Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Содержание:

Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.

Угол 

Выведем формулу  — синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда  — острые углы в треугольнике  (рис. 115).

Выразим площадь треугольника  дважды:

Треугольник  — прямоугольный, тогда  Из прямоугольного треугольника  имеем:  и  Тогда

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Разделим обе части равенства на  и получим формулу синуса суммы двух углов:

• 

Если углы  не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если  являются углами второй четверти, то  — острые углы.

Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы: 

• 

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим: 

Применим формулы приведения к правой части равенства (3): 

Таким образом,

 — формула синуса суммы двух углов.

Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.

Синус суммы

Воспользуемся полученной формулой 

Выведем формулу синуса разности двух углов.

Для этого  представим в виде  и применим формулу синуса суммы двух углов:

Получили формулу синуса разности двух углов:

Синус разности

Вычислим, например, 

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим: 

Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:

Получили формулу косинуса суммы двух углов:

Косинус суммы

Применим полученную формулу и вычислим, например, 

Представив разность  в виде суммы   можно получить формулу косинуса разности двух углов: 

Косинус разности

Найдем, например, 

Пример №1

Вычислите:

 

Решение:

Применим полученные формулы «справа налево»: Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Разделим числитель и знаменатель дроби на  тогда:

Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например, 

Тангенс суммы

Представив разность  в виде суммы  можно получить формулу тангенса разности двух углов:

Найдем, например, 

Тангенс разности

 

Пример №2

Вычислите:

 

Решение:

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:

Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.

Примеры заданий и их решения

Пример №3

С помощью формул сложения преобразуйте выражение: 

Решение:

а) По формуле синуса разности получим:

б) Применим формулу тангенса суммы:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

а) По формуле синуса суммы получим: 

б)    По формулам приведения получим, что  

Тогда Воспользуемся формулой косинуса разности и получим: 

в)    По формулам приведения 

Тогда 

По формуле тангенса разности:

Пример №5

Вычислите:

Решение:

б) По формулам приведения: 

По формуле тангенса разности получим:

Таким образом,

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №6

Упростите выражение:

Решение:

а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:

б)    Применим формулу косинуса разности и получим:

Пример №7

Решите уравнение 

Решение:

Запишем уравнение в виде  и по формуле синуса разности получим: 

Ответ:  

Пример №8

Вычислите  если 

Решение:

Применим формулу косинуса разности:

Из основного тригонометрического тождества выразим  и найдем  Так как  то   Значит,  или  Поскольку  т. е.  угол второй четверти, то  Тогда

Пример №9

Докажите тождество 

Решение:

Воспользуемся формулами сложения и получим:

Пример №10

Найдите значение выражения:

Решение:

  9.

Пример №11

Найдите множество значений функции

Решение:

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде 

Так как   Таким образом, имеем: