Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Формулы синуса суммы и разности двух углов можно использовать для получения новых формул, необходимых для решения уравнений, изучения свойств функций и т. п.

Например, решим уравнение Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Для решения данного уравнения сумму Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Выведем формулу, преобразующую сумму синусов в произведение.

Сложим почленно два равенства:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
Обозначим Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение и решим систему уравнений Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Подставим выражения для Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение в равенство Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведениеФормулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение и получим формулу суммы синусов двух углов: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведениеФормулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Вернемся к решению уравнения Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение и применим формулу суммы синусов: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведениеФормулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
Ответ:  Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Вычтя из равенства Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение равенство Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение можно получить формулу разности синусов двух углов: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Аналогично, с помощью равенств Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение и Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение можно получить формулы

  • суммы косинусов двух углов: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
  • разности косинусов двух углов: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Пример:

Представьте в виде произведения:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Решение:

Применим формулы преобразования суммы и разности в произведение и получим:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Пример:

Сократите дробь Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Решение:

Применим формулы суммы и разности синусов двух углов: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Пример:

Найдите значение выражения Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Решение:

Применим формулу суммы косинусов:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Пример:

Докажите тождество Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Решение:

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов двух углов:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
Пример:

Вычислите:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Решение:

 Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Пример:

Решите уравнение:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Решение:

а) Запишем уравнение в виде Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение и применим формулу разности синусов:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
Ответ: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

б) Воспользуемся формулой разности косинусов и получим:

Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение

Ответ: Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение