Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Единичная окружность - с примерами решения

Содержание:

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Единичная окружность - с примерами решения

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью. Единичная окружность - с примерами решения

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

  • начало отсчета — точку Единичная окружность - с примерами решения
  • направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)). Единичная окружность - с примерами решения

Точки на окружности будем получать путем поворота точки Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка Единичная окружность - с примерами решения (рис. 5) получена поворотом

  • точки Единичная окружность - с примерами решения (указывается, какая точка поворачивается)
  • вокруг начала координат (указывается центр поворота)
  • на угол Единичная окружность - с примерами решения (указывается, на какой угол выполняется поворот — угол поворота).

Таким образом, при повороте точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения в заданном направлении получается точка Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 6).

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №2

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как поворот на Единичная окружность - с примерами решения соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки Единичная окружность - с примерами решения против часовой стрелки на Единичная окружность - с примерами решения (полный оборот). Точка Единичная окружность - с примерами решения совпадет с точкой Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, а).

Единичная окружность - с примерами решения

б) Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, б).

в) Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 9).

Единичная окружность - с примерами решения

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности Единичная окружность - с примерами решения получим, что длина единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения равна Единичная окружность - с примерами решения

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки Единичная окружность - с примерами решения соответствующие углам поворота Единичная окружность - с примерами решения (четверть окружности), Единичная окружность - с примерами решения (половина окружности), Единичная окружность - с примерами решения (три четверти окружности), Единичная окружность - с примерами решения (вся окружность).

Числа Единичная окружность - с примерами решения - это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как Единичная окружность - с примерами решения радиан соответствует Единичная окружность - с примерами решения то градусная мера угла в 1 радиан равна:

Единичная окружность - с примерами решения

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Чтобы выразить радианную меру угла Единичная окружность - с примерами решения в градусной, число Единичная окружность - с примерами решения умножить на Единичная окружность - с примерами решения

Например,

Единичная окружность - с примерами решения

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

Пример №5

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 13).

Единичная окружность - с примерами решения

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка Единичная окружность - с примерами решения говорят, что в такой же четверти находится угол Единичная окружность - с примерами решения

Например, углы Единичная окружность - с примерами решения находятся в первой четверти, углы Единичная окружность - с примерами решения и Единичная окружность - с примерами решения находятся во второй четверти, углы Единичная окружность - с примерами решения находятся в третьей четверти, а угол Единичная окружность - с примерами решения находится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы Единичная окружность - с примерами решения соответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Единичная окружность - с примерами решения Так какЕдиничная окружность - с примерами решения то данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение.

а) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 15, а).

б) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (см. рис. 15, а).

в) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

Единичная окружность - с примерами решения

г) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

Единичная окружность - с примерами решения — единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку Единичная окружность - с примерами решения то, для того чтобы получить точку Единичная окружность - с примерами решения нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 16, а).

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 17, а).

б) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы Единичная окружность - с примерами решения для которых точка Единичная окружность - с примерами решения совпадает с точкой:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решенияТак как, например, Единичная окружность - с примерами решения и т. п., то точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения совпадают с точкой Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов Единичная окружность - с примерами решения для которых точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки Единичная окружность - с примерами решения на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом, Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 19, а).

б) Поскольку Единичная окружность - с примерами решения то точка Единичная окружность - с примерами решения совпадает с точкой Единичная окружность - с примерами решения (рис. 19, б).

Единичная окружность - с примерами решения