Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Содержание:

Понятие числа, как величины какого-либо объекта, является одним из основных математических понятий.

Первые представления о числе возникли из счета предметов. Результатом счет являются числа 1,2,3 и т.д. Первоначально рассматривались лишь целые и положительные числа, которые теперь называют натуральными числами.

Впоследствии возникло понятие о дробях. Источник его есть измерение непрерывных величин (длины, веса и др.). Это понятие укрепилось только в 16 веке после изобретения десятичных дробей и логарифмов.

Значительно позже начали появляться и входить в обиход отрицательные числа. Лишь в 16 веке Декарт, разрабатывая аналитическую геометрию, дал геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных отрезков, которое с тех пор и стало общепринятым.

Целые числа (т.е. натуральные числа 1,2,3, .. отрицательные числа -1 ,-2,-3, и т.д. и нуль) и дроби называются рациональными числами.

Всякое рациональное число можно записать в виде Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Иррациональные числа. Ещё ранее, Пифагором была открыта несоизмеримость отрезков, например, стороны и диагонали квадрата, т.е. невозможность выражения этого отношения никакими рациональными числами или их комбинациями, что привело к понятию иррациональных чисел. Иррациональные, т.е. «не имеющие отношения» (латинский термин иррациональный есть перевод греческого слова «алогос»).

Геометрически, иррациональное число выражает длину отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба. Иррациональное число не может точно равняться рациональному. Но для всякого иррационального числа можно найти рациональное (в частности, десятичные) числа, приближенно равные ему (с избытком или с недостатком). При этом погрешность можно сделать сколь угодно малой.

Например, для числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними

Положительные и отрицательные числа. Число 0

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Лагерь туристов находится у дороги, проходящей с запада на востоком. (рис. 25). Туристы вышли из лагеря и пошли по дороге со скоростью 5 км/ч.

Где будут находиться туристы через час?

Решение:

Чтобы определить местонахождение туристов через час после их выхода из лагеря, необходимо знать, идут они от лагеря на запад или на восток.

Если туристы идут на восток, то через час они будут в пункте А. О пункте А можно сказать, что он находится на расстоянии 5 км восточнее пункта О.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Если туристы идут на запад, то через час они будут в пункте В. О пункте В можно сказать, что он находится на расстоянии 5 км западнее пункта О.

Итак, положение туристов относительно лагеря можно задать числом и направлением: 5 км восточнее пункта О; 5 км западнее пункта О.

Пример:

Вечером хозяйка оставила возле колодца ведро с водой. На следующее утро температура воздуха была 4°С. Что в ведре: вода или лед?

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно знать, показывает термометр 4° тепла или 4° мороза. Если термометр показывает 4° тепла, то в ведре вода. О такой температуре еще говорят: 4°С выше нуля, или плюс 4°С, пишут: +4°С. Если термометр показывает 4° мороза, то в ведре лед. О такой температуре еще говорят: 4°С ниже нуля, или минус 4°С, пишут: -4°С.

Итак, температуру можно задавать числом со знаком «+» или «-»: + 4°С; - 4°С.

Температура может быть равна и +15°С, +7,6°С, -12°С, -1,5°С и т. п. Числа со знаком «+» находятся на шкале термометра (рис. 26) выше нуля, а числа со знаком «-» — ниже нуля.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Числа со знаком «+» называют положительными.

Например: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительные числа.

Числа со знаком «-» называют отрицательными.

Например:-Рациональные числа и действия над ними с примерами решения —отрицательные числа

Число 0 отделяет положительные числа от отрицательных. Оно не является ни отрицательным, ни положительным.

При записи положительных чисел знак «+», как правило, опускают и, например, вместо +4 пишут 4. При этом понимают, что +4 = 4, то есть +4 и 4 — это разные обозначения одного и того же числа.

Отрицательными числами обозначают не только температуру. Ими, например, можно задавать положение любого места земной поверхности относительно уровня моря (см. рис. 27).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

В тетради в клетку начертили горизонтальную прямую и отметили на ней точку О. Точка А лежит на 3 клетки левее точки О. Точку А сместили на 5 клеток вправо и получили точку В. Каково положение точки В относительно точки О?

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Точка В лежит на 2 клетки правее точки О.

Интересные рассказы

Об отрицательных числах

Первыми столкнулись с потребностью в отрицательных числах географы, моряки, картографы, так как им необходимо было характеризовать положение городов, расположенных на север или юг от главною города и на запад или восток от него. Главными точками отсчета были избраны экватор и Гринвичский меридиан. Позже у археологов и историков появилась потребность характеризовать шкалу времени.

Геологам нужно было характеризовать неровности земного рельефа, а именно - высоту гор, глубину впадин морей и океанов, принимая за точку отсчета уровень моря (рис. 31).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Физикам, инженерам, астрономам, врачам нужно было измерять температуру. В XVIII в. шведским ученым Цельсием (1701-1744) была предложена измерительная шкала, в которой за точку отсчета (ноль) была принята температура плавления льда, а температура кипения воды — за 100о С.

Отрицательные числа люди придумали намного позже, чем натуральные числа и обыкновенные дроби. К идее отрицательного числа первыми пришли китайцы во II в. до н. э. Необходимость введения новых для того времени чисел обусловливалась проблемами самой математики — отрицательные числа нужны были для решения уравнений. Потом индусы дали толкование положительных и отрицательных чисел в виде «имущества» и «долга».

В Европе отрицательные числа стали использовать с XII в., однако относились к ним с недоверием, называя их «фиктивными», «абсурдными», «ложными» и г. п. «Настоящими» числами считали лишь положительные числа. 11 только в XVII в., когда выдающийся французский математик Пене Декарт (1596 - 1650) предложил изображать отрицательные и положительные числа точками координатой прямой, отрицательные числа были полностью признаны и стали полноправным атрибутом математики.

Координатная прямая. Рациональные числа

Начертим горизонтальную прямую и отметим на ней некоторую точку О — начало отсчета (рис. 32). В соответствие точке О поставим число 0. Выберем единичный отрезок. На проведенной прямой можно отметить числа (точки, соответствующие этим числам). Положительные числа принято отмечать правее точки О, а отрицательные — левее. Чтобы отметить, например, число 2, нужно от точки О отложить два единичных отрезка вправо. Чтобы обозначить число -2. нужно от точки О отложить два единичных отрезка влево.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Направление вправо от начала отсчета называют положительным, а влевоотрицательным. Положительное направление показывает стрелка (см. рис. 33).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и указанным положительным направлением называют координатной прямой.

Число, указывающее положение точки на координатной прямой, называют координатой этой точки. Точка А (рис. 34) имеет координату 2,5, точка В — координату Рациональные числа и действия над ними с примерами решения точка С — координату-2. Пишут: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Точки А и В с координатами 3 и -3 (рис. 35) одинаково удалены от точки О и лежат с разных сторон от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, нужно пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях Числа 3 и -3 называют противоположными числами: число 3 является противоположным числу -3, а число -3 — противоположным числу 3. Числа 1,5 и -1,5 также являются противоположными.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называют противоположными числами.

Число, противоположное числу а, обозначают -а. Если а = 4,2, то -а = -4,2; если а = -1,5, то -а = 1,5.

Число 0 противоположно самому себе: если а = 0, то -а = 0.

Натуральные числа, противоположные им числа и число О называют целыми числами.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — целые числа.

Положительные числа (цепые и дробные), отрицательные числа (целые и

дробные) и число 0 называют рациональными числами.

Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — рациональные числа

Пример:

Найти число, противоположное числу -5, и записать соответствующее равенство.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Найти значение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения = 0,4.

Число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения противоположно числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Поскольку противоположным числу 0,4 является -0,4, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения = -0,4.

Пример:

Точка В имеет координату -3 (рис. 36). Эту точку переместили на 5 единиц вправо и получили точку С. Какова координата точки С?

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Точка С имеет координату 2: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модуль числа

Пусть из пункта О в противоположных направлениях выехали два автомобиля и через некоторое время первый был в точке А(-20). а второй — в точке В(15) (рис. 40).

Какой из автомобилей проехал большее расстояние?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить расстояния OA и ОВ. Поскольку OA = 20, ОВ = 15 и 20 > 15, то большее расстояние проехал первый автомобиль.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, чтобы ответить на вопрос, мы сравнивали не числа -20 и 15, а числа «без знаков» 20 и 15, или еще говорят: сравнивали модули чисел -20 и 15.

Модулем положительною числа и нуля называют само число.

Для обозначения модуля числа используют две вертикальные черты, то есть пишут |15| = 15 (читают: модуль пятнадцати равен пятнадцать).

Для положительных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и нуля имеем:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему положительное число.

Для отрицательных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - имеем: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, модулем любого числа является положительное число или число 0. С геометрической точки зрения модуль числа равен расстоянию на координатной прямой от начала отсчета до точки, изображающей это число (рис. 41).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модуль числа 3 равен 3, и расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу, равно 3. Модуль числа -4 равен 4, и расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу, равно 4.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

не существует числа, для которого выполнялось бы равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решения так как модуль любого числа всегда является положительным числом или нулем.

Противоположные числа имеют равные модули. Например, для противоположных чисел -2 и 2 имеем: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Решить уравнение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Найти отрицательные целые числа, для которых Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Такими числами являются:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модули остальных отрицательных целых чисел (-3; -4; -5; -6; -7; ...) больше 3 или равны 3.

Пример:

На координатной прямой отметить точки, координаты которых удовлетворяют условию Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Найти отрицательные целые числа, удовлетворяющие этому условию.

Решение:

Условию Рациональные числа и действия над ними с примерами решения удовлетворяют числа, которые на координатной прямой лежат между числами -2,6 и 2,6. Эта часть координатной прямой на рисунке 42 заштрихована.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Отрицательными целыми числами, удовлетворяющими условию Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, являются только -2 и -1.

Сравнение чисел

Вы уже умеете сравнивать положительные числа. Например, 5 > 4; 1,5 < 1,6. Обозначим числа 4 и 5 точками координатной прямой (рис. 43). Точка А(4), соответствующая меньшему числу, расположена на координатной прямой левее точки В(5), соответствующей большему числу.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

А теперь сравним отрицательное и положительное числа и два отрицательных числа. Рассмотрим примеры.

Пример:

Пусть утром температура воздуха была -5°С, а в полдень — +3°С. Утром было холоднее, чем в полдень, поэтому считают, что число -5 меньше числа 3, и записывают гак: -5 < 3. На координатной прямой точка С( 5) находится левее точки D(3) (рис. 44).

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Пусть вечером температура воздуха была -5°С, а ночью — -8°С Ночью было холоднее, чем вечером, поэтому считают, что число 8 меньше числа 5, записывают так: -8 < -5. На координатной прямой точка М( 8) находится левее точки N( 5) (рис. 45).

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Из двух чисел меньшим является то, изображение которого на координатной прямой находится левее, и большим — то, изображение которого находится правее.

На координатной прямой положительные числа обозначаются точками, лежащими правее нуля, а отрицательные — точками, лежащими левее нуля. Поэтому

любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля; любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Рассмотрим два отрицательных числа -8 и -5. Как мы уже установили, -8 < -5, что показано на рисунке 49. Сравним модули чисел -8 и -5: |-8| = 8; |-5| = 5 Так как 8 > 5, то |-8| > |-5|. Итак,

  • из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше;
  • большим является го, модуль которого меньше.

Если о числе Рациональные числа и действия над ними с примерами решения известно, что оно больше 5 или равно 5, то что записывают так: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения читают: «Рациональные числа и действия над ними с примерами решения больше или равно 5».

Запись Рациональные числа и действия над ними с примерами решения читают: «Рациональные числа и действия над ними с примерами решения меньше или равен 4».

Например, натуральными числами, удовлетворяющими условию Рациональные числа и действия над ними с примерами решения являются числа 1, 2, 3. 4 и 5; целыми отрицательными числами, удовлетворяющими условию Рациональные числа и действия над ними с примерами решения являются числа -3, -2 и -1; целыми числами, удовлетворяющими условию Рациональные числа и действия над ними с примерами решения являются числа -3, -2, -1,0, 1 и 2.

Прочитайте

1. Записать в виде неравенства утверждение:

а) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное число; б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное число;

в) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — неотрицательное число; г) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — неположительное число;

д) число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения не меньше 10; е) число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения меньше 2 или равно 2.

а) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

в) неотрицательное число — что нуль или положительное число, то есть число, равное нулю или больше нуля: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

г) неположительное число — это нуль или отрицательное число, то есть число, равное нулю или меньше нуля: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

д) если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения не меньше 10, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то есть Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

е) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сложение отрицательных рациональных чисел

К рациональным числам относятся положительные числа (целые и дробные), отрицательные числа (целые и дробные) и число нуль. Мы уже выучили действия сложения, вычитания, умножения и деления над положительными рациональными числами и нулем. А теперь научимся выполнять их над рациональными числами в случаях, когда оба числа отрицательные или одно положительное, а другое отрицательное (числа с разными знаками). Рассмотрим пример.

Пусть в марте фермер взял в банке кредит 5 тыс. руб., а в апреле— еще 3 тыс. руб. Тогда за март и апрель вместе фермер взял 5 + 3 = 8 (тыс. руб.) кредита. Так как кредиты являются долгами фермера перед банком, обозначим их отрицательными числами: -5 тыс. руб.; -3 тыс. руб.; -8 тыс. руб. Тогда сумму кредитов в тысячах гривен за 2 месяца можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какой знак имеет сумма двух отрицательных чисел?

Найдите модули слагаемых и модуль суммы. Какая между ними существует зависимость?

Как видим, суммой чисел -5 и -3 является отрицательное число; модуль суммы равен сумме модулей слагаемых: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Поэтому нахождение суммы чисел 5 и 3 можно записать гак:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, суммой двух отрицательных чисел является отрицательное число, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученным числом знак «-».

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В сумме отрицательных слагаемых первое слагаемое пишут, как правило, без скобок. Например: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для сложения отрицательных чисел выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Например,Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Вычислить:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для тех, кто хочет знать больше

Договоримся уменьшение величины выражать отрицательным числом, а увеличение — положительным. Если температура уменьшилась на 2°С, то можно скатать, что она изменилась на -2°С. Если же температура увеличилась на 2°С, то можно сказать, что она изменилась на 2°С. Если в течение первой половины дня температура воздуха уменьшилась на 3°С, а в течение второй она уменьшилась на 4°С, то в течение дня температура уменьшилась на 3° + 4° = 7°. При помощи отрицательных чисел изменение величины температуры в течение дня можно записать так: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сложение двух чисел е разными знаками

Пусть в августе фермер взял в банке беспроцентный кредит 5 тыс. руб., а в начале следующего месяца вернул его, то есть вернул банку 5 тыс. руб. Тогда расчет фермера с банком в тысячах гривен можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Числа 5 и -5 — противоположные, их сумма равна нулю

Сумма двух противоположных чисел ровна нулю.

Если в августе фермер взял кредит 7 тыс. руб., а в начале следующего месяца вернул банку 4 тыс. руб., то его долг перед банком составляет 3 тыс. руб. Расчет фермера с банком можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если бы в августе фермер взял кредит 5 тыс. руб., а в начале следующего месяца положил в банк 6 тыс. руб., то фермер не только покрыл бы долг перед банком, но и оставил бы на своем счету 1 тыс. руб. Расчет фермера с банком можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вернемся к равенству Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Найдите модули слагаемых и модуль суммы. Какова зависимость между модулями слагаемых и модулем суммы? С каким из слагаемых сумма имеет одинаковый знак?

В равенстве -1 + (+4) = -3 модули слагаемых равны 7 и 4, модуль суммы равен 3, то есть модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей. Знак разности совпадает со знаком слагаемого, модуль которою больше. Поэтому нахождение суммы чисел -7 и +4 можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вернемся к равенству Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Объясните, как в данном случае находят модуль суммы и так суммы.

В равенстве Рациональные числа и действия над ними с примерами решения модуль суммы находят аналогично, а знак суммы определило слагаемое, имеющее больший модуль, то есть слагаемое +6 (или 6).

Итак, чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Производя вычисления, сначала, как правило, определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей. Например:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В сумме слагаемых с разными знаками первое положительное слагаемое пишут, как правило, без знака.

Проиллюстрируем сложение чисел при помощи координатной прямой

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для сложения чисел с разными знаками выполняются переместительное и сочетательное свойства. Например,

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для любого рационального числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения выполняется равенство:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

При помощи свойств сложения можно упростить нахождение суммы нескольких слагаемых, выполняя действия в удобной последовательности. В частности, если нужно сложи ть несколько чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, то можно сложить отдельно положительные числа и отдельно отрицательные, а потом сумму положительных чисел сложить с суммой отрицательных.

Например:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Вычислить Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вычитание рациональных чисел

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел. Напомним, что при помощи вычитания находят неизвестное слагаемое по известной сумме и одному из слагаемых.

Рассмотрим примеры.

Так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Такой же результат получим, если число -15 сложим с числом, противоположным числу - 8, то есть числом +8. Поэтому разность -15 - (-8) можно заменить суммой 15 + (+8). в которой уменьшаемое складывается с числом, противоположным вычитаемому: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно уменьшаемое сложить с числом, противоположным вычитаемому.

Это правило вычитания можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

где Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — любые рациональные числа. В частности, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Так как вычитание можно заменить сложением с противоположным числом, то любое выражение, содержащее действия сложения и вычитания, можно записать в виде суммы.

Например, выражение -10 - (+7) является разностью чисел -10 и +7, его можно -записать в виде суммы чисел -10 и -7, так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Верно и наоборот: сумму чисел -10 и -7 можно записать в виде разности чисел 10 и 7, то есть Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Договоримся далее положительные числа записывать без знака «+», то есть сумму -10 + (+7) будем записывать так: -10 + 7, а разность 14 - (+18) так: 14-18.

Пусть на координатной прямой заданы две точки А(-2) и В(5) (рис. 49) и нужно найти длину отрезка АВ.

Чтобы найти длину отрезка АВ (или расстояние А В), нужно знать, сколько единичных отрезков содержит этот отрезок. Как видно по рисунку, длина отрезка АВ равна 7 единичным отрезкам. Через координаты концов отрезка АВ его длина выражается так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Для тех, кто хочет знать больше

Если бы при нахождении длины отрезка АВ (рис. 49) из координаты левою конца вычли координату правого, то получили бы число -2-5=7. Длина отрезка А В является положительной величиной, и в этом случае она равна модулю найденного числа:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, длина отрезка АВ равна модулю разности координат его левого и правого концов. Эта длина также равна модулю разности координат правого и левого концов:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Длина отрезка равна модулю разности координат его концов.

Длину отрезка АВ с концами Рациональные числа и действия над ними с примерами решения можно найти но формуле:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Вычислить: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Запишем выражение в виде суммы и сгруппируем числа:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Упростить выражение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Запишем выражение в виде суммы и сгруппируем слагаемые:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Решить уравнение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

а) Сначала упростим выражение в левой части уравнения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Получили уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения откуда: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

6) Если модуль числа равен 2, то этим числом является 2 или -2, поэтому Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Решим каждое из этих уравнений.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Раскрытие скобок

Вы уже знаете, что на основании сочетательного свойства сложения выражение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения можно записать без скобок:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Эту операцию называют раскрытием скобок.

Так какРациональные числа и действия над ними с примерами решения то последнее равенство можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Мы раскрыли скобки, перед которыми стоит знак «+» При этом опустили скобки, знак «+», стоящий перед ними, и записали все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками.

Итак, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и знак «+», стоящий перед ними, и записать все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками.

Из этого правила следуют такие равенства:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Из правила вычитания рациональных чисел следует, что

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

При выполнении этого действия мы раскрыли скобки, перед которыми стоит знак «-». При этом опустили скобки и знак «-», стоящий перед ними, и записали слагаемое, которое было в скобках, с противоположным знаком. Так будем раскрывать скобки, перед которыми стоит знак «-» и тогда, когда слагаемых будет несколько:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно опустить скобки и знак «-», стоящий перед ними, и записать все слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками.

Воспользовавшись этим правилом, получим:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Упростить выражение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Взять два последних слагаемых в скобки, поставив перед скобками знак «+», в выражении: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

После первого слагаемого поставили знак «+», раскрыли скобки, два последних слагаемых переписали с теми же знаками и закрыли скобки.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

(Перед первым слагаемым в скобках знак «+» можно не ставить.)

Пример:

Взять два последних слагаемых в скобки, поставив перед скобками знак «-», в выражении: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

После первого слагаемого поставили знак «-», раскрыли скобки, знак «-» в слагаемом -4,2 заменили на «+», но не написали, так как в скобках это слагаемое первое; в слагаемом +3,7 знак «+» заменили на «-».

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Памятка: 1. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — координатная прямая.

2. -7 и 7 — противоположные числа (отличаются знаком).

3. |6| = 6 — модулем положительного числа является само число;

|0| = 0 — модуль нуля равен нулю;

|-10| = 10 — модулем отрицательного числа является противоположное ему положительное число.

4. 6 > 0 — положительное число больше нуля;

-7 < 0 — отрицательное число меньше нуля;

-7 < 2 — отрицательное число меньше положительного;

-15 <-12 —так как |-15| > |-12|. 5. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное число, модуль суммы равен сумме модулей: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

6. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — первое слагаемое имеет больший модуль: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения поэтому сумма имеет знак «-», модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

7. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — уменьшаемое сложили с числом, противоположным вычитаемому.

8. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»; слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками;

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-»; слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками.

Рациональные числа и действия над ними

Умножение рациональных чисел

Пусть в феврале, марте и апреле фермер брал в банке кредиты по 5 тыс. руб. ежемесячно. Тогда за эти три месяца он взял кредит на сумму 5 • 3= 15(тыс. руб.). Так как кредиты являются долгами фермера перед банком, мы обозначали их отрицательными числами: -5 тыс. руб.;-15 тыс. руб. Тогда весь кредит фермера в банке за 3 месяца в тысячах гривен можно записать так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какие знаки имеют множители? Какой знак имеет произведение? Какова зависимость между модулями множителей и модулем произведения?

Числа -5 и 3 имеют противоположные знаки, их произведением является число отрицательное, а модуль произведения (числа -15) равен произведению модулей множителей (чисел -5 и 3): Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Произведением двух чисел с разными знаками является число отрицательное; модуль произведения равен произведению модулей множителей.

Итак, чтобы найти произведение двух чисел с разными знаками, достаточно перемножать их модули и поставить перед полученным числом знак «-».

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сравним произведения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Видим: если поменять знак одного множителя (вместо множителя 5 взять множитель -5), то знак произведения тоже меняется, а модуль произведения остается тем же (|15| = |-15|). Следовательно, если изменить знак множителя, то знак произведения изменится, а его модуль останется таким же.

Используем найденную зависимость для нахождения произведения отрицательных чисел -5 и -3.

Так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то, изменив в множителе 3 (или +3) знак «+» на знак «-», а в произведении -15 — знак «-» на знак «+», придем к равенству

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какие знаки имеют множители? Какой знак имеет произведение?

Числа -5 и -3 отрицательные, их произведение — положительное число; модуль произведения 15 равен произведению модулей чисел -5 и -3.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Произведением двух отрицательных чисел является число положительное; модуль произведения равен произведению модулей множителей.

Итак, чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, достаточно перемножить модули этих чисел.

Если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное, отрицательное или 0, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Выполнить умножение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Переместительное и сочетательное свойства умножения. Коэффициент

Для умножения рациональных чисел справедливы переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство: для любых рациональных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения справедливо равенство:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для положительных чисел что свойство было установлено раньше. Проверим на примерах, что оно выполняется и тогда, когда один или оба множителя являются отрицательными числами:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сочетательное свойство: для любых рациональных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения справедливо равенство:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Проверим это равенство, взяв Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Следовательно, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для любого рациональною числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения справедливы равенства:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рассмотрим выражение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Оно содержит числовой множитель 1,5 и буквенный Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Числовой множитель 1,5 называют числовым коэффициентом выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или просто коэффициентом. Коэффициентом выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения является число -4. Коэффициенты записывают перед буквенными множителями.

Так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то считают, что коэффициент выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен 1. Так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то коэффициент выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен -1.

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, упростим выражениеРациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Найти коэффициент произведения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения коэффициент 35.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения коэффициент -1.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения коэффициент 1.

Распределительное свойство умножения. Приведение подобных слагаемых

Для рациональных чисел справедливо распределительное свойство умножения относительно сложения.

Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Проверим это равенство, взяв, например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Замену выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения выражением Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решениявыражением Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называют раскрытием скобок. Например:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Замену выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения выражением Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решениявыражением Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называют вынесением общего множителя за скобки. Например:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В выражении Рациональные числа и действия над ними с примерами решения слагаемые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называют подобными. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут отличаться друг от друга только коэффициентами.

Записав выражение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения в виде Рациональные числа и действия над ними с примерами решения мы сложили или, еще говорят, привели подобные слагаемые. При этом коэффициент -4 в выражении Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен сумме коэффициентов слагаемых Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

В выражении может быть несколько групп подобных слагаемых. При упрощения таких выражений нужно сначала выделить группы подобных слагаемых, а потом в каждой группе привести подобные. Например:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Решить уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

В выражении Рациональные числа и действия над ними с примерами решения вынести общий множитель за скобки

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Деление рациональных чисел

Деление двух отрицательных чисел и двух чисел с разными знаками и мест тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей при помощи деления находят другой множитель. Так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какой знак имеет делимое; делитель? Какой знак имеет частное? Какова зависимость между модулем частного и модулями делимого и делителя?

В равенстве Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеем: -15— делимое, -3 — делитель, 5 — частное. Найдем модули каждою из mix чисел: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Видим, что модуль частного можно найти, разделив модуль делимого на модуль делителя. Делимое и делитель — отрицательные числа, а частное — положительное число.

Частным двух отрицательных чисел является число положительное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Итак, чтобы найти частное двух отрицательных чисел, достаточно разделить модули этих чисел.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Так как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какой знак имеет делимое; делитель? Какой знак имеет частное? Как найти модуль частного?

В равенстве Рациональные числа и действия над ними с примерами решениямодуль частного также можно найти, разделив модуль делимого на модуль делителя. Делимое и делитель имеют разные знаки, частое является числом отрицательным.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Частным двух чисел с разными знаками является число отрицательное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Особые случаи деления:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

где Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — любое рациональное число, причем в первой и последней равенствах Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Вычислить: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение уравнений

На рисунке 50 изображены весы, находящиеся в равновесии. На одной чаше весов лежат арбуз и гиря массой 1 кг, а на другой чаше — гири общей массой 6 кг.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пусть масса арбуза равна Рациональные числа и действия над ними с примерами решения кг, тогда получим уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Снимем с обеих чаш гири массой 1 кг. Весы останутся в равновесии. Поэтому получим уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сравним уравнения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Как можно получить второе уравнение из первого?

Второе уравнение можно получить из первою, если перенести слагаемое 1 из левой част уравнения в правую, изменив знак слагаемою на противоположный.

На рисунке 51 вы видите весы, находящиеся в равновесии. На одной чаше лежат 4 батона, а на второй — 2 батона и гиря массой I кг.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пусть масса одного батона Рациональные числа и действия над ними с примерами решения кг, тогда получим уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Снимем с обеих чаш по 2 батона, весы останутся в равновесии, поэтому получим уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сравним уравнения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Как можно получить второе уравнение из первого?

Второе уравнение можно получить из первою, если из правой части перенести в левую слагаемое Рациональные числа и действия над ними с примерами решения изменив его знак на противоположный. Итак, приходим к выводу:

решая уравнение, слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки на противоположные.

Пусть нужно решить уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Перенесем слагаемое Рациональные числа и действия над ними с примерами решения из правой части уравнения в левую, а слагаемое 3 — из левой части в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Упростим левую и правую части уравнения: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Найдем неизвестный множитель: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Проверка:

Левая часть: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правая часть: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обе части уравнения имеют равные значения при Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Поэтому число 4 является корнем уравнения.

Пример:

Решить уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение задач с помощью уравнений

Пример:

В двух бидонах 36 л молока, причем в первом бидоне молока в 1,4 раза больше, чем во втором. Сколько молока в каждом бидоне?

Решение:

Пусть во втором бидоне Рациональные числа и действия над ними с примерами решения л молока, тогда в первом — 1,4Рациональные числа и действия над ними с примерами решения л. В двух бидонах вместе (Рациональные числа и действия над ними с примерами решения+ 1,4Рациональные числа и действия над ними с примерами решения) л молока, что по условию равно 36 л. Получили уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решим это уравнение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, во втором бидоне 15 л молока, а в первом — 1,4 • 15 = 21 (л).

Проверка. В обоих бидонах молока 15 + 21 =36 (л), что соответствует условию задачи.

Ответ. 21л, 15 л.

Пример:

На трех полках 129 книг, причем на второй полке на 15 книг больше, чем на первой, а на третьей — на 12 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Решение:

Пусть на первой полке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения книг, тогда на второй — (Рациональные числа и действия над ними с примерами решения+ 15) книг, а на третьей — Рациональные числа и действия над ними с примерами решения книг. На трех полках всего Рациональные числа и действия над ними с примерами решения +(Рациональные числа и действия над ними с примерами решения+ 15) +(Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - 12) книг, что по условию равно 129 книгам. Получили уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решим это уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

На первой полке 42 книги, на второй — 42+15=57 (книг), на третьей — 42-12=30 (книг).

Проверка. На трех полках 42 + 57 + 30= 129 (книг), что соответствует условию задачи.

Ответ. 42, 57 и 30 книг.

Для тех, кто хочет знать больше

Пример:

В поселке три школы. Количество учеников первой школы составляет 30% количества всех учеников поселка. Во второй школе учеников в 1,5 раза больше, чем в первой. Сколько учеников в трех школах вместе, если в третьей школе — 550 учеников?

Решение:

Пусть в трех школах вместе учится Рациональные числа и действия над ними с примерами решения учеников. Так как 30% = 0,3, то в первой школе учится 0,3Рациональные числа и действия над ними с примерами решения учеников. Во второй школе учится 1,5 • 0.3Рациональные числа и действия над ними с примерами решения = 0,45Рациональные числа и действия над ними с примерами решения учеников. Тогда в трех школах учится (0,3Рациональные числа и действия над ними с примерами решения + 0,45Рациональные числа и действия над ними с примерами решения + 550) учеников.

Получили уравнение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решим это уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Итак, в трех школах поселка учится 2200 учеников.

Ответ. 2200 учеников.

Пример:

Из города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 15 км/ч больше, чем грузового. Когда легковой автомобиль приехал в город А, грузовому оставалось проехать до города В еще 3 км. Найти расстояние между городами, если на путь от В до А легковой автомобиль затратил 2,2 ч.

Решение:

Пусть скорость легкового автомобиля Рациональные числа и действия над ними с примерами решения км/ч, тогда скорость грузового — (Рациональные числа и действия над ними с примерами решения- 15) км/ч.

За 2,2 ч легковой автомобиль проехал 2,2Рациональные числа и действия над ними с примерами решения км. 2,2Рациональные числа и действия над ними с примерами решения км — это расстояние между городами А и В. В момент приезда легкового автомобиля в город А грузовой автомобиль был в пути 30 мин + 2,2 ч = 0,5 ч + 2,2 ч = 2,7 ч. За это время он проехал 2,7(Рациональные числа и действия над ними с примерами решения -15) км. Прибавив еще 3 км, получим расстояние между городами: (2,7(Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - 15) + 3) км.

Получили уравнение: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решим это уравнение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Следовательно, скорость легкового автомобиля 75 км/ч. Умножив лу скорость на время движения легкового автомобиля получим расстояние между городами: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Ответ. 165 км.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Вы уже знаете, что представление о плоскости дает поверхность стола, оконного стекла, водоема в безветренную погоду (если представить, что они неограниченно продлены во все стороны).

Пусть на столе лежит тонкая спица, а другая в него воткнута. Будем рассматривать поверхность стола как плоскость, а спицы — как прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 52а). О прямых Рациональные числа и действия над ними с примерами решения говорят, что они не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим другой случай. Пусть обе спицы лежат на столе (рис. 52б). В этом случае говорят, что прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения лежат в одной плоскости.Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Впредь будем рассматривать прямые, лежащие в одной плоскости. Пусть имеем две прямые АВ и CD (рис. 53). Они пересекаются, хотя на рисунке не изображена точка их пересечения. Эту точку можно найти, продлив изображение прямой CD.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 54) не пересекаются. Такие прямые называют параллельными.

Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Представление о параллельных прямых дают рельсы железной дороги на прямом участке, след от санок при прямолинейном движении, противоположные края доски и т. п.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Если прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения параллельны, то записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения читают: «прямая Рациональные числа и действия над ними с примерами решения параллельна прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения».

Возьмем линейку и угольник. Приложим угольник к линейке одной стороной прямого угла и проведем прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения вдоль другой стороны прямого угла (рис. 55). Передвинем угольник вдоль линейки и проведем еще одну прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения вдоль этой стороны прямого угла. Построенные прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения являются параллельными.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Построим прямую, параллельную данной прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, которая проходит через данную точку А.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

  1. Приложим к прямой а угольник одной из сторон прямого угла.
  2. К другой стороне прямого угла приложим линейку.
  3. Будем передвигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока сторона прямого угла не пройдет через точку А. Эта сторона прямого угла принадлежит прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, параллельной прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и проходящей через точку А.

Через каждую точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

На рисунке 56 изображены прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, имеющие только одну общую точку О. Говорят, что прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения пересекаются.

Если при пересечении прямых AD и ВС (рис. 57) в точке О лучи OA и ОВ образуют прямой угол, то прямые AD и ВС называют перпендикулярными.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Итак, прямые ВС и AD на рисунке 57 перпендикулярны. Перпендикуляр-носгь прямых обозначают значком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Эту запись читают так: «прямая ВС перпендикулярна прямой AD».

Так как угол DOA является развернутым (рис. 57), а развернутый угол равен 180°, то

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Аналогично можно установить, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Итак, все четыре угла, образованные при пересечении перпендикулярных прямых, являются прямыми углами.

Построить перпендикулярные прямые можно при помощи угольника и линейки. Выполнение построения показано на рисунке 58. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Пусть имеем некоторую точку О и некоторую прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Как через точку О провести прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, перпендикулярную прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения?

Если точка О принадлежит прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то построение перпендикулярной прямой показано на рисунке 59, если точка О не принадлежит прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — на рисунке 60.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Координатная плоскость

Положение точки на координатой прямой определяется числом — координатой этой точки. Положение точки на плоскости можно задать двумя числами.

Рассмотрим пример.

Места для зрителей в зале кинотеатра можно задавать парой чисел: первое число указывает на номер ряда, а второе — на номер кресла в этом ряду (рис. 69). Причем места (3; 7) и (7; 3) — разные: первое является креслом в третьем ряду под номером 7, а второе — креслом в седьмом ряду под номером 3. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Проведем две перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в начале их отсчета — точке О — и имеющие равные единичные отрезки (рис. 70). Эти прямые называют осями координат, точку О — началом координат. Горизонтальную координатную прямую называют осью aбсцисс и обозначают буквой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения вертикальную координатную прямую называют осью ординат и обозначают буквой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Ось абсцисс и ось ординат образуют прямоугольную систему координат. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

Пусть А —точка координатной плоскости (рис. 71). Проведем через нее прямуюРациональные числа и действия над ними с примерами решения перпендикулярную оси абсцисс, и прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения перпендикулярную оси ординат. Пусть на пересечении с осью абсцисс получим точку В с координатой -3, а на пересечении с осью ординат — точку С с координатой 2.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Положение точки А на координатной плоскости определяется парой чисел (-3; 2), которые называют координатами этой точки. Координаты точки записывают в скобках: А(-3; 2), читают: точка А с координатами -3 и 2. Первую координату точки А (число -3) называют абсциссой этой точки, а вторую координату (число 2) — ординатой. Точка К (рис. 71), наоборот, имеет абсциссу 2 и ординату -3, поэтому К(2; -3) (на первом месте всегда записывают абсциссу точки, а на втором — ее ординату).

Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Точки М и N (рис. 71) имеют координаты: М(4; 0), N(Q\ -2).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Итак, каждой точке координатной плоскости соответствует одна пара чисел — ее абсцисса и ордината. Наоборот, любой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Чтобы построить, например, точку D(-4; 3), можно провести перпендикулярную прямую до оси Рациональные числа и действия над ними с примерами решения в точке (-4; 0) и перпендикулярную прямую до оси Рациональные числа и действия над ними с примерами решения в точке (0; 3) (рис. 72). Точка D пересечения этих прямых имеет координаты ( 4; 3). Построить точку D(-4; 3) можно также, отсчитав от точки О влево 4 единицы, а потом от полученной точки вверх 3 единицы.

Оси координат разбивают плоскость на 4 части, которые называют координатными четвертями. Нумерация четвертей и знаки координат точек в каждой четверти показаны на рисунке 73.

Интересные рассказы

Из истории системы координат

Координаты были нужны астрономам и географам для определения положения светил на небе и различных мест на Земле, для составления звездных и географических карт.

Прямоугольная система координат в виде квадратной сетки (палетки) была известна еще в Древнем Египте, ею пользовались и художники эпохи Возрождения.

Идея использования координат в математике принадлежит уже упоминавшемуся французскому математику Рене Декарту. В честь Декарта прямоугольную систему координат называют еще прямоугольной декартовой системой координат.

Термин абсцисса происходит от латинского слова abscissus, что означает «отрезанный», «отделенный», а буквально переводится как «отрезок» (на оси Рациональные числа и действия над ними с примерами решения).

Слово ордината происходит от латинского слова ardinatus — упорядоченный.

Эти термины в их современном понимании ввел в конце XVII в. немецкий учений Г. Лейбниц (1646 - 1716). Чтобы подчеркнуть равноправность понятий «абсцисса» и «ордината», Г. Лейбниц применил термин координата, которое происходит от латинских слов со — с, вместе, и ardinatus — упорядоченный. Этот термин означает «взятые в определенной последовательности числа, определяющие положение точки на плоскости».

Примеры графиков зависимостей между величинами

Метеорологи измеряли температуру воздуха в течение первой половины суток и результаты записали в таблицу:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Потом они решили нанести результаты измерений на координатную плоскость, отложив на оси абсцисс значения времени Рациональные числа и действия над ними с примерами решения а на оси ординат — значения температуры Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Были отмечены 13 точек: (0; -2), (I; -3.5),.... (12; 6). Абсцисса каждой из этих точек — это значение времени, а ордината — значение температуры воздуха в это время. Если бы метеорологи измеряли температур) каждые полчаса и результаты измерений наносили на координатную плоскость, то точки находились бы ближе друг к другу. Если измерения проводились бы каждые пятнадцать минут, то точки на координатной плоскости были бы расположены еще гуще, и т. д.

Если точки, построенные таким образом на координатной плоскости, соединить плавной линией, то получим фигуру, которую называют графиком зависимости температуры воздуха от времени (рис. 78). Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рассмотрим другие примеры.

Пример:

Туристу нужно пройти 12 км. Он подсчитал время движения в зависимости от скорости, с которой будет идти, и получил такую таблицу:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Построим на координатной плоскости точки по этой таблице, отложив на оси абсцисс значения скорости Рациональные числа и действия над ними с примерами решения а на оси ординат — значения времениРациональные числа и действия над ними с примерами решения

Соединив плавной линией построенные точки, получим график зависимости времени от скорости при постоянном расстоянии (12 км) (рис. 79).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Эту зависимость времени Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (в часах) от скорости Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (в км/ч) можно задать формулой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Известно, что в бассейн каждую секунду вливается 0,5 м3 воды Нужно найти, сколько воды будет в бассейне через Рациональные числа и действия над ними с примерами решения с.

Решение:

Зависимость объема воды Рациональные числа и действия над ними с примерами решения от времени Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (в секундах) можно задать формулой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Возьмем определенные значения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, найдем соответствующие значения объема воды в бассейне и результаты занесем в таблицу:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

По данным таблицы построим на координатной плоскости точки, отложив на оси абсцисс значения времени Рациональные числа и действия над ними с примерами решения а на оси ординат - значения объема Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Приложив линейку к построенным точкам, видим, что они лежат на одной прямой. Соединив крайние точки отрезком, получим график зависимости объема воды в бассейне от времени его наполнения.

Пример:

Пользуясь графиком зависимости объема воды в бассейне oт времени его наполнения (рис. 80), найти: а) объем при Рациональные числа и действия над ними с примерами решения б) время при Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

а) На оси абсцисс, на которой отложили время Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, отмечаем точку с абсциссой 13, проводим через нее прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и находим точку пересечения прямой с графиком. Через полученную на графике точку проводим прямую, перпендикулярную оси ординат, на которой откладывали объем. Ордината точки пересечения этой прямой с осью ординат равна значению объема: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

б) На оси ординат, на которой откладывали объем Рациональные числа и действия над ними с примерами решения отмечаем точку с ординатой 6, строим перпендикулярную прямую и находим точку ее пересечения с графиком. Через полученную на графике точку проводим прямую, перпендикулярную оси абсцисс, на которой откладывали время. Абсцисса точки пересечения этой прямой и оси абсцисс равна значению времени: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Памятка:

  1. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — умножили модули множителей Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — знаки множителей разные, произведение — число отрицательное.
  2. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — разделили модуль делимого на модуль делителя Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — знаки делимого и делителя разные, частное — число отрицательное.
  3. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — коэффициент.
  4. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — подобные слагаемые
  5. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения— привели подобные слагаемые, сложили коэффициенты, умножили на общую буквенную часть.
  6. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя при этом их знаки на противоположные
  7. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения— параллельные прямые.
  8. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — перпендикулярные прямые.
  9. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними

Положительные и отрицательные числа. Число нуль

Рассмотрите рисунок 78. Вы видите эскиз улицы, на которой расположена школа. Саша сказал, что он вышел из школы и прошёл мимо трёх домов вдоль этой улицы. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Можно ли определить, где оказался Саша? Нет. Точно ответить мы не сможем, поскольку не знаем, в каком направлении от школы двигался Саша. Если Саша пошёл от школы налево, то оказался возле бассейна, а если направо — то возле библиотеки.

Итак, чтобы определить новое местонахождение на прямолинейном участке дороги, нужно указывать не только расстояние, но и направление движения от некоторой начальной точки.

Рассмотрим ещё один пример. Определяя температуру воздуха с помощью термометра, мы фиксируем не только значение, на кагором остановился столбик термометра, но и обращаем внимание на то, где именно находится это значение на шкале термометра: ниже нуля или выше нуля (рис. 79). Например, если температура поднялась на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения выше нуля, то мы говорим: «температура воздуха — плюс Рациональные числа и действия над ними с примерами решения». Если температура отпустилась на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения ниже нуля, то мы говорим: «температура воздуха — минус Рациональные числа и действия над ними с примерами решения».

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обозначают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Показатели термометра со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения определяют на его шкале одно направление (выше нуля), а показатели со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — противоположное направление (ниже нуля).

Проведём прямую и отметим на ней точку Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 80). На прямой по разные стороны от точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на расстоянии 5 клеточек от неё отметим точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Чтобы отличать их положение относительно точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, вместо слова «справа» будем писать знак Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а вместо слова «слева» — знак Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Тогда положение точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения относительно точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения показывает число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 81). Вообще, всем точкам на прямой, расположенным справа от точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения у соответствуют числа со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а слева от неё — со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Числа со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называют положительными числами. Например, число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения является положительным.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияПоложительное число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения кратко записывают 5.

Числа со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называют отрицательными числами. Например, число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения является отрицательным (читают: «минус пять»).

Определение:

Любое натуральное число является положительным.

Пример:

Положительным или отрицательным является число 0? Ни тем, ни другим. Число 0 отделяет положительные числа от отрицательных.

Неотрицательные числа — это положительные числа вместе с числом 0, а неположительные числа — это отрицательные числа вместе с числом 0.

Для математических вычислений в древности использовали палочки. Палочками красного цвета изображали положительные числа, чёрного — отрицательные. В Индии отрицательные числа толковали как долг, а положительные — как имущество. Многие математики называли отрицательные числа ложными числами, поскольку не могли понять существования чисел, меньших чем «ничто» (нуль). Лишь начиная с XVIII в., отрицательные числа стали использовать наравне с положительными числами.

Координатная прямая

В пятом классе положительные числа и число 0 вы отмечали на координатном луче (рис, 88). Продлим координатный луч Рациональные числа и действия над ними с примерами решения влево от его начала. На полученном луче нанесём такую же шкалу, как и на луче Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 89). Получили координатную прямую. Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называется началом отсчета на координатной прямой.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Определение:

Прямая, на которой отмечено начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называется координатной прямой.

Стрелкой на координатной прямой указывают положительное направление. На луче Рациональные числа и действия над ними с примерами решения отмечают положительные числа, а на противоположном ему луче — отрицательные числа. Обычно координатную прямую изображают горизонтально (рис. 90). При необходимости её можно изобразить и вертикально, и наискосок.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Посмотрите на рисунок 91. Вы видите, что точке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения соответствует число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а точке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Началу отсчёта Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — соответствует число 0.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияКратко записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Читают: «Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения», «Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения», «Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения».

Пример:

Что показывает координата точки на координатной прямой с началом отсчета Рациональные числа и действия над ними с примерами решения? Расстояние от этой точки до точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и направление, в котором искали это расстояние: если в направлении стрелки, то координата имеет знак Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (как у точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения); если против направления стрелки, то координата имеет знак Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(как у точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения).

Обратите внимание:

каждой точке на координатной прямой соответствует единственная координата.

Пример:

На координатной прямой отметьте точки: 1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

1. Координата Рациональные числа и действия над ними с примерами решения точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное число, поэтому на координатной прямой (рис. 92) точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения размещена справа от начала отсчёта Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

2. Координата Рациональные числа и действия над ними с примерами решения точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное число, поэтому на : координатной прямой (рис. 92) точка В размещена слева от начала отсчёта Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Парад планет — астрономическое явление, когда несколько планет Солнечной системы оказывается по одну сторону от Солнца и почти на одном луче (рис. 93). Иногда говорят: «Планеты выстроились в одну линию». Во время большого парада планет в одну линию выстраиваются 6 планет — Венера. Земля, Марс. Юпитер, Сатурн. Уран Если считать планету точкой на координатной прямой, а нашу планету Земля — началом отсчёта, то какие знаки будут иметь координаты других планет во время большого парада планет? Подумайте самостоятельно.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модуль числа

Отметим на координатной прямой точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 104). Какая точка расположена дальше всего от начала отсчёта Рациональные числа и действия над ними с примерами решения? Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, поскольку Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сравнивая расстояния от точек Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения до начала отсчёта, мы искали длины соответствующих отрезков Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Говорят: мы искали модуль каждого из чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Итак, модуль числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а модуль числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения так же, как и модуль числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, равен Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Модуль числа обозначают двумя вертикальными чёрточками: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Запись Рациональные числа и действия над ними с примерами решения читают: «Модуль числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения». Для чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения можем записать:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание:

модуль числа показывает, на каком расстоянии от начала отсчёта находится данное число на координатной прямой.

В этом заключается геометрический смысл модуля числа. Значит, модуль числа не может быть отрицательным числом, а фраза «модуль числа равен -24» не имеет смысла.

Пример:

Чему равен модуль числа 0? Нулю: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(см. рис. 104) расположены по-особому. Они находятся на одном и том же расстоянии от начала отсчёта О, но по разные стороны от него. Можно сказать и так: чтобы попасть в эти точки из начала отсчёта, нужно отправиться в противоположных направлениях и переместиться на одинаковое расстояние — 2 единицы. Такие числа, как Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, называют противоположными числами. Они имеют противоположные знаки, но равные модули:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Определение: Два числа, имеющие равные модули, но противоположные знаки, называются противоположными числами. Число 0 противоположно самому себе.

Пример:

Как записать число, противоположное данному числу? Для этого достаточно изменить знак данного числа на противоположный. Например, для числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения противоположным является число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а для числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения противоположным является число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Чему равен модуль: 1) положительного числа; 2) отрицательного числа?

Решение:

1. Пусть Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное число. На координатной прямой такое число расположено справа от начала отсчёта Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 105). Расстояние от него до начала отсчёта показывает само это число. Значит, модуль положительного числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен самому числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное число.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

2. Пусть Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное число. На координатной прямой такое число расположено слева от начала отсчёта Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 106). Расстояние от него до начала отсчёта равно расстоянию до точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения от противоположного ему числа: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это означает, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное. Итак, модуль отрицательного числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен противоположному числу, т.е. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения,если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное число.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Свойства модуля числа

Свойства модуля числа

  1. Модуль положительного числа равен самому числу.
  2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
  3. Модуль числа 0 равен нулю.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияКратко записывают:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Найдите расстояние между точками: 1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 3) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

1. На координатной прямой отметим точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 107). Имеем: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Поскольку данные точки расположены по разные стороны от точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит, искомое расстояние равно сумме модулей координат этих точек.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

2. На координатной прямой отметим точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 108). Имеем: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Поскольку данные точки расположены по одну сторону от точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит, искомое расстояние равно разности большего и меньшего модулей координат этих точек.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

3. На координатной прямой отметим точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 109). Имеем: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Поскольку данные точки расположены по одну сторону от точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит, искомое расстояние равно разности большего и меньшего модулей координат этих точек.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание:

чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно:

  • — прибавить модули координат, если координаты имеют разные знаки;
  • — из большего модуля координаты вычесть меньший модуль координаты, если координаты имеют одинаковые знаки.

Слово «модуль» — латинского происхождения: modulus — мера. До недавнего времени вместо «модуль числа» говорили абсолютная величина. Так раньше называли «числа без знаков», противопоставляя им так называемые «относительные числа» — числа со знаками. Сейчас термины «относительные числа» и «абсолютная величина числа» считают устаревшими и их не используют.

Целые числа. Рациональные числа

В 5 классе вы изучали натуральные числа. Это числа, используемые для счёта: 1; 2; 3; 4; .... Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел. Его обозначают буквой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Множество Рациональные числа и действия над ними с примерами решения содержит бесконечно много элементов, поскольку натуральных чисел бесконечно много.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияКратко это записывают так: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Кроме множества натуральных чисел, существуют и другие числовые множества.

Натуральные числа, противоположные им числа и число ноль образуют множество целых чисел. Его обозначают буквой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Множество целых чисел также содержит бесконечно много элементов.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияКратко это записывают так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Каким бы ни было натуральное число, оно является элементом множества целых чисел. Однако не каждое целое число является элементом множества натуральных чисел. Действительно, любое отрицательное число, противоположное натуральному числу, является элементом множества целых чисел. Но такое число не является натуральным. Соотношение между целыми и натуральными числами показано на рисунке 114.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Можно ли считать, что положительные целые числа являются натуральными числами? Да.

Кроме целых чисел, вы знаете ещё и дробные числа. Некоторые из дробей обозначают целые числа, а некоторые — нет. Например, дробь Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равна целому числуРациональные числа и действия над ними с примерами решения. Считают, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — это разные записи одного числа. Можно также сказать, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения это число -2, записанное в виде дроби. А вот число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения даже после сокращения дроби останется дробным.

Обратите внимание:

не все числа, записанные в виде дроби, являются дробными.

Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел. Его обозначают буквой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Множество рациональных чисел также имеет бесконечно много элементов. Соотношение между натуральными, целыми и рациональными числами показано на рисунке 115.

Пример:

Среди чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения укажите:

1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) рациональные числа.

Решение:

1. Натуральными являются числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, поскольку Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

2. Целыми являются числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

3. Рациональными являются числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Обратите внимание:

  • — каждое натуральное число является и целым числом, и рациональным числом;
  • — каждое целое число является рациональным числом;
  • — не каждое рациональное число является целым числом;
  • — не каждое рациональное число является натуральным числом.

Пример:

На координатной прямой отметьте такую точку между точками Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, у которой координата является: 1) отрицательным целым числом; 2) положительным рациональным числом.

Решение:

Построим координатную прямую и отметим на ней точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис.116).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

1. Между точками Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения всего пять точек имеют целые координаты: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Искомая точка, у которой координата — отрицательное целое число, лежит между точками Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это, например, точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

2. Вообще, между точками Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения находится бесконечно много точек с рациональными координатами. Искомая точка у которой координата — положительное рациональное число лежит между точкам и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это. например, точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Обратите внимание:

между двумя числами на координатной прямой лежит бесконечно много рациональных чисел.

Понятие «множество» — одно из первичных понятий математики Множество можно создавать не только из чисел, но и любых других объектов. Например, конфеты в коробке тоже образуют множество и каждая конфета — его элемент. Для обозначения множеств обычно используют большие латинские буквы Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Для его обозначения используют специальный знак: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Сравнение рациональных чисел

Со сравнением рациональных чисел вы встречаетесь едва ли не ежедневно. Например, зимой, когда на улице мороз Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, о температуре воздуха говорят, что она меньше нуля: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. В оттепель, когда воздух прогрелся до Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, говорят, что температура стала больше нуля: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Понятно, что температура Рациональные числа и действия над ними с примерами решения ниже (меньше), чем температура Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 117): Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Вообще, любая отрицательная температура всегда меньше положительной.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сравним числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения с помощью координатной прямой. Для этого отметим на ней точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, соответствующие этим числам (рис. 118). Как видим, правее других расположен а точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Следовательно, число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения является наибольшим. Левее других расположена точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, поэтому число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения является наименьшим. Можем записать данные числа в порядке возрастания: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Определение:

  1. Сравнить два рациональных числа —значит установить, какое из них больше, а какое —меньше.
  2. Из двух рациональных чисел большим является то число, для которого соответствующая точка на координатной прямой расположена правее.

Результат сравнения рациональных чисел записывают с помощью числовых неравенств. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Какие целые числа больше-5 и меньше 6,8?

Решение:

Отметим точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на координатной прямой (рис. 119). На ней искомые числа расположены между координатами точек Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какую закономерность заметим, сравнивая с числом -5 отрицательные числа-4, -3, -2, -1? Числа от -5 до -1 увеличиваются, но их модуль уменьшается. Для положительных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 закономерность иная — и числа увеличиваются, и их модули увеличиваются. Но число 0 всегда больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного числа.

Вообще, для сравнения чисел необязательно строить координатную прямую.

Правила сравнения рациональных чисел

Правила сравнения рациональных чисел

  1. Отрицательное число всегда меньше положительного числа.
  2. Число 0 меньше положительного числа, но больше отрицательного числа.
  3. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
  4. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
  • Если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения положительное, то записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.
  • Если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения отрицательное, то записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.
  • Если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения неположительное, то записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.
  • Если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения неотрицательное, то записывают: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Верно ли, что любое рациональное число всегда больше противоположного ему числа? Нет. Например, для числа-5 противоположным является число 5, но Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Обратите внимание:

чтобы опровергнуть некоторое утверждение, достаточно одного примера.

Древнейшей математической деятельностью был счёт. Число 0 не использовали. Индейцы племени Майя первыми применяли специальный символ для обозначения нуля. но он имел не то толкование, к которому мы привыкли. Ноль у Майя означал начало. Цифра ноль, которой мы сейчас пользуемся, пришла к нам из Индии. Ноль записывали кружочком. Индийские учёные произвели революцию в математике, определив ноль не как отсутствие числа, а как число. Первая запись с использованием нуля датируется 876 годом.

Сложение рациональных чисел

Каждое рациональное число характеризует его модуль и знак. Поэтому для сложения двух рациональных чисел важно выяснить, каким будет модуль и знак суммы в зависимости от модулей и знаков слагаемых. Для положительных чисел эта связь очевидна, поскольку сумма двух положительных чисел является числом положительным.

Пример:

Как к отрицательному числу прибавить положительное число? Поразмышляем, опираясь на координатную прямую.

Пусть нужно сложить числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. На координатной прямой отметим точку, соответствующую числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, и отложим от неё вправо Рациональные числа и действия над ними с примерами решения единиц (рис. 122). Видим, что в результате получили точку с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пусть нужно сложить числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. На координатной прямой отметим точку, соответствующую числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, и отложим от неё вправо Рациональные числа и действия над ними с примерами решения единицы (рис. 123). Видим, что в результате получили точку с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Получается, что при сложении чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения модули слагаемых мы не прибавляли, а вычитали, причём из большего модуля вычитали меньший. А знак суммы получили такой же, как у слагаемого с большим модулем.

Пример:

Изменится ли сумма чисел с разными знаками, если их складывать в другом порядке — к положительному числу прибавлять отрицательное? Нет, сумма не изменится. Используя координатную прямую, попробуем поразмышлять по-другому.

Пусть к числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения нужно прибавить число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. На координатной прямой отметим число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения противоположно числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, поэтому и откладывать его на координатной прямой нужно не вправо, а в противоположном направлении, то есть влево. Отложим от числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения влево Рациональные числа и действия над ними с примерами решения единиц. Получили число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 124). Значит: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Сравним этот результат и результат, полученный в предыдущем примере. Видим, что:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило сложения чисел с разными знаками

Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, нужно:

  1. найти модули слагаемых;
  2. из большего модуля вычесть меньший модуль;
  3. перед полученным числом поставить знак того из слагаемых, модуль которого больше.

Пример:

Как сложить два отрицательных числа? Будем рассуждать аналогично последнему примеру.

Пусть к числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения нужно прибавить число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. На координатной прямой отметим число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Отложим от него в направлении, противоположном направлению стрелки, то есть влево, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения единиц. Получили число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 125). Значит: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило сложения чисел с одинаковыми знаками

Чтобы найти сумму двух чисел с одинаковыми знаками, нужно:

  1. найти модули слагаемых;
  2. сложить модули слагаемых;
  3. перед полученным числом поставить знак слагаемых.

Пример:

В чём особенность сложения противоположных чисел? Поразмышляем. Посмотрите на рисунки 126 и 127. Вы видите, как складывали противоположные числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Когда к числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения прибавили число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 126) или к числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения прибавили число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 127), то получили число 0. Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки. Поэтому, по правилу сложения чисел с разными знаками, модуль суммы противоположных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — это разность модулей этих чисел, а она равна 0. Можем записать:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

или

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание:

сумма двух противоположных чисел равна 0: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Вычислите: 1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание:

изменение числа зависит от того, какое число к нему прибавляют:

  • — если прибавляют положительное число, то данное число увеличивается;
  • — если прибавляют отрицательное число, то данное число уменьшается.

Пример:

Справедливы ли переместительный и сочетательный законы сложения для рациональных чисел? Да. Для любых рациональных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияпереместительный закон сложения;

Рациональные числа и действия над ними с примерами решениясочетательный закон сложения.

Пример:

Найдите сумму Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми вычислим сумму:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Способ 2. Сгруппируем слагаемые с разными знаками и вычислим сумму:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если одно из слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Индийский математик Брахмагупта (VII в.) использовал следующие правила для сложения положительных и отрицательных чисел. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вычитание рациональных чисел

Вы уже умеете вычитать положительные числа и можете найти разность, когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему.

Пример:

Можно ли из меньшего числа вычесть большее? Да, если выполняем действия с рациональными числами. Поразмышляем, опираясь на координатную прямую.

Пусть нужно найти разность чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. На координатной прямой отметим точку с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и отложим от неё влево Рациональные числа и действия над ними с примерами решения единиц (рис. 131). Получили точку с координатой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание:

при вычитании рациональных чисел уменьшаемое может быть меньше вычитаемого.

Пример:

Можно ли находить разность рациональных чисел без помощи координатной прямой? Да. Для этого нужно знать правила вычитания рациональных чисел.

В предыдущем параграфе вы узнали, как выполнять сложение чисел с разными знаками. Действие вычитания числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения из числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения можно свести к действию сложения числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и числа, противоположного числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то есть Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Чтобы убедиться в этом, сравним рисунки 131 и 132. На первом из них видим, как находили разность чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а на втором — сумму чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. В обоих примерах получили число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило замены вычитания сложением

Чтобы из одного числа вычесть другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Вычислите: 1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 3) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 4) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 5) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Верно ли, что вследствие вычитания рациональных чисел уменьшаемое всегда уменьшается? Нет. В задаче 1 в примерах 1 и 3 уменьшаемое уменьшилось, поскольку вычитаемое — положительное число. В примерах 2 и 4, наоборот, уменьшаемое увеличилось, поскольку вычитаемое — отрицательное число. А в примере 5 уменьшаемое не изменилось, поскольку вычитаемое равно 0.

Обратите внимание:

1) в результате вычитания рациональных чисел уменьшаемое:

  • — уменьшается, если вычитаемое является положительным;
  • — увеличивается, если вычитаемое является отрицательным;
  • — не изменяется, если вычитаемое равно 0;

2) о вычитании рационального числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения из числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения говорят: число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения изменили на число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Как найти разность нескольких чисел? Рассмотрим пример.

Пример:

Вычислите разность Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Заменим действие вычитания действием сложения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В полученной сумме можно сгруппировать слагаемые одним из двух способов так, как показано в задаче 2 параграфа 26. Используем первый из них. Тогда получим:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Следовательно, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Натуральные числа, а также положительные дробные числа возникли в древности при решении практических задач. Потребность ввести целые числа была обусловлена развитием математики, в частности, необходимостью решать уравнения. Поскольку вычитать натуральные числа было возможно лишь при условии, что уменьшаемое больше вычитаемого, то множество натуральных чисел требовало расширения. Целые числа и являются расширением множества натуральных чисел. В множестве целых чисел всегда можно выполнить вычитание. Теорию отрицательного числа наиболее содержательно разработал немецкий математик М. Штифель (1487—1567). Свою теорию он изложил в книге «Полная арифметика», которая увидела свет в 1544 г.

Умножение рациональных чисел

Вы знаете, что сложение нескольких равных положительных чисел можно заменить действием умножения. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Рассуждая аналогично, найдём произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Полученное число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения является противоположным числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Но Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Следовательно, произведение чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно произведению модулей этих чисел, взятому со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример:

Как умножить числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения? Поразмышляем.

Пусть число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — изменение температуры воздуха за час, а Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — количество часов наблюдения. Тогда и произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, и произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения показывает, на сколько градусов изменилась температура за 5 ч и в какую именно сторону — повышения или понижения. Ясно, что похолодало на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то есть температура изменилась на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения(рис. 137).

Получили, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Значит, произведение чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения можно найти так же, как и произведение чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило умножения чисел с разными знаками

Произведение двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Как умножить два отрицательных числа? Рассмотрим задачу.

Пример:

Температура воздуха каждый час изменялась на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Какой была температура Рациональные числа и действия над ними с примерами решения ч назад?

Решение:

Если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — это количество часов наблюдения, то число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — это время «5 ч назад». Значит, в задаче нужно найти произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Понятно, что 5 ч назад было теплее на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. То есть Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Получим, что произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Например:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило умножения двух отрицательных чисел

Произведение двух отрицательных чисел — число положительное.

Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно умножить их модули.

Вообще, знак произведения двух рациональных чисел определяется знаками множителей.

Пример:

Можно ли по знаку произведения двух чисел определить, одинаковые или разные знаки у множителей? Да. Например, число равно произведению чисел с одинаковыми знаками: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. А вот число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно произведению чисел с разными знаками: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Свойства умножения на 0 рациональных чисел аналогичны таким же свойствам умножения положительных чисел. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В дальнейшем будем рассматривать рациональные числа, отличные от нуля, а случаи, связанные с числом 0, будем анализировать отдельно.

Обратите внимание:

  • — если произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения положительно, то числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеют одинаковые знаки, и наоборот;
  • — если произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения отрицательно, то числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеют разные знаки, и наоборот;
  • — если произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно нулю, то хотя бы одно из чисел, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, равно нулю, и наоборот.

Если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Умножение числа на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеет свои особенности. Если некоторое число умножить на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то в произведении получим противоположное ему число. Например: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Рассуждая наоборот, получим, что любое число можно представить в виде произведения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и числа, противоположного данному. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. О такой записи говорят: знак минус вынесли за скобки. Итак: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Для рациональных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы умножения, а также распределительный закон умножения относительно сложения.

Пример:

Найдите произведение: 1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; 2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

1. Переставим множители и сгруппируем их так, чтобы вычисления упростились: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

2. Применим распределительный закон умножения, а также правила умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Можно ли, не вычисляя произведения нескольких рациональных чисел, определить знак этого произведения? Да. При этом нужно учесть, что положительные множители не влияют на знак произведения.

Пример:

Положительным или отрицательным является произведение: 1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения;

2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения?

Решение:

1. В данном произведении - четыре отрицательных множителя: -2, -1, -5, -4. Произведение первой пары этих чисел положительно, второй пары — тоже, поэтому произведение всех четырёх чисел — положительно. Следовательно:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

2 В данном произведении 5 отрицательных множителей, поэтому:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание:

  • — произведение чётного количества отрицательных множителей — положительно;
  • — произведение нечётного количества отрицательных множителей — отрицательно.

Индийские математики сформулировали правила умножения, деления, сложения, вычитания рациональных чисел. В таблице 14 вы видите, какими суждениями они пользовались при умножении рациональных чисел. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Деление рациональных чисел

Вы знаете, что для положительных чисел действие деления можно свести к действию умножения на число, обратное делителю. Пусть нужно разделить число 20 на число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это означает, что число 20 можно умножить на число, обратное числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то есть на число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Тогда, по правилу умножения чисел с разными знаками, получим: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Итак, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Видим, что частное чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно частному их модулей, взятому со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Аналогично, частное чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно частному их модулей, взятому со знаком Рациональные числа и действия над ними с примерами решения: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило деления чисел с разными знаками

Частное двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Чтобы найти частное чисел с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя и перед полученным частным поставить знак Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Как разделить одно отрицательное число на другое? Рассуждая аналогично предыдущему случаю, для чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения получим:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Правило деления двух отрицательных чисел

Частное двух отрицательных чисел — число положительное.

Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, достаточно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Вообще, знак частного рациональных чисел определяется знаками делимого и делителя. Например:Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если число 0 разделить на любое рациональное число, отличное от нуля, то в частном получим 0:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Действие деления на 0 не имеет смысла и для рациональных чисел. Поэтому:

на 0 делить нельзя!

Обратите внимание:

  • — в частном Рациональные числа и действия над ними с примерами решения число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения не может быть равным нулю;
  • — если частное Рациональные числа и действия над ними с примерами решения положительно, то числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеют одинаковые знаки, и наоборот;
  • — если частное Рациональные числа и действия над ними с примерами решения отрицательно, то числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеют разные знаки, и наоборот;
  • — если частное Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно нулю, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно нулю, и наоборот.

Поскольку Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если число, отличное от нуля, разделить на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то в частном получим противоположное ему число. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Частное двух противоположных чисел, отличных от нуля, равно Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Название рациональных чисел происходит от латинского «ratio» — «отношение», поскольку эти числа с момента своего появления представляют с помощью отношения целого числа к натуральном у числу.

Если разделить рациональное число на рациональное число, отличное от нуля, то частное всегда будет рациональным числом. А если разделить целое число на целое число, отличное от нулю, то в частном не всегда получим целое число. Например, частное чисел 2 и 3 не является целым числом. Интересно, что исторически проблема деления чисел была решена значительно раньше, чем проблема, связанная с их вычитанием.

-------------

Рациональные числа

Этот раздел содержит очень важный и нужный материал. Натуральные и дробные числа, с которыми вы имели дело до сих пор, были известны людям более 4 тысячелетий назад. А отрицательные числа вошли в математику намного позже — несколько веков назад. Основное содержание этого раздела такое.

  • Положительные и отрицательные числа.
  • Действия с положительными и отрицательными числами.
  • Преобразование простейших выражений.
  • Перпендикулярные и параллельные прямые.
  • Координатная плоскость и графики.

Весь этот материал является фундаментом математики, физики и других наук, которые вы будете изучать в последующих классах.

Положительные и отрицательные числа

Существуют числа, значения которых меньше 0. Их называют отрицательными числами. Например, отрицательными числами обозначают значение температуры.

Температура, при которой начинает замерзать вода - 0 градусов по Цельсию (°С). А бывает еще холодней. Тогда столбик ртути в термометре опускается ниже отметки О °С. Если столбик ртути размещен так, как на рисунке 86, то говорят, что термометр показывает «4 градуса мороза», или «4 градуса ниже нуля», или «минус 4 градуса». Пишут: -4 °С. Иногда передают такие сведения о погоде: «В Ялте сегодня 5 градусов, в Одессе - 0 градусов, в Харькове - минус 2 градуса, в Киеве -минус 3 градуса». Эти значения температуры можно записать так: 5, 0, -2, -3 градуса. Числа 5 и 0 вам уже известны. А числа -2 и -3 - примеры отрицательных чисел.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Отрицательные числа записывают со знаком минус «-».

Приводим еще примеры отрицательных чисел:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Те числа, что рассматривались раньше (кроме 0), теперь будем называть положительными числами. Иногда положительные числа пишут со знаком плюс «+». Число 0 - ни положительное, ни отрицательное.

Все положительные числа вместе с нулем называют неотрицательными .

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Отрицательными и положительными числами обозначают не только значения температуры, но и расположение местности над уровнем моря (рис. 87), изменение количества денег в кассе (задача 857), они используются также во многих других случаях.

Обратите внимание на правильное произношение положительных и отрицательных чисел. Например,

  • Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно десяти;
  • Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равно минус четырнадцати;
  • Рациональные числа и действия над ними с примерами решения больше двух целых пяти десятых;
  • Рациональные числа и действия над ними с примерами решения меньше минус семи.

Названия знаков чисел («+» и «-») не склоняются. Например, минус три, минус трех, минус трем и т. п.

Выполнение заданий:

Пример №58

Просклоняйте словосочетание «положительная разность», «минус семь».

Решение:

И. положительная разность минус семь

Р. положительной разности минус семи

Д. положительной разности минус семь

В. положительную разность минус семь

Т. положительной разностью минус семью

П. положительной разности минус семи

Координатная прямая

Посмотрите на линейку с делениями. Ее штрихи (черточки) делят линейку на равные деления. Большие штрихи обозначают числа О, 1,2, 3, ... . Расстояние между каждыми двумя соседними большими штрихами равно 1 см. Малым штрихам также соответствуют числа, но дробные (рис. 90). Все нанесенные на линейку штрихи образуют шкалу. Шкала линейки содержит штрихи, которым соответствуют только неотрицательные числа. А на шкале термометра есть штрихи, которым соответствуют и отрицательные числа (см. рис. 88).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для математики наиболее пригодна прямолинейная тикала с равными делениями, бесконечная в обе стороны.

Вы уже знаете, что такое координатный луч (вспомните!). На координатный луч чем-то похожа и координатная прямая. Представим себе прямую (бесконечную). Обозначим на ней какую-либо точку О - это начало отсчета. Справа от нее на равных расстояниях друг от друга обозначим точки и поставим им в соответствие числа: 1, 2, 3, 4, ... . На таких же расстояниях друг от друга обозначим на прямой точки слева от точки О и поставим им в соответствие числа: -1, -2, -3, -4,... (рис. 91). Такую прямую называют координатной прямой.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Направление вправо от начала отсчета называют положительным, на координатной прямой его обозначают стрелкой.

Каждому числу на координатной прямой соответствует определенная единственная точка. Например, на координатной прямой, изображенной на рисунке 92, числу 2 соответствует точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, числу — 3 - точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Говорят, что координата точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равна 2, координата точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равна -3 и т. д. Пишут:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Координата точки О - число 0. Это - начало координат. Отрезок, концы которого имеют координаты 0 и 1, принимают за единичный отрезок (рис. 93).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Расстояние между точкой О(0) и точкой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 92) равно трем единичным отрезкам. Пишут Рациональные числа и действия над ними с примерами решения ед. отр. Если длина единичного отрезка равна 1 см, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения см.

За единичный отрезок можно взять и любой другой, в частности, длиной 1 дм, 5 мм. Например, на рисунке 93 длина единичного отрезка равна 1,7 см.

Своеобразной координатной прямой является лента времени, на которой изображают годы и столетия (рис. 94). Христиане за начало отсчета времени берут день рождения Иисуса Христа (Рождество Христово). Время после этого дня называют новой эрой, а до него - до новой эры. Вместо до новой эры сокращенно пишут до н. э. или до P. X.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В Западной Европе такой отсчет времени введен с XVI в., а у нас (бывшей Российской империи) - только в 1700 г. До этого восточные славяне счет годам вели «от сотворения мира». Считали, что мир был создан 5508 лет до н. э.

Выполнение заданий:

Пример №59

Длина единичного отрезка координатной прямой равна 2 см.

а) Чему равно расстояние между точками Рациональные числа и действия над ними с примерами решения?

б) Найдите координату точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - середины отрезка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

а) Начертим координатную прямую и обозначим на ней точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 95). Видим, что в отрезке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения вмещается ровно 5 единичных отрепков. Поэтому Рациональные числа и действия над ними с примерами решения см.

б) Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - середина отрезка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения -расположена так, как изображено на рисунке 95. Координата точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равна 0,5.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Целые и дробные числа

Числа 3 и -3 отличаются только знаками. Точки с такими координатами расположены по разные стороны от точки О и на одинаковых расстояниях от нее. Такие числа называются противоположными: число 3 противоположно числу -3, а -3 противоположно числу 3. Противоположными являются также числа:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для каждого числа существует только одно противоположное ему число (рис. 100). Число 0 противоположно самому себе.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Противоположными натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... являются числа -1,-2,-3,-4, -5, -6, ... .

Натуральные числа, противоположные им и число 0 вместе называют целыми числами.

Существуют три вида целых чисел: целые положительные (натуральные), целые отрицательные (-1,-2, -3, -4,...) и 0. Кроме них, есть и дробные положительные и отрицательные числа. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Целые и дробные числа вместе называют рациональными числами (рис. 101).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Соотношения между упомянутыми видами чисел можно изобразить такой схемой.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Примечание. Числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения записаны в виде дробей, но они не являются дробными числами. Это целые числа 2 и -2. Ми одно дробное число не является целым, и ни одно целое число не является дробным.

Все целые числа образуют множество целых чисел. На координатной прямой целым числам соответствуют точки, которые расположены равномерно и бесконечно далеко вправо и влево от начала координат.

Множество рациональных чисел - это совокупность целых и дробных чисел. Каждому рациональному числу на координатной прямой соответствует единственная точка. Точки с рациональными координатами расположены на координатной прямой очень плотно, между любыми двумя из них находится бесконечно много других точек с рациональными координатами. И все же на координатной прямой точек, координаты которых - не рациональные числа, еще больше. Об этом вы узнаете в 8-м классе.

Выполнение заданий:

Пример №60

Противоположные ли числа 0,2 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения?

Решение:

0,2 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения разные обозначения одного и того же числа, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Поэтому числа 0,2 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения противоположные.

Пример №61

Точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеют противоположные координаты. Найдите значение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Сколько единичных отрезков содержится в отрезке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения?

Решение:

Поскольку числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и -3 противоположные, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Начертим координатную прямую и обозначим на ней точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 102). С рисунка видно, что отрезок Рациональные числа и действия над ними с примерами решения содержит 6 единичных отрезков.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модуль числа

Расстояние от начала координат до точки с координатой а называется модулем числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. При этом считается, что за единицу длины принято длину единичного отрезка. Например, модулем числа 4 является число 4, модулем числа - 4 также является число 4 (рис. 105).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какими бы небыли противоположные числа, их модули равны. Например, модуль каждою из чисел -12 и 12 равен 12, модуль каждого из чисел 0,9 и -0,9 равен 0,9.

Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модуль числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения обозначают так: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Например,

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Модуль любого числа число неотрицательное.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Понятие модуля в математике используют очень часто. В частности решают уравнения и неравенства с модулями.

Уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеет два решения: 3 и - 3. На координатной прямой решения обозначены точками (рис. 106).

Неравенству Рациональные числа и действия над ними с примерами решения удовлетворяет каждое число, меньше 3, но больше 3. На координатной прямой точки, которым соответствуют эти числа, изображены утолщенным отрезком без концов (рис. 107).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Слово модуль латинского происхождения: «modulus» - мера. Это слово в разных значениях используют не только в математике, но и в технике, архитектуре, во многих других науках и отраслях производства. От этот слова происходят также слова мода, модель.

Еще совсем недавно вместо «модуль числа» говорили абсолютная величина числа. Так раньше называли «числа без знаков», противопоставляя им относительные числа -числа со знаками. Теперь термины «относительные числа» и «абсолютная величина числа» устарели.

Выполнение заданий:

Пример №62

Вычислите значение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, если: а) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

а) Если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения;

б) если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример №63

Найдите два решения уравнения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, поэтому числа 15 и -15 являются решениями этого уравнения.

Сравнение рациональных чисел

Сравнить два числа - это значит установить, какое из них больше, какое меньше, или показать, что они равны.

Сравнивать положительные числа вы уже умеете. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения как сравнивать отрицательное число с отрицательным или положительным?

Из двух положительных чисел меньше то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее. Например, точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения расположена левее точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 109). Это свойство (признак) распространяется и на все рациональные числа.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Из двух рациональных чисел меньшим считается то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее.

Например, точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения расположена левее точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и любой точки с положительной координатой. То же самое можно сказать о точке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и о любой другой точке с отрицательной координатой (рис. 110).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Поэтому каждое отрицательное число меньше 0 и любого положительного числа.

Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Точка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения па координатной прямой расположена левее точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 110), поэтому Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. То же самое справедливо относительно любых отрицательных чисел.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль, которого больше.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если одно число меньше другого, то второе число больше первого. Если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Поскольку каждое отрицательное число меньше 0, а каждое положительное число больше 0, то:

  • запись Рациональные числа и действия над ними с примерами решения означает, что число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — положительное;
  • запись Рациональные числа и действия над ними с примерами решения означает, что число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения — отрицательное.

Знак «Рациональные числа и действия над ними с примерами решения» обозначает (читается) «больше или равно», знак «Рациональные числа и действия над ними с примерами решения» меньше или равно. Например, если число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения больше 0 или равно 0, то пишут Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Такие числа называют неотрицательными. Если число с меньше 5 или равно 5, то пишут Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №64

Между какими соседними целыми числами на координатной прямой находится число 2,4? Запишите это при помощи знака «<».

Решение:

Начертим часть координатной прямой (рис. 111). Видим, что число - 2,4 находится между соседними целыми числами - 3 и - 2. Следовательно, — 3 < — 2,4

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения 2) Какое из чисел больше: -3,4 или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения?

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а 3,14 < 3,4. Поэтому Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Сложение рациональных чисел

Складывать положительные числа вы уже умеете. И отрицательные числа складывать нетрудно. Например, (-2) + (-3) = -5; (-0,3) + (-1,2) = -1,5.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Чтобы сложить положительное и отрицательное числа, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Пусть, например, надо сложить числа -2,7 и 3. Их модули 2,7 и 3. Вычтем из большего модуля меньший, получим 0,3. Знак числа с большим модулем - плюс, поэтому -2,7 + 3 = 0,3. Другой пример: 18 + (-20) = - 2.

Почему именно по таким правилам складывают положительные и отрицательные числа? Потому что отрицательными числами обозначают, как правило, уменьшение чего-либо. Например, если уровень воды в роке снизился на 2 см, то говорят, что он изменился на - 2 см. И если в один день он изменился на - 2 см, а во второй на - 3 см, то за эти два дня он изменился на -5 см (рис. 114). Поэтому и считают, что -2 + (-3) = -5.

К ели в первый день уровень воды изменился на -2 см, а во второй - на 5 см (то есть поднялся на 5 см), то за эти два дня он изменился на 3 см (рис. 115). Следовательно -2 + 5 = 3.

Если в первый день уровень воды в реке изменился на -6 см, а во второй - на 2 см, то за два дня он изменился на -4 см (рис. 116). Поэтому -6 + 2 = - 4.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Много и других подобных задач (об изменении температуры, прибыли и т. п.) стали основанием сформулированных выше правил сложения рациональных чисел.

Раньше отличали знаки чисел от знаков сложения и вычитания. Некоторые европейские математики даже в начале XX в. знаки действий сложения и вычитания писали только между числами. А положительные и отрицательные числа обозначали стрелочками или знаками «+» и «-» над числами. Например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Такие записи были неудобными и от них отказались.

При сложении рациональных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы. О них речь пойдет на с. 222. Там вы узнаете, как можно упростить сложение трех и более рациональных чисел.

Выполнение заданий:

Пример №65

Может ли сумма двух чисел быть больше каждого из этих чисел? Когда это возможно?

Решение:

Может. Это возможно только тогда, когда эти числа положительные. Ведь, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример №66

Найдите сумму чисел: а) 1,3 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; б) -4,7 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

а) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вычитание рациональных чисел

Вычитание - действие, обратное сложению. Вычесть из одного числа другое — означает найти такое третье число, которое в сумме с другим дает первое.

Пусть, например, надо найти разность чисел 7 и -5. Она равна такому числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения + (- 5) = 7. Этому равенству удовлетворяет число 12. Следовательно, 7 - (-5)= 12.

Разность чисел - 5 и 3 равна такому числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения. Этому равенству удовлетворяет число -8. Поэтому, -5 - 3 = -8.

Обратите внимание: 7 - (-5) = 12 и 7 + 5 = 12,

-5 - 3 = -8 и -5 + (-3) = -8.

Вычесть ли число - 5 или прибавить число 5 - результаты одинаковые. Это верно для любых рациональных чисел. Ведь, еслиРациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а последнему равенству удовлетворяет значение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Поскольку Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения. Таким образом, всегда Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Примеры:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Любое рациональное число можно вычесть из любого другого. Ведь вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением, а действие сложения всегда возможно.

Подставляя вместо букв Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения разные рациональные числа, можно убедиться в том, что разность Рациональные числа и действия над ними с примерами решения положительная, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Чтобы найти длину отрезка Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца. Например, если на координатной прямой даны точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то расстояние Рациональные числа и действия над ними с примерами решения в единичных отрезках равно Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 118). Эти два случая можно объединить в один. Какими бы не были точки Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения координатной прямой, расстояние между ними Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №67

Вычислите —4—(—7). Где здесь уменьшаемое, а где вычитаемое?

Решение:

—4 — уменьшаемое, —7 — вычитаемое.

—4 — (—7) = —4 + 7 = 3.

Пример №68

Решите уравнение: а) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения; б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. —17—24 = —41.

Проверка: —41+ 24 = -17. Следовательно, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения = —41.

б) Если модуль числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равен 5, то возможны два случая: или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, тогда Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, тогда Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Проверка: |2 + 3| = |5| = 5, |—8 + 3| = |—5| = 5. Итак, уравнение имеет два корня: 2 и —8.

Умножение рациональных чисел

Что значит умножить число —3 на 5? Это означает найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 3: (—3) • 5 = (—3) + (—3) + (—3) + (—3) + (—3) = —15.

Итак, (—3)—5 =—15.

Чтобы выполнялся переместительный закон умножения, считают, что 5 • (—3) = — 15. Рассуждая точно так же относительно чисел —12 и 10, имеем:

(—12)—10 = —120 и 10—(—12) = —120.

Чтобы умножить отрицательное число и положительное, надо умножить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Примеры:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

Примеры:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Почему именно по таким правилам умножают отрицательные числа, станет понятно позже. В общем виде эти правила записывают так:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Знак произведения определяется знаками множителей, как показано в таблице.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание на отдельные случаи умножения. Каким бы ни было рациональное число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, всегда:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Раньше ученые пытались обосновать пенило умножения отрицательных чисел. Хотели понять, почему Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Приводили различные обоснования этот правила, но со временем они оказались неубедительными. Поэтому на протяжении нескольких столетий правила умножения и деления отрицательных чисел считались незаконными, а отрицательные числа называли ошибочными, абсурдными, ненастоящими и т. п. Только со временем ученые поняли, что такие правила нужно не выводить из других, уже известных правил, а считать их правильными по договоренности.

В современной математике равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решения принимается без доказательств и обоснований. Только при такой договоренности рациональные числа становятся полезными и удобными для применения.

А если бы не условились считать, что произведение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения всегда равно Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то все учение об отрицательных числах было бы очень примитивным и неинтересным. Его нельзя было бы использовать в математике и в других науках.

Выполнение заданий:

Пример №69

Найдите произведение чисел: а) 3,7 и - 0,2; б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

а) 3,7 • (-0,2) = -(3,7 • 0,2) = -0,74;

б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример №70

При каком условии произведение двух рациональных чисел равно одному из них?

Решение:

Бели Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то возможны два случая:

1) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - произвольное число;

2) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, a Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - произвольное число.

Деление рациональных чисел

Деление - действие, обратное умножению. Разделить одно число на другое — это означает найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры:

  • а) 20 : 2 = 10, поскольку 10 • 2 = 20;
  • б) —8:2 = —4, поскольку —4 • 2 =—8;
  • в) 10 : (—5) = —2, поскольку (—2) • (—5) = 10;
  • г) —15 : (—3) = 5, поскольку 5 • (—3) = —15.

В каждом из рассмотренных примеров модуль частного равен частному от деления модулей делимого и делителя. Частное отрицательное, если знаки делимого и делителя разные; если знаки делимого и делителя одинаковые, то частное положительное. К таким выводам приходили ученые, рассматривая любые другие примеры. Поэтому пользуются таким правилом.

Чтобы разделить одно рациональное число на другое, надо разделить их модули; если знаки делимого и делителя разные, то перед результатом нужно поставить знак минус.

Пусть, например, нужно найти частные —3,6: 3; 3,6 : (—3); —3,6 : (—3). Модуль каждого частного равен 1,2. В первых двух примерах знаки дели мот и делителя разные, поэтому частное отрицательное. В третьем примере знаки делимого и делителя одинаковые, поэтому частное положительное. Итак,

—3,6 : 3 = —1,2, 3,6 : (—3) = —1,2, но —3,6 : (—3) = 1,2.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

При делении 0 на любое число, отличное от нуля, получают нуль. Делить на 0 нельзя! Почему? Ведь, если бы, например, «частное» 5 : 0 равнялось какому-то числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то было бы верно равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решения • 0 = 5, что невозможно при любом значении Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. И «частное» 0 : 0 не может равняться какому-то одному числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, ибо тогда было бы, что Рациональные числа и действия над ними с примерами решения • 0 = 0, а этому равенству удовлетворяет любое число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Итак, делить на нуль нельзя!

Если числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения натуральные, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это равенство распространяют и на дробные числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Например,

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выражения, записанные в правых частях последних равенств, - дроби. Но не обыкновенные. Числитель и знаменатель дроби может быть любым числом и любым выражением. Более детально дроби изучают в алгебре, а здесь подчеркнем, что обыкновенные дроби - это простейшие дроби. Соотношение между понятиями «дроби» и «обыкновенные дроби» можно показать на диаграмме (рис. 122).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Чтобы вычислить значение любой дроби, достаточно ее числитель разделить на знаменатель. Например,

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №71

Разделите: а) -27 на 54; б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

а)-27 : 54 = -(27 : 54) = -0,5;

б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример №72

Найдите отношение чисел -2,5 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Свойства сложения и умножения

Как известно, для положительных чисел выполняются переместите л ьный и сочетательный законы сложения. Эти законы всегда выполняются и для любых рациональных чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Примеры:

а) —2 + (—3) = - 5 и —3 + (—2) = —5.

Значит —2 + (—3) = —3 + (—2);

б) (3 + (—5)) + (—8) = —2 + (—8) = —10 и

3 + (—5 + (—8)) = 3 + (—13) = —10.

Значит (3 + (—5)) + (—8) = 3 + (—5 + (—8)).

Используя переместительный и сочетательный законы сложения, можно упрощать вычисления сумм трех и большего количества рациональных чисел. Например, переставив местами слагаемые и сгруппировав их в две группы, можно отдельно сложить все положительные слагаемые и отдельно - отрицательные. Если среди слагаемых есть противоположные числа, их можно не учитывать, поскольку сумма противоположных чисел равна нулю.

Примеры:

а) 2 + (—81) + 3 + (—17) = 2 + 3 + (—81) + (—17) =

= 5+ (—98) = —93;

б) 17+ (—14)+ 8 + (—17) +(—8) =

= 17 + (—17) + 8 + (—8) + (—14) = —14.

Для любых рациональных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения. То есть, какими бы не были рациональные числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, всегда:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Убедитесь в правильности указанных равенств для случая, когда, например, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Переместительный и сочетательный законы умножения позволяют упрощать вычисление произведения трех и больше множителей. Множители не обязательно умножать в той последовательности, в которой они записаны, а можно переставлять и объединять их в группы. Например, произведение 0,25 • (-317) • 4 можно вычислить устно, если сначала умножить 0,25 и 4.

Обратите внимание! Произведение любых двух отрицательных чисел число положительное.

Если произведение содержит четное число отрицательных множителей, то оно положительное, а если нечетное число отрицательных множителей, то оно отрицательное (при условии, что ни один из множителей — не нуль).

Например, произведение 3 • (—2) • (—5) • (—7) • 9 • (—11) положительное, а (—4) • 5 • (—6) • (—9) • 12 - отрицательное.

Квадрат отрицательного числа — число положительное, куб отрицательного числа — число отрицательное.

Примеры:

  • а) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения
  • б) Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если число а отрицательное, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - числа отрицательные, а Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - положительные.

Равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решения выражает распределительный закон умножения относительно суммы двух чисел. Похожее свойство умножения верно и относительно разности: всегда Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Докажем это. Поскольку разность всегда можно записать в виде суммы, то

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Распределительный закон умножения верный также для любого количества положительных или отрицательных слагаемых. Например, всегда верно равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения Действительно, если сумма Рациональные числа и действия над ними с примерами решения равна некоторому числу Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения

Какими бы не были рациональные числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, всегда верно равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Действительно, согласно распределительному закону умножения верно равенство

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Из законов сложения и умножения можно вывести много важных и интересных следствий. С ними вы ознакомитесь на уроках алгебры.

Выполнение заданий:

Пример №73

Вычислите Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример №74

На сколько сумма квадратов чисел 6 и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения4 больше квадрата их суммы?

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Ответ: На 48.

Преобразование простейших выражений

Если одно выражение заменить другим, имеющим такие же числовые значения, то такую замену называют преобразованием выражения. Рассмотрим несколько наиболее важных преобразований, которые выполняются на основании законов сложения и умножения.

1. Раскрытие скобок.

Раскрыть в выражении скобки — это значит заменить его выражением без скобок.

Если выражение со скобками содержит только действие умножения, то для его преобразования используют переместительный и сочетательный законы умножения.

Пример. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если произведение содержит только числовой и буквенные множители, то числовой множитель пишут первым и называют его коэффициентом.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример. В выражениях Рациональные числа и действия над ними с примерами решения коэффициентами являются числа 2, —5, —0,8, 1, —1. Коэффициенты 1 и —1 обычно не пишут.

Раскрывать скобки в выражениях, содержащих действия умножения, сложения и вычитания, можно на основании распределительного закона умножения и следствий из него.

Пример. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Особенно часто приходится раскрывать скобки, перед которыми стоит знак «+» или «—», то есть умножать выражение в скобках на +1 или —1. В этом случае не обязательно каждый раз применять распределительный закон умножения, а можно использовать такие правила.

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «+», достаточно опустить скобки и знак перед ними.

Пример. Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Всегда верно равенство Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, поскольку разность Рациональные числа и действия над ними с примерами решения в сумме с вычитаемым Рациональные числа и действия над ними с примерами решения дает Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Из последнего равенства следует такое правило.

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «—», достаточно опустить скобки и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках, изменить на противоположные.

Эти правила верны и для выражений, все слагаемые которых находятся в скобках. Например,

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Примеры:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

2. Приведение подобных слагаемых.

Выражение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - это сумма трех слагаемых: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называются подобными. Согласно распределительному закону умножения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Такое упрощение выражения называют приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общий буквенный множитель.

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых позволяют значительно упростить выражения.

Пример:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Раньше вы знали: если выражение содержит скобки, то сначала надо выполнять действия в скобках. Умея раскрывать скобки, вы можете упростить вычисление некоторых выражений. Например, чтобы вычислить значение выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения не обязательно выполнять действия в скобках. Лучше сначала раскрыть их:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №75

Вычислите значение выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример №76

Найдите значение выражения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Пример №77

Упростите выражение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Стандартный вид числа

Масса Земли равна 5 980 000 000 000 000 000 000 т, а масса Луны - 73 500 000 000 000 000 000 т. На сколько тонн масса Земли превышает массу Луны?

Попробуйте решить задачу с помощью калькулятора. По-видимому, вы не сможете даже вывести эти числа на дисплей обыкновенного калькулятора, ибо он рассчитан на значительно меньшее количество знаков. Выполнять вычисление в столбик с такими большими числами также неудобно:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Для упрощения записей больших чисел и выполнения действий над ними используют специальные правила их записи. Очень большие числа со многими нулями записывают при помощи степеней числа 10. Например,

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Десятичные дроби со многими нулями после запятой тоже записывают при помощи степеней числа 10, но только с отрицательным показателем степени. Более детально такие степени вы будете изучать в старших классах, а пока поймите самое главное.

Рассмотрим две последовательности чисел:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Первым трем числам первой последовательности соответствуют степени числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Обратите внимание: если показатель степени числа 10 уменьшить на 1, то степень уменьшится в 10 раз. Распространяя это свойство на последующие члены первой последовательности, можно рассматривать степени с целыми отрицательными показателями, в частности:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и т.д.

Понять целесообразность таких обозначений поможет представление десятичных дробей в виде обыкновенных дробей и их степеней.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Очень малые числа со многими нулями после запятой удобно записывать при помощи степеней числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Пример:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, тогда Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Запись числа в виде Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, где Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - целое, называют стандартным видом числа. Число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения в такой записи называют порядком данного числа.

Запишем в стандартном виде числа, какими выражаются массы Земли, Луны и маленького муравья.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Числа, записанные в стандартном виде, используют физики, астрономы, инженеры, микробиологи и другие специалисты. Записанные так числа можно умножать, делить, складывать и вычитать.

Рассмотрим сначала, как можно умножать и делить степени числа 10.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рассмотренные примеры можно обобщить.

Для любых целых чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения верны равенства:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Используя эти свойства степеней и законы действий, числа, записанные в стандартном виде, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Например, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

В последнем примере использовано основное свойство отношения.

Сейчас на Земле живет примерно Рациональные числа и действия над ними с примерами решения человек. Можно ли считать точным это число, то есть 6 500 000 000? Нет, это приближенное значение, округленное до миллиардов. Все нули в числе 6 500 000 000 - цифры не точные, а полученные в результате округления. В нем только две значащие цифры - 6 и 5. Все другие цифры не значащие. Если значение величины записано в стандартном виде Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения - точное, все его цифры значащие. А все нули, которые получены при умножении Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, являются результатом округления. ЧислоРациональные числа и действия над ними с примерами решения содержит только две значащие цифры 2 и 5.

Выполнение заданий:

Пример №78

Масса Земли равна Рациональные числа и действия над ними с примерами решения т, а масса Луны - Рациональные числа и действия над ними с примерами решения т. Во сколько раз масса Земли больше массы Луны?

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Ответ. Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.

Пример №79

Сравните числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Решение:

Поскольку показатель степени числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на 1 больше показателя степени Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то говорят, что число Рациональные числа и действия над ними с примерами решения на порядок выше числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. На порядок - это означает примерно в 10 раз, на 2 порядка - примерно в 100 раз.

Пример №80

Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение уравнений

Как вы уже знаете, уравнение - это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Корнем (или решением) уравнения называют то значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Зная отрицательные числа, можно решать и такие уравнения, какие раньше вы решать не умели.

Напомним, если к равным числам прибавить одно и то же число, то суммы будут равными. То есть, если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения то и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Уравнение - также равенство. И к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число. Полученное уравнение имеет такой же корень, как и данное уравнение.

Например, уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеет корень Рациональные числа и действия над ними с примерами решения3. Если к обеим его частям прибавим число —7, то получим уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, корень которого тоже равен —3. Полученное уравнение от данного отличается только местом слагаемого 7. Это слагаемое перенесено с левой части уравнения в правую с противоположным знаком.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив знак на противоположный.

Переносить из одной части уравнения в другую можно и неизвестные слагаемые. Например, решая уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения можно его слагаемое Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияперенести из правой части в левую. Уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения имеет тот же корень, что и данное уравнение.

Обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное.

Выделенные выше два утверждения - основные свойства уравнений. Они доказываются в старших классах. С их помощью можно решать много уравнений.

Пример №81

Решите уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Описывать в решении, куда переносим то или иное слагаемое, не обязательно. Способ решения уравнений на основании их свойств удобней и более общий, чем способ решения уравнений на основании зависимостей между компонентами действий, каким вы пользовались до сих пор.

Чтобы решить уравнение, содержащее обыкновенные дроби, можно воспользоваться вторым свойством.

Решим к примеру уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения Умножим обе его части на 14. Имеем

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №82

Проволоку длиной 250 м разрезали на три части так, что одна из них оказалась на 25 м короче другой и на 45 м длиннее третьей. Найдите длины этих частей проволоки.

Решение:

Длину первой части проволоки обозначим Рациональные числа и действия над ними с примерами решения м, тогда длина второй части проволоки равна Рациональные числа и действия над ними с примерами решения м, а третьей - Рациональные числа и действия над ними с примерами решения м. Так как сумма этих длин равна 250 м, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решенияРациональные числа и действия над ними с примерами решения, или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Тогда

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Ответ. 90 м, 115 м и 45 м.

Пример №83

Найдите два числа, сумма которых равна —3, а половина первого равна четвертой части второго.

Решение:

Пусть первое число равно Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Тогда второе равно - Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Половина первого числа Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а четвертая часть второго Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Согласно условию задачи Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Умножим обе части уравнения на 4.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Ответ. —1 и —2.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые образуют при пересечении четыре угла (рис. 133). Если один из этих углов прямой, то и все другие - тоже прямые. Если Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 134). Почему?

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Две прямые, которые при пересечении образуют прямые углы, называются перпендикулярными прямыми. Прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения изображенные на рисунке 134, перпендикулярные. Пишут Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Отрезки и лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Например, стороны АВ и AD прямоугольника ABCD перпендикулярные (рис. 135). Стороны прямого угла также перпендикулярны.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Через данную точку Р всегда можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Это можно сделать при помощи угольника (рис. 136).

Две прямые могут и не пересекаться (рис. 137).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Две прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называются параллельными прямыми.

Параллельными, например, являются линии тетради «в линейку», линии нотного стана, рельсы железнодорожного пути. Если прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения параллельные, то пишут Рациональные числа и действия над ними с примерами решения или Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Два отрезка или луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, если ABCD - прямоугольник (см. рис. 135), то Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Через любую точку Р, которая не лежит на прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, можно провести прямую, параллельную прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Для этого можно через точку Р провести прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, перпендикулярную прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, а потом прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, перпендикулярную прямой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения (рис. 138). При таком построении всегда Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. Можно воспользоваться линейкой и угольником (рис. 139).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Четырехугольник, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, называется параллелограммом (рис. 140). Каждая сторона параллелограмма равна противоположной стороне. Каждый угол параллелограмма равен противолежащему углу.

Параллелограмм с прямыми углами - прямоугольник, параллелограмм с равными сторонами - ромб (рис. 141, а). Прямоугольник с равными сторонами (или ромб с прямыми углами) - квадрат (рис. 141, б).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Каждые ли две прямые, которые не пересекаются, являются параллельными? Нет. Прямые Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, одна из которых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость (рис. 142), не параллельны. Так же не параллельны ребра АК и ВС куба, изображенного на рисунке 143. Так как они не лежат в одной плоскости.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Выполнение заданий:

Пример №84

На рисунке 143 изображен куб ABCDKPТМ. Параллельны ли прямые АК и BP? А отрезки АК и BP? Перпендикулярны ли прямые АК и АН?

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Решение:

Прямые АК и BP лежат в одной плоскости (в плоскости квадрата АВРК) и не пересекаются. Поэтому АК || BP. Отрезки АК и BP лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны.

Прямые АК и АВ пересекаются в точке Рациональные числа и действия над ними с примерами решения под прямым углом, поскольку все углы квадрата прямые. Следовательно, Рациональные числа и действия над ними с примерами решения.

Координатная плоскость

Как известно, каждому рациональному числу на координатной прямой отвечает определенная точка. Например, на координатной прямой, изображенной на рисунке 148, числу - 2 соответствует точка А, а числу 2,5 — точка В. Говорят и так: точке А соответствует число - 2, а точке В - число 2,5. То есть место точки на прямой можно однозначно задать числом. Подобно этому можно определять числами и место точки на плоскости, на глобусе, на географической карте. Только в этих случаях надо указать не одно число, а пару чисел. Например, определяя место какого-нибудь пункта на географической карте, указывают два числа: долготу и широту.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рассмотрим, как можно задать парой чисел точку на плоскости. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в их общем начале координат - точке О (рис. 149). Одну из этих координатных прямых, которая расположена горизонтально, обозначают буквой Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и называют осью абсцисс.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Вертикальную координатную прямую Рациональные числа и действия над ними с примерами решения называют осью ординат. Их положительные направления указаны стрелками. Точку О называют началом координат. Единичные отрезки на обеих осях в большинстве случаев считаются равными. Объединение двух таких координатных

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

прямых называют системой координат. Если на плоскости есть система координат, то ее называют координатной плоскостью.

Каждой паре рациональных чисел на координатной плоскости соответствует определенная точка. Например, паре чисел 4 и 2 соответствует точка М (рис. 150). Говорят, что абсцисса точки М равна 4, а ордината 2. Пишут: М(4; 2). Точка К имеет абсциссу «3 и ординату 1, точка Р -абсциссу 0 и ординату-3. Пишут: К{- 3; 1), Р(0; -3). Первой всегда пишут абсциссу. Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки.

Рассмотренную систему координат впервые использовал французский ученый Р. Декарт. Поэтому ее называют декартовой системой координат. Она состоит из двух прямолинейных осей, пересекающихся под прямым углом в точке O(0;0). Единичные отрезки на обеих ее осях равны. Хотя со временем вы ознакомитесь и с такими системами координат, у которых координатные оси имеют разные масштабы. Существуют также другие системы координат. Их рассматривают в старших классах и высших учебных заведениях.

Своеобразную систему координат - сетку из параллелей и меридианов - используют географы. Географические координаты -долготу и широту — обычно выражают в градусах. Начало гeorpaфической системы координат -точка О - это точка пересечения экватора с начальным меридианом, который проходит вблизи Лондона (рис. 151). Меридиан, который проходит через Киев, пересекает экватор в такой точке А, что углы ОСА и AСК равны примерно 30,5° и 50,5°. Поэтому говорят, что географические координаты Киева равны примерно 30,5° восточной долготы и 50,5° северной широты.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Графики

Координатную плоскость часто используют для построения графиков. Рассмотрим к примеру график изменения температуры.

Представим себе, что температуру воздуха измеряли в течение суток каждые два часа. Результаты измерений записали в таблицу.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Данные этой таблицы показывают соответствие между временем и температурой воздуха: в полночь температура была 3 °С, в два часа термометр показывал 1 °С и т. д. Чтобы лучше видеть, как изменялась температура, строят ее график. Для этого проведем оси координат. На оси абсцисс будем обозначать время (часы, в которые измеряли температуру), а на оси ординат - соответствующие показания термометр. Отмечаем точки, координаты которых - пары чисел из приведенной выше таблицы: паре чисел 0 и 3 соответствует точка с координатами 0 и 3 и т. д. (рис. 157).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Представим теперь, что температуру воздуха измеряли не через каждые два часа, а через каждые полчаса. Тогда в таблице было бы больше пар чисел, а на координатной плоскости - больше точек (рис. 158, а). А если бы температуру воздуха измеряли непрерывно, то все точки на координатной плоскости слились бы в непрерывную линию (рис. 158, б). Эта линия - график температуры воздуха. Из графика наглядно видно, что до 8-и часов температура снижалась, от 8-и до 18-и — повышалась, а потом снова снижалась; что в промежутке между 4-я и 11-ю часами она была «минусовой» и т. д.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Графики бывают различными, чаще всего - это линия на координатной плоскости. Такой график наглядно показывает, как изменяются значения одной величины от изменения значений другой величины. Масштабы на осях могут быть разными. Рассмотренный график изменения температуры воздуха со временем - кривая линия. А некоторые графики - прямые, лучи, отрезки, ломаные или объединение таких линий с кривыми. Например, графиком прямой пропорциональности является прямая или часть прямой, которая проходит через начало координат. Рассмотрим пример.

Если человек 4 ч движется равномерно со скоростью 5 км/ч, то графиком его движения является отрезок, изображенный на рисунке 159.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Как вы уже знаете, две величины называются обратно пропорциональными у если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой уменьшаются во столько же раз. Например, скорость движения Рациональные числа и действия над ними с примерами решения и время

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения, в течение которого тело проходит определенное расстояние s, - величины обратно пропорциональные: Рациональные числа и действия над ними с примерами решения. За какое время можно преодолеть расстояние 100 км, если двигаться с различными скоростями? Это видно из таблицы:

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Если нанести на координатную плоскость точки, координаты которых отвечают данным этой таблицы, и провести через них плавную кривую, получим график рассматриваемой зависимости (рис. 160). Графиком каждой обратно пропорциональной зависимости величин является аналогичная кривая линия.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Существуют приборы (термограф, барограф, кардиограф и др.), которые сами вычерчивают графики, специалисты должны уметь их «читать». Больше о различных графиках вы узнаете в старших классах.

Выполнение заданий:

Пример №85

Построим график движения велосипедиста, который 2 ч ехал со скоростью 10 км/ч, потом 1 ч отдыхал, после чего с такой же скоростью ехал еще 2 ч.

Решение:

Описанной ситуации отвечает приведенная ниже таблица.

Нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых отвечают данным этой таблицы, соединим их отрезками и получим график движения велосипедиста (рис. 161).

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Исторические сведения:

Отрицательные числа рассматривали китайские математики еще в V в. до н. э. Положительные числа они писали красной краской, а отрицательные черной. Однако отрицательные числа сначала использовали только некоторые ученые.

В Индии начиная с VII в. отрицательные числа связывали с долгом, а положительные — с имуществом. Правила действий с отрицательными и положительными числами сформулировали так: «сумма двух долгов есть долг», «сумма имущества и долга равна их разности», «произведение двух долгов является имуществом».

В Европе отрицательные числа стали известными только в XV в. Пользовались ими очень редко. Большинство европейских математиков называли их ненастоящими, вымышленными, абсурдными, ложными числами. Только начиная с XVTI в., когда ученые все чаще стали использовать координаты точек, они постепенно смирились с отрицательными числами. Теперь математика, физика и другие науки не могут обойтись без отрицательных чисел.

Название рациональные числа происходит от латинского слова «ratio», которое означает отношение. Ведь каждое рациональное число равно отношению некоторых двух целых чисел.

Латинские слова «plus» и «minus» означают соответственно больше и меньше.

Системы координат и графики уравнений первым стал рассматривать французский математик XVII в. Рене Декарт (1596-1650). Поэтому часто говорят о декартовой системе координат. Такие системы координат, графики и диаграммы сейчас используются во всех науках.

Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Простейшие уравнения ученые Древнего Египта решали почти 4 тысячи лет назад. Неизвестное число в уравнении они называли словом куча и предлагали, например, такие задачи.

Куча и ее седьмая часть составляют 19. Найдите кучу.

Этой задаче отвечает уравнение Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Обратите внимание на свойство, сформулированное на с. 242.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Это очень важное свойство, оно позволяет сравнительно легко решать много уравнений, которые без знания этого свойства решать очень трудно. Впервые это свойство обнаружил арабский математик IX в. Муххамед аль-Хорезми (Муххамед из Хорезма). Назвал он его словом «аль-джебр», которое означает восстановление. Дело в том, что раньше отрицательные числа считались ненастоящими. Если же отрицательное число перенести из одной части уравнения в другую, оно переходило из ненастоящего в настоящее, в этом усматривали его восстановление. Название книги, где впервые рассматривалось это свойство, начиналось словом Аль-джебр. Европейцы, сделав перевод книги на латинский язык, назвали ее словом Algebr. Вот так и возникла новая математическая наука - алгебра.

Перпендикулярные и параллельные прямые грамотные и мастеровые люди рассматривали еще несколько тысячелетий назад. Две прямые могут быть не только перпендикулярными или параллельными, но могут пересекаться под острыми углами или быть скрещивающимися. Более детально это и взаимное расположение других геометрических фигур рассматривает наука геометрия.

Самым древним разделом математики является арифметика - наука о числах и действиях с ними. В переводе с греческого «арифмос» означает число. Арифметика, как и геометрия, возникла в Древней Греции, еще до новой эры в процессе практической деятельности людей, связанной со счетом и измерениями. Учебный предмет с названием арифметика еще совсем недавно изучали в школе до 6-го класса.

Во всех старших классах средних школ изучают алгебру и геометрию. Это очень важные, полезные и интересные учебные дисциплины. Раздел «Рациональные числа» этого учебника - естественное введение в алгебру и геометрию, которые вы будете изучать, начиная с 7-го класса.

Главное в разделе:

В этом разделе вы ознакомились со множеством рациональных чисел. Это множество содержит все целые и дробные числа. Целые числа - это все натуральные числа, противоположные им числа (целые отрицательные) и нуль:

...-4, -3, -2, -1. О, 1, 2. 3, 4. 5,...

Любые два целых числа можно складывать, вычитать, умножать; в результате каждый раз будем получать целое число.

Модулем рационального числа называется это же число, если оно неотрицательное, или противоположное ему число, если оно отрицательное.

Каждое отрицательное число меньше нуля и каждого положительного числа; из двух отрицательных больше то, модуль которого меньше.

Любые два рациональных числа можно сложить, вычесть, умножить или разделить (за исключением деления на 0); в результате каждый раз получим рациональное число.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак слагаемого с большим модулем.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Выражение, содержащее сложение и вычитание рациональных чисел, можно заменить суммой.

Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно умножить их модули.

Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком минус.

Произведение, которое содержит четное число отрицательных множителей, - положительное, а содержащее нечетное число отрицательных множителей, - отрицательное.

Частное двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их модулей. Если знаки делимого и делителя разные, то перед частным их модулей надо поставить знак минус. Делить на 0 нельзя.

Основное свойство уравнения. Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, корни которого те же, что и данного.

Графиком (в простейших случаях) называют линию на координатной плоскости, которая показывает, как изменяются значения одной величины с изменением значений другой.