцисс.

Эти два числа х и у и принимаются за координаты точки М, так как они полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка, координатами которой являются эти числа; и обратно, каждая точка плоскости имеет определенные координаты х и у. Если точка М имеет координаты х и у, то это обстоятельство обозначают так: М (х, у) (на первом месте ставится абсцисса х, а на втором — ордината у). При записи координат знак плюс, как обычно, можно опускать.

Оси Ох и Оу разбивают плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Производя нумерацию квадрантов (I, II, III и IV) в направлении против хода часовой стрелки, отправляясь от того квадранта, где обе координаты положительны, получим следующую таблицу знаков координат: Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Отрезок ОМ у соединяющий начало координат О с точкой М (рис. 2), называется ее радиусом-вектором. Обозначая через ф угол, образованный отрезком ОМ с положительным направлением оси Ох, и через Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами его длину, для точки М, лежащей в I квадранте, из треугольников ОММ' и ОММ" получимПрямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Нетрудно убедиться, что формулы (1) будут справедливы для координат точек всех квадрантов. Таким образом, знак абсциссы х точки М совпадает со знаком косинуса, а знак ее ординаты у — со знаком синуса в соответствующем квадранте.

Легко видеть, что если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината у равна нулю; если же она лежит на оси ординат, ее абсцисса х равна нулю, и обратно. Следовательно, если точка совпадает с началом координат, то равны нулю обе ее координаты.

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

В дальнейшем прямоугольные декартовы координаты для краткости будем называть просто прямоугольными координатами.

В следующих параграфах рассмотрим некоторые простейшие задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.

Преобразование прямоугольной системы координат

При решении задач иногда выгодно вместо данной прямоугольной системы координат Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами выбрать другую прямоугольную систему координат О'х'у определенным образом ориентированную относительно первой. Например, при межпланетных путешествиях можно пользоваться системой координат, связанной с центром Земли (геоцентрическая система координат); однако более удобно использовать систему координат, связанную с центром Солнца (гелиоцентрическая система координат).

Возникает вопрос о том, как от одной системы координат перейти к другой.

Рассмотрим сначала простейший случай (рис. 3), когда оси «новой системы координат» О'х'у' параллельны соответствующим осям «старой системы координат о Оху и имеют одинаковые направления с ними (параллельный перенос системы координат).

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Пусть начало новой системы координат — точка О' — имеет координаты (а, Ь) в старой системе координат. Точка М плоскости со «старыми координатами» (х, у) будет иметь некоторые «новые координаты» [х\ у'] (для ясности мы их обозначаем квадратными скобками). Из рис. 3 непосредственно получаем

х' = х - а, у' = у - b, (1)

т. е. новые координаты точки равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала.

Обратно, из (1) находим

х = х' + а, у = у' + Ь. (2)

Пусть теперь «новая система» координат Ох'у\ при неизменном начале О, повернута относительно «старой системы» Оху на угол а (рис. 4), т. е. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами, причем а считается положительным, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном случае (поворот системы координат). Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Обозначим через Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами угол, образованный радиусом-вектором г = ОМ точки М с осью Ох'; тогда отрезок ОМ, с учетом знака угла Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами), будет составлять с осью Ох угол Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами. Отсюда на основании формул (1) из при любом расположении точки М имеем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

и

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Так как новые координаты точки М, очевидно, есть

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

то из формул (3) и (4) получаем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Для запоминания формул (6) используют следующий мнемонический прием: говорят, что первая формула (6) содержит полный беспорядок, а вторая — полный порядок. Действительно, в первой формуле на первом месте стоит cos, на втором — sin; кроме того, присутствует знак минус. Во второй формуле (6) никаких нарушений правильности в этом смысле нет.

Формулы (6) выражают старые координаты х и у точки М через ее новые х' и у'. Чтобы выразить новые координаты х' и у' через старые х и у, достаточно разрешить систему (6) относительно х'и у'. Однако можно поступить проще, а именно принять систему Ох'у' за «старую», а систему Оху за «новую». Тогда, учитывая, что вторая система повернута относительно первой на угол — а, заменяя в формулах (6) х' и у' соответственно на х и у и обратно и принимая во внимание, что cos (-a) = cos a, sin (-a) = -sin a, будем иметь

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Наконец, в общем случае, когда новое начало координат есть точка О' (a, Ь) и ось О'х' образует с осью Ох угол а, соединяя формулы (2) и (6), находим

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Здесь угол Р считается положительным, если радиус-вектор ОМ повернут относительно оси Ох' против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он повернут относительно этой оси по ходу часовой стрелки.

Аналогично, из формул (1) и (7) получаем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Из формул (8) и (9) вытекает, что формулы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат являются линейными функциями как новых, так и старых координат, т. е. содержат эти координаты в первой степени.

Пример:

Отрезок ОМ, где точка М имеет координаты (х, г/), повернут на угол а = 120° против хода часовой стрелки (рис. 5). Каковы будут координаты х' и у' нового положения М' точки М?

Решение:

Предполагая, что с точкой М связана подвижная система координат Ох'у\ на основании формул (6) будем иметь

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Расстояние между двумя точками на плоскости

1) Найдем сначала расстояние г от начала координат О (0, 0) до точки М (х, у) (рис. 6).

Расстояние г = ОМ, очевидно, является гипотенузой прямоугольного Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерамиОММ' с катетами Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами. По теореме Пифагора получаем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Таким образом, расстояние от начала координат до некоторой точки равно корню квадратному из суммы квадратов координат этой точки.

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

2) В общем случае, пусть для точек A Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами и Б Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами (рис. 7) требуется найти расстояние d = АВ между этими точками.

Выберем новую систему координат Ах'у' начало которой совпадает с точкой А и оси которой параллельны прежним осям и имеют, соответственно, одинаковые направления с ними. Тогда в новой системе координат точки Л и В будут иметь координаты А [0, 0] и Б Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами. Отсюда на основании формулы (1) получаем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

т. е. расстояние между двумя точками плоскости (при любом их расположении) равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Замечание. Формула (2) дает также длину отрезка АВ. Легко определить направление этого отрезка. Из прямоугольного А ABC имеем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

(dx и dy называются проекциями отрезка АВ на оси координат Оху). Отсюда получаем Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами где d определяется формулой (2).

Пример:

Танк на местности переместился из точки А (-30, 80) в точку Б (50, 20) (относительно некоторой системы координат Оху)> причем координаты точек даны в километрах. Найти путь d, пройденный танком, если он двигался, не меняя направления.

Решение:

Применяя формулу (2), имеем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Деление отрезка в данном отношении

Предположим, что отрезок АВ (рис. 8), соединяющий точки A (xl9 уг) и В (x2t у2), разделен точкой С на два отрезка АС и СБ, причем отношение АС к СБ равно I (I > 0):

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Требуется выразить координаты х и у точки С(х, у) через координаты концов отрезка АВ.

Опустим перпендикуляры Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами соответственно из точек А, В и С на ось Ох. Тогда получим, что три параллельные прямые Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами пересекают стороны угла (не обозначенного на рисунке), образованного прямыми АВ и Ох. Как известно из элементарной геометрии, пучок параллельных прямых рассекает стороны угла на пропорциональные части; поэтому

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

откуда на основании равенства (1) будем иметь

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Из рис. 8 видно, что Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами х2 - х. Подставляя эти выражения в формулу (2), получимПрямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Решая уравнение (3) относительно неизвестной абсциссы х, будем иметь

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

аналогично,

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами Итак, координаты точки С (ху у), делящей отрезок АВ в отношении / (считая от А к В), определяются формулами Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами Если точка С делит отрезок АВ пополам, то АС = СВ и, следовательно, I = АС/СВ = 1. Обозначая координаты середины отрезка АВ через х, у, получим на основании формул (4) Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Примечание. При выводе формул (4) и (5) мы предполагали, что концы А и В отрезка АВ лежат в первом квадранте и, следовательно, координаты точек Аи В положительны. Легко доказать, что формулы (4) и (5) будут справедливы и в случае произвольного расположения отрезка АВ на координатной плоскости.

Пример:

Вычислить координаты точки С (х, у)> делящей отрезок АВ между точками А (-5, -3) и В (4, -6) в отношении АС/СВ = 3/2.

Решение:

В этом случае I = 3/2 и, следовательно,

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Площадь треугольника

Пусть требуется найти площадь S треугольника ABC (рис. 9) с вершинами

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Пусть АВ = с, АС = Ь, а углы, образованные этими сторонами с осью Ох, соответственно равны Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами.

На основании (см. замечание) имеем (рис. 9)

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

и Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Пусть Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами; очевидно (рис. 9), Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами. По известной формуле тригонометрии получаем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Отсюда в силу (1) и (2) имеем

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число,

Используя понятие определителя второго порядка

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

формулу (4') можно записать в удобной для запоминания форме:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Формула (4') упрощается, если точка АПрямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами находится в начале координат. А именно, полагая Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами получим

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Отметим, что если точки А, В, С находятся на одной прямой, то площадь S = 0; и обратно, если S = 0, то вершины А, Б и С расположены на одной прямой.

Пример:

Вспаханное поле имеет форму треугольника с вершинами А (-2, -1), В (3, 5) и С (-1, 4) (размеры даны в километрах). Определить площадь S этого поля.

По формуле (5) имеемПрямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Замечание. Вычисление площади многоугольника сводится к вычислению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по формуле (4).