Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Обыкновенные дроби

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Основное свойство дроби

Разделим квадрат со стороной 1 дм на 4 равные части и 3 из них заштрихуем (рис. I). Так как площадь данного квадрата равна 1 дм2, то площадь заштрихованной части — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Каждый из четырех образовавшихся квадратов разделим еще на 9 равных квадратов. Тогда данный квадрат будет разделен на 4 • 9 = 36 малых квадрата, из которых 3 • 9 = 27 будут заштрихованными. Теперь площадь заштрихованной части равна — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм2.

Поэтому - Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм2 = Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм2, откуда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — можно получить, умножив числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — на 9: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Какое свойство дроби выражает это равенство?

Если разделим числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на 9, то получим дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, которая равна дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Какое свойство дроби выражает это равенство?

Итак, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной.

Это свойство называют основным свойством дроби.

Например: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения следует, что дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения являются разными записями одного и того же числа.

Пример:

На числовом луче отметьте числа: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Применение основного свойства дроби

Сокращение дроби

Использовав основное свойство дроби, иногда можно заменить одну дробь другой, равной ей, но с меньшими числителем и знаменателем.

Например, если числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения разделить на их общий делитель 11, то получим дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, равную дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения :

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Деление числителя и знаменателя дроби на их общин делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Наибольшим числом, на которое можно сократить дробь, является наибольший общий делитель числителя и знаменателя. 4

Дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой. Числитель и знаменатель несократимой дроби являются взаимно простыми числами.

б) Приведение дроби к новому знаменателю

Использовав основное свойство дроби, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно записать дробью со знаменателем 12, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Эту же дробь можно заменить дробью со знаменателем 20, умножив ее числитель и знаменатель на 5:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пусть дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения нужно привести к дроби со знаменателем 96. Сначала нужно узнать, на какое натуральное число нужно умножить 4, чтобы получить 96

(если такое число существует). Для этою нужно число 96 разделить на 4:

96 : 4 = 24. Тогда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Число 24 в этом примере называют дополнительным множителем.

Пример:

Сократить дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Сокращение можно проводить постепенно, используя, по возможности, признаки делимости:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращение можно проводить, разделив числитель и знаменатель на их НОД. Поскольку НОД(24; 60) = 12, то

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Записать обыкновенной несократимой дробью: 0,25; 0,125; 20%; 55%.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Записать в процентах числа: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Сравните дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения имеют одинаковые знаменатели. Такие дроби мы умеем сравнивать. Меньшей из этих дробей является та, числитель которой меньше, то есть

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Воспользуйтесь полученным результатом для сравнения дробей Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Используем основное свойство дроби и приведем дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения к одинаковому, или, еще говорят, общему знаменателю.

Дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно привести к знаменателям, кратным 5:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

а дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — к знаменателям, кратным 7:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно привести к одинаковым знаменателям 35;70; ... (они подчеркнуты), то есть к общим кратным знаменателей этих дробей. Наименьшее общее кратное знаменателей двух дробей называют наименьшим общим знаменателем. Наименьшим общим знаменателем дробей Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения является число 35.

Приведите дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения к знаменателю 35.

Чтобы привести дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения к наименьшему общему знаменателю 35, найдем дополнительные множители для каждой из дробей. Дополнительный множитель для первой дроби 35 : 5 = 7, а для второй дроби — 35: 7 = 5. Умножим числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на 7, а числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на 5:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения привели к наименьшему общему знаменателю 35 и получили такие дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

  1. найти наименьшее общее кратное знаменателей;
  2. найти дополнительные множители для каждой дроби, разделив НOK знаменателей на знаменатель каждой дроби;
  3. числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.

После приведения дробей Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения к общему знаменателю можем сравнить их. Поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения а Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить полученные дроби.

Пример:

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем НОК знаменателей: 9 = 3 • 3; 18 = 3 • 3 • 2; 27 = 3 • 3 • 3.

НОК(9; 18; 27) = 3 • 3 • 2 • 3 = 54. Разделим .наименьший общий знаменатель на

знаменатель каждой дроби и найдем дополнительные множители: 54 : 9 = 6;

54 : 18 = 3; 54 : 27 = 2.

Запишем: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Сравнить числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Смешанные числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения имеют одинаковые целые части. Сравним дробные части этих чисел.

Поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения а Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то есть Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Пример:

Мама разрезана пирог на 12 равных частей. Петя съел одну часть пирога, а Сережа — две таких части. Какую часть пирога съели Петя и Сережа вместе?

Решение:

Петя съел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть пирога, Сережа — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения части. Для решения задачи нужно эти дроби сложить:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, мальчики съели вместе Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть пирога.

Пример:

Мама разрезала пирог на 12 равных частей. Петя съел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть пирога, а Сережа — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть. Какую часть пирога съели Петя и Сережа вместе?

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Для решения задачи нужно сложить дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Эти дроби имеют равные знаменатели, а мы умеем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.

Сколько двенадцатых частей пирога съел каждый мальчик?

Так как пирог был разделен на 12 равных частей, а Петя съел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть пирога, то он съел 3 двенадцатых части, то есть Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения пирога: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Сережа съел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения пирога. Теперь можно найти часть пирога, которую мальчики съели вместе:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, для того чтобы сложить дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения с разными знаменателями, мы привели их к наименьшему общему знаменателю (12) и сложили полученные дроби, имеющие одинаковые знаменатели.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно:

  1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
  2. сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример:

Мама разрезала пирог на 12 равных частей. Петя съел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решениячасть пирога, а Сережа — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть. Кто из мальчиков съел большую часть пирога и на сколько большую?

Решение:

Так как Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то большую часть пирога съел Сережа. Чтобы найти, на

сколько больше он съел, нужно из Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения вычестьОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, для того чтобы вычесть дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, мы привели их к наименьшему общему знаменателю и вычли дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

  1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
  2. вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Для сложения дробей справедливы изученные ранее переместительное и сочетательное свойства сложения:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — переместительное свойство;

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — сочетательное свойство.

Пример:

Найти сумму Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 30. Дополнительным множителем для первой дроби является 5 Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения для второй — 3 Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Записываем так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти сумму Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти разность Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти разность Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Швея может выполнить заказ за 3 дня, а ее ученица — за 6 дней. Какую часть заказа могут выполнить швея и ее ученица за 1 день, работая вместе?

Решение:

Примем весь заказ за 1, тогда швея выполнит за 1 день Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения заказа, ученица — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения заказа. Вместе за 1 день они выполнят:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения , или половину заказа.

Интересные рассказы

Запись дробей

Древние египтяне пользовались единичными дробями (дробями с числителем 1). С их помощью записывали любое дробное число в виде суммы.

Например: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

В Древнем Вавилоне пользовались так называемыми шестидесятичными дробями. Их записывали в специальном виде, например, запись 4; 52; 3 означала Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Запись дробей при помощи числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали над дробной чертой, а числитель — под ней. В привычной для нас форме дроби начали записывать приблизительно 1500 лет назад индусы, но они не использовали черту между числителем и знаменателем.

Черта, разделяющая составляющие части дроби, появилась в 1202 году в работах итальянского математика Леонардо Пизанского и почти одновременно — у арабского ученого ал-Хассара.

Памятка:

1. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — основное свойство дроби, умножили или разделили числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

2. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — сократили дробь.

3. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — дробьОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения привели к знаменателю 70; 10 — дополнительный множитель.

4. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — наименьший общий знаменатель этих дробей.

5. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — сложили дроби с разными знаменателями. 12 18 36 36

1) Находим НОК чисел 12 и 18: НОК( 12; 18) = 36 — общий знаменатель.

2) Находим дополнительные множители: 36 : 12 = 3; 36 : 18 = 2.

3) Находим числитель суммы: 5 • 3 + 7 • 2 = 29.

6. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — вычли дроби с разными знаменателями.

Умножение обыкновенных дробей

Пример:

Длина прямоугольника равна Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм, а ширина — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм. Найти площадь прямоугольника.

Решение:

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно — умножить Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения .

Так как умножать обыкновенные дроби вы не умеете, то вычислите площадь прямоугольника, построив к его внутри квадрата со стороной 1 дм.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Построим данный прямоугольник в квадрате со стороной 1 дм. Разделив одну сторону квадрата на 5 равных частей, а другую — на 3 равных части, разобьем квадрат на 15 равных частей (рис. 3).

Так как площадь квадрата равна 1 дм2, то площадь одной такой части равна Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Прямоугольник со сторонами - Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм иОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм состоит из 8 таких частей, поэтому его площадь равна —Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм2. Итак, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Как можно найти числитель и знаменатель произведения двух обыкновенных дробей?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, произведением двух обыкновенных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Умножим дроби:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Мы разделили числитель и знаменатель на 10. При умножении можно сначала записать произведение числителей и произведение знаменателей, провести сокращение, а затем выполнить умножение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Как выполнить умножение Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения?

Правило умножения дробей можно использовать и тогда, когда одним из множителей является натуральное число. Для этого достаточно натуральное число записать в виде неправильной дроби со знаменателем 1 и применить правило умножения дробей. Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Правило умножения дробей можно использовать при умножении смешанных чисел. Для этого достаточно записать эти числа в виде неправильных дробей и применить правило умножения дробей. Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Для умножения дробей выполняются нереместителыюе. сочетательное и

распределительное свойства умножения, а именно: если Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — дроби, то

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Кроме того, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Выполнить умножение: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Данное умножение удобно выполнить, использовав распределительный закон умножения, а именно:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Записать обыкновенной дробью Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как 1% Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Записать в виде процентов дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как 1 = 100%, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Задачи на умножение дробей

Пример:

Автомобиль движется со скоростью 90 км/ч. Какой путь пройдет автомобиль за Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения ч?

Решение:

Чтобы найти путь, надо скорость умножить на время:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, за Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияч автомобиль пройдет 120 км.

Такие и аналогичные задачи, но с натуральными числами или десятичными дробями, мы уже решали раньше и также при помощи умножения Решим теперь при помощи умножения дробей задачи, которые мы раньше решали другими способами.

Пример:

В классе 30 учеников, из них Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — девочки. Сколько девочек в классе?

Решение:

Раньше эту задачу мы решали так:

1) 30 : 5 = 6 (учеников) — составляет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от 30 учеников:

2) 6 • 3 = 18 (учеников) — составляет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от 30 учеников.

Итак, в классе 18 девочек.

Запишем решение этой задачи в виде числового выражения (30 : 5) • 3, которое преобразуем так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, чтобы найти количество девочек в классе, можно умножить количество всех учеников (30) на дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения :

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решая задачу, мы нашли дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от числа 30. Вообще говорят: нашли дробь от числа.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Пример:

При перегонке нефти получают 30% керосина. Сколько тонн керосина можно получить из 15 т нефти?

Решение:

Запишем 30% в виде дроби: 30% = 0,3. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти 30% от 15 т, или дробь 0,3 от 15 т:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, из 15 т нефти можно получить 4,5 т керосина.

Решая задачу, мы нашли 30% от числа 15. Говорят: нашли проценты от числа.

Чтобы найти проценты от числа, нужно записать проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Пример:

Найти Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения0,21 от 12.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти 12% от Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от 20.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Взаимно обратные числа

Возьмем дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и поменяем в ней местами числитель и знаменатель, то есть числитель запишем знаменателем, а знаменатель — числителем. Получим Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Найдем произведение этих дробей:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Произведение чисел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения равно 1. Такие числа называют взаимно обратными; число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения называют обратным числу Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения , а число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — обратным числу Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Взаимно обратными являются, например, числа:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решить уравнение Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как произведение чисел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения равно 1, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — число, образное числу Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Итак, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Деление обыкновенных дробей

Вы уже знаете, что деление — это действие, при помощи которого по известному произведению и одному из множителей находят другой множитель Так

как 3 • 2 = 6, то 6 : 3 = 2; так как Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Как найти частное обыкновенных дробей? В отличие от умножения дробей, в записи Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения связь числителя и знаменателя частного Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения с числителем и знаменателем делимого Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и делителя Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения малозаметна. Найдем произведение делимого Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения обратного делителю:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Так как Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения верно равенство Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Оказалось, что деление на некоторое число можно заменить умножением на обратное ему число. Получим следующее правило:

Чтобы разделить одну дробь на другую, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю.

Выполним по этому правилу деление дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на дробьОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Для тех, кто хочет знать больше

Частное 3 : 5 можно записать при помощи черты дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Частное от деления двух выражении также можно записывать при помощи черты дроби. Например.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Выражение Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения называют дробным выражением, числителем которого является выражение 12 + 3 • 3, а знаменателем — выражение 12 — 0,7. В числителе и знаменателе дробного выражения могут быть числовые выражения и выражения с переменными. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения —дробные выражения.

Находя значения дробных выражений, можно использовать свойства обыкновенных дробей. Например, умножить числитель и знаменатель на одно и то же число:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислите Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Запишем числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения неправильными дробями: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Задачи на деление дробей

Пример:

С опытного участка площадью га собрали 176 ц пшеницы Какова урожайность пшеницы на этом участке?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу всей собранной пшеницы разделить на площадь участка:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, урожайность пшеницы на этом участке — 64 ц с гектара. Такие и похожие задачи, но с натуральными числами или десятичными дробями, мы уже решали раньше и тоже при помощи деления

Решим теперь при помощи деления дробей задачи, которые раньше решали другими способами.

Пример:

Автомобиль, двигаясь из города А в город В, проехал 60 км, что составляет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения расстояния между этими городами. Каково расстояние между городами А и В?

Решение:

Вам известно такое решение задачи:

1) 60 : 2 = 30 (км) — соответствует Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения расстояния;

2) 30 • 5 = 150 (км) — расстояние между городами.

Запишем решение этой задачи в виде числового выражения (60 : 2) • 5, которое преобразуем так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, данную задачу можно решить делением на дробь.

В задаче известно, что Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения расстояния — это 60 км, а нужно найти все расстояние, то есть в задаче известно, чему равна дробь от числа, а нужно найти само число.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти число по данному значению его дроби, достаточно это значение разделить, на дробь.

Пример:

Из чайного листа получают 4.5% чая. Сколько потребуется чайного листа, чтобы получить 36 кг чая?

Решение:

Запишем проценты в виде дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Нужно найти массу чайного листа, если 0.045 этой массы составляет 36 кг, то есть нужно найти число по данному значению его дроби:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Итак, чтобы получить 36 кг чая, потребуется 800 кг чайного листа.

Решая задачу, мы искали число, 4,5% которого равно 36, то есть искали число по его процентам.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти число по его процентам, достаточно записать проценты к виде дроби и разделить значение процентов на полученную дробь.

Пример:

Найти число, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения которого равны 45.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти число, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения которого равны 14.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. Периодические десятичные дроби

Обыкновенную дробь можно рассматривать как частное от деления числителя на знаменатель. Разделив числитель на знаменатель, получаем десятичную дробь или натуральное число. Итак, чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, достаточно числитель разделить на знаменатель. Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Дробь 0,66... называют бесконечной периодической десятичной дробью. периодом которой является число 6. Дробь 0,833... также периодична, но ее период (число 3) начинается не сразу после запятой. Дробь 0,2727... периодична, ее периодом является число 27.

Периодичные дроби еще записывают так: 0,66... = 0,(6); читают: 0 целых 6 в периоде; 0,833... = 0,8(3) (0 целых 8 десятых до периода и 3 в периоде); 0.2727... = 0,(27) (0 целых 27 в периоде).

Дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно преобразовать в конечные десятичные дроби. Знаменатели этих дробей 4 = 2 • 2 и 20 = 2 • 2 • 5 имеют в своих разложениях на простые множители только два простых числа: 2 и 5. Кроме деления числителя на знаменатель, преобразовать такие дроби в десятичные можно еще и так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

В обоих случаях дополнительные множители мы выбирали так, чтобы уравнять количество двоек и пятерок в раложенни знаменателей на простые множители. Тогда в знаменателях получили числа, записанные единицей с последующими нулями. А такие обыкновенные дроби можно записать конечными десятичными дробями.

Итак, если разложение знаменателя обыкновенной дроби на простые множители содержит только числа 2 и 5, то такая дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

Если разложение знаменателя обыкновенной несократимой дроби на простые множители, кроме чисел 2 и 5, содержит другие числа, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Не выполняя деления, преобразовать число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения в десятичную дробь.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Памятка:

  1. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения в числителе — произведение числителей в знаменателе — произведение знаменателей.
  2. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения нашли дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от числа 30.
  3. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — нашли 25% от числа 36.
  4. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — умножили на число, обратное делителю.
  5. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — нашли число, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения которого равны 40.
  6. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — нашли число, 75% которого равны 30.

Обыкновенные дроби и действия над ними

Основное свойство дроби. сокращение дроби

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Посмотрите на рисунки 2 и 3. Вы видите, что два равных квадрата разделены на две части: первый квадрат — на 4 равные доли (рис. 2), а второй — на 8 равных долей (рис. 3). На обоих рисунках закрашена одна и та же часть квадрата. Но на первом рисунке такая часть составляет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения квадрата, а на втором Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения квадрата. Значит, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можем заменить дробью Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения потому, что значения этих дробей равны: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы понять, как из дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно получить дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, будем рассуждать так. Второй квадрат разделили на количество долей, вдвое большее, чем первый квадрат (это показывают знаменатели дробей). Поэтому, если во втором квадрате взять во столько же раз больше долей, то получим равенство — одна доля первого квадрата равна двум долям второго квадрата. Отсюда: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Рассуждая в обратном порядке, получим: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Такое свойство называют основным свойством дроби.

Основное свойство дроби

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, если Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения;Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, если Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Мама купила детям молочный шоколад, состоящий из 18 долек. Таня сказала, что съела Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада, а Ваня сказал, что съелОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки. Мама сказала, что каждый из детей съел одинаковую часть плитки шоколада. Так ли это?

Решение:

Таня и Ваня меряли плитку шоколада разными мерками: Таня меряла шестыми частями, а Ваня — восемнадцатыми частями. По основному свойству дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Значит Таня и Ваня действительно съели одинаковые части плитки шоколада. Мама была права.

Обратите внимание:

если дроби равны, то их считают разными записями одного числа.

По основному свойству дроби, можем записать: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Здесь числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения мы разделили на 2 и получили дробь с меньшим знаменателем 8 и меньшим числителем 3. Такое преобразование дроби называют сокращением дроби.

Пример:

Каждую ли дробь можно сократить? Нет. Например, числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения не имеют других общих делителей, кроме числа 1. Числа 5 и 7 являются взаимно простыми, поэтому дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения сократить нельзя.

Такие дроби называют несократимыми. Например, дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения несократимые.

Правило сокращения дроби

Чтобы сократить дробь, нужно:

  1. для числителя и знаменателя дроби найти общий делитель, не равный 1;
  2. разделить знаменатель дроби на общий делитель и результат записать в знаменателе новой;
  3. разделить числитель дроби на общий делитель и результат записать в числителе новой дроби.

Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Если после сокращения дроби получили дробь, которую можно ещё сократить, то действие сокращения повторяют* пока не получат несократимую дробь. Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

если дробь сократить на НОД числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

В Древнем Риме система дробей была достаточно интересной. В её основу было положено деление на 12 частей единицы массы, которую называли асс. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения асса называли «унцией». Путь, время и другие величины римляне также сравнивали с массой. Например, они говорили, что прошли семь унций пути или прочитали три унции книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Римляне имели в виду, что пройдено

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения пути или прочитаноОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решениякниги.

Приведение дробей к общему знаменателю. сравнение дробей

Вы уже знаете, что дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно заменить дробью Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения потому, что значения этих дробей равны: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. О таком равенстве говорят, что дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения привели к новому знаменателю 16. Для приведения дроби к новому знаменателю применяют основное свойство дроби.

Часто заранее известно, к какому именно знаменателю нужно привести данную дробь. Например, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения нужно привести к знаменателю 50. Для этого сначала следует узнать, во сколько раз новый знаменатель 50 больше знаменателя данной дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Затем — во столько же раз нужно увеличить числитель данной дроби: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Число 5 называют дополнительным множителем.

Обратите внимание:

  • — дополнительный множитель является натуральным числом;
  • — чтобы найти дополнительный множитель, разделите новый знаменатель на знаменатель данной дроби.

Пример:

К любому ли знаменателю можно привести данную дробь? Нет. Например, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения нельзя привести к знаменателю 11 или 25, поскольку ни число 11, ни число 25 не делится на число 10.

Правило приведения дроби к новому знаменателю

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно:

  1. записать новый знаменатель в знаменателе новой дроби;
  2. определить дополнительный множитель как частное нового знаменателя и знаменателя данной дроби;
  3. умножить числитель данной дроби на дополнительный множитель и результат записать в числителе новой дроби.

Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Если дроби привели к новым знаменателям, равным между собой, то говорят, что эти дроби привели к общему знаменателю. Иногда заранее известно, к какому именно общему знаменателю нужно привести дроби. Тогда каждую дробь отдельно приводят к заданному знаменателю по известному правилу.

Чаще всего новый знаменатель заранее не задан. Тогда нужно сначала выяснить, к какому общему знаменателю можно привести данные дроби.

Как правило, дроби приводят к такому общему знаменателю, который является наименьшим из всех возможных. Такой знаменатель называют наименьшим общим знаменателем данных дробей.

Определение:

Наименьшим общим знаменателем дробей является число, равное наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей данных дробей.

Сформулируем правило приведения двух дробей к наименьшему общему знаменателю.

Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

  1. найти НОК знаменателей данных дробей;
  2. найти дополнительный множитель для первой дроби;
  3. привести первую дробь к новому знаменателю;
  4. найти дополнительный множитель для второй дроби;
  5. привести вторую дробь к новому знаменателю.

Пример:

Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения иОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Вы уже умеете сравнивать две дроби с одинаковыми знаменателями. Например: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Можно ли сравнить две дроби с разными знаменателями? Да. Рассмотрим пример.

Пример:

Сравните дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Приведём данные дроби к наименьшему общему знаменателю 24. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, а Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку знаменатели полученных дробей равны, можем сравнить их числители: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Если две дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели , то их можно сравнить, не приводя к общему знаменателю Для этого пользуются правилом: из двух дробей с одинаковыми числителями большей является та, у которой знаменатель меньше. Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Попробуйте самостоятельно объяснить этот вывод по рисункам 4 и 5. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сложение и вычитание дробей

Вы уже знаете, как складывать и вычитать натуральные числа, а также дроби с одинаковыми знаменателями. Дроби с разными знаменателями тоже можно складывать и вычитать.

Рассмотрим задачу.

Пример:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Мама купила детям молочный шоколад, в котором 18 долек.

Таня сказала, что съела бы Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел бы Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения её часть (рис. 6) Какую часть плитки шоколада съели бы Таня и Ваня вместе?

Решение:

Таня и Ваня меряли плитку шоколада разными мерками: Таня меряла шестыми частями, а Ваня — девятыми. Чтобы найти сумму Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, нужно каждое слагаемое представить в одних и тех же единицах измерения. Понятно, что для плитки шоколада такой меркой является долька, или Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки. Тогда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки содержит 3 дольки, то есть равна Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада, а Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки содержит 2 дольки, то есть равна Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада. Вместе это составляет 5 долек, или Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада.

Ответ: дети съели бы Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада.

Решая задачу, мы, по сути, выполнили действие сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Попробуйте самостоятельно сформулировать соответствующее правило и сравните его с представленным в учебнике.

Правило сложения дробей с разными знаменателями

Чтобы найти сумму двух дробей с разными знаменателями, нужно:

  1. привести данные дроби к общему знаменателю;
  2. общий знаменатель записать в знаменателе суммы;
  3. сложить новые числители и результат записать в числителе суммы;
  4. если возможно, то сократить полученную в сумме дробь и выделить из неё целую часть.

Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

При сложении дробей с разными знаменателями, так же, как и при сложении натуральных чисел, справедливы переместительный и сочетательный законы сложения.

Пример:

Таня и Ваня съели Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада, в которой всего 18 долек. Таня съела Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада, а другую часть съел Ваня. Какую часть плитки съел Ваня'?

Решение:

Чтобы решить задачу, нужно найти разность дробей Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки содержат 12 долек, то есть равны Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки, а Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки содержит 9 долек, то есть равна Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения или Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада.

Ответ: Ваня съел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плитки шоколада.

Сформулируем правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, нужно:

  1. привести данные дроби к общему знаменателю;
  2. общий знаменатель записать в знаменателе разности;
  3. найти разность новых числителей и результат записать в числителе разности;
  4. если возможно, то полученную в разности дробь сократить и выделить из неё целую часть.

Пример:

Вычислите:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Задачу можно решить двумя способами

Способ 1. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Способ 2.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Можно ли складывать (вычитать) два смешанных числа, у которых знаменатели дробных частей разные? Да. При этом дробные части приводят к общему знаменателю, Рассмотрим пример.

Пример:

Вычислите: 1) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; 2) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Способ 2.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Воспользуемся вторым способом: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Существует много разных математических фокусов, которые вы можете предложить своим друзьям или знакомым. Вот один из них. Задание. Нужно задумать любое натуральное число, затем прибавить к нему следующее по порядку, затем к сумме прибавить 9, разделить полученное число пополам и из полученного результата вычесть задуманное число. Какое получим число? Вы легко можете назвать число, получившееся в результате этих действий — это число 5.

Попытайтесь придумать свой математический фокус и предложите его друзьям.

Умножение дробей. нахождение дроби от числа

Дроби, как и натуральные числа, можно умножать. Например, чтобы найти площадь прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см, нужно умножить эти числа: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Выразив стороны в дециметрах, получимОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Значит, в квадратных дециметрах площадь данного прямоугольника равна произведению дробей Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Но как вычислить такое произведение? Поразмышляем. Поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Несложно заметить, что знаменатель произведения равен произведению знаменателей: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, а числитель произведения равен произведению числителей: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. В этом и состоит правило умножения дробей.

Правило умножения обыкновенных дробей

Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, нужно:

  1. найти произведение знаменателей данных дробей и записать его в знаменателе произведения;
  2. найти произведение числителей данных дробей и записать его в числителе произведения.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Умножение дробей подчиняется переместительному и сочетательному законам умножения, а также распределительному закону умножения относительно сложения.

Пример:

Как умножить натуральное (смешанное) число на дробь?

Сначала натуральное (смешанное) число преобразуют в неправильную дробь, а затем выполняют умножение по приведённому выше правилу. Аналогично умножают два смешанных числа.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Что получим в результате умножения дроби на 1?

Ту же дробь. Например:Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Что получим в результате умножения дроби на О?

Число 0. Например:Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Существуют ли такие числа, произведение которых равно 1 ? Да. Например: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Действительно: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

Пример:

Как записать число, обратное данному? Для этого достаточно представить данное число в виде дроби и в полученной дроби поменять местами числитель и знаменатель. Например, для числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения получим обратное число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Для натурального числа обратной является дробь, у которой числитель — 1, а знаменатель — данное натуральное число. Например, для чисел 5, 14 и 29 обратными являются соответственно числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Обратите внимание:

  • — для числа 1 обратным является число 1;
  • — для числа 0 обратного числа не существует.

На практике нередко нужно выяснить, какая величина приходится на часть данного числа. Вы знаете, что это задачи на нахождение дроби от числа. Все они сводятся к действию умножения числа на дробь- Рассмотрим задачу.

Пример:

Мама испекла рулет длиной 30 см. Таня и Ваня со своим и друзьями решили лишь попробовать его, но оказалось, что не стало аж Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения рулета. Сколько сантиметров составляют Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения длины рулета?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Длина всего рулета равна 30 см (рис. 7). Если разделить его на 6 частей, то длина одной его части составит 5 см. Дети съели 5 таких частей, это значит, что они съели Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения рулета. Но такую запись получим и тогда, когда число 30 умножим на дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то есть: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.Значит, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения длины рулета составляют 25 см.

Можем сформулировать правило.

Правило нахождения дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно данное число умножить на эту дробь.

Математический папирус Ринда - древнеегипетское учебное пособие по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом на свиток папируса длиной 5,25 м и шириной 33 см (рис. 8). Папирус был найден в 1858 году. В 1870 г. его расшифровали, перевели и издали. Ныне большая часть рукописи хранится в Британском музее в Лондоне, а остальная — в Нью-Йорке. Папирус Ринда содержит условия и решения 84 задач и является самым полным египетским задачником, дошедшим до нас.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Деление дробей. Нахождение числа по его дроби

Вы знаете, что неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Например, у прямоугольника с площадью Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и одной стороной Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения(рис. 9) вторая сторона равна частному от деления дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пусть искомое частное —дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Тогда можем записать: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Видим, что Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Значит, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то есть Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Такой же результат получим, когда дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения умножим на дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, обратную дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Действительно: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Получается, что действие деления дроби на дробь можно заменить действием умножения данной дроби на число, обратное делителю:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

В этом и состоит правило деления дроби на дробь.

Правило деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно:

  1. найти дробь, обратную делителю;
  2. делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

3адача 1.

Разделите дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Как разделить натуральное (смешанное) число на дробь? Сначала нужно данное натуральное (смешанное) число преобразовать в неправильную дробь, а затем применить правило деления дробей.

Пример:

Найдите частное чисел: 1) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; 2) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

1) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения;

2) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Что получим, если 1 разделим на некоторую дробь? Получим дробь, обратную данной. Например:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание:

  • — если 1 разделить на обыкновенную дробь, то получим обыкновенную дробь, обратную данной.

Пример:

Что получим, если 0 разделим на обыкновенную дробь? Получим ноль. Например:Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Можно ли разделить дробь на 0? Нет, поскольку на ноль делить нельзя.

На практике нередко приходится по известной части величины находить саму величину. Вы знаете, что это задачи на нахождение числа по его дроби. В 5 классе вы научились решать такие задачи различными способами. Оказывается, что все они сводятся к действию деления числа на дробь. Рассмотрим пример.

Пример:

Мама испекла рулет. Таня и Ваня измеряли рулет и отрезали часть длиной 30 см. Оказалось, что они отделили Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения рулета Сколько сантиметров составляла длина целого рулета?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Если разделить весь рулет на 6 частей (рис. 10), то длина пяти таких частей равна 30 см. Значит, длина одной его части составляет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, а длина всего рулета — Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, чтобы по условию задачи найти длину всего рулета, можно число 30 разделить на дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то есть:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Можем сформулировать правило нахождения числа по его дроби.

Правило нахождения числа по его дроби

Чтобы найти число по его дроби, нужно данное число, выражающее часть искомого, разделить на эту дробь.

Пусть даны два таких натуральных числа, что сумма всех делителей первого (за исключением самого числа) равна второму числу, а сумма всех делителей второго числа (за исключением самого числа) равна первому числу. Числа, обладающие таким свойством, называют дружественными числами. Например, число 220 имеет такие делители: 1.2.4.5.10.11,20.22.44.55. 110. Их сумма равна 284. Число 284 имеет следующие делители: 1. 2. 4. 71. 142. Их сумма равна 220. Итак, числа 220 и 284 являются парой дружественных чисел. Это пара наименьших дружественных чисел. Вот другие пары дружественных чисел: 1184 и 1210. 2620 и 2924. 5020 и 5564. 6232 и 6368. 10 744 И 10 856.12 285 и 14 595.17296 и 18 416. 63 020 и 76 084.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Десятичные приближения обыкновенной дроби

Из курса математики 5 класса вы знаете, что любую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.Такое действие иначе называют преобразованием десятичной дроби в обыкновенную. Обратное действие называют преобразованием обыкновенной дроби в десятичную.

Пусть дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения нужно преобразовать в десятичные. Для этого числитель разделим на знаменатель. Тогда получим:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Разделив 7 на 25, мы получили десятичную дробь 0,28. А в двух других случаях деление закончить было невозможно, поскольку остаток всё время повторялся. Поэтому мы прекратили деление и поставили многоточие.

Дробь 0,28 называют конечной десятичной дробью, а дроби 0,6666... и 0,8333... называют бесконечными десятичными периодическими дробями. Такие дроби имеют период — это число, которое в записи десятичной периодической дроби повторяется бесконечно. Для дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения периодом является число 6, а для дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — число 3. Период может начинаться сразу после десятичной

запятой, как у дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, а может — после некоторого числа, как у дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияБесконечную десятичную периодическую дробь кратко записывают так: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Читают так: «Ноль целых восемь десятых и три в периоде».

Пример:

Верно ли, что в периоде должна быть только одна цифра? Нет. Период может содержать несколько цифр. Например, период дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решениясодержит три цифры: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Обратите внимание:

при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную всегда получаем либо конечную дробь, либо бесконечную периодическую дробь.

Пример:

Можно ли сравнивать бесконечные периодические дроби, выполнять с ними действия? Да. Но для этого нужно предварительно округлить их. Рассмотрим пример.

Представим число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения в виде десятичной дроби:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Округлим эту дробь до единиц, десятых, сотых, тысячных и т. д. по правилам, известным вам из курса математики 5 класса. Получили следующую последовательность чисел: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. В ней первое и второе значения являются округлением с недостатком, а третье, четвёртое и пятое — с избытком. Значит, такая последовательность не даёт однозначной характеристики полученной дроби. Для более точной её оценки применяют специальные процедуры.

Запишем для числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения последовательность десятичных приближений с недостатком (до единиц, десятых, сотых, тысячных и т.д.). Для этот не округлим данное число, а отбросим все последующие цифры после указанного разряда: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Запишем для числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения последовательность десятичных приближений с избытком (до единиц, десятых, сотых, тысячных и т.д.). Для этого добавим единицу до соответствующего разряда и отбросим все последующие цифры после него: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Несложно заметить, что для числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, а значит и для обыкновенной дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения справедливы неравенства:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Крайние члены таких неравенств называют десятичными приближениями обыкновенной дроби. Такие приближения используют, чтобы оценить обыкновенную дробь с определённой точностью, например, до десятых или до сотых. Посмотрите на неравенства, записанные выше. Первое из них показывает десятичные приближения дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения с точностью до единиц, второе — с точностью до десятых, третье — с точностью до сотых.

Иначе можно сказать, например, о первом неравенстве Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения: «Дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения оценили с точностью до единиц». 12 12

У вас мог возникнуть вопрос: в каком случае обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь? Порассуждаем.

Представим, например, дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения в виде десятичных дробей.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, первые три дроби можно представить в виде конечных десятичных дробей, а четвёртую — только в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Разложим их знаменатели на простые множители:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

В первых трёх разложениях содержатся только числа 2 и 5, в третьем — и число 2, и число 5. В четвёртом же разложении есть и иной множитель — число 3. Это и является причиной того, что дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения нельзя представить в виде конечной десятичной периодической дроби.

Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной периодической дроби тогда и только тогда, когда разложение её знаменателя на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5.

------

Обыкновенные дроби

В этом разделе рассматриваются обыкновенные дроби. Вы уже кое-что знаете о них. В 5-м классе складывали и вычитали такие дроби, правда — только если они имели одинаковые знаменатели. Теперь научимся складывать, вычитать, умножать и делить любые обыкновенные дроби, а также использовать их для решения некоторых видов задач. Кратко основное содержание выглядит так.

  • Основное свойство дроби.
  • Сокращение дробей.
  • Приведение дробей к общему знаменателю.
  • Сложение и вычитание дробей.
  • Умножение и деление дробей.
  • Задачи на умножение и деление дробей.
  • Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

Все темы очень важны, без их знания нельзя продолжать изучение математики.

Обыкновенные дроби с равными знаменателями

Повторим важнейшие сведения об обыкновенных дробях, которые рассматривались в предыдущих классах.

Кроме натуральных чисел, существуют также числа дробные. Записывать их можно с помощью обыкновенных или десятичных дробей.

Обыкновенная дробь - это запись вида Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, где Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - натуральные числа. В такой дроби число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения называется числителем, а Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решениязнаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена единица (что-то единое целое), а числитель — сколько таких частей взято.

Например, если торт разделили на 8 равных частей и в тарелку положили 3 такие части, то в тарелке будет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения торта (рис. 12).

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Черта, отделяющая числитель от знаменателя, называется чертой дроби. Числитель и знаменатель называют членами дроби.

Если знаменатели двух дробей равны, то больше из них та дробь, числитель которой больше. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сумма дробей с равными знаменателями равна дроби, в которой знаменатель тот же, а числитель равен сумме числителей данных дробей. То есть, всегда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Разность дробей с равными знаменателями равна дроби, в которой знаменатель тот же, а числитель равен разности числителей данных дробей. То есть, всегда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенную дробь называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель больше знаменателя или равен знаменателю, то такую дробь называют неправильной. Например, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - правильная, а дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - неправильные, «значение каждой правильной дроби меньше 1. Если числитель равен знаменателю, то значение такой дроби равно 1.

Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13).

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Если числитель больше знаменателя, то из такой дроби можно выделить целую часть:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Каждую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Желательно различать дроби и дробные числа. Вам уже известны натуральные числа и дробные. Ни одно натуральное число не считается дробным и ни одно дробное -натуральным. А дроби это специальные символы, которыми обозначают как дробные, так и натуральные числа. Например, дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения обозначают натуральные числа 1, 2, 3, 4. Обратите внимание на то, что одно и то же натуральное или дробное число можно записать многими различными дробями.

Например, разные дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения обозначают одно и то же число: половину. На координатном луче каждой точке соответствует единственное число, а записывать его можно многими различными способами (рис. 14).

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №17

Сравните числа: а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и 0,5; б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и 0,17.

Решение:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения поэтому Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, поэтому данные числа равны.

Пример №18

Вычислим значение: а) 0,7 + Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; б) 3,15-Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Основное свойство дроби

Разделим число 3 на 10. Получим 0,3 или Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, 3 : 10 = Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Так же, разделив 28 на

100, получим Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Всегда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения , или иначе Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Каждая обыкновенная дробь — это частное от деления ее числителя на знаменатель.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Черта дроби - это обозначение знака деления. Вспомните основное свойство деления. Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Например, 10: 2 = 5 и 20 : 4 = 5, и 30 : 6 = 5. Основное свойство деления справедливо и тогда, когда деление обозначено чертой дроби.

Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Это - основное свойство дроби.

Умножим, например, числитель и знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на 2 и на 4. Получим дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения (рис. 16).

Все эти дроби имеют одно и то же значение. Говорят, что эти дроби равны.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрите любую дробь, напримерОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Если ее числитель умножить на 2, то значение дроби увеличится вдвое (рис. 17). Вообще, если числитель дроби увеличить в несколько раз, то и значение дроби увеличится во столько же раз. Если же на 2 умножить знаменатель дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то получим дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, которая вдвое меньше (рис. 18). Вообще, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз.

Если же умножить на натуральное число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения числитель (значение дроби увеличится в Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения раз) и знаменатель (значение дроби уменьшится в Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения раз), то в результате значение дроби не изменится. Это иное обоснование основного свойства дроби.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №19

Запишите число 5 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №20

Как изменится значение дроби, если ее числитель уменьшить в 3 раза?

Решение:

От увеличения числителя дроби в несколько раз значение дроби увеличится во столько же раз. Например, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения больше Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения в 3 раза. А дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения меньше Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения в 3 раза.

Если числитель дроби уменьшить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз.

Пример №21

Вычислите Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №22

Сколько сотых содержится в числе Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения?

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 60.

Сокращение дробей

Из основного свойства дроби следует, что значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель разделить па их общий делитель. Так можно упрощать дроби, не изменяя их значения.

Пусть, например, дана дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Ее числитель и знаменатель делятся на 10. Разделив их на этот общий делитель, получим Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Эта дробь имеет то же значение, что и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, но проще, поскольку записана меньшими числами. Такое

упрощение дроби называется сокращением дроби. В данном случае дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения сокращена на 10, то есть ее числитель и знаменатель разделены на 10.

Наибольшее число, па которое можно сократить дробь, равно наибольшему общему делителю ее числителя и знаменателя.

Поэтому, чтобы сократить дробь, сначала находят наибольший общий делитель числителя и знаменателя, а потом числитель и знаменатель этой дроби делят на этот НОД.

Пусть, например, надо сократить дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Поступаем так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сокращая дробь, некоторые вычисления можно делать устно. Не обязательно сразу сокращать дробь на НОД числителя и знаменателя. Используя признаки делимости, дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно сначала сократить на 2, полученную дробь сократить на 2, а потом - на 3. Записывать можно так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения или так: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Если числитель и знаменатель дроби — числа взаимно простые, то такую дробь называют несократимой.

Несократимыми, например, являются дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Несократимую дробь сократить нельзя. Если числитель и знаменатель дроби разделить на их наибольший общий делитель, получим несократимую дробь.

Выполнение заданий:

Пример №23

Сократите дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

6 = 2*3. Число 646 делится на 2 и не делится на 3. Поэтому данную дробь можно сократить только на 2. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Приведение дробей к общему знаменателю

Вы уже умеете сравнивать дроби с равными знаменателями. Например, знаете, что Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. А как сравнивать дроби с разными знаменателями? Какая из двух дробей больше: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения или Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения? Чтобы ответить на этот вопрос, надо привести данные дроби к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получим дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, знаменатель которой такой же, как и знаменатель второй дроби. А сравнивать дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения вы уже умеете. «Заменив дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, мы привели их к общему знаменателю 10.

Итак, чтобы сравнивать, складывать или вычитать дроби, надо приводить их к общему знаменателю. Поэтому очень важно уметь преобразовывать дроби.

Можно приводить к общему знаменателю две и больше дробей. Например, чтобы привести к общему знаменателю дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения иОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 6, а второй - на 3. В результате получим: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Знаменатели этих дробей равны, а значение каждой из них такое же, как и значение соответствующей данной дроби.

Привести несколько дробей к общему знаменателю — это значит заменить их дробями с одинаковыми знаменателями, не изменяя значений самих дробей.

Чаще всего приводят дроби к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному всех знаменателей данных дробей.

Пример №24

Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

НОК (5, 3, 10) = 30, 30 : 5 = 6, 30 : 3 = 10, 30 : 10 = 3. Следовательно, числитель и знаменатель первой, второй и третьей дроби надо умножить на дополнительные множители 6, 10 и 3 соответственно. Получим:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Если не требуется, чтобы общий знаменатель был наименьшим, то им может быть произведение знаменателей данных дробей. Например, общим знаменателем дробей 3 2 1

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения может быть и произведение 5 • 3 • 10, то есть 150.

Выполнение заданий:

Пример №25

Приведите к общему знаменателю дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Общим знаменателем двух дробей может быть произведение их знаменателей. В данном случае произведение 4 • 6 = 24.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Приведите дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

Наименьший общий знаменатель данных дробей - НОК их знаменателей. НОК (4, 6) = 12. Поэтому

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сложение и вычитание дробей

Вспомните, как складывают и вычитают дроби с равными знаменателями.

Примеры:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, надо стачала привести их к общему знаменателю, а потом — сложить или вычесть по известным уже правилам.

Над числителями можно писать дополнительные множители или только представлять их.

Рассмотрим примеры:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сумму дроби и натурального числа записывают в виде смешанного числа:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы неправильную дробь преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель. Неполное частное — это целая часть, а остаток — числитель дробной части.

Например, чтобы Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения преобразовать в смешанное число, разделим 32 на 5.

32 : 5 = 6 (ост. 2). Поэтому Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Для любых чисел - натуральных или дробных - справедливы переместительный и сочетательный законы сложения.

Для любых чисел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Разные случаи вычитания показаны на примерах:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

в) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №27

Сложите дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

НОК (8, 6) = 24. Дополнительные множители - 3 и 4, поскольку 24 : 8 = 3, 24 : 6 = 4.

Поэтому

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Можно записать и так:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №28

Найдите разность чисел: а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения то

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Умножение дробей

Существует много задач, для решения которых надо уметь умножать обыкновенные дроби. Например, если стороны прямоугольника равны Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дм (рис. 27), то, чтобы найти его площадь, нужно умножить эти дроби. Это нетрудно сделать, если вспомнить, как умножают десятичные дроби:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание: произведение числителей 7 • 3 = 21, а произведение знаменателей 10 • 10 = 100. Произведением данных дробей является дробь, числитель которой равен произведению 10 их числителей, а знаменатель - произведению знаменателей. Любые другие обыкновенные дроби умножают подобным образом.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель - произведению их знаменателей, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Подобным образом умножают три и больше дробей:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Примечание. Множители числителя и знаменателя желательно сократить еще до их умножения. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, натуральные числа, десятичные дроби или смешанные числа, их надо преобразовать в обыкновенные дроби. Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Для любых дробных чисел, как и для натуральных, всегда выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения.

То есть, какие не были бы числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения всегда

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Надо также помнить, что какой бы не была обыкновенная дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, всегда

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрите два произведения:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения здесь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения здесь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Верным является и общее утверждение. Пусть Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - произвольное число больше 0. При умножении числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на неправильную дробь получаем произведение больше Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, a при умножении на правильную дробь - произведение меньше Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Произведение нескольких правильных дробей меньше каждой из этих дробей.

Выполнение заданий:

Пример №29

Вычислите произведение чисел:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения; б)Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №30

Умножьте Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на 2.

Решение:

Первый способ. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Второй способ. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №31

Найдите квадрат и куб числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Деление дробей

Делить десятичные дроби вы уже умеете. Знаете, например, что 0,35 : 0,5 = 0,7, то есть Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Сравните это равенство с таким: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, разделить ли число на Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения или умножить Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, результаты получаем одинаковые. Оказывав, что подобное свойство сохраняется и при делении любого числа на любую дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Всегда Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ведь разделить число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения на Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения -это значит найти такое число, которое при умножении на Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения дает Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. А равенство Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения верно.

Дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения называются взаимно обратными. Вообще, два числа взаимно обратные, если их произведение равно 1.

Взаимно обратными, например, являются числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и 3, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Из сказанного вытекает такое правило.

Чтобы разделить число на дробь, надо умножить его на число, обратное делителю.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Примеры:

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

в) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

г) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

На 0 делить нельзя!

Деление можно обозначать двоеточием или чертой дроби. Например, частное 2 : 3 и дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения обозначают одно и то же число. Так же выражение Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения можно записать в виде Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Это - пример дробного выражения. Его можно считать и дробью, но не обыкновенной. Числитель и знаменатель обыкновенной дроби - числа натуральные. А в рассматриваемой дроби числитель 3,5 и знаменатель Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения — числа не натуральные.

Другие примеры дробных выражений:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления значения таких дробных выражений упрощают их числители и знаменатели, заменяют черту дроби двоеточием и используют другие свойства обыкновенных дробей. Например,

а) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

б) Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №32

Вычислите значение выражения Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Заменим смешанные числа неправильными дробями:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №33

Площадь прямоугольника равна 2 Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, а одна из его сторон - Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения м. Найдите длину второй стороны.

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Задачи на умножение и деление дробей

Умножением на дробь чаще всего решают задачи на нахождение части числа (дроби от числа или процентов от числа). Обратные им задачи (нахождение числа по известной его части или по процентам) решают делением. Все эти виды задач рассматривались в 5-м классе для десятичных дробей. Также можно решать задачи и с обыкновенными дробями.

Задача. В книге 200 страниц. Ученик прочитал Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения книги. Сколько страниц прочитал ученик?

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Ученик прочитал 80 страниц.

В этой задаче 200 - данное число, 80 - его часть, которая соответствует дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Дробь от числа находят умножением.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияот Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения равно Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обратная задача. Ученик прочитал 80 страниц, что составляет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения всей книги. Сколько всего страниц в книге?

Решение:

Пусть в книге Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения страниц. Тогда

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. В книге 200 страниц.

Число по известной дроби находят делением.

Если Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения от Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения равно Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотренные задачи наиболее простые. Их можно решать одним действием.

Несколько сложней, например, такая задача.

Пример №34

В книге 200 страниц. Ученик прочитал Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения книги. Сколько страниц еще осталось ему прочитать?

Решение:

Рассмотрим два способа.

Первый способ.

1) Сколько страниц ученик прочитал?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

2) Сколько страниц осталось прочитать?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Второй способ.

1) Какую часть книги осталось прочитать?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

2) Сколько страниц осталось прочитать?

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Осталось прочитать 120 страниц.

Подобные рассмотренным выше задачам и задачи на проценты. Решая их, проценты надо заменить дробями.

Пример №35

Площадь поля равна 300 га. В первый день комбайнеры убрали 28 % этой площади. Сколько гектаров им осталось убрать?

Решение:

Рассмотрим два способа.

Первый способ.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Второй способ.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 216 га.

Выполнение заданий:

Пример №36

Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Они двигались со скоростями 60 км/ч и 75 км/ч и встретились через Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения ч. Найдите расстояние между городами.

Решение:

Первый способ. За Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения ч один автомобиль проедет Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения (км), а другой -Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения (км), Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Второй способ. За 1 ч автомобили сближались на Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 180 км.

Пример №37

Один трактор может вспахать поле за 20 ч, другой - за 30 ч. За сколько часов они могут вспахать поле, работая вместе?

Решение:

Первый трактор за 1 ч может вспахать Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть поля, другой - Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения— часть поля, а вместе Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения часть. Все поле они могут вспахать вместе за 12 ч, поскольку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Задачи такого типа называют задачами на совместную работу.

Пример №38

На линию вышло 35 автобусов, что составляет 70 % всех автобусов автопарка. Сколько в автопарке автобусов?

Решение:

70 % = 0,7. Если всего автобусов Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 50 автобусов.

Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Как преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные, вы уже знаете. А преобразовывать обыкновенные

дроби в десятичные? Из того что дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - это частное Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения вытекает такое правило преобразования обыкновенной дроби в десятичную.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, достаточно ее числитель разделить на знаменатель.

Преобразуем, например, в десятичную дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Разделив 7 па 25, получим 0,28. Следовательно, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Можно поступить иначе: умножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы знаменатель стал числом, записанным единицей с нулями. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Не каждую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную. Попытаемся, например, преобразовать в десятичную дробьОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Делить 2 на 3 можно бесконечно, поскольку остаток 2 периодически повторяется. В результате получим бесконечную периодическую десятичную дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения (рис.36).

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 36

Бесконечную периодическую десятичную дробь 0,666... короче записывают так: 0,(6). Читают: «0 целых 6 в периоде». А бесконечную периодическую десятичную дробь 1,2333... записывают 1,2(3) и читают «1 целая 2 десятых и 3 в периоде». Цифру или группу цифр, которые повторяются, называют периодом периодической десятичной дроби.

Выполнять действия над бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому их округляют, отбрасывая «хвосты» цифр. Подробней об этом - в следующем параграфе.

Как узнать, превращается ли данная обыкновенная дробь в десятичную или в бесконечную десятичную дробь? Если дробь сократима, то ее надо сначала сократить. Если разложение знаменателя несократимой дроби содержит только простые множители 2 и 5, то такая обыкновенная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Потому что члены этой дроби можно умножить на такое число, что знаменателем станет число, записанное единицей с нулями.

Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Если в разложении на простые множители знаменателя несократимой дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Бесконечные периодические десятичные дроби бывают двух видов: чистые и смешанные. Чистые - это те, у которых период начинается сразу же после запятой, например 0,333... или 21,424242... .

Дробная часть чистой бесконечной периодической десятичной дроби равна обыкновенной дроби, в которой числитель равен периоду, а знаменатель - числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Более подробно бесконечные периодические десятичные дроби изучаются в старших классах.

Выполнение заданий:

Пример №39

Преобразуйте в десятичную дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Первый способ. 13 : 50 = 0,26.

Второй способ. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Пример №40

Запишите в виде десятичной дроби число Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Первый способ. Поделим 7 на 40. 7:40=0,175. Поэтому Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Второй способ. Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Приближенные значения и действия с ними

Сколько людей живет в Киеве? Назвать точное число жителей Киева невозможно, ведь каждый день сотни людей приезжают, сотни отъезжают, кто-то рождается, а кто-то умирает. Сейчас в Киеве примерно 2,6 млн человек. И когда измеряют длины, площади, объемы, температуру, время, скорости и другие величины, то их значения тоже приближенные. При округлении бесконечных десятичных дробей тоже получают их приближенные значения.

Например, зная, чтоОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения пишут Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Здесь 0,667 - десятичное приближение числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения до тысячных. Подобные приближенные значения величин (приближенные числа) приходится складывать, вычитать, умножать, делить. Понятно, что и результаты таких действий приближенные.

Выполняя действия с приближенными числами, желательно придерживаться определенных правил. Самые простые из них - правила подсчета цифр. Здесь идет речь о десятичных знаках и значащих цифрах.

Десятичными знаками числа называют все его цифры, какие стоят справа от десятичной запятой. Значащие цифры числа - все его цифры, кроме нулей слева, а также кроме нулей справа, записанных вместо цифр, отброшенных при округлении. Например, в числе 0,00476 - пять десятичных знаков и три значащие цифры. Когда пишут, что диаметр планеты Beneрa равен 12 400 км, то в этом числе десятичных знаков нет, а значащих цифр три: 1, 2 и 4. Два последние нуля стоят вместо цифр, отброшенных при округлении.

Как выполнять действия с приближенными числами? Пусть, например, надо найти сумму приближенных чисел 3,24 и 2,5. Если бы эти значения были точными, то их сумма равнялась бы 5,74. Но они приближенные, то есть получены в результате отбрасывания последующих неизвестных цифр, которые обозначим вопросительными знаками. Следовательно, имеются в виду 3,24? и 2,5?. Найдем сумму и разность этих чисел:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Рассматривая подобные примеры, приходим к такому правилу:

При сложении и вычитании приближенных чисел в результате надо сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет компонент действия с наименьшим количеством десятичных знаков.

В данных примерах наименьше десятичных знаков имеет число 2,5. У него всего один десятичный знак. Поэтому полученные сумму и разность нужно записывать с одним десятичным знаком: Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Умножим эти же приближенные числа 3,24? и 2,5?:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

При умножении приближенных чисел в результате надо сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет множитель с наименьшим количеством значащих цифр. Подобным правилом пользуются также и при делении приближенных чисел. Итак, если числа 3,24 и 2,5 -приближенные, то Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Приведенные выше правила называют правилами подсчета цифр. Они не обеспечивают высокой точности вычислений, но для большинства практических применений такой точности вполне достаточно.

Выполнение заданий:

Пример №41

Найдите приближенное значение числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения до тысячных.

Решение:

Разделив 5 на 12, имеем бесконечную периодическую десятичную дробь 0,41666... .

Следовательно, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - округлено до сотых;

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - округлено до тысячных.

Пример №42

Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонамиОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, если Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Исторические сведения

Дробные числа в Египте были известны еще 4000 лет назад. Записывали их тогда только единичными дробями (такими, числители которых равны 1) или суммами единичных дробей. Например, вместо современных Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

египтяне писали Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Приводим одну задачу с папируса Ахмеса (XVI в. дон. э.): «Надо поровну

разделить 7 буханок хлеба между 8 людьми». Сейчас мы записали бы, что

каждому человеку надо дать Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения буханки. А в папирусе дан иной ответ:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Египтяне обозначали дроби, как показано на рисунке 39.

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

В Вавилоне 4000 лет назад использовали единичные дроби со знаменателями Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решенияОбыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Со временем такие дроби использовали астрономы, поэтому их назвали астрономическими дробями.

Древнегреческие математики рассматривали числа, которые сейчас записывают в виде дробей Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, но называли их отношениями. И читали их не так, как теперь.

Например, Эратосфен (III в. до н. о.) писал не «Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения меридиана», а «11 таких частей, каких весь меридиан содержит 83».

Римляне пользовались дробями со знаменателем 12, которые называли унциями. Когда говорили «5 унций» или «13 унций», то имели в виду Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения или Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Индийские математики обыкновенные дроби вида Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения, например Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и другие, рассматривали еще в IV в. до н. э.

В VII в. они формулировали правила действий: «Произведение дробей — это произведение числителей, разделенное на произведение знаменателей» и др. А вот арабам обыкновенные дроби не нравились. Они писали, что дроби

вида Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения плохие, поэтому «деловые люди не любят таких дробей и выражают их суммами долей (единичных дробей)».

В Киевской Руси наиболее известным вычислителем был монах Кирик. Он вычислял, используя единичные дроби со знаменателями 12, 60, 300, 1500, 7500, 37 500, 187 500, 937 500. Писал, что «более сего не бывает».

Дроби, отличные от единичных, в европейских учебниках появились только с XVIII в. Их изучение считалось очень неприятным делом. Появилась даже поговорка: «Попал в дроби» (то есть попал в переделку). Обыкновенные дроби тогда называли «ломаными числами».

Слова «числитель» и «знаменатель» впервые появились в XIII в., «сокращение дробей» и «приведение дробей к общему знаменателю» — в XV в., а «правильные» и «неправильные» дроби - в XVIII в. Чтобы разделить дробь на дробь, раньше обязательно приводили их к общему знаменателю, а потом числитель одной дроби делили на числитель другой.

Сначала использовали только единичные дроби. Еще и сейчас дроби Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения называют «половиной», «третью», «четвертиной», а в начале XX в. говорили «пятина», «восьмина», «девятина», «десятина». Числа Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения называли соответственно:

  • «полтора», «полтретья», «полпятая», «полшестая», «полседьмая », « полдевятая ».

Индийские авторы, изображая обыкновенные дроби, знаменатель писали под числителем, но без черты дроби. Черта дроби введена была только в XVI в. С середины XIX в. некоторые авторы предлагали записывать обыкновенные дроби в одну строку Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения. Такая форма записи особенно удобна для печатных аппаратов и вычислительных машин. Но пока что она не стала общепринятой.

Главное в разделе:

Обыкновенная дробь Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения - это частное при делении натуральных чисел Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения Числитель Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения и знаменатель Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения вместе называют членами дроби. Дальше вместо обыкновенная дробь будем писать короче: дробь.

Дробь называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Все другие дроби - неправильные. Значение каждой правильной дроби меньше 1, а неправильной - больше или равно 1. Из неправильной дроби можно выделить целую часть и записать в виде смешанного или натурального числа.

Например, Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Основное свойство дроби. Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Используя это свойство, дроби можно сокращать или приводить к общему знаменателю.

Дробь называют несократимой, если ее числитель и знаменатель - взаимно простые числа.

Дроби с равными знаменателями складывают и вычитают согласно формулам:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо отдельно умножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем произведения данных дробей.

Две дроби называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Всегда верны равенства:

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, надо ее числитель разделить на знаменатель. При этом может образоваться или десятичная дробь, или бесконечная периодическая десятичная дробь. Например,

Обыкновенные дроби - определение и вычисление с примерами решения