Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Для того чтобы научиться понимать и вычислять производную нужно изучить основы математики, поэтому приступаем к изучению понятия производной.

Содержание:

Понятие производной

Рассмотрим последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решения

Выпишем несколько первых членов этой последовательности: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если члены этой последовательности изображать точками на координатной прямой, то эти точки будут располагаться все ближе и ближе к точке с координатой Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 1.1). Производная - определение и вычисление с примерами решения

Иными словами, значение выражения Производная - определение и вычисление с примерами решенияс увеличением номера Производная - определение и вычисление с примерами решениястановится все меньшим и меньшим. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, например, решив неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения устанавливаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения а решив неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения устанавливаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решенияи т. д. Вообще, начиная с некоторого номера Производная - определение и вычисление с примерами решения значение выражения Производная - определение и вычисление с примерами решениястановится меньше любого наперед заданного положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения(читают «эпсилон»).

Найти Производная - определение и вычисление с примерами решения можно, решив неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения В этом случае говорят, что число Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется пределом последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решения

Говорят также, что с увеличением номера Производная - определение и вычисление с примерами решения лены последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решения заданную формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения члена Производная - определение и вычисление с примерами решения

Предел числовой последовательности

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:Производная - определение и вычисление с примерами решения

С увеличением номера Производная - определение и вычисление с примерами решениячлены последовательности стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 1.2).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что для любого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения можно указать такой номер Производная - определение и вычисление с примерами решениячто для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решенияПоскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения

то номер Производная - определение и вычисление с примерами решенияможно найти, решив неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение. ЧислоПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияназывают пределом последовательностиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения если для любого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решениясуществует такой номер Производная - определение и вычисление с примерами решениячто для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пишут: Производная - определение и вычисление с примерами решения (тут lim, — это начальные буквы французского слова limite — предел). Для примеров, рассмотренных выше, можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся.

Можно доказать, что каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Пример №1

Последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решениязадана формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения Найдите Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Докажем, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияДействительно, Производная - определение и вычисление с примерами решения при всех Производная - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому для произвольного положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решенияи для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 4.

Производная и её применение

Последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решения все члены которой равны, называют стационарной. Аналогично примеру Производная - определение и вычисление с примерами решенияможно доказать, что каждая стационарная последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решениягдеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения имеет предел, равный числу Производная - определение и вычисление с примерами решения

Понятие предела последовательности имеет простую геометрическую интерпретациюПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство вида Производная - определение и вычисление с примерами решенияравносильно неравенствам Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что если Производная - определение и вычисление с примерами решениято для любого Производная - определение и вычисление с примерами решениянайдется номер Производная - определение и вычисление с примерами решенияначиная с которого все члены последовательности принадлежат интервалу Производная - определение и вычисление с примерами решения Иными словами, каким бы малым не был интервал Производная - определение и вычисление с примерами решениячлены последовательности, сходящейся к числуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения рано или поздно попадут в этот интервал и уже никогда не выйдут за его границы, то есть вне указанного интервала может находиться только конечное количество членов последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Например, последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решениязаданная формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения является расходящейся, так как любой интервал Производная - определение и вычисление с примерами решениясодержит только конечное количество членов последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 1.3).Производная - определение и вычисление с примерами решения

Расходящейся является и последовательностьПроизводная - определение и вычисление с примерами решениязаданная формулой Производная - определение и вычисление с примерами решенияДействительно, предположим, что последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется сходящейся и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда дляПроизводная - определение и вычисление с примерами решения вне интервалаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения длина которого равна Производная - определение и вычисление с примерами решениядолжно находиться только конечное количество членов последовательностиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Выписав несколько первых членов последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решениявидим, что ни при какомПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияинтервал Производная - определение и вычисление с примерами решения не может содержать числаПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияодновременно (рис. 1.4). Это означает, что вне интервала Производная - определение и вычисление с примерами решениянаходится бесконечное количество членов последовательности: илиПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияили Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияОбращаясь к геометрической интерпретации, промежуток вида Производная - определение и вычисление с примерами решениячасто называют интервалом, а промежуток вида Производная - определение и вычисление с примерами решенияотрезком.

Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решениярасходящаяся последовательность. Находить пределы числовых последовательностей помогает следующая теорема.

Теорема 1.1 (об арифметических действиях с пределами последовательностей). Если последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решениясходящиеся, то последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решениятакже являются сходящимися, причемПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Если, кроме этого, Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри всех Производная - определение и вычисление с примерами решения то сходящейся также является последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решенияпричем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство теоремы проведем только для последовательности Производная - определение и вычисление с примерами решения Для последовательностей Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения с доказательством теоремы вы сможете ознакомиться, например, по учебнику «Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики»Производная - определение и вычисление с примерами решения, п. 46.

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда для произвольного числа Производная - определение и вычисление с примерами решениясуществует такой номерПроизводная - определение и вычисление с примерами решениячто для всехПроизводная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда для произвольного числаПроизводная - определение и вычисление с примерами решениясуществует такой номер Производная - определение и вычисление с примерами решениячто для всехПроизводная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решениято естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Выберем такой номер Производная - определение и вычисление с примерами решениячто Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда для всехПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияодновременно выполняются неравенстваПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Сложив эти неравенства, получим

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если для любого числа Производная - определение и вычисление с примерами решения выбрать Производная - определение и вычисление с примерами решениято последнее неравенство можно переписать в видеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, для любогоПроизводная - определение и вычисление с примерами решениясуществует такой номер Производная - определение и вычисление с примерами решениячто для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения. Это значит, что последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется сходящейся и

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Найдите Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность с общим членом Производная - определение и вычисление с примерами решения представлена в виде суммы двух сходящихся последовательностей с общими членами Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда можно записать:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Вычислите предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби Производная - определение и вычисление с примерами решенияна Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

В числителе и знаменателе полученной дроби записаны общие члены сходящихся последовательностей. Тогда:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 1.2. Если последовательность Производная - определение и вычисление с примерами решения является сходящейся и Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри всех Производная - определение и вычисление с примерами решениято последовательность с общим членом Производная - определение и вычисление с примерами решения также является сходящейся, причем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Вычислите предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Проведем тождественные преобразования:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теперь получаемПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Представление о пределе функции в точке и о непрерывности функции в точке

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения и точку Производная - определение и вычисление с примерами решения Если значения аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения(обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения), то соответствующие значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 2.1).

Иными словами: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения, то соответствующие значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениябудут все меньше и меньше отличаться от числа Производная - определение и вычисление с примерами решения.

В этом случае говорят, что число Производная - определение и вычисление с примерами решения является пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, и записывают Производная - определение и вычисление с примерами решенияили Производная - определение и вычисление с примерами решения

Также используют такую запись: Производная - определение и вычисление с примерами решения Например, с помощью рисунка 2.2 можно сделать вывод, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если обратиться к рисунку 2.3, то можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 2.4 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Эта функция не определена в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияа во всех других точках совпадает с функцией Производная - определение и вычисление с примерами решения(сравните рис. 2.1 и рис. 2.4). Однако если значения аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения, то соответствующие значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решениято есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Этот пример показывает, что функция может быть не определена в точке, но иметь предел в этой точке.

Рассмотрим функциюПроизводная - определение и вычисление с примерами решения При Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучаем Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения График функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияизображен на рисунке 2.5.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если значения аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к Производная - определение и вычисление с примерами решениято невозможно утверждать, что значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к какому-нибудь определенному числу. Действительно, если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь отрицательными, то соответствующие значения функции стремятся к Производная - определение и вычисление с примерами решения а если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции стремятся к Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому функцияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияв точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела.

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 2.6). Если значения Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к Производная - определение и вычисление с примерами решениято соответствующие значения функции становятся все большими и большими. Поэтому не существует числа, к которому стремятся значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри условии, что значения аргумента стремятся к Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияне имеет предела в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Мы привели примеры двух функций, которые не определены в некоторой точке и не имеют предела в этой точке.

Ошибочным было бы считать, что если функция определена в некоторой точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то она обязательно имеет предел в этой точке. На рисунке 2.7 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, которая определена в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения но не имеет предела в этой точке.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 2.8 изображены графики функций Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения которые определены в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и имеют предел в этой точке. Однако поведение этих функций в точке Производная - определение и вычисление с примерами решениясущественно различается. График функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в отличие от графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет разрыв. Такое различие поведения функций Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке Производная - определение и вычисление с примерами решения можно охарактеризовать с помощью предела.

Для функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияимеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияДля функции Производная - определение и вычисление с примерами решения можно записать:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Иными словами: предел функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения равен значению функции в этой точке.

В таком случае говорят, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Из равенства Производная - определение и вычисление с примерами решения следует, что если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения или не определена в этой точке, то она не может быть непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Например, функция, график которой изображен на рисунке 2.7, не является непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Также не является непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 2.9).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в каждой точке некоторого множества Производная - определение и вычисление с примерами решения то говорят, что она непрерывна на множестве Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна на Производная - определение и вычисление с примерами решения а функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной на Производная - определение и вычисление с примерами решениято такую функцию называют непрерывной.

Определение предела функции в точке

В предыдущем пункте вы получили представление о пределе функции в точке. Перейдем к формированию строгого определения.

На рисунке 3.1 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и на осях абсцисс и ординат отмечены соответственно точки Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения Заметим, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решениянекоторое положительное число. На оси ординат рассмотрим интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения На оси абсцисс ему соответствует такой интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения содержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, что для любого Производная - определение и вычисление с примерами решениясоответствующие значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения принадлежат промежутку Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть выполняются неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решенияИными словами, для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Сузим промежуток на оси ординат, то есть рассмотрим интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда для числа Производная - определение и вычисление с примерами решения можно указать такой интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения оси абсцисс, содержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, что для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 3.1).

На рисунке 3.2 изображен график такой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения , что Производная - определение и вычисление с примерами решения Рисунок 3.3 соответствует функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, для которой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

В каждом из случаев, изображенных на рисунках 3.1-3.3, для любого Производная - определение и вычисление с примерами решенияможно указать такой интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения содержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приведенные соображения позволяют дать такое определение предела функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Определение. Число а называют пред ел ом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, если для любого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения существует такой интервал Производная - определение и вычисление с примерами решениясодержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения что для любого Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что предел функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения характеризует значения функции вокруг точки Производная - определение и вычисление с примерами решения, в то время как поведение функции в самой точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияне влияет на значение предела (обратите внимание на условие Производная - определение и вычисление с примерами решенияв определении предела). Поэтому для каждой из функций Производная - определение и вычисление с примерами решения, графики которых изображены на рис. 3.1-3.3, можно записать Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 3.4 точка Производная - определение и вычисление с примерами решения такова, что слева (справа) от нее нет точек, принадлежащих области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

В каждом из случаев, изображенных на этом рисунке, для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения можно указать такой интервал Производная - определение и вычисление с примерами решениясодержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что число Производная - определение и вычисление с примерами решения является пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Если интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения содержит точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, то существует такое положительное число Производная - определение и вычисление с примерами решениячто промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения принадлежит Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 3.5). Интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения называют Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестностью точки Производная - определение и вычисление с примерами решения. Объединение интервалов Производная - определение и вычисление с примерами решения называют проколотой Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестностью точки Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 3.6).

Очевидно, что при Производная - определение и вычисление с примерами решениямножеством решений неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения, а множеством решений двойного неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется проколотая Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Тогда, если точка Производная - определение и вычисление с примерами решения принадлежит интервалу Производная - определение и вычисление с примерами решения, то этот интервал содержит некоторую проколотую Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть множество, являющееся решением двойного неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решениягде Производная - определение и вычисление с примерами решениянекоторое положительное число (рис. 3.7).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теперь приведенное определение предела функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке можно переформулировать так.

Определение. Число Производная - определение и вычисление с примерами решения называют пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке Производная - определение и вычисление с примерами решения если для любого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения существует такое положительное число Производная - определение и вычисление с примерами решения что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения следует неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рисунок 3.8 иллюстрирует это определение.

Замечание. Если существует проколотая Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения, в которой функция не определена (рис. 3.9), то предел функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не определяют.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

С помощью определения предела функции в точке докажите, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Для каждого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения рассмотрим неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Преобразовав его, запишем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Полученное неравенство подсказывает, каким образом для данного Производная - определение и вычисление с примерами решения можно найти подходящее число Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда из условия Производная - определение и вычисление с примерами решенияследует, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Сказанное означает, что число Производная - определение и вычисление с примерами решения является пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №6

Докажите, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решениясовпадает с функцией Производная - определение и вычисление с примерами решения

А поскольку значение предела функции в точке не зависит от того, определена ли функция в этой точке, то достаточно показать, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решениягде Производная - определение и вычисление с примерами решениянекоторое положительное число. После преобразований получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения Теперь понятно, как можно выбрать Производная - определение и вычисление с примерами решения Возьмем Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда из условия Производная - определение и вычисление с примерами решения следует, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения Тем самым доказано, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №7

Докажите, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияне имеет предела в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Предположим, что предел функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения существует и равен Производная - определение и вычисление с примерами решения Покажем, что, например, для Производная - определение и вычисление с примерами решения невозможно подобрать такое Производная - определение и вычисление с примерами решения чтобы из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения следовало неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения становится таким: Производная - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения становится таким: Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку не существует значений Производная - определение и вычисление с примерами решения которые бы удовлетворяли каждому из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела.

Теорема об арифметических действиях с пределами функций в точке

Находить предел функции в точке с помощью определения предела Производная - определение и вычисление с примерами решения задача трудоемкая. Облегчить процесс поиска предела позволяет теорема об арифметических действиях с пределами функцийПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 4.1 (об арифметических действиях с пределами функций). Если функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияимеют предел в точке Производная - определение и вычисление с примерами решениято функции Производная - определение и вычисление с примерами решения также имеют предел в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения причем

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если, кроме этого, предел функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения отличен от нуля, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также имеет предел в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Фактически теорема 4.1 состоит из четырех теорем, которые называют теоремами о пределе суммы, пределе разности, пределе произведения и пределе частного.

Производная - определение и вычисление с примерами решенияВ теореме рассматриваются функции, которые определены в одних и тех же точках некоторой проколотой Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестности точки Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет предел в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная постоянная, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также имеет предел в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения причем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Справедливость следствия следует из теоремы о пределе произведения и ключевой задачи 3.3.

Пример №8

Докажите, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Из ключевой задачи 3.4 следует, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, если функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения представить в виде Производная - определение и вычисление с примерами решения то можно применить теорему о пределе произведения. Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Найдите Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то нельзя применить теорему о пределе частного к функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияПреобразуем выражение Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Так как функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения отличаются только поведением в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Используя теорему об арифметических действиях с пределами функций, получаем

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №10

Найдите Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку в любой проколотой Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестности точки Производная - определение и вычисление с примерами решения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения совпадают (рис. 4.1), то достаточно найти Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя теорему об арифметических действиях с пределами функций, запишем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций

В пункте 2 вы получили представление о функциях, непрерывных в точке. Рассмотрим это понятие глубже и детальнее.

На рисунке 5.1 изображены графики функций Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения которые определены в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и имеют предел в этой точке.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Если выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то функцию Производная - определение и вычисление с примерами решенияназывают непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если в некоторой Производная - определение и вычисление с примерами решенияокрестности точки Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения определена только в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 5.2), то предел такой функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не определяют. Поэтому равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения проверить невозможно. Однако договорились и такую функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения считать непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Например, функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения а функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в каждой из точек вида Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из теоремы об арифметических действиях с пределами функций следует, что если Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения то:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри условии, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя эти равенства, можно доказать следующую теорему.

Теорема 5.1 (об арифметических действиях с непрерывными функциями). Если функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывны в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то в этой точке непрерывными являются и функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения (последняя при условии, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя теорему об арифметических действиях с непрерывными функциями, получаем, что каждая из функций Производная - определение и вычисление с примерами решениямногочленыПроизводная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной.

Заметим, что если функция непрерывна на Производная - определение и вычисление с примерами решения то она непрерывна на любом числовом промежутке (рис. 5.3).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Можно показатьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения что для любого Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна.

Производная - определение и вычисление с примерами решенияФункцию видаПроизводная - определение и вычисление с примерами решениягде Производная - определение и вычисление с примерами решения многочлены, называют рациональной.

Пусть функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияопределены на некоторых промежутках. Из наглядных соображений очевидно, что если графики функций Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения являются равными фигурами и функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также непрерывна.

В 10 классе было показано, что график функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияможно получить из графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв результате параллельного переноса на вектор с координатами Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 5.4). Таким образом, непрерывность функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияследует из непрерывности функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывные, то из теоремы об арифметических действиях с непрерывными функциями следует, что функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения также являются непрерывными.

Вы знаете, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому если обратимая функция Производная - определение и вычисление с примерами решения определена на некотором промежутке и непрерывна, то обратная к ней функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также будет непрерывной.

Как было установлено выше, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной. Тогда и обратимая функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения непрерывная. Следовательно, обратная к ней функция Производная - определение и вычисление с примерами решениятакже является непрерывной.

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывная. Таким же образом устанавливаем, что непрерывными являются и функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №11

Выясните, является ли функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Вычислим Производная - определение и вычисление с примерами решения Запишем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Получили, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не является непрерывной. Полученный вывод проиллюстрирован на рисунке 5.5.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим ряд важных свойств непрерывных функцийПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 5.2 (о непрерывности сложной функции). Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения а функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения то сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Рассуждая аналогично, можно показать, что сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в каждой точке своей области определения.

Еще примеры. Функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывны. Тогда сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также является непрерывной.

Каждая из функций Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной. Тогда сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решениято есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также является непрерывной.

Производная - определение и вычисление с примерами решенияДоказательство этих свойств выходит за пределы школьной программы.

Пример №12

Вычислите Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной, то Производная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, применить теорему о пределе частного нельзя.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется непрерывной, то можно записать Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 5.3 (теорема Больцано —Коши). Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков, то существует такая точка Производная - определение и вычисление с примерами решениячто Производная - определение и вычисление с примерами решения

Больцано —Коши - Чешский математик, философ и логик. Возглавлял кафедру истории религии в Пражском университете. При жизни напечатал (анонимно) только 5 небольших математических трудов, основную часть его рукописного наследия ученые исследовали уже после его смерти. Трактат «Учение о функциях», написанный в 1830 г., увидел свет только через 100 лет. В нем Больцано, за много лет до Вейерштрасса и Коши, формулирует и доказывает ряд положений математического анализа. В работе «Парадоксы бесконечности» Больцано рассматривал вопросы мощности бесконечных множеств; в работе «Науковедение» выдвинул ряд идей, предшествовавших математической логике.

Эта теорема наглядно очевидна. Действительно, если точки, лежащие в разных полуплоскостях относительно оси абсцисс, соединить непрерывной кривой, то эта кривая обязательно пересечет ось абсцисс (рис. 5.6).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Если функция непрерывна и не имеет нулей на некотором промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция непрерывна и не имеет нулей на некотором промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения то она на этом промежутке сохраняет знак (рис. 5.7).

Доказательство. Предположим, что данная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения не сохраняет знак, то есть существуют такие Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения что числа Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения имеют разные знаки (рис. 5.6). Тогда по теореме Больцано-Коши существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решениятакая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Получили противоречие.

Напомним, что это следствие лежит в основе метода интервалов для решения неравенств.

Пример №13

Докажите, что уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет корень.

Решение:

Рассмотрим непрерывную функцию Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, по теореме Больцано-Коши на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решенияуравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет корень.

Не каждая функция, определенная на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения достигает на этом промежутке своих наибольшего и найменьшего значений. Это иллюстрирует рисунок 5.8.

Однако для непрерывных функций имеет место такая теорема.

Теорема 5.4 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения то она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Эта теорема наглядно очевидна. Если две точки на координатной плоскости соединить непрерывной кривой, то на этой кривой найдутся точки с наибольшей и наименьшей ординатами (рис. 5.9).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что если в теореме Вейерштрасса отрезок Производная - определение и вычисление с примерами решениязаменить промежутком другого вида, например интервалом Производная - определение и вычисление с примерами решения то эта теорема может не выполняться. Так, функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывная на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

не достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Покажем, как понятие непрерывности помогает находить область значений функции.

Пусть о функции Производная - определение и вычисление с примерами решения известно, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Верно ли, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рисунок 5.10 показывает, что ответ на этот вопрос отрицательный: число 3 не принадлежит области значений этой функции. Однако если областью определения непрерывной функции является некоторый промежуток, то ответ на поставленный вопрос будет положительным.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 5.5. Если областью определения непрерывной функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется некоторый промежуток и Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Пусть числа Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решениятаковы, что Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения(случай, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения рассматривают аналогично).

Рассмотрим произвольное число Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решенияДокажем, что существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решения для которой Производная - определение и вычисление с примерами решения Тем самым будет показано, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется непрерывной на Производная - определение и вычисление с примерами решения следовательно, она непрерывна на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №14

Найдите область значений функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Применив неравенство Коши, запишем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна на Производная - определение и вычисление с примерами решения Из теоремы 5.5 следует, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывная. Для этого докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 5.1. Для любого Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения то доказываемое неравенство очевидно.

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения На рисунке 5.11 точка Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучена в результате поворота точки Производная - определение и вычисление с примерами решения вокруг начала координат на угол Производная - определение и вычисление с примерами решения радиан. Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения то точка Производная - определение и вычисление с примерами решениянаходится в первой четверти.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника Производная - определение и вычисление с примерами решенияменьше площади сектора Производная - определение и вычисление с примерами решения. Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения Получаем Производная - определение и вычисление с примерами решенияПусть Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решенияи можно записать, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Производная - определение и вычисление с примерами решения Покажем, что число Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя неравенство леммы 5.1, имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решенияпроизвольное положительное число. Так какПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то из неравенствПроизводная - определение и вычисление с примерами решения следует, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если положить Производная - определение и вычисление с примерами решения то получим: для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения существует Производная - определение и вычисление с примерами решения такое, что из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения следует неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в каждой точке Производная - определение и вычисление с примерами решения а следовательно, эта функция непрерывна на Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Эта функция не опре- делена в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Однако в этой точке существует предел функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Докажем, что имеет место такое равенство: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 5.2. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения Опять обратимся к рисунку 5.11. Построим прямоугольник Производная - определение и вычисление с примерами решения для которого отрезок Производная - определение и вычисление с примерами решения является диагональю. Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решениято Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда из леммы 5.1 получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что площадь заштрихованного сегмента меньше площади треугольника Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теперь можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда с учетом того, что Производная - определение и вычисление с примерами решения получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решениячетные, то последнее двойное неравенство выполняется также для всех Производная - определение и вычисление с примерами решенияиз промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теперь докажем равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Используя лемму 5.2, для Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем Производная - определение и вычисление с примерами решениято есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольное положительное число.

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то положим Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения будет следовать, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то в качестве Производная - определение и вычисление с примерами решения выберем любое число из промежутка (0; 1). Так как в этом случае Производная - определение и вычисление с примерами решениято из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения будет следовать, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Значит, для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения существует такое число Производная - определение и вычисление с примерами решения что из неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения следует неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Это равенство называют первым замечательным пределом. Оно показывает, что при достаточно малых значениях Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется приближенное равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Более того, из леммы 5.2 следует, что если Производная - определение и вычисление с примерами решения то выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому абсолютная погрешность приближенной формулы Производная - определение и вычисление с примерами решения не превышает Производная - определение и вычисление с примерами решения Например, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решенияс точностью не менее чем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №15

Вычислите предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №16

Вычислите предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №17

Вычислите предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №18

Вычислите предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной

Если функция является математической моделью реального процесса, то часто возникает потребность находить разность значений этой функции в двух точках. Например, обозначим Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения суммы средств, которые накопились на депозитном1 счете вкладчика к моментам времени Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда разность Производная - определение и вычисление с примерами решениягде Производная - определение и вычисление с примерами решения показывает прибыль, которую получит вкладчик за время Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения фиксированная точка из области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения то разность Производная - определение и вычисление с примерами решенияназывают приращением аргумента функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения(читают: «дельта икс»)Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что аргумент получил приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияОтметим, что приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если аргумент в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучил приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения то значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения изменилось на величину Производная - определение и вычисление с примерами решения

Эту разность называют приращением функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения

(читают: «дельта эф»).

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для приращения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения также принято обозначение Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения аргумента в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и соответствующее приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения функции показано на рисунке 6.1.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что для фиксированной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется функцией с аргументом Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияДепозит (банковский вклад) — деньги, которые вкладчик помещает в банк на некоторый срок, за что банк выплачивает вкладчику проценты. Производная - определение и вычисление с примерами решенияГоворя о приращении аргумента функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения здесь и дальше будем предполагать, что в любом интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения есть точки области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения отличные от Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №19

Найдите приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения которое соответствует приращению Производная - определение и вычисление с примерами решения аргумента.

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Задача о мгновенной скорости

Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлении, за 2 ч преодолел путь 120 км.

Тогда его средняя скорость движения равна Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Найденная величина дает неполное представление о характере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться быстрее, на других — медленнее, иногда мог останавливаться.

Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомобиля показывал некоторую величину — скорость в данный момент времени. Значение скорости в разные моменты более полно характеризует движение автомобиля.

Рассмотрим задачу о поиске скорости в данный момент времени на примере равноускоренного движения.

Пусть материальная точка двигается по координатной прямой и через время Производная - определение и вычисление с примерами решенияпосле начала движения имеет координату Производная - определение и вычисление с примерами решения Тем самым задана функция Производная - определение и вычисление с примерами решения позволяющая определить положение точки в любой момент времени. Поэтому эту функцию называют законом движения точки.

Из курса физики известно, что закон равноускоренного движения задается формулой в Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения координата точки в начале движения (при Производная - определение и вычисление с примерами решения), Производная - определение и вычисление с примерами решения начальная скорость, Производная - определение и вычисление с примерами решения ускорение.

Пусть, например, Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Зафиксируем какой-нибудь момент времени и придадим аргументу в точке приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения приращением Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть рассмотрим промежуток времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решения За этот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения

Средняя скорость Производная - определение и вычисление с примерами решения движения точки за промежуток времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решения равна отношению Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Обозначение для средней скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения подчеркивает, что при заданном законе движения Производная - определение и вычисление с примерами решения и фиксированном моменте времени Производная - определение и вычисление с примерами решениязначение средней скорости зависит только от Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если рассматривать достаточно малые промежутки времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решения то из практических соображений понятно, что средние скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то есть величина Производная - определение и вычисление с примерами решения почти не изменяется. Чем меньше Производная - определение и вычисление с примерами решения тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения. Иными словами, если при Производная - определение и вычисление с примерами решения значения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения то число Производная - определение и вычисление с примерами решения называют мгновенной скоростью в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения.

В нашем примере, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения которое является значением мгновенной скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Этот пример показывает, что если материальная точка двигается по закону Производная - определение и вычисление с примерами решения то ее мгновенную скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения определяют с помощью формулы Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Задача о касательной к графику функции

Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой.

Например, ось ординат имеет с параболой Производная - определение и вычисление с примерами решения только одну общую точку (рис. 6.2).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Однако интуиция подсказывает, что неестественно считать эту прямую касательной к этой параболе. Вместе с тем в курсе алгебры мы нередко говорили, что парабола Производная - определение и вычисление с примерами решения касается оси абсцисс в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Уточним наглядное представление о касательной к графику функции.

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения некоторая точка, лежащая на параболе Производная - определение и вычисление с примерами решения. Проведем прямую Производная - определение и вычисление с примерами решения которую назовем секущей (рис. 6.3). Представим себе, что точка Производная - определение и вычисление с примерами решения двигаясь по параболе, приближается к точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

При этом секущая Производная - определение и вычисление с примерами решения будет вращаться вокруг точки Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда угол между прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения и осью абсцисс будет становиться все меньше и меньше, и секущая Производная - определение и вычисление с примерами решения будет стремиться занять положение оси абсцисс.

Прямую, положение которой стремится занять секущая Производная - определение и вычисление с примерами решения при приближении точки Производная - определение и вычисление с примерами решения к точке Производная - определение и вычисление с примерами решения будем называть касательной к параболе в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим график некоторой непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и точку Производная - определение и вычисление с примерами решения В точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияпридадим аргументу приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения и рассмотрим на графике точку Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 6.4).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из рисунка видно, что если Производная - определение и вычисление с примерами решенияcтановится все меньше и меньше, то точка Производная - определение и вычисление с примерами решения двигаясь по графику, приближается к точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Если при Производная - определение и вычисление с примерами решения секущая Производная - определение и вычисление с примерами решениястремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 6.4 это прямая Производная - определение и вычисление с примерами решения), то такую прямую называют касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть секущая Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения и образует с положительным направлением оси абсцисс угол Производная - определение и вычисление с примерами решения Как известно, угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения равен Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.4). Тогда из Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучаем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Введем обозначение Производная - определение и вычисление с примерами решения для углового коэффициента секущей Производная - определение и вычисление с примерами решения, тем самым подчеркивая, что для данной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и фиксированной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения угловой коэффициент секущей Производная - определение и вычисление с примерами решения определяется через приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения аргумента.

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть касательная Производная - определение и вычисление с примерами решения образует с положительным направлением оси абсцисс угол Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда ее угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения равен Производная - определение и вычисление с примерами решения Естественно считать, что чем меньше Производная - определение и вычисление с примерами решения тем меньше значение углового коэффициента секущей отличается от значения углового коэффициента касательной. Иными словами, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Вообще, угловой коэффициент касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения определяют с помощью формулы Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №20

Найдите формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения Какой угол с положительным направлением оси абсцисс образует касательная, проведенная к этому графику в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, воспользовавшись формулой для вычисления углового коэффициента касательной, можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решениято значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Эта формула позволяет вычислить угловой коэффициент касательной к параболе Производная - определение и вычисление с примерами решения в любой точке, в частности, в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть касательная к параболе в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решенияобразует угол Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения с положительным направлением оси абсцисс. Тогда ее угловой коэффициент равен Производная - определение и вычисление с примерами решения Выше мы установили, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.5).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента

Математическая модель: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: Производная - определение и вычисление с примерами решения к этим двум формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, экономики и т. д. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоить название, ввести обозначение, изучить ее свойства и научиться их применять.

Определение. Производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения называют число, равное пределу отношения приращения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияобозначают так: Производная - определение и вычисление с примерами решения (читают: «эф штрих от икс нулевого») или Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения можно вычислить по такой схеме: Производная - определение и вычисление с примерами решенияпридав в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения аргументу приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения найти соответствующее приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решениянайти отношение Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения выяснить, к какому числу стремится отношение Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть найти предел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №21

Найдите производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Придерживаясь вышеприведенной схемы, запишем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решения

значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что, найдя значение Производная - определение и вычисление с примерами решения мы тем самым нашли угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения Он равен Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда, обозначив через Производная - определение и вычисление с примерами решения угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси абсцисс, можем записать Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 7.1).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, можно сделать такой вывод: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения равен производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Также понятно, что если Производная - определение и вычисление с примерами решения закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения равна производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство выражает механический смысл производной.

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияимеет производную в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то эту функцию называют дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решениядифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Из геометрического смысла производной следует, что к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести невертикальную касательную (рис. 7.2). И наоборот, если к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести невертикальную касательную, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 7.3 изображены графики функций, которые в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения имеют разрыв или «излом». К их графикам в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения невозможно провести касательную. Эти функции не дифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 7.4 изображены графики функций, которые в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решенияимеют вертикальную касательную. Поэтому эти функции не дифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, например, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения график которой имеет «излом» в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не является дифференцируемой в этой точке. Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения в примере 3 пункта 3 было показано, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения это означает, что не существует предела Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не является дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 7.1. Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то можно записать Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что непрерывная в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не является дифференцируемой в этой точке. Этот пример показывает, что непрерывность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке (рис. 7.5).

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения множество точек, в которых функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема. Каждому числу Производная - определение и вычисление с примерами решения поставим в соответствие число Производная - определение и вычисление с примерами решения Тем самым задана функция с областью определения Производная - определение и вычисление с примерами решения. Эту функцию называют производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в каждой точке некоторого множества Производная - определение и вычисление с примерами решения, то говорят, что она дифференцируема на множестве Производная - определение и вычисление с примерами решения. Например, на рисунке 7.6 изображен график функции, дифференцируемой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. На промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения этот график не имеет разрывов и изломов.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на Производная - определение и вычисление с примерами решения то ее называют дифференцируемой.

Нахождение производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения называют дифференцированием функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №22

Продифференцируйте функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения по определению производной Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения то последнее равенство означает, что для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вывод о том, что производная линейной функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения равна Производная - определение и вычисление с примерами решения также принято записывать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если в формулу Производная - определение и вычисление с примерами решения подставить Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения то получим Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если же в формуле Производная - определение и вычисление с примерами решения положить Производная - определение и вычисление с примерами решения то получим Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последнее равенство означает, что производная функции, являющейся константой, в каждой точке равна нулю.

Пример №23

Найдите производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, где Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияесли Производная - определение и вычисление с примерами решения то при любом Производная - определение и вычисление с примерами решения значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения то для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последнее равенство также принято записывать в виде

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №24

Найдите производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения. Последнее равенство можно записать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Формулы Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения частные случаи более общей формулы: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №25

Докажите, что производная функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения равна Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Напомним, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда можно записать:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Формула Производная - определение и вычисление с примерами решения остается справедливой для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, воспользуемся формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения для нахождения производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения или

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Продифференцируйте функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Найдем предел Производная - определение и вычисление с примерами решения При Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

При Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому при Производная - определение и вычисление с примерами решения

значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения становятся все большими и большими. Значит, не существует числа, к которому стремятся значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, предела Производная - определение и вычисление с примерами решения не существует.

Таким образом, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является дифференцируемой на множестве

Производная - определение и вычисление с примерами решения причем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не является дифференцируемой.

Формулу Производная - определение и вычисление с примерами решениятакже можно обобщить для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, воспользовавшись формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для Производная - определение и вычисление с примерами решения можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияможно находить по формуле Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения нечетное натуральное число, то формула Производная - определение и вычисление с примерами решения позволяет находить производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения во всех точках Производная - определение и вычисление с примерами решения таких, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения четное натуральное число, то формула Производная - определение и вычисление с примерами решения позволяет находить производную функции / для всех положительных значений Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Обратимся к тригонометрическим функциям Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения. Эти функции являются дифференцируемыми, и их производные находят по таким формулам: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Как доказывать эти формулы, вы сможете узнать в разделе «Когда сделаны уроки».

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных, расположенной на форзаце 2.

X2, если X < 1,

Пример №27

Докажите, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Найдите Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теперь видим, что Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим подробный пример:

Доказательство формул производных функций Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Докажем, что производные функций Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения вычислять по формулам Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для произвольной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Воспользовавшись первым замечательным пределом Производная - определение и вычисление с примерами решенияможно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Формулу Производная - определение и вычисление с примерами решения доказывают аналогично.

Правила вычисления производных

Найдем, пользуясь определением, производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, при любом Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения то для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из предыдущего пункта вам известно, что Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения можно было найти, не пользуясь определением производной.

Справедлива следующая теоремаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 8.1 (производная суммы). В тех точках, в которых дифференцируемы функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияпричем для всех таких точек выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияУсловия теорем 8.1-8.4 предусматривают такое: если функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решениядифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то соответственно функции Производная - определение и вычисление с примерами решения определены на некотором промежутке, содержащем точку Производная - определение и вычисление с примерами решения

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Также принята такая упрощенная запись: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка, в которой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решениядифференцируемы. Найдем приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запишем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то существуют пределы Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, причем ее производная в этой точке равна Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорему 8.1 можно обобщить для любого конечного количества слагаемых: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Две теоремы, приведенные ниже, также упрощают нахождение производной.

Теорема 8.2 (производная произведения). В тех точках, в которых дифференцируемы функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения причем для всех таких точек выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Также принята такая упрощенная запись: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка, в которой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы. Найдем приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Учитывая равенства Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запишем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то существуют пределы Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теперь можно записать

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, причем ее производная в этой точке равна Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. В тех точках, в которых дифференцируема функция Производная - определение и вычисление с примерами решениятакже является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Также принята такая упрощенная запись: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Так как функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведения, можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 2. В тех точках, в которых дифференцируемы функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения причем для всех таких точек выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 8.3 (производная частного). В тех точках, в которых функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы и значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения не равно нулю, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также является дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Также принята такая упрощенная запись: Производная - определение и вычисление с примерами решения С доказательством теоремы 8.3 вы можете ознакомиться на занятиях математического кружка.

Пример №28

Найдите производную функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Пользуясь теоремой о производной суммы и следствием из теоремы о производной произведения, получаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме о производной произведения имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

4) По теореме о производной частного получаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя теорему о производной частного, легко доказать, что:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Действительно,

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Формулу Производная - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно.

Если значениями аргумента функции Производная - определение и вычисление с примерами решения являются значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения то говорят, что задана сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, рассмотрим функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, можно говорить, что формула Производная - определение и вычисление с примерами решения задает сложную функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим еще несколько примеров. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения а Производная - определение и вычисление с примерами решениято сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения задается формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения Функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения можно рассматривать как сложную функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение производной сложной функции

Находить производную сложной функции можно с помощью такой теоремы.

Теорема 8.4 (производная сложной функции). Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения а функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения то сложная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения причем Производная - определение и вычисление с примерами решения

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться на занятиях математического кружка.

Пример №29

Найдите значение производной функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Данная функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется сложной функцией Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения Так как Производная - определение и вычисление с примерами решенияa Производная - определение и вычисление с примерами решения то по теореме о производной сложной функции можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение этой задачи можно оформить и так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение касательной

Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Тогда к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести невертикальную касательную (рис. 9.1).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из курса геометрии 9 класса вы знаете, что уравнение невертикальной прямой имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения угловой коэффициент этой прямой.

Исходя из геометрического смысла производной, получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда уравнение касательной можно записать так:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Эта прямая проходит через точку Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения можно переписать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, уравнение касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет вид: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №30

Составьте уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Подставив найденные числовые значения в уравнение касательной, получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №31

Составьте уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке его пересечения с осью абсцисс.

Решение:

Решив уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения найдем абсциссы точек пересечения графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения с осью абсцисс. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запишем уравнение касательной в каждой из найденных точек.

1) Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда уравнение касательной имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда искомое уравнение имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №32

Найдите уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения если эта касательная параллельна прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если касательная параллельна прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения то ее угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения равен Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения абсцисса точки касания искомой прямой к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение касательной:

Следовательно, на графике функции Производная - определение и вычисление с примерами решения существуют две точки, касательные в которых параллельны данной прямой.

При Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда уравнение касательной имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения

При Производная - определение и вычисление с примерами решения получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда уравнение касательной имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №33

Найдите абсциссу точки графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в которой проведенная к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, то ее угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения равен Производная - определение и вычисление с примерами решения 45°, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решенияабсцисса точки касания. Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №34

Составьте уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения проходящей через точку Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Заметим, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Из этого следует, что точка Производная - определение и вычисление с примерами решения не принадлежит графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения точка касания искомой прямой к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияТак как Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то уравнение касательной имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая, что координаты точки Производная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют полученному уравнению, имеем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда, раскрыв скобки и решив квадратное уравнение, получим Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, через точку Производная - определение и вычисление с примерами решенияпроходят две касательные к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения и такую точку Производная - определение и вычисление с примерами решения интервала Производная - определение и вычисление с примерами решения что Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 10.1, Производная - определение и вычисление с примерами решения). На рисунке 10.1, Производная - определение и вычисление с примерами решения изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения такой, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Тогда к графикам этих функций в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести касательные. Из наглядных соображений очевидно, что эти касательные будут горизонтальными прямыми. Поскольку угловой коэффициент горизонтальной прямой равен нулю, то Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Этот вывод можно проиллюстрировать с помощью механической интерпретации.

Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону Производная - определение и вычисление с примерами решенияи функция Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения наибольшее (наименьшее) значение, то это означает, что в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения материальная точка изменяет направление движения на противоположное. Понятно, что в этот момент времени скорость материальной точки равна нулю, то есть и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Полученные выводы подтверждает такая теорема.

Теорема 10.1 (теорема Ферма). Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения определенная на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает свое наименьшее (наибольшее) значение. Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим случай, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения (случай Производная - определение и вычисление с примерами решения) рассматривают аналогично).

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения Если Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 10.2), то Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 10.3), то Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, доказано, что одновременно выполняются два неравенства: Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 10.4 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемой на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения которая в точках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает одинаковые значения.

Из рисунка видно: существует по крайней мере одна такая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения что касательная к графику в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения является горизонтальной прямой, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Этот вывод можно проиллюстрировать с помощью механической интерпретации.

Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону Производная - определение и вычисление с примерами решения то равенство в Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения материальная точка вернулась в начальное положение. Следовательно, в некоторый момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения она изменила направление движения на противоположное, то есть и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Полученные выводы подтверждает следующая теорема.

Теорема 10.2 (теорема Ролля). Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решенияпричем Производная - определение и вычисление с примерами решения то существует такая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения то по теореме 7.1 она является непрерывной на этом промежутке. Тогда по теореме Вейер-штрасса на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения существуют такие значения аргумента, при которых функция Производная - определение и вычисление с примерами решениядостигает своих наибольшего и наименьшего значений. Иными словами, существуют такие числа Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения что Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется константой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим случай, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияне может на одном конце отрезка Производная - определение и вычисление с примерами решения принимать наибольшее значение, а на другом — наименьшее. Действительно, Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, существует такая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения что функция в этой точке принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 10.5 изображен график функции, дифференцируемой на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Проведем прямую Производная - определение и вычисление с примерами решения. Из треугольника Производная - определение и вычисление с примерами решения можно найти угловой коэффициент этой прямой: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из рисунка видно, что на дуге Производная - определение и вычисление с примерами решения существует такая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения что касательная к графику в этой точке параллельна прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения этой касательной равен угловому коэффициенту прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Этот вывод иллюстрирует также механическая интерпретация. Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону Производная - определение и вычисление с примерами решения то средняя скорость равна Производная - определение и вычисление с примерами решения

Понятно, что во время движения существует такой момент Производная - определение и вычисление с примерами решения когда мгновенная скорость равна средней, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Полученные выводы подтверждает следующая теорема.

Теорема 10.3 (теорема Лагранжа). Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения то существует такая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является дифференцируемой на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения Легко проверить (сделайте это самостоятельно), что Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

Таким образом, существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что теоремы Ролля и Лагранжа не указывают, как найти точку Производная - определение и вычисление с примерами решения Они лишь гарантируют, что существует точка, обладающая некоторым свойством.

Признаки возрастания и убывания функции

Вы знаете, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения такова, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то является ли функция Производная - определение и вычисление с примерами решения константой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения?

Обратимся к механической интерпретации. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения закон движения материальной точки по координатной прямой. Если в любой момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то на протяжении рассматриваемого промежутка времени мгновенная скорость равна нулю, то есть точка не двигается и ее координата не изменяется. Это означает, что на рассматриваемом промежутке функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является константой.

Эти соображения подсказывают, что справедлива следующая теорема.

Теорема 11.1 (признак постоянства функции). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решениято функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является константой на этом промежутке.

Доказательство. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольные значения аргумента функции Производная - определение и вычисление с примерами решениявзятые из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения причем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решенияи функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на Производная - определение и вычисление с примерами решения то для отрезка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняются все условия теоремы Лагранжа. Тогда существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

ОтсюдаПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияУчитывая, что числаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения выбраны произвольным образом, можем сделать вывод: функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является константой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 11.1 изображен график некоторой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения которая является дифференцируемой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Этот график имеет такое свойство: любая касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку тангенс острого угла — положительное число, то угловой коэффициент любой касательной также является положительным. Тогда, исходя из геометрического смысла производной, можно сделать такой вывод: для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из рисунка 11.1 видно, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на рассматриваемом промежутке.

На рисунке 11.2 изображен график некоторой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, дифференцируемой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Любая касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Поскольку тангенс тупого угла — отрицательное число, то угловой коэффициент любой касательной также является отрицательным. Тогда для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из рисунка 11.2 видно, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на рассматриваемом промежутке.

Эти примеры показывают, что знак производной функции на некотором промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения влияет на то, является ли эта функция возрастающей (убывающей) на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции можно увидеть и с помощью механической интерпретации. Если скорость, то есть производная функции Производная - определение и вычисление с примерами решения положительна, то точка на координатной прямой двигается вправо (рис. 11.3).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что из неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения следует неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является возрастающей. Аналогично, если скорость отрицательна, то точка двигается влево, то есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является убывающей.

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 11.2 (признак возрастания функции). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на этом промежутке.

Теорема 11.3 (признак убывания функции). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решениято функция Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на этом промежутке.

Пример №35

Докажите, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на множестве действительных чисел.

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Так как Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияпри всех Производная - определение и вычисление с примерами решениято функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на множестве действительных чисел.

Докажем теорему 11.2 (теорему 11.3 доказывают аналогично).

Доказательство. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольные значения аргумента функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, взятые из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения причем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения и функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на Производная - определение и вычисление с примерами решения то для отрезка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняются все условия теоремы Лагранжа. Тогда существует точка Производная - определение и вычисление с примерами решениятакая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда из неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения следует неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на Производная - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что имеет место и такое утверждение: если дифференцируемая на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает (убывает), то для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из этого промежутка выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения определена на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и возрастает на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения то это не означает, что она возрастает на промежуткеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 11.4).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследовать возрастание и убывание функции на различных промежутках помогает следующая ключевая задача.

Пример №36

Пусть для произвольного Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения и функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет производную в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Докажите, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Из теоремы 11.2 следует только то, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решенияЧтобы доказать, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения нужно дополнительное исследование.

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения Докажем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Из теоремы Лагранжа для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения следует существование такой точки Производная - определение и вычисление с примерами решения что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решениято Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, доказано, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 1. На самом деле сформулированное в данной задаче условие можно ослабить, заменив требование дифференцируемое функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения на ее непрерывность в этой точке. То есть, имеет место такое утверждение: если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения и функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 2. Используя соответствующие утверждения, можно обосновать возрастание (убывание) функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутках другого вида, например, Производная - определение и вычисление с примерами решения Например, если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения и функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №37

Найдите промежутки возрастания (убывания) функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Решив неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияприходим к такому: Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 11.5 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения. Из рисунка видно, что на самом деле функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

При записи ответа будем руководствоваться таким правилом: если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна Рис- И-5 в каком-то из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. В нашем примере функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения поэтому эту точку присоединили к промежуткам Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: возрастает на Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №38

Найдите промежутки возрастания и убывания функции: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследуем знак производной методом интервалов (рис. 11.6) и учтем непрерывность функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Получаем, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследовав знак производной (рис. 11.7), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Найдя производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследуем знак функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 11.8). Следовательно, данная функция возрастает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

4) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Найдем производную Производная - определение и вычисление с примерами решения Заметим, что в точках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не является дифференцируемой, однако является непрерывной.

Неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения равносильно системе Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решив ее, получаем, что множеством решений рассматриваемого неравенства является промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения

Далее легко установить, что множеством решений неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения является промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 11.9).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №39

Решите уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения Для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то эта функция возрастает на Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда функция Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает каждое свое значение только один раз, а следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня.

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения является единственным корнем данного уравнения. Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №40

Докажите, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Докажем, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Так как Производная - определение и вычисление с примерами решения то неравенство можно представить в виде Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как квадратный трехчлен Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет отрицательный дискриминант, то Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастающая. Отсюда для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Точки экстремума функции

Знакомясь с такими понятиями как предел и непрерывность функции в точке, мы исследовали поведение функции поблизости этой точки или, как принято говорить, в ее окрестности.

Определение 1. Интервал Производная - определение и вычисление с примерами решения содержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения называют окрестностью точки Производная - определение и вычисление с примерами решения

Понятно, что любая точка имеет бесконечно много окрестностей. Например, промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения одна из окрестностей точки 2,5. Вместе с тем этот промежуток не является окрестностью точки 3.

На рисунке 12.1 изображены графики четырех функций. Все эти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из этой окрестности выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение 2. Точку Производная - определение и вычисление с примерами решения называют точкой максимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения если существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из этой окрестности выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.2). Пишут Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 12.1 Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение 3. Точку Производная - определение и вычисление с примерами решения называют точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения если существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из этой окрестности выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.2). Пишут Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 12.3 изображены графики функций, для которых Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Точки максимума и минимума имеют общее название: их называют точками экстремума функции (от латинского Производная - определение и вычисление с примерами решения крайний).

На рисунке 12.4 точки Производная - определение и вычисление с примерами решения являются точками экстремума.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из определений 2 и 3 следует, что точки экстремума являются внутренними точкамиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения области определения функции. Поэтому, например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения не является точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.5), а точка Производная - определение и вычисление с примерами решения не является точкой максимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.6). Вместе с тем наименьшее значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на множестве Производная - определение и вычисление с примерами решения равно нулю, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения a Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияТочку Производная - определение и вычисление с примерами решения называют внутренней точкой множества Производная - определение и вычисление с примерами решения, если существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения являющаяся подмножеством множества Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 12.7 изображен график некоторой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, которая на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения является константой. Точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения минимума, а любая точка интервала Производная - определение и вычисление с примерами решения является одновременно как точкой максимума, так и точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Графики функций, изображенных на рисунках 12.8 и 12.9, показывают, что точки экстремума можно разделить на два вида: те, в которых производная равна нулю (на рисунке 12.8 касательная к графику в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения является горизонтальной прямой), и те, в которых функция недифференцируема (рис. 12.9).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 12.1. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения точка экстремума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то либо Производная - определение и вычисление с примерами решения либо функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не является дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Учащиеся профильных классов могут, используя теорему Ферма, доказать теорему 12.1 самостоятельно.

Возникает естественный вопрос: обязательно ли является точкой экстремума внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует?

Ответ на этот вопрос отрицательный.

Например, на рисунке 12.10 изображен график функции, недифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Однако точка Производная - определение и вычисление с примерами решения не является точкой экстремума.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приведем еще один пример. Для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда Производная - определение и вычисление с примерами решения Однако точка Производная - определение и вычисление с примерами решения не является точкой экстремума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.11).

Эти примеры показывают, что теорема 12.1 дает необходимое, но не достаточное условие существования экстремума в данной точке.

Определение 4. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является критической точкой функций Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения точка Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется критической точкой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из сказанного выше следует, что каждая точка экстремума функции является ее критической точкой, но не каждая критическая точка является точкой экстремума. Иными словами, точки экстремума следует искать среди критических точек. Этот факт проиллюстрирован на рисунке 12.12.

На рисунке 12.13 изображены графики функций, для которых Производная - определение и вычисление с примерами решения является критической точкой.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунках 12.13, Производная - определение и вычисление с примерами решения критическая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой экстремума, на рисунках 12.13, Производная - определение и вычисление с примерами решения критическая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения не является точкой экстремума.

Наличие экстремума функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения связано с поведением функции в окрестности этой точки. Так, для функций, графики которых изображены на рисунках 12.13, Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: функция возрастает (убывает) на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает (возрастает) на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Функции, графики которых изображены на рисунках 12.13, Производная - определение и вычисление с примерами решениятаким свойством не обладают: первая из них возрастает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения вторая убывает на этих промежутках.

Вообще, если область определения непрерывной функции разбита на конечное количество промежутков возрастания и убывания, то легко найти все точки экстремума (рис. 12.14).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вы знаете, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убывания) дифференцируемой функции. Две теоремы, приведенные ниже, показывают, как с помощью производной можно находить точки экстремума функции.

Теорема 12.2 (признак точки максимума функции). Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решениядифференцируема на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения некоторая точка этого интервала. Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения а для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решениято точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.13, а).

Теорема 12.3 (признак точки минимума функции). Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения некоторая точка этого интервала. Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения а для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.13, б).

Докажем теорему 12.2 (теорему 12.3 доказывают аналогично).

Доказательство. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения произвольная точка интервала Производная - определение и вычисление с примерами решения Из теоремы Лагранжа для отрезка Производная - определение и вычисление с примерами решения следует существование такой точки Производная - определение и вычисление с примерами решения что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично для произвольной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения можно доказать, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что Производная - определение и вычисление с примерами решения точка максимума.

Иногда удобно пользоваться упрощенными формулировками этих двух теорем: если при переходе через точку Производная - определение и вычисление с примерами решения производная меняет знак с плюса на минус, то Производная - определение и вычисление с примерами решения точка максимума; если производная меняет знак с минуса на плюс, то Производная - определение и вычисление с примерами решения точка минимума.

Для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения точки экстремума можно искать по такой схеме.

  1. Найти Производная - определение и вычисление с примерами решения
  2. Исследовать знак производной в окрестностях критических точек.
  3. Пользуясь соответствующими теоремами, для каждой критической точки выяснить, является ли она точкой экстремума.

Пример №41

Найдите точки экстремума функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Методом интервалов исследуем знак производной в окрестностях критических точек Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.15). Получаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследовав знак производной (рис. 12.16), получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследуем знак производной в окрестностях критических точек Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 12.17).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

4) Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, критическая точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №42

Найдите точки экстремума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Найдем критические точки данной функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является периодической с периодом Производная - определение и вычисление с примерами решения Методом интервалов исследуем ее знак на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения длиной в период. Этому промежутку принадлежат две критические точки: Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 12.18 показан результат исследования производной на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Теперь можно сделать вывод: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Обобщая полученный результат, записываем ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Как добиться наименьшей массы конструкции, не причиняя вреда ее прочности? Как, имея ограниченные ресурсы, выполнить производственное задание в кратчайшее время? Как организовать доставку товара по торговым точкам так, чтобы расход топлива был наименьшим?

Такие и подобные задачи на поиск наилучшего или, как говорят, оптимального решения занимают значительное место в практической деятельности человека.

Представим, что известна функция, которая описывает, например, зависимость массы конструкции от ее прочности. Тогда задача сводится к поиску аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение.

В этом пункте мы выясним, как можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения Ограничимся рассмотрением только непрерывных функций.

Заметим, что точка, в которой функция принимает свое наименьшее значение, не обязательно является точкой минимума. Например, на рисунке 13.1Производная - определение и вычисление с примерами решения а точек минимума функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет. Точно так же точка минимума не обязательно является точкой, в которой функция принимает наименьшее значение. На рисунке 13.2, Производная - определение и вычисление с примерами решения точка Производная - определение и вычисление с примерами решения единственная точка минимума, а наименьшее значение Производная - определение и вычисление с примерами решения достигается в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Аналогичное замечание относится к точкам максимума и точкам, в которых функция принимает наибольшее значение.

На рисунке 13.2 представлены разные случаи расположения точек экстремумов и точек, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Тут важно понять, что свойство функции иметь точку экстремума Производная - определение и вычисление с примерами решения означает такое: функция принимает в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения наибольшее (наименьшее) значение по сравнению со значениями функции во всех точках некоторой, возможно, очень малой окрестности точки Производная - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому, если хотят подчеркнуть этот факт, то точки экстремума еще называют точками локального максимума или точками локального минимума (от латинского locus — место).

Непрерывная на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения функция достигает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее значенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения или на концах отрезка, или в точках экстремума (рис. 13.2).

Тогда для такой функции поиск наибольшего и наименьшего значений на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения можно проводить, пользуясь такой схемой.

  1. Найти критические точки функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, принадлежащие отрезку Производная - определение и вычисление с примерами решения.
  2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах рассматриваемого отрезка.
  3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Понятно, что этот алгоритм можно реализовать только тогда, когда рассматриваемая функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет конечное количество критических точек на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что если определить, какие из критических точек являются точками экстремума, то количество точек, в которых следует искать значения функции, можно уменьшить. Однако выявление точек экстремума, как правило, требует больше технической работы, чем поиск значений функции в критических точках.

Производная - определение и вычисление с примерами решенияУчащимся профильных классов напомним, что существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции гарантирует теорема Вейерштрасса.

Пример №43

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем критические точки данной функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет две критические точки, а промежутку Производная - определение и вычисление с примерами решенияпринадлежит одна: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №44

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Найдем критические точки данной функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, точки вида Производная - определение и вычисление с примерами решения являются критическими точками функции Производная - определение и вычисление с примерами решения из них промежутку Производная - определение и вычисление с примерами решения принадлежат четыре точки: Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №45

Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго была наименьшей.

Решение:

Пусть первое число равно Производная - определение и вычисление с примерами решения тогда второе равно Производная - определение и вычисление с примерами решения Из условия следует, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения определенную на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения и найдем, при каком значении Производная - определение и вычисление с примерами решения она принимает наименьшее значение.

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Найдем критические точки данной функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Среди найденных чисел промежутку Производная - определение и вычисление с примерами решения принадлежит только число 2. Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает наименьшее значение при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №46

Найдите стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса Производная - определение и вычисление с примерами решения если площадь прямоугольника принимает наибольшее значение.

Решение:

Рассмотрим прямоугольник Производная - определение и вычисление с примерами решениявписанный в окружность радиуса Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13.3). Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда площадь прямоугольника Производная - определение и вычисление с примерами решения равна Производная - определение и вычисление с примерами решения Из условия задачи следует, что значения переменной Производная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют неравенствуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то есть принадлежат промежутку Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим непрерывную функцию Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и будем искать ее наибольшее значение на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Найдем критические точки функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет одну критическую точку Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решенияпринимает наибольшее значение при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, среди прямоугольников, вписанных в окружность радиуса Производная - определение и вычисление с примерами решения наибольшую площадь имеет квадрат со стороной Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №47

Решите уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Решим уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения Запишем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда легко найти, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Получили, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет единственную критическую точку Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения причем наибольшее значение функция Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает только при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Так как нам надо решить уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения то получаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения является его единственным корнем. Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №48

Пункты Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения расположены в вершинах прямоугольного треугольника Производная - определение и вычисление с примерами решения км, Производная - определение и вычисление с примерами решения км. Из пункта Производная - определение и вычисление с примерами решения в пункт Производная - определение и вычисление с примерами решения ведет шоссейная дорога. Турист начинает движение из пункта Производная - определение и вычисление с примерами решения по шоссе. На каком расстоянии от пункта Производная - определение и вычисление с примерами решения турист должен свернуть с шоссе, чтобы за наименьшее время дойти из пункта Производная - определение и вычисление с примерами решения в пункт Производная - определение и вычисление с примерами решения если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а вне шоссе — 4 км/ч?

Решение:

Обозначим через Производная - определение и вычисление с примерами решенияточку, в которой турист должен свернуть с шоссе, чтобы быстрее всего преодолеть путь (рис. 13.4).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения км. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения км, Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Тогда время, за которое турист преодолеет путь, равно Производная - определение и вычисление с примерами решения Теперь понятно, что для решения задачи достаточно найти наименьшее значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

f(x) = — + --, заданной на отрезкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Решив уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения (сделайте это самостоятельно), устанавливаем, что число Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется его единственным корнем. Сравнивая числа Производная - определение и вычисление с примерами решения получаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

наименьшее значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения км

Вторая производная

Пусть материальная точка двигается по закону Производная - определение и вычисление с примерами решения по координатной прямой. Тогда мгновенная скорость Производная - определение и вычисление с примерами решения в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения определяется по формуле Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения Ее производную в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения называют ускорением движения и обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, функция ускорение движения — это производная функции скорость движения, которая в свою очередь является производной функции закон движения, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

В таких случаях говорят, что функция ускорение движения Производная - определение и вычисление с примерами решения является второй производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Пишут: Производная - определение и вычисление с примерами решения (запись Производная - определение и вычисление с примерами решения читают: «эс два штриха от тэ»).

Например, если закон движения материальной точки задан формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения то имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Мы получили, что материальная точка двигается с постоянным ускорением. Как вы знаете из курса физики, такое движение называют равноускоренным.

Обобщим сказанное.

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемую на некотором множестве Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда ее производная также является некоторой функцией, заданной на этом множестве. Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в некоторой точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения называют второй производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначаютПроизводная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения Саму функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения называют дважды дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Функцию, которая числу Производная - определение и вычисление с примерами решения ставит в соответствие число Производная - определение и вычисление с примерами решения называют второй производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дважды дифференцируема в каждой точке множества Производная - определение и вычисление с примерами решения, то ее называют дважды дифференцируемой на множестве Производная - определение и вычисление с примерами решения. Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дважды дифференцируема на Производная - определение и вычисление с примерами решения то ее называют дважды дифференцируемой.

Вы знаете, что функцию характеризуют такие свойства как четность (нечетность), периодичность, возрастание (убывание) и т. д. Еще одной важной характеристикой функции является выпуклость вверх и выпуклость вниз.

Обратимся к примерам:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

О функциях Производная - определение и вычисление с примерами решения говорят, что они являются выпуклыми вниз (рис. 14.1), а функции Производная - определение и вычисление с примерами решения являются выпуклыми вверх (рис. 14.2). Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.3). Линейную функцию считают как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Далее, изучая понятия выпуклости функции на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения ограничимся случаем, когда функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения на этом промежутке.

Производная - определение и вычисление с примерами решенияВ высшей школе понятие выпуклости распространяют и на более широкие классы функций, например непрерывные.

Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Тогда в любой точке ее графика с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести невертикальную касательную. Если при этом график функции на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения расположен не выше любой такой касательной (рис. 14.4), то функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения называют выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения; если же график на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения расположен не ниже любой такой касательной (рис. 14.5), то — выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, докажем, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроведем касательную к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.6). Уравнение этой касательной имеет вид: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим разность

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку эта разность принимает только неотрицательные значения, то это означает, что график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения лежит не ниже любой касательной. Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно доказать, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.7).

На рисунке 14.8 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, которая является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Из рисунка видно, что с увеличением аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения угол наклона соответствующей касательной увеличивается. Это означает, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.9). Из рисунка видно, что с увеличением аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения угол наклона соответствующей касательной * уменьшается. Это означает, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Эти примеры показывают, что характер выпуклости функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на некотором промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения связан с возрастанием (убыванием) функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на этом промежутке.

Для дважды дифференцируемой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастание (убывание) функции Производная - определение и вычисление с примерами решения определяется знаком второй производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, характер выпуклости дважды дифференцируемой функции связан со знаком ее второй производной.

Эту связь устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 14.1 (признак выпуклости функции вниз). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 14.2 (признак выпуклости функции вверх). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Докажем теорему 14.1 (теорему 14.2 доказывают аналогично).

Доказательство. В точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения проведем касательную к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Уравнение этой касательной имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения

Значения этой функции показывают, насколько отличается ордината точки графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения от ординаты соответствующей точки, которая лежит на проведенной касательной (рис. 14.10).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если мы покажем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения то таким образом докажем, что на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения лежит не ниже проведенной к нему касательной.

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения (случай, когдаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения рассматривают аналогично). Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и отрезка Производная - определение и вычисление с примерами решенияприменим теорему Лaгранжа: Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является дифференцируемой на отрезке Производная - определение и вычисление с примерами решения то можно применить теорему Лагранжа: Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 14.10 показано расположение точек Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения Из неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения следует, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то с учетом условия теоремы получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Поэтому функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №49

Исследуйте на выпуклость функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется при Производная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.11).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежуткеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения выполняется при Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 14.11).

На рисунке 14.12 изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения. Эти функции на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияимеют разный характер выпуклости. Поэтому на этих промежутках график функции расположен в различных полуплоскостях относительно касательной. В этом случае говорят, что точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой перегиба функции.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой перегиба функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.7); точки вида Производная - определение и вычисление с примерами решения являются точками перегиба функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.13).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №50

Исследуйте характер выпуклости и найдите точки перегиба функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя метод интервалов, исследуем знак функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14.14). Получаем, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения выпуклая вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и выпуклая вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет разный характер выпуклости. В точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести касательную. Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой перегиба функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Построение графиков функций

Когда в предыдущих классах вам приходилось строить графики, вы, как правило, поступали так: отмечали на координатной плоскости некоторое количество точек, принадлежащих графику, а затем соединяли их. Точность построения зависела от количества отмеченных точек.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 15.1 изображены несколько точек, принадлежащих графику некоторой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Эти точки можно соединить по-разному, например, так, как показано на рисунках 15.2 и 15.3.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Однако если знать, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и является дифференцируемой, то, скорее всего, будет построен график, показанный на рисунке 15.4.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вы знаете, какие особенности присущи графикам четной, нечетной, периодической функций и т. д. Вообще, чем больше свойств функции удалось определить, тем точнее можно построить ее график.

Исследование свойств функции будем проводить по такому плану:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию на четность.
  3. Найти нули функции.
  4. Найти промежутки знакопостоянства.
  5. Найти промежутки возрастания и убывания.
  6. Найти точки экстремума и значения функции в точках экстремума.
  7. Выявить другие особенности функции (периодичность функции, поведение функции в окрестностях отдельных важных точек и т. п.).

Заметим, что приведенный план исследования носит характер рекомендаций и не является постоянным и исчерпывающим. Важно при исследовании функции обнаружить такие ее свойства, которые позволят корректно построить график.

Пример №51

Исследуйте функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не совпадает ни с функцией Производная - определение и вычисление с примерами решения ни с функцией Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияЧисла Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения являются нулями функции Производная - определение и вычисление с примерами решения. Применив метод интервалов (рис. 15.5), находим промежутки знакопостоянства функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, а именно: устанавливаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решенияИсследовав знак производной (рис. 15.6), приходим к выводу, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решенияубывает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияИмеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Исследовав знак второй производной (рис. 15.7), приходим к выводу, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой перегиба и Производная - определение и вычисление с примерами решения Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.8).

Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №52

Исследуйте функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения и постройте ее график.

Решение:

1.Функция определена на множестве Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения 2. Область определения функции несимметрична относительно начала координат, следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Функция не имеет нулей.

Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.9).

Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследовав знак Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.10), приходим к выводу, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

7. Заметим, что если значения аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения выбирать все большими и большими, то соответствующие значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениявсе меньше и меньше отличаются от числа Производная - определение и вычисление с примерами решения и могут стать сколь угодно малыми. Это свойство принято записывать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения или так: Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения, то расстояния от точек графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения до прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую Производная - определение и вычисление с примерами решения называют горизонтальной асимптотой графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решенияАналогично можно установить, что прямая Производная - определение и вычисление с примерами решения является горизонтальной асимптотой графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если значения аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениястановятся все большими и большими, то есть расстояния от точек графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения до прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую Производная - определение и вычисление с примерами решения называют вертикальной асимптотой графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, когда х стремится к нулю справа. Прямая Производная - определение и вычисление с примерами решения также является вертикальной асимптотой графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю слева. Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет еще одну вертикальную асимптоту — прямую Производная - определение и вычисление с примерами решения когда Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к Производная - определение и вычисление с примерами решения как слева, так и справа.

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Упростив дробь, получим Производная - определение и вычисление с примерами решения Исследовав знак Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.11), приходим к выводу, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения выпуклой вверх на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения точек перегиба не имеет.

Учитывая полученные результаты, строим график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.12).

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №53

Пользуясь графиком функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияопределите, сколько корней имеет уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решенияв зависимости от значения параметра Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Функция определена на множестве действительных чисел, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет три критические точки: Производная - определение и вычисление с примерами решения Исследовав знак производной (рис. 15.13), получаем: функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решения

и Производная - определение и вычисление с примерами решенияубывает на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияИмеем Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.14).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пользуясь построенным графиком, определяем количество корней уравнения Производная - определение и вычисление с примерами решения в зависимости от значения параметра Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.15):

  • если Производная - определение и вычисление с примерами решениято корней нет;
  • если Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения то 2 корня;
  • если Производная - определение и вычисление с примерами решениято 3 корня;
  • если Производная - определение и вычисление с примерами решения то 4 корня.

Замечание. Из решения данной задачи исключены пункты 2-4, 7 плана исследования свойств функции. Свойства функции, которые исследуются в этих пунктах, не используются при определении количества корней уравнения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №54

Исследуйте функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве Производная - определение и вычисление с примерами решения

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Решив уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения определяем, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияединственный нуль данной функции.

4. Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

5-6. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследовав знак Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.16), приходим к выводу, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

7. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исследовав знак Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 15.17), приходим к выводу, что

Производная - определение и вычисление с примерами решения точка перегиба и Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является выпуклой вниз на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения выпуклой вверх на Производная - определение и вычисление с примерами решения

Прямая Производная - определение и вычисление с примерами решения вертикальная асимптота графика данной функции.

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения то при Производная - определение и вычисление с примерами решения расстояния от точек графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения до соответствующих точек прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую Производная - определение и вычисление с примерами решения называют наклонной асимптотой графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения Также можно показать, что прямая Производная - определение и вычисление с примерами решения является наклонной асимптотой графика функции Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.18).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная в математике

Начнём изучение производной с самого начала с начальных определений которые помогут в изучении производной.

Числовые множества:

Действительные числа* R

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа Q

Можно представить в виде несократимой дроби Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения — целое, Производная - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической дроби Производная - определение и вычисление с примерами решения

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дробиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения — целое, Производная - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической дроби Производная - определение и вычисление с примерами решения

Целые числа Z

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы Производная - определение и вычисление с примерами решения обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Натуральные числа N (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число — основное неопределяемое понятие.

Число 0

Такое число, при сложении с которым любое число не изменяется Производная - определение и вычисление с примерами решения

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства:

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю Производная - определение и вычисление с примерами решения

Геометрический смысл модуля

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Модуль разности двух чисел Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения— это расстояние между точками Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой.

Свойства:

1.Производная - определение и вычисление с примерами решения Модуль любого числа — неотрицательное число.

2.Производная - определение и вычисление с примерами решенияМодули противоположных чисел равны.

3.Производная - определение и вычисление с примерами решенияКаждое число не больше своего модуля.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

6.Производная - определение и вычисление с примерами решенияМодуль произведения равен произведению модулей множителей.

7.Производная - определение и вычисление с примерами решенияМодуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю).Производная - определение и вычисление с примерами решения

9.Производная - определение и вычисление с примерами решенияМодуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чиселПроизводная - определение и вычисление с примерами решения недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству Производная - определение и вычисление с примерами решения натуральных чисел число Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа п противоположным считается число Производная - определение и вычисление с примерами решения, а для числа Производная - определение и вычисление с примерами решения противоположным считается число Производная - определение и вычисление с примерами решения Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множествоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе месяце в г. Харкове -7,3 С, длительность урока — 45 минут, или Производная - определение и вычисление с примерами решения часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество Производная - определение и вычисление с примерами решения рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби Производная - определение и вычисление с примерами решения

(то есть числитель Производная - определение и вычисление с примерами решения является целым числом, а знаменатель Производная - определение и вычисление с примерами решения — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби

Производная - определение и вычисление с примерами решения можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель.

Например,Производная - определение и вычисление с примерами решения

Действительные числа и их свойства

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например,Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки начинают повторяться. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом. При записи периодической дроби период записывают

в скобках. Например, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби Производная - определение и вычисление с примерами решения являются записью одного и того же рационального числа Производная - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членомПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияи знаменателем Производная - определение и вычисление с примерами решениявычисляется по формуле

Производная - определение и вычисление с примерами решения

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке 1 изображены несколько рациональных чисел Производная - определение и вычисление с примерами решения

Однако на координатной прямойПроизводная - определение и вычисление с примерами решения есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, из курса алгебры известно, что число Производная - определение и вычисление с примерами решения не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения, то его диагональ будет равна Производная - определение и вычисление с примерами решения. Тогда, проведя дугу окружности радиуса Производная - определение и вычисление с примерами решенияцентром в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, получим точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, координата которой равна Производная - определение и вычисление с примерами решения. Кроме числа Производная - определение и вычисление с примерами решения,вы также встречались с иррациональными числамиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и др.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чиселПроизводная - определение и вычисление с примерами решения. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если Производная - определение и вычисление с примерами решения (посколькуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел Производная - определение и вычисление с примерами решенияпоследовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действиями над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.Производная - определение и вычисление с примерами решения

Как видим,Производная - определение и вычисление с примерами решения

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел Производная - определение и вычисление с примерами решения последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы Производная - определение и вычисление с примерами решения с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы Производная - определение и вычисление с примерами решения (аналогично определяется и произведение Производная - определение и вычисление с примерами решения

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами.

Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решенияилиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения Производная - определение и вычисление с примерами решения по определению необходимо знать знак числа Производная - определение и вычисление с примерами решения и использовать соответствующую формулу. Например,Производная - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 3), то расстояние Производная - определение и вычисление с примерами решения. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения, то расстояние Производная - определение и вычисление с примерами решения

 Модуль разности двух чисел Производная - определение и вычисление с примерами решения— это расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на Производная - определение и вычисление с примерами решенияединиц абсцисса соответствующей точки изменяется нам Производная - определение и вычисление с примерами решения: к абсциссе данной точки прибавляется число Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть при Производная - определение и вычисление с примерами решения точка переносится вправо, а при Производная - определение и вычисление с примерами решения— влево. Обозначим на координатной прямой числа Производная - определение и вычисление с примерами решения соответственно точкамиПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения На рисунке 4 эти точки изображены для случая Производная - определение и вычисление с примерами решения хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков Производная - определение и вычисление с примерами решения При параллельном переносе вдоль оси Производная - определение и вычисление с примерами решения единиц точка Производная - определение и вычисление с примерами решения перейдет в точку В, а точка С (с координатой Производная - определение и вычисление с примерами решения) в точку с координатой Производная - определение и вычисление с примерами решениято есть в точку А.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда СО = АВ. Но расстояние СО — это расстояние от точкиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения до начала координат, следовательно, СО =Производная - определение и вычисление с примерами решения а значит, АВ =Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 1.

Например, учитывая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки а до точкиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения, а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаемПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от точки Производная - определение и вычисление с примерами решения,получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если Производная - определение и вычисление с примерами решенияа если Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, всегда Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо Производная - определение и вычисление с примерами решения подставить Производная - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Производная - определение и вычисление с примерами решениято получаем неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения что вместе с неравенством Производная - определение и вычисление с примерами решениясвидетельствует о том, что для любого действительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется двойное неравенство.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

При b > 0 неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что число а на координатной прямой находится от точки Производная - определение и вычисление с примерами решения на расстоянии, которое не превышает b (рис. 5), то есть в промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Наоборот, если число Производная - определение и вычисление с примерами решения находится в этом промежутке, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при Производная - определение и вычисление с примерами решения (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения).

Аналогично приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что число Производная - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой находится от точки Производная - определение и вычисление с примерами решения на расстоянии, которое больше или равноПроизводная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 5), то есть в этом случае Производная - определение и вычисление с примерами решения Наоборот, если число а удовлетворяет одному из этих неравенств, тоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения.Следовательно, при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияравносильно совокупности неравенств Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения, что можно записать так:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

  • модуль произведения равен произведению модулей множителей, то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения
  • модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

Производная - определение и вычисление с примерами решения

и обосновать с помощью метода математической индукции*.

 Действительно, формула (3) справедлива при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

(как отмечалось выше, это следует из правил действий над числами с одинаковыми и разными знаками). Предположим, что эта формула справедлива приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то есть допустим, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

С помощью формул (4) и (5) получаем, что и для следующего значения Производная - определение и вычисление с примерами решенияформула (3) также выполняется, посколькуПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияТогда согласно методу математической индукции формула (3) справедлива для всех натуральных значений п, больших или равных 2.Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если в формуле (3) взять Производная - определение и вычисление с примерами решения получаем формулу

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя последнюю формулу справа налево при Производная - определение и вычисление с примерами решенияк и учитывая, Производная - определение и вычисление с примерами решения при всех значениях Производная - определение и вычисление с примерами решения, получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для обоснования неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения

запишем неравенство (1) для чисел Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Складывая почленно эти неравенства, получаемПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияУчитывая неравенство (2), имеем

Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

С помощью метода математической индукции это свойство можно доказать и для случая Производная - определение и вычисление с примерами решения слагаемых Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если в неравенстве (6) заменить Производная - определение и вычисление с примерами решения и учесть, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения, то получим неравенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если записать число Производная - определение и вычисление с примерами решения так: Производная - определение и вычисление с примерами решения и использовать неравенство (6), то получим неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если в неравенстве (8) заменить Производная - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Производная - определение и вычисление с примерами решения, то получим неравенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы Производная - определение и вычисление с примерами решения в неравенствах (8) и (9) и учитывая, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияимеем также неравенства

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Полученные неравенства (6) - (10) можно коротко записать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №55

Докажите, что сумма (разность, произведение, натуральная степень и частное, если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

Заданы два рациональных числаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения целые, Производная - определение и вычисление с примерами решения натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

Производная - определение и вычисление с примерами решениягде Производная - определение и вычисление с примерами решения — целое число, Производная - определение и вычисление с примерами решения натуральное. Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь Производная - определение и вычисление с примерами решения гдеПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияцелое,Производная - определение и вычисление с примерами решения натуральное число. Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида Производная - определение и вычисление с примерами решения также будет дробью такого вида.

Пример №56

Докажите, что для любого натурального числа Производная - определение и вычисление с примерами решения число Производная - определение и вычисление с примерами решения или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное действительное положительное число является рациональным не натуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая Производная - определение и вычисление с примерами решения в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях п это число всегда будет положительным.

Решение:

 Допустим, что Производная - определение и вычисление с примерами решения не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это

число может быть только рациональной несократимой дробью Производная - определение и вычисление с примерами решения где

Производная - определение и вычисление с примерами решениянатуральные числа Производная - определение и вычисление с примерами решения. По определению корня Производная - определение и вычисление с примерами решения степени имеем Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения получаем, что дробьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения равная натуральному числу п, должна быть сократимой. Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители Производная - определение и вычисление с примерами решения, а в знаменателе — только множители Производная - определение и вычисление с примерами решения. Тогда числа Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решенияимеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь Производная - определение и вычисление с примерами решенияявляется сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения число Производная - определение и вычисление с примерами решения) или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа Производная - определение и вычисление с примерами решенияне являются натуральными числамиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения иррациональные числа.

Пример №57

Докажите, что Производная - определение и вычисление с примерами решениячисло иррациональное.

Решение:

 Допустим, что числоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения рациональное. Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решенияВозведя обе части последнего равенства в куб, имеемПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияОтсюдаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно,Производная - определение и вычисление с примерами решения правая часть

этого равенства рациональное число (поскольку по предположению Производная - определение и вычисление с примерами решениярациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число Производная - определение и вычисление с примерами решения иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: допустить, что заданное действительное число является рациональным и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например, с тем, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения иррациональное число. При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число Производная - определение и вычисление с примерами решения — рациональное, то числа Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что при любом рациональном Производная - определение и вычисление с примерами решения знаменатель полученной дробиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №58

Решите уравнениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

I способ

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения или Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения (в данном случае Производная - определение и вычисление с примерами решения Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: Производная - определение и вычисление с примерами решения это расстояние от точки 0 до точки Производная - определение и вычисление с примерами решения. Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения возможно тогда и только тогда, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения + 5 = 7 или Производная - определение и вычисление с примерами решения + 5 = -7.

II способ

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

С геометрической точки зрения Производная - определение и вычисление с примерами решения это расстояние между точками Производная - определение и вычисление с примерами решения координатной прямой. Запишем заданное уравнение так: | Производная - определение и вычисление с примерами решения - (-5) | = 7. Тогда равенство | Производная - определение и вычисление с примерами решения - (-5) | = 7 означает, что расстояние от точки 2х до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 6). Следовательно, заданное равенство выполняется тогда и только тогда, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения = Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть заданное уравнение равносильно этой совокупности уравнений.

Пример №59

Решите неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решая эти неравенства (рис. 7), получаем

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно,

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения и его можно решить, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, Производная - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки 0 до точки t. На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6. Тогда неравенствуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют те и только те точки, которые находятся в промежутке [-6; 6], то есть в промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

Понятия предела функции в точке и непрерывности функции

Понятие предела функции в точке:

Пусть задана некоторая функция, например Производная - определение и вычисление с примерами решения. Рассмотрим график этой функции и таблицу ее значений в точках, которые на числовой прямой расположены достаточно близко к числу 2.Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент Производная - определение и вычисление с примерами решения к числу 2 (это обозначают так: Производная - определение и вычисление с примерами решенияи говорят, что Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к 2), тем ближе значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения к числу 3 (обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения и говорят, что

Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к 3). Это записывают также так: Производная - определение и вычисление с примерами решения (читается:

«Лимит Производная - определение и вычисление с примерами решения - 1 при Производная - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к 2, равен 3») и говорят, что предел функции Производная - определение и вычисление с примерами решения - 1 при Производная - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3.

В общем случае запись Производная - определение и вычисление с примерами решения обозначает, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть В — число, к которому стремится значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запись обозначений Производная - определение и вычисление с примерами решенияс помощью знака модуля Обозначение и его смысл Производная - определение и вычисление с примерами решения На числовой прямой точка х находится от точки а на малом расстоянии (меньше Производная - определение и вычисление с примерами решения).

Иллюстрация Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запись с помощью знака модуляПроизводная - определение и вычисление с примерами решения f (х) В Значение f (я:) на числовой прямой находится на малом расстоянии от В (меньше е).

Определение предела функции в точке:

Производная - определение и вычисление с примерами решения Число В называется пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке а (при Производная - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к а), если для любого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения найдется такое положительное число Производная - определение и вычисление с примерами решения что при всех Производная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющих неравенству Производная - определение и вычисление с примерами решения, выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Свойства предела функции:

Смысл правил предельного перехода Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Запись и формулировка правил предельного перехода Производная - определение и вычисление с примерами решения Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Смысл правил предельного перехода. Если приПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запись и формулировка правил предельного перехода Производная - определение и вычисление с примерами решения Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют. Смысл правил предельного переходаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Запись и формулировка правил предельного перехода Производная - определение и вычисление с примерами решения Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

* Если значение Производная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет неравенствуПроизводная - определение и вычисление с примерами решениято говорят, что точка х находится в 8-окрестности точки Производная - определение и вычисление с примерами решения

** Это определение обязательно только для классов физико-математического профиля.

Смысл правил предельного переходаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Запись и формулировка правил предельного переходаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Смысл правил предельного перехода Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запись и формулировка правил предельного перехода Производная - определение и вычисление с примерами решенияПредел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Непрерывность функции в точке:

Определение:

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения называется непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, если при Производная - определение и вычисление с примерами решения), то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.

Если функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и g Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывны в точке а, то сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда делитель Производная - определение и вычисление с примерами решения

График функции, непрерывной на промежутке, — неразрывная линия на этом промежутке.

Все элементарные функции* непрерывны в каждой точке своей области определения, поэтому на каждом промежутке из области определения их графики — неразрывные линии.

Если на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения функцияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна и не обращается в нуль, то она сохраняет постоянный знак на этом интервале.

* Элементарными функциями обычно называют функции: Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и все функции, которые получаются из перечисленных выше с помощью конечного количества действий сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (функции от функции).

Метод интервалов (решение неравенств вида Производная - определение и вычисление с примерами решения:

План:

  1. Найти ОДЗ неравенства.
  2. Найти нули функции: Производная - определение и вычисление с примерами решения
  3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
  4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Пример №60

Решите неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна на каждом из промежутков своей области определения (как частное двух непрерывных функций), то можно использовать метод интервалов.

1. ОДЗ:Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули функции: Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения(входит в ОДЗ).

3.Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Понятие предела функции в точке

Простейшее представление о пределе функции можно получить, рассматривая график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 8). Из этого графика видно: чем ближе выбираются на оси Ох значения аргумента к числу 2 (это обозначается Производная - определение и вычисление с примерами решения 2 и читается: «Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к 2»), тем ближе будет значениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияна оси Производная - определение и вычисление с примерами решения к числу 3.Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это можно записать так:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Знак lim (читается: «Лимит») — краткая запись латинского слова limes (лимес), что в переводе означает «предел ». Производная - определение и вычисление с примерами решения

В общем виде запись Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что при Производная - определение и вычисление с примерами решения а значениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решениято есть В — число, к которому стремится значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решениякогда Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к Производная - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы дать определение предела функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения напомним, что расстояние между точками х и а на координатной оси Производная - определение и вычисление с примерами решения — это модуль разности | Производная - определение и вычисление с примерами решения а расстояние между точками Производная - определение и вычисление с примерами решения и В на координатной оси Производная - определение и вычисление с примерами решения — это модуль разностиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда запись Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что на числовой прямой точка Производная - определение и вычисление с примерами решения находится от точки Производная - определение и вычисление с примерами решения на малом расстоянии — например, меньше какого-то положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 9). Это можно записать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения. Обратим внимание, что запись Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к Производная - определение и вычисление с примерами решения, но не обязательно Производная - определение и вычисление с примерами решения достигает значения Производная - определение и вычисление с примерами решения, поэтому в определении предела функции в точке а рассматриваются значения Производная - определение и вычисление с примерами решения Также обратим внимание, что в этом случае, когда значение х удовлетворяет неравенству Производная - определение и вычисление с примерами решения, говорят, что точка х находится в Производная - определение и вычисление с примерами решения-окрестности точки а.

Аналогично запись Производная - определение и вычисление с примерами решения означает, что значение Производная - определение и вычисление с примерами решения на числовой прямой находится на малом расстоянии от В — например, меньше какого-то положительного числа е (рис. 10). Это можно записать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда можно дать следующее определение предела функции в точке: число В называется пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке а (при х, стремящемся к а), если для любого положительного числа Производная - определение и вычисление с примерами решения найдется такое положительное число Производная - определение и вычисление с примерами решения что при всех Производная - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющих неравенству Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение числа В по функции / называют предельным переходом. При выполнении предельных переходов можно пользоваться такими правилами":

Если нам известны пределы функций Производная - определение и вычисление с примерами решения то для выполнения предельного перехода над суммой, произведением или частным этих функций достаточно выполнить соответствующие операции над пределами этих функций (для частного только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю).

То есть если приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения * Обоснование правил предельного перехода приведены, гам же приведены примеры использования определения для доказательства того, что число В является пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим также, что в случае, когда функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является постоянной, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения то при всех значениях х значение Производная - определение и вычисление с примерами решения равно с, следовательно, и приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения. То есть предел постоянной равен самой постоянной.

Обратим внимание, что, согласно определению предел функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, при х, стремящемся к а, можно вычислить и в том случае, когда значение Производная - определение и вычисление с примерами решенияне входит в область определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения. Например, областью определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения являются все действительные числа, кроме числа 0. Для всех Производная - определение и вычисление с примерами решениявыполняется равенствоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Тогда при Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения, то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Понятие непрерывности функции

Если значение Производная - определение и вычисление с примерами решениявходит в область определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то для многих функций Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решениято есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Такие функции называются непрерывными в точке а". Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. Графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом промежутке, который полностью входит в область определения. На этом и основывается способ построения графиков «по точкам», которым мы постоянно пользовались. Строго говоря, при этом необходимо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция является непрерывной. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения, и это можно использовать при построении графиков и при вычислении пределов функций. Например, поскольку многочлен является непрерывной функцией, тоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Из правил предельного перехода следует, что в случае, когда функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения непрерывны в точке а, сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частноеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения в случае, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна как сумма двух непрерывных функций.

(Действительно,Производная - определение и вычисление с примерами решенияэтого следует, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения — непрерывная.)

Отметим еще одно важное свойство непрерывных функций, полное доказательство которого приводится в курсах математического анализа. Если на интервале Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. * Если в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не выполняется условие Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияназывается разрывной в точке а (а сама точка а называется точкой разрыва функции Производная - определение и вычисление с примерами решения).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это свойство имеет простую наглядную иллюстрацию. Допустим, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения на заданном интервале изменила свой знак(например, «-» на « + »). Это означает, что в какой-то точке Производная - определение и вычисление с примерами решения значение функции отрицательно Производная - определение и вычисление с примерами решения и тогда соответствующая точка М графика функции находится ниже оси Производная - определение и вычисление с примерами решения В некоторой точке Производная - определение и вычисление с примерами решения значение функции положительно Производная - определение и вычисление с примерами решения соответствующая точка N графика находится выше оси Производная - определение и вычисление с примерами решения

Но если график функции (который является неразрывной линией) перешел из нижней полуплоскости относительно оси Производная - определение и вычисление с примерами решения в в верхнюю, то он обязательно хотя бы один раз на заданном интервале пересек ось Производная - определение и вычисление с примерами решения, например в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 11). Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и на заданном интервале функция не может изменить свой знак.

На последнем свойстве непрерывных функций основывается метод решения неравенств с одной переменной, называемый методом интервалов, который мы применяли в 10 классе.

Действительно, если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то по сформулированному выше свойству непрерывных функций интервал I разбивается этими точками на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в любой точке каждого из таких интервалов.

Схема решения неравенств вида Производная - определение и вычисление с примерами решенияметодом интервалов приведена в учебнике для 10 класса и в пункте 6 таблицы 2.

Примеры решения задач:

Пример №61

Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Областью определения функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения является множество всех действительных чисел R. Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна.

Область определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Дробно-рациональная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в каждой точке ее области определения.

Промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна.

Промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения содержит точку 3, которая не входит в область определения функции g (я:). Следовательно, в этой точке функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не может быть непрерывной (не существует значение Производная - определение и вычисление с примерами решения поэтому функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не является непрерывной в каждой точке промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Многочлен Производная - определение и вычисление с примерами решения и дробно-рациональная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна как частное двух многочленов — непрерывных функций, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю). Поэтому в каждом из заданий необходимо найти область определения данной функции и сравнить ее с заданным промежутком.

Если этот промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то эта функция будет непрерывной в каждой точке заданного промежутка, а если нет, то функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в ее область определения.

Пример №62

Выясните, к какому числу стремится функция Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Дробно-рациональная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в каждой точке ее области определения Производная - определение и вычисление с примерами решения Число 0 входит в область определения этой функции, поэтому при Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Фактически в условии задачи говорится о нахождении предела функции Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решения. Учитывая, что дробно-рациональная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной в каждой точке ее области определения: Производная - определение и вычисление с примерами решения (как частное двух непрерывных функций — многочленов), получаем, что при Производная - определение и вычисление с примерами решениязначение Производная - определение и вычисление с примерами решения. То

есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №63

Найдите: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 1) Многочлен Производная - определение и вычисление с примерами решения является непрерывной функцией в каждой точке числовой прямой, поэтому Производная - определение и вычисление с примерами решения

2)Дробно-рациональная функция Производная - определение и вычисление с примерами решения

является непрерывной в каждой точке ее области определения Производная - определение и вычисление с примерами решенияЧисло 1 входит в область определения этой функции, поэтому Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) При Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их областей определения. Это означает, что

в том случае, когда число а (к которому стремитсяПроизводная - определение и вычисление с примерами решения входит в область определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (задания 1 и 2), получаем:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если же число а не входит в область определения функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения (задание 3), то пытаемся выполнить тождественные преобразования выражения f (х) при х Ф а, получить функцию, определенную приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения далее использовать непрерывность полученной функции при Производная - определение и вычисление с примерами решения (в данном случае функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что обозначение Производная - определение и вычисление с примерами решенияозначает только то, что Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к а (но не обязательно Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает значение а), и поэтому при Производная - определение и вычисление с примерами решения значение

Пример №64

Решите неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Заданное неравенство равносильно неравенствуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решениянепрерывна в каждом из промежутков своей области определения, то можно применить метод интервалов.

1. ОДЗ. Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения всегда, то ОДЗ задается условиями: х Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решения.То естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

2.НулиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям:

Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения(оба корня входят в ОДЗ).

3.Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знакПроизводная - определение и вычисление с примерами решения в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 12).Производная - определение и вычисление с примерами решения 4. Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное неравенство можно решить или с помощью равносильных преобразований, или методом интервалов. Если мы выберем метод интервалов, то сначала неравенство необходимо привести к виду Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для того чтобы решить неравенство методом интервалов, достаточно убедиться, что функцияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна (это требование всегда выполняется для всех элементарных функций Производная - определение и вычисление с примерами решения), и использовать известную схему решения:

  1. Найти ОДЗ неравенства.
  2. Найти нули функции: Производная - определение и вычисление с примерами решения = 0.
  3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
  4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства. При нахождении нулей Производная - определение и вычисление с примерами решения можно следить за равносильностью выполненных (на ОДЗ) преобразований полученного уравнения, а можно использовать уравнения-следствия и в конце выполнить проверку найденных корней.

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа -1 и 2).

Чтобы найти знак функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в каждом из полученных промежутков, достаточно сравнить величину дроби Производная - определение и вычисление с примерами решенияс единице и в любой точке из выбранного промежутка. (Для этого можно использовать график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Понятие производной, ее механический и геометрический смысл

Понятия приращения аргумента и приращения функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения:

ПустьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения из области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приращение аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции:

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решениябудет непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения отвечают малые изменения значений функции, то есть

Функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Задачи, приводящие к понятию производной:

І. Мгновенная скорость движения точки по прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения — координата Производная - определение и вычисление с примерами решения точки в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения 0 0 ср ( ) ІІ. Касательная к графику функции Касательной к графику функции в данной точке M называется предельное положение секущей MN.Производная - определение и вычисление с примерами решения Когда точка N приближается к точ ке M (двигаясь по графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то величина угла NMT при ближается к величине угла Производная - определение и вычисление с примерами решения наклона касательной MA к оси Производная - определение и вычисление с примерами решения ПосколькуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение производной:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производной функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения называется предел отношения приращения функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производные некоторых элементарных функций: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения угловой коэффициент касательной

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Значение производной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения и угловому коэффициенту этой касательной. (Угол отсчитывается от положительного направления оси Производная - определение и вычисление с примерами решения против часовой стрелки.)

Механический смысл производной:

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента:

  • Производная - определение и вычисление с примерами решения зависимость пройденного пути от времени
  • Производная - определение и вычисление с примерами решенияскорость прямолинейного движения
  • Производная - определение и вычисление с примерами решенияускорение прямолинейного движения

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции. Производную по времени используют для описания различных физических величин.

Например, мгновенная скорость Производная - определение и вычисление с примерами решения неравномерного прямолинейного движения —это производная функции, выражающей зависимость пройденного пути Производная - определение и вычисление с примерами решения от времениПроизводная - определение и вычисление с примерами решения 8. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то она непрерывна в этой точке.

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Объяснение и обоснование

Понятия приращения аргумента и приращения функции

Часто нас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита Производная - определение и вычисление с примерами решения (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения— произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения из области определения функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Разность Производная - определение и вычисление с примерами решения называется приращением независимой переменной (или

приращением аргумента) в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Производная - определение и вычисление с примерами решения (читается: «Дельта икс»). Таким образом,Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из этого равенства имеемПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

то есть первоначальное значение аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучило приращение Производная - определение и вычисление с примерами решенияОтметим, что при Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения больше, чем Производная - определение и вычисление с примерами решения а при Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения меньше, чем Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14).

Тогда значение функции изменилось на величину Производная - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину

Производная - определение и вычисление с примерами решения (2)

(рис. 15), которая называется приращением функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения что соответствует приращению аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения (символ Производная - определение и вычисление с примерами решениячитается: «Дельта еф»).

Из равенства (2) получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения

Обратим внимание на то, что при фиксированном Производная - определение и вычисление с примерами решения приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения является функцией от приращения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если функция задается формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения называют также приращением зависимой переменнойПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и обозначают через Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения соответствующее приращению Производная - определение и вычисление с примерами решения равно:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции

Напомним, что функция f (х) является непрерывной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения если приПроизводная - определение и вычисление с примерами решения то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Но если Производная - определение и вычисление с примерами решения

то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения (и наоборот, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, условиеПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияэквивалентно условию Производная - определение и вычисление с примерами решения Аналогично утверждениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения эквивалентно условиюПроизводная - определение и вычисление с примерами решениято есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, функция f (х) будет непрерывной в точкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решениятогда и только тогда, когда при Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть если малым изменениям аргумента в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения соответствуют малые изменения значений функции. Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения функции.

Задачи, приводящие к понятию производной в математике

Рассмотрим задачу, известную из курса физики, — движение материальной точки по прямой.

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции:

Если функция является математической моделью реального процесса, то часто возникает необходимость находить разность значений этой функции в двух точках. Например, обозначим через Производная - определение и вычисление с примерами решения суммы средств, которые накопились на депозитном1 счете вкладчика к моментам времени Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения . Тогда разностьПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения показывает прибыль, которую получит вкладчик за время Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения — фиксированная точка из области определения функции f.

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения — произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения то разностьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения называют приращением аргу­мента функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения (читают: «дельта икс»)2. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что аргумент получил приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Если аргумент в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения получил приращение Производная - определение и вычисление с примерами решениято значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения изменилось на величину

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Эту разность называют приращением функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и обо значают Производная - определение и вычисление с примерами решения(читают: «дельта эф»).

1 Депозитный — от депозит (банковский вклад) — деньги, которые вкладчик передает банку на некоторый срок, за что банк выплачивает вкладчику проценты.

2 Говоря о приращении аргумента функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, здесь и далее будем предполагать, что в любом промежутке вида Производная - определение и вычисление с примерами решения есть точки области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, отличные от Производная - определение и вычисление с примерами решения

Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для приращения функции у = f(x) принято также обозначение Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения аргумента в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения и соответствующее приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения функции показаны на рисунке 18.1.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что для фиксированной точкиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения приращение функции f в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения является функцией с аргументом Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №65

Найдите приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, которое соответствует приращению Производная - определение и вычисление с примерами решения аргумента.

Решение:

Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Задача о мгновенной скорости:

Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлении, за 2 ч преодолел путь 120 км. Тогда его 120 средняя скорость движения равна:Производная - определение и вычисление с примерами решения Найденное значение скорости дает неполное представление о характере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться быстрее, на других — медленнее, иногда мог останавливаться. Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомобиля показывал некоторую величину — скорость в данный момент времени. Значения скорости в разные моменты более полно характеризуют движение автомобиля. Рассмотрим задачу о поиске скорости в данный момент времени на примере равноускоренного движения.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой и через время t после начала движения имеет координату s(t). Тем самым задана функция у = s(t), позволяющая определить положе­ние точки в любой момент времени. Поэтому эту функцию называют законом движения точки. Из курса физики известно, что закон равноускоренного движения задается формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения — координата точки в начале движения (при t = 0), Производная - определение и вычисление с примерами решения — начальная скорость, Производная - определение и вычисление с примерами решения — ускорение.

Пусть, например,Производная - определение и вычисление с примерами решенияТогда Производная - определение и вычисление с примерами решения Зафиксируем какой-нибудь момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения и придадим аргументу в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть рассмотрим промежуток времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решения. За этот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Средняя скорость Производная - определение и вычисление с примерами решения движения точки за промежуток времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решенияравна отношению Производная - определение и вычисление с примерами решения Получаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Обозначение для средней скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения подчеркивает, что при заданном законе движения у = s(t) и фиксированном моменте времени і значение средней скорости зависит только от Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если рассматривать достаточно малые промежутки времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения до Производная - определение и вычисление с примерами решения то из практических соображений понятно, что средние скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то есть величина Производная - определение и вычисление с примерами решения почти не изменяется. Чем меньше Производная - определение и вычисление с примерами решения тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения Иными словами, если значения Производная - определение и вычисление с примерами решениястремятся к нулю (обозначают Производная - определение и вычисление с примерами решения), то значения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения Число Производная - определение и вычисление с примерами решения называют мгновенной скоростью в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения Это записывают так: Производная - определение и вычисление с примерами решения Говорят, что число Производная - определение и вычисление с примерами решения является пределом функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если в приведенном примере Производная - определение и вычисление с примерами решения, то значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения которое является значением мгновенной скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Этот пример показывает, что если материальная точка движется по закону Производная - определение и вычисление с примерами решения то ее мгновенную скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения определяют с помощью формулы

Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Задача о касательной к графику функции:

Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой. Например, ось ординат имеет с параболой Производная - определение и вычисление с примерами решения только одну общую точку (рис. 18.2). Однако интуиция подсказывает, что неестественно считать эту прямую касательной к данной параболе. Вместе с тем в курсе алгебры мы нередко говорили, что парабола Производная - определение и вычисление с примерами решения касается оси абсцисс в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Уточним наглядное представление о касательной к графику функции.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть М — некоторая точка, лежащая на параболе Производная - определение и вычисление с примерами решения Проведем прямую ОМ, которую назовем секущей (рис. 18.3). Представим, что точка М, двигаясь по параболе, приближается к точке О. При этом секущая ОМ будет поворачиваться вокруг точки О. Тогда угол между прямой ОМ и осью абсцисс будет все меньше и меньше, а секущая ОМ будет стремиться занять положение оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс считают касательной к параболе Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке О. Рассмотрим график некоторой функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и точку Производная - определение и вычисление с примерами решения В точке Производная - определение и вычисление с примерами решения придадим аргументу приращение Производная - определение и вычисление с примерами решения и рассмотрим на графике точку Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 18.4).

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из рисунка видно, что если Производная - определение и вычисление с примерами решения становится все меньше и меньше, то точка М, двигаясь по графику, приближается к точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Если при Производная - определение и вычисление с примерами решения секущая Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 18.4 это прямая Производная - определение и вычисление с примерами решения), то такую прямую называют касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть секущая Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет уравнение Производная - определение и вычисление с примерами решения и образует с положительным направлением оси абсцисс угол Производная - определение и вычисление с примерами решения Как известно, угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения равен Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 18.4). Тогда из треугольника Производная - определение и вычисление с примерами решенияполучаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Введем обозначение Производная - определение и вычисление с примерами решения для углового коэффициента секущей Производная - определение и вычисление с примерами решения, тем самым подчеркивая, что для данной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и фиксированной точки Производная - определение и вычисление с примерами решения угловой коэффициент секущей Производная - определение и вычисление с примерами решения зависит только от приращения Производная - определение и вычисление с примерами решения аргумента. Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть касательная Производная - определение и вычисление с примерами решения образует с положительным направлением оси абсцисс угол Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда ее угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения равен Производная - определение и вычисление с примерами решения Естественно считать, что чем меньше Производная - определение и вычисление с примерами решения, то тем меньше значение углового коэффициента секущей отличается от значения угло­ вого коэффициента касательной. Иными словами, если Производная - определение и вычисление с примерами решения то Производная - определение и вычисление с примерами решения Вообще, угловой коэффициент касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения определяют с помощью формулы

Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Понятие производной:

В предыдущем пункте, решая две разные задачи о мгновенной скорости материальной точки и об угловом коэффициенте касательной, мы пришли к одной и той же математической модели —

пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

Производная - определение и вычисление с примерами решения (1)

Производная - определение и вычисление с примерами решения (2)

К аналогичным формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, экономики и других наук. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоить название, ввести обозначение, изучить ее свойства и научиться их применять.

Определение. Производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения на­зывают число, равное пределу отношения приращения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения обозначают так: Производная - определение и вычисление с примерами решения(читают: «эф штрих от икс нулевого») или Производная - определение и вычисление с примерами решения Можно записать:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

или

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Исходя из определения мгновенной скорости (1), можно сделать следующий вывод: если Производная - определение и вычисление с примерами решения — закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения равна значению производной функции у = s(t) в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения , то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство выражает механический смысл производной.

Исходя из формулы для углового коэффициента касательной (2), можно сделать следующий вывод: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения, равен значению производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет производную в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то эту функцию называют дифференцируемой в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в каждой точке области определения, то ее называют дифференцируемой.

Операцию нахождения производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения называют дифференцированием функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №66

Продифференцируйте функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, где Производная - определение и вычисление с примерами решения — произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

1) Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Производная - определение и вычисление с примерами решения 3) по определению производной Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения — произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то последнее равенство означает, что для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вывод о том, что производная линейной функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияравна Производная - определение и вычисление с примерами решения записывают также в виде

Производная - определение и вычисление с примерами решения (3) Если в формулу (3) подставить k = 1 и b = 0, то получим:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если же в формуле (3) положить k = 0, то получим:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последнее равенство означает, что производная функции, яв­ляющейся константой, в каждой точке равна нулю.

Пример №67

Найдите производную функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, где Производная - определение и вычисление с примерами решения — произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения.

1) Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) если Производная - определение и вычисление с примерами решения то при любом Производная - определение и вычисление с примерами решения значения выражения Производная - определение и вычисление с примерами решения стремятся к числу Производная - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Производная - определение и вычисление с примерами решения — произвольная точка области определения функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, то для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Последнее равенство записывают также в виде

Производная - определение и вычисление с примерами решения (4 )

Формула (4) — частный случай более общей формулы

Производная - определение и вычисление с примерами решения (5 )

Например, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Формула (5) остается справедливой для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения (6) Например, воспользуемся формулой (6) для нахождения производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения или

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Формулу (6) также можно обобщить для любого Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения (7)

Например, найдем производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения воспользо­вавшись формулой (7). Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для Производная - определение и вычисление с примерами решения можно записать: Производная - определение и вычисление с примерами решенияили

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения можно находить по формуле

Производная - определение и вычисление с примерами решения (8)

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения — нечетное натуральное число, то формула (8) позволяет находить производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения во всех точках Производная - определение и вычисление с примерами решения таких, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения — четное натуральное число, то формула (8) позволяет находить производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения для всех положительных значений Производная - определение и вычисление с примерами решения Обратимся к тригонометрическим функциям Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения

Эти функции являются дифференцируемыми, и их производные находят по следующим формулам:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных.

Мгновенная скорость движения точки по прямой

Пусть координата х точки в момент времени t равна Производная - определение и вычисление с примерами решения.Как и в курсе физики, будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости Производная - определение и вычисление с примерами решения определить скорость, с которой точка движется в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим промежуток времени от Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 16). Определим среднюю скорость на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения как отношение пройденного пути к времени движения:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для определения мгновенной скорости точки в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения сделаем так, как вы делали на уроках физики: возьмем промежуток времени продолжительности Производная - определение и вычисление с примерами решения, вычислим среднюю скорость на этом промежутке и начнем уменьшать промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения до нуля (то есть уменьшать отрезок Производная - определение и вычисление с примерами решения и приближать Производная - определение и вычисление с примерами решения. Мы заметим, что значение средней скорости при стремлении At к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения. Иными словами, мгновенной скоростью в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решенияназывается предел отношения Производная - определение и вычисление с примерами решения если Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Например, рассмотрим свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задается формулой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

  1. Найдем сначала Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения
  2. Найдем среднюю скорость: Производная - определение и вычисление с примерами решения
  3. Выясним, к какому числу стремится отношение Производная - определение и вычисление с примерами решения при Производная - определение и вычисление с примерами решенияэто и будет мгновенная скорость в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения а поскольку величина Производная - определение и вычисление с примерами решения постоянная, то Производная - определение и вычисление с примерами решения Последнее число и является значением мгновенной скорости точки в момент времени Производная - определение и вычисление с примерами решения Мы получили известную из физики формулуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Используя понятие предела, это можно записать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Касательная к графику функции

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного матириала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбраной точке (рис. 17). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой.

Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык.

Пусть задана некоторая кривая и точкаПроизводная - определение и вычисление с примерами решения на ней (рис. 18). Возьмем на этой прямой другую точку Производная - определение и вычисление с примерами решения и проведем прямую через точки Производная - определение и вычисление с примерами решения иПроизводная - определение и вычисление с примерами решения. Эту прямую обычно называют секущей. Начнем приближать точкуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения к точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Положение секущей Производная - определение и вычисление с примерами решения будет изменяться, но при приближении точки Производная - определение и вычисление с примерами решения к точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияоно начнет стабилизироваться.

Касательной к кривой в данной точке Производная - определение и вычисление с примерами решенияназывается предельное положение секущейПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияа точка Производная - определение и вычисление с примерами решения, находящаяся на графике, задана своими координатамиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Касательной является не- Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

которая прямая, проходящая через точку М (рис. 19).Производная - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол Производная - определение и вычисление с примерами решения наклона касательной* к оси Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пусть точка N (через которую проходит секущая MN) имеет абсциссу Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения Когда точка N, двигаясь по графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения приближается к точке М (это будет при Производная - определение и вычисление с примерами решения),то величина угла NMT приближается к величине угла Производная - определение и вычисление с примерами решения наклона касательной МА к оси Производная - определение и вычисление с примерами решения ПосколькуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения значениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияприближается к Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Фактически мы пришли к той же задаче, что и при нахождении мгновенной скорости: найти предел отношения выражения вида Производная - определение и вычисление с примерами решения

(где Производная - определение и вычисление с примерами решения — заданная функция) при Производная - определение и вычисление с примерами решения Найденное таким образом число называют производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение производной и её применение в математике

Производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения называется предел отношения приращения функции в точкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции Производная - определение и вычисление с примерами решения обозначается Производная - определение и вычисление с примерами решения и читается: «Еф штрих в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения». Коротко определение производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения можно записать так:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая определение приращения функции Производная - определение и вычисление с примерами решениясоответствующего приращению Производная - определение и вычисление с примерами решения определение производной можно записать также следующим образом:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Функцию Производная - определение и вычисление с примерами решения имеющую производную в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения называют дифференцируемой в этой точке. Если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

* Будем рассматривать невертикальную касательную (то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения).

Для нахождения производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияпо определению можно пользоваться такой схемой:

  1. Найти приращение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения соответствующее приращению аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения
  2. Найти отношение Производная - определение и вычисление с примерами решения
  3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решения Это и будет производной данной функции.

Производные некоторых элементарных функций

Обоснуем, пользуясь предложенной схемой:

1. Вычислим производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения где с — постоянная.

1) Найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Найдем отношение Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) Поскольку отношение Производная - определение и вычисление с примерами решенияпостоянно и равно нулю, то и предел этого

отношения при Производная - определение и вычисление с примерами решения также равен нулю. Следовательно,Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

2. Вычислим производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) Поскольку отношение Производная - определение и вычисление с примерами решенияпостоянно и равно 1, то и предел этого отношения при Производная - определение и вычисление с примерами решения также равен единице. Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

3. Вычислим производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) При Производная - определение и вычисление с примерами решениязначениеПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда производная функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в произвольной точке х равна:Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

4. Вычислим производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) При Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда производная функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в произвольной точке х из ее области определения (то есть при Производная - определение и вычисление с примерами решения) равна:

Производная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно,

Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

5. Вычислим производную функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияУмножим и разделим полученное

выражение на суммуПроизводная - определение и вычисление с примерами решения и запишем Производная - определение и вычисление с примерами решения следующим образом:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) При Производная - определение и вычисление с примерами решения значение Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, чтоПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияТогда производная функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в произвольной точке Производная - определение и вычисление с примерами решения: из области определения функции, кроме Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно,Производная - определение и вычисление с примерами решения

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции y=f(x)

Учитывая определение производной функции Производная - определение и вычисление с примерами решениязапишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Как было обосновано выше, тангенс угла Производная - определение и вычисление с примерами решения наклона касательной в точке М с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 20) вычисляется по формуле Производная - определение и вычисление с примерами решения С другой стороны, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что в уравнении прямой Производная - определение и вычисление с примерами решения угловой коэффициент Производная - определение и вычисление с примерами решения равен тангенсу угла Производная - определение и вычисление с примерами решения наклона прямой к оси Производная - определение и вычисление с примерами решения (угол отсчитывается от положительного направления осиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения против часовой стрелки). Следовательно, если Производная - определение и вычисление с примерами решения — угловой коэффициент касательной, то Производная - определение и вычисление с примерами решения То есть значение производной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решенияи равно угловому коэффициенту этой касательной (угол отсчитывается от положительного направления оси Производная - определение и вычисление с примерами решения против часовой стрелки).

Таким образом, если Производная - определение и вычисление с примерами решения уравнение касательной к графику функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решенияв точке М с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения (и ординатой Производная - определение и вычисление с примерами решения Тогда уравнение касательной можно записать так: Производная - определение и вычисление с примерами решения Чтобы найти значение Производная - определение и вычисление с примерами решенияучтем, что эта касательная проходит через точку Производная - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, координаты точки М удовлетворяют последнему уравнению, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения и уравнение касательной имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решения Его удобно записать так:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Это уравнение касательной к графику функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. УголПроизводная - определение и вычисление с примерами решения который образует невертикальная касательная к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения с положительным направлением оси Производная - определение и вычисление с примерами решения может быть нулевым, острым или тупым. Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения (то есть Производная - определение и вычисление с примерами решенияугол Производная - определение и вычисление с примерами решения будет острым, а в случае, когда Производная - определение и вычисление с примерами решения угол Производная - определение и вычисление с примерами решения будет тупым. Если Производная - определение и вычисление с примерами решения (то есть касательная параллельна оси Производная - определение и вычисление с примерами решенияили совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения образует с положительным направлением оси Производная - определение и вычисление с примерами решенияострый угол Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения если тупой угол — то Производная - определение и вычисление с примерами решенияа если касательная параллельна оси Производная - определение и вычисление с примерами решенияили совпадает с ней Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если же касательная образует с осьюПроизводная - определение и вычисление с примерами решения прямой угол Производная - определение и вычисление с примерами решения то функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияпроизводной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет (Производная - определение и вычисление с примерами решения не существует).

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решениядля функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути s от времени t; ускорение Производная - определение и вычисление с примерами решения неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости Производная - определение и вычисление с примерами решения от времени t.

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения — зависимость пройденного пути от времени, то

Производная - определение и вычисление с примерами решения — скорость прямолинейного движения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения— ускорение прямолинейного движения.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

 Если функцияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точкеПроизводная - определение и вычисление с примерами решениято в этой точке существует ее производная Производная - определение и вычисление с примерами решения То есть при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Для обоснования непрерывности функцииПроизводная - определение и вычисление с примерами решения достаточно обосновать, что при Производная - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, при Производная - определение и вычисление с примерами решения Из этого следует, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения непрерывна в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения то она непрерывна в этой точке.

Из этого утверждения следует:

  • если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке. Производная - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.

Например, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 21) непрерывна при всех значениях Производная - определение и вычисление с примерами решения, но она не имеет производной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения Действительно, если Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому при Производная - определение и вычисление с примерами решения отношение Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела, а значит, и функция Производная - определение и вычисление с примерами решения не имеет производной в точке 0.

Замечание. Тот факт, что непрерывная функция Производная - определение и вычисление с примерами решенияне имеет производной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси Производная - определение и вычисление с примерами решения). График в этой точке будет иметь излом.

Например, к графику непрерывной функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 22) в точке М с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения нельзя провести касательную (а значит, эта функция не имеет производной в точке 1). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка N будет приближаться к точке М по левой части графика, то секущая MN займет предельное положение МА. Если же точка К будет приближаться к точке М по правой части графика, то секущая МК займет предельное положение MB. Но это две разные прямые, следовательно, в точке М касательной к графику данной функции не существует.

Примеры решения задач:

Пример №68

Найдите тангенс угла Производная - определение и вычисление с примерами решения наклона касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения, к оси Производная - определение и вычисление с примерами решения, еслиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По геометрическому смыслу производной Производная - определение и вычисление с примерами решенияУчитывая, что Производная - определение и вычисление с примерами решения получаемПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно,Производная - определение и вычисление с примерами решения

 ПосколькуПроизводная - определение и вычисление с примерами решениятоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения По геометрическому смыслу производной Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

По геометрическому смыслу производной Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения — угол наклона касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения, к осиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому для нахождения tg ф достаточно найти производную функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, а затем найти значение производной в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Для нахождения производных заданных функций отметим, что соответствующие формулы производных приведены в пункте 5 таблицы 3. Поэтому далее при решении задач мы будем использовать эти формулы как табличные значения.

Пример №69

Используя формулу Производная - определение и вычисление с примерами решения запишите уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

ЕслиПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Производная - определение и вычисление с примерами решенияПодставляя эти значения в уравнение касательнойПроизводная - определение и вычисление с примерами решения получаем Производная - определение и вычисление с примерами решения То естьПроизводная - определение и вычисление с примерами решения искомое уравнение касательной.Производная - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решенияв общем виде записывается так:

Производная - определение и вычисление с примерами решения Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение Производная - определение и вычисление с примерами решения,производную Производная - определение и вычисление с примерами решения и значение Производная - определение и вычисление с примерами решения. Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через Производная - определение и вычисление с примерами решения и использовать табличное значение производной:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Правила вычисления производных в математике

1. Производные некоторых элементарных функций: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Правила дифференцирования:

ПравилоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Пример:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

ПравилоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных

Пример:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

ПравилоПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Правило Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная сложной функции (функции от функции):

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Коротко это можно записать так*:Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

* В обозначениях Производная - определение и вычисление с примерами решения нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная.

Правила вычисления производных с помощью формул:

Для вычисления производных будем использовать формулы:

 Производная - определение и вычисление с примерами решения 

Внесем их в таблицу. Производная - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим несколько правил вычисления производных:

Производная суммы

1. Производная суммы: если функции Производная - определение и вычисление с примерами решения имеют производные, то производная суммы равна сумме производных, т. е. Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Пусть Производная - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим сумму приращений функций Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Если Производная - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №70

Найдите производную функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная произведения

2. Производная произведения: если функции Производная - определение и вычисление с примерами решения имеют производные, то Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №71

Найдите производную функции: 

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №72

Найдите производную функции: 

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения

Производная частного

3. Производная частного: если функции Производная - определение и вычисление с примерами решения имеют производные, то 

Производная - определение и вычисление с примерами решения  

Пример №73

Найдите производную функции:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная степени

4. Производная степени: производная степени равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и показателем на единицу меньше, т. е. Производная - определение и вычисление с примерами решения где Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №74

Найдите производную функции: 

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Более подробное объяснение правил вычисления производных:

При вычислении производных удобно пользоваться следующими теоремами1.

Теорема 20.1 (производная суммы). В тех точках, в ко­торых дифференцируемы функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения причем для всех таких точек выполняется равенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Кратко говорят: производная суммы равна сумме производных. Также принята следующая упрощенная запись:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорему 20.1 можно обобщить для любого конечного количества слагаемых:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

1 Условия теорем 20.1-20.3 предусматривают следующее: если функ­ции Производная - определение и вычисление с примерами решения u Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения , то соответственно функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения определены на некотором промежутке, содержащем точку Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 20.2 (производна я произведения). В тех точ­ках, в которых дифференцируемы функции Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения, также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения причем для всех таких точек выполняется равенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Также принята следующая упрощенная запись:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. В тех точках, в которых дифференцируема функция Производная - определение и вычисление с примерами решения, также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения, где Производная - определение и вычисление с примерами решения — некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Кратко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Также принята следующая упрощенная запись:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Поскольку функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведе­ния, можно записать:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 2. В тех точках, в которых дифференцируемы функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, также является дифференцируемой функция Производная - определение и вычисление с примерами решения, причем для всех таких точек выполняется равенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 20.3 (производная частного). В тех точках, в которых функции Производная - определение и вычисление с примерами решениядифференцируемы и значение функции Производная - определение и вычисление с примерами решения не равно нулю, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения также является дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Также принята следующая упрощенная запись:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №75

Найдите производную функции: 1)Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Производная - определение и вычисление с примерами решения 3) Производная - определение и вычисление с примерами решения4) Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Пользуясь теоремой о производной суммы и следствиями из теоремы о производной произведения, получаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме о производной произведения получаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

3) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

4) По теореме о производной частного получаем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Используя теорему о производной частного, легко доказать, что

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение касательной

Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Тогда к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения можно провести невертикальную касательную (рис. 21.1).

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Из курса геометрии 9 класса вы знаете, что уравнение невертикальной прямой имеет вид Производная - определение и вычисление с примерами решениягде Производная - определение и вычисление с примерами решения — угловой коэффициент этой прямой.

Исходя из геометрического смысла производной, получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда уравнение касательной можно записать в следующем виде: Производная - определение и вычисление с примерами решения (1)

Эта прямая проходит через точку Производная - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению (1).

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Производная - определение и вычисление с примерами решения

Тогда уравнение (1) можно переписать следующим образом: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, то уравнение касательной, проведенной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения, имеет вид

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Пример №76

Составьте уравнение касательной к графику функции Производная - определение и вычисление с примерами решенияв точке с абсциссой Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Подставив найденные числовые значения в уравнение касатель­ной, получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения. Ответ: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Признаки возрастания и убывания функции

Вы знаете, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция Производная - определение и вычисление с примерами решения такова, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения, то является ли функция Производная - определение и вычисление с примерами решения константой на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения?

Теорем а 22.1 (признак постоянстве функции). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Производная - определение и вычисление с примерами решения, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения является константой на этом промежутке.

На рисунке 22.1 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения. Эта функция обладает следующими свойствами: на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения она убывает, а на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает. При этом на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения производная Производная - определение и вычисление с примерами решения принимает отрицательные значения. а на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения — положительные значения.

Этот пример показывает, что знак производной функции на некотором промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения связан с тем, является ли эта функция возрастающей (убывающей) на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции устанавливают следующие две теоремы.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 22.2 (признак возрастания функции). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на зтом промежутке.

Теорема 22.3 (признак убывания функции). Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения, то функция Производная - определение и вычисление с примерами решения убывает на зтом промежутке.

Пример №77

Найдите промежутки возрастания и убывания функ­ции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения. Решив неравенства Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения, приходим к выводу: Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 22.2 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения. Из рисунка видно, что на самом деле функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и убы­вает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения, включая точку Производная - определение и вычисление с примерами решения.

При записи ответа будем руководствоваться следующим правилом: если функция дифференцируема в каком-то из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. В приведенном примере функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения, потому эту точку присоединили к промежуткам Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ: возрастает на Производная - определение и вычисление с примерами решения, убывает на Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №78

Найдите промежутки возрастания и убывания функции Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения. Исследуем знак производной (рис. 22.3) и учтем дифференцируемость функции Производная - определение и вычисление с примерами решения в точках Производная - определение и вычисление с примерами решения. Получаем, что функция Производная - определение и вычисление с примерами решения возрастает на каждом из промежутков Производная - определение и вычисление с примерами решения и Производная - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Точки экстремума функции

Знакомясь с понятием дифференцируемости функции в точке, мы исследовали поведение функции вблизи этой точки или, как принято говорить, в ее окрестности.

Определение. Промежуток Производная - определение и вычисление с примерами решения, содержащий точку Производная - определение и вычисление с примерами решения, называют окрестностью точки Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, промежуток (-1; 3) — одна из окрестностей точки 2,5. Вместе с тем этот промежуток не является окрестностью точки 3. На рисунке 23.1 изображены графики двух функций. Эти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из этой окрестности выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Определение. Точку Производная - определение и вычисление с примерами решения называют точкой максимум а функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, если существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения.

Например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения(рис. 23.2). Записывают Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 23.1 Производная - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Точку Производная - определение и вычисление с примерами решения называют точкой минимума функ­ции Производная - определение и вычисление с примерами решения, если существует окрестность точки Производная - определение и вычисление с примерами решения такая, что для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения из этой окрестности выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения

Например, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 23.2). Записывают: Производная - определение и вычисление с примерами решения На рисунке 23.3 изображены графики функций, для которых Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума, то есть Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

Точки максимума и минимума имеют общее название: их называют точками экстремума функции (от латинского extremum — край, конец). На рисунке 23.4 точки Производная - определение и вычисление с примерами решения являются точками экстремума. На рисунке 23.5 изображен график функции Производная - определение и вычисление с примерами решения, которая на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения является константой. Точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума, точка Производная - определение и вычисление с примерами решения — минимума, а любая точка промежутка Производная - определение и вычисление с примерами решения является одновременно как точкой максимума, так и точкой минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения. Наличие экстремума функции в точке Производная - определение и вычисление с примерами решения связано с поведением функции в окрестности этой точки. Так, для функций, графики которых изображены на рисунке 23.6, имеем: на рисунке 23.6, a

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

функция возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решенияи убывает на промежут­ке Производная - определение и вычисление с примерами решения; на рисунке 23.6, б функция убывает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения и возрастает на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения

Вы знаете, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убывания) дифференцируемой функции. Две теоремы, приведенные ниже, показывают, как с помощью производной можно находить точки экстремума дифференцируемой функции.

Теорем а 23.1 (признак точки максимум а функции). Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения— некоторая точка этого промежутка. Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения , а для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения, то точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 23.6, а).

Теорем а 23.2 (признак точки минимум а функции). Пусть функция Производная - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема на промежутке Производная - определение и вычисление с примерами решения — некоторая точка этого промежутка. Если для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения , а для всех Производная - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения , то точка Производная - определение и вычисление с примерами решения является точкою минимума функции Производная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 23.6, б).

Иногда удобно пользоваться упрощенными формулировками этих двух теорем: если при переходе через точку Производная - определение и вычисление с примерами решения производная меняет знак с плюса на минус, то Производная - определение и вычисление с примерами решения — точка максимумах если производная меняет знак с минуса на плюс, то Производная - определение и вычисление с примерами решения — точка минимума. Итак, для функции Производная - определение и вычисление с примерами решения точки экстремума можно искать по сле­дующей схеме.

  1. Найти Производная - определение и вычисление с примерами решения
  2. Исследовать знак производной.
  3. Пользуясь соответствующими теоремами, найти точки экстремума.

Пример №79

Найдите точки экстремума функции: 1) Производная - определение и вычисление с примерами решения 2) Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Имеем:

Производная - определение и вычисление с примерами решения Исследуем знак производной В окрестностях точек Производная - определение и вычисление с примерами решенияПроизводная - определение и вычисление с примерами решения (рис. 23.7). Получаем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения Производная - определение и вычисление с примерами решения

2) Имеем: Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная - определение и вычисление с примерами решения

Решая неравенство Производная - определение и вычисление с примерами решения и учитывая, что Производная - определение и вычисление с примерами решенияпри Производная - определение и вычисление с примерами решения, получаем, что Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутках Производная - определение и вычисление с примерами решенияи Производная - определение и вычисление с примерами решения. Рассуждая аналогично, можно установить, что Производная - определение и вычисление с примерами решения на промежутках (-1; 1) и (1; 3). Рисунок 23.8 иллюстрирует полученные результаты. Теперь можно сделать следующие выводы: