Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Содержание:

При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На единичной окружности найдем точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ординаты которых равны Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияЭтим точкам соответствуют углы Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияи таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то на нем функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения такое что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так на промежутке Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениясуществует единственное значение аргумента, при котором значение функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения равно Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения — это угол равный Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения( рис.93) 

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 94).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №1

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

  Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №2

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 95, б).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения где Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения с ординатами Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения отличаются только знаком, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 96).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения тогда Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как точкиАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения имеют противоположные ординаты, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то по определению арксинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Отметим, что областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла.

Например, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  не имеют смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арксинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Рассмотрим промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения на котором функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения возрастает и принимает все значения от Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения до 1. Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения такое, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения косинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 97).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
 

Пример №3

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №4

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( рис. 98.а)

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( рис.98.б)

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( см.98) 

Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так как точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения имеют противоположные абсциссы, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то по определению арккосинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 99).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла.

Так, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеют смысла, поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арккосинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения тангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 100).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №5

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 101).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения 

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №6

Найдите значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арктангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения котангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 102).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №7

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 103).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №8

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Из определения арккотангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

а) Верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

б)    верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

в)    неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

г)    неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №10

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №11

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №12

Оцените значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

По определению арктангенса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 а) По определению арксинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения это угол, синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

б)    По определению арккосинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения это угол, косинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №14

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №15

Вычислите Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №16

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №17

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения