Формулы двойного аргумента с примерами решения

Содержание:

Преобразования тригонометрических выражений можно упростить, если рассмотреть частные случаи общих формул. Рассмотрим формулу синуса суммы 

Формула синуса двойного аргумента

Получили формулу синуса двойного аргумента: 

Выведем формулу косинуса двойного аргумента. Используем формулу косинуса суммы  для случая  и получим:

Формула косинуса двойного аргумента

Формула косинуса двойного аргумента: 

Для вывода формулы тангенса двойного аргумента рассмотрим формулу тангенса суммы  при  В этом случае имеем:

Формула тангенса двойного аргумента

Получили формулу тангенса двойного аргумента: 

Пример №1

Упростите выражение:

Решение:

Применим формулы двойного аргумента:

Пример №2

Вычислите:

Решение:

Применим формулы двойного аргумента «справа налево»:

Пример №3

Найдите значение выражения  двумя способами.

Решение:

Первый способ. Применим формулы приведения:

Второй способ. Применим формулу синуса двойного аргумента:

Пример №4

Представьте данный угол в виде 

Решение:

Пример №5

Преобразуйте каждое из выражений с помощью формул двойного угла: 

Решение:

Представим угол в каждом из выражений в виде  и применим формулу двойного аргумента:

Пример №6

Упростите выражение:

Решение:

Применим формулы двойного аргумента и получим:

Пример №7

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №8

Вычислите 

Решение:

Применим формулу тангенса двойного аргумента и получим:

Пример №9

Вычислите:

Решение:

б)    По формулам приведения

Пример №10

Вычислите  если 

Решение:

 Так как  или  Поскольку 

Ответ:   

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №11

Решите уравнение 

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента:

Ответ: 

Пример №12

Решите уравнение 

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и получим  или  Так как значения переменной, при которых  не являются корнями данного уравнения, то разделим обе части уравнения на  и получим 

Пусть  тогда уравнение примет вид  Ответ: 

Пример №13

Докажите тождество 

Решение:

Умножим и разделим выражение на  и применим формулу синуса двойного аргумента: