Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Формулы синуса суммы и разности двух углов можно использовать для получения новых формул, необходимых для решения уравнений, изучения свойств функций и т. п.

Например, решим уравнение 

Для решения данного уравнения сумму 

Выведем формулу, преобразующую сумму синусов в произведение.

Сложим почленно два равенства:

Обозначим  и решим систему уравнений 

Подставим выражения для  в равенство  и получим формулу суммы синусов двух углов:

Вернемся к решению уравнения  и применим формулу суммы синусов: 
Ответ:  

Вычтя из равенства  равенство  можно получить формулу разности синусов двух углов: 

Аналогично, с помощью равенств  и  можно получить формулы

• суммы косинусов двух углов: 
• разности косинусов двух углов: 

Пример:

Представьте в виде произведения:

Решение:

Применим формулы преобразования суммы и разности в произведение и получим:

Пример:

Сократите дробь 

Решение:

Применим формулы суммы и разности синусов двух углов: 

Пример:

Найдите значение выражения 

Решение:

Применим формулу суммы косинусов:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Докажите тождество 

Решение:

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов двух углов:

Пример:

Вычислите:

Решение:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

а) Запишем уравнение в виде  и применим формулу разности синусов:

Ответ: 

б) Воспользуемся формулой разности косинусов и получим:

Ответ: