Понятие о производной вектор-функции - определение с примером решения

Содержание:

Понятие о производной вектор-функции

Пусть мы имеем вектор-функцию

(а < t <

Естественно определим предел вектор-функции, полагая если пределы в правой части равенства (2) существуют.

Дадим параметру t приращение ; тогда точка М(х, у, z) кривой К переместится в точку этой кривой , радиус-вектор которой есть

Из векторного треугольника ОММ' имеем (рис. 203)

Отсюда, предполагая для определенности, что , получим

т. е. вектор направлен по секущей

В общем случае при вектор будет коллинеарен вектору .

Определение: Под производной вектор-функции понимается вектор

Если — дифференцируемые функции, то из формулы (3) при находим

Так как предельное положение секущей по определению есть касательная, то вектор направлен по касательной к кривой К

в точке ее М (в сторону возрастания параметра t). Из формулы (5), как обычно, получаем

Если t — время, то вектор представляет собой скорость движущейся точки , понимаемую как вектор.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Написать уравнение касательной к кривой в точке ее

Решение:

Здесь

Отсюда направление касательной в точке М определяется вектором

Таким образом, уравнение искомой касательной есть