Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Содержание:

Определение функции y=tg x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример:

Определите, принадлежит ли графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения точка:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Подставим в формулу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значение аргумента Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения и найдем соответствующее значение функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Полученное значение функции равно ординате точки Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значит, точка Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принадлежит графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Точка Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не принадлежит графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

в) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения — не существует. Точка Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не принадлежит графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Определение функции y=ctg x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения соответствует значение Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения называется функцией Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример:

Верно ли, что график функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения проходит через точку:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Подставим в формулу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значение аргумента Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения и найдем соответствующее значение функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Полученное значение функции равно ординате точки Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значит, график функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения проходит через точку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Верно.

б) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияне проходит через точку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Неверно.

в) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не существует. График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не проходит через точку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Неверно.

Свойства функций y=tg x и y=ctg x

Рассмотрим свойства этих функций:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

График функции y=tg x

График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения изображен на рисунке 88. Он называется тангенсоидой.

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

График функции y=ctg x

График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения изображен на рисунке 89. Этот график может быть получен путем преобразования графика функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Найдите область определения функции:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Так как область определения функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения это все действительные числа, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения то Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) Областью определения функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения является множество всех действительных чисел, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Область определения данной функции — это все действительные числа, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №2

Найдите множество значений функции:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Так как множество значений функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения это множество всех действительных чисел, то и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) Так как множество значений функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения это множество всех действительных чисел, то и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №3

Используя свойство периодичности функций Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения найдите:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Так как число Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения является наименьшим положительным периодом функций Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Тогда:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №4

Используя свойство нечетности функций Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения найдите:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Так как функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения являются нечетными, то Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Тогда:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №5

Определите знак произведения Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Так как Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения т. е. угол 2 радиана принадлежит промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принимает отрицательные значения, значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Угол 4,5 радиана принадлежит промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принимает положительные значения, значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Угол 7 радиан принадлежит промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принимает положительные значения, т. е. Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №6

Что больше: Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Поскольку углы Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принадлежат промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения убывает и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения то Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №7

Постройте график функции:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получаем сдвигом графика функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения вдоль оси абсцисс на Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения вправо (рис. 90).

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получаем сдвигом графика функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решениявдоль оси ординат на 1 единицу вверх (рис. 91).

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения