Непрерывность функции - определение с примерами решения

Содержание:

Непрерывность функции

Пусть х есть некоторое значение данной переменной величины. Наряду с х рассмотрим другое значение х₁ этой переменной величины. Введем следующее определение.

Определение: Приращением переменной величины называется разность между новым значением этой величины и ее прежним значением, т. е. в нашем случае приращение переменной величины равно

Для обозначения приращения используется греческая буква

Прибавляя к значению переменной величины ее приращение, получаем приращенное значение этой величины. Например, есть приращенное значение величины х.

Предположим, что у есть некоторая функция от аргумента х, т. е.

Дадим аргументу х приращение ; тогда у получит соответствующее приращение . Этот факт, очевидно, можно записать так:

Из равенств (1) и (2) следует

Пример:

Определить приращение аргумента х и приращение функции у = х², если аргумент х изменился от -1 до 2.

Решение:

Здесь, очевидно, и

Понятие приращения функции поясним геометрически. Пусть кривая АВ есть график функции у = f(x) (рис. 93).

Рассмотрим на этой кривой точку М с текущими координатами х и у. Дадим абсциссе х точки М(х, у) приращение , тогда ордината ее у получит приращение . Точка М(х, у) займет при этом положение . Пусть С есть точка пересечения прямой, проходящей через точку М и параллельной оси Ох, и перпендикуляра M'N опущенного из точки М' на ось Ох. Очевидно, что

Может случиться, что для некоторого х при стремлении Ах к нулю точка М' неограниченно приближается к точке М и, следовательно, также стремится к нулю. В таком случае функция у = f(x) называется непрерывной при данном значении х. Более точно:

Определение: Функция f(x), определенная на множестве X, называется непрерывной при х = х₁ (или непрерывной в точке х₁)у если:

1)функция определена при ;

2)приращение функции в точке х₁ стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

где бесконечно малое приращение пробегает лишь те значения, для которых имеет смысл. При этом мы, как всегда, предполагаем, что является предельной точкой множества X и, таким образом, в любой окрестности найдутся точки , отличные от , для которых функция f(x) определена.

Короче говоря, функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Используя понятие предела функции, получаем развернутое определение непрерывности функции в точке: функция f(x) непрерывна в точке х1 тогда и только тогда, когда такое, что

если — любое допустимое приращение). Заметим, что неравенство (5), очевидно, выполнено и при = 0, т. е. здесь -окрестность точки хх можно трактовать как полную:

Определение: Функция fix) называется не прерывной на данном множестве X, если: 1) она определена на этом множестве непрерывна в каждой точке этого множества, т. e. справедливо равенство

где

Замечание. Множество X здесь трактуется как область определения функции, т. е. точки не рассматриваются.

Например, функция fix) непрерывна на отрезке , если:

1)эта функция определена в каждой точке этого отрезка,

2) справедливо равенство (6), где .

Пример:

Функция

непрерывна на отрезке X = [0, 1], хотя она не является непрерывной на оси.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию .

Решение:

Давая аргументу х приращение , получим

где — приращение функции у. Отсюда

Очевидно, каково бы ни было фиксированное значение х, если бесконечно мало, то также будет бесконечно малым. Следовательно, функция х² непрерывна при любом значении аргумента х. Иными словами, х² является непрерывной функцией в бесконечном интервале

Легко также доказать непрерывность степенной функции , где — натуральное постоянное число.

Определение: Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции.

Если х = х₀ — точка разрыва функции у = f(x), то возможны два случая:

1)функция f(x} определена при х = х₀, причем

2)функция f(x) не определена при х = х₀ и говорить о приращении функции в точке х0 не имеет смысла. В этом случае условимся х = х₀ называть точкой разрыва функции f(x) только тогда, когда функция fix) определена в непосредственной близости значения х₀

То есть при любом в интервале найдутся точки, где функция f(x) определена.

Если можно изменить или дополнительно определить функцию f(x) в точке х₀ (т. е. выбрать число f(x₀)) так, что измененная или пополненная функция f(x) будет непрерывна при х = х₀, то эта точка называется устранимой точкой разрыва функции f(x). В противном случае, т. е. когда функция f(x) остается разрывной при х = х₀ при любом выборе числа f(x₀), значение х₀ называется неустранимой точкой разрыва функции f(x).

Пример:

Рассмотрим функцию Е(х), равную целой части числа х, т. е. если , где — целое число и , то Е(х) = (рис. 94).

Например, E = 1, Е() = 3, Е(-1,5) = -2 и т. д.

Функция Е(х) разрывна при каждом целочисленном значении аргумента х. В самом деле, например, при х = 1 и достаточно малом имеем

Отсюда, приняв во внимание, что Е(1) = 1, получим

Следовательно, приращение функции (1) не стремится к нулю при , поэтому функция разрывна при х = 1.

Аналогичное рассуждение можно провести для каждого из значений х = kt где k — целое число. Итак, точки х = k (k = 0, ±1, ±2,...) — неустранимые точки разрыва функции Е(х).

Пример:

Пусть = 1/(х — 2)².

Эта функция не определена при х = 2, но имеет смысл для всех значений х2 (рис. 95). Какое бы значение мы ни приписали числу f(2), всегда будем иметь

при . Таким образом, здесь при х = 2 при любом выборе значения f(2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно большое приращение функции. Следовательно, эта функция имеет неустранимую точку разрыва при х = 2.

Другое определение непрерывности функции

Ввиду важности понятия непрерывности функции дадим другое определение непрерывности в точке, эквивалентное приведенному выше.

Определение: Функция f(x) называется непрерывной при , если: 1) эта функция определена при ; 2) имеет место равенство

т. е. функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда предел функции при равен значению функции в предельной точке (рис. 96). Здесь, понятно, предполагается, что переменная х принимает лишь те значения, для которых f(x) имеет смысл. Иными словами, для функции f(x), непрерывной при значении х„ из того обстоятельства, что вытекает предельное соотношение

Легко видеть, что:

1)если функция f(x) непрерывна при в указанном ранее смысле, т. е. если ,

то, полагая х, + = х, где, очевидно, , при , и пользуясь теоремой о пределе алгебраической суммы, получаем

Следовательно, функция f(x) непрерывна также при и в нашем новом смысле;

Здесь, как обычно, предполагается, что есть предельная точка области определения функции f(x).

2)очевидно, что, и обратно, из равенства (3) вытекает равенство (2).

Таким образом, эквивалентность двух определений полностью доказана.

Для функции, непрерывной на множестве X, в силу формулы (1) для каждого значения выполнено равенство

Так как , то отсюда получаем

т. е. если функция непрерывна, то знаки предела и функции перестановочны.

В подробных курсах анализа доказывается, что формула (4) остается верной для любой непрерывной функции такой, что при . Таким образом, имеем усиленное свойство перестановочности функции и предела:

Из определения 3  вытекает, что функция разрывна в данной точке тогда и только тогда, когда: или 1) не существует предела функции в этой точке, или же 2) предел функции в данной точке существует, но не совпадает со значением функции в этой точке.

Непрерывность основных элементарных функций

1)Степенная функция

( — натуральное (см. рис. 60)) непрерывна при любом значении х.

2)Показательная функция

(см. рис. 63) непрерывна при любом значении х. 138

3)Тригонометрическая функция

(см. рис. 65) непрерывна при каждом значении х.

В самом деле, давая аргументу х приращение и обозначая через соответствующее приращение функции у, будем иметь ; отсюда

В силу замечания к теореме при имеем

кроме того,

Поэтому

Следовательно, функция sin х непрерывна в интервале .

Совершенно так же доказывается, что

есть непрерывная функция в интервале (см. рис. 65).

Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема: Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство: В самом деле, если — функции, непрерывные на некотором множестве , а — любое значение из этого множества, то

Предполагается, что все рассматриваемые функции определены и непрерывны на некотором общем множестве X (например, на интервале (а, b) или отрезке [а, b] и т. п.).

т. е. предел суммы при равен значению этой суммы при

Следовательно, функция также непрерывна на множестве X.

Теорема: Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство аналогичное.

Следствие. Целый полином

есть функция непрерывная.

Теорема: Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.

Доказательство аналогичное.

Следствие. Дробная рациональная функция

непрерывна всюду, за исключением тех значений х, где знаменатель обращается в нуль.

Теорема: Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция также непрерывная; иначе говоря, сложная функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна.

Доказательство: Пусть — произвольная точка области определения сложной функции , причем функция непрерывна в точке , а функция f(u) непрерывна в точке . На основании усиленного свойства перестановочности непрерывной функции и предела имеем

т. е. сложная функция непрерывна в точке .

В силу теоремы 4, например, функции непрерывны вследствие непрерывности функций .

Функции, которые мы будем рассматривать в дальнейшем, непрерывны всюду, кроме, быть может, отдельных значений аргумента.

Например, функция

(см. рис. 66) в силу теоремы 3 настоящего параграфа непрерывна для всех значений аргумента х, кроме тех, для которых cos х = О, т. е. кроме значений , где k — любое целое число. Аналогично, функция

(см. рис. 66) непрерывна при , т. е. при (k — целое).

Справедлива теорема о непрерывности обратной функции, которую мы приводим без доказательства.

Теорема: Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотоннана промежутке , то существует однозначная обратная функция , определенная на промежутке , причем последняя также непрерывна и монотонна в том же смысле.

В силу этой теоремы радикал ( — натуральное) (см. рис 62), логарифмическая функция (а > 0, ) (см. рис. 64), главные значения обратных тригонометрических функций arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х (см. рис. 67—70) непрерывны при всяком значении аргумента х, при котором эти функции определены.

Раскрытие неопределенностей

Может случиться, что функция f(x) определена и непрерывна всюду, за исключением некоторого значения при котором функция f(x) теряет смысл (становится неопределенной). Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать число f(x), чтобы дополненная функция f(x) была непрерывна при ?

В силу предыдущего для этого необходимо и достаточно выполнение равенства

Операция нахождения предела функции f(x) при в этом случае называется раскрытием неопределенности, а сам предел если он существует, носит не совсем удачное название истинного значения функции f(x) при .

То есть f(x) или строго возрастает, или строго убывает на .

Пример:

Пусть

Эта функция теряет смысл при х = 2. Полагая дополнительно

получим функцию, непрерывную всюду, в том числе и при х = 2. Если же положить , то соответствующая функция будет разрывна при х = 2 (рис. 97).

Пример:

Функция

не определена при х = 0. Полагая дополнительно

мы получим функцию, определенную и непрерывную для всех значений аргумента х.

Классификация точек разрыва функции

Точка х₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции (рис. 87):

(при этом функция f(x) не обязательно должна быть определена в точке х₀, т. е. f(x₀) может не существовать). Величина

называется скачком функции f(x) в точке х₀.

Все прочие точки разрыва хх функции f(x) называются ее точками разрыва второго рода. Среди них важное значение имеют точки бесконечного разрыва х₁, для которых существуют (конечные или бесконечные) односторонние пределы

и хотя бы один из них является бесконечным (см., например, рис. 98).

В этом случае прямая называется вертикальной асимптотой графика функции

Функция, допускающая на данном промежутке лишь точки разрыва первого рода в конечном числе, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке. Заметим, что в точках разрыва кусочно-непрерывная функция может быть не определена. Отметим, что для непрерывности функции f(x) в точке х₀ необходимо и достаточно равенства трех чисел:

Пример:

Определить характер точки разрыва х₀ = 0 функции

Решение:

Здесь мы имеем

Следовательно, х₀ = 0 есть точка разрыва первого рода.

Непрерывность функции

Определение 5.1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности
непрерывна в точке , если

Функция y=f(x) непрерывна на множестве Х , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой
разрыва.

П р и м е р 5.1
Функция  дробно-рациональная функция, непрерывная во всех точках из области определения (кроме точек, где знаменатель равен 0).

П р и м е р 5.2
Функции

Функция из области ее определения.

• Заказать решение задач по высшей математике

П р и м е р 5.3
Рассмотрим функцию Дирихле:
– множество рациональных чисел. Она разрывна
Определение 5.2. Функция y=f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке

П р и м е р 5.4
Единичная функция Хевисайда:  непрерывна справа в точке 

Теорема 5.1. Пусть функции  непрерывны в точке .
Тогда и функции непрерывны в точке . Если , – также непрерывны в точке .
Доказательство следует из теоремы 3.3 и определения 5.1.
Определение 5.3. Пусть функция u=u(x ) определена на множестве Х со
значениями во множестве U и функция y=f(u ) определена на множестве U
со значениями во множестве Y. Тогда функцию будем называть
сложной функцией (композицией функций f и u), рис. 5.7.

Теорема 5.2. Пусть функция непрерывна в точке и функция
u=u(x ) непрерывна в точке Тогда сложная функция
непрерывна в точке .
Доказательство следует из определения 3.2 и определения 5.1.

П р и м е р 5.5
Исследовать на непрерывность функцию 

в зависимости от значений а .
Р е ш е н и е
Функция непрерывна (как композиция двух непрерывных функций
 (см. теорему 5.2)).
По теореме 5.1  непрерывна . Найдем
Поэтому при 0 =a функция непрерывна . При 0≠ a разрывна в точке 0 =x и непрерывна ≠0.
Определение 5.4. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности
 точки , кроме, может быть, самой точки . Пусть  – точка разрыва функции y=f(x) и при этом существуют конечные пределы  Тогда точка  называется точкой разрыва 1-го рода функции y=f(x). При этом называется скачком функции. Если скачок равен 0, то разрыв называется устранимым.

П р и м е р 5.6
Для функции  – точка устранимого разрыва.
Для функции  (см. упражнение 3.4)  – точка устранимого

Для функции s– точка разрыва 1-го рода. Разрыв – неустранимый. Скачок функции в точке  равен 2.
Для единичной функции Хевисайда (см. пример 5.4)  – точка
разрыва 1-го рода. Разрыв – неустранимый. Скачок функции в точке  равен 1.
Определение 5.5. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности
, кроме, может быть, самой точки . Точка  называется точкой разрыва 2-го рода функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов
 равен или не существует.

П р и м е р 5.7
Для функций – точка разрыва 2-го рода.

Для функции  – точка разрыва 2-го рода.
Для функций (см. упражнения 3.7, 3.8)  – точка разрыва 2-го рода. Точки  – точки разрыва 1-го рода. Разрывы неустранимые.
Для функции  – точка разрыва 2-го рода. Для функции Дирихле D ( x ) (см. пример 5.3) любая точка  – точка разрыва 2-го рода.

П р и м е р 5.8
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции ,рис. 5.8.

Р е ш е н и е
Функция – дробно-рациональная. Непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: 
Рассмотрим точку 2= x.

– точка устранимого разрыва.
Рассмотрим точку x=3.

– точка разрыва 2-го рода.

П р и м е р 5.9
Исследовать на непрерывность и определить тип точек разрыва для
функции:

Р е ш е н и е
Функциинепрерывны  поэтому и наша функция непрерывна везде, кроме, может быть, точек ч=-1 и х=1. Слева
и справа от точек x=±1 функция задается различными аналитическими
выражениями.
Пусть x=1

то есть поэтому функция непрерывна в точке x=1.
Пусть x=-1

то есть  – точка разрыва 1-го рода (см. определение 5.3). Разрыв – неустранимый, скачок функции равен 1.

П р и м е р 5.10
Исследовать на непрерывность функцию  (рис. 5.10) х=0, х=2 – точки разрыва функции.

Р е ш е н и е

– точка разрыва 1-го рода. Разрыв неустранимый, скачок функции равен –2.
– точка разрыва 2-го рода.

П р и м е р 5.11
Определить тип точек разрыва функции  в зависимости от значений параметра а .
Р е ш е н и е
x =-2 – точка разрыва функции. Найдем