Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Содержание:

Рассматривая произвольное действительное число

Таким образом, мы установим соответствие между множеством действительных чисел и множеством значений синусов углов. Каждому действительному числу соответствует единственное значение синуса. Такое соответствие определяет тригонометрическую функцию 

Определение функция y=sin x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу  соответствует значение  называется функцией 

Рассмотрим свойства функции  и построим ее график:

Область определения функции y=sin x

Областью определения функции  является множество всех действительных чисел, так как для любого  существует 

Графически это означает, что для любой абсциссы найдется точка графика функции 

Множеством значений функции y=sin x

Множеством значений функции  является промежуток  так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от -1 до 1.

Графически это означает, что график функции  расположен в полосе между прямыми  (рис. 74).

 

Периодичность функции y=sin x

Периодичность функции Точки единичной окружности  совпадают для любого  (рис. 75), значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е. 

Говорят, что число  является периодом функции 

Определение:

Функция  называется периодической функцией с периодом  если для любого значения  из области определения функции числа  также принадлежат области определения и при этом верно равенство

Чтобы определить, является ли функция периодической с периодом  необходимо проверить:

1. принадлежат ли области определения функции числа  если  принадлежит области определения функции;
2. выполняется ли равенство 

Определим, верно ли, что число  является периодом функции 

1. Числа  принадлежат области определения функции, так как 
2. Проверим, выполняется ли равенство  для всех 

Пусть 

Значит, число  не является периодом функции 

Периодом функции  являются числа вида  Число  является наименьшим положительным периодом функции 

Функция  является периодической с наименьшим положительным периодом  (рис. 76). Это означает, что ее график состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно его построить на отрезке длиной  (например,  а затем повторить построение на каждом следующем отрезке длиной 

Четность (нечетность) функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x  — симметрична относительно нуля. Так как точки  единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого  то ординаты этих точек противоположны, т. е.  (рис. 77). Значит, функция  нечетная.

Для построения ее графика достаточно построить его часть для неотрицательных значений аргумента и отобразить эту часть симметрично относительно начала координат.

Нули функции y=sin x

Нули функции. Ординаты точек  и  равны нулю. Значит,  в точка  (рис. 78), т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами 

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

На промежутках  функция  принимает положительные значения, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях (рис. 79, а).

На промежутках функция  принимает отрицательные значения, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях (рис. 79, б).

Монотонность функции y=sin x

Монотонность функции. Так как ординаты точек единичной окружности увеличиваются от -1 до 1 при изменении угла от  (рис. 80, а) и уменьшаются от 1 до -1 при изменении угла от  (рис. 80, б), то с учетом периодичности определим промежутки возрастания функции  и промежутки убывания функции 

Функции  возрастает на промежутках  и убывает на промежутках 
Наибольшее значение функции  равно 1 и достигается в точках 

Наименьшее значение функции  равно  и достигается в точках 

На основании проведенного исследования построим график функции  на отрезке от  длина которого равна  т. е. длине периода функции 

На этом периоде функция 

•     равна нулю в точках 
•     достигает значений, равных 1 и -1, соответственно в точках 
•     принимает положительные значения при значениях аргумента от 0 до  а отрицательные — при значениях аргумента от  до 0;
• возрастает от  и убывает от 

На рисунке 81 изображена часть графика функции  на промежутке от 

Перенесем эту часть на другие периоды и получим график функции (рис. 82). График функции  называется синусоидой.

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Определите, принадлежит ли графику функции  точка: 

Решение:

а) Подставим в формулу  значение аргумента  найдем соответствующее значение функции 

Полученное значение функции равно ординате точки  значит, точка  принадлежит графику функции 

б)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

в)    При  получим  Точка  принадлежит графику функции 

г)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции:

Решение:

а) Так как область определения функции  все действительные числа, т.е значит,    Таким образом, 

Множеством значений функции  является отрезок  значит,  Тогда по свойству неравенств  Таким образом, 

б)  Поскольку  то по свойству неравенств

 т.е. 

Пример №3

Найдите наибольшее значение функции 

Решение:

Так как  значит,  тогда  Таким образом, имеем:  Наибольшее значение функции  равно 7.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Найдите значение выражения, используя свойство периодичности функции 

Решение:

Так как число  является наименьшим положительным периодом функции  Тогда:

Пример №5

Найдите значение выражения, используя свойство нечетности функции 

Решение:

Так как функция  нечетная, то

 Тогда:

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Решение:

a)  — область определения симметрична относительно нуля;

 значит, функция является нечетной.

 область определения симметрична относительно нуля; 

значит, функция является четной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Решение:

а) Пусть  Нулями функции  являются числа Тогда  значит,  Таким тобразом, числа  являются нулями функции 

б) Пусть    Нулями функции  являются числа  Тогда  значит, 

Таким образом, числа  являются нулями функции 

Пример №8

Определите знак произведения 

Решение:

Так как  то  т. е. угол 4 радиана принадлежит промежутку  на котором функция  принимает отрицательные значения, значит, 

Углы 2 радиана и 1 радиан принадлежат промежутку  на котором функция  принимает положительные значения, т. е.  Значит, 

Пример №9

Что больше:  или 

Решение. Так как функция  возрастает на промежутке то из того, что следует, что 

Пример №10

Постройте график функции:

Решение:

а) График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси абсцисс на  влево (рис. 84).

б)    График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 85).