Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Для того чтобы научиться понимать и вычислять производную нужно изучить основы математики, поэтому приступаем к изучению понятия производной.

Содержание:

Понятие производной

Рассмотрим последовательность

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:

Если члены этой последовательности изображать точками на координатной прямой, то эти точки будут располагаться все ближе и ближе к точке с координатой (рис. 1.1).

Иными словами, значение выражения с увеличением номера становится все меньшим и меньшим. Имеем:

Тогда, например, решив неравенство устанавливаем, что а решив неравенство устанавливаем, что при и т. д. Вообще, начиная с некоторого номера значение выражения становится меньше любого наперед заданного положительного числа (читают «эпсилон»).

Найти можно, решив неравенство В этом случае говорят, что число является пределом последовательности

Говорят также, что с увеличением номера лены последовательности стремятся к числу .

Рассмотрим последовательность заданную формулой члена

Предел числовой последовательности

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:

С увеличением номера члены последовательности стремятся к числу (рис. 1.2).

Это означает, что для любого положительного числа можно указать такой номер что для всех выполняется неравенство Поскольку

то номер можно найти, решив неравенство

Определение. Числоназывают пределом последовательности если для любого положительного числа существует такой номер что для всех выполняется неравенство

Пишут: (тут lim, — это начальные буквы французского слова limite — предел). Для примеров, рассмотренных выше, можно записать:

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся.

Можно доказать, что каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Пример №1

Последовательность задана формулой Найдите

Решение:

Докажем, что Действительно, при всех Поэтому для произвольного положительного числа и для всех выполняется неравенство Отсюда

Ответ: 4.

Производная и её применение

Последовательность все члены которой равны, называют стационарной. Аналогично примеру можно доказать, что каждая стационарная последовательность где имеет предел, равный числу

Понятие предела последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию

Неравенство вида равносильно неравенствам то есть

Это означает, что если то для любого найдется номер начиная с которого все члены последовательности принадлежат интервалу Иными словами, каким бы малым не был интервал члены последовательности, сходящейся к числу рано или поздно попадут в этот интервал и уже никогда не выйдут за его границы, то есть вне указанного интервала может находиться только конечное количество членов последовательности

Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Например, последовательность заданная формулой  является расходящейся, так как любой интервал содержит только конечное количество членов последовательности (рис. 1.3).

Расходящейся является и последовательностьзаданная формулой Действительно, предположим, что последовательность является сходящейся и

Тогда для вне интервала длина которого равна должно находиться только конечное количество членов последовательности Выписав несколько первых членов последовательности видим, что ни при какоминтервал не может содержать числаодновременно (рис. 1.4). Это означает, что вне интервала находится бесконечное количество членов последовательности: илиили

Обращаясь к геометрической интерпретации, промежуток вида часто называют интервалом, а промежуток вида отрезком.

Следовательно, расходящаяся последовательность. Находить пределы числовых последовательностей помогает следующая теорема.

Теорема 1.1 (об арифметических действиях с пределами последовательностей). Если последовательности сходящиеся, то последовательности также являются сходящимися, причем

Если, кроме этого, при всех то сходящейся также является последовательность причем

Доказательство теоремы проведем только для последовательности Для последовательностей и с доказательством теоремы вы сможете ознакомиться, например, по учебнику «Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики», п. 46.

Пусть Тогда для произвольного числа существует такой номерчто для всехвыполняется неравенство то есть

Аналогично, пусть Тогда для произвольного числасуществует такой номер что для всехвыполняется неравенството есть

Выберем такой номер что и Тогда для всеходновременно выполняются неравенства и Сложив эти неравенства, получим

Если для любого числа выбрать то последнее неравенство можно переписать в виде

Таким образом, для любогосуществует такой номер что для всех выполняется неравенство . Это значит, что последовательность является сходящейся и

Пример №2

Найдите

Решение:

Имеем:

Последовательность с общим членом представлена в виде суммы двух сходящихся последовательностей с общими членами Тогда можно записать:

Пример №3

Вычислите предел

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби на

В числителе и знаменателе полученной дроби записаны общие члены сходящихся последовательностей. Тогда:

Теорема 1.2. Если последовательность является сходящейся и при всех то последовательность с общим членом также является сходящейся, причем

Пример №4

Вычислите предел

Решение:

Проведем тождественные преобразования:

Теперь получаем

Представление о пределе функции в точке и о непрерывности функции в точке

Рассмотрим функцию и точку Если значения аргумента стремятся к числу (обозначают ), то соответствующие значения функции стремятся к числу (рис. 2.1).

Иными словами: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к числу , то соответствующие значения функции будут все меньше и меньше отличаться от числа .

В этом случае говорят, что число является пределом функции в точке , и записывают или

Также используют такую запись: Например, с помощью рисунка 2.2 можно сделать вывод, что

Если обратиться к рисунку 2.3, то можно записать:

На рисунке 2.4 изображен график функции Эта функция не определена в точке а во всех других точках совпадает с функцией (сравните рис. 2.1 и рис. 2.4). Однако если значения аргумента где стремятся к числу , то соответствующие значения функции стремятся к числу то есть

Этот пример показывает, что функция может быть не определена в точке, но иметь предел в этой точке.

Рассмотрим функцию При получаем при получаем График функции изображен на рисунке 2.5.

Если значения аргумента где стремятся к то невозможно утверждать, что значения функции стремятся к какому-нибудь определенному числу. Действительно, если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь отрицательными, то соответствующие значения функции стремятся к а если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции стремятся к

Поэтому функцияв точке не имеет предела.

Рассмотрим функцию (рис. 2.6). Если значения где стремятся к то соответствующие значения функции становятся все большими и большими. Поэтому не существует числа, к которому стремятся значения функции при условии, что значения аргумента стремятся к

Следовательно, функция не имеет предела в точке

Мы привели примеры двух функций, которые не определены в некоторой точке и не имеют предела в этой точке.

Ошибочным было бы считать, что если функция определена в некоторой точке то она обязательно имеет предел в этой точке. На рисунке 2.7 изображен график функции , которая определена в точке но не имеет предела в этой точке.

На рисунке 2.8 изображены графики функций и которые определены в точке и имеют предел в этой точке. Однако поведение этих функций в точке существенно различается. График функции в отличие от графика функции в точке имеет разрыв. Такое различие поведения функций и в точке можно охарактеризовать с помощью предела.

Для функции имеем: Для функции можно записать:

Иными словами: предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

В таком случае говорят, что функция является непрерывной в точке .

Из равенства следует, что если функция не имеет предела в точке или не определена в этой точке, то она не может быть непрерывной в точке .

Например, функция, график которой изображен на рисунке 2.7, не является непрерывной в точке . Также не является непрерывной в точке функция (рис. 2.9).

Если функция является непрерывной в каждой точке некоторого множества то говорят, что она непрерывна на множестве

Например, функция непрерывна на а функция является непрерывной на каждом из промежутков и

Если функция является непрерывной на то такую функцию называют непрерывной.

Определение предела функции в точке

В предыдущем пункте вы получили представление о пределе функции в точке. Перейдем к формированию строгого определения.

На рисунке 3.1 изображен график функции и на осях абсцисс и ординат отмечены соответственно точки и Заметим, что

Пусть некоторое положительное число. На оси ординат рассмотрим интервал На оси абсцисс ему соответствует такой интервал содержащий точку , что для любого соответствующие значения функции принадлежат промежутку то есть выполняются неравенства Иными словами, для любого выполняется неравенство

Сузим промежуток на оси ординат, то есть рассмотрим интервал где Тогда для числа можно указать такой интервал оси абсцисс, содержащий точку , что для любого выполняется неравенство (рис. 3.1).

На рисунке 3.2 изображен график такой функции , что Рисунок 3.3 соответствует функции , для которой

В каждом из случаев, изображенных на рисунках 3.1-3.3, для любого можно указать такой интервал содержащий точку , что для всех выполняется неравенство

Приведенные соображения позволяют дать такое определение предела функции в точке .

Определение. Число а называют пред ел ом функции в точке , если для любого положительного числа существует такой интервал содержащий точку что для любого выполняется неравенство

Заметим, что предел функции в точке характеризует значения функции вокруг точки , в то время как поведение функции в самой точке не влияет на значение предела (обратите внимание на условие в определении предела). Поэтому для каждой из функций , графики которых изображены на рис. 3.1-3.3, можно записать

На рисунке 3.4 точка такова, что слева (справа) от нее нет точек, принадлежащих области определения функции .

В каждом из случаев, изображенных на этом рисунке, для любого можно указать такой интервал содержащий точку , что для всех выполняется неравенство Это означает, что число является пределом функции в точке .

Если интервал содержит точку , то существует такое положительное число что промежуток принадлежит (рис. 3.5). Интервал называют окрестностью точки . Объединение интервалов называют проколотой окрестностью точки (рис. 3.6).

Очевидно, что при множеством решений неравенства является окрестность точки , а множеством решений двойного неравенства является проколотая окрестность точки .

Тогда, если точка принадлежит интервалу , то этот интервал содержит некоторую проколотую окрестность точки , то есть множество, являющееся решением двойного неравенства где некоторое положительное число (рис. 3.7).

Теперь приведенное определение предела функции в точке можно переформулировать так.

Определение. Число называют пределом функции в точке если для любого положительного числа существует такое положительное число что для всех из неравенств следует неравенство

Рисунок 3.8 иллюстрирует это определение.

Замечание. Если существует проколотая окрестность точки , в которой функция не определена (рис. 3.9), то предел функции в точке не определяют.

Пример №5

С помощью определения предела функции в точке докажите, что

Решение:

Для каждого положительного числа рассмотрим неравенство

Преобразовав его, запишем

Полученное неравенство подсказывает, каким образом для данного можно найти подходящее число

Пусть Тогда из условия следует, что Отсюда

Сказанное означает, что число является пределом функции в точке

Пример №6

Докажите, что

Решение:

Функция при совпадает с функцией

А поскольку значение предела функции в точке не зависит от того, определена ли функция в этой точке, то достаточно показать, что

Рассмотрим неравенство где некоторое положительное число. После преобразований получаем Теперь понятно, как можно выбрать Возьмем Тогда из условия следует, что Отсюда Тем самым доказано, что

Пример №7

Докажите, что функция не имеет предела в точке

Решение:

Предположим, что предел функции в точке существует и равен Покажем, что, например, для невозможно подобрать такое чтобы из неравенств следовало неравенство

Если то неравенство становится таким: Отсюда

Если то неравенство становится таким: Отсюда

Поскольку не существует значений которые бы удовлетворяли каждому из неравенств и то функция в точке не имеет предела.

Теорема об арифметических действиях с пределами функций в точке

Находить предел функции в точке с помощью определения предела задача трудоемкая. Облегчить процесс поиска предела позволяет теорема об арифметических действиях с пределами функций

Теорема 4.1 (об арифметических действиях с пределами функций). Если функции и имеют предел в точке то функции также имеют предел в точке причем

Если, кроме этого, предел функции в точке отличен от нуля, то функция также имеет предел в точке и

Фактически теорема 4.1 состоит из четырех теорем, которые называют теоремами о пределе суммы, пределе разности, пределе произведения и пределе частного.

В теореме рассматриваются функции, которые определены в одних и тех же точках некоторой проколотой окрестности точки

Следствие. Если функция имеет предел в точке и произвольная постоянная, то функция также имеет предел в точке причем

Справедливость следствия следует из теоремы о пределе произведения и ключевой задачи 3.3.

Пример №8

Докажите, что

Решение:

Из ключевой задачи 3.4 следует, что

Тогда, если функцию представить в виде то можно применить теорему о пределе произведения. Имеем:

Пример №9

Найдите

Решение:

Поскольку то нельзя применить теорему о пределе частного к функции Преобразуем выражение

Имеем:

Рассмотрим функцию Так как функции и отличаются только поведением в точке то Используя теорему об арифметических действиях с пределами функций, получаем

Пример №10

Найдите где

Решение:

Рассмотрим функцию

Поскольку в любой проколотой окрестности точки функции и совпадают (рис. 4.1), то достаточно найти

Используя теорему об арифметических действиях с пределами функций, запишем:

Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций

В пункте 2 вы получили представление о функциях, непрерывных в точке. Рассмотрим это понятие глубже и детальнее.

На рисунке 5.1 изображены графики функций и которые определены в точке и имеют предел в этой точке.

Для функции имеем: Для функции можно записать:

Определение. Если выполняется равенство то функцию называют непрерывной в точке

Если в некоторой окрестности точки функция определена только в точке (рис. 5.2), то предел такой функции в точке не определяют. Поэтому равенство проверить невозможно. Однако договорились и такую функцию считать непрерывной в точке . Например, функция является непрерывной в точке а функция является непрерывной в каждой из точек вида

Из теоремы об арифметических действиях с пределами функций следует, что если и то:

при условии, что

Используя эти равенства, можно доказать следующую теорему.

Теорема 5.1 (об арифметических действиях с непрерывными функциями). Если функции и непрерывны в точке то в этой точке непрерывными являются и функции и (последняя при условии, что

Используя теорему об арифметических действиях с непрерывными функциями, получаем, что каждая из функций многочлены является непрерывной.

Заметим, что если функция непрерывна на то она непрерывна на любом числовом промежутке (рис. 5.3).

Можно показать что для любого выполняется равенство Это означает, что функция непрерывна.

Функцию видагде многочлены, называют рациональной.

Пусть функции и определены на некоторых промежутках. Из наглядных соображений очевидно, что если графики функций и являются равными фигурами и функция непрерывна, то функция также непрерывна.

В 10 классе было показано, что график функции можно получить из графика функции в результате параллельного переноса на вектор с координатами (рис. 5.4). Таким образом, непрерывность функции следует из непрерывности функции

Поскольку функции и непрерывные, то из теоремы об арифметических действиях с непрерывными функциями следует, что функции и также являются непрерывными.

Вы знаете, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Поэтому если обратимая функция определена на некотором промежутке и непрерывна, то обратная к ней функция также будет непрерывной.

Как было установлено выше, функция является непрерывной. Тогда и обратимая функция непрерывная. Следовательно, обратная к ней функция также является непрерывной.

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что функция непрерывная. Таким же образом устанавливаем, что непрерывными являются и функции

Пример №11

Выясните, является ли функция непрерывной в точке

Решение:

Имеем: Вычислим Запишем:

Получили, что Следовательно, функция в точке не является непрерывной. Полученный вывод проиллюстрирован на рисунке 5.5.

Рассмотрим ряд важных свойств непрерывных функций

Теорема 5.2 (о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна в точке а функция непрерывна в точке где то сложная функция непрерывна в точке

Например, функция непрерывна в точке функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке Рассуждая аналогично, можно показать, что сложная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Еще примеры. Функции и непрерывны. Тогда сложная функция также является непрерывной.

Каждая из функций и является непрерывной. Тогда сложная функция то есть функция также является непрерывной.

Доказательство этих свойств выходит за пределы школьной программы.

Пример №12

Вычислите

Решение:

Поскольку функция является непрерывной, то Следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Поскольку функция является непрерывной, то можно записать

Теорема 5.3 (теорема Больцано —Коши). Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков, то существует такая точка что

Больцано —Коши - Чешский математик, философ и логик. Возглавлял кафедру истории религии в Пражском университете. При жизни напечатал (анонимно) только 5 небольших математических трудов, основную часть его рукописного наследия ученые исследовали уже после его смерти. Трактат «Учение о функциях», написанный в 1830 г., увидел свет только через 100 лет. В нем Больцано, за много лет до Вейерштрасса и Коши, формулирует и доказывает ряд положений математического анализа. В работе «Парадоксы бесконечности» Больцано рассматривал вопросы мощности бесконечных множеств; в работе «Науковедение» выдвинул ряд идей, предшествовавших математической логике.

Эта теорема наглядно очевидна. Действительно, если точки, лежащие в разных полуплоскостях относительно оси абсцисс, соединить непрерывной кривой, то эта кривая обязательно пересечет ось абсцисс (рис. 5.6).

Следствие. Если функция непрерывна и не имеет нулей на некотором промежутке функция непрерывна и не имеет нулей на некотором промежутке то она на этом промежутке сохраняет знак (рис. 5.7).

Доказательство. Предположим, что данная функция на промежутке не сохраняет знак, то есть существуют такие и где что числа и имеют разные знаки (рис. 5.6). Тогда по теореме Больцано-Коши существует точка такая, что Получили противоречие.

Напомним, что это следствие лежит в основе метода интервалов для решения неравенств.

Пример №13

Докажите, что уравнение имеет корень.

Решение:

Рассмотрим непрерывную функцию

Имеем:

Следовательно, по теореме Больцано-Коши на отрезке уравнение имеет корень.

Не каждая функция, определенная на отрезке достигает на этом промежутке своих наибольшего и найменьшего значений. Это иллюстрирует рисунок 5.8.

Однако для непрерывных функций имеет место такая теорема.

Теорема 5.4 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке то она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Эта теорема наглядно очевидна. Если две точки на координатной плоскости соединить непрерывной кривой, то на этой кривой найдутся точки с наибольшей и наименьшей ординатами (рис. 5.9).

Отметим, что если в теореме Вейерштрасса отрезок заменить промежутком другого вида, например интервалом то эта теорема может не выполняться. Так, функция непрерывная на промежутке

не достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Покажем, как понятие непрерывности помогает находить область значений функции.

Пусть о функции известно, что Верно ли, что

Рисунок 5.10 показывает, что ответ на этот вопрос отрицательный: число 3 не принадлежит области значений этой функции. Однако если областью определения непрерывной функции является некоторый промежуток, то ответ на поставленный вопрос будет положительным.

Теорема 5.5. Если областью определения непрерывной функции является некоторый промежуток и и то

Доказательство. Пусть числа и таковы, что и (случай, когда рассматривают аналогично).

Рассмотрим произвольное число то есть Докажем, что существует точка для которой Тем самым будет показано, что

Рассмотрим функцию Функция является непрерывной на следовательно, она непрерывна на отрезке Имеем:

Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши существует точка такая, что то есть

Пример №14

Найдите область значений функции

Решение:

Имеем: для всех Поскольку то

Применив неравенство Коши, запишем

Так как то

Функция непрерывна на Из теоремы 5.5 следует, что

Покажем, что функция непрерывная. Для этого докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 5.1. Для любого выполняется неравенство

Доказательство. Если или то доказываемое неравенство очевидно.

Пусть На рисунке 5.11 точка получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол радиан. Так как то есть то точка находится в первой четверти.

Площадь треугольника меньше площади сектора . Имеем:

Тогда Получаем Пусть Тогда и можно записать, что Отсюда

Следовательно, если то Поэтому

Если то Поэтому Покажем, что число является пределом функции в точке где

Используя неравенство леммы 5.1, имеем:

Пусть произвольное положительное число. Так как то из неравенств следует, что

Если положить то получим: для любого существует такое, что из неравенств следует неравенство Это означает, что

Таким образом, функция непрерывна в каждой точке а следовательно, эта функция непрерывна на

Рассмотрим функцию Эта функция не опре- делена в точке Однако в этой точке существует предел функции

Докажем, что имеет место такое равенство:

Лемма 5.2. Если то

Доказательство. Пусть Опять обратимся к рисунку 5.11. Построим прямоугольник для которого отрезок является диагональю. Поскольку и то

Поскольку то Тогда из леммы 5.1 получаем Следовательно,

Очевидно, что площадь заштрихованного сегмента меньше площади треугольника Имеем:

Теперь можно записать:

Отсюда с учетом того, что получаем

Поскольку функции и четные, то последнее двойное неравенство выполняется также для всех из промежутка

Теперь докажем равенство Используя лемму 5.2, для имеем то есть

Пусть произвольное положительное число.

Если то положим Тогда из неравенств будет следовать, что Если то в качестве выберем любое число из промежутка (0; 1). Так как в этом случае то из неравенств будет следовать, что

Значит, для любого существует такое число что из неравенства следует неравенство Это означает, что Это равенство называют первым замечательным пределом. Оно показывает, что при достаточно малых значениях выполняется приближенное равенство Более того, из леммы 5.2 следует, что если то выполняется неравенство Поэтому абсолютная погрешность приближенной формулы не превышает Например, если то с точностью не менее чем

Пример №15

Вычислите предел

Решение:

Пример №16

Вычислите предел

Решение:

Пример №17

Вычислите предел

Решение:

Пример №18

Вычислите предел

Решение:

Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной

Если функция является математической моделью реального процесса, то часто возникает потребность находить разность значений этой функции в двух точках. Например, обозначим и суммы средств, которые накопились на депозитном1 счете вкладчика к моментам времени и Тогда разность где показывает прибыль, которую получит вкладчик за время

Рассмотрим функцию Пусть фиксированная точка из области определения функции

Если произвольная точка области определения функции такая, что то разность называют приращением аргумента функции в точке и обозначают (читают: «дельта икс») Имеем: Отсюда

Говорят, что аргумент получил приращение в точке Отметим, что приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: если то если то

Если аргумент в точке получил приращение то значение функции изменилось на величину

Эту разность называют приращением функции в точке и обозначают

(читают: «дельта эф»).

Имеем: или

Для приращения функции также принято обозначение то есть или

Приращение аргумента в точке и соответствующее приращение функции показано на рисунке 6.1.

Отметим, что для фиксированной точки приращение функции в точке является функцией с аргументом

Депозит (банковский вклад) — деньги, которые вкладчик помещает в банк на некоторый срок, за что банк выплачивает вкладчику проценты. Говоря о приращении аргумента функции в точке здесь и дальше будем предполагать, что в любом интервале есть точки области определения функции отличные от .

Пример №19

Найдите приращение функции в точке которое соответствует приращению аргумента.

Решение:

Имеем: Ответ:

Задача о мгновенной скорости

Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлении, за 2 ч преодолел путь 120 км.

Тогда его средняя скорость движения равна

Найденная величина дает неполное представление о характере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться быстрее, на других — медленнее, иногда мог останавливаться.

Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомобиля показывал некоторую величину — скорость в данный момент времени. Значение скорости в разные моменты более полно характеризует движение автомобиля.

Рассмотрим задачу о поиске скорости в данный момент времени на примере равноускоренного движения.

Пусть материальная точка двигается по координатной прямой и через время после начала движения имеет координату Тем самым задана функция позволяющая определить положение точки в любой момент времени. Поэтому эту функцию называют законом движения точки.

Из курса физики известно, что закон равноускоренного движения задается формулой в где координата точки в начале движения (при ), начальная скорость, ускорение.

Пусть, например, Тогда

Зафиксируем какой-нибудь момент времени и придадим аргументу в точке приращение приращением то есть рассмотрим промежуток времени от до За этот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение где

Средняя скорость движения точки за промежуток времени от до равна отношению то есть

Обозначение для средней скорости подчеркивает, что при заданном законе движения и фиксированном моменте времени значение средней скорости зависит только от

Если рассматривать достаточно малые промежутки времени от до то из практических соображений понятно, что средние скорости за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то есть величина почти не изменяется. Чем меньше тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени . Иными словами, если при значения стремятся к числу то число называют мгновенной скоростью в момент времени .

В нашем примере, если то значения выражения стремятся к числу которое является значением мгновенной скорости то есть

Этот пример показывает, что если материальная точка двигается по закону то ее мгновенную скорость в момент времени определяют с помощью формулы то есть

Задача о касательной к графику функции

Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой.

Например, ось ординат имеет с параболой только одну общую точку (рис. 6.2).

Однако интуиция подсказывает, что неестественно считать эту прямую касательной к этой параболе. Вместе с тем в курсе алгебры мы нередко говорили, что парабола касается оси абсцисс в точке

Уточним наглядное представление о касательной к графику функции.

Пусть некоторая точка, лежащая на параболе . Проведем прямую которую назовем секущей (рис. 6.3). Представим себе, что точка двигаясь по параболе, приближается к точке

При этом секущая будет вращаться вокруг точки Тогда угол между прямой и осью абсцисс будет становиться все меньше и меньше, и секущая будет стремиться занять положение оси абсцисс.

Прямую, положение которой стремится занять секущая при приближении точки к точке будем называть касательной к параболе в точке

Рассмотрим график некоторой непрерывной в точке функции и точку В точке придадим аргументу приращение и рассмотрим на графике точку где (рис. 6.4).

Из рисунка видно, что если cтановится все меньше и меньше, то точка двигаясь по графику, приближается к точке Если при секущая стремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 6.4 это прямая ), то такую прямую называют касательной к графику функции в точке

Пусть секущая имеет уравнение и образует с положительным направлением оси абсцисс угол Как известно, угловой коэффициент прямой равен то есть Очевидно, что (рис. 6.4). Тогда из получаем

Введем обозначение для углового коэффициента секущей , тем самым подчеркивая, что для данной функции и фиксированной точки угловой коэффициент секущей определяется через приращение аргумента.

Имеем:

Пусть касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол Тогда ее угловой коэффициент равен Естественно считать, что чем меньше тем меньше значение углового коэффициента секущей отличается от значения углового коэффициента касательной. Иными словами, если то Вообще, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой определяют с помощью формулы то есть

Пример №20

Найдите формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции в точке с абсциссой Какой угол с положительным направлением оси абсцисс образует касательная, проведенная к этому графику в точке с абсциссой

Решение:

Имеем:

Тогда, воспользовавшись формулой для вычисления углового коэффициента касательной, можно записать:

Если то значения выражения стремятся к числу то есть Отсюда

Эта формула позволяет вычислить угловой коэффициент касательной к параболе в любой точке, в частности, в точке с абсциссой

Имеем:

Пусть касательная к параболе в точке с абсциссой образует угол с положительным направлением оси абсцисс. Тогда ее угловой коэффициент равен Выше мы установили, что Отсюда Поскольку то (рис. 6.5).

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента

Математическая модель: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:  к этим двум формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, экономики и т. д. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоить название, ввести обозначение, изучить ее свойства и научиться их применять.

Определение. Производной функции в точке называют число, равное пределу отношения приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции в точке обозначают так: (читают: «эф штрих от икс нулевого») или Тогда можно записать: или

Производную функции в точке можно вычислить по такой схеме: придав в точке аргументу приращение найти соответствующее приращение функции

найти отношение

выяснить, к какому числу стремится отношение при то есть найти предел

Пример №21

Найдите производную функции в точке

Решение:

Придерживаясь вышеприведенной схемы, запишем:

при

значения выражения стремятся к числу то есть

Ответ:

Отметим, что, найдя значение мы тем самым нашли угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой Он равен то есть Тогда, обозначив через угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси абсцисс, можем записать Отсюда (рис. 7.1).

Вообще, можно сделать такой вывод: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой равен производной функции в точке то есть

Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Также понятно, что если закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени равна производной функции в точке , то есть

Это равенство выражает механический смысл производной.

Если функция имеет производную в точке , то эту функцию называют дифференцируемой в точке .

Пусть функция дифференцируема в точке . Из геометрического смысла производной следует, что к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную (рис. 7.2). И наоборот, если к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке .

На рисунке 7.3 изображены графики функций, которые в точке имеют разрыв или «излом». К их графикам в точке с абсциссой невозможно провести касательную. Эти функции не дифференцируемы в точке .

На рисунке 7.4 изображены графики функций, которые в точке с абсциссой имеют вертикальную касательную. Поэтому эти функции не дифференцируемы в точке .

Покажем, например, что функция график которой имеет «излом» в точке не является дифференцируемой в этой точке. Имеем:

в примере 3 пункта 3 было показано, что функция не имеет предела в точке это означает, что не существует предела то есть функция не является дифференцируемой в точке

Теорема 7.1. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то можно записать

Имеем: Очевидно, что если то

Тогда

Имеем:

Следовательно, Отсюда

Это означает, что функция является непрерывной в точке .

Отметим, что непрерывная в точке функция не является дифференцируемой в этой точке. Этот пример показывает, что непрерывность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке (рис. 7.5).

Пусть множество точек, в которых функция дифференцируема. Каждому числу поставим в соответствие число Тем самым задана функция с областью определения . Эту функцию называют производной функции и обозначают или .

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого множества , то говорят, что она дифференцируема на множестве . Например, на рисунке 7.6 изображен график функции, дифференцируемой на промежутке . На промежутке этот график не имеет разрывов и изломов.

Если функция дифференцируема на то ее называют дифференцируемой.

Нахождение производной функции называют дифференцированием функции

Пример №22

Продифференцируйте функцию

Решение:

Найдем производную функции в точке где произвольная точка области определения функции .

по определению производной Следовательно,

Так как произвольная точка области определения функции то последнее равенство означает, что для любого выполняется равенство

Вывод о том, что производная линейной функции равна также принято записывать так:

Если в формулу подставить и то получим

Если же в формуле положить то получим

Последнее равенство означает, что производная функции, являющейся константой, в каждой точке равна нулю.

Пример №23

Найдите производную функции

Решение:

Найдем производную функции в точке , где произвольная точка области определения функции .

если то при любом значения выражения стремятся к числу Следовательно,

Так как произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство

Последнее равенство также принято записывать в виде

Пример №24

Найдите производную функции

Решение:

Найдем производную функции в точке где произвольная точка области определения функции .

если то значения выражения стремятся к числу Следовательно,

Так как произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство . Последнее равенство можно записать так:

Формулы и частные случаи более общей формулы:

Например,

Пример №25

Докажите, что производная функции равна

Решение:

Найдем производную функции в точке где произвольная точка области определения функции .

Напомним, что Тогда можно записать:

Так как произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство

Формула остается справедливой для любого и то есть

Например, воспользуемся формулой для нахождения производной функции Имеем:

Следовательно, для любого выполняется равенство или

Пример №26

Продифференцируйте функцию

Решение:

Пусть произвольная точка области определения функции , то есть

Имеем

Найдем предел При имеем, что

При имеем, что Поэтому при

значения выражения становятся все большими и большими. Значит, не существует числа, к которому стремятся значения выражения Следовательно, предела не существует.

Таким образом, функция является дифференцируемой на множестве

причем

Отметим, что в точке функция не является дифференцируемой.

Формулу также можно обобщить для любого и

Например, найдем производную функции , воспользовавшись формулой Имеем:

Следовательно, для можно записать: или

Вообще, производную функции можно находить по формуле

Если нечетное натуральное число, то формула позволяет находить производную функции во всех точках таких, что

Если четное натуральное число, то формула позволяет находить производную функции / для всех положительных значений .

Обратимся к тригонометрическим функциям и . Эти функции являются дифференцируемыми, и их производные находят по таким формулам:

Как доказывать эти формулы, вы сможете узнать в разделе «Когда сделаны уроки».

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных, расположенной на форзаце 2.

X2, если X < 1,

Пример №27

Докажите, что функция является дифференцируемой в точке Найдите

Решение:

Имеем:

Если то

Если то

Теперь видим, что то есть

Рассмотрим подробный пример:

Доказательство формул производных функций и

Докажем, что производные функций и вычислять по формулам

Пусть

Для произвольной точки имеем:

Воспользовавшись первым замечательным пределом можно записать:

Формулу доказывают аналогично.

Правила вычисления производных

Найдем, пользуясь определением, производную функции в точке

если то значения выражения стремятся к числу Следовательно, при любом

Так как произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство то есть

Из предыдущего пункта вам известно, что и Таким образом, получаем

Следовательно, производную функции можно было найти, не пользуясь определением производной.

Справедлива следующая теорема

Теорема 8.1 (производная суммы). В тех точках, в которых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Условия теорем 8.1-8.4 предусматривают такое: если функции и дифференцируемы в точке то соответственно функции определены на некотором промежутке, содержащем точку

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Также принята такая упрощенная запись:

Доказательство:

Пусть произвольная точка, в которой функции и дифференцируемы. Найдем приращение функции в точке . Имеем:

Запишем:

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то существуют пределы Отсюда получаем:

Следовательно, функция является дифференцируемой в точке , причем ее производная в этой точке равна

Теорему 8.1 можно обобщить для любого конечного количества слагаемых:

Две теоремы, приведенные ниже, также упрощают нахождение производной.

Теорема 8.2 (производная произведения). В тех точках, в которых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята такая упрощенная запись:

Доказательство. Пусть произвольная точка, в которой функции и дифференцируемы. Найдем приращение функции в точке . Учитывая равенства имеем

Запишем:

Так как функции и дифференцируемы в точке , то существуют пределы

Теперь можно записать

Таким образом, функция дифференцируема в точке , причем ее производная в этой точке равна

Следствие 1. В тех точках, в которых дифференцируема функция также является дифференцируемой функция где некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Также принята такая упрощенная запись:

Доказательство. Так как функция дифференцируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведения, можно записать:

Следствие 2. В тех точках, в которых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Доказательство. Имеем:

Теорема 8.3 (производная частного). В тех точках, в которых функции и дифференцируемы и значение функции не равно нулю, функция также является дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята такая упрощенная запись: С доказательством теоремы 8.3 вы можете ознакомиться на занятиях математического кружка.

Пример №28

Найдите производную функции:

Решение:

1) Пользуясь теоремой о производной суммы и следствием из теоремы о производной произведения, получаем:

2) По теореме о производной произведения имеем:

3) Имеем:

4) По теореме о производной частного получаем:

Используя теорему о производной частного, легко доказать, что:

Действительно,

Формулу докажите самостоятельно.

Если значениями аргумента функции являются значения функции то говорят, что задана сложная функция

Например, рассмотрим функции и где и Тогда

Следовательно, можно говорить, что формула задает сложную функцию

Рассмотрим еще несколько примеров. Если а то сложная функция задается формулой Функцию можно рассматривать как сложную функцию где

Нахождение производной сложной функции

Находить производную сложной функции можно с помощью такой теоремы.

Теорема 8.4 (производная сложной функции). Если функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в точке где то сложная функция является дифференцируемой в точке причем

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться на занятиях математического кружка.

Пример №29

Найдите значение производной функции в точке

Решение:

1) Данная функция является сложной функцией где Так как a то по теореме о производной сложной функции можно записать: при

то есть

Решение этой задачи можно оформить и так:

Ответ:

Уравнение касательной

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную (рис. 9.1).

Из курса геометрии 9 класса вы знаете, что уравнение невертикальной прямой имеет вид где угловой коэффициент этой прямой.

Исходя из геометрического смысла производной, получаем

Тогда уравнение касательной можно записать так:

Эта прямая проходит через точку Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению Имеем:

Отсюда Тогда уравнение можно переписать так:

Следовательно, уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой имеет вид:

Пример №30

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение:

Имеем:

Подставив найденные числовые значения в уравнение касательной, получаем: то есть Ответ:

Пример №31

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью абсцисс.

Решение:

Решив уравнение найдем абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Имеем: или

Запишем уравнение касательной в каждой из найденных точек.

1) Если то

Тогда уравнение касательной имеет вид

2) Если то Тогда искомое уравнение имеет вид то есть

Ответ:

Пример №32

Найдите уравнение касательной к графику функции если эта касательная параллельна прямой

Решение:

Имеем:

Если касательная параллельна прямой то ее угловой коэффициент равен

Так как где абсцисса точки касания искомой прямой к графику функции то то есть

Отсюда

Уравнение касательной:

Следовательно, на графике функции существуют две точки, касательные в которых параллельны данной прямой.

При имеем: Тогда уравнение касательной имеет вид

При получаем: Тогда уравнение касательной имеет вид

Ответ:

Пример №33

Найдите абсциссу точки графика функции в которой проведенная к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.

Решение:

Имеем:

Так как касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, то ее угловой коэффициент равен 45°, то есть Пусть абсцисса точки касания. Тогда

Получаем Отсюда

Ответ:

Пример №34

Составьте уравнение касательной к графику функции проходящей через точку

Решение:

Заметим, что Из этого следует, что точка не принадлежит графику функции

Пусть точка касания искомой прямой к графику функции Так как то уравнение касательной имеет вид

Учитывая, что координаты точки удовлетворяют полученному уравнению, имеем

Отсюда, раскрыв скобки и решив квадратное уравнение, получим или Таким образом, через точку проходят две касательные к графику функции и

Ответ:

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Рассмотрим функцию и такую точку интервала что (рис. 10.1, ). На рисунке 10.1, изображен график функции такой, что

Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда к графикам этих функций в точке с абсциссой можно провести касательные. Из наглядных соображений очевидно, что эти касательные будут горизонтальными прямыми. Поскольку угловой коэффициент горизонтальной прямой равен нулю, то и

Этот вывод можно проиллюстрировать с помощью механической интерпретации.

Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону и функция принимает в точке наибольшее (наименьшее) значение, то это означает, что в момент времени материальная точка изменяет направление движения на противоположное. Понятно, что в этот момент времени скорость материальной точки равна нулю, то есть и

Полученные выводы подтверждает такая теорема.

Теорема 10.1 (теорема Ферма). Пусть функция определенная на промежутке в точке принимает свое наименьшее (наибольшее) значение. Если функция является дифференцируемой в точке то

Доказательство. Рассмотрим случай, когда (случай ) рассматривают аналогично).

Пусть тогда Если (рис. 10.2), то Отсюда

Если (рис. 10.3), то Отсюда

Следовательно, доказано, что одновременно выполняются два неравенства: и Поэтому

На рисунке 10.4 изображен график функции дифференцируемой на отрезке которая в точках и принимает одинаковые значения.

Из рисунка видно: существует по крайней мере одна такая точка что касательная к графику в точке с абсциссой является горизонтальной прямой, то есть

Этот вывод можно проиллюстрировать с помощью механической интерпретации.

Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону то равенство в означает, что в момент времени материальная точка вернулась в начальное положение. Следовательно, в некоторый момент времени она изменила направление движения на противоположное, то есть и

Полученные выводы подтверждает следующая теорема.

Теорема 10.2 (теорема Ролля). Если функция дифференцируема на отрезке причем то существует такая точка что

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема на отрезке то по теореме 7.1 она является непрерывной на этом промежутке. Тогда по теореме Вейер-штрасса на отрезке существуют такие значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Иными словами, существуют такие числа и что Тогда для любого выполняется неравенство

Если то функция является константой на промежутке . Следовательно, для любого

Рассмотрим случай, когда Тогда функция не может на одном конце отрезка принимать наибольшее значение, а на другом — наименьшее. Действительно, Следовательно, существует такая точка что функция в этой точке принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма

На рисунке 10.5 изображен график функции, дифференцируемой на отрезке

Проведем прямую . Из треугольника можно найти угловой коэффициент этой прямой:

Из рисунка видно, что на дуге существует такая точка что касательная к графику в этой точке параллельна прямой .

Угловой коэффициент этой касательной равен угловому коэффициенту прямой , то есть существует точка такая, что

Этот вывод иллюстрирует также механическая интерпретация. Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону то средняя скорость равна

Понятно, что во время движения существует такой момент когда мгновенная скорость равна средней, то есть

Полученные выводы подтверждает следующая теорема.

Теорема 10.3 (теорема Лагранжа). Если функция дифференцируема на отрезке то существует такая точка что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Очевидно, что функция является дифференцируемой на отрезке Легко проверить (сделайте это самостоятельно), что Следовательно, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

Таким образом, существует точка такая, что Так как то Отсюда

Заметим, что теоремы Ролля и Лагранжа не указывают, как найти точку Они лишь гарантируют, что существует точка, обладающая некоторым свойством.

Признаки возрастания и убывания функции

Вы знаете, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция такова, что для всех из промежутка выполняется равенство то является ли функция константой на промежутке ?

Обратимся к механической интерпретации. Пусть закон движения материальной точки по координатной прямой. Если в любой момент времени от до выполняется равенство то на протяжении рассматриваемого промежутка времени мгновенная скорость равна нулю, то есть точка не двигается и ее координата не изменяется. Это означает, что на рассматриваемом промежутке функция является константой.

Эти соображения подсказывают, что справедлива следующая теорема.

Теорема 11.1 (признак постоянства функции). Если для всех из промежутка выполняется равенство то функция является константой на этом промежутке.

Доказательство. Пусть и произвольные значения аргумента функции взятые из промежутка причем

Поскольку и функция дифференцируема на то для отрезка выполняются все условия теоремы Лагранжа. Тогда существует точка такая, что

Поскольку то Следовательно,

ОтсюдаУчитывая, что числа и выбраны произвольным образом, можем сделать вывод: функция является константой на промежутке

На рисунке 11.1 изображен график некоторой функции которая является дифференцируемой на промежутке Этот график имеет такое свойство: любая касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Поскольку тангенс острого угла — положительное число, то угловой коэффициент любой касательной также является положительным. Тогда, исходя из геометрического смысла производной, можно сделать такой вывод: для любого выполняется неравенство

Из рисунка 11.1 видно, что функция возрастает на рассматриваемом промежутке.

На рисунке 11.2 изображен график некоторой функции , дифференцируемой на промежутке Любая касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Поскольку тангенс тупого угла — отрицательное число, то угловой коэффициент любой касательной также является отрицательным. Тогда для любого выполняется неравенство

Из рисунка 11.2 видно, что функция убывает на рассматриваемом промежутке.

Эти примеры показывают, что знак производной функции на некотором промежутке влияет на то, является ли эта функция возрастающей (убывающей) на промежутке .

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции можно увидеть и с помощью механической интерпретации. Если скорость, то есть производная функции положительна, то точка на координатной прямой двигается вправо (рис. 11.3).

Это означает, что из неравенства следует неравенство то есть функция является возрастающей. Аналогично, если скорость отрицательна, то точка двигается влево, то есть функция является убывающей.

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 11.2 (признак возрастания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство то функция возрастает на этом промежутке.

Теорема 11.3 (признак убывания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство то функция убывает на этом промежутке.

Пример №35

Докажите, что функция возрастает на множестве действительных чисел.

Решение:

Имеем: Так как при всех то функция возрастает на множестве действительных чисел.

Докажем теорему 11.2 (теорему 11.3 доказывают аналогично).

Доказательство. Пусть и произвольные значения аргумента функции , взятые из промежутка причем

Поскольку и функция дифференцируема на то для отрезка выполняются все условия теоремы Лагранжа. Тогда существует точка такая, что

Поскольку то Следовательно,

Тогда из неравенства следует неравенство то есть функция возрастает на

Заметим, что имеет место и такое утверждение: если дифференцируемая на промежутке функция возрастает (убывает), то для всех из этого промежутка выполняется неравенство Если функция определена на промежутке и возрастает на интервале то это не означает, что она возрастает на промежутке (рис. 11.4).

Исследовать возрастание и убывание функции на различных промежутках помогает следующая ключевая задача.

Пример №36

Пусть для произвольного выполняется неравенство и функция имеет производную в точке Докажите, что функция возрастает на промежутке

Решение:

Из теоремы 11.2 следует только то, что функция возрастает на интервале Чтобы доказать, что функция возрастает на промежутке нужно дополнительное исследование.

Пусть произвольная точка промежутка Докажем, что Из теоремы Лагранжа для функции на отрезке следует существование такой точки что

Поскольку то Отсюда Таким образом, доказано, что функция возрастает на промежутке

Замечание 1. На самом деле сформулированное в данной задаче условие можно ослабить, заменив требование дифференцируемое функции в точке на ее непрерывность в этой точке. То есть, имеет место такое утверждение: если для всех выполняется неравенство и функция непрерывна в точке то функция возрастает на промежутке

Замечание 2. Используя соответствующие утверждения, можно обосновать возрастание (убывание) функции на промежутках другого вида, например, Например, если для всех выполняется неравенство и функция непрерывна в точке то функция возрастает на промежутке

Пример №37

Найдите промежутки возрастания (убывания) функции

Решение:

Имеем: Решив неравенства и приходим к такому: на промежутке на промежутке Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

На рисунке 11.5 изображен график функции . Из рисунка видно, что на самом деле функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

При записи ответа будем руководствоваться таким правилом: если функция непрерывна Рис- И-5 в каком-то из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. В нашем примере функция непрерывна в точке поэтому эту точку присоединили к промежуткам и

Ответ: возрастает на убывает на

Пример №38

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

Решение:

1) Имеем:

Исследуем знак производной методом интервалов (рис. 11.6) и учтем непрерывность функции в точках и Получаем, что функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на промежутке

2) Имеем:

Исследовав знак производной (рис. 11.7), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

3) Имеем: Найдя производную функции , получаем:

Исследуем знак функции (рис. 11.8). Следовательно, данная функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на каждом из промежутков и

4) Имеем: Найдем производную Заметим, что в точках и функция не является дифференцируемой, однако является непрерывной.

Неравенство равносильно системе

Решив ее, получаем, что множеством решений рассматриваемого неравенства является промежуток

Далее легко установить, что множеством решений неравенства является промежуток

Следовательно, если то если то (рис. 11.9).

Поэтому функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Пример №39

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функцию Для всех имеем: Очевидно, что при то есть функция возрастает на промежутке

Поскольку функция непрерывна в точке то эта функция возрастает на

Тогда функция принимает каждое свое значение только один раз, а следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня.

Поскольку то является единственным корнем данного уравнения. Ответ:

Пример №40

Докажите, что для всех выполняется неравенство

Решение:

Докажем, что для всех выполняется неравенство

Рассмотрим функцию Так как то неравенство можно представить в виде где Имеем:

Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, то Поэтому функция возрастающая. Отсюда для любого выполняется неравенство

Точки экстремума функции

Знакомясь с такими понятиями как предел и непрерывность функции в точке, мы исследовали поведение функции поблизости этой точки или, как принято говорить, в ее окрестности.

Определение 1. Интервал содержащий точку называют окрестностью точки

Понятно, что любая точка имеет бесконечно много окрестностей. Например, промежуток одна из окрестностей точки 2,5. Вместе с тем этот промежуток не является окрестностью точки 3.

На рисунке 12.1 изображены графики четырех функций. Все эти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Определение 2. Точку называют точкой максимума функции если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой максимума функции (рис. 12.2). Пишут

На рисунке 12.1

Определение 3. Точку называют точкой минимума функции если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой минимума функции (рис. 12.2). Пишут

На рисунке 12.3 изображены графики функций, для которых является точкой минимума, то есть

Точки максимума и минимума имеют общее название: их называют точками экстремума функции (от латинского крайний).

На рисунке 12.4 точки являются точками экстремума.

Из определений 2 и 3 следует, что точки экстремума являются внутренними точками области определения функции. Поэтому, например, точка не является точкой минимума функции (рис. 12.5), а точка не является точкой максимума функции (рис. 12.6). Вместе с тем наименьшее значение функции на множестве равно нулю, то есть a

Точку называют внутренней точкой множества , если существует окрестность точки являющаяся подмножеством множества .

На рисунке 12.7 изображен график некоторой функции , которая на промежутке является константой. Точка является точкой максимума, точка минимума, а любая точка интервала является одновременно как точкой максимума, так и точкой минимума функции .

Графики функций, изображенных на рисунках 12.8 и 12.9, показывают, что точки экстремума можно разделить на два вида: те, в которых производная равна нулю (на рисунке 12.8 касательная к графику в точке с абсциссой является горизонтальной прямой), и те, в которых функция недифференцируема (рис. 12.9).

Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 12.1. Если точка экстремума функции , то либо либо функция не является дифференцируемой в точке

Учащиеся профильных классов могут, используя теорему Ферма, доказать теорему 12.1 самостоятельно.

Возникает естественный вопрос: обязательно ли является точкой экстремума внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует?

Ответ на этот вопрос отрицательный.

Например, на рисунке 12.10 изображен график функции, недифференцируемой в точке . Однако точка не является точкой экстремума.

Приведем еще один пример. Для функции имеем: Тогда Однако точка не является точкой экстремума функции (рис. 12.11).

Эти примеры показывают, что теорема 12.1 дает необходимое, но не достаточное условие существования экстремума в данной точке.

Определение 4. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Например, точка является критической точкой функций и точка является критической точкой функции

Из сказанного выше следует, что каждая точка экстремума функции является ее критической точкой, но не каждая критическая точка является точкой экстремума. Иными словами, точки экстремума следует искать среди критических точек. Этот факт проиллюстрирован на рисунке 12.12.

На рисунке 12.13 изображены графики функций, для которых является критической точкой.

На рисунках 12.13, критическая точка является точкой экстремума, на рисунках 12.13, критическая точка не является точкой экстремума.

Наличие экстремума функции в точке связано с поведением функции в окрестности этой точки. Так, для функций, графики которых изображены на рисунках 12.13, имеем: функция возрастает (убывает) на промежутке и убывает (возрастает) на промежутке

Функции, графики которых изображены на рисунках 12.13, таким свойством не обладают: первая из них возрастает на каждом из промежутков и вторая убывает на этих промежутках.

Вообще, если область определения непрерывной функции разбита на конечное количество промежутков возрастания и убывания, то легко найти все точки экстремума (рис. 12.14).

Вы знаете, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убывания) дифференцируемой функции. Две теоремы, приведенные ниже, показывают, как с помощью производной можно находить точки экстремума функции.

Теорема 12.2 (признак точки максимума функции). Пусть функция дифференцируема на интервале и некоторая точка этого интервала. Если для всех выполняется неравенство а для всех выполняется неравенство то точка является точкой максимума функции (рис. 12.13, а).

Теорема 12.3 (признак точки минимума функции). Пусть функция дифференцируема на интервале и некоторая точка этого интервала. Если для всех выполняется неравенство а для всех выполняется неравенство то точка является точкой минимума функции (рис. 12.13, б).

Докажем теорему 12.2 (теорему 12.3 доказывают аналогично).

Доказательство. Пусть произвольная точка интервала Из теоремы Лагранжа для отрезка следует существование такой точки что

Поскольку то Из неравенств и получаем:

Аналогично для произвольной точки можно доказать, что

Отсюда следует, что точка максимума.

Иногда удобно пользоваться упрощенными формулировками этих двух теорем: если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума; если производная меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума.

Для функции точки экстремума можно искать по такой схеме.

1. Найти
2. Исследовать знак производной в окрестностях критических точек.
3. Пользуясь соответствующими теоремами, для каждой критической точки выяснить, является ли она точкой экстремума.

Пример №41

Найдите точки экстремума функции:

Решение:

1) Имеем:

Методом интервалов исследуем знак производной в окрестностях критических точек (рис. 12.15). Получаем, что

Исследовав знак производной (рис. 12.16), получаем:

3) Имеем:

Исследуем знак производной в окрестностях критических точек (рис. 12.17).

Имеем, что

4) Имеем:

Если то если то Следовательно, критическая точка является точкой минимума, то есть

Пример №42

Найдите точки экстремума функции

Решение:

Имеем:

Найдем критические точки данной функции:

Функция является периодической с периодом Методом интервалов исследуем ее знак на промежутке длиной в период. Этому промежутку принадлежат две критические точки:

На рисунке 12.18 показан результат исследования производной на промежутке Теперь можно сделать вывод:

Обобщая полученный результат, записываем ответ:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Как добиться наименьшей массы конструкции, не причиняя вреда ее прочности? Как, имея ограниченные ресурсы, выполнить производственное задание в кратчайшее время? Как организовать доставку товара по торговым точкам так, чтобы расход топлива был наименьшим?

Такие и подобные задачи на поиск наилучшего или, как говорят, оптимального решения занимают значительное место в практической деятельности человека.

Представим, что известна функция, которая описывает, например, зависимость массы конструкции от ее прочности. Тогда задача сводится к поиску аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение.

В этом пункте мы выясним, как можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Ограничимся рассмотрением только непрерывных функций.

Заметим, что точка, в которой функция принимает свое наименьшее значение, не обязательно является точкой минимума. Например, на рисунке 13.1 а точек минимума функция не имеет. Точно так же точка минимума не обязательно является точкой, в которой функция принимает наименьшее значение. На рисунке 13.2, точка единственная точка минимума, а наименьшее значение достигается в точке

Аналогичное замечание относится к точкам максимума и точкам, в которых функция принимает наибольшее значение.

На рисунке 13.2 представлены разные случаи расположения точек экстремумов и точек, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Тут важно понять, что свойство функции иметь точку экстремума означает такое: функция принимает в точке наибольшее (наименьшее) значение по сравнению со значениями функции во всех точках некоторой, возможно, очень малой окрестности точки . Поэтому, если хотят подчеркнуть этот факт, то точки экстремума еще называют точками локального максимума или точками локального минимума (от латинского locus — место).

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее значения или на концах отрезка, или в точках экстремума (рис. 13.2).

Тогда для такой функции поиск наибольшего и наименьшего значений на отрезке можно проводить, пользуясь такой схемой.

1. Найти критические точки функции , принадлежащие отрезку .
2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах рассматриваемого отрезка.
3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Понятно, что этот алгоритм можно реализовать только тогда, когда рассматриваемая функция имеет конечное количество критических точек на отрезке .

Отметим, что если определить, какие из критических точек являются точками экстремума, то количество точек, в которых следует искать значения функции, можно уменьшить. Однако выявление точек экстремума, как правило, требует больше технической работы, чем поиск значений функции в критических точках.

Учащимся профильных классов напомним, что существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции гарантирует теорема Вейерштрасса.

Пример №43

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

Найдем критические точки данной функции:

Следовательно, функция имеет две критические точки, а промежутку принадлежит одна:

Имеем: Следовательно, Ответ:

Пример №44

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Решение:

Имеем: Найдем критические точки данной функции:

Отсюда

Следовательно, точки вида являются критическими точками функции из них промежутку принадлежат четыре точки: Имеем:

Таким образом,

Ответ:

Пример №45

Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго была наименьшей.

Решение:

Пусть первое число равно тогда второе равно Из условия следует, что

Рассмотрим функцию определенную на отрезке и найдем, при каком значении она принимает наименьшее значение.

Имеем: Найдем критические точки данной функции:

Среди найденных чисел промежутку принадлежит только число 2. Имеем:

Следовательно, функция принимает наименьшее значение при

Ответ:

Пример №46

Найдите стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса если площадь прямоугольника принимает наибольшее значение.

Решение:

Рассмотрим прямоугольник вписанный в окружность радиуса (рис. 13.3). Пусть тогда Отсюда площадь прямоугольника равна Из условия задачи следует, что значения переменной удовлетворяют неравенству то есть принадлежат промежутку

Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на интервале

Рассмотрим непрерывную функцию и будем искать ее наибольшее значение на отрезке

Найдем критические точки функции

Функция имеет одну критическую точку Имеем: Следовательно,

Отсюда получаем, что функция на интервале принимает наибольшее значение при

Тогда

Следовательно, среди прямоугольников, вписанных в окружность радиуса наибольшую площадь имеет квадрат со стороной

Пример №47

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функцию Для всех имеем: Решим уравнение Запишем:

Отсюда легко найти, что Получили, что функция на отрезке имеет единственную критическую точку

Так как функция непрерывна на отрезке , то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел Имеем:

Следовательно, причем наибольшее значение функция принимает только при

Так как нам надо решить уравнение то получаем, что является его единственным корнем. Ответ:

Пример №48

Пункты и расположены в вершинах прямоугольного треугольника км, км. Из пункта в пункт ведет шоссейная дорога. Турист начинает движение из пункта по шоссе. На каком расстоянии от пункта турист должен свернуть с шоссе, чтобы за наименьшее время дойти из пункта в пункт если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а вне шоссе — 4 км/ч?

Решение:

Обозначим через точку, в которой турист должен свернуть с шоссе, чтобы быстрее всего преодолеть путь (рис. 13.4).

Пусть км. Имеем: км, Тогда время, за которое турист преодолеет путь, равно Теперь понятно, что для решения задачи достаточно найти наименьшее значение функции

f(x) = — + --, заданной на отрезке Имеем: Решив уравнение (сделайте это самостоятельно), устанавливаем, что число является его единственным корнем. Сравнивая числа получаем, что

наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: км

Вторая производная

Пусть материальная точка двигается по закону по координатной прямой. Тогда мгновенная скорость в момент времени определяется по формуле

Рассмотрим функцию Ее производную в момент времени называют ускорением движения и обозначают то есть

Таким образом, функция ускорение движения — это производная функции скорость движения, которая в свою очередь является производной функции закон движения, то есть

В таких случаях говорят, что функция ускорение движения является второй производной функции Пишут: (запись читают: «эс два штриха от тэ»).

Например, если закон движения материальной точки задан формулой то имеем:

Мы получили, что материальная точка двигается с постоянным ускорением. Как вы знаете из курса физики, такое движение называют равноускоренным.

Обобщим сказанное.

Рассмотрим функцию дифференцируемую на некотором множестве Тогда ее производная также является некоторой функцией, заданной на этом множестве. Если функция дифференцируема в некоторой точке то производную функции в точке называют второй производной функции в точке и обозначают или Саму функцию называют дважды дифференцируемой в точке .

Функцию, которая числу ставит в соответствие число называют второй производной функции и обозначают или

Например, если то

Если функция дважды дифференцируема в каждой точке множества , то ее называют дважды дифференцируемой на множестве . Если функция дважды дифференцируема на то ее называют дважды дифференцируемой.

Вы знаете, что функцию характеризуют такие свойства как четность (нечетность), периодичность, возрастание (убывание) и т. д. Еще одной важной характеристикой функции является выпуклость вверх и выпуклость вниз.

Обратимся к примерам:

О функциях говорят, что они являются выпуклыми вниз (рис. 14.1), а функции являются выпуклыми вверх (рис. 14.2). Функция является выпуклой вверх на промежутке и выпуклой вниз на промежутке (рис. 14.3). Линейную функцию считают как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз.

Далее, изучая понятия выпуклости функции на промежутке ограничимся случаем, когда функция дифференцируема на этом промежутке.

В высшей школе понятие выпуклости распространяют и на более широкие классы функций, например непрерывные.

Пусть функция дифференцируема на промежутке . Тогда в любой точке ее графика с абсциссой можно провести невертикальную касательную. Если при этом график функции на промежутке расположен не выше любой такой касательной (рис. 14.4), то функцию называют выпуклой вверх на промежутке ; если же график на промежутке расположен не ниже любой такой касательной (рис. 14.5), то — выпуклой вниз на промежутке .

Например, докажем, что функция является выпуклой вниз на промежутке Проведем касательную к графику функции в точке с абсциссой (рис. 14.6). Уравнение этой касательной имеет вид:

Рассмотрим разность

Поскольку эта разность принимает только неотрицательные значения, то это означает, что график функции лежит не ниже любой касательной. Следовательно, функция является выпуклой вниз на промежутке

Аналогично можно доказать, что функция является выпуклой вверх на промежутке и выпуклой вниз на промежутке (рис. 14.7).

На рисунке 14.8 изображен график функции , которая является выпуклой вниз на промежутке Из рисунка видно, что с увеличением аргумента угол наклона соответствующей касательной увеличивается. Это означает, что функция возрастает на промежутке

Пусть функция является выпуклой вверх на промежутке (рис. 14.9). Из рисунка видно, что с увеличением аргумента угол наклона соответствующей касательной * уменьшается. Это означает, что функция убывает на промежутке

Эти примеры показывают, что характер выпуклости функции на некотором промежутке связан с возрастанием (убыванием) функции на этом промежутке.

Для дважды дифференцируемой на промежутке функции возрастание (убывание) функции определяется знаком второй производной функции на промежутке . Таким образом, характер выпуклости дважды дифференцируемой функции связан со знаком ее второй производной.

Эту связь устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 14.1 (признак выпуклости функции вниз). Если для всех выполняется неравенство то функция является выпуклой вниз на промежутке

Теорема 14.2 (признак выпуклости функции вверх). Если для всех выполняется неравенство то функция является выпуклой вверх на промежутке

Докажем теорему 14.1 (теорему 14.2 доказывают аналогично).

Доказательство. В точке с абсциссой проведем касательную к графику функции Уравнение этой касательной имеет вид

Рассмотрим функцию

Значения этой функции показывают, насколько отличается ордината точки графика функции от ординаты соответствующей точки, которая лежит на проведенной касательной (рис. 14.10).

Если мы покажем, что для всех то таким образом докажем, что на промежутке график функции лежит не ниже проведенной к нему касательной.

Пусть (случай, когда рассматривают аналогично). Имеем: Для функции и отрезка применим теорему Лaгранжа: где Отсюда

Поскольку функция является дифференцируемой на отрезке то можно применить теорему Лагранжа: где

Отсюда

На рисунке 14.10 показано расположение точек и Из неравенств следует, что Поскольку то с учетом условия теоремы получаем: Отсюда для всех выполняется неравенство Поэтому функция является выпуклой вниз на промежутке

Пример №49

Исследуйте на выпуклость функцию на промежутке

Решение:

Имеем:

Отсюда

Неравенство на промежутке выполняется при Следовательно, функция является выпуклой вниз на промежутке (рис. 14.11).

Неравенство на промежутке выполняется при Следовательно, функция является выпуклой вверх на промежутке (рис. 14.11).

На рисунке 14.12 изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой . Эти функции на промежутках и имеют разный характер выпуклости. Поэтому на этих промежутках график функции расположен в различных полуплоскостях относительно касательной. В этом случае говорят, что точка является точкой перегиба функции.

Например, точка является точкой перегиба функции (рис. 14.7); точки вида являются точками перегиба функции (рис. 14.13).

Пример №50

Исследуйте характер выпуклости и найдите точки перегиба функции

Решение:

Имеем:

Используя метод интервалов, исследуем знак функции (рис. 14.14). Получаем, что функция выпуклая вверх на промежутке и выпуклая вниз на промежутке . Функция на промежутках и имеет разный характер выпуклости. В точке с абсциссой к графику функции можно провести касательную. Следовательно, является точкой перегиба функции .

Построение графиков функций

Когда в предыдущих классах вам приходилось строить графики, вы, как правило, поступали так: отмечали на координатной плоскости некоторое количество точек, принадлежащих графику, а затем соединяли их. Точность построения зависела от количества отмеченных точек.

На рисунке 15.1 изображены несколько точек, принадлежащих графику некоторой функции Эти точки можно соединить по-разному, например, так, как показано на рисунках 15.2 и 15.3.

Однако если знать, что функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на промежутке и является дифференцируемой, то, скорее всего, будет построен график, показанный на рисунке 15.4.

Вы знаете, какие особенности присущи графикам четной, нечетной, периодической функций и т. д. Вообще, чем больше свойств функции удалось определить, тем точнее можно построить ее график.

Исследование свойств функции будем проводить по такому плану:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность.
3. Найти нули функции.
4. Найти промежутки знакопостоянства.
5. Найти промежутки возрастания и убывания.
6. Найти точки экстремума и значения функции в точках экстремума.
7. Выявить другие особенности функции (периодичность функции, поведение функции в окрестностях отдельных важных точек и т. п.).

Заметим, что приведенный план исследования носит характер рекомендаций и не является постоянным и исчерпывающим. Важно при исследовании функции обнаружить такие ее свойства, которые позволят корректно построить график.

Пример №51

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть Отсюда и то есть функция не совпадает ни с функцией ни с функцией Таким образом, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Имеем: Числа и являются нулями функции . Применив метод интервалов (рис. 15.5), находим промежутки знакопостоянства функции , а именно: устанавливаем, что при и при

Имеем: Исследовав знак производной (рис. 15.6), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутке убывает на каждом из промежутков и Имеем:

Имеем: Исследовав знак второй производной (рис. 15.7), приходим к выводу, что функция является выпуклой вниз на промежутке

выпуклой вверх на промежутке является точкой перегиба и Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.8).

Пример №52

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1.Функция определена на множестве 2. Область определения функции несимметрична относительно начала координат, следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Функция не имеет нулей.

Отсюда при при (рис. 15.9).

Имеем:

Исследовав знак (рис. 15.10), приходим к выводу, что функция убывает на каждом из промежутков и возрастает на каждом из промежутков и

7. Заметим, что если значения аргумента выбирать все большими и большими, то соответствующие значения функции все меньше и меньше отличаются от числа и могут стать сколь угодно малыми. Это свойство принято записывать так: или так: при . Если , то расстояния от точек графика функции до прямой становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую называют горизонтальной асимптотой графика функции при Аналогично можно установить, что прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при

Если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции становятся все большими и большими, то есть расстояния от точек графика функции до прямой становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую называют вертикальной асимптотой графика функции , когда х стремится к нулю справа. Прямая также является вертикальной асимптотой графика функции , когда стремится к нулю слева. Функция имеет еще одну вертикальную асимптоту — прямую когда стремится к как слева, так и справа.

Имеем:

Упростив дробь, получим Исследовав знак (рис. 15.11), приходим к выводу, что функция является выпуклой вниз на промежутках и выпуклой вверх на промежутке точек перегиба не имеет.

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.12).

Пример №53

Пользуясь графиком функции определите, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра

Решение:

Функция определена на множестве действительных чисел, то есть

Имеем: Следовательно, функция имеет три критические точки: Исследовав знак производной (рис. 15.13), получаем: функция возрастает на промежутках

и убывает на промежутках и Имеем

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.14).

Пользуясь построенным графиком, определяем количество корней уравнения в зависимости от значения параметра (рис. 15.15):

• если то корней нет;
• если или то 2 корня;
• если то 3 корня;
• если то 4 корня.

Замечание. Из решения данной задачи исключены пункты 2-4, 7 плана исследования свойств функции. Свойства функции, которые исследуются в этих пунктах, не используются при определении количества корней уравнения

Пример №54

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Решив уравнение определяем, что единственный нуль данной функции.

4. при при

5-6. Имеем:

Исследовав знак (рис. 15.16), приходим к выводу, что функция убывает на промежутках и возрастает на промежутках

7. Имеем:

Исследовав знак (рис. 15.17), приходим к выводу, что

точка перегиба и функция является выпуклой вниз на промежутках и выпуклой вверх на

Прямая вертикальная асимптота графика данной функции.

Имеем:

Поскольку то при расстояния от точек графика функции до соответствующих точек прямой становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую называют наклонной асимптотой графика функции при Также можно показать, что прямая является наклонной асимптотой графика функции при

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.18).

Производная в математике

Начнём изучение производной с самого начала с начальных определений которые помогут в изучении производной.

Числовые множества:

Действительные числа* R

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа Q

Можно представить в виде несократимой дроби где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической дроби

Целые числа Z

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь:

Натуральные числа N (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число — основное неопределяемое понятие.

Число 0

Такое число, при сложении с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства:

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Свойства:

1. Модуль любого числа — неотрицательное число.

2.Модули противоположных чисел равны.

3.Каждое число не больше своего модуля.

6.Модуль произведения равен произведению модулей множителей.

7.Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю).

9.Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа п противоположным считается число , а для числа противоположным считается число Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе месяце в г. Харкове -7,3 С, длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби

можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель.

Например,

Действительные числа и их свойства

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например,

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например, Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки начинают повторяться. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом. При записи периодической дроби период записывают

в скобках. Например,

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби являются записью одного и того же рационального числа

Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членоми знаменателем вычисляется по формуле

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке 1 изображены несколько рациональных чисел

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными.

Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой , то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа ,вы также встречались с иррациональными числами и др.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если (поскольку).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действиями над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами.

или или или При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 3), то расстояние . Если , то расстояние

 Модуль разности двух чисел — это расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется нам : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками На рисунке 4 эти точки изображены для случая хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков При параллельном переносе вдоль оси единиц точка перейдет в точку В, а точка С (с координатой ) в точку с координатой то есть в точку А.

Тогда СО = АВ. Но расстояние СО — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, СО = а значит, АВ =

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 1.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки а до точки, а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки ,получаем Это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если а если Следовательно, всегда то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что то получаем неравенство Отсюда что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа выполняется двойное неравенство.

При b > 0 неравенство означает, что число а на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает b (рис. 5), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 5), то есть в этом случае Наоборот, если число а удовлетворяет одному из этих неравенств, то.Следовательно, при

неравенстворавносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

• модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть
• модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

и обосновать с помощью метода математической индукции*.

 Действительно, формула (3) справедлива при

(как отмечалось выше, это следует из правил действий над числами с одинаковыми и разными знаками). Предположим, что эта формула справедлива при то есть допустим, что

С помощью формул (4) и (5) получаем, что и для следующего значения формула (3) также выполняется, посколькуТогда согласно методу математической индукции формула (3) справедлива для всех натуральных значений п, больших или равных 2.

Если в формуле (3) взять получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при к и учитывая, при всех значениях , получаем . Следовательно,

Для обоснования неравенства

запишем неравенство (1) для чисел

Складывая почленно эти неравенства, получаемУчитывая неравенство (2), имеем

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

С помощью метода математической индукции это свойство можно доказать и для случая слагаемых

Если в неравенстве (6) заменить и учесть, что, то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (6), то получим неравенство Отсюда

Если в неравенстве (8) заменить и учесть, что , то получим неравенство

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы в неравенствах (8) и (9) и учитывая, чтоимеем также неравенства

Полученные неравенства (6) - (10) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №55

Докажите, что сумма (разность, произведение, натуральная степень и частное, если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

Заданы два рациональных числа целые, натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где — целое число, натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь гдецелое, натуральное число. Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №56

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное действительное положительное число является рациональным не натуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях п это число всегда будет положительным.

Решение:

 Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это

число может быть только рациональной несократимой дробью где

натуральные числа . По определению корня степени имеем то есть Учитывая, что получаем, что дробь равная натуральному числу п, должна быть сократимой. Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число ) или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа не являются натуральными числами иррациональные числа.

Пример №57

Докажите, что число иррациональное.

Решение:

 Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в куб, имеемОтсюда

Следовательно, правая часть

этого равенства рациональное число (поскольку по предположению рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: допустить, что заданное действительное число является рациональным и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например, с тем, что иррациональное число. При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что при любом рациональном знаменатель полученной дроби

Пример №58

Решите уравнение

I способ

Решение:

или

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда + 5 = 7 или + 5 = -7.

II способ

Решение:

Комментарий:

С геометрической точки зрения это расстояние между точками координатной прямой. Запишем заданное уравнение так: | - (-5) | = 7. Тогда равенство | - (-5) | = 7 означает, что расстояние от точки 2х до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 6). Следовательно, заданное равенство выполняется тогда и только тогда, когда = , то есть заданное уравнение равносильно этой совокупности уравнений.

Пример №59

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 7), получаем

Следовательно,

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид и его можно решить, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки t. На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6. Тогда неравенству удовлетворяют те и только те точки, которые находятся в промежутке [-6; 6], то есть в промежутке Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

Понятия предела функции в точке и непрерывности функции

Понятие предела функции в точке:

Пусть задана некоторая функция, например . Рассмотрим график этой функции и таблицу ее значений в точках, которые на числовой прямой расположены достаточно близко к числу 2.

Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент к числу 2 (это обозначают так: и говорят, что стремится к 2), тем ближе значение функции к числу 3 (обозначают и говорят, что

стремится к 3). Это записывают также так: (читается:

«Лимит - 1 при , стремящемся к 2, равен 3») и говорят, что предел функции - 1 при , стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3.

В общем случае запись обозначает, что

то есть В — число, к которому стремится значение функции , когда стремится к

Запись обозначений с помощью знака модуля Обозначение и его смысл На числовой прямой точка х находится от точки а на малом расстоянии (меньше ).

Иллюстрация

Запись с помощью знака модуля f (х) В Значение f (я:) на числовой прямой находится на малом расстоянии от В (меньше е).

Определение предела функции в точке:

Число В называется пределом функции в точке а (при , стремящемся к а), если для любого положительного числа найдется такое положительное число что при всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Свойства предела функции:

Смысл правил предельного перехода Если то при

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Смысл правил предельного перехода. Если при то:

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют. Смысл правил предельного перехода

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

* Если значение удовлетворяет неравенствуто говорят, что точка х находится в 8-окрестности точки

** Это определение обязательно только для классов физико-математического профиля.

Смысл правил предельного перехода

Запись и формулировка правил предельного перехода

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Смысл правил предельного перехода

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Непрерывность функции в точке:

Определение:

Функция называется непрерывной в точке , если при ), то есть

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.

Если функции и g непрерывны в точке а, то сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда делитель

График функции, непрерывной на промежутке, — неразрывная линия на этом промежутке.

Все элементарные функции* непрерывны в каждой точке своей области определения, поэтому на каждом промежутке из области определения их графики — неразрывные линии.

Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то она сохраняет постоянный знак на этом интервале.

* Элементарными функциями обычно называют функции: и все функции, которые получаются из перечисленных выше с помощью конечного количества действий сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (функции от функции).

Метод интервалов (решение неравенств вида :

План:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции:
3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Пример №60

Решите неравенство Пусть Поскольку функция непрерывна на каждом из промежутков своей области определения (как частное двух непрерывных функций), то можно использовать метод интервалов.

1. ОДЗ: Тогда

2. Нули функции: (входит в ОДЗ).

3.

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Понятие предела функции в точке

Простейшее представление о пределе функции можно получить, рассматривая график функции (рис. 8). Из этого графика видно: чем ближе выбираются на оси Ох значения аргумента к числу 2 (это обозначается 2 и читается: « стремится к 2»), тем ближе будет значениена оси к числу 3.

Это можно записать так:

Знак lim (читается: «Лимит») — краткая запись латинского слова limes (лимес), что в переводе означает «предел ».

В общем виде запись означает, что при а значението есть В — число, к которому стремится значение функции когда стремится к

Чтобы дать определение предела функции в точке напомним, что расстояние между точками х и а на координатной оси — это модуль разности | а расстояние между точками и В на координатной оси — это модуль разности

Тогда запись означает, что на числовой прямой точка находится от точки на малом расстоянии — например, меньше какого-то положительного числа (рис. 9). Это можно записать так: . Обратим внимание, что запись означает, что стремится к , но не обязательно достигает значения , поэтому в определении предела функции в точке а рассматриваются значения Также обратим внимание, что в этом случае, когда значение х удовлетворяет неравенству , говорят, что точка х находится в -окрестности точки а.

Аналогично запись означает, что значение на числовой прямой находится на малом расстоянии от В — например, меньше какого-то положительного числа е (рис. 10). Это можно записать так:

Тогда можно дать следующее определение предела функции в точке: число В называется пределом функции в точке а (при х, стремящемся к а), если для любого положительного числа найдется такое положительное число что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Нахождение числа В по функции / называют предельным переходом. При выполнении предельных переходов можно пользоваться такими правилами":

Если нам известны пределы функций то для выполнения предельного перехода над суммой, произведением или частным этих функций достаточно выполнить соответствующие операции над пределами этих функций (для частного только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю).

То есть если при то * Обоснование правил предельного перехода приведены, гам же приведены примеры использования определения для доказательства того, что число В является пределом функции при

Отметим также, что в случае, когда функция является постоянной, то есть то при всех значениях х значение равно с, следовательно, и при значение . То есть предел постоянной равен самой постоянной.

Обратим внимание, что, согласно определению предел функции , при х, стремящемся к а, можно вычислить и в том случае, когда значение не входит в область определения функции . Например, областью определения функции являются все действительные числа, кроме числа 0. Для всех выполняется равенство Тогда при значение , то есть

Понятие непрерывности функции

Если значение входит в область определения функции , то для многих функций значение то есть Такие функции называются непрерывными в точке а". Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. Графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом промежутке, который полностью входит в область определения. На этом и основывается способ построения графиков «по точкам», которым мы постоянно пользовались. Строго говоря, при этом необходимо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция является непрерывной. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения, и это можно использовать при построении графиков и при вычислении пределов функций. Например, поскольку многочлен является непрерывной функцией, то

Из правил предельного перехода следует, что в случае, когда функции непрерывны в точке а, сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда

Например, функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций.

(Действительно,этого следует, что функция — непрерывная.)

Отметим еще одно важное свойство непрерывных функций, полное доказательство которого приводится в курсах математического анализа. Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. * Если в точке не выполняется условие то функция называется разрывной в точке а (а сама точка а называется точкой разрыва функции ).

Это свойство имеет простую наглядную иллюстрацию. Допустим, что функция на заданном интервале изменила свой знак(например, «-» на « + »). Это означает, что в какой-то точке значение функции отрицательно и тогда соответствующая точка М графика функции находится ниже оси В некоторой точке значение функции положительно соответствующая точка N графика находится выше оси

Но если график функции (который является неразрывной линией) перешел из нижней полуплоскости относительно оси в в верхнюю, то он обязательно хотя бы один раз на заданном интервале пересек ось , например в точке (рис. 11). Тогда что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и на заданном интервале функция не может изменить свой знак.

На последнем свойстве непрерывных функций основывается метод решения неравенств с одной переменной, называемый методом интервалов, который мы применяли в 10 классе.

Действительно, если функция непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то по сформулированному выше свойству непрерывных функций интервал I разбивается этими точками на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции в любой точке каждого из таких интервалов.

Схема решения неравенств вида методом интервалов приведена в учебнике для 10 класса и в пункте 6 таблицы 2.

Примеры решения задач:

Пример №61

Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка:

Решение:

Областью определения функции является множество всех действительных чисел R. Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка функция непрерывна.

Область определения функции то есть

Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения.

Промежуток полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка функция непрерывна.

Промежуток содержит точку 3, которая не входит в область определения функции g (я:). Следовательно, в этой точке функция не может быть непрерывной (не существует значение поэтому функция не является непрерывной в каждой точке промежутка

Комментарий:

Многочлен и дробно-рациональная функция являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция непрерывна как частное двух многочленов — непрерывных функций, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю). Поэтому в каждом из заданий необходимо найти область определения данной функции и сравнить ее с заданным промежутком.

Если этот промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то эта функция будет непрерывной в каждой точке заданного промежутка, а если нет, то функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в ее область определения.

Пример №62

Выясните, к какому числу стремится функция при

Решение:

 Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения Число 0 входит в область определения этой функции, поэтому при значение Ответ:

Комментарий:

Фактически в условии задачи говорится о нахождении предела функции при . Учитывая, что дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения: (как частное двух непрерывных функций — многочленов), получаем, что при значение . То

есть

Пример №63

Найдите:

Решение:

 1) Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке числовой прямой, поэтому

2)Дробно-рациональная функция

является непрерывной в каждой точке ее области определения Число 1 входит в область определения этой функции, поэтому

3) При

Тогда

Комментарий:

Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их областей определения. Это означает, что

в том случае, когда число а (к которому стремится входит в область определения функции (задания 1 и 2), получаем:

Если же число а не входит в область определения функции (задание 3), то пытаемся выполнить тождественные преобразования выражения f (х) при х Ф а, получить функцию, определенную при далее использовать непрерывность полученной функции при (в данном случае функции при

Напомним, что обозначение означает только то, что стремится к а (но не обязательно принимает значение а), и поэтому при значение

Пример №64

Решите неравенство

Решение:

 Заданное неравенство равносильно неравенству

Поскольку функция непрерывна в каждом из промежутков своей области определения, то можно применить метод интервалов.

1. ОДЗ. Поскольку всегда, то ОДЗ задается условиями: х Тогда .То есть

2.Нули

ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям:

(оба корня входят в ОДЗ).

3.Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 12). 4. Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство можно решить или с помощью равносильных преобразований, или методом интервалов. Если мы выберем метод интервалов, то сначала неравенство необходимо привести к виду

Для того чтобы решить неравенство методом интервалов, достаточно убедиться, что функция непрерывна (это требование всегда выполняется для всех элементарных функций ), и использовать известную схему решения:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции: = 0.
3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства. При нахождении нулей можно следить за равносильностью выполненных (на ОДЗ) преобразований полученного уравнения, а можно использовать уравнения-следствия и в конце выполнить проверку найденных корней.

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа -1 и 2).

Чтобы найти знак функции в каждом из полученных промежутков, достаточно сравнить величину дроби с единице и в любой точке из выбранного промежутка. (Для этого можно использовать график функции и при

Понятие производной, ее механический и геометрический смысл

Понятия приращения аргумента и приращения функции в точке :

Пусть — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки из области определения функции

Приращение аргумента

Приращение функции

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции:

Функция будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке отвечают малые изменения значений функции, то есть

Функция непрерывна в точке

Задачи, приводящие к понятию производной:

І. Мгновенная скорость движения точки по прямой — координата точки в момент времени 0 0 ср ( ) ІІ. Касательная к графику функции Касательной к графику функции в данной точке M называется предельное положение секущей MN. Когда точка N приближается к точ ке M (двигаясь по графику функции , то величина угла NMT при ближается к величине угла наклона касательной MA к оси Поскольку

Определение производной:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производные некоторых элементарных функций:

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции :

угловой коэффициент касательной

уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и угловому коэффициенту этой касательной. (Угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки.)

Механический смысл производной:

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента:

• зависимость пройденного пути от времени
• скорость прямолинейного движения
• ускорение прямолинейного движения

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции. Производную по времени используют для описания различных физических величин.

Например, мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения —это производная функции, выражающей зависимость пройденного пути от времени 8. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Если функция дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Объяснение и обоснование

Понятия приращения аргумента и приращения функции

Часто нас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки из области определения функции

Разность называется приращением независимой переменной (или

приращением аргумента) в точке и обозначается (читается: «Дельта икс»). Таким образом,

Из этого равенства имеем

то есть первоначальное значение аргумента получило приращение Отметим, что при значение больше, чем а при значение меньше, чем (рис. 14).

Тогда значение функции изменилось на величину

Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину

(2)

(рис. 15), которая называется приращением функции в точке что соответствует приращению аргумента (символ читается: «Дельта еф»).

Из равенства (2) получаем

Обратим внимание на то, что при фиксированном приращение является функцией от приращения

Если функция задается формулой то называют также приращением зависимой переменной и обозначают через

Например, если то приращение соответствующее приращению равно:

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции

Напомним, что функция f (х) является непрерывной в точке если при то есть Но если

то есть (и наоборот, если то естьСледовательно, условиеэквивалентно условию Аналогично утверждение эквивалентно условиюто есть Таким образом, функция f (х) будет непрерывной в точкетогда и только тогда, когда при то есть если малым изменениям аргумента в точке соответствуют малые изменения значений функции. Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения функции.

Задачи, приводящие к понятию производной в математике

Рассмотрим задачу, известную из курса физики, — движение материальной точки по прямой.

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции:

Если функция является математической моделью реального процесса, то часто возникает необходимость находить разность значений этой функции в двух точках. Например, обозначим через суммы средств, которые накопились на депозитном¹ счете вкладчика к моментам времени и . Тогда разность показывает прибыль, которую получит вкладчик за время .

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть — фиксированная точка из области определения функции f.

Если — произвольная точка области определения функции такая, что то разность называют приращением аргу­мента функции в точке и обозначают (читают: «дельта икс»)². Имеем: Отсюда

Говорят, что аргумент получил приращение в точке

Отметим, что приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: если то если то Если аргумент в точке получил приращение то значение функции изменилось на величину

Эту разность называют приращением функции в точке и обо значают (читают: «дельта эф»).

¹ Депозитный — от депозит (банковский вклад) — деньги, которые вкладчик передает банку на некоторый срок, за что банк выплачивает вкладчику проценты.

² Говоря о приращении аргумента функции в точке , здесь и далее будем предполагать, что в любом промежутке вида есть точки области определения функции , отличные от

Имеем:

Для приращения функции у = f(x) принято также обозначение , то есть

Приращение аргумента в точке и соответствующее приращение функции показаны на рисунке 18.1.

Отметим, что для фиксированной точки приращение функции f в точке является функцией с аргументом

Пример №65

Найдите приращение функции в точке , которое соответствует приращению аргумента.

Решение:

Имеем:

Ответ:

Задача о мгновенной скорости:

Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлении, за 2 ч преодолел путь 120 км. Тогда его 120 средняя скорость движения равна: Найденное значение скорости дает неполное представление о характере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться быстрее, на других — медленнее, иногда мог останавливаться. Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомобиля показывал некоторую величину — скорость в данный момент времени. Значения скорости в разные моменты более полно характеризуют движение автомобиля. Рассмотрим задачу о поиске скорости в данный момент времени на примере равноускоренного движения.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой и через время t после начала движения имеет координату s(t). Тем самым задана функция у = s(t), позволяющая определить положе­ние точки в любой момент времени. Поэтому эту функцию называют законом движения точки. Из курса физики известно, что закон равноускоренного движения задается формулой где — координата точки в начале движения (при t = 0), — начальная скорость, — ускорение.

Пусть, например,Тогда Зафиксируем какой-нибудь момент времени и придадим аргументу в точке приращение , то есть рассмотрим промежуток времени от до . За этот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение Имеем:

Средняя скорость движения точки за промежуток времени от до равна отношению Получаем:

Обозначение для средней скорости подчеркивает, что при заданном законе движения у = s(t) и фиксированном моменте времени і значение средней скорости зависит только от

Если рассматривать достаточно малые промежутки времени от до то из практических соображений понятно, что средние скорости за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то есть величина почти не изменяется. Чем меньше тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени Иными словами, если значения стремятся к нулю (обозначают ), то значения стремятся к числу Число называют мгновенной скоростью в момент времени Это записывают так: Говорят, что число является пределом функции при

Если в приведенном примере , то значения выражения стремятся к числу которое является значением мгновенной скорости , то есть

Этот пример показывает, что если материальная точка движется по закону то ее мгновенную скорость в момент времени определяют с помощью формулы

то есть

Задача о касательной к графику функции:

Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой. Например, ось ординат имеет с параболой только одну общую точку (рис. 18.2). Однако интуиция подсказывает, что неестественно считать эту прямую касательной к данной параболе. Вместе с тем в курсе алгебры мы нередко говорили, что парабола касается оси абсцисс в точке Уточним наглядное представление о касательной к графику функции.

Пусть М — некоторая точка, лежащая на параболе Проведем прямую ОМ, которую назовем секущей (рис. 18.3). Представим, что точка М, двигаясь по параболе, приближается к точке О. При этом секущая ОМ будет поворачиваться вокруг точки О. Тогда угол между прямой ОМ и осью абсцисс будет все меньше и меньше, а секущая ОМ будет стремиться занять положение оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс считают касательной к параболе в точке О. Рассмотрим график некоторой функции и точку В точке придадим аргументу приращение и рассмотрим на графике точку где (рис. 18.4).

Из рисунка видно, что если становится все меньше и меньше, то точка М, двигаясь по графику, приближается к точке . Если при секущая стремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 18.4 это прямая ), то такую прямую называют касательной к графику функции в точке .

Пусть секущая имеет уравнение и образует с положительным направлением оси абсцисс угол Как известно, угловой коэффициент прямой равен то есть Очевидно, что (рис. 18.4). Тогда из треугольника получаем:

Введем обозначение для углового коэффициента секущей , тем самым подчеркивая, что для данной функции и фиксированной точки угловой коэффициент секущей зависит только от приращения аргумента. Имеем:

Пусть касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол Тогда ее угловой коэффициент равен Естественно считать, что чем меньше , то тем меньше значение углового коэффициента секущей отличается от значения угло­ вого коэффициента касательной. Иными словами, если то Вообще, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой определяют с помощью формулы

то есть

Понятие производной:

В предыдущем пункте, решая две разные задачи о мгновенной скорости материальной точки и об угловом коэффициенте касательной, мы пришли к одной и той же математической модели —

пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

(1)

(2)

К аналогичным формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, экономики и других наук. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоить название, ввести обозначение, изучить ее свойства и научиться их применять.

Определение. Производной функции в точке на­зывают число, равное пределу отношения приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции в точке обозначают так: (читают: «эф штрих от икс нулевого») или Можно записать:

или

Исходя из определения мгновенной скорости (1), можно сделать следующий вывод: если — закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени равна значению производной функции у = s(t) в точке , то есть

Это равенство выражает механический смысл производной.

Исходя из формулы для углового коэффициента касательной (2), можно сделать следующий вывод: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен значению производной функции в точке , то есть

Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Если функция имеет производную в точке то эту функцию называют дифференцируемой в точке .

Если функция дифференцируема в каждой точке области определения, то ее называют дифференцируемой.

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием функции .

Пример №66

Продифференцируйте функцию

Решение:

Найдем производную функции в точке , где — произвольная точка области определения функции

1)

2) 3) по определению производной

Следовательно, Поскольку — произвольная точка области определения функции , то последнее равенство означает, что для любого выполняется равенство

Вывод о том, что производная линейной функции равна записывают также в виде

(3) Если в формулу (3) подставить k = 1 и b = 0, то получим:

Если же в формуле (3) положить k = 0, то получим:

Последнее равенство означает, что производная функции, яв­ляющейся константой, в каждой точке равна нулю.

Пример №67

Найдите производную функции

Решение:

Найдем производную функции в точке , где — произвольная точка области определения функции .

1)

2)

3) если то при любом значения выражения стремятся к числу . Следовательно,

Поскольку — произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство

Последнее равенство записывают также в виде

(4 )

Формула (4) — частный случай более общей формулы

(5 )

Например,

Формула (5) остается справедливой для любого то есть

(6) Например, воспользуемся формулой (6) для нахождения производной функции Имеем:

Следовательно, для любого выполняется равенство или

Формулу (6) также можно обобщить для любого

(7)

Например, найдем производную функции воспользо­вавшись формулой (7). Имеем:

Следовательно, для можно записать: или

Вообще, производную функции можно находить по формуле

(8)

Если — нечетное натуральное число, то формула (8) позволяет находить производную функции во всех точках таких, что

Если — четное натуральное число, то формула (8) позволяет находить производную функции для всех положительных значений Обратимся к тригонометрическим функциям и

Эти функции являются дифференцируемыми, и их производные находят по следующим формулам:

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных.

Мгновенная скорость движения точки по прямой

Пусть координата х точки в момент времени t равна .Как и в курсе физики, будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости определить скорость, с которой точка движется в момент времени (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим промежуток времени от (рис. 16). Определим среднюю скорость на промежутке как отношение пройденного пути к времени движения:

Для определения мгновенной скорости точки в момент времени сделаем так, как вы делали на уроках физики: возьмем промежуток времени продолжительности , вычислим среднюю скорость на этом промежутке и начнем уменьшать промежуток до нуля (то есть уменьшать отрезок и приближать . Мы заметим, что значение средней скорости при стремлении At к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени . Иными словами, мгновенной скоростью в момент времени называется предел отношения если то есть Например, рассмотрим свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задается формулой

1. Найдем сначала
2. Найдем среднюю скорость:
3. Выясним, к какому числу стремится отношение при это и будет мгновенная скорость в момент времени

Если а поскольку величина постоянная, то Последнее число и является значением мгновенной скорости точки в момент времени Мы получили известную из физики формулу Используя понятие предела, это можно записать так:

Касательная к графику функции

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного матириала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбраной точке (рис. 17). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой.

Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык.

Пусть задана некоторая кривая и точка на ней (рис. 18). Возьмем на этой прямой другую точку и проведем прямую через точки и. Эту прямую обычно называют секущей. Начнем приближать точку к точке . Положение секущей будет изменяться, но при приближении точки к точке оно начнет стабилизироваться.

Касательной к кривой в данной точке называется предельное положение секущей

Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции а точка , находящаяся на графике, задана своими координатами Касательной является не-

которая прямая, проходящая через точку М (рис. 19).

Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол наклона касательной* к оси

Пусть точка N (через которую проходит секущая MN) имеет абсциссу Когда точка N, двигаясь по графику функции приближается к точке М (это будет при ),то величина угла NMT приближается к величине угла наклона касательной МА к оси Поскольку значениеприближается к то есть

Фактически мы пришли к той же задаче, что и при нахождении мгновенной скорости: найти предел отношения выражения вида

(где — заданная функция) при Найденное таким образом число называют производной функции

Определение производной и её применение в математике

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции обозначается и читается: «Еф штрих в точке ». Коротко определение производной функции можно записать так:

Учитывая определение приращения функции соответствующего приращению определение производной можно записать также следующим образом:

Функцию имеющую производную в точке называют дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

* Будем рассматривать невертикальную касательную (то есть ).

Для нахождения производной функции по определению можно пользоваться такой схемой:

1. Найти приращение функции соответствующее приращению аргумента
2. Найти отношение
3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение при Это и будет производной данной функции.

Производные некоторых элементарных функций

Обоснуем, пользуясь предложенной схемой:

1. Вычислим производную функции где с — постоянная.

1) Найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента

2) Найдем отношение

3) Поскольку отношение постоянно и равно нулю, то и предел этого

отношения при также равен нулю. Следовательно, то есть

2. Вычислим производную функции

3) Поскольку отношение постоянно и равно 1, то и предел этого отношения при также равен единице. Следовательно, то есть

3. Вычислим производную функции

3) При значение Это означает, что

Тогда производная функции в произвольной точке х равна: Таким образом,

4. Вычислим производную функции

3) При значение Это означает, что Тогда производная функции в произвольной точке х из ее области определения (то есть при ) равна:

Следовательно,

5. Вычислим производную функции

Умножим и разделим полученное

выражение на сумму и запишем следующим образом:

3) При значение

Это означает, чтоТогда производная функции в произвольной точке : из области определения функции, кроме Следовательно,

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции y=f(x)

Учитывая определение производной функции запишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции.

Как было обосновано выше, тангенс угла наклона касательной в точке М с абсциссой (рис. 20) вычисляется по формуле С другой стороны,

Напомним, что в уравнении прямой угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки). Следовательно, если — угловой коэффициент касательной, то То есть значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и равно угловому коэффициенту этой касательной (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки).

Таким образом, если уравнение касательной к графику функциив точке М с абсциссой (и ординатой Тогда уравнение касательной можно записать так: Чтобы найти значение учтем, что эта касательная проходит через точку Следовательно, координаты точки М удовлетворяют последнему уравнению, то есть Отсюда и уравнение касательной имеет вид Его удобно записать так:

Это уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Замечание. Угол который образует невертикальная касательная к графику функции в точке с абсциссой с положительным направлением оси может быть нулевым, острым или тупым. Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда (то есть угол будет острым, а в случае, когда угол будет тупым. Если (то есть касательная параллельна оси или совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции в точке с абсциссой образует с положительным направлением оси острый угол если тупой угол — то а если касательная параллельна оси или совпадает с ней

Если же касательная образует с осью прямой угол то функция производной в точке не имеет ( не существует).

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точкедля функции

и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения:

можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути s от времени t; ускорение неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости от времени t.

Если — зависимость пройденного пути от времени, то

— скорость прямолинейного движения

— ускорение прямолинейного движения.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

 Если функция дифференцируема в точкето в этой точке существует ее производная То есть при

Для обоснования непрерывности функции достаточно обосновать, что при

Действительно, при Из этого следует, что функция непрерывна в точке Таким образом, если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Из этого утверждения следует:

• если функция дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.

Например, функция (рис. 21) непрерывна при всех значениях , но она не имеет производной в точке Действительно, если

Поэтому при отношение не имеет предела, а значит, и функция не имеет производной в точке 0.

Замечание. Тот факт, что непрерывная функция не имеет производной в точке , означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси ). График в этой точке будет иметь излом.

Например, к графику непрерывной функции (рис. 22) в точке М с абсциссой нельзя провести касательную (а значит, эта функция не имеет производной в точке 1). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка N будет приближаться к точке М по левой части графика, то секущая MN займет предельное положение МА. Если же точка К будет приближаться к точке М по правой части графика, то секущая МК займет предельное положение MB. Но это две разные прямые, следовательно, в точке М касательной к графику данной функции не существует.

Примеры решения задач:

Пример №68

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , к оси , если

Решение:

По геометрическому смыслу производной Учитывая, что получаем

Следовательно,

 Посколькуто По геометрическому смыслу производной

Следовательно,

Комментарий:

По геометрическому смыслу производной где — угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , к оси. Поэтому для нахождения tg ф достаточно найти производную функции , а затем найти значение производной в точке .

Для нахождения производных заданных функций отметим, что соответствующие формулы производных приведены в пункте 5 таблицы 3. Поэтому далее при решении задач мы будем использовать эти формулы как табличные значения.

Пример №69

Используя формулу запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение:

Если

Тогда Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем То есть искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывается так:

Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение ,производную и значение . Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через и использовать табличное значение производной:

Правила вычисления производных в математике

1. Производные некоторых элементарных функций:

Правила дифференцирования:

Правило Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Пример:

Правило Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных

Пример:

Правило

Пример:

Правило

Пример:

Производная сложной функции (функции от функции):

Если то есть

Коротко это можно записать так*:

Пример:

* В обозначениях нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная.

Правила вычисления производных с помощью формул:

Для вычисления производных будем использовать формулы:

  

Внесем их в таблицу.

Рассмотрим несколько правил вычисления производных:

Производная суммы

1. Производная суммы: если функции  имеют производные, то производная суммы равна сумме производных, т. е. 

Доказательство. Пусть  Рассмотрим сумму приращений функций 

Если  стремится к нулю, то 

Пример №70

Найдите производную функции:

Решение:

 

Производная произведения

2. Производная произведения: если функции  имеют производные, то 

Пример №71

Найдите производную функции: 

Решение:

 

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: 

Пример №72

Найдите производную функции: 

Решение:

 

Производная частного

3. Производная частного: если функции  имеют производные, то 

 

Пример №73

Найдите производную функции:

Решение:

 

Производная степени

4. Производная степени: производная степени равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и показателем на единицу меньше, т. е.  где 

Пример №74

Найдите производную функции: 

Решение:

Более подробное объяснение правил вычисления производных:

При вычислении производных удобно пользоваться следующими теоремами¹.

Теорема 20.1 (производная суммы). В тех точках, в ко­торых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Кратко говорят: производная суммы равна сумме производных. Также принята следующая упрощенная запись:

Теорему 20.1 можно обобщить для любого конечного количества слагаемых:

¹ Условия теорем 20.1-20.3 предусматривают следующее: если функ­ции u дифференцируемы в точке , то соответственно функции и определены на некотором промежутке, содержащем точку

Теорема 20.2 (производна я произведения). В тех точ­ках, в которых дифференцируемы функции и , также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята следующая упрощенная запись:

Следствие 1. В тех точках, в которых дифференцируема функция , также является дифференцируемой функция , где — некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство

Кратко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Также принята следующая упрощенная запись:

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведе­ния, можно записать:

Следствие 2. В тех точках, в которых дифференцируемы функции , также является дифференцируемой функция , причем для всех таких точек выполняется равенство

Доказательство. Имеем:

Теорема 20.3 (производная частного). В тех точках, в которых функции дифференцируемы и значение функции не равно нулю, функция также является дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята следующая упрощенная запись:

Пример №75

Найдите производную функции: 1)

2) 3) 4)

Решение:

1) Пользуясь теоремой о производной суммы и следствиями из теоремы о производной произведения, получаем:

2) По теореме о производной произведения получаем:

3) Имеем:

4) По теореме о производной частного получаем:

Используя теорему о производной частного, легко доказать, что

Действительно,

Уравнение касательной

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную (рис. 21.1).

Из курса геометрии 9 класса вы знаете, что уравнение невертикальной прямой имеет вид где — угловой коэффициент этой прямой.

Исходя из геометрического смысла производной, получаем:

Тогда уравнение касательной можно записать в следующем виде: (1)

Эта прямая проходит через точку Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению (1).

Имеем: Отсюда

Тогда уравнение (1) можно переписать следующим образом:

Следовательно, если функция дифференцируема в точке , то уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , имеет вид

Пример №76

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение:

Имеем:

Подставив найденные числовые значения в уравнение касатель­ной, получаем: , то есть . Ответ:

Признаки возрастания и убывания функции

Вы знаете, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция такова, что для всех из промежутка выполняется равенство , то является ли функция константой на промежутке ?

Теорем а 22.1 (признак постоянстве функции). Если для всех из промежутка выполняется равенство , то функция является константой на этом промежутке.

На рисунке 22.1 изображен график функции . Эта функция обладает следующими свойствами: на промежутке она убывает, а на промежутке возрастает. При этом на промежутке производная принимает отрицательные значения. а на промежутке — положительные значения.

Этот пример показывает, что знак производной функции на некотором промежутке связан с тем, является ли эта функция возрастающей (убывающей) на промежутке .

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 22.2 (признак возрастания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство , то функция возрастает на зтом промежутке.

Теорема 22.3 (признак убывания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство , то функция убывает на зтом промежутке.

Пример №77

Найдите промежутки возрастания и убывания функ­ции

Решение:

Имеем: . Решив неравенства и , приходим к выводу: на промежутке на промежутке . Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

На рисунке 22.2 изображен график функции . Из рисунка видно, что на самом деле функция возрастает на промежутке и убы­вает на промежутке , включая точку .

При записи ответа будем руководствоваться следующим правилом: если функция дифференцируема в каком-то из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. В приведенном примере функция дифференцируема в точке , потому эту точку присоединили к промежуткам .

Ответ: возрастает на , убывает на .

Пример №78

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

Решение:

Имеем: . Исследуем знак производной (рис. 22.3) и учтем дифференцируемость функции в точках . Получаем, что функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на промежутке

Точки экстремума функции

Знакомясь с понятием дифференцируемости функции в точке, мы исследовали поведение функции вблизи этой точки или, как принято говорить, в ее окрестности.

Определение. Промежуток , содержащий точку , называют окрестностью точки

Например, промежуток (-1; 3) — одна из окрестностей точки 2,5. Вместе с тем этот промежуток не является окрестностью точки 3. На рисунке 23.1 изображены графики двух функций. Эти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение. Точку называют точкой максимум а функции , если существует окрестность точки такая, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство .

Например, точка является точкой максимума функции (рис. 23.2). Записывают

На рисунке 23.1

Определение. Точку называют точкой минимума функ­ции , если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой минимума функции (рис. 23.2). Записывают: На рисунке 23.3 изображены графики функций, для которых является точкой минимума, то есть

Точки максимума и минимума имеют общее название: их называют точками экстремума функции (от латинского extremum — край, конец). На рисунке 23.4 точки являются точками экстремума. На рисунке 23.5 изображен график функции , которая на промежутке является константой. Точка является точкой максимума, точка — минимума, а любая точка промежутка является одновременно как точкой максимума, так и точкой минимума функции . Наличие экстремума функции в точке связано с поведением функции в окрестности этой точки. Так, для функций, графики которых изображены на рисунке 23.6, имеем: на рисунке 23.6, a

функция возрастает на промежутке и убывает на промежут­ке ; на рисунке 23.6, б функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке

Вы знаете, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убывания) дифференцируемой функции. Две теоремы, приведенные ниже, показывают, как с помощью производной можно находить точки экстремума дифференцируемой функции.

Теорем а 23.1 (признак точки максимум а функции). Пусть функция дифференцируема на промежутке — некоторая точка этого промежутка. Если для всех выполняется неравенство , а для всех выполняется неравенство , то точка является точкой максимума функции (рис. 23.6, а).

Теорем а 23.2 (признак точки минимум а функции). Пусть функция дифференцируема на промежутке — некоторая точка этого промежутка. Если для всех выполняется неравенство , а для всех выполняется неравенство , то точка является точкою минимума функции (рис. 23.6, б).

Иногда удобно пользоваться упрощенными формулировками этих двух теорем: если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то — точка максимумах если производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума. Итак, для функции точки экстремума можно искать по сле­дующей схеме.

1. Найти
2. Исследовать знак производной.
3. Пользуясь соответствующими теоремами, найти точки экстремума.

Пример №79

Найдите точки экстремума функции: 1) 2)

Решение:

1) Имеем:

Исследуем знак производной В окрестностях точек (рис. 23.7). Получаем:

2) Имеем:

Решая неравенство и учитывая, что при , получаем, что на промежутках и . Рассуждая аналогично, можно установить, что на промежутках (-1; 1) и (1; 3). Рисунок 23.8 иллюстрирует полученные результаты. Теперь можно сделать следующие выводы: