Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Содержание:

Зависимость, при которой каждому неотрицательному числу ставится в соответствие значение корня заданной четной степени, задает функцию Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Действительно, по свойствам арифметического корня существует единственный арифметический корень четной степени из неотрицательного числа, значит, каждому неотрицательному Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

При Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения функция принимает вид Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения свойства которой рассматривались в 8-м классе.

Для любого действительного числа существует единственный корень нечетной степени (по свойствам корня нечетной степени).

Рассмотрим свойства функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения для четных и нечетных показателей корня.

Функция y=2kx, где K∈N

Функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

1. Область определения функции. По свойству арифметического корня Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

2. Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. По определению арифметического корня из числа: Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения и Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения По свойству степени с натуральным показателем для любого Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения существует значение Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения т. е. множеством значений функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является множество неотрицательных чисел: Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

При Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения функция принимает наименьшее значение Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции. Так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то значение Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции, Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при всех Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

5. Промежутки монотонности функции. Функция возрастает на всей области определения.

Действительно, если Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения В противном случае Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

или Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения Противоречие доказывает утверждение.

6.Четность (нечетность) функции. Так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то функция не является четной и не является нечетной.

7. График функции. Графики функций Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения изображены на рисунке 120. Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Функция y=2k+1x, где K∈N

Функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  

1. Область определения функции. По свойству корня нечетной степени Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  

2. Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. По определению корня Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения По свойству степени с натуральным показателем для любого Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения существует Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения Таким образом, множеством значений функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является множество всех действительных чисел: Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Наибольшего и наименьшего значений у функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения не существует.  

3. Нули функции. Так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то значение Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является единственным нулем функции.  

4. Промежутки знакопостоянства функции, Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения если Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решенияСвойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решенияесли Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  

5. Промежутки монотонности функции. Функция возрастает на всей области определения.

Если Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения В противном случае Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения или Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  Противоречие доказывает утверждение.  

6. Четность (нечетность) функции. Так как область определения функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения симметрична относительно начала координат и Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

7. График функции. Графики функций Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения изображены на рисунке 121. Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Найдите область определения функции:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) Так как область определения корня четной степени есть множество неотрицательных чисел, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решим неравенство Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения получим Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

б) Так как область определения корня нечетной степени есть множество всех действительных чисел, то подкоренное выражение может принимать любые значения при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Пример №2

Найдите множество значений функции:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) Множеством значений функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является промежуток Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения По свойству неравенств: Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решенияСвойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения значит, Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

б)Множеством значений функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является множество всех действительных чисел  Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  Значит, и множеством значений функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является множество всех действительных чисел, т. е. Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Пример №3

Определите наименьшее значение функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

Так как функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения для четных Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения имеет наименьшее значение, равное нулю, при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 7 и достигается при Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Пример №4

Найдите нули функции:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) Так как значение корня Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения степени равно нулю, если его подкоренное выражение равно нулю, то решим уравнение Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения Его корни Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения являются нулями функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

б) Так как значение корня Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения степени равно нулю, если его подкоренное выражение равно нулю, то решим уравнение Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения Его корни Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения являются нулями функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Пример №5

Какие значения принимает функция на указанных промежутках:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) Так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения для Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения тоСвойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения принимает положительные значения для Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

б)Так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения не определена для отрицательных значений Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения из промежутка Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

в)Так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения принимает неотрицательные значения для Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

г)Так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения принимает неотрицательные значения для Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Пример №6

Расположите числа Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения в порядке возрастания.

Решение:

Запишем числа Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения в виде корней с одинаковыми показателями:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Поскольку функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения возрастает на промежутке Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения значит, Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Пример №7

Какой (четной или нечетной) является функция:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) Функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения является нечетной, так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при нечетном Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения есть нечетная функция.

б) Функция Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения ни четная, ни нечетная, так как Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения при четном Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения не является четной и не является нечетной функцией.

в)    Так как область определения функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения есть множество всех действительных чисел и Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то функция четная.

г)    Так как область определения функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения есть множество всех действительных чисел и Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения то функция четная.

Пример №8

Постройте график функции:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) График функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения получается из графика функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (рис. 122).

б)    График функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения получается из графика функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решениясдвигом на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (см. рис. 122). Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения  

Пример №9

Постройте график функции:

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

Решение:

а) График функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения получается из графика функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ( рис. 123) 

Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения

б) График функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения получается из графика функции Свойства и график функции y=n x (n>1, n∈N) с примерами решения сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (см. рис. 123)