Общее уравнение плоскости с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение плоскости

Плоскость Р в пространстве можно задать некоторой ее точкой

Это и есть уравнение плоскости в векторном виде. В координатной форме уравнение (1) имеет вид

или

где

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости и представляет собой уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, z. Таким образом, плоскость есть поверхность первого порядка.

Обратно, пусть дано невырожденное уравнение (3) . Выберем некоторую точку , лежащую на поверхности (3) (например, если , то в качестве такой точки можно взять . Имеем

Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), будем иметь

Отсюда, введя векторы получим

Следовательно, поверхность, заданная уравнением (3), является плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно вектору N.

Пример:

Найти угол, образованный плоскостью

Решение:

Под углом между прямой и плоскостью понимается угол между данной прямой и ее проекцией на эту плоскость; этот угол является дополнительным к углу , образованному прямой и перпендикуляром (нормалью) к плоскости.

Нормальный вектор нашей плоскости есть . Отсюда

и, следовательно,

Если в уравнении (1) в качестве направляющего вектора плоскости взять единичный вектор , то получим так называемое нормированное уравнение плоскости

или, в координатах,

где Уравнение (7) удобно при нахождении расстояния точки от плоскости.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти расстояние h от точки до плоскости Р, заданной уравнением (6) (рис. 200).

Пусть где

Рассмотрим вектор , где — радиус-векторы точек , учитывая, что , находим Следовательно, получаем правило: чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно в левую часть нормированного уравнения плоскости подставить координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.

В частности, полагая получаем растояние от начала координат до плоскости: