Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Содержание:

Построим точку 

По определению тангенса острого угла получим: 

Определение тангенса угла

Определение:

Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к косинусу угла 

Например, 
Используя определение тангенса угла и значения синуса и косинуса этого угла, найдем также значения тангенсов углов 

Поскольку  не существует.

Через точку  проведем прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и продолжим луч  до пересечения с этой прямой в точке  (рис. 52). Получим треугольник  подобный треугольнику 

Из подобия треугольников  запишем равенство отношений их сторон: 

Поскольку  то ордината точки  равна тангенсу угла 

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, проходящая через точку  называется осью тангенсов.

Нахождение тангенса произвольного угла

Для того чтобы найти тангенс произвольного угла а с помощью оси тангенсов, нужно:

1. Построить точку  на единичной окружности.
2. Продолжить прямую  до пересечения с осью тангенсов.
3. Найти ординату точки пересечения прямой  с осью тангенсов.

Найдите тангенс угла 

Значения тангенса произвольного угла с помощью оси тангенсов можно указать только приближенно. Для нахождения значения тангенса произвольного угла используют четырехзначные таблицы значений тангенса (синуса, косинуса)* или калькулятор. Методы высшей математики позволяют вычислять значения тангенса (синуса, косинуса) с любой заданной степенью точности.
 

Пример №1

Определите с помощью оси тангенсов:

Решение:

Пример №2

С помощью оси тангенсов сравните значения выражений 

Решение:

Отметим на оси тангенсов точки, соответствующие углам  (рис. 55), и сравним ординаты этих точек. Ордината точки  больше ординаты точки  значит, 

Для углов  тангенс не существует, так как косинусы этих углов равны нулю. Например,  не существуют.
Построим точку  единичной окружности поворотом точки  вокруг начала координат на угол  Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором гипотенуза  равна 1 (радиусу единичной окружности), а его катеты равны:  (рис. 56).

По определению котангенса острого угла получим: 

Определение котангенса угла

Определение:

Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к синусу  угла 

Например, 
Поскольку 

Воспользуемся полученным равенством и найдем значения котангенсов углов 

Поскольку  не существует.

Найденные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов   занесем в таблицу.

Нахождение котангенса произвольного угла

Для того чтобы найти котангенс произвольного угла  с помощью оси котангенсов, нужно:

1. Построить точку  на единичной окружности.
2. Продолжить прямую  до пересечения с осью котангенсов.
3. Найти абсциссу точки пересечения прямой  с осью котангенсов.

Значения котангенса произвольного угла с помощью оси котангенсов можно указать только приближенно.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №3

Найдите значение выражения

 

Решение:

Через точку  проведем прямую, перпендикулярную оси ординат, и продолжим луч  до пересечения с этой прямой в точке  (рис. 57).

Получим треугольник  подобный треугольнику 

Из подобия треугольников  запишем равенство отношений их сторон:  Поскольку  то абсцисса точки  равна котангенсу угла 

Прямая, перпендикулярная оси ординат, проходящая через точку называется осью котангенсов.

Пример №4

Определите с помощью оси котангенсов:

Решение:

Пример №5

С помощью оси котангенсов сравните значения выражений 

Решение:

Отметим на оси котангенсов точки, соответствующие углам  (рис. 60), и сравним абсциссы этих точек. Абсцисса точки  больше абсциссы точки  значит, 

Для углов  и т. д. котангенс не существует, так как синусы этих углов равны нулю. Например,  не существуют.

Пример №6

С помощью оси:

а)    тангенсов найдите один из углов, тангенс которого равен 

б)    котангенсов найдите один из углов, котангенс которого равен

Решение:

а) 1 Отметим на оси тангенсов точку  ордината которой равна  (рис. 61). 

2 Соединим эту точку с началом координат.

3 Найдем соответствующую точку  на единичной окружности.

4 Отметим один из углов, соответствующий этой точке (см. рис. 61).

б) 1 Отметим на оси котангенсов точку  абсцисса которой равна  (рис. 62). 

2 Соединим эту точку с началом координат.

3 Найдем соответствующую точку  на единичной окружности.

4 Отметим один из углов, соответствующий этой точке (см. рис. 62).

Пример №7

Точка  единичной окружности имеет координаты   Используя определение тангенса и котангенса произвольного угла, найдите 

Решение:

Так как точка  единичной окружности имеет координаты 
По определению тангенса: 

По определению котангенса:  значит, 

Пример №8

Найдите значение выражения 

Решение:

Пример №9

Найдите, если это возможно, значение выражения: 

Решение:

 не существует, так как 

не существует, так как 

Пример №10

Если  то  может принимать значения:

Выберите правильные ответы.

Решение:

Так как тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к косинусу угла , то нужно найти те углы  синус которых равен нулю. Среди предложенных углов это углы 

Можно также использовать ось тангенсов: найти точку на оси тангенсов, у которой ордината равна нулю (рис. 63), и определить соответствующие углы. Правильные ответы а) и г).

Пример №11

Расположите в порядке возрастания: 

Решение:

Отметим на оси тангенсов точки, соответствующие углам  (рис. 64), и сравним ординаты этих точек. Поскольку ордината точки  меньше ординаты точки  а ордината точки  меньше ординаты точки 

Пример №12

Верно ли, что 

Решение:

Отметим на оси котангенсов точки, соответствующие углам  (рис. 65), и сравним абсциссы этих точек. Поскольку абсцисса точки  больше абсциссы точки  то неравенство верное.

Пример №13

Определите знак выражения: 

Решение:

а) Первый способ. По определению тангенса:  Так как угол  находится во второй четверти, то  значит,  Второй способ. Отметим на оси тангенсов точку, соответствующую углу  (рис. 66). Ордината точки  равна  Поскольку точка  имеет отрицательную ординату, то 

б) Первый способ. По определению котангенса Так как угол  находится в третьей четверти, то значит, 

Второй способ. Отметим на оси котангенсов точку, соответствующую углу  (рис. 67). Абсцисса точки  равна  Поскольку точка  имеет положительную абсциссу, то 

Пример №14

Определите знак произведения 

Решение:

Так как угол 3 радиана находится во второй четверти, а угол 4 радиана — в третьей, то  значит,