Производная - определение и вычисление с примерами решения

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Для того чтобы научиться понимать и вычислять производную нужно изучить основы математики, поэтому приступаем к изучению понятия производной.

Содержание:

Понятие производной

Рассмотрим последовательность

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:

Если члены этой последовательности изображать точками на координатной прямой, то эти точки будут располагаться все ближе и ближе к точке с координатой (рис. 1.1).

Иными словами, значение выражения с увеличением номера становится все меньшим и меньшим. Имеем:

Тогда, например, решив неравенство устанавливаем, что а решив неравенство устанавливаем, что при и т. д. Вообще, начиная с некоторого номера значение выражения становится меньше любого наперед заданного положительного числа (читают «эпсилон»).

Найти можно, решив неравенство В этом случае говорят, что число является пределом последовательности

Говорят также, что с увеличением номера лены последовательности стремятся к числу .

Рассмотрим последовательность заданную формулой члена

Предел числовой последовательности

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:

С увеличением номера члены последовательности стремятся к числу (рис. 1.2).

Это означает, что для любого положительного числа можно указать такой номер что для всех выполняется неравенство Поскольку

то номер можно найти, решив неравенство

Определение. Числоназывают пределом последовательности если для любого положительного числа существует такой номер что для всех выполняется неравенство

Пишут: (тут lim, — это начальные буквы французского слова limite — предел). Для примеров, рассмотренных выше, можно записать:

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся.

Можно доказать, что каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Пример №1

Последовательность задана формулой Найдите

Решение:

Докажем, что Действительно, при всех Поэтому для произвольного положительного числа и для всех выполняется неравенство Отсюда

Ответ: 4.

Производная и её применение

Последовательность все члены которой равны, называют стационарной. Аналогично примеру можно доказать, что каждая стационарная последовательность где имеет предел, равный числу

Понятие предела последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию

Неравенство вида равносильно неравенствам то есть

Это означает, что если то для любого найдется номер начиная с которого все члены последовательности принадлежат интервалу Иными словами, каким бы малым не был интервал члены последовательности, сходящейся к числу рано или поздно попадут в этот интервал и уже никогда не выйдут за его границы, то есть вне указанного интервала может находиться только конечное количество членов последовательности

Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Например, последовательность заданная формулой  является расходящейся, так как любой интервал содержит только конечное количество членов последовательности (рис. 1.3).

Расходящейся является и последовательностьзаданная формулой Действительно, предположим, что последовательность является сходящейся и

Тогда для вне интервала длина которого равна должно находиться только конечное количество членов последовательности Выписав несколько первых членов последовательности видим, что ни при какоминтервал не может содержать числаодновременно (рис. 1.4). Это означает, что вне интервала находится бесконечное количество членов последовательности: илиили

Обращаясь к геометрической интерпретации, промежуток вида часто называют интервалом, а промежуток вида отрезком.

Следовательно, расходящаяся последовательность. Находить пределы числовых последовательностей помогает следующая теорема.

Теорема 1.1 (об арифметических действиях с пределами последовательностей). Если последовательности сходящиеся, то последовательности также являются сходящимися, причем

Если, кроме этого, при всех то сходящейся также является последовательность причем

Доказательство теоремы проведем только для последовательности Для последовательностей и с доказательством теоремы вы сможете ознакомиться, например, по учебнику «Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики», п. 46.

Пусть Тогда для произвольного числа существует такой номерчто для всехвыполняется неравенство то есть

Аналогично, пусть Тогда для произвольного числасуществует такой номер что для всехвыполняется неравенството есть

Выберем такой номер что и Тогда для всеходновременно выполняются неравенства и Сложив эти неравенства, получим

Если для любого числа выбрать то последнее неравенство можно переписать в виде

Таким образом, для любогосуществует такой номер что для всех выполняется неравенство . Это значит, что последовательность является сходящейся и

Пример №2

Найдите

Решение:

Имеем:

Последовательность с общим членом представлена в виде суммы двух сходящихся последовательностей с общими членами Тогда можно записать:

Пример №3

Вычислите предел

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби на

В числителе и знаменателе полученной дроби записаны общие члены сходящихся последовательностей. Тогда:

Теорема 1.2. Если последовательность является сходящейся и при всех то последовательность с общим членом также является сходящейся, причем

Пример №4

Вычислите предел

Решение:

Проведем тождественные преобразования:

Теперь получаем

Представление о пределе функции в точке и о непрерывности функции в точке

Рассмотрим функцию и точку Если значения аргумента стремятся к числу (обозначают ), то соответствующие значения функции стремятся к числу (рис. 2.1).

Иными словами: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к числу , то соответствующие значения функции будут все меньше и меньше отличаться от числа .

В этом случае говорят, что число является пределом функции в точке , и записывают или

Также используют такую запись: Например, с помощью рисунка 2.2 можно сделать вывод, что

Если обратиться к рисунку 2.3, то можно записать:

На рисунке 2.4 изображен график функции Эта функция не определена в точке а во всех других точках совпадает с функцией (сравните рис. 2.1 и рис. 2.4). Однако если значения аргумента где стремятся к числу , то соответствующие значения функции стремятся к числу то есть

Этот пример показывает, что функция может быть не определена в точке, но иметь предел в этой точке.

Рассмотрим функцию При получаем при получаем График функции изображен на рисунке 2.5.

Если значения аргумента где стремятся к то невозможно утверждать, что значения функции стремятся к какому-нибудь определенному числу. Действительно, если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь отрицательными, то соответствующие значения функции стремятся к а если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции стремятся к

Поэтому функцияв точке не имеет предела.

Рассмотрим функцию (рис. 2.6). Если значения где стремятся к то соответствующие значения функции становятся все большими и большими. Поэтому не существует числа, к которому стремятся значения функции при условии, что значения аргумента стремятся к

Следовательно, функция не имеет предела в точке

Мы привели примеры двух функций, которые не определены в некоторой точке и не имеют предела в этой точке.

Ошибочным было бы считать, что если функция определена в некоторой точке то она обязательно имеет предел в этой точке. На рисунке 2.7 изображен график функции , которая определена в точке но не имеет предела в этой точке.

На рисунке 2.8 изображены графики функций и которые определены в точке и имеют предел в этой точке. Однако поведение этих функций в точке существенно различается. График функции в отличие от графика функции в точке имеет разрыв. Такое различие поведения функций и в точке можно охарактеризовать с помощью предела.

Для функции имеем: Для функции можно записать:

Иными словами: предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

В таком случае говорят, что функция является непрерывной в точке .

Из равенства следует, что если функция не имеет предела в точке или не определена в этой точке, то она не может быть непрерывной в точке .

Например, функция, график которой изображен на рисунке 2.7, не является непрерывной в точке . Также не является непрерывной в точке функция (рис. 2.9).

Если функция является непрерывной в каждой точке некоторого множества то говорят, что она непрерывна на множестве

Например, функция непрерывна на а функция является непрерывной на каждом из промежутков и

Если функция является непрерывной на то такую функцию называют непрерывной.

Определение предела функции в точке

В предыдущем пункте вы получили представление о пределе функции в точке. Перейдем к формированию строгого определения.

На рисунке 3.1 изображен график функции и на осях абсцисс и ординат отмечены соответственно точки и Заметим, что

Пусть некоторое положительное число. На оси ординат рассмотрим интервал На оси абсцисс ему соответствует такой интервал содержащий точку , что для любого соответствующие значения функции принадлежат промежутку то есть выполняются неравенства Иными словами, для любого выполняется неравенство

Сузим промежуток на оси ординат, то есть рассмотрим интервал где Тогда для числа можно указать такой интервал оси абсцисс, содержащий точку , что для любого выполняется неравенство (рис. 3.1).

На рисунке 3.2 изображен график такой функции , что Рисунок 3.3 соответствует функции , для которой

В каждом из случаев, изображенных на рисунках 3.1-3.3, для любого можно указать такой интервал содержащий точку , что для всех выполняется неравенство

Приведенные соображения позволяют дать такое определение предела функции в точке .

Определение. Число а называют пред ел ом функции в точке , если для любого положительного числа существует такой интервал содержащий точку что для любого выполняется неравенство

Заметим, что предел функции в точке характеризует значения функции вокруг точки , в то время как поведение функции в самой точке не влияет на значение предела (обратите внимание на условие в определении предела). Поэтому для каждой из функций , графики которых изображены на рис. 3.1-3.3, можно записать

На рисунке 3.4 точка такова, что слева (справа) от нее нет точек, принадлежащих области определения функции .

В каждом из случаев, изображенных на этом рисунке, для любого можно указать такой интервал содержащий точку , что для всех выполняется неравенство Это означает, что число является пределом функции в точке .

Если интервал содержит точку , то существует такое положительное число что промежуток принадлежит (рис. 3.5). Интервал называют окрестностью точки . Объединение интервалов называют проколотой окрестностью точки (рис. 3.6).

Очевидно, что при множеством решений неравенства является окрестность точки , а множеством решений двойного неравенства является проколотая окрестность точки .

Тогда, если точка принадлежит интервалу , то этот интервал содержит некоторую проколотую окрестность точки , то есть множество, являющееся решением двойного неравенства где некоторое положительное число (рис. 3.7).

Теперь приведенное определение предела функции в точке можно переформулировать так.

Определение. Число называют пределом функции в точке если для любого положительного числа существует такое положительное число что для всех из неравенств следует неравенство

Рисунок 3.8 иллюстрирует это определение.

Замечание. Если существует проколотая окрестность точки , в которой функция не определена (рис. 3.9), то предел функции в точке не определяют.

Пример №5

С помощью определения предела функции в точке докажите, что

Решение:

Для каждого положительного числа рассмотрим неравенство

Преобразовав его, запишем

Полученное неравенство подсказывает, каким образом для данного можно найти подходящее число

Пусть Тогда из условия следует, что Отсюда

Сказанное означает, что число является пределом функции в точке

Пример №6

Докажите, что

Решение:

Функция при совпадает с функцией

А поскольку значение предела функции в точке не зависит от того, определена ли функция в этой точке, то достаточно показать, что

Рассмотрим неравенство где некоторое положительное число. После преобразований получаем Теперь понятно, как можно выбрать Возьмем Тогда из условия следует, что Отсюда Тем самым доказано, что

Пример №7

Докажите, что функция не имеет предела в точке

Решение:

Предположим, что предел функции в точке существует и равен Покажем, что, например, для невозможно подобрать такое чтобы из неравенств следовало неравенство

Если то неравенство становится таким: Отсюда

Если то неравенство становится таким: Отсюда

Поскольку не существует значений которые бы удовлетворяли каждому из неравенств и то функция в точке не имеет предела.

Теорема об арифметических действиях с пределами функций в точке

Находить предел функции в точке с помощью определения предела задача трудоемкая. Облегчить процесс поиска предела позволяет теорема об арифметических действиях с пределами функций

Теорема 4.1 (об арифметических действиях с пределами функций). Если функции и имеют предел в точке то функции также имеют предел в точке причем

Если, кроме этого, предел функции в точке отличен от нуля, то функция также имеет предел в точке и

Фактически теорема 4.1 состоит из четырех теорем, которые называют теоремами о пределе суммы, пределе разности, пределе произведения и пределе частного.

В теореме рассматриваются функции, которые определены в одних и тех же точках некоторой проколотой окрестности точки

Следствие. Если функция имеет предел в точке и произвольная постоянная, то функция также имеет предел в точке причем

Справедливость следствия следует из теоремы о пределе произведения и ключевой задачи 3.3.

Пример №8

Докажите, что

Решение:

Из ключевой задачи 3.4 следует, что

Тогда, если функцию представить в виде то можно применить теорему о пределе произведения. Имеем:

Пример №9

Найдите

Решение:

Поскольку то нельзя применить теорему о пределе частного к функции Преобразуем выражение

Имеем:

Рассмотрим функцию Так как функции и отличаются только поведением в точке то Используя теорему об арифметических действиях с пределами функций, получаем

Пример №10

Найдите где

Решение:

Рассмотрим функцию

Поскольку в любой проколотой окрестности точки функции и совпадают (рис. 4.1), то достаточно найти

Используя теорему об арифметических действиях с пределами функций, запишем:

Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций

В пункте 2 вы получили представление о функциях, непрерывных в точке. Рассмотрим это понятие глубже и детальнее.

На рисунке 5.1 изображены графики функций и которые определены в точке и имеют предел в этой точке.

Для функции имеем: Для функции можно записать:

Определение. Если выполняется равенство то функцию называют непрерывной в точке

Если в некоторой окрестности точки функция определена только в точке (рис. 5.2), то предел такой функции в точке не определяют. Поэтому равенство проверить невозможно. Однако договорились и такую функцию считать непрерывной в точке . Например, функция является непрерывной в точке а функция является непрерывной в каждой из точек вида

Из теоремы об арифметических действиях с пределами функций следует, что если и то:

при условии, что

Используя эти равенства, можно доказать следующую теорему.

Теорема 5.1 (об арифметических действиях с непрерывными функциями). Если функции и непрерывны в точке то в этой точке непрерывными являются и функции и (последняя при условии, что

Используя теорему об арифметических действиях с непрерывными функциями, получаем, что каждая из функций многочлены является непрерывной.

Заметим, что если функция непрерывна на то она непрерывна на любом числовом промежутке (рис. 5.3).

Можно показать что для любого выполняется равенство Это означает, что функция непрерывна.

Функцию видагде многочлены, называют рациональной.

Пусть функции и определены на некоторых промежутках. Из наглядных соображений очевидно, что если графики функций и являются равными фигурами и функция непрерывна, то функция также непрерывна.

В 10 классе было показано, что график функции можно получить из графика функции в результате параллельного переноса на вектор с координатами (рис. 5.4). Таким образом, непрерывность функции следует из непрерывности функции

Поскольку функции и непрерывные, то из теоремы об арифметических действиях с непрерывными функциями следует, что функции и также являются непрерывными.

Вы знаете, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Поэтому если обратимая функция определена на некотором промежутке и непрерывна, то обратная к ней функция также будет непрерывной.

Как было установлено выше, функция является непрерывной. Тогда и обратимая функция непрерывная. Следовательно, обратная к ней функция также является непрерывной.

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что функция непрерывная. Таким же образом устанавливаем, что непрерывными являются и функции

Пример №11

Выясните, является ли функция непрерывной в точке

Решение:

Имеем: Вычислим Запишем:

Получили, что Следовательно, функция в точке не является непрерывной. Полученный вывод проиллюстрирован на рисунке 5.5.

Рассмотрим ряд важных свойств непрерывных функций

Теорема 5.2 (о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна в точке а функция непрерывна в точке где то сложная функция непрерывна в точке

Например, функция непрерывна в точке функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке Рассуждая аналогично, можно показать, что сложная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Еще примеры. Функции и непрерывны. Тогда сложная функция также является непрерывной.

Каждая из функций и является непрерывной. Тогда сложная функция то есть функция также является непрерывной.

Доказательство этих свойств выходит за пределы школьной программы.

Пример №12

Вычислите

Решение:

Поскольку функция является непрерывной, то Следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Поскольку функция является непрерывной, то можно записать

Теорема 5.3 (теорема Больцано —Коши). Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков, то существует такая точка что

Больцано —Коши - Чешский математик, философ и логик. Возглавлял кафедру истории религии в Пражском университете. При жизни напечатал (анонимно) только 5 небольших математических трудов, основную часть его рукописного наследия ученые исследовали уже после его смерти. Трактат «Учение о функциях», написанный в 1830 г., увидел свет только через 100 лет. В нем Больцано, за много лет до Вейерштрасса и Коши, формулирует и доказывает ряд положений математического анализа. В работе «Парадоксы бесконечности» Больцано рассматривал вопросы мощности бесконечных множеств; в работе «Науковедение» выдвинул ряд идей, предшествовавших математической логике.

Эта теорема наглядно очевидна. Действительно, если точки, лежащие в разных полуплоскостях относительно оси абсцисс, соединить непрерывной кривой, то эта кривая обязательно пересечет ось абсцисс (рис. 5.6).

Следствие. Если функция непрерывна и не имеет нулей на некотором промежутке функция непрерывна и не имеет нулей на некотором промежутке то она на этом промежутке сохраняет знак (рис. 5.7).

Доказательство. Предположим, что данная функция на промежутке не сохраняет знак, то есть существуют такие и где что числа и имеют разные знаки (рис. 5.6). Тогда по теореме Больцано-Коши существует точка такая, что Получили противоречие.

Напомним, что это следствие лежит в основе метода интервалов для решения неравенств.

Пример №13

Докажите, что уравнение имеет корень.

Решение:

Рассмотрим непрерывную функцию

Имеем:

Следовательно, по теореме Больцано-Коши на отрезке уравнение имеет корень.

Не каждая функция, определенная на отрезке достигает на этом промежутке своих наибольшего и найменьшего значений. Это иллюстрирует рисунок 5.8.

Однако для непрерывных функций имеет место такая теорема.

Теорема 5.4 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке то она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Эта теорема наглядно очевидна. Если две точки на координатной плоскости соединить непрерывной кривой, то на этой кривой найдутся точки с наибольшей и наименьшей ординатами (рис. 5.9).

Отметим, что если в теореме Вейерштрасса отрезок заменить промежутком другого вида, например интервалом то эта теорема может не выполняться. Так, функция непрерывная на промежутке

не достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Покажем, как понятие непрерывности помогает находить область значений функции.

Пусть о функции известно, что Верно ли, что

Рисунок 5.10 показывает, что ответ на этот вопрос отрицательный: число 3 не принадлежит области значений этой функции. Однако если областью определения непрерывной функции является некоторый промежуток, то ответ на поставленный вопрос будет положительным.

Теорема 5.5. Если областью определения непрерывной функции является некоторый промежуток и и то

Доказательство. Пусть числа и таковы, что и (случай, когда рассматривают аналогично).

Рассмотрим произвольное число то есть Докажем, что существует точка для которой Тем самым будет показано, что

Рассмотрим функцию Функция является непрерывной на следовательно, она непрерывна на отрезке Имеем:

Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши существует точка такая, что то есть

Пример №14

Найдите область значений функции

Решение:

Имеем: для всех Поскольку то

Применив неравенство Коши, запишем

Так как то

Функция непрерывна на Из теоремы 5.5 следует, что

Покажем, что функция непрерывная. Для этого докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 5.1. Для любого выполняется неравенство

Доказательство. Если или то доказываемое неравенство очевидно.

Пусть На рисунке 5.11 точка получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол радиан. Так как то есть то точка находится в первой четверти.

Площадь треугольника меньше площади сектора . Имеем:

Тогда Получаем Пусть Тогда и можно записать, что Отсюда

Следовательно, если то Поэтому

Если то Поэтому Покажем, что число является пределом функции в точке где

Используя неравенство леммы 5.1, имеем:

Пусть произвольное положительное число. Так как то из неравенств следует, что

Если положить то получим: для любого существует такое, что из неравенств следует неравенство Это означает, что

Таким образом, функция непрерывна в каждой точке а следовательно, эта функция непрерывна на

Рассмотрим функцию Эта функция не опре- делена в точке Однако в этой точке существует предел функции

Докажем, что имеет место такое равенство:

Лемма 5.2. Если то

Доказательство. Пусть Опять обратимся к рисунку 5.11. Построим прямоугольник для которого отрезок является диагональю. Поскольку и то

Поскольку то Тогда из леммы 5.1 получаем Следовательно,

Очевидно, что площадь заштрихованного сегмента меньше площади треугольника Имеем:

Теперь можно записать:

Отсюда с учетом того, что получаем

Поскольку функции и четные, то последнее двойное неравенство выполняется также для всех из промежутка

Теперь докажем равенство Используя лемму 5.2, для имеем то есть

Пусть произвольное положительное число.

Если то положим Тогда из неравенств будет следовать, что Если то в качестве выберем любое число из промежутка (0; 1). Так как в этом случае то из неравенств будет следовать, что

Значит, для любого существует такое число что из неравенства следует неравенство Это означает, что Это равенство называют первым замечательным пределом. Оно показывает, что при достаточно малых значениях выполняется приближенное равенство Более того, из леммы 5.2 следует, что если то выполняется неравенство Поэтому абсолютная погрешность приближенной формулы не превышает Например, если то с точностью не менее чем

Пример №15

Вычислите предел

Решение:

Пример №16

Вычислите предел

Решение:

Пример №17

Вычислите предел

Решение:

Пример №18

Вычислите предел

Решение:

Приращение функции. Задачи, приводящие к понятию производной

Если функция является математической моделью реального процесса, то часто возникает потребность находить разность значений этой функции в двух точках. Например, обозначим и суммы средств, которые накопились на депозитном1 счете вкладчика к моментам времени и Тогда разность где показывает прибыль, которую получит вкладчик за время

Рассмотрим функцию Пусть фиксированная точка из области определения функции

Если произвольная точка области определения функции такая, что то разность называют приращением аргумента функции в точке и обозначают (читают: «дельта икс») Имеем: Отсюда

Говорят, что аргумент получил приращение в точке Отметим, что приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: если то если то

Если аргумент в точке получил приращение то значение функции изменилось на величину

Эту разность называют приращением функции в точке и обозначают

(читают: «дельта эф»).

Имеем: или

Для приращения функции также принято обозначение то есть или

Приращение аргумента в точке и соответствующее приращение функции показано на рисунке 6.1.

Отметим, что для фиксированной точки приращение функции в точке является функцией с аргументом

Депозит (банковский вклад) — деньги, которые вкладчик помещает в банк на некоторый срок, за что банк выплачивает вкладчику проценты. Говоря о приращении аргумента функции в точке здесь и дальше будем предполагать, что в любом интервале есть точки области определения функции отличные от .

Пример №19

Найдите приращение функции в точке которое соответствует приращению аргумента.

Решение:

Имеем: Ответ:

Задача о мгновенной скорости

Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлении, за 2 ч преодолел путь 120 км.

Тогда его средняя скорость движения равна

Найденная величина дает неполное представление о характере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться быстрее, на других — медленнее, иногда мог останавливаться.

Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомобиля показывал некоторую величину — скорость в данный момент времени. Значение скорости в разные моменты более полно характеризует движение автомобиля.

Рассмотрим задачу о поиске скорости в данный момент времени на примере равноускоренного движения.

Пусть материальная точка двигается по координатной прямой и через время после начала движения имеет координату Тем самым задана функция позволяющая определить положение точки в любой момент времени. Поэтому эту функцию называют законом движения точки.

Из курса физики известно, что закон равноускоренного движения задается формулой в где координата точки в начале движения (при ), начальная скорость, ускорение.

Пусть, например, Тогда

Зафиксируем какой-нибудь момент времени и придадим аргументу в точке приращение приращением то есть рассмотрим промежуток времени от до За этот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение где

Средняя скорость движения точки за промежуток времени от до равна отношению то есть

Обозначение для средней скорости подчеркивает, что при заданном законе движения и фиксированном моменте времени значение средней скорости зависит только от

Если рассматривать достаточно малые промежутки времени от до то из практических соображений понятно, что средние скорости за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то есть величина почти не изменяется. Чем меньше тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени . Иными словами, если при значения стремятся к числу то число называют мгновенной скоростью в момент времени .

В нашем примере, если то значения выражения стремятся к числу которое является значением мгновенной скорости то есть

Этот пример показывает, что если материальная точка двигается по закону то ее мгновенную скорость в момент времени определяют с помощью формулы то есть

Задача о касательной к графику функции

Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой.

Например, ось ординат имеет с параболой только одну общую точку (рис. 6.2).

Однако интуиция подсказывает, что неестественно считать эту прямую касательной к этой параболе. Вместе с тем в курсе алгебры мы нередко говорили, что парабола касается оси абсцисс в точке

Уточним наглядное представление о касательной к графику функции.

Пусть некоторая точка, лежащая на параболе . Проведем прямую которую назовем секущей (рис. 6.3). Представим себе, что точка двигаясь по параболе, приближается к точке

При этом секущая будет вращаться вокруг точки Тогда угол между прямой и осью абсцисс будет становиться все меньше и меньше, и секущая будет стремиться занять положение оси абсцисс.

Прямую, положение которой стремится занять секущая при приближении точки к точке будем называть касательной к параболе в точке

Рассмотрим график некоторой непрерывной в точке функции и точку В точке придадим аргументу приращение и рассмотрим на графике точку где (рис. 6.4).

Из рисунка видно, что если cтановится все меньше и меньше, то точка двигаясь по графику, приближается к точке Если при секущая стремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 6.4 это прямая ), то такую прямую называют касательной к графику функции в точке

Пусть секущая имеет уравнение и образует с положительным направлением оси абсцисс угол Как известно, угловой коэффициент прямой равен то есть Очевидно, что (рис. 6.4). Тогда из получаем

Введем обозначение для углового коэффициента секущей , тем самым подчеркивая, что для данной функции и фиксированной точки угловой коэффициент секущей определяется через приращение аргумента.

Имеем:

Пусть касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол Тогда ее угловой коэффициент равен Естественно считать, что чем меньше тем меньше значение углового коэффициента секущей отличается от значения углового коэффициента касательной. Иными словами, если то Вообще, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой определяют с помощью формулы то есть

Пример №20

Найдите формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции в точке с абсциссой Какой угол с положительным направлением оси абсцисс образует касательная, проведенная к этому графику в точке с абсциссой

Решение:

Имеем:

Тогда, воспользовавшись формулой для вычисления углового коэффициента касательной, можно записать:

Если то значения выражения стремятся к числу то есть Отсюда

Эта формула позволяет вычислить угловой коэффициент касательной к параболе в любой точке, в частности, в точке с абсциссой

Имеем:

Пусть касательная к параболе в точке с абсциссой образует угол с положительным направлением оси абсцисс. Тогда ее угловой коэффициент равен Выше мы установили, что Отсюда Поскольку то (рис. 6.5).

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента

Математическая модель: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:  к этим двум формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, экономики и т. д. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоить название, ввести обозначение, изучить ее свойства и научиться их применять.

Определение. Производной функции в точке называют число, равное пределу отношения приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции в точке обозначают так: (читают: «эф штрих от икс нулевого») или Тогда можно записать: или

Производную функции в точке можно вычислить по такой схеме: придав в точке аргументу приращение найти соответствующее приращение функции

найти отношение

выяснить, к какому числу стремится отношение при то есть найти предел

Пример №21

Найдите производную функции в точке

Решение:

Придерживаясь вышеприведенной схемы, запишем:

при

значения выражения стремятся к числу то есть

Ответ:

Отметим, что, найдя значение мы тем самым нашли угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой Он равен то есть Тогда, обозначив через угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси абсцисс, можем записать Отсюда (рис. 7.1).

Вообще, можно сделать такой вывод: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой равен производной функции в точке то есть

Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Также понятно, что если закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени равна производной функции в точке , то есть

Это равенство выражает механический смысл производной.

Если функция имеет производную в точке , то эту функцию называют дифференцируемой в точке .

Пусть функция дифференцируема в точке . Из геометрического смысла производной следует, что к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную (рис. 7.2). И наоборот, если к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке .

На рисунке 7.3 изображены графики функций, которые в точке имеют разрыв или «излом». К их графикам в точке с абсциссой невозможно провести касательную. Эти функции не дифференцируемы в точке .

На рисунке 7.4 изображены графики функций, которые в точке с абсциссой имеют вертикальную касательную. Поэтому эти функции не дифференцируемы в точке .

Покажем, например, что функция график которой имеет «излом» в точке не является дифференцируемой в этой точке. Имеем:

в примере 3 пункта 3 было показано, что функция не имеет предела в точке это означает, что не существует предела то есть функция не является дифференцируемой в точке

Теорема 7.1. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то можно записать

Имеем: Очевидно, что если то

Тогда

Имеем:

Следовательно, Отсюда

Это означает, что функция является непрерывной в точке .

Отметим, что непрерывная в точке функция не является дифференцируемой в этой точке. Этот пример показывает, что непрерывность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке (рис. 7.5).

Пусть множество точек, в которых функция дифференцируема. Каждому числу поставим в соответствие число Тем самым задана функция с областью определения . Эту функцию называют производной функции и обозначают или .

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого множества , то говорят, что она дифференцируема на множестве . Например, на рисунке 7.6 изображен график функции, дифференцируемой на промежутке . На промежутке этот график не имеет разрывов и изломов.

Если функция дифференцируема на то ее называют дифференцируемой.

Нахождение производной функции называют дифференцированием функции

Пример №22

Продифференцируйте функцию

Решение:

Найдем производную функции в точке где произвольная точка области определения функции .

по определению производной Следовательно,

Так как произвольная точка области определения функции то последнее равенство означает, что для любого выполняется равенство

Вывод о том, что производная линейной функции равна также принято записывать так:

Если в формулу подставить и то получим

Если же в формуле положить то получим

Последнее равенство означает, что производная функции, являющейся константой, в каждой точке равна нулю.

Пример №23

Найдите производную функции

Решение:

Найдем производную функции в точке , где произвольная точка области определения функции .

если то при любом значения выражения стремятся к числу Следовательно,

Так как произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство

Последнее равенство также принято записывать в виде

Пример №24

Найдите производную функции

Решение:

Найдем производную функции в точке где произвольная точка области определения функции .

если то значения выражения стремятся к числу Следовательно,

Так как произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство . Последнее равенство можно записать так:

Формулы и частные случаи более общей формулы:

Например,

Пример №25

Докажите, что производная функции равна

Решение:

Найдем производную функции в точке где произвольная точка области определения функции .

Напомним, что Тогда можно записать:

Так как произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство

Формула остается справедливой для любого и то есть

Например, воспользуемся формулой для нахождения производной функции Имеем:

Следовательно, для любого выполняется равенство или

Пример №26

Продифференцируйте функцию

Решение:

Пусть произвольная точка области определения функции , то есть

Имеем

Найдем предел При имеем, что

При имеем, что Поэтому при

значения выражения становятся все большими и большими. Значит, не существует числа, к которому стремятся значения выражения Следовательно, предела не существует.

Таким образом, функция является дифференцируемой на множестве

причем

Отметим, что в точке функция не является дифференцируемой.

Формулу также можно обобщить для любого и

Например, найдем производную функции , воспользовавшись формулой Имеем:

Следовательно, для можно записать: или

Вообще, производную функции можно находить по формуле

Если нечетное натуральное число, то формула позволяет находить производную функции во всех точках таких, что

Если четное натуральное число, то формула позволяет находить производную функции / для всех положительных значений .

Обратимся к тригонометрическим функциям и . Эти функции являются дифференцируемыми, и их производные находят по таким формулам:

Как доказывать эти формулы, вы сможете узнать в разделе «Когда сделаны уроки».

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных, расположенной на форзаце 2.

X2, если X < 1,

Пример №27

Докажите, что функция является дифференцируемой в точке Найдите

Решение:

Имеем:

Если то

Если то

Теперь видим, что то есть

Рассмотрим подробный пример:

Доказательство формул производных функций и

Докажем, что производные функций и вычислять по формулам

Пусть

Для произвольной точки имеем:

Воспользовавшись первым замечательным пределом можно записать:

Формулу доказывают аналогично.

Правила вычисления производных

Найдем, пользуясь определением, производную функции в точке

если то значения выражения стремятся к числу Следовательно, при любом

Так как произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство то есть

Из предыдущего пункта вам известно, что и Таким образом, получаем

Следовательно, производную функции можно было найти, не пользуясь определением производной.

Справедлива следующая теорема

Теорема 8.1 (производная суммы). В тех точках, в которых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Условия теорем 8.1-8.4 предусматривают такое: если функции и дифференцируемы в точке то соответственно функции определены на некотором промежутке, содержащем точку

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Также принята такая упрощенная запись:

Доказательство:

Пусть произвольная точка, в которой функции и дифференцируемы. Найдем приращение функции в точке . Имеем:

Запишем:

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то существуют пределы Отсюда получаем:

Следовательно, функция является дифференцируемой в точке , причем ее производная в этой точке равна

Теорему 8.1 можно обобщить для любого конечного количества слагаемых:

Две теоремы, приведенные ниже, также упрощают нахождение производной.

Теорема 8.2 (производная произведения). В тех точках, в которых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята такая упрощенная запись:

Доказательство. Пусть произвольная точка, в которой функции и дифференцируемы. Найдем приращение функции в точке . Учитывая равенства имеем

Запишем:

Так как функции и дифференцируемы в точке , то существуют пределы

Теперь можно записать

Таким образом, функция дифференцируема в точке , причем ее производная в этой точке равна

Следствие 1. В тех точках, в которых дифференцируема функция также является дифференцируемой функция где некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Также принята такая упрощенная запись:

Доказательство. Так как функция дифференцируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведения, можно записать:

Следствие 2. В тех точках, в которых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Доказательство. Имеем:

Теорема 8.3 (производная частного). В тех точках, в которых функции и дифференцируемы и значение функции не равно нулю, функция также является дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята такая упрощенная запись: С доказательством теоремы 8.3 вы можете ознакомиться на занятиях математического кружка.

Пример №28

Найдите производную функции:

Решение:

1) Пользуясь теоремой о производной суммы и следствием из теоремы о производной произведения, получаем:

2) По теореме о производной произведения имеем:

3) Имеем:

4) По теореме о производной частного получаем:

Используя теорему о производной частного, легко доказать, что:

Действительно,

Формулу докажите самостоятельно.

Если значениями аргумента функции являются значения функции то говорят, что задана сложная функция

Например, рассмотрим функции и где и Тогда

Следовательно, можно говорить, что формула задает сложную функцию

Рассмотрим еще несколько примеров. Если а то сложная функция задается формулой Функцию можно рассматривать как сложную функцию где

Нахождение производной сложной функции

Находить производную сложной функции можно с помощью такой теоремы.

Теорема 8.4 (производная сложной функции). Если функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в точке где то сложная функция является дифференцируемой в точке причем

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться на занятиях математического кружка.

Пример №29

Найдите значение производной функции в точке

Решение:

1) Данная функция является сложной функцией где Так как a то по теореме о производной сложной функции можно записать: при

то есть

Решение этой задачи можно оформить и так:

Ответ:

Уравнение касательной

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную (рис. 9.1).

Из курса геометрии 9 класса вы знаете, что уравнение невертикальной прямой имеет вид где угловой коэффициент этой прямой.

Исходя из геометрического смысла производной, получаем

Тогда уравнение касательной можно записать так:

Эта прямая проходит через точку Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению Имеем:

Отсюда Тогда уравнение можно переписать так:

Следовательно, уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой имеет вид:

Пример №30

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение:

Имеем:

Подставив найденные числовые значения в уравнение касательной, получаем: то есть Ответ:

Пример №31

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью абсцисс.

Решение:

Решив уравнение найдем абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Имеем: или

Запишем уравнение касательной в каждой из найденных точек.

1) Если то

Тогда уравнение касательной имеет вид

2) Если то Тогда искомое уравнение имеет вид то есть

Ответ:

Пример №32

Найдите уравнение касательной к графику функции если эта касательная параллельна прямой

Решение:

Имеем:

Если касательная параллельна прямой то ее угловой коэффициент равен

Так как где абсцисса точки касания искомой прямой к графику функции то то есть

Отсюда

Уравнение касательной:

Следовательно, на графике функции существуют две точки, касательные в которых параллельны данной прямой.

При имеем: Тогда уравнение касательной имеет вид

При получаем: Тогда уравнение касательной имеет вид

Ответ:

Пример №33

Найдите абсциссу точки графика функции в которой проведенная к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.

Решение:

Имеем:

Так как касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, то ее угловой коэффициент равен 45°, то есть Пусть абсцисса точки касания. Тогда

Получаем Отсюда

Ответ:

Пример №34

Составьте уравнение касательной к графику функции проходящей через точку

Решение:

Заметим, что Из этого следует, что точка не принадлежит графику функции

Пусть точка касания искомой прямой к графику функции Так как то уравнение касательной имеет вид

Учитывая, что координаты точки удовлетворяют полученному уравнению, имеем

Отсюда, раскрыв скобки и решив квадратное уравнение, получим или Таким образом, через точку проходят две касательные к графику функции и

Ответ:

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Рассмотрим функцию и такую точку интервала что (рис. 10.1, ). На рисунке 10.1, изображен график функции такой, что

Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда к графикам этих функций в точке с абсциссой можно провести касательные. Из наглядных соображений очевидно, что эти касательные будут горизонтальными прямыми. Поскольку угловой коэффициент горизонтальной прямой равен нулю, то и

Этот вывод можно проиллюстрировать с помощью механической интерпретации.

Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону и функция принимает в точке наибольшее (наименьшее) значение, то это означает, что в момент времени материальная точка изменяет направление движения на противоположное. Понятно, что в этот момент времени скорость материальной точки равна нулю, то есть и

Полученные выводы подтверждает такая теорема.

Теорема 10.1 (теорема Ферма). Пусть функция определенная на промежутке в точке принимает свое наименьшее (наибольшее) значение. Если функция является дифференцируемой в точке то

Доказательство. Рассмотрим случай, когда (случай ) рассматривают аналогично).

Пусть тогда Если (рис. 10.2), то Отсюда

Если (рис. 10.3), то Отсюда

Следовательно, доказано, что одновременно выполняются два неравенства: и Поэтому

На рисунке 10.4 изображен график функции дифференцируемой на отрезке которая в точках и принимает одинаковые значения.

Из рисунка видно: существует по крайней мере одна такая точка что касательная к графику в точке с абсциссой является горизонтальной прямой, то есть

Этот вывод можно проиллюстрировать с помощью механической интерпретации.

Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону то равенство в означает, что в момент времени материальная точка вернулась в начальное положение. Следовательно, в некоторый момент времени она изменила направление движения на противоположное, то есть и

Полученные выводы подтверждает следующая теорема.

Теорема 10.2 (теорема Ролля). Если функция дифференцируема на отрезке причем то существует такая точка что

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема на отрезке то по теореме 7.1 она является непрерывной на этом промежутке. Тогда по теореме Вейер-штрасса на отрезке существуют такие значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Иными словами, существуют такие числа и что Тогда для любого выполняется неравенство

Если то функция является константой на промежутке . Следовательно, для любого

Рассмотрим случай, когда Тогда функция не может на одном конце отрезка принимать наибольшее значение, а на другом — наименьшее. Действительно, Следовательно, существует такая точка что функция в этой точке принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма

На рисунке 10.5 изображен график функции, дифференцируемой на отрезке

Проведем прямую . Из треугольника можно найти угловой коэффициент этой прямой:

Из рисунка видно, что на дуге существует такая точка что касательная к графику в этой точке параллельна прямой .

Угловой коэффициент этой касательной равен угловому коэффициенту прямой , то есть существует точка такая, что

Этот вывод иллюстрирует также механическая интерпретация. Если материальная точка двигается по координатной прямой по закону то средняя скорость равна

Понятно, что во время движения существует такой момент когда мгновенная скорость равна средней, то есть

Полученные выводы подтверждает следующая теорема.

Теорема 10.3 (теорема Лагранжа). Если функция дифференцируема на отрезке то существует такая точка что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Очевидно, что функция является дифференцируемой на отрезке Легко проверить (сделайте это самостоятельно), что Следовательно, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

Таким образом, существует точка такая, что Так как то Отсюда

Заметим, что теоремы Ролля и Лагранжа не указывают, как найти точку Они лишь гарантируют, что существует точка, обладающая некоторым свойством.

Признаки возрастания и убывания функции

Вы знаете, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция такова, что для всех из промежутка выполняется равенство то является ли функция константой на промежутке ?

Обратимся к механической интерпретации. Пусть закон движения материальной точки по координатной прямой. Если в любой момент времени от до выполняется равенство то на протяжении рассматриваемого промежутка времени мгновенная скорость равна нулю, то есть точка не двигается и ее координата не изменяется. Это означает, что на рассматриваемом промежутке функция является константой.

Эти соображения подсказывают, что справедлива следующая теорема.

Теорема 11.1 (признак постоянства функции). Если для всех из промежутка выполняется равенство то функция является константой на этом промежутке.

Доказательство. Пусть и произвольные значения аргумента функции взятые из промежутка причем

Поскольку и функция дифференцируема на то для отрезка выполняются все условия теоремы Лагранжа. Тогда существует точка такая, что

Поскольку то Следовательно,

ОтсюдаУчитывая, что числа и выбраны произвольным образом, можем сделать вывод: функция является константой на промежутке

На рисунке 11.1 изображен график некоторой функции которая является дифференцируемой на промежутке Этот график имеет такое свойство: любая касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Поскольку тангенс острого угла — положительное число, то угловой коэффициент любой касательной также является положительным. Тогда, исходя из геометрического смысла производной, можно сделать такой вывод: для любого выполняется неравенство

Из рисунка 11.1 видно, что функция возрастает на рассматриваемом промежутке.

На рисунке 11.2 изображен график некоторой функции , дифференцируемой на промежутке Любая касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Поскольку тангенс тупого угла — отрицательное число, то угловой коэффициент любой касательной также является отрицательным. Тогда для любого выполняется неравенство

Из рисунка 11.2 видно, что функция убывает на рассматриваемом промежутке.

Эти примеры показывают, что знак производной функции на некотором промежутке влияет на то, является ли эта функция возрастающей (убывающей) на промежутке .

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции можно увидеть и с помощью механической интерпретации. Если скорость, то есть производная функции положительна, то точка на координатной прямой двигается вправо (рис. 11.3).

Это означает, что из неравенства следует неравенство то есть функция является возрастающей. Аналогично, если скорость отрицательна, то точка двигается влево, то есть функция является убывающей.

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 11.2 (признак возрастания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство то функция возрастает на этом промежутке.

Теорема 11.3 (признак убывания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство то функция убывает на этом промежутке.

Пример №35

Докажите, что функция возрастает на множестве действительных чисел.

Решение:

Имеем: Так как при всех то функция возрастает на множестве действительных чисел.

Докажем теорему 11.2 (теорему 11.3 доказывают аналогично).

Доказательство. Пусть и произвольные значения аргумента функции , взятые из промежутка причем

Поскольку и функция дифференцируема на то для отрезка выполняются все условия теоремы Лагранжа. Тогда существует точка такая, что

Поскольку то Следовательно,

Тогда из неравенства следует неравенство то есть функция возрастает на

Заметим, что имеет место и такое утверждение: если дифференцируемая на промежутке функция возрастает (убывает), то для всех из этого промежутка выполняется неравенство Если функция определена на промежутке и возрастает на интервале то это не означает, что она возрастает на промежутке (рис. 11.4).

Исследовать возрастание и убывание функции на различных промежутках помогает следующая ключевая задача.

Пример №36

Пусть для произвольного выполняется неравенство и функция имеет производную в точке Докажите, что функция возрастает на промежутке

Решение:

Из теоремы 11.2 следует только то, что функция возрастает на интервале Чтобы доказать, что функция возрастает на промежутке нужно дополнительное исследование.

Пусть произвольная точка промежутка Докажем, что Из теоремы Лагранжа для функции на отрезке следует существование такой точки что

Поскольку то Отсюда Таким образом, доказано, что функция возрастает на промежутке

Замечание 1. На самом деле сформулированное в данной задаче условие можно ослабить, заменив требование дифференцируемое функции в точке на ее непрерывность в этой точке. То есть, имеет место такое утверждение: если для всех выполняется неравенство и функция непрерывна в точке то функция возрастает на промежутке

Замечание 2. Используя соответствующие утверждения, можно обосновать возрастание (убывание) функции на промежутках другого вида, например, Например, если для всех выполняется неравенство и функция непрерывна в точке то функция возрастает на промежутке

Пример №37

Найдите промежутки возрастания (убывания) функции

Решение:

Имеем: Решив неравенства и приходим к такому: на промежутке на промежутке Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

На рисунке 11.5 изображен график функции . Из рисунка видно, что на самом деле функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

При записи ответа будем руководствоваться таким правилом: если функция непрерывна Рис- И-5 в каком-то из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. В нашем примере функция непрерывна в точке поэтому эту точку присоединили к промежуткам и

Ответ: возрастает на убывает на

Пример №38

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

Решение:

1) Имеем:

Исследуем знак производной методом интервалов (рис. 11.6) и учтем непрерывность функции в точках и Получаем, что функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на промежутке

2) Имеем:

Исследовав знак производной (рис. 11.7), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

3) Имеем: Найдя производную функции , получаем:

Исследуем знак функции (рис. 11.8). Следовательно, данная функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на каждом из промежутков и

4) Имеем: Найдем производную Заметим, что в точках и функция не является дифференцируемой, однако является непрерывной.

Неравенство равносильно системе

Решив ее, получаем, что множеством решений рассматриваемого неравенства является промежуток

Далее легко установить, что множеством решений неравенства является промежуток

Следовательно, если то если то (рис. 11.9).

Поэтому функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Пример №39

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функцию Для всех имеем: Очевидно, что при то есть функция возрастает на промежутке

Поскольку функция непрерывна в точке то эта функция возрастает на

Тогда функция принимает каждое свое значение только один раз, а следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня.

Поскольку то является единственным корнем данного уравнения. Ответ:

Пример №40

Докажите, что для всех выполняется неравенство

Решение:

Докажем, что для всех выполняется неравенство

Рассмотрим функцию Так как то неравенство можно представить в виде где Имеем:

Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, то Поэтому функция возрастающая. Отсюда для любого выполняется неравенство

Точки экстремума функции

Знакомясь с такими понятиями как предел и непрерывность функции в точке, мы исследовали поведение функции поблизости этой точки или, как принято говорить, в ее окрестности.

Определение 1. Интервал содержащий точку называют окрестностью точки

Понятно, что любая точка имеет бесконечно много окрестностей. Например, промежуток одна из окрестностей точки 2,5. Вместе с тем этот промежуток не является окрестностью точки 3.

На рисунке 12.1 изображены графики четырех функций. Все эти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Определение 2. Точку называют точкой максимума функции если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой максимума функции (рис. 12.2). Пишут

На рисунке 12.1

Определение 3. Точку называют точкой минимума функции если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой минимума функции (рис. 12.2). Пишут

На рисунке 12.3 изображены графики функций, для которых является точкой минимума, то есть

Точки максимума и минимума имеют общее название: их называют точками экстремума функции (от латинского крайний).

На рисунке 12.4 точки являются точками экстремума.

Из определений 2 и 3 следует, что точки экстремума являются внутренними точками области определения функции. Поэтому, например, точка не является точкой минимума функции (рис. 12.5), а точка не является точкой максимума функции (рис. 12.6). Вместе с тем наименьшее значение функции на множестве равно нулю, то есть a

Точку называют внутренней точкой множества , если существует окрестность точки являющаяся подмножеством множества .

На рисунке 12.7 изображен график некоторой функции , которая на промежутке является константой. Точка является точкой максимума, точка минимума, а любая точка интервала является одновременно как точкой максимума, так и точкой минимума функции .

Графики функций, изображенных на рисунках 12.8 и 12.9, показывают, что точки экстремума можно разделить на два вида: те, в которых производная равна нулю (на рисунке 12.8 касательная к графику в точке с абсциссой является горизонтальной прямой), и те, в которых функция недифференцируема (рис. 12.9).

Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 12.1. Если точка экстремума функции , то либо либо функция не является дифференцируемой в точке

Учащиеся профильных классов могут, используя теорему Ферма, доказать теорему 12.1 самостоятельно.

Возникает естественный вопрос: обязательно ли является точкой экстремума внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует?

Ответ на этот вопрос отрицательный.

Например, на рисунке 12.10 изображен график функции, недифференцируемой в точке . Однако точка не является точкой экстремума.

Приведем еще один пример. Для функции имеем: Тогда Однако точка не является точкой экстремума функции (рис. 12.11).

Эти примеры показывают, что теорема 12.1 дает необходимое, но не достаточное условие существования экстремума в данной точке.

Определение 4. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Например, точка является критической точкой функций и точка является критической точкой функции

Из сказанного выше следует, что каждая точка экстремума функции является ее критической точкой, но не каждая критическая точка является точкой экстремума. Иными словами, точки экстремума следует искать среди критических точек. Этот факт проиллюстрирован на рисунке 12.12.

На рисунке 12.13 изображены графики функций, для которых является критической точкой.

На рисунках 12.13, критическая точка является точкой экстремума, на рисунках 12.13, критическая точка не является точкой экстремума.

Наличие экстремума функции в точке связано с поведением функции в окрестности этой точки. Так, для функций, графики которых изображены на рисунках 12.13, имеем: функция возрастает (убывает) на промежутке и убывает (возрастает) на промежутке

Функции, графики которых изображены на рисунках 12.13, таким свойством не обладают: первая из них возрастает на каждом из промежутков и вторая убывает на этих промежутках.

Вообще, если область определения непрерывной функции разбита на конечное количество промежутков возрастания и убывания, то легко найти все точки экстремума (рис. 12.14).

Вы знаете, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убывания) дифференцируемой функции. Две теоремы, приведенные ниже, показывают, как с помощью производной можно находить точки экстремума функции.

Теорема 12.2 (признак точки максимума функции). Пусть функция дифференцируема на интервале и некоторая точка этого интервала. Если для всех выполняется неравенство а для всех выполняется неравенство то точка является точкой максимума функции (рис. 12.13, а).

Теорема 12.3 (признак точки минимума функции). Пусть функция дифференцируема на интервале и некоторая точка этого интервала. Если для всех выполняется неравенство а для всех выполняется неравенство то точка является точкой минимума функции (рис. 12.13, б).

Докажем теорему 12.2 (теорему 12.3 доказывают аналогично).

Доказательство. Пусть произвольная точка интервала Из теоремы Лагранжа для отрезка следует существование такой точки что

Поскольку то Из неравенств и получаем:

Аналогично для произвольной точки можно доказать, что

Отсюда следует, что точка максимума.

Иногда удобно пользоваться упрощенными формулировками этих двух теорем: если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума; если производная меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума.

Для функции точки экстремума можно искать по такой схеме.

1. Найти
2. Исследовать знак производной в окрестностях критических точек.
3. Пользуясь соответствующими теоремами, для каждой критической точки выяснить, является ли она точкой экстремума.

Пример №41

Найдите точки экстремума функции:

Решение:

1) Имеем:

Методом интервалов исследуем знак производной в окрестностях критических точек (рис. 12.15). Получаем, что

Исследовав знак производной (рис. 12.16), получаем:

3) Имеем:

Исследуем знак производной в окрестностях критических точек (рис. 12.17).

Имеем, что

4) Имеем:

Если то если то Следовательно, критическая точка является точкой минимума, то есть

Пример №42

Найдите точки экстремума функции

Решение:

Имеем:

Найдем критические точки данной функции:

Функция является периодической с периодом Методом интервалов исследуем ее знак на промежутке длиной в период. Этому промежутку принадлежат две критические точки:

На рисунке 12.18 показан результат исследования производной на промежутке Теперь можно сделать вывод:

Обобщая полученный результат, записываем ответ:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Как добиться наименьшей массы конструкции, не причиняя вреда ее прочности? Как, имея ограниченные ресурсы, выполнить производственное задание в кратчайшее время? Как организовать доставку товара по торговым точкам так, чтобы расход топлива был наименьшим?

Такие и подобные задачи на поиск наилучшего или, как говорят, оптимального решения занимают значительное место в практической деятельности человека.

Представим, что известна функция, которая описывает, например, зависимость массы конструкции от ее прочности. Тогда задача сводится к поиску аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение.

В этом пункте мы выясним, как можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Ограничимся рассмотрением только непрерывных функций.

Заметим, что точка, в которой функция принимает свое наименьшее значение, не обязательно является точкой минимума. Например, на рисунке 13.1 а точек минимума функция не имеет. Точно так же точка минимума не обязательно является точкой, в которой функция принимает наименьшее значение. На рисунке 13.2, точка единственная точка минимума, а наименьшее значение достигается в точке

Аналогичное замечание относится к точкам максимума и точкам, в которых функция принимает наибольшее значение.

На рисунке 13.2 представлены разные случаи расположения точек экстремумов и точек, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Тут важно понять, что свойство функции иметь точку экстремума означает такое: функция принимает в точке наибольшее (наименьшее) значение по сравнению со значениями функции во всех точках некоторой, возможно, очень малой окрестности точки . Поэтому, если хотят подчеркнуть этот факт, то точки экстремума еще называют точками локального максимума или точками локального минимума (от латинского locus — место).

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее значения или на концах отрезка, или в точках экстремума (рис. 13.2).

Тогда для такой функции поиск наибольшего и наименьшего значений на отрезке можно проводить, пользуясь такой схемой.

1. Найти критические точки функции , принадлежащие отрезку .
2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах рассматриваемого отрезка.
3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Понятно, что этот алгоритм можно реализовать только тогда, когда рассматриваемая функция имеет конечное количество критических точек на отрезке .

Отметим, что если определить, какие из критических точек являются точками экстремума, то количество точек, в которых следует искать значения функции, можно уменьшить. Однако выявление точек экстремума, как правило, требует больше технической работы, чем поиск значений функции в критических точках.

Учащимся профильных классов напомним, что существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции гарантирует теорема Вейерштрасса.

Пример №43

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

Найдем критические точки данной функции:

Следовательно, функция имеет две критические точки, а промежутку принадлежит одна:

Имеем: Следовательно, Ответ:

Пример №44

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Решение:

Имеем: Найдем критические точки данной функции:

Отсюда

Следовательно, точки вида являются критическими точками функции из них промежутку принадлежат четыре точки: Имеем:

Таким образом,

Ответ:

Пример №45

Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго была наименьшей.

Решение:

Пусть первое число равно тогда второе равно Из условия следует, что

Рассмотрим функцию определенную на отрезке и найдем, при каком значении она принимает наименьшее значение.

Имеем: Найдем критические точки данной функции:

Среди найденных чисел промежутку принадлежит только число 2. Имеем:

Следовательно, функция принимает наименьшее значение при

Ответ:

Пример №46

Найдите стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса если площадь прямоугольника принимает наибольшее значение.

Решение:

Рассмотрим прямоугольник вписанный в окружность радиуса (рис. 13.3). Пусть тогда Отсюда площадь прямоугольника равна Из условия задачи следует, что значения переменной удовлетворяют неравенству то есть принадлежат промежутку

Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на интервале

Рассмотрим непрерывную функцию и будем искать ее наибольшее значение на отрезке

Найдем критические точки функции

Функция имеет одну критическую точку Имеем: Следовательно,

Отсюда получаем, что функция на интервале принимает наибольшее значение при

Тогда

Следовательно, среди прямоугольников, вписанных в окружность радиуса наибольшую площадь имеет квадрат со стороной

Пример №47

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функцию Для всех имеем: Решим уравнение Запишем:

Отсюда легко найти, что Получили, что функция на отрезке имеет единственную критическую точку

Так как функция непрерывна на отрезке , то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел Имеем:

Следовательно, причем наибольшее значение функция принимает только при

Так как нам надо решить уравнение то получаем, что является его единственным корнем. Ответ:

Пример №48

Пункты и расположены в вершинах прямоугольного треугольника км, км. Из пункта в пункт ведет шоссейная дорога. Турист начинает движение из пункта по шоссе. На каком расстоянии от пункта турист должен свернуть с шоссе, чтобы за наименьшее время дойти из пункта в пункт если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а вне шоссе — 4 км/ч?

Решение:

Обозначим через точку, в которой турист должен свернуть с шоссе, чтобы быстрее всего преодолеть путь (рис. 13.4).

Пусть км. Имеем: км, Тогда время, за которое турист преодолеет путь, равно Теперь понятно, что для решения задачи достаточно найти наименьшее значение функции

f(x) = — + --, заданной на отрезке Имеем: Решив уравнение (сделайте это самостоятельно), устанавливаем, что число является его единственным корнем. Сравнивая числа получаем, что

наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: км

Вторая производная

Пусть материальная точка двигается по закону по координатной прямой. Тогда мгновенная скорость в момент времени определяется по формуле

Рассмотрим функцию Ее производную в момент времени называют ускорением движения и обозначают то есть

Таким образом, функция ускорение движения — это производная функции скорость движения, которая в свою очередь является производной функции закон движения, то есть

В таких случаях говорят, что функция ускорение движения является второй производной функции Пишут: (запись читают: «эс два штриха от тэ»).

Например, если закон движения материальной точки задан формулой то имеем:

Мы получили, что материальная точка двигается с постоянным ускорением. Как вы знаете из курса физики, такое движение называют равноускоренным.

Обобщим сказанное.

Рассмотрим функцию дифференцируемую на некотором множестве Тогда ее производная также является некоторой функцией, заданной на этом множестве. Если функция дифференцируема в некоторой точке то производную функции в точке называют второй производной функции в точке и обозначают или Саму функцию называют дважды дифференцируемой в точке .

Функцию, которая числу ставит в соответствие число называют второй производной функции и обозначают или

Например, если то

Если функция дважды дифференцируема в каждой точке множества , то ее называют дважды дифференцируемой на множестве . Если функция дважды дифференцируема на то ее называют дважды дифференцируемой.

Вы знаете, что функцию характеризуют такие свойства как четность (нечетность), периодичность, возрастание (убывание) и т. д. Еще одной важной характеристикой функции является выпуклость вверх и выпуклость вниз.

Обратимся к примерам:

О функциях говорят, что они являются выпуклыми вниз (рис. 14.1), а функции являются выпуклыми вверх (рис. 14.2). Функция является выпуклой вверх на промежутке и выпуклой вниз на промежутке (рис. 14.3). Линейную функцию считают как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз.

Далее, изучая понятия выпуклости функции на промежутке ограничимся случаем, когда функция дифференцируема на этом промежутке.

В высшей школе понятие выпуклости распространяют и на более широкие классы функций, например непрерывные.

Пусть функция дифференцируема на промежутке . Тогда в любой точке ее графика с абсциссой можно провести невертикальную касательную. Если при этом график функции на промежутке расположен не выше любой такой касательной (рис. 14.4), то функцию называют выпуклой вверх на промежутке ; если же график на промежутке расположен не ниже любой такой касательной (рис. 14.5), то — выпуклой вниз на промежутке .

Например, докажем, что функция является выпуклой вниз на промежутке Проведем касательную к графику функции в точке с абсциссой (рис. 14.6). Уравнение этой касательной имеет вид:

Рассмотрим разность

Поскольку эта разность принимает только неотрицательные значения, то это означает, что график функции лежит не ниже любой касательной. Следовательно, функция является выпуклой вниз на промежутке

Аналогично можно доказать, что функция является выпуклой вверх на промежутке и выпуклой вниз на промежутке (рис. 14.7).

На рисунке 14.8 изображен график функции , которая является выпуклой вниз на промежутке Из рисунка видно, что с увеличением аргумента угол наклона соответствующей касательной увеличивается. Это означает, что функция возрастает на промежутке

Пусть функция является выпуклой вверх на промежутке (рис. 14.9). Из рисунка видно, что с увеличением аргумента угол наклона соответствующей касательной * уменьшается. Это означает, что функция убывает на промежутке

Эти примеры показывают, что характер выпуклости функции на некотором промежутке связан с возрастанием (убыванием) функции на этом промежутке.

Для дважды дифференцируемой на промежутке функции возрастание (убывание) функции определяется знаком второй производной функции на промежутке . Таким образом, характер выпуклости дважды дифференцируемой функции связан со знаком ее второй производной.

Эту связь устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 14.1 (признак выпуклости функции вниз). Если для всех выполняется неравенство то функция является выпуклой вниз на промежутке

Теорема 14.2 (признак выпуклости функции вверх). Если для всех выполняется неравенство то функция является выпуклой вверх на промежутке

Докажем теорему 14.1 (теорему 14.2 доказывают аналогично).

Доказательство. В точке с абсциссой проведем касательную к графику функции Уравнение этой касательной имеет вид

Рассмотрим функцию

Значения этой функции показывают, насколько отличается ордината точки графика функции от ординаты соответствующей точки, которая лежит на проведенной касательной (рис. 14.10).

Если мы покажем, что для всех то таким образом докажем, что на промежутке график функции лежит не ниже проведенной к нему касательной.

Пусть (случай, когда рассматривают аналогично). Имеем: Для функции и отрезка применим теорему Лaгранжа: где Отсюда

Поскольку функция является дифференцируемой на отрезке то можно применить теорему Лагранжа: где

Отсюда

На рисунке 14.10 показано расположение точек и Из неравенств следует, что Поскольку то с учетом условия теоремы получаем: Отсюда для всех выполняется неравенство Поэтому функция является выпуклой вниз на промежутке

Пример №49

Исследуйте на выпуклость функцию на промежутке

Решение:

Имеем:

Отсюда

Неравенство на промежутке выполняется при Следовательно, функция является выпуклой вниз на промежутке (рис. 14.11).

Неравенство на промежутке выполняется при Следовательно, функция является выпуклой вверх на промежутке (рис. 14.11).

На рисунке 14.12 изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой . Эти функции на промежутках и имеют разный характер выпуклости. Поэтому на этих промежутках график функции расположен в различных полуплоскостях относительно касательной. В этом случае говорят, что точка является точкой перегиба функции.

Например, точка является точкой перегиба функции (рис. 14.7); точки вида являются точками перегиба функции (рис. 14.13).

Пример №50

Исследуйте характер выпуклости и найдите точки перегиба функции

Решение:

Имеем:

Используя метод интервалов, исследуем знак функции (рис. 14.14). Получаем, что функция выпуклая вверх на промежутке и выпуклая вниз на промежутке . Функция на промежутках и имеет разный характер выпуклости. В точке с абсциссой к графику функции можно провести касательную. Следовательно, является точкой перегиба функции .

Построение графиков функций

Когда в предыдущих классах вам приходилось строить графики, вы, как правило, поступали так: отмечали на координатной плоскости некоторое количество точек, принадлежащих графику, а затем соединяли их. Точность построения зависела от количества отмеченных точек.

На рисунке 15.1 изображены несколько точек, принадлежащих графику некоторой функции Эти точки можно соединить по-разному, например, так, как показано на рисунках 15.2 и 15.3.

Однако если знать, что функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на промежутке и является дифференцируемой, то, скорее всего, будет построен график, показанный на рисунке 15.4.

Вы знаете, какие особенности присущи графикам четной, нечетной, периодической функций и т. д. Вообще, чем больше свойств функции удалось определить, тем точнее можно построить ее график.

Исследование свойств функции будем проводить по такому плану:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность.
3. Найти нули функции.
4. Найти промежутки знакопостоянства.
5. Найти промежутки возрастания и убывания.
6. Найти точки экстремума и значения функции в точках экстремума.
7. Выявить другие особенности функции (периодичность функции, поведение функции в окрестностях отдельных важных точек и т. п.).

Заметим, что приведенный план исследования носит характер рекомендаций и не является постоянным и исчерпывающим. Важно при исследовании функции обнаружить такие ее свойства, которые позволят корректно построить график.

Пример №51

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть Отсюда и то есть функция не совпадает ни с функцией ни с функцией Таким образом, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Имеем: Числа и являются нулями функции . Применив метод интервалов (рис. 15.5), находим промежутки знакопостоянства функции , а именно: устанавливаем, что при и при

Имеем: Исследовав знак производной (рис. 15.6), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутке убывает на каждом из промежутков и Имеем:

Имеем: Исследовав знак второй производной (рис. 15.7), приходим к выводу, что функция является выпуклой вниз на промежутке

выпуклой вверх на промежутке является точкой перегиба и Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.8).

Пример №52

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1.Функция определена на множестве 2. Область определения функции несимметрична относительно начала координат, следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Функция не имеет нулей.

Отсюда при при (рис. 15.9).

Имеем:

Исследовав знак (рис. 15.10), приходим к выводу, что функция убывает на каждом из промежутков и возрастает на каждом из промежутков и

7. Заметим, что если значения аргумента выбирать все большими и большими, то соответствующие значения функции все меньше и меньше отличаются от числа и могут стать сколь угодно малыми. Это свойство принято записывать так: или так: при . Если , то расстояния от точек графика функции до прямой становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую называют горизонтальной асимптотой графика функции при Аналогично можно установить, что прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при

Если значения аргумента стремятся к нулю, оставаясь положительными, то соответствующие значения функции становятся все большими и большими, то есть расстояния от точек графика функции до прямой становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую называют вертикальной асимптотой графика функции , когда х стремится к нулю справа. Прямая также является вертикальной асимптотой графика функции , когда стремится к нулю слева. Функция имеет еще одну вертикальную асимптоту — прямую когда стремится к как слева, так и справа.

Имеем:

Упростив дробь, получим Исследовав знак (рис. 15.11), приходим к выводу, что функция является выпуклой вниз на промежутках и выпуклой вверх на промежутке точек перегиба не имеет.

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.12).

Пример №53

Пользуясь графиком функции определите, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра

Решение:

Функция определена на множестве действительных чисел, то есть

Имеем: Следовательно, функция имеет три критические точки: Исследовав знак производной (рис. 15.13), получаем: функция возрастает на промежутках

и убывает на промежутках и Имеем

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.14).

Пользуясь построенным графиком, определяем количество корней уравнения в зависимости от значения параметра (рис. 15.15):

• если то корней нет;
• если или то 2 корня;
• если то 3 корня;
• если то 4 корня.

Замечание. Из решения данной задачи исключены пункты 2-4, 7 плана исследования свойств функции. Свойства функции, которые исследуются в этих пунктах, не используются при определении количества корней уравнения

Пример №54

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Решив уравнение определяем, что единственный нуль данной функции.

4. при при

5-6. Имеем:

Исследовав знак (рис. 15.16), приходим к выводу, что функция убывает на промежутках и возрастает на промежутках

7. Имеем:

Исследовав знак (рис. 15.17), приходим к выводу, что

точка перегиба и функция является выпуклой вниз на промежутках и выпуклой вверх на

Прямая вертикальная асимптота графика данной функции.

Имеем:

Поскольку то при расстояния от точек графика функции до соответствующих точек прямой становятся все меньшими и меньшими и могут стать меньше произвольного наперед заданного положительного числа. В этом случае прямую называют наклонной асимптотой графика функции при Также можно показать, что прямая является наклонной асимптотой графика функции при

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 15.18).

Производная в математике

Начнём изучение производной с самого начала с начальных определений которые помогут в изучении производной.

Числовые множества:

Действительные числа* R

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа Q

Можно представить в виде несократимой дроби где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической дроби

Целые числа Z

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь:

Натуральные числа N (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число — основное неопределяемое понятие.

Число 0

Такое число, при сложении с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства:

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Свойства:

1. Модуль любого числа — неотрицательное число.

2.Модули противоположных чисел равны.

3.Каждое число не больше своего модуля.

6.Модуль произведения равен произведению модулей множителей.

7.Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю).

9.Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа п противоположным считается число , а для числа противоположным считается число Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе месяце в г. Харкове -7,3 С, длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби

можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель.

Например,

Действительные числа и их свойства

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например,

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например, Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки начинают повторяться. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом. При записи периодической дроби период записывают

в скобках. Например,

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби являются записью одного и того же рационального числа

Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членоми знаменателем вычисляется по формуле

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке 1 изображены несколько рациональных чисел

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными.

Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой , то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа ,вы также встречались с иррациональными числами и др.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если (поскольку).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действиями над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами.

или или или При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 3), то расстояние . Если , то расстояние

 Модуль разности двух чисел — это расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется нам : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками На рисунке 4 эти точки изображены для случая хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков При параллельном переносе вдоль оси единиц точка перейдет в точку В, а точка С (с координатой ) в точку с координатой то есть в точку А.

Тогда СО = АВ. Но расстояние СО — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, СО = а значит, АВ =

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 1.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки а до точки, а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки ,получаем Это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если а если Следовательно, всегда то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что то получаем неравенство Отсюда что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа выполняется двойное неравенство.

При b > 0 неравенство означает, что число а на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает b (рис. 5), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 5), то есть в этом случае Наоборот, если число а удовлетворяет одному из этих неравенств, то.Следовательно, при

неравенстворавносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

• модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть
• модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

и обосновать с помощью метода математической индукции*.

 Действительно, формула (3) справедлива при

(как отмечалось выше, это следует из правил действий над числами с одинаковыми и разными знаками). Предположим, что эта формула справедлива при то есть допустим, что

С помощью формул (4) и (5) получаем, что и для следующего значения формула (3) также выполняется, посколькуТогда согласно методу математической индукции формула (3) справедлива для всех натуральных значений п, больших или равных 2.

Если в формуле (3) взять получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при к и учитывая, при всех значениях , получаем . Следовательно,

Для обоснования неравенства

запишем неравенство (1) для чисел

Складывая почленно эти неравенства, получаемУчитывая неравенство (2), имеем

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

С помощью метода математической индукции это свойство можно доказать и для случая слагаемых

Если в неравенстве (6) заменить и учесть, что, то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (6), то получим неравенство Отсюда

Если в неравенстве (8) заменить и учесть, что , то получим неравенство

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы в неравенствах (8) и (9) и учитывая, чтоимеем также неравенства

Полученные неравенства (6) - (10) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №55

Докажите, что сумма (разность, произведение, натуральная степень и частное, если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

Заданы два рациональных числа целые, натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где — целое число, натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь гдецелое, натуральное число. Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №56

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное действительное положительное число является рациональным не натуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях п это число всегда будет положительным.

Решение:

 Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это

число может быть только рациональной несократимой дробью где

натуральные числа . По определению корня степени имеем то есть Учитывая, что получаем, что дробь равная натуральному числу п, должна быть сократимой. Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число ) или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа не являются натуральными числами иррациональные числа.

Пример №57

Докажите, что число иррациональное.

Решение:

 Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в куб, имеемОтсюда

Следовательно, правая часть

этого равенства рациональное число (поскольку по предположению рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: допустить, что заданное действительное число является рациональным и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например, с тем, что иррациональное число. При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что при любом рациональном знаменатель полученной дроби

Пример №58

Решите уравнение

I способ

Решение:

или

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда + 5 = 7 или + 5 = -7.

II способ

Решение:

Комментарий:

С геометрической точки зрения это расстояние между точками координатной прямой. Запишем заданное уравнение так: | - (-5) | = 7. Тогда равенство | - (-5) | = 7 означает, что расстояние от точки 2х до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 6). Следовательно, заданное равенство выполняется тогда и только тогда, когда = , то есть заданное уравнение равносильно этой совокупности уравнений.

Пример №59

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 7), получаем

Следовательно,

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид и его можно решить, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки t. На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6. Тогда неравенству удовлетворяют те и только те точки, которые находятся в промежутке [-6; 6], то есть в промежутке Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

Понятия предела функции в точке и непрерывности функции

Понятие предела функции в точке:

Пусть задана некоторая функция, например . Рассмотрим график этой функции и таблицу ее значений в точках, которые на числовой прямой расположены достаточно близко к числу 2.

Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент к числу 2 (это обозначают так: и говорят, что стремится к 2), тем ближе значение функции к числу 3 (обозначают и говорят, что

стремится к 3). Это записывают также так: (читается:

«Лимит - 1 при , стремящемся к 2, равен 3») и говорят, что предел функции - 1 при , стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3.

В общем случае запись обозначает, что

то есть В — число, к которому стремится значение функции , когда стремится к

Запись обозначений с помощью знака модуля Обозначение и его смысл На числовой прямой точка х находится от точки а на малом расстоянии (меньше ).

Иллюстрация

Запись с помощью знака модуля f (х) В Значение f (я:) на числовой прямой находится на малом расстоянии от В (меньше е).

Определение предела функции в точке:

Число В называется пределом функции в точке а (при , стремящемся к а), если для любого положительного числа найдется такое положительное число что при всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Свойства предела функции:

Смысл правил предельного перехода Если то при

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Смысл правил предельного перехода. Если при то:

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют. Смысл правил предельного перехода

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

* Если значение удовлетворяет неравенствуто говорят, что точка х находится в 8-окрестности точки

** Это определение обязательно только для классов физико-математического профиля.

Смысл правил предельного перехода

Запись и формулировка правил предельного перехода

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Смысл правил предельного перехода

Запись и формулировка правил предельного перехода Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Непрерывность функции в точке:

Определение:

Функция называется непрерывной в точке , если при ), то есть

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.

Если функции и g непрерывны в точке а, то сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда делитель

График функции, непрерывной на промежутке, — неразрывная линия на этом промежутке.

Все элементарные функции* непрерывны в каждой точке своей области определения, поэтому на каждом промежутке из области определения их графики — неразрывные линии.

Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то она сохраняет постоянный знак на этом интервале.

* Элементарными функциями обычно называют функции: и все функции, которые получаются из перечисленных выше с помощью конечного количества действий сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (функции от функции).

Метод интервалов (решение неравенств вида :

План:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции:
3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Пример №60

Решите неравенство Пусть Поскольку функция непрерывна на каждом из промежутков своей области определения (как частное двух непрерывных функций), то можно использовать метод интервалов.

1. ОДЗ: Тогда

2. Нули функции: (входит в ОДЗ).

3.

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Понятие предела функции в точке

Простейшее представление о пределе функции можно получить, рассматривая график функции (рис. 8). Из этого графика видно: чем ближе выбираются на оси Ох значения аргумента к числу 2 (это обозначается 2 и читается: « стремится к 2»), тем ближе будет значениена оси к числу 3.

Это можно записать так:

Знак lim (читается: «Лимит») — краткая запись латинского слова limes (лимес), что в переводе означает «предел ».

В общем виде запись означает, что при а значението есть В — число, к которому стремится значение функции когда стремится к

Чтобы дать определение предела функции в точке напомним, что расстояние между точками х и а на координатной оси — это модуль разности | а расстояние между точками и В на координатной оси — это модуль разности

Тогда запись означает, что на числовой прямой точка находится от точки на малом расстоянии — например, меньше какого-то положительного числа (рис. 9). Это можно записать так: . Обратим внимание, что запись означает, что стремится к , но не обязательно достигает значения , поэтому в определении предела функции в точке а рассматриваются значения Также обратим внимание, что в этом случае, когда значение х удовлетворяет неравенству , говорят, что точка х находится в -окрестности точки а.

Аналогично запись означает, что значение на числовой прямой находится на малом расстоянии от В — например, меньше какого-то положительного числа е (рис. 10). Это можно записать так:

Тогда можно дать следующее определение предела функции в точке: число В называется пределом функции в точке а (при х, стремящемся к а), если для любого положительного числа найдется такое положительное число что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Нахождение числа В по функции / называют предельным переходом. При выполнении предельных переходов можно пользоваться такими правилами":

Если нам известны пределы функций то для выполнения предельного перехода над суммой, произведением или частным этих функций достаточно выполнить соответствующие операции над пределами этих функций (для частного только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю).

То есть если при то * Обоснование правил предельного перехода приведены, гам же приведены примеры использования определения для доказательства того, что число В является пределом функции при

Отметим также, что в случае, когда функция является постоянной, то есть то при всех значениях х значение равно с, следовательно, и при значение . То есть предел постоянной равен самой постоянной.

Обратим внимание, что, согласно определению предел функции , при х, стремящемся к а, можно вычислить и в том случае, когда значение не входит в область определения функции . Например, областью определения функции являются все действительные числа, кроме числа 0. Для всех выполняется равенство Тогда при значение , то есть

Понятие непрерывности функции

Если значение входит в область определения функции , то для многих функций значение то есть Такие функции называются непрерывными в точке а". Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. Графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом промежутке, который полностью входит в область определения. На этом и основывается способ построения графиков «по точкам», которым мы постоянно пользовались. Строго говоря, при этом необходимо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция является непрерывной. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения, и это можно использовать при построении графиков и при вычислении пределов функций. Например, поскольку многочлен является непрерывной функцией, то

Из правил предельного перехода следует, что в случае, когда функции непрерывны в точке а, сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда

Например, функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций.

(Действительно,этого следует, что функция — непрерывная.)

Отметим еще одно важное свойство непрерывных функций, полное доказательство которого приводится в курсах математического анализа. Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. * Если в точке не выполняется условие то функция называется разрывной в точке а (а сама точка а называется точкой разрыва функции ).

Это свойство имеет простую наглядную иллюстрацию. Допустим, что функция на заданном интервале изменила свой знак(например, «-» на « + »). Это означает, что в какой-то точке значение функции отрицательно и тогда соответствующая точка М графика функции находится ниже оси В некоторой точке значение функции положительно соответствующая точка N графика находится выше оси

Но если график функции (который является неразрывной линией) перешел из нижней полуплоскости относительно оси в в верхнюю, то он обязательно хотя бы один раз на заданном интервале пересек ось , например в точке (рис. 11). Тогда что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и на заданном интервале функция не может изменить свой знак.

На последнем свойстве непрерывных функций основывается метод решения неравенств с одной переменной, называемый методом интервалов, который мы применяли в 10 классе.

Действительно, если функция непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то по сформулированному выше свойству непрерывных функций интервал I разбивается этими точками на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции в любой точке каждого из таких интервалов.

Схема решения неравенств вида методом интервалов приведена в учебнике для 10 класса и в пункте 6 таблицы 2.

Примеры решения задач:

Пример №61

Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка:

Решение:

Областью определения функции является множество всех действительных чисел R. Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка функция непрерывна.

Область определения функции то есть

Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения.

Промежуток полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка функция непрерывна.

Промежуток содержит точку 3, которая не входит в область определения функции g (я:). Следовательно, в этой точке функция не может быть непрерывной (не существует значение поэтому функция не является непрерывной в каждой точке промежутка

Комментарий:

Многочлен и дробно-рациональная функция являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция непрерывна как частное двух многочленов — непрерывных функций, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю). Поэтому в каждом из заданий необходимо найти область определения данной функции и сравнить ее с заданным промежутком.

Если этот промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то эта функция будет непрерывной в каждой точке заданного промежутка, а если нет, то функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в ее область определения.

Пример №62

Выясните, к какому числу стремится функция при

Решение:

 Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения Число 0 входит в область определения этой функции, поэтому при значение Ответ:

Комментарий:

Фактически в условии задачи говорится о нахождении предела функции при . Учитывая, что дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения: (как частное двух непрерывных функций — многочленов), получаем, что при значение . То

есть

Пример №63

Найдите:

Решение:

 1) Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке числовой прямой, поэтому

2)Дробно-рациональная функция

является непрерывной в каждой точке ее области определения Число 1 входит в область определения этой функции, поэтому

3) При

Тогда

Комментарий:

Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их областей определения. Это означает, что

в том случае, когда число а (к которому стремится входит в область определения функции (задания 1 и 2), получаем:

Если же число а не входит в область определения функции (задание 3), то пытаемся выполнить тождественные преобразования выражения f (х) при х Ф а, получить функцию, определенную при далее использовать непрерывность полученной функции при (в данном случае функции при

Напомним, что обозначение означает только то, что стремится к а (но не обязательно принимает значение а), и поэтому при значение

Пример №64

Решите неравенство

Решение:

 Заданное неравенство равносильно неравенству

Поскольку функция непрерывна в каждом из промежутков своей области определения, то можно применить метод интервалов.

1. ОДЗ. Поскольку всегда, то ОДЗ задается условиями: х Тогда .То есть

2.Нули

ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям:

(оба корня входят в ОДЗ).

3.Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 12). 4. Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство можно решить или с помощью равносильных преобразований, или методом интервалов. Если мы выберем метод интервалов, то сначала неравенство необходимо привести к виду

Для того чтобы решить неравенство методом интервалов, достаточно убедиться, что функция непрерывна (это требование всегда выполняется для всех элементарных функций ), и использовать известную схему решения:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции: = 0.
3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства. При нахождении нулей можно следить за равносильностью выполненных (на ОДЗ) преобразований полученного уравнения, а можно использовать уравнения-следствия и в конце выполнить проверку найденных корней.

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа -1 и 2).

Чтобы найти знак функции в каждом из полученных промежутков, достаточно сравнить величину дроби с единице и в любой точке из выбранного промежутка. (Для этого можно использовать график функции и при

Понятие производной, ее механический и геометрический смысл

Понятия приращения аргумента и приращения функции в точке :

Пусть — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки из области определения функции

Приращение аргумента

Приращение функции

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции:

Функция будет непрерывной в точке тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке отвечают малые изменения значений функции, то есть

Функция непрерывна в точке

Задачи, приводящие к понятию производной:

І. Мгновенная скорость движения точки по прямой — координата точки в момент времени 0 0 ср ( ) ІІ. Касательная к графику функции Касательной к графику функции в данной точке M называется предельное положение секущей MN. Когда точка N приближается к точ ке M (двигаясь по графику функции , то величина угла NMT при ближается к величине угла наклона касательной MA к оси Поскольку

Определение производной:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производные некоторых элементарных функций:

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции :

угловой коэффициент касательной

уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и угловому коэффициенту этой касательной. (Угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки.)

Механический смысл производной:

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента:

• зависимость пройденного пути от времени
• скорость прямолинейного движения
• ускорение прямолинейного движения

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции. Производную по времени используют для описания различных физических величин.

Например, мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения —это производная функции, выражающей зависимость пройденного пути от времени 8. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Если функция дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Объяснение и обоснование

Понятия приращения аргумента и приращения функции

Часто нас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки из области определения функции

Разность называется приращением независимой переменной (или

приращением аргумента) в точке и обозначается (читается: «Дельта икс»). Таким образом,

Из этого равенства имеем

то есть первоначальное значение аргумента получило приращение Отметим, что при значение больше, чем а при значение меньше, чем (рис. 14).

Тогда значение функции изменилось на величину

Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину

(2)

(рис. 15), которая называется приращением функции в точке что соответствует приращению аргумента (символ читается: «Дельта еф»).

Из равенства (2) получаем

Обратим внимание на то, что при фиксированном приращение является функцией от приращения

Если функция задается формулой то называют также приращением зависимой переменной и обозначают через

Например, если то приращение соответствующее приращению равно:

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции

Напомним, что функция f (х) является непрерывной в точке если при то есть Но если

то есть (и наоборот, если то естьСледовательно, условиеэквивалентно условию Аналогично утверждение эквивалентно условиюто есть Таким образом, функция f (х) будет непрерывной в точкетогда и только тогда, когда при то есть если малым изменениям аргумента в точке соответствуют малые изменения значений функции. Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения функции.

Задачи, приводящие к понятию производной в математике

Рассмотрим задачу, известную из курса физики, — движение материальной точки по прямой.

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции:

Если функция является математической моделью реального процесса, то часто возникает необходимость находить разность значений этой функции в двух точках. Например, обозначим через суммы средств, которые накопились на депозитном¹ счете вкладчика к моментам времени и . Тогда разность показывает прибыль, которую получит вкладчик за время .

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть — фиксированная точка из области определения функции f.

Если — произвольная точка области определения функции такая, что то разность называют приращением аргу­мента функции в точке и обозначают (читают: «дельта икс»)². Имеем: Отсюда

Говорят, что аргумент получил приращение в точке

Отметим, что приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: если то если то Если аргумент в точке получил приращение то значение функции изменилось на величину

Эту разность называют приращением функции в точке и обо значают (читают: «дельта эф»).

¹ Депозитный — от депозит (банковский вклад) — деньги, которые вкладчик передает банку на некоторый срок, за что банк выплачивает вкладчику проценты.

² Говоря о приращении аргумента функции в точке , здесь и далее будем предполагать, что в любом промежутке вида есть точки области определения функции , отличные от

Имеем:

Для приращения функции у = f(x) принято также обозначение , то есть

Приращение аргумента в точке и соответствующее приращение функции показаны на рисунке 18.1.

Отметим, что для фиксированной точки приращение функции f в точке является функцией с аргументом

Пример №65

Найдите приращение функции в точке , которое соответствует приращению аргумента.

Решение:

Имеем:

Ответ:

Задача о мгновенной скорости:

Пусть автомобиль, двигаясь по прямолинейному участку дороги в одном направлении, за 2 ч преодолел путь 120 км. Тогда его 120 средняя скорость движения равна: Найденное значение скорости дает неполное представление о характере движения автомобиля: на одних участках пути автомобиль мог двигаться быстрее, на других — медленнее, иногда мог останавливаться. Вместе с тем в любой момент времени спидометр автомобиля показывал некоторую величину — скорость в данный момент времени. Значения скорости в разные моменты более полно характеризуют движение автомобиля. Рассмотрим задачу о поиске скорости в данный момент времени на примере равноускоренного движения.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой и через время t после начала движения имеет координату s(t). Тем самым задана функция у = s(t), позволяющая определить положе­ние точки в любой момент времени. Поэтому эту функцию называют законом движения точки. Из курса физики известно, что закон равноускоренного движения задается формулой где — координата точки в начале движения (при t = 0), — начальная скорость, — ускорение.

Пусть, например,Тогда Зафиксируем какой-нибудь момент времени и придадим аргументу в точке приращение , то есть рассмотрим промежуток времени от до . За этот промежуток времени материальная точка осуществит перемещение Имеем:

Средняя скорость движения точки за промежуток времени от до равна отношению Получаем:

Обозначение для средней скорости подчеркивает, что при заданном законе движения у = s(t) и фиксированном моменте времени і значение средней скорости зависит только от

Если рассматривать достаточно малые промежутки времени от до то из практических соображений понятно, что средние скорости за такие промежутки времени мало отличаются друг от друга, то есть величина почти не изменяется. Чем меньше тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени Иными словами, если значения стремятся к нулю (обозначают ), то значения стремятся к числу Число называют мгновенной скоростью в момент времени Это записывают так: Говорят, что число является пределом функции при

Если в приведенном примере , то значения выражения стремятся к числу которое является значением мгновенной скорости , то есть

Этот пример показывает, что если материальная точка движется по закону то ее мгновенную скорость в момент времени определяют с помощью формулы

то есть

Задача о касательной к графику функции:

Известное определение касательной к окружности как прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку, неприменимо в случае произвольной кривой. Например, ось ординат имеет с параболой только одну общую точку (рис. 18.2). Однако интуиция подсказывает, что неестественно считать эту прямую касательной к данной параболе. Вместе с тем в курсе алгебры мы нередко говорили, что парабола касается оси абсцисс в точке Уточним наглядное представление о касательной к графику функции.

Пусть М — некоторая точка, лежащая на параболе Проведем прямую ОМ, которую назовем секущей (рис. 18.3). Представим, что точка М, двигаясь по параболе, приближается к точке О. При этом секущая ОМ будет поворачиваться вокруг точки О. Тогда угол между прямой ОМ и осью абсцисс будет все меньше и меньше, а секущая ОМ будет стремиться занять положение оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс считают касательной к параболе в точке О. Рассмотрим график некоторой функции и точку В точке придадим аргументу приращение и рассмотрим на графике точку где (рис. 18.4).

Из рисунка видно, что если становится все меньше и меньше, то точка М, двигаясь по графику, приближается к точке . Если при секущая стремится занять положение некоторой прямой (на рисунке 18.4 это прямая ), то такую прямую называют касательной к графику функции в точке .

Пусть секущая имеет уравнение и образует с положительным направлением оси абсцисс угол Как известно, угловой коэффициент прямой равен то есть Очевидно, что (рис. 18.4). Тогда из треугольника получаем:

Введем обозначение для углового коэффициента секущей , тем самым подчеркивая, что для данной функции и фиксированной точки угловой коэффициент секущей зависит только от приращения аргумента. Имеем:

Пусть касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол Тогда ее угловой коэффициент равен Естественно считать, что чем меньше , то тем меньше значение углового коэффициента секущей отличается от значения угло­ вого коэффициента касательной. Иными словами, если то Вообще, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой определяют с помощью формулы

то есть

Понятие производной:

В предыдущем пункте, решая две разные задачи о мгновенной скорости материальной точки и об угловом коэффициенте касательной, мы пришли к одной и той же математической модели —

пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

(1)

(2)

К аналогичным формулам приводит решение целого ряда задач физики, химии, биологии, экономики и других наук. Это свидетельствует о том, что рассматриваемая модель заслуживает особого внимания. Ей стоит присвоить название, ввести обозначение, изучить ее свойства и научиться их применять.

Определение. Производной функции в точке на­зывают число, равное пределу отношения приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции в точке обозначают так: (читают: «эф штрих от икс нулевого») или Можно записать:

или

Исходя из определения мгновенной скорости (1), можно сделать следующий вывод: если — закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени равна значению производной функции у = s(t) в точке , то есть

Это равенство выражает механический смысл производной.

Исходя из формулы для углового коэффициента касательной (2), можно сделать следующий вывод: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен значению производной функции в точке , то есть

Это равенство выражает геометрический смысл производной.

Если функция имеет производную в точке то эту функцию называют дифференцируемой в точке .

Если функция дифференцируема в каждой точке области определения, то ее называют дифференцируемой.

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием функции .

Пример №66

Продифференцируйте функцию

Решение:

Найдем производную функции в точке , где — произвольная точка области определения функции

1)

2) 3) по определению производной

Следовательно, Поскольку — произвольная точка области определения функции , то последнее равенство означает, что для любого выполняется равенство

Вывод о том, что производная линейной функции равна записывают также в виде

(3) Если в формулу (3) подставить k = 1 и b = 0, то получим:

Если же в формуле (3) положить k = 0, то получим:

Последнее равенство означает, что производная функции, яв­ляющейся константой, в каждой точке равна нулю.

Пример №67

Найдите производную функции

Решение:

Найдем производную функции в точке , где — произвольная точка области определения функции .

1)

2)

3) если то при любом значения выражения стремятся к числу . Следовательно,

Поскольку — произвольная точка области определения функции , то для любого выполняется равенство

Последнее равенство записывают также в виде

(4 )

Формула (4) — частный случай более общей формулы

(5 )

Например,

Формула (5) остается справедливой для любого то есть

(6) Например, воспользуемся формулой (6) для нахождения производной функции Имеем:

Следовательно, для любого выполняется равенство или

Формулу (6) также можно обобщить для любого

(7)

Например, найдем производную функции воспользо­вавшись формулой (7). Имеем:

Следовательно, для можно записать: или

Вообще, производную функции можно находить по формуле

(8)

Если — нечетное натуральное число, то формула (8) позволяет находить производную функции во всех точках таких, что

Если — четное натуральное число, то формула (8) позволяет находить производную функции для всех положительных значений Обратимся к тригонометрическим функциям и

Эти функции являются дифференцируемыми, и их производные находят по следующим формулам:

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных.

Мгновенная скорость движения точки по прямой

Пусть координата х точки в момент времени t равна .Как и в курсе физики, будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости определить скорость, с которой точка движется в момент времени (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим промежуток времени от (рис. 16). Определим среднюю скорость на промежутке как отношение пройденного пути к времени движения:

Для определения мгновенной скорости точки в момент времени сделаем так, как вы делали на уроках физики: возьмем промежуток времени продолжительности , вычислим среднюю скорость на этом промежутке и начнем уменьшать промежуток до нуля (то есть уменьшать отрезок и приближать . Мы заметим, что значение средней скорости при стремлении At к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени . Иными словами, мгновенной скоростью в момент времени называется предел отношения если то есть Например, рассмотрим свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задается формулой

1. Найдем сначала
2. Найдем среднюю скорость:
3. Выясним, к какому числу стремится отношение при это и будет мгновенная скорость в момент времени

Если а поскольку величина постоянная, то Последнее число и является значением мгновенной скорости точки в момент времени Мы получили известную из физики формулу Используя понятие предела, это можно записать так:

Касательная к графику функции

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного матириала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбраной точке (рис. 17). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой.

Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык.

Пусть задана некоторая кривая и точка на ней (рис. 18). Возьмем на этой прямой другую точку и проведем прямую через точки и. Эту прямую обычно называют секущей. Начнем приближать точку к точке . Положение секущей будет изменяться, но при приближении точки к точке оно начнет стабилизироваться.

Касательной к кривой в данной точке называется предельное положение секущей

Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции а точка , находящаяся на графике, задана своими координатами Касательной является не-

которая прямая, проходящая через точку М (рис. 19).

Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол наклона касательной* к оси

Пусть точка N (через которую проходит секущая MN) имеет абсциссу Когда точка N, двигаясь по графику функции приближается к точке М (это будет при ),то величина угла NMT приближается к величине угла наклона касательной МА к оси Поскольку значениеприближается к то есть

Фактически мы пришли к той же задаче, что и при нахождении мгновенной скорости: найти предел отношения выражения вида

(где — заданная функция) при Найденное таким образом число называют производной функции

Определение производной и её применение в математике

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции обозначается и читается: «Еф штрих в точке ». Коротко определение производной функции можно записать так:

Учитывая определение приращения функции соответствующего приращению определение производной можно записать также следующим образом:

Функцию имеющую производную в точке называют дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

* Будем рассматривать невертикальную касательную (то есть ).

Для нахождения производной функции по определению можно пользоваться такой схемой:

1. Найти приращение функции соответствующее приращению аргумента
2. Найти отношение
3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение при Это и будет производной данной функции.

Производные некоторых элементарных функций

Обоснуем, пользуясь предложенной схемой:

1. Вычислим производную функции где с — постоянная.

1) Найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента

2) Найдем отношение

3) Поскольку отношение постоянно и равно нулю, то и предел этого

отношения при также равен нулю. Следовательно, то есть

2. Вычислим производную функции

3) Поскольку отношение постоянно и равно 1, то и предел этого отношения при также равен единице. Следовательно, то есть

3. Вычислим производную функции

3) При значение Это означает, что

Тогда производная функции в произвольной точке х равна: Таким образом,

4. Вычислим производную функции

3) При значение Это означает, что Тогда производная функции в произвольной точке х из ее области определения (то есть при ) равна:

Следовательно,

5. Вычислим производную функции

Умножим и разделим полученное

выражение на сумму и запишем следующим образом:

3) При значение

Это означает, чтоТогда производная функции в произвольной точке : из области определения функции, кроме Следовательно,

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции y=f(x)

Учитывая определение производной функции запишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции.

Как было обосновано выше, тангенс угла наклона касательной в точке М с абсциссой (рис. 20) вычисляется по формуле С другой стороны,

Напомним, что в уравнении прямой угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки). Следовательно, если — угловой коэффициент касательной, то То есть значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и равно угловому коэффициенту этой касательной (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки).

Таким образом, если уравнение касательной к графику функциив точке М с абсциссой (и ординатой Тогда уравнение касательной можно записать так: Чтобы найти значение учтем, что эта касательная проходит через точку Следовательно, координаты точки М удовлетворяют последнему уравнению, то есть Отсюда и уравнение касательной имеет вид Его удобно записать так:

Это уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Замечание. Угол который образует невертикальная касательная к графику функции в точке с абсциссой с положительным направлением оси может быть нулевым, острым или тупым. Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда (то есть угол будет острым, а в случае, когда угол будет тупым. Если (то есть касательная параллельна оси или совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции в точке с абсциссой образует с положительным направлением оси острый угол если тупой угол — то а если касательная параллельна оси или совпадает с ней

Если же касательная образует с осью прямой угол то функция производной в точке не имеет ( не существует).

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точкедля функции

и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения:

можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути s от времени t; ускорение неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости от времени t.

Если — зависимость пройденного пути от времени, то

— скорость прямолинейного движения

— ускорение прямолинейного движения.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

 Если функция дифференцируема в точкето в этой точке существует ее производная То есть при

Для обоснования непрерывности функции достаточно обосновать, что при

Действительно, при Из этого следует, что функция непрерывна в точке Таким образом, если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Из этого утверждения следует:

• если функция дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.

Например, функция (рис. 21) непрерывна при всех значениях , но она не имеет производной в точке Действительно, если

Поэтому при отношение не имеет предела, а значит, и функция не имеет производной в точке 0.

Замечание. Тот факт, что непрерывная функция не имеет производной в точке , означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси ). График в этой точке будет иметь излом.

Например, к графику непрерывной функции (рис. 22) в точке М с абсциссой нельзя провести касательную (а значит, эта функция не имеет производной в точке 1). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка N будет приближаться к точке М по левой части графика, то секущая MN займет предельное положение МА. Если же точка К будет приближаться к точке М по правой части графика, то секущая МК займет предельное положение MB. Но это две разные прямые, следовательно, в точке М касательной к графику данной функции не существует.

Примеры решения задач:

Пример №68

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , к оси , если

Решение:

По геометрическому смыслу производной Учитывая, что получаем

Следовательно,

 Посколькуто По геометрическому смыслу производной

Следовательно,

Комментарий:

По геометрическому смыслу производной где — угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , к оси. Поэтому для нахождения tg ф достаточно найти производную функции , а затем найти значение производной в точке .

Для нахождения производных заданных функций отметим, что соответствующие формулы производных приведены в пункте 5 таблицы 3. Поэтому далее при решении задач мы будем использовать эти формулы как табличные значения.

Пример №69

Используя формулу запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение:

Если

Тогда Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем То есть искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывается так:

Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение ,производную и значение . Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через и использовать табличное значение производной:

Правила вычисления производных в математике

1. Производные некоторых элементарных функций:

Правила дифференцирования:

Правило Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Пример:

Правило Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных

Пример:

Правило

Пример:

Правило

Пример:

Производная сложной функции (функции от функции):

Если то есть

Коротко это можно записать так*:

Пример:

* В обозначениях нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная.

Правила вычисления производных с помощью формул:

Для вычисления производных будем использовать формулы:

  

Внесем их в таблицу.

Рассмотрим несколько правил вычисления производных:

Производная суммы

1. Производная суммы: если функции  имеют производные, то производная суммы равна сумме производных, т. е. 

Доказательство. Пусть  Рассмотрим сумму приращений функций 

Если  стремится к нулю, то 

Пример №70

Найдите производную функции:

Решение:

 

Производная произведения

2. Производная произведения: если функции  имеют производные, то 

Пример №71

Найдите производную функции: 

Решение:

 

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: 

Пример №72

Найдите производную функции: 

Решение:

 

Производная частного

3. Производная частного: если функции  имеют производные, то 

 

Пример №73

Найдите производную функции:

Решение:

 

Производная степени

4. Производная степени: производная степени равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и показателем на единицу меньше, т. е.  где 

Пример №74

Найдите производную функции: 

Решение:

Более подробное объяснение правил вычисления производных:

При вычислении производных удобно пользоваться следующими теоремами¹.

Теорема 20.1 (производная суммы). В тех точках, в ко­торых дифференцируемы функции и также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Кратко говорят: производная суммы равна сумме производных. Также принята следующая упрощенная запись:

Теорему 20.1 можно обобщить для любого конечного количества слагаемых:

¹ Условия теорем 20.1-20.3 предусматривают следующее: если функ­ции u дифференцируемы в точке , то соответственно функции и определены на некотором промежутке, содержащем точку

Теорема 20.2 (производна я произведения). В тех точ­ках, в которых дифференцируемы функции и , также является дифференцируемой функция причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята следующая упрощенная запись:

Следствие 1. В тех точках, в которых дифференцируема функция , также является дифференцируемой функция , где — некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство

Кратко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Также принята следующая упрощенная запись:

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема в любой точке, то, применяя теорему о производной произведе­ния, можно записать:

Следствие 2. В тех точках, в которых дифференцируемы функции , также является дифференцируемой функция , причем для всех таких точек выполняется равенство

Доказательство. Имеем:

Теорема 20.3 (производная частного). В тех точках, в которых функции дифференцируемы и значение функции не равно нулю, функция также является дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство

Также принята следующая упрощенная запись:

Пример №75

Найдите производную функции: 1)

2) 3) 4)

Решение:

1) Пользуясь теоремой о производной суммы и следствиями из теоремы о производной произведения, получаем:

2) По теореме о производной произведения получаем:

3) Имеем:

4) По теореме о производной частного получаем:

Используя теорему о производной частного, легко доказать, что

Действительно,

Уравнение касательной

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда к графику функции в точке с абсциссой можно провести невертикальную касательную (рис. 21.1).

Из курса геометрии 9 класса вы знаете, что уравнение невертикальной прямой имеет вид где — угловой коэффициент этой прямой.

Исходя из геометрического смысла производной, получаем:

Тогда уравнение касательной можно записать в следующем виде: (1)

Эта прямая проходит через точку Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению (1).

Имеем: Отсюда

Тогда уравнение (1) можно переписать следующим образом:

Следовательно, если функция дифференцируема в точке , то уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , имеет вид

Пример №76

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение:

Имеем:

Подставив найденные числовые значения в уравнение касатель­ной, получаем: , то есть . Ответ:

Признаки возрастания и убывания функции

Вы знаете, что если функция является константой, то ее производная равна нулю. Возникает вопрос: если функция такова, что для всех из промежутка выполняется равенство , то является ли функция константой на промежутке ?

Теорем а 22.1 (признак постоянстве функции). Если для всех из промежутка выполняется равенство , то функция является константой на этом промежутке.

На рисунке 22.1 изображен график функции . Эта функция обладает следующими свойствами: на промежутке она убывает, а на промежутке возрастает. При этом на промежутке производная принимает отрицательные значения. а на промежутке — положительные значения.

Этот пример показывает, что знак производной функции на некотором промежутке связан с тем, является ли эта функция возрастающей (убывающей) на промежутке .

Связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 22.2 (признак возрастания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство , то функция возрастает на зтом промежутке.

Теорема 22.3 (признак убывания функции). Если для всех из промежутка выполняется неравенство , то функция убывает на зтом промежутке.

Пример №77

Найдите промежутки возрастания и убывания функ­ции

Решение:

Имеем: . Решив неравенства и , приходим к выводу: на промежутке на промежутке . Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

На рисунке 22.2 изображен график функции . Из рисунка видно, что на самом деле функция возрастает на промежутке и убы­вает на промежутке , включая точку .

При записи ответа будем руководствоваться следующим правилом: если функция дифференцируема в каком-то из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. В приведенном примере функция дифференцируема в точке , потому эту точку присоединили к промежуткам .

Ответ: возрастает на , убывает на .

Пример №78

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

Решение:

Имеем: . Исследуем знак производной (рис. 22.3) и учтем дифференцируемость функции в точках . Получаем, что функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на промежутке

Точки экстремума функции

Знакомясь с понятием дифференцируемости функции в точке, мы исследовали поведение функции вблизи этой точки или, как принято говорить, в ее окрестности.

Определение. Промежуток , содержащий точку , называют окрестностью точки

Например, промежуток (-1; 3) — одна из окрестностей точки 2,5. Вместе с тем этот промежуток не является окрестностью точки 3. На рисунке 23.1 изображены графики двух функций. Эти функции имеют общую особенность: существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение. Точку называют точкой максимум а функции , если существует окрестность точки такая, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство .

Например, точка является точкой максимума функции (рис. 23.2). Записывают

На рисунке 23.1

Определение. Точку называют точкой минимума функ­ции , если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Например, точка является точкой минимума функции (рис. 23.2). Записывают: На рисунке 23.3 изображены графики функций, для которых является точкой минимума, то есть

Точки максимума и минимума имеют общее название: их называют точками экстремума функции (от латинского extremum — край, конец). На рисунке 23.4 точки являются точками экстремума. На рисунке 23.5 изображен график функции , которая на промежутке является константой. Точка является точкой максимума, точка — минимума, а любая точка промежутка является одновременно как точкой максимума, так и точкой минимума функции . Наличие экстремума функции в точке связано с поведением функции в окрестности этой точки. Так, для функций, графики которых изображены на рисунке 23.6, имеем: на рисунке 23.6, a

функция возрастает на промежутке и убывает на промежут­ке ; на рисунке 23.6, б функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке

Вы знаете, что с помощью производной можно находить промежутки возрастания (убывания) дифференцируемой функции. Две теоремы, приведенные ниже, показывают, как с помощью производной можно находить точки экстремума дифференцируемой функции.

Теорем а 23.1 (признак точки максимум а функции). Пусть функция дифференцируема на промежутке — некоторая точка этого промежутка. Если для всех выполняется неравенство , а для всех выполняется неравенство , то точка является точкой максимума функции (рис. 23.6, а).

Теорем а 23.2 (признак точки минимум а функции). Пусть функция дифференцируема на промежутке — некоторая точка этого промежутка. Если для всех выполняется неравенство , а для всех выполняется неравенство , то точка является точкою минимума функции (рис. 23.6, б).

Иногда удобно пользоваться упрощенными формулировками этих двух теорем: если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то — точка максимумах если производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума. Итак, для функции точки экстремума можно искать по сле­дующей схеме.

1. Найти
2. Исследовать знак производной.
3. Пользуясь соответствующими теоремами, найти точки экстремума.

Пример №79

Найдите точки экстремума функции: 1) 2)

Решение:

1) Имеем:

Исследуем знак производной В окрестностях точек (рис. 23.7). Получаем:

2) Имеем:

Решая неравенство и учитывая, что при , получаем, что на промежутках и . Рассуждая аналогично, можно установить, что на промежутках (-1; 1) и (1; 3). Рисунок 23.8 иллюстрирует полученные результаты. Теперь можно сделать следующие выводы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Какое количество продукции должно выпустить предприятие, чтобы получить наибольшую прибыль? Как, имея ограниченные ресурсы, выполнить производственное задание в кратчайший срок?

Как организовать доставку товара на автомобиле в торговые точки так, чтобы расход топлива был наименьшим? Такие и подобные задачи на поиск оптимального решения занимают значительное место в практической деятельности человека.

В этом пункте мы выясним, как можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке . Ограничимся рассмотрением только дифференцируемых функций.

Можно показать, что дифференцируемая на промежутке функция принимает на этом промежутке наибольшее и наименьшее значения или на концах отрезка, или в точках экстремума (рис. 24.1).

Исходя из этого, поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на промежутке можно проводить, пользуясь следующей схемой.

1. Найти точки функции , в которых ее производная равна нулю.
2. Вычислить значения функции в тех найденных точках, которые принадлежат рассматриваемому промежутку, и на концах этого промежутка.
3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример №80

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Решение:

Найдем производную данной функции. Имеем: Теперь решим уравнение . Отсюда

Промежутку принадлежит только точка . Имеем:

Следовательно, Ответ :

Пример №81

Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго числа была наименьшей.

Решение:

Пусть первое число равно , тогда второе число равно . Из условия следует, что

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке , и найдем, при каком значении она принимает наименьшее значение.

Имеем: . Решим уравнение . Получаем: или .

Среди найденных корней промежутку принадлежит только число 2.

Имеем:

Следовательно, функция f принимает наименьшее значение при х = 2.

Ответ : 8 = 2 + 6.

Построение графиков функций

Когда в предыдущих классах вам приходилось строить графики, вы, как правило, поступали следующим образом: отмечали на координатной плоскости некоторое количество точек, принадлежащих графику, а затем соединяли их. Точность построения зависела от количества отмеченных точек. На рисунке 25.1 изображены несколько точек, принадлежащих графику некоторой функции . Эти точки можно соединить по-разному, например так, как показано на рисунках 25.2 и 25.3.

Однако если знать, что функция возрастает на каждом из про­межутков , убывает на промежутке и является дифференцируемой, то, скорее всего, будет построен график, приведенный на рисунке 25.4.

Вы знаете, какими особенностями обладают графики четной, нечетной, периодической функций и т. д. Вообще, чем больше свойств функции удается определить, тем точнее можно построить ее график.

Исследование свойств функции будем проводить по следующему плану:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность.
3. Найти нули функции.
4. Найти промежутки возрастания и убывания функции.
5. Найти точки экстремума и значения функции в точках экстремума.
6. Выявить другие особенности функции (периодичность функ­ции, поведение функции в окрестностях отдельных важных точек и т. п.).

Заметим, что приведенный план исследования носит рекомен­дательный характер и не является постоянным и исчерпывающим. При исследовании функции важно обнаружить такие ее свойства, которые позволят корректно построить график.

Пример №82

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение:

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть .

2. Имеем: . Отсюда и , то есть функция не совпадает ни с функцией , ни с функцией . Таким образом, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Имеем: . Числа 0 и 6 являются нулями функции .

4-5. Имеем: . Исследовав знак производной (рис. 25.5), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутке убывает на каждом из промежутков и . Следовательно, . Имеем: .

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 25.6).

Напомню:

Приращение аргумента в точке

Приращение функции в точке

Производная функции:

Производной функции в точке называют число, равное пределу отношения приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен значению производной функции в точке .

Механический смысл производной:

Если — закон движения материальной точки по координатной прямой, то ее мгновенная скорость в момент времени равна значению производной функции в точке .

Дифференцируемость функции:

Если функция имеет производную в некоторой точке, то ее называют дифференцируемой в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке области определения, то ее называют дифференцируемой.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой :

Ещё раз напомню правила вычисления производных:

Признак постоянства функции:

Если для всех из промежутка выполняется равенство , то функция является константой на этом проме­жутке.

Признак возрастания функции:

Если для всех из промежутка выполняется неравенство , то функция возрастает на этом промежутке.

Признак убывания функции:

Если для всех из промежутка выполняется неравенство , то функция убывает на этом промежутке.

Окрестность точки:

Промежуток , содержащий точку , называют окрестностью точки .

Точки экстремума функции:

Точку называют точкой максимума функции , если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство . Точку называют точкой минимума функции , если существует окрестность точки такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство . Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.

Признаки точек максимума и минимума:

Пусть функция дифференцируема на промежутке и — некоторая точка этого промежутка.

Если для всех выполняется неравенство , а для всех выполняется неравенство , то точка является точкой максимума функции

Если для всех выполняется неравенство , а для всех выполняется неравенство , то точ­ка является точкой минимума функции .

План исследования свойств функции:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность.
3. Найти нули функции.
4. Найти промежутки возрастания и убывания функции.
5. Найти точки экстремума и значения функции в точках экстремума.
6. Выявить другие особенности функции (периодичность функции, поведение функции в окрестностях отдельных важных точек и т. п.).

Объяснение и обоснование:

Правила дифференцирования производных

Используя определение производной,  были найдены производные некоторых элементарных функций:(с — постоянная),

Для нахождения производных в более сложных случаях целесообразно помнить правила дифференцирования — специальные правила нахождения производной от суммы, произведения и частного тех функций, для которых мы уже знаем значения производных, и правило нахождения производной сложной функции (функции от функции).

Обоснуем эти правила. Для сокращения записей используем такие обозначения функций и их производных в точке :

и

Правило 1.

Если функции и и и дифференцируемы в точке , то их сумма дифференцируема в этой точке и

Коротко говорят:

• производная суммы равна сумме производных.

Для доказательства обозначим и используем план нахождения по определению производной в точке . 1) Приращение функции в точке :

3) Выясним, к какому пределу стремится отношение

Поскольку функции и и v дифференцируемы в точке , то при

Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых, получаем, что при Из этого следует, что

(то есть

Следовательно,

Правило 1 можно расширить на любое конечное количество слагаемых* * Для обоснования того, что эта формула верна для любого натурального п, необходимо применить метод математической индукции.

Правило 2.

Если функции и и v дифференцируемы в точке , то их произведение дифференцируемо в этой точке и

1) Обозначим Сначала запишем приращения функций и и в точке : . Из этих равенств получаем:

Учитывая равенства (1), имеем

3) Поскольку функции и и v дифференцируемы в точке , то при

Поскольку функция дифференцируема в точке , а значит и непрерывна в этой точке, то при значение

Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых (и постоянные множители и и v можно выносить за знак предела), получаем, что при

Из этого следует, что (то есть

Следовательно,

Следствие (правило 3).

Если функция и дифференцируема в точке , а с — постоянная (с = const), то функция си дифференцируема в этой точке и

Коротко говорят:

• постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Для доказательства используем правило 2 и известный из факт, что

Правило 4.

Если функции и и v дифференцируемы в точке и функция v не равна нулю в этой точке, то их частное также дифференцируемо в точке и

Эту формулу можно получить аналогично производной произведения. Но можно использовать более простые рассуждения, если принять без доказательства, что производная данного частного существует. Обозначим функцию Найдем производную функции и по правилу дифференцирования произведения:

Выразим из этого равенства а вместо t подставим его значение Получим

Следовательно,

Используя правило нахождения производной произведения и формулу обоснуем, что производная функции при натуральном вычисляется по формуле

 При получаем: Тот же результат дает и применение формулыПри получаем:Тот же результат дает и применение формулы Как видим, приведенные соображения позволяют, опираясь на предыдущий результат, обосновать формулу для следующего значения п. Допустим, что формула (2) выполняется для то есть

Покажем, что тогда формула (2) верна и для следующего значения Действительно, То есть, если формула (2) выполняется при то она выполняется и для следующего значения Но тогда формула (2) выполняется и для следующего значения а следовательно, и для и т. д. для любого* натурального

Можно обосновать, что формула верна для любого действительного показателя степени п (но только при тех значениях х, при которых определена ее правая часть).

 Например, если эта формула также верна. Действительно, если то по формуле (2): что совпадает со значениями производных функций и 1, полученных в пункте 1.3.

* В приведенном обосновании фактически неявно использован метод математической индукции который позволяет аргументированно сделать вывод, что рассмотренное утверждение выполняется для любого натурального (в данном случае

Если — целое отрицательно число, — натуральное число. Тогда при Следовательно, формула (2) выполняется и для любого целого показателя степени.

. Как известно из 

(при х > 0). Но по формуле (2): То есть формула (2) верна и при

Производная сложной функции

Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная у является функцией от и: а и, в свою очередь, — функцией от , то у является сложной функцией от х, то есть

В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента х, а и называют промежуточным аргументом.

Например, если сложная функция, которая определена только при тех значениях х, для которых х то есть при (промежуточный аргумент

Правило 5 (производная сложной функции). Если функция и (х) имеет производную в точке, а функция — производную в точке то сложная функция также имеет производную в точке , причем

Поскольку по условию функция имеет производную в точке , то она является непрерывной в этой точке, и тогда малому изменению аргумента в точке соответствуют малые изменения значений функции, то есть при  . Из равенства

Тогда Дальнейшее доказательство проведем только для таких функций ,в которых в некоторой окрестности точки . представим следующим образом:Учитывая, что при а при получаем, что при (и, соответственно, ) Из этого следует, что то есть

Следовательно, производная сложной функции у = равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и (обозначается ) на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу х (обозначается

Примеры решения задач:

Пример №83

Найдите производную функции:

Решение:

Комментарий:

Напомним, что алгебраическое выражение (формулу, задающую функцию) называют по результату последнего действия, которое необходимо выполнить при нахождении значения заданного выражения. Следовательно, в задании 1 сначала необходимо найти производную суммы:

• в задании 2 — производную произведения:
• в задании 3 — производную частного:

Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу а в задании 2 учесть, что при вычислении производной постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной. Можно заметно упростить решение задания 2, если сначала раскрыть скобки, а затем взять производную суммы.

Пример №84

Вычислите значение производной функции в указанных точках:

Решение:

Комментарий:

Для нахождения значения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной следует учесть, что заданную разность можно рассматривать как алгебраическую сумму выражений и , а при нахождении производной за знак производной вынести постоянный множитель (-5). В результате мы получаем разность производных функций

Пример №85

Найдите значения х, при которых производная функции равна нулю.

Решение:

Ответ: 2.

Комментарий:

Чтобы найти соответствующие значения х, достаточно найти производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Пример №86

Найдите производную функции

Решение:

Учитывая, что

, получаем

Найдем производную каждого слагаемого.

Учитывая, что

Комментарий:

В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно производную степени и корня, но в основании степени и под знаком корня стоит не аргумент х, а выражения с этим аргументом (тоже функции от х). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций.

Обозначая (в черновике или мысленно) промежуточный аргумент через и (для задания 1: , для задания 2:), по формуле их записываем производные заданных функций с учетом формул

В задании 3 мы можем сначала найти производную суммы, а далее — производную каждого слагаемого как производную сложной функции.

Выражение это производная степени, но это производная сложной функции, у которой промежуточный аргумент

Находя приходится снова рассматривать производную суммы, при этом производную рассматривать также как производную сложной функции у которой промежуточный аргумент

Второе слагаемое можно записать как то есть . Тогда промежуточный аргумент будет . Отметим,что для нахождения производной второго слагаемого можно использовать и формулу для производной частного.

Производные элементарных функции

Таблица 5

Объяснение и обоснование:

Формулы с' = 0 (с — постоянная),

были обоснованы.

 Для обоснования формулы (sin х)' = cos х используем то, что при малых значениях а значения sin (например, sin 0,01 0,010,

sin 0,001 0,001). Тогда при отношение то есть

Если то, применяя формулу преобразования разности синусов в произведение и схему нахождения производной по определению, имеем: 3) При .тогда учитывая (1)

Следовательно, при

Тогда производная функции у = sin х в произвольной точке х равна cos х. Таким образом,

Учитывая, что по формулам приведения

и используя правило нахождения производной сложной функции, получаем:

Следовательно,

Для нахождения производных используем формулы и правило нахождения производной частного. Например,

Чтобы обосновать формулы производных показательных и логарифмических функций, используем без доказательства свойство функции , которое обосновывается в курсе высшей математики: * Напомним, что е — иррациональное число, первые знаки которого следующие: е= 2,71828182... производная функции равна самой функции ,то есть

 При по основному логарифмическому тождеству имеем

Тогда по правилу нахождения производной сложной функции:

По полученной формуле мы можем найти значение производной показательной функции для любого значения х. Следовательно, показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, а значит, и непрерывна в каждой точке своей области определения (то есть при всех действительных значениях х).

 Для логарифмической функции сначала найдем производную функции In х (принимая без доказательства существование ее производной). Область определения этой функции то есть При х > 0 по основному логарифмическому тождеству имеем Это равенство означает, что при функции совпадают (это одна и же функция, заданная на множестве ), а значит, совпадают и их производные. Используя для левой части равенства правило нахождения производной сложной функции, получаем:

Замечание. Формула была обоснована в только для целых значений . Докажем, что она выполняется и при любых действительных значениях .

Если — любое нецелое число, то функция определена только при Тогда по основному логарифмическому тождеству По правилу вычисления производной сложной функции получаем:

Следовательно, далее формулой можно пользоваться при любых действительных значениях (напомним, что в этом случае ее можно использовать только при тех значениях , при которых определена ее правая часть).

Опираясь на полученный результат, обоснуем также формулу

которую можно использовать при тех значениях х, при которых определена ее правая часть.

 Если — четное число, то ОДЗ правой части формулы (2): х > 0. Но при этом условии

Если — нечетное число, то ОДЗ правой части формулы (2) задается условием: При х > 0 остается справедливым равенство (3). При учтем, что а также то, что при нечетном число 1 — будет четным (поэтому Тогда

Следовательно, и для нечетного при всех формула (2) также выполняется.

Обратим внимание, что в последнем случае такие громоздкие преобразования пришлось выполнить вследствие того, что при выражение не определено, а выражение существует, поскольку

Примеры решения задач:

Пример №87

Найдите производную функции:

Решение:

Комментарий:

Последовательно определим, от какого выражения берется производная (ориентируясь на результат последнего действия).

В задании 1 сначала берется производная суммы: Затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции: берется производная от умножается на Полученный результат желательно упростить по формуле: В задании 2 сначала берется производная частного: а для производной знаменателя используется правило вычисления производной сложной функции (производная cos и умножается на

Пример №88

Найдите значения х, при которых значение производной функции

1) равно нулю, 2) положительно, 3) отрицательно.

Решение:

Область определения данной функции:

Область определения функции . То есть производная существует на всей области определения данной функции:

(удовлетворяет условию х > 0). При х > 0 неравенства f' (х) > 0, то есть то есть решим методом интервалов

Комментарий:

Производная данной функции может существовать только в точках, входящих в область определения функции. Поэтому сначала целесообразно найти область определения данной функции.

Производная функции сама является функцией от х, и поэтому для решения неравенств можно использовать метод интервалов. После нахождения ОДЗ соответствующего неравенства необходимо сопоставить ее с областью определения функции и продолжать решение неравенства на их общей части.

Следовательно, неравенства всегда решаются на общей части областей определения функций Для решения соответствующих неравенств достаточно на общей области определения функций отметить нули и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается общая область определения.

Пример №89

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

 Если Тогда Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем: То есть — искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывается так:

Чтобы записать это уравнение для данной функции, необходимо найти производную и значение Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f (х), а для нахождения ее производной использовать формулу производной произведения:

Применение производной к исследованию функций

1. Монотонность и постоянство функции

Достаточное условие убывания функции

Если в каждой точке интервала (a; b)то функция возрастает на этом интервале.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a; b) то функция убывает на этом интервале.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции

Функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала.

2. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Точки максимума:

Точки максимума

Точка из области определения функции f (х) называется точкой максимума этой функции, если найдется окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

точка минимума

Точка из области определения функции f(x) называется точкой минимума этой функции, если найдется окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точки максимума и минимума называются точками екстремума

Значения функции в точках максимума и минимума называются екстремумами (максимумом и минимумом) функции

3. Критические точки

Определение:

Критическими точками функции называются внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю* или не существует.

Пример:

— существует на всей области определения.— критические точки.

4. Необходимое и достаточное условия экстремума

Необходимое условие экстремума:

В точках экстремума производная функции f (х) равна нулю или не существует

(но не в каждой точке х0, где = 0 или не существует, будет экстремум)

Достаточное условие экстремума:

Если функция f (х) непрерывна в точке и производная меняет знак при переходе** через точку , то — точка экстремума функции f(х)

*Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, также называют стационарными точками.

**Имеется в виду переход через точку при движении слева направо.

5. Пример графика функции имеющей экстремумы критические точки)

б. Исследование функции на монотонность и экстремум

Схема:

1. Найти область определения функции.

Пример:

Область определения

2. Найти производную

3. Найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых равна нулю или не существует. существует на всей области

Знаком обозначено возрастание функции, а знаком — ее убывание на соответствующем промежутке.

4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

5. Определить относительно каждой критической точки,является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума.

6. Записать результат исследования (промежутки монотонности и экстремумы). возрастает на каждом из промежутков: убывает на [-1; 1]. Точки экстремума: Экстремумы:

Объяснение и обоснование:

Монотонность и постоянство функции

Критические точки функции. Производная является важным инструментом исследования функции. В частности, с помощью производной удобно исследовать функцию на монотонность (то есть на возрастание и убывание).

Напомним, что функцияназывается возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых из этого множества из условия следует, что

Функция f (х) называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции, то есть для любых из этого множества из условия следует, что

Как видно из рисунка 27, а, в каждой точке графика возрастающей функции касательная образует с положительным направлением оси или острый угол (тогда или угол, равный нулю (тогда. А в каждой точке графика убывающей функции (рис. 27, б) ка- * Как отмечается на, поскольку функция непрерывна (например, вследствие того, что она дифференцируема на всей области определения), то точки -1 и 1 можно включить в промежутки возрастания и убывания функции.

Касательная образует с положительным направлением оси Ох или тупой угол (тогда или угол, равный нулю (тогда )).

Следовательно, если на каком-нибудь интервале функциядифференцируема и возрастает, на этом интервале; если на каком-нибудь интервале функция f (х) дифференцируема и убывает, на этом интервале.

Но для решения задач на исследование свойств функций важными являются обратные утверждения, которые позволяют по знаку производной выяснить характер монотонности функции.

Для обоснования соответствующих утверждений воспользуемся так называемой формулой Лагранжа, строгое доказательство которой приводится в курсе математического анализа. Здесь мы ограничимся только ее геометрической иллюстрацией и формулировкой.

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех точках интервала . Тогда на этом интервале найдется такая точка с, в которой касательная к графику функции f (х) в точке с абсциссой с будет параллельна секущей АВ, проходящей через точки ), (рис. 28).

Действительно, рассмотрим все возможные прямые, которые параллельны секущей АВ и имеют с графиком функции f (х) на интервале хотя бы одну общую точку. Та из этих прямых,

которая находится на наибольшем расстоянии от секущей АВ, и будет касательной к графику функции f (х) (это как раз и будет предельное положение секущей, параллельной АВ). Если обозначить абсциссу точки касания через с, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем — угол между прямой и положительным направлением оси Ох.

Но, поэтому угол равен углу наклона секущей АВ к оси Ох (который, в свою очередь, равен углу А прямоугольного треугольника ABD с катетами:

Тогда Таким образом, можно сделать вывод: если функция f (х) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех точках интервала , то на интервале найдется такая точка с , в которой

Эта формула называется формулой Лагранжа.

Теперь применим эту формулу для обоснования достаточных условий возрастания и убывания функции.

1. Если в каждой точке интервала , то функциявозрастает на этом интервале.
2. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

Возьмем две произвольные точки из заданного интервала. По формуле Лагранжа существует число такое, что

Число с принадлежит заданному интервалу, поскольку ему принадлежат числа . Пусть, тогда

Еслив каждой точке заданного интервала, тои из равенства (1) получаем, что, то есть. Из этого следует, что функция f (х) возрастает на заданном интервале.

Если в каждой точке заданного интервала, то , и из равенства (1) получаем, что, то есть. Из этого следует, что функция f (х) убывает на заданном интервале.

Пример:

Функция определена на всем множестве действительных чисел и имеет производную при всех значениях х. Следовательно, эта функция возрастает на всей области определения.

Пример:

Функция определена на всем множестве действительных чисел и имеет производную 3. Поскольку при всех значениях х. Следовательно, эта функция убывает на всей области определения.

Заметим, что в курсе 10 класса мы без доказательства приняли, что при х > 0 функция , где а — дробное число, возрастает при а > 0 и убывает при а 0. Обоснуем это. Действительно,. Тогда при х 0 и а > 0 значение у' > 0, следовательно, функция возрастает, а при при х О и « 0 значение О, следовательно, функция убывает.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции имеют наглядную физическую иллюстрацию. Пусть по оси ординат двигается точка, которая в момент времени t имеет ординату . Учитывая физический смысл производной, получаем, что скорость этой точки в момент времени t равна . Если, то точка двигается в положительном направлении оси ординат, и с увеличением времени ордината точки увеличивается, то есть функция возрастает. Если же О, то точка двигается в отрицательном направлении оси ординат, и с увеличением времени ордината точки уменьшается, то есть функция убывает.

Отметим, что в этом случае, когда = 0, скорость точки равна нулю, то есть точка не двигается, и поэтому ее ордината остается постоянной. Получаем условие постоянства функции.

Функция f (х) является постоянной на интервале тогда и только тогда, когда f' (х) = 0 во всех точках этого интервала.

 Действительно, если (где — постоянная), то f' (х) = 0.

Наоборот, если f' (х) = 0 во всех точках интервала , то зафиксируем некоторое число х0 из этого интервала и найдем значение функции в точке (пусть f () = ). Для любого числа х из заданного интервала по формуле Лагранжа можно найти число с, которое содержится между х и , такое, что Тогда

Поскольку, то по условию f (с) = 0. Следовательно, Таким образом, для всех х из заданного интервала , то есть функция f (х) является постоянной.

Замечание. В случае, когда функция f (х) непрерывна на отрезке и во всех точках интервала , то при приближении значения х к точке а справа значение тогда и (аналогично обосновывается и то, что при приближении значения х к точке b слева ). Следовательно, в этом случае функция f (х) является постоянной на отрезке

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо решить неравенства на области определения функции f (х). Поскольку f' (х) также является функцией переменной х, то для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, которое основывается на утверждении, называемом в курсе математического анализа теоремой Дарбу*: точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции f (х) на промежутки, в каждом из которых сохраняет постоянный знак.

* Дарбу Жан Гастон (1842-1917) — французский математик, который сделал значительный вклад в развитие дифференциальной геометрии, интегрального исчисления и механики.

Отметим, что внутренние* точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Исходя из плана решения неравенств методом интервалов, получаем, что промежутки возрастания и убывания функции f (х) можно находить по схеме:

1. Найти область определения функции f (х).
2. Найти производную f' (х).
3. Выяснить, в каких внутренних точках области определения функции производная f' (х) равна нулю или не существует (то есть найти критические точки этой функции).
4. Отметить найденные точки на области определения функции f (х) и найти знак f (х) в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения функции (знак можно определить, вычислив значение f' (х) в любой точке промежутка).

Пример №90

Исследуем функцию на возрастание и убывание.

Решение:

1. Область определения данной функции — все действительные числа:
2. Производная .
3. Производная существует на всей области определения функции; f' (х) = 0, если , то есть при х = 1 или х = -1.
4. Решаем неравенства f (х) > 0 и f' (х) 0 на области определения функции f (х) методом интервалов. Для этого отмечаем точки 1 и (-1) на области определения функции f (х) и находим знак f' (х) в каждом из полученных промежутков (рис. 29).

Учитывая достаточные условия возрастания и убывания функции, получаем, что в тех интервалах, где производная положительна, функция f (х) возрастает, а в тех интервалах, где производная отрицательна, функция f (х) убывает. Следовательно, функция f (х) возрастает на каждом из интервалов и убывает на интервале (-1; 1).

График функции изображен на рисунке 30. При построении

графика учтено, что f (-1) = 2 и f (1) = -2.

Из графика видно, что функция возрастает не только на интервалах ) рис 29 и (1; но и на промежутках ] и внутренней точкой множества называется такая точка, которая принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

и убывает не только на интервале (-1; 1), но и на отрезке [-1; 1].

Отметим, что когда функция f (х) непрерывна в любом из концов промежутка возрастания (убывания), то его всегда можно присоединить к этому промежутку (как точки -1 и 1 в предыдущей задаче). Примем это утверждение без доказательства.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

На рисунке 30 изображен график функции. Рассмотрим окрестность точки х = -1, то есть произвольный интервал, содержащий точку -1 (например, -окрестность этой точки). Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки х = — 1, что наибольшее значение для точек из этой окрестности функция принимает в точке х = — 1. Например, на интервале (-2; 0) наибольшее значение, равное 2, функция принимает в точке х = —1. Точку х = -1 называют точкой максимума этой функции и обозначают , а значение функции в этой точке (-1) = 2 называют максимумом функции.

Аналогично точку х = 1 называют точкой минимума функции , поскольку значение функции в этой точке меньше, чем ее значение в любой точке некоторой окрестности точки 1, например, окрестности (0,5; 1,5). Обозначают точку минимума , а значение функции в этой точке f (1) = -2 называют минимумом функции. (Латинское слово maximum — максимум — означает «наибольшее», a minimum — минимум — «наименьшее».)

Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называют экстремумами функции (от латинского слова extremum — экстремум, что означает «крайний»). Приведем определения точек максимума и минимума.

Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если найдется -окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если найдется -окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

По определению значение функции f (х) в точке максимума является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции f (х) в окрестности точки чаще всего имеет вид гладкого «холма» (рис. 31, а), но может иметь и вид заостренного «пика» (рис. 31, б). В точке максимума также может быть изолированная точка графика (понятно, что в этом случае функция не будет непрерывной в точке ), в которой достигается наибольшее значение функции для некоторой окрестности точки (рис. 31, в).

Аналогично значение функции f (х) в точке минимума является наименьшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции f (х) в окрестности точки обычно имеет вид «впадины», гладкой (рис. 32, а) или заостренной (рис. 32, б). В точке минимума также может быть изолированная точка графика, в которой достигается наименьшее значение функции для некоторой окрестности точки (рис. 32, в).

Замечание. По определению точки экстремума — это такие точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения по сравнению со значениями этой функции в точках некоторой окрестности экстремальной точки.

Такой экстремум обычно называют локальным экстремумом (от латинского lokalis, что означает «местный»). Например, на рисунке 30 изображен график функции, которая имеет локальный максимум в точке и локальный минимум в точке , но, как видно из графика, на всей области определения эта функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Необходимое и достаточное условия экстремума

При исследовании функции и построении ее графика важное значение имеет нахождение точек экстремумов функции. Покажем, что точками экстремума могут быть только критические точки функции, то есть внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если является точкой экстремума функции f (х) и в этой точке существует производная, то она равна нулю:

Докажем это утверждение методом от противного. Пусть является точкой экстремума функции f (х) и в этой точке существует производная . Допустим, что 

Рассмотрим случай, когда . По определению производной при

(то есть при ) отношение стремится к положительному числу , а следовательно, и само будет положительным при всех х, достаточно близких к . Для таких х

Тогда при х> получаем, что, и, значит, точка не может быть точкой максимума.

При х получаем, что , и, следовательно, точка не может быть точкой минимума. То есть точка не может быть точкой экстремума, что противоречит условию.

Аналогично рассматривается и случай, когда

Отметим, что теорема Ферма дает только необходимое условие экстремума: из того, что, не обязательно следует, что в точке функция имеет экстремум. Например, если Но точка х = 0 не является точкой экстремума, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 33).

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции в точке с абсциссой (где — точка экстремума функции) параллельна оси абсцис (или совпадает с ней) и поэтому ее угловой коэффициент f () равен нулю (рис. 34).

Обратим внимание, что в точке с абсциссой к графику функции также можно провести касательную: поскольку , то этой касательной является ось Ох. Но графики функций, приведенные на рисунках 33 и 34, по-разному расположены относительно касательных. На рисунке 34, где — точки экстремума, можно указать окрестности этих точек, для которых соответствующие точки графика располагаются по одну сторону от касательной, а на рисунке 33 график функции при переходе аргумента через точку (в которой производная равна нулю, но которая не является точкой экстремума) переходит с одной стороны касательной на другую. В этом случае точку называют точкой перегиба* функции.

Функция может иметь экстремум и в той критической точке, в которой не существует производная данной функции. Например, как было показано, функция не имеет производной в точке х = 0, но, как видно из ее графика (рис. 35), именно в этой точке функция имеет минимум.

Отметим, что не каждая критическая точка, в которой не существует производная данной функции, будет точкой экстремума этой функции. Например, функция не имеет производной в точке х = 0: график имеет излом при х = 0 (рис. 36). Действительно, если допустить, что функция имеет производную в точке 0, то функция также должна иметь производную в точке 0. Так как , а функция | х | не имеет производной в точке 0, значит, функция: не имеет производной в точке 0, то есть мы пришли к противоречию. Следовательно, функция f (х) в точке 0 производной не имеет. Но, как видно из рисунка 36, функция возрастает на всей числовой прямой и экстремума не имеет.

Приведенные соображения и примеры показывают, что для нахождения точек экстремума функции необходимо прежде всего найти ее критические точки. Для выяснения того, является ли соответствующая критическая точка точкой экстремума, необходимо провести дополнительное исследование. Этому часто помогают достаточные условия существования экстремума в точке.

Теорема 1 (признак максимума функции). Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку ее производная меняет знак с плюса на минус (то есть в некоторой -окрестности точки при х значение, а при х > значение ), то точка х„ является точкой максимума функции

 Рассмотрим заданную -окрестность точки , то есть интервал ( По условию производная на интервале (при Следовательно, функция f () возрастает на этом интервале, а учитывая непрерывность f () в точке , функция f () возрастает и на промежутке Тогда для всех х из интервала имеем следовательно,

Аналогично по условию производная на интервале (при ). Следовательно, функция f (х) убывает на этом интервале, а учитывая непрерывность f (х) в точке, функция f (х) убывает и на промежутке Тогда для всех х из интервала имеем следовательно, Таким образом,для всех из некоторойокрестности точки а это и означает, что точка является точкой максимума функции f (х).

Теорема 2 (признак минимума функции). Если функция f (х) непрерывна в точке и при переходе через точку ее производная меняет знак с минуса на плюс (то есть в некоторой-окрестности точки при значение значение то точка является точкой минимума функции f (х).

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 1 (предлагаем провести его самостоятельно).

Теоремы 1 и 2 дают возможность сделать такой вывод: если функция f (х) непрерывна в точке и производная f' (х) меняет знак при переходе через точку то — точка экстремума функции f (х).

Если же функция f (х) непрерывна в точке и ее производная f' (х) не меняет знак при переходе через точку, то точка не может быть точкой экстремума функции.

 Действительно, если, например, f' (х) > 0 на интервале и на интервале то функция возрастает на каждом из этих интервалов. Учитывая ее непрерывность в точке(см. доказательство теоремы 1), получаем, что для всех выполняется неравенство и для всех выполняется неравенство Это означает, что на всем промежутке функция f (х) возрастает и точка не является точкой экстремума. Аналогично рассматривается и случай, когда на рассмотренных интервалах.

Замечание. Приведенное обоснование позволяет уточнить условия возрастания и убывания функции.

Если в каждой точке интервала причем уравнение имеет только конечное (или счетное*) множество корней, то функция f (х) возрастает на этом интервале.

Если в каждой точке интервала причем уравнение причем уравнение имеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция убывает на этом интервале.

Для практического исследования функции на экстремумы можно использовать уточненный вариант схемы, приведенный, а именно:

* Счётность множества означает, что мы можем установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, то есть можем указать, как нумеровать все элементы множества.

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную f' (х).
3. Найти критические точки (то есть внутренние точки области определения, в которых равна нулю или не существует).
4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума, или не является точкой экстремума. Пример применения этой схемы к исследованию функции на экстремум приведен в таблице 6 и в задаче 2, рассмотренной далее.

Примеры решения задач:

Пример №91

Функция у = f (х) определена на промежутке (-7; 8). На рисунке 37 изображен график ее производной.

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции f (х).
2. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие не является точками экстремума.

Решение:

1)  Из графика имеем, что на промежутках (-4; 2) и (6; 8), следовательно,f(х)возрастает на этих промежутках. Аналогично на промежутках (-7; -4) и (2; 6), следовательно, f (х) убывает на этих промежутках. Поскольку в точках -4, 2 и 6 существует производная то функция f (х) непрерывна в этих точках и поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: f (х) возрастает на промежутках [-4; 2] и [6; 8] и убывает на промежутках [-7; -4] и [2; 6].

2)  Производная существует на всей области определения функции f (х) и равна нулю в точках -4, 2 и 6. Это внутренние точки области определения, следовательно, критическими точками будут только точки -4, 2 и 6. Поскольку производная существует на всей области определения функции, то функция непрерывна в каждой точке области определения. В точках -4 и 6 производная меняет знак с «-» на « + », следовательно, это точки минимума. В точке 2 производная меняет знак с « + » на «-»,следовательно, это точка максимума.

Комментарий:

1. Как известно, на тех промежутках, где производная функции положительна, функция возрастает, а на тех промежутках, где производная отрицательна, — убывает. Поэтому по графику выясняем промежутки, в которых производная положительна и в которых — отрицательна. Это и будут промежутки возрастания и убывания функции.
2. Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Из графика видно, что производная существует на всей заданной области определения. Следовательно, критическими точками будут только те значения х, при которых производная равна нулю. Для определения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума: если в критической точке функция непрерывна и ее производная меняет знак с плюса на минус, то эта критическая точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то эта точка минимума.

Пример №92

Для функции найдите промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в точках экстремума.

Решение:

1. Область определения,

3. Производная существует на всей области определения функции f(x).

следовательно, то есть и критические точки.

4. Отмечаем критические точки на области определения функции f (х) и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 38).

Получаем, что функция f (х) возрастает на промежутках и и убывает на промежутках [-5; 0) и (0; 5]. В точке -5 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума; в точке 5 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Комментарий:

Исследовать функцию на монотонность и экстремум можно по схеме:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную f' (х).
3. Найти критические точки (то есть внутренние точки области определения, в которых равна нулю или не существует).
4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума, или не является точкой экстремума.

Функция непрерывна в каждой точке области определения (она дифференцируема в каждой точке области определения), и поэтому, записывая промежутки возрастания и убывания функции, критические точки можно включить в эти промежутки. Для выяснения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума.

Замечание. Результаты исследования функции на монотонность и экстремумы удобно фиксировать не только в виде схемы, изображенной на рисунке в решении задачи 2, но и в виде специальной таблицы такого вида:

Пример №93

Для заданной функции найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции:

Комментарий:

Для исследования заданных функций снова используем схему.

В задании 1 используем определение модуля и отдельно найдем производную при х -1 и при х > -1. А чтобы выяснить, существует ли производная f' (х) при попытаемся найти значения по двум формулам (1) и (2), приведенным далее в решении, и сравнить их*.

Чтобы найти точки, в которых приравняем к нулю значения производной при х -1 и при х > -1 и учтем соответствующие ограничения для х.

В задании 2 учтем, что уравнение — это тригонометрическое уравнение, имеющее бесконечное множество корней, то есть функция имеет бесконечное количество критических точек. Поэтому отметить все критические точки на области определения функции (как это предлагается в схеме исследования функции) мы не в состоянии. В таком случае можно попытаться непосредственно использовать достаточные признаки возрастания и убывания функции (то есть решить неравенства или в случае, когда функция является периодической, провести исследование поведения на одном периоде, а затем результат повторить через период. Обратим внимание, что в случае, когда определена на всем периоде и мы знаем промежутки, где выполняется неравенство и точки, где выполняется равенство для всех остальных точек периода обязательно будет выполняться неравенство

Решение:

1)  Область определения: D (f ) = R. Запишем заданную функцию так:

Производная не существует в точке х = -1, поскольку значения вычисленные по формулам (1) и (2), разные следовательно, х = -1 — критическая точка функции f (х). Значение вычисленное по формуле (2), не может равняться нулю Для формулы (1) имеем то есть х= 2 и х = -2, но, учитывая условие х> -1, получаем, что только х= 2 является критической точкой. Следовательно, функция f (х) имеет две критические точки: 2 и (-1).

Отмечаем критические точки на области определения функции f (х) и находим знак f' (х) на каждом из промежутков (рис. 39). Получаем, что функция f (х) возрастает на промежутках и убывает на промежутке [-1; 2].

В точке (-1) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, Знак / (х) это точка максимума. В точке 2 производная меняет знак с минуса на плюс, Поведение тах следовательно, это точка минимума.

* Фактически мы будем сравнивать значения так называемых односторонних производных функции в точке (-1). Эти производные определяются аналогично односторонним пределам функции.

2) Область определения: Производная

Критические точки: производная существует на всей области определения функции следовательно, критическими точками будут все значения х, для которых

4 sin х (cos х - 1) = 0. Тогда sin х = 0 или cos х = 1. Следовательно, (Значение дает также и формула поэтому все критические точки можно задать формулой

Функция возрастает в тех точках ее области определения, где

Первая из этих систем не имеет решений (cos х не может быть больше, чем 1), а вторая система имеет решения (рис. 40):

Производная является периодической функцией (относительно переменной х) с периодом (это общий период для функций sin х и cos х ). На периоде неравенство выполняется на промежутке а равенство в точках то есть в точках 0, Тогда неравенство выполняется на промежутке а учитывая период, и на всех промежутках Принимая во внимание условия возрастания и убывания функции и то, что функция непрерывна на всей числовой прямой (она дифференцируема во всех точках), получаем, что функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на каждом из промежутков

Поскольку производная является периодической функцией с периодом то через промежуток длиной знаки производной повторяются (рис. 41). В точке 0 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х = 0 — точка максимума, а учитывая, что поведениеповторяется через имеем

В точке производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, — точка минимума, а учитывая, что поведение повторяется через имеем

Общая схема исследования функции для построения ее графика

Схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.

Постройте график функции

l. Область определения: (то есть

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической*). Функция f (х) ни четная, ни нечетная, поскольку

3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).

3. График не пересекает ось Оу На оси (абсцисса точки пересечения графика с осью Ох.

4. Производная и критические точки функции.

Производная существует на всей области определения функции f (х) (следовательно, функция f (х) непрерывна в каждой точке своей области определения).

* Периодичность чаще всего устанавливают для тригонометрических функций.

5. Промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума (и значение функции в этих точках).

5. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной и характер поведения функции на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения (см. рисунок). Итак, функция возрастает на каждом из промежутков и и убывает на промежутке (0; 2]. Поскольку в критической точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », то х = 2 — точка минимума: Тогда

6. Поведение функции на концах промежутков области определения (этот этап не входит в минимальную схему исследования функции).

6. При х —> 0 справа (и при х —> 0 слева)

При х —»- (и при х —» +) значение тогда (то х

есть

7.Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, чтобы уточнить поведение графика функции.

* В этом случае говорят, что прямая х = 0 — вертикальная асимптота графика функции .

**В этом случае говорят, что прямая у = х — наклонная асимптота графика функции f(x).

8. На основании проведенного исследования построить график функции.

Объяснение и обоснование

Для построения графика функции (особенно в тех случаях, когда речь идет о построении графиков незнакомых функций) целесообразно исследовать те свойства функции, которые помогают составить определенное представление о виде ее графика. Когда такое представление уже составлено, то можно построить график функции по найденным характерным точкам.

Фактически при исследовании функции мы будем придерживаться схемы, приведенной в учебнике для 10 класса, только для исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы используем производную.

То есть для построения графика функции ее можно исследовать по схеме:

1. найти область определения функции;
2. исследовать функцию на четность (или нечетность) и периодичность;
3. найти точки пересечения графика с осями координат;
4. найти производную и критические точки функции;
5. найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значения функции в этих точках);
6. исследовать поведение функции на концах промежутков области определения;
7. если необходимо, найти координаты дополнительных точек;
8. на основании проведенного исследования построить график функции.

Отметим, что эта схема является ориентировочной и не всегда необходимо выполнять все этапы исследования. Например, далеко не всегда можно точно найти точки пересечения графика с осью Ох, даже если мы знаем, что такие точки существуют. Также часто достаточно сложно исследовать поведение функции на концах промежутков области определения. В таком случае уточнить поведение графика функции можно за счет нахождения координат точек графика функции, абсциссы которых выбирают так, чтобы они приближались к концам промежутков области определения.

Охарактеризуем особенности выполнения каждого из указанных этапов исследования функции и особенности учета полученных результатов при построении графика функции.

При построении графика функции с самого начала необходимо выяснить и записать ее область определения. Если нет специальных ограничений, то функция считается заданной при всех тех значениях аргумента, при которых существуют все выражения, входящие в запись функции. Ограничения, которые необходимо учесть в этом случае при нахождении области определения функции, приведены ниже:

Вид функции:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 

• a) a — натуральное
• б) a — целое отрицательное или нуль
• в) a —нецелое положительно число
• г) a — нецелое отрицательное число

Ограничения, которые учитываются при нахождении области определения функции*

• 1. Знаменатель дроби не равен нулю
• 2.Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение
• 3. Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение
• 4. В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное единице
• 5. Под знаком тангенса может стоять только выражение, не равное-целое)
• 6. Под знаком котангенса может стоять только выражение, неравное — целое)
• 7,8. Под знаками арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице
• 9.

*При записи этих ограничений предполагаем, что функции определены на рассматриваемом множестве.

Применение производной к исследованию функций

После нахождения области определения функции часто полезно отметить ее на оси абсцисс. Если область определения — вся числовая прямая, то никаких отметок можно не выполнять. Если эта область — промежуток числовой прямой, то через его концы полезно провести вертикальные прямые, между которыми будет находиться график функции. Если отдельные точки числовой прямой не входят в область определения функции, то целесообразно отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые (которые не будет пересекать график функции).

Если выяснится, что заданная функция является четной (или нечетной ), то можно исследовать свойства и построить ее график только при а затем отобразить его симметрично относительно оси Оу (для нечетной функции — симметрично относительно начала координат). Если же функция периодическая, то достаточно построить ее график на одном отрезке длиной Т, а затем повторить его на каждом из промежутков длиной Т (то есть параллельно перенести график вдоль оси Ох на , где — целое число).

Напомним, что для обоснования четности функции достаточно проверить, что для всех х из ее области определения для нечетности — достаточно проверить выполнение равенства f (-х) = -f (х), а для периодичности — равенства

Обратим внимание, что четность, нечетность и периодичность функции исследуют для того, чтобы облегчить построение графика функции. Если же функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической, то знание этих характеристик мало помогает в построении графика функции.

Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, учитываем, что на оси Оу значение х = 0. Тогда у = f (0) (если это значение существует). На оси Ох значение у = 0, и поэтому, чтобы найти соответствующие значения х, приравниваем заданную функцию к нулю и находим корни полученного уравнение (если это уравнения удается решить).

Для дальнейшего исследования функции полезно найти производную и критические точки функции. Известно, что критические точки функции — это внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Напомним, что на всех промежутках, где существует производная данной функции, эта функция является непрерывной и ее графиком на каждом из промежутков будет неразрывная линия.

Используя производную и критические точки функции, находим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции (и значения функции в этих точках). Напомним, что для этого целесообразно отметить критические точки функции на ее области определения и найти знаки производной в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения. Заметим, что вывод о возрастании или убывании функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной).

Как отмечалось, результаты этого этапа исследования можно оформлять в виде специальной таблицы, содержащей следующие строки:

• значение
• знак и значение
• поведение и значение

После нахождения значения функции в каждой критической точке строим соответствующие точки на координатной плоскости, учитывая поведение графика функции в окрестности точки .

Критическая точка :

1. -точка максимума
2. -точка минимума
3. -критическая точка,в которой производная равна нулю, но которая не является точкой экстремума (это точка перегиба графика функции)

Поведение f' (х):

1. меняет знак в точке с плюса на минус не существует,меняет знак в точке с плюса на минус
2. меняет знак в точке с минуса на плюс не существует,меняет знак в точке с минуса на плюс
3. слева и справа от точки положительнаслева и справа от точки отрицательна

Ориентировочный вид графика функции f (х) в окрестности точки :

1. 
2. 
3. 

При изображении графика функции в окрестности точки учитывается геометрический смысл производной, а именно: если то в точке с абсциссой к графику функции у = f (х) можно провести касательную, параллельную оси Ох. Если же значение f' () не существует, то в точке с абсциссой график будет иметь излом (или касательную к графику функции в этой точке нельзя провести, или касательная перпендикулярна к оси Ох).

6) Для того чтобы составить более полное представление о виде графика функции, целесообразно исследовать поведение функции на концах области определения. При этом возможны несколько случаев.

а) Около точки х = а, которая ограничивает промежуток области определения, значение функции стремится к бесконечности. Например, у функции область определения и если значение х стремится к нулю, то значение у стремится к бесконечности (рис. 45).

Как отмечалось на этапе 1, через точку х = а уже проведена вертикальная прямая. Около точки х = а график функции будет стремиться вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Эту прямую называют вертикальной асимптотой* графика функции. Чтобы выяснить, вверх или вниз стремится график функции, достаточно определить знаки функции слева и справа от точки а. Характерные случаи изображены на рисунках 46, 47.

б) Если предельная точка х = а входит в область определения функции, то необходимо определить значение функции в точке а и построить полученную точку. Типичный пример — точка х = 0 для функции (рис. 48).

в) В область определения функции входит бесконечный промежуток (или вся числовая прямая, или промежутки В этом случае полезно представить себе поведение графика функции при или при Например, для функции имеем: при значение оставаясь положительным (это можно записать так: А при значение оставаясь отрицательным (это можно записать так: В этом случае говорят, что прямая у = 0 — горизонтальная асимптота графика функции (см. рис. 45).

* Прямая, к которой неограниченно приближается кривая при удалении ее в бесконечность, называется асимптотой этой кривой.

Иногда при можно выделить наклонную прямую, к которой неограниченно приближается график функции, — так называемую наклонную асимптоту, позволяющую также лучше представить поведение графика функции (см. пример в таблице 7).

7) Если необходимо уточнить поведение графика функции (например, в том случае, когда на каком-нибудь бесконечном промежутке области определения функция возрастает от ), то полезно найти координаты дополнительных точек графика, взяв произвольные значения аргумента из необходимого промежутка.

Примеры решения задач:

Пример №94

Постройте график функции

Решение:

 1. Область определения:

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку

3. Точка пересечения графика с осью Оу:

4. Производная и критические точки. Производная существует на всей области определения функции f (х). Тогда следовательно, то есть х= 1 и х= -1 — критические точки.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции f (х) и находим знак f' (х) на каждом из полученных промежутков (рис. 49).

Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

6. Найдем значения функции в нескольких точках:

7. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 50).

Комментарий:

Используем общую схему исследования функции. При нахождении области определения учитываем, что никаких ограничений, зафиксированных в таблице 8, функция не имеет, следовательно, областью определения является множество всех действительных чисел (можно также использовать известное утверждение, что областью определения многочлена являются все действительные числа).

Чтобы найти точку пересечения графика с осью Ох, необходимо приравнять функцию к нулю и решить уравнение Однако мы не можем найти корни этого уравнения, поэтому в решение включено только нахождение точки пересечения графика с осью Оу.

После нахождения производной данной функции, ее критических точек и знаков производной в каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции, нахождение промежутков возрастания и убывания и экстремумов функции удобно выполнять, заполняя специальную таблицу.

Обратим внимание, что функция непрерывна на всей числовой прямой, поскольку она дифференцируема в каждой точке области определения, следовательно, ее график — неразрывная линия.

Чтобы уточнить вид графика, целесообразно найти координаты нескольких дополнительных контрольных точек. После построения графика функции можно сделать вывод, что график имеет единственную точку пересечения с осью Ох. Эта точка находится между точками х = 2 и х = 3, поскольку функция f (х) непрерывна, на промежутке возрастает и в точке х = 2 принимает отрицательное значение, а в точке х = 3 — положительное. Других точек пересечения с осью Ох быть не может, потому что на промежутке функция f(x) возрастает от , а на промежутке [—1; 1] — убывает от -1 до -5, то есть значения функции на этих промежутках отрицательны.

Замечание:

Мы построили график функции, не исследуя поведения функции на концах промежутков ее области определения. Покажем, как это можно было сделать. Область определения данной функции — промежуток Чтобы исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, необходимо выяснить, к какому значению будет стремиться функция при Для этого в многочлене достаточно вынести за скобки наивысшую степень переменной (это всегда можно сделать, так как когда значение х велико по модулю). Тогда при имеем Поскольку при значения Следовательно, f (х) будет стремиться к тому же значению, что и Но при значение тогда и ( а при значение тогда и Учитывая непрерывность функции f (х), получаем, что она принимает все значения из промежутка Отметим, что приведенные соображения можно повторить для любой функции — многочлена нечетной степени. Тогда, строя графики таких функций, полезно помнить следующее:

• многочлен нечетной степени принимает все значения из промежутка и при больших по модулю значениях аргумента значения многочлена мало отличаются от значения его старшего члена.

Пример №95

1) Постройте график функции

2*) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра а?

Комментарий:

Для выполнения задания 1 исследуем функцию f (х) по общей схеме и по результатам исследования построим ее график. Для нахождения точки пересечения графика с осью Ох приравниваем функцию к нулю и решаем полученное биквадратное уравнение. При построении графика также учитываем, что при оо значение

Как видим, и для многочлена четной степени при больших по модулю значениях аргумента значения многочлена мало отличаются от значения его старшего члена.

При выполнении задания 2 можно пользоваться таким ориентиром: если в задании с параметром идет речь о количестве решений уравнения (неравенства или системы ), то для анализа данной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Особенно простым является соответствующее исследование в том случае, когда заданное уравнение можно представить в виде f (х) = а, поскольку график функции у = а — это прямая, параллельная оси Ох (которая пересекает ось в точке а), а график функции у = f (х) легко построить, исследовав функцию f (х) с помощью производной. (Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение f (х) = а, необходимо следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым.) Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение f (х) = а, достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции у = f (х) с прямой у = а при разных значениях параметра а. (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

Решение:

 1) Исследуем функцию .

1. Область определения: .

2. Функция четная, поскольку для всех значений х из ее области определения

). Следовательно, график функции симметричен относительно оси .

3. Точка пересечения графика с осью .

Точки пересечения графика с осью . Замена дает:. Тогда = -1 (корней нет) или = 9. Отсюда — абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.

4. Производная и критические точки.. Производная существует на всей области определения функции f(x) (следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой).

следовательно, =-2 — критические точки.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции f (х) и находим знак (х) на каждом из полученных промежутков (рис. 51). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

6. Используя результаты исследования, строим график* функции

*Масштаб по осям разный.

2) Отметим, что заданное уравнение равносильно уравнению . Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции (см. задание 1) и график функции у = а (рис. 53).

Как видим, при а -25 уравнение не имеет корней (нет точек пересечения графиков); при а = -25 и при а > -9 уравнение имеет два корня (графики имеют только две общие точки); при а = — 9 уравнение имеет три корня (графики имеют три общие точки) и при -25 а -9 уравнение имеет четыре корня (графики имеют четыре общие точки).

Пример №96

1) Постройте график функции

2*) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет единственный корень.

Комментарий:

Для выполнения задания 1 исследуем функцию по общей схеме и по результатам исследования строим ее график. При исследовании функции на четность и нечетность можно воспользоваться тем, что у четной или нечетной функции в область определения входят точки . Следовательно, для таких функций область определения должна быть симметричной относительно точки 0. Если же это условие не выполняется, то функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Для лучшего представления о виде графика целесообразно уточнить поведение функции на концах области определения справа (то есть при ) значение . Тогда (рис. 55). Но при мы не можем выполнить такую оценку получаем неопределенность вида . В таком случае поведение функции при можно уточнить с помощью дополнительных контрольных точек.

При выполнении задания 2 целесообразно использовать графическую иллюстрацию решения.

Это можно сделать двумя способами:

I. С помощью равносильных преобразований привести заданное уравнение к виду , используя график, построенный в задании 1, выяснить, сколько корней имеет уравнение f (х) = а при разных значениях параметра а. И. Применить графическое решение непосредственно к уравнению In х = ах (графики функций нам известны), а для исследования единственности корня использовать геометрический смысл производной.

Решение:

1) Исследуем функцию

1. Область определения:

2. Функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.

3. Точки пересечения графика с осями координат. График не пересекает ось .

На оси Ох у = 0, то есть. Тогда при х > 0 получаем: In х = 0; х = 1 —абсцисса точки пересечения графика с осью Ох.

4. Производная и критические точки.

Производная существует на всей области определения функции f (х) (то есть при х > 0), следовательно, функция непрерывна на всей области определения.

. Отсюда при х > 0 получаем In х = 1, следовательно, — критическая точка.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 54). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

6.Найдем координаты еще нескольких точек графика функции:

7. Используя результаты исследования, строим график функции

(рис. 55).

2) способ решения задания 2

Область допустимых значений данного уравнения задается неравенством х > 0. Но тогда и заданное уравнение на его ОДЗ равносильно уравнению

Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции(см. задание 1) и график функции у = а (рис. 56).

Как видим, уравнение имеет единственный корень только при

уравнение имеет два корня, а при уравнение не имеет корней).

Следовательно, наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет единственный корень, — это

II способ решения задания 2

Решение:

 Рассмотрим графическую иллюстрацию (рис. 57) решения заданного уравнения

Функция возрастающая и принимает все значения от Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

При а 0 прямая у = ах пересекает график функции у = In х только в одной точке (прямая 1 на рисунке 57). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень (действительно, функция у = In х возрастающая, а функция у = ах убывающая, поэтому уравнение (1) может иметь только один корень).

При а = 0 уравнение (1) имеет вид In х = 0 и также имеет единственный корень

При а > 0 прямая у = ах может касаться графика функции у = In х (прямая 2 на рисунке 57). Тогда уравнение(1) будет иметь единственный корень. Также прямая у = ах может проходить в первой четверти ниже касательной (прямая 3 на рисунке 57). Тогда уравнение (1) будет иметь два корня. Если же прямая у = ах будет проходить в первой четверти выше касательной (прямая 4 на рисунке 57), то уравнение (1) не будет иметь корней.

Выясним, когда прямая у = ах будет касательной к графику функции у = f (х) = In х. Пусть точка касания М имеет абсциссу Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что (значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной через точку М). Поскольку Тогда из равенства имеем Отсюда Тогда С другой стороны, поскольку точка касания М лежит и на касательной у = ах, то ее координаты удовлетворяют и уравнению касательной. Получаемто есть Тогда следовательно,

Таким образом, заданное уравнение будет иметь единственный корень только при Тогда наибольшее значение параметра а, при котором уравнение In х = ах имеет единственный корень, — это

Пример №97

Постройте график функции

Решение:

 1. Область определения:

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку

3. Точка пересечения графика с осью Оу: х = 0, у = у (0) = 1. Точка пересечения графика с осью Ох: тогда

4. Производная и критические точки.

Производная не существует во внутренней точке х = 1 области определения функции у (х), следовательно, х = 1 — критическая точка. Других критических точек нет, поскольку

5. Отмечаем критическую точку на области определения функции у (х) и находим знак у' (х) в каждом из полученных промежутков (рис. 58).

6. Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

7. Находим значения функции в нескольких точках:

8. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 59).

Комментарий:

Используем общую схему исследования функции. При нахождении области определения учитываем, что никаких ограничений, зафиксированных в таблице 8, функция не имеет, следовательно, областью определения будут все действительные числа.

Для нахождения производной данной функции применим формулу и формулу нахождения производной сложной функции.

(Отметим, что поскольку при х 1 выражение не определено. В этом случае можно записать, чтоили учесть, что и записать а затем найти производную степени соответствующей сложной функции).

Обратим внимание, что функция непрерывна на всей числовой прямой (область определения — все действительные числа и заданная функция является композицией, то есть результатом последовательного применения двух непрерывных функций: следовательно, ее график — неразрывная линия.

После исследования поведения производной функции при переходе через критическую точку, пользуясь результатами, приведенными в таблице 9, делаем вывод, что в окрестности точки х = 1 график имеет следующий вид: . Поскольку производная не существует в точке х = 1, то график имеет излом в окрестности этой точки, а в самой точке х = 1 вертикальную касательную.

Чтобы уточнить вид графика, целесообразно найти координаты нескольких дополнительных контрольных точек. Для устного вычисления ординат этих точек удобно выбирать такие значения х, при которых значения х - 1 будут кубом целого или рационального чисел.

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Свойства:

Если функция / (х) непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Примеры:

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

Схема:

1. Убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции f (х).
2. Найти производную
3. Найти критические точки: или не существует.
4. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(х) =

на отрезке [1; 3].

1. Область определения заданной функции — все действительные числа Следовательно, заданный отрезок входит в область определения функции f (х).
2. 
3. Производная существует на всей области определения функции f (х) (следовательно, функция f (х) непрерывна на заданном отрезке).
4. Заданному отрезку [1; 3] принадлежит только критическая точка х = 2.

5. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

6. Сравнить полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

Пример:

5.

6.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на интервале:

Свойство:

1. Если непрерывная функция f (х) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке .
2. Если непрерывная функция f (х) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка максимума, то на заданном интервале функция принимает свое наибольшее значение в точке.

Иллюстрация:

1.

2.

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Схема:

1. Одну из искомых величин (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на х).

Пример:

Имеется кусок проволоки длиной 100 м. Необходимо огородить им прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите размеры участка.

Пусть участок имеет форму прямоугольника ABCD (см. рисунок) со стороной Учитывая, что проволока будет натянута по периметру прямоугольника, получаем: 2АВ + 2ВС = 100, то есть 2х + 2ВС =100. Отсюда ВС = 50 - х (м). Поскольку длина каждой из сторон прямоугольника выражается положительным числом, то 0 х 50.

2. Величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от

3. Исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значение (чаще всего с помощью производной).

4. Убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.

Пример:

Площадь прямоугольника:

Исследуем функцию S (х) с помощью производной. Производная S' (х) = 50 — 2х существует при всех действительных значениях х (следовательно, S (х) — непрерывная функция на заданном промежутке). S'(x)= 0, 50 - 2х = 0, х = 25 — критическая точка.

В точке х = 25 S' (х) = 50 - 2 х меняет знак с плюса на минус (см. рисунок), следовательно, х = 25 — точка максимума. Учитывая, что непрерывная функция S (х) имеет на заданном интервале(0;50)только одну точку экстремума х = 25 и это точка максимума, делаем вывод, что на заданном интервале функция принимает свое наибольшее значение в точке х = 25*.

Следовательно, площадь огороженного участка будет наибольшей, если стороны прямоугольника равны: АВ = х = 25 (м), ВС = 50 - х = 25 (м), то есть если участок будет иметь форму квадрата со стороной 25 м.

Объяснение и обоснование:

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Человеку в жизни часто приходится искать лучшее, или, как говорят, оптимальное решение поставленной задачи. Часть таких задач удается решить

*В рассматриваемой задаче можно было исследовать функцию S (х) и без применения производной. Функция является квадратичной функцией. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда наибольшее значение эта функция принимает в вершине параболы, то есть при Это значение находится в заданном интервале (0; 50), следовательно, на этом интервале функция также принимает наибольшее значение при х = 25.

С помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. В курсах математического анализа доказывается теорема Вейерштрасс :

• непрерывная на отрезке функция f (х) имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка ,в которых f (х) принимает наибольшее и наименьшее на значения. Рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке функция f (х) имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. Тогда имеет место свойство:
• если функция f (х) непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена в пункте 1 таблицы 10.

 1) Сначала рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке функция f (х) не имеет на этом отрезке критических точек. Тогда на отрезке производная f' (х) сохраняет постоянный знак, следовательно, функция f (х) на отрезке возрастает (рис. 60, а) или убывает (рис. 60, б). Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f (х) на отрезке — это значения на концах отрезка в точках

2) Пусть теперь функция f (х) имеет на отрезке конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Тогда, согласно изложенному в пункте 1, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах таких отрезков, то есть в критических точках функции, или в точках

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на этом отрезке конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Обратим внимание, что для использования этого ориентира необходимо убедиться, что заданный отрезок входит в область определения данной функции и что функция непрерывна на этом отрезке (последнее следует, например, из того, что функция дифференцируема на заданном отрезке). Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную и выяснить, где производная равна нулю или не существует. Уточненная схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведена в таблице 10. Там же приведен и пример использования этой схемы. Другие примеры нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведены далее в примерах.

Утверждение о том, что наибольшее значение функции f (х) на отрезке

достигается в точке можно обозначать так: аналогичное утверждение о том, что наименьшее значение функции f (х) на отрезке достигается в точке можно обозначать так:

При решении некоторых задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции не на отрезке, а на интервале. Чаще всего в таких задачах функция имеет на заданном интервале только одну критическую точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 61), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 62).

 Действительно, если, например, непрерывная функция f (х) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то в этой точке производная f' (х) меняет знак с минуса на плюс. То есть если Поскольку функция f (х) непрерывна в точке то она убывает при и тогда при имеем Также если Поскольку функция f (х) непрерывна в точке то она возрастает при и тогда при имеем Это и означает, что значение — наименьшее значение функции на интервале

Аналогично обосновывается и случай, когда — точка максимума (проведите обоснование самостоятельно).

Рассмотренные способы нахождения наибольших и наименьших значений функции используются для решения разнообразных прикладных задач.

Решение практических задач математическими методами, как правило, содержит три основных этапа:

1. формализация, то есть создание математической модели задачи (перевод условия задачи на язык математики);
2. решение составленной математической задачи;
3. интерпретация найденного решения (анализ полученного результата, то есть перевод его с языка математики в термины исходной задачи)*.

Для задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений реализацию этих этапов можно проводить по схеме:

1. одну из величин, которую необходимо найти (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на х);
2. ту величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию х;
3. исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значения-,
4. убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.

При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции целесообразно использовать следующее утверждение:

• если значения функции f (х) неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция — натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Действительно, при функция — натуральное число, является возрастающей функцией только при Тогда сложная функция (то есть функция где будет возрастать там, где возрастает функция f (х), и убывать там, где убывает функция f (х), а следовательно, и принимать наибольшее (или наименьшее) значение в той же точке, что и функция f (х).

Примеры решения задач:

Пример №98

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

следовательно, отрезок входит в область определения функции f (х).

2)

3) существует на всей области определения функции f (х) (следовательно, функция f (х) является непрерывной на заданном отрезке);

критические точки.

4) В заданный отрезок попадают только критические точки:

Комментарий:

Используем схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции

1. убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции-,
2. найти производную-,
3. найти

* С этим общим методом решения практических задач методами математики (его называют методом математического моделирования) вы уже фактически знакомились. По описанной схеме вы решали текстовые задачи в курсе алгебры. ** Конечно, при а при

Критические точки или не существует); 4) выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку, 5) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка-, 6) сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Чтобы убедиться в непрерывности данной функции, достаточно после нахождения ее производной показать, что производная существует в каждой точке области определения функции (или отметить, что заданная функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций sin х и cos 2х).

Выяснить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку, можно на соответствующем рисунке, отмечая критические точки на числовой прямой (рис. 63):

Пример №99

Из круглого бревна вырезают брус прямоугольного сечения наибольшей площади. Найдите размеры сечения бруса, если радиус сечения бревна равен 25 см.

Решение:

 1) Пусть из круга вырезают прямоугольник ABCD (рис. 64) со стороной АВ = х (см). Учитывая, что АС — диаметр круга, имеем АС = 50 (см). Поскольку х — длина отрезка, то х > 0. Кроме того, АВ АС (катет прямоугольного треугольника ABC меньше его гипотенузы), следовательно, 0 х 50.

Комментарий:

Используем общую схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения:

1. одну из величин, которую необходимо найти (или с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи) обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на х);
2. ту величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от х;
3. исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значение;
4. убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.

2) Из прямоугольного

Тогда площадь сечения прямоугольника ABCD равна:

Поскольку при 0 х 50 значение S (х) > 0, то рассмотрим функцию принимающую наибольшее значение на промежутке 0 х 50 в той же точке, что и S (х).

3) Производная существует во всех точках заданного промежутка (следовательно, функция f (х) непрерывна на заданном промежутке).

В промежуток (0; 50) попадает только одна критическая точка которая является точкой максимума: в этой точке производная меняет знак с плюса на минус (рис. 65).

Поскольку функция f (х) непрерывна на заданном интервале и имеет там только одну точку экстремума и это точка максимума, то на этом интервале функция принимает наибольшее значение в точке

Следовательно, наибольшая площадь сечения бруса будет в том случае, когда искомый прямоугольник будет квадратом со стороной

Комментарий:

Полученную функцию на промежутке 0 х 50 можно исследовать непосредственно. Но лучшее учесть, что на этом промежутке S (х) > 0, и исследовать функцию запись которой не содержит знака корня и которая принимает наибольшее значение в той же точке, что и S (х).

Вывод о том, что в найденной точке функция f(x) принимает наибольшее значение, можно обосновать одним из трех способов: 1) использовать свойство непрерывной на интервале функции, имеющей на этом интервале только одну точку экстремума (см. например, п. 3 табл. 10); 2) опираясь на поведение непрерывной функции f (х), исследованной с помощью производной (см. рис. 65), обосновать, что на промежутках следовательно, в точке функция f (х) принимает наибольшее значение; 3) для нахождения наибольшего значения функции f (х) на интервале (0; 50) можно использовать то, что функция f (х) непрерывна на всей числовой прямой, поэтому можно найти ее наибольшее значение на отрезке [0; 50], а затем сделать вывод для данной задачи:

Следовательно, наибольшее значение на отрезке [0; 50] функция f (х) принимает в точке (которая лежит внутри этого отрезка). Тогда и на интервале (0; 50) эта функция принимает наибольшее значение в точке.

Пример №100

Точка А лежит на графике функции у = f (х), точка В — на оси Ох, и ее абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где точка О — начало координат, а

Комментарий:

Для функции f (х) непросто найти область определения, но можно убедиться, что заданный промежуток полностью входит в область определения этой функции, оценив значения подкоренного выражения на заданном промежутке. Для этого учитываем, что на единичной окружности заданный промежуток находится во второй и третьей четвертях (рис. 66), где cos х 0 и 7 + 3 sin х > 0 при всех значениях х.

Также следует учесть, что по определению графика функции точка А имеет координаты Чтобы утверждать, что высота треугольника ОАВ равна ординате точки А (рис. 67), необходимо обосновать, что на заданном промежутке график функции у = f (х) лежит в первой четверти.

После записи площади треугольника ОАВ как функции S (х) для нахождения ее наибольшего значения обращаем внимание на то, что достаточно сложно найти Поэтому удобно выполнить исследование этой функции с помощью производной и обосновать, что в точке экстремума из заданного промежутка функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке (а не пользоваться схемой нахождения наибольшего значения непрерывной функции на отрезке).

Решение:

на заданном промежутке. При всех значениях х имеем Тогда

значит, 7 + 3 sin х > 0. Таким образом, на заданном промежутке

7 + 3 sin х - (Зх + 1) cos х > 0, следовательно, заданный промежуток полностью входит в область определения функции f (х).

Отметим также, что в этом случае значения функции f (х) будут положительны, то есть на заданном промежутке график функции лежит в первой четверти.

Поскольку заданная точка А лежит на графике функции у = f (х), то в случае, когда абсцисса точки А равна х, ордината точки А равна f (х) (см. рис. 67). По условию Точка А лежит в первой четверти, следовательно, а значит, и Тогда а высота треугольника ОАВ равна ординате точки Поэтому площадь треугольника ОАВ равна:

Следовательно, нам необходимо найти наибольшее значение функции

Тогда

Производная S' (х) существует во всех точках заданного отрезка. Следовательно, функция непрерывна на этом отрезке. Найдем, где S' (х) = 0:

Из найденных точек в заданный отрезок входит только критическая точка

Обозначим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (рис. 68).

Учитывая непрерывность функции S (х) на заданном промежутке, получаем, что функция возрастает на промежутке значение и убывает на промежутке значение Следовательно, на отрезке функция принимает наибольшее значение при Тогда(квадратных единиц).

Ответ. Наибольшее значение искомой площади треугольника равно

Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательности

1. Определение предела функции в точке:

Число В называется пределом функции в точке а (при стремящемся к а), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

2. Основные теоремы о пределах функции

Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов,если пределы слагаемых существуют.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Предел частного двух функций равенвен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

3. Понятие бесконечно малой функции при х а:

Функция , которая определена в некоторой окрестности точки а, называется бесконечно малой функцией при , стремящемся к а, если.

4. Свойства бесконечно малых функций:

• 1. Если функции являются бесконечно малыми при , то их сумма , произведение а (где с = const) также являются бесконечно малыми функциями при .
• 2. Если функция бесконечно малая при и для всех х, удовлетворяющих условию (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство то функция также бесконечно малая при .

5. Связь определения предела функции в точке с бесконечно малыми функциями

где — бесконечно малая функция при

Объяснение и обоснование:

Определение предела функции в точке

Сформулируем определение предела функции в точке, используя понятие -окрестности точки. Обычно -окрестностью точки а называют промежуток , то есть все значения х, удовлетворяющие неравенству

Пусть задана функция значения которой найдены при некоторых х из так называемой -окрестности точки х = 2 (то есть из интервала

Из приведенной таблицы видно, что чем ближе значение х к 2, тем ближе к числу 7 соответствующее значение f(x). Причем, выбирая все меньшую 8-окрестность точки 2, можно неограниченно приближать значение f (х) к числу 7 (то есть можно выбрать такую -окрестность точки 2, чтобы расстояние от точек f (х) до точки 7 на числовой прямой (то есть | f (х) - 7|) было меньше любого положительного числа ). Как уже отмечалось, в этом случае говорят, что число 7 является пределом функции f (х) в точке х = 2 (или при х, стремящемся к 2), и записывают:

Определение:

Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, возможно, самой точки а. Число В называется пределом функции f (х) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любого числа найдется такое число , что для всех из -окрестности точки а (то есть при и выполняется неравенство

Проиллюстрируем применение определения к обоснованию того, что предел функции f (х) при х, стремящемся к а, равен В.

В простейших случаях такое обоснование проводится по схеме:

1. для любого положительного числа расматривают неравенство
2. при всех значениях из некоторой окрестности точки а из этого неравенства получают неравенство
3. объясняют (опираясь на равносильность выполненных преобразований неравенства или на свойства неравенств), что при полученном значении (которое записывают через ) из неравенства (при ) следует неравенство
4. используя определение предела функции в точке а, делают вывод,что

Пример №101

Используя определение предела, проверьте, что

Решение:

 Пусть = 2х + 3 и — некоторое положительное число ( > 0). Рассмотрим неравенство

и найдем такое число , чтобы при выполнялось неравенство (1).

Учитывая, что неравенство равносильно неравенству , которое,

в свою очередь, равносильно неравенству Поэтому, если выбрать

, то при будет выполняться неравенство

а это и значит, что

Замечание. Как видим, выбор зависит от заданного значения . Чтобы подчеркнуть этот факт, иногда записывают

Напомним, что точка а, в которой рассматривается предел, может принадлежать области определения функции /(х) (как в рассмотренной задаче 1), а может и не принадлежать ей.

Пример №102

Докажите, что

Решение:

 Пусть Тогда на области определения

функции (то есть при) имеем

Если выбрать, то получим, что, как только

. Поэтому согласно определению предела

Пример №103

Докажите, что предел постоянной функции равен самой постоянной.

Решение:

 Пусть для всех х из некоторой окрестности точки а. Тогда для любого при всех х из выбранной окрестности точки а. Поэтому

Пример №104

Докажите, что

Решение:

 Пусть и выбрано некоторое положительное число . Если взять , то получим, что, как только. Поэтому по определению предела

Пример №105

Докажите, что

Решение:

 Пусть f (х) = и выбрано некоторое положительное число Если взять , получим, что, как только | х - 0 | = Поэтому по определению предела

Основные теоремы о пределах функции. Понятие бесконечно малой функции при x→a

С помощью определения предела функции можно доказать также теорему о пределе суммы двух функций.

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если пределы слагаемых существуют:

 Зададим . Если , то найдется такое число , что при (кроме, возможно, х = а) выполняется неравенство

Аналогично, если , то найдется такое число , что при (кроме, возможно, х = а) выполняется неравенство

Если выбрать как число наименьшее из чисел (это можно обозначить так: , то мы выберем общую часть двух окрестностей точки а, и при (кроме, возможно, х = а) будут выполняться оба неравенства (1) и (2). Тогда

Из этого следует, что то есть

Для доказательства свойств пределов произведения и частного функций удобно ввести понятие бесконечно малой функции.

Функция , которая определена в некоторой окрестности точки а, называется бесконечно малой функцией при х, стремящемся к а, если

Учитывая определение предела функции в точке, это определение можно сформулировать так.

Функция f (х), которая определена в некоторой окрестности точки а, называется бесконечно малой функцией при х, стремящемся к а , если для любого найдется такое число , что для всех х, удовлетворяющих условию (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство

Например,

• 1) (см. задачу 4), следовательно, f (х) = х — бесконечно малая функция
• 2) (см. задачу 5), следовательно, — бесконечно малая функция при .

Замечание. Если, то это эквивалентно тому, чтобесконечно малая функция при

 Действительно, если рассмотреть функцию

.

Это означает, чтофункция a (x) является бесконечно малой при. Но тогда равенство (3) эквивалентно равенству, где — бесконечно малая функция при .

Свойства бесконечно малых функций

1. Если функции бесконечно малые при, то их сумма и произведения (где с = const — постоянная) также являются бесконечно малыми функциями при
2. Если функция бесконечно малая при и для всех х, удовлетворяющих условию (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство , то функция а(х) также бесконечно малая при . Докажем эти свойства.

1. По условию функции — бесконечно малые при . Это означает, что. Тогда, используя формулу предела суммы, имеем

Из этого следует, что сумма является бесконечно малой функцией.

С другой стороны, если функция — бесконечно малая при, то это означает, что для любого можно указать такое , что для всех х, удовлетворяющих условию, (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство

Аналогично если функция — бесконечно малая при , то это означает, что, например, для можно указать такое , что для всех х, удовлетворяющих условию (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенств

Если выбирать как число наименьшее из чисел то мы выберем общую часть двух окрестностей точки а, и при(кроме, возможно, х = а) будут выполняться оба неравенства (4) и (5). Тогда Из этого следует, чтоявляется бесконечно малой функцией при . Для обоснования того, что функция (где с = const) является бесконечно малой, достаточно заметить, что при с = 0 это утверждение выполняется, а при для любого можно указать такое, что для всех х, удовлетворяющих условию (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенствоТогда этого следует, что функция (где с = const) является бесконечно малой при . 2. По условию функция — бесконечно малая при , тогда для любого можно указать такое , что для всех х, удовлетворяющих условию, (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство

По условию при всех х, удовлетворяющих условию (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство

Тогда, если выбирать как число наименьшее из чисел то мы выберем общую часть двух окрестностей точки а, и при (кроме, возможно, х = а) будут выполняться оба неравенства (6) и (7). Тогда . Из этого следует, что функция а (х) также является бесконечно малой при.

Докажем теорему о пределе произведения,

 Если , то это эквивалентно тому, что , где — бесконечно малая функция при

Аналогично если то это эквивалентно тому, что

— бесконечно малая функция при .Тогда Учитывая свойства бесконечно малых функций, получаем, что функция бесконечно малая. Следовательно, — бесконечно малая функция. Из этого

следует, что, то есть

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Отметим, что, используя метод математической индукции, правила вычисления пределов суммы и произведения можно обобщить на случай любого количества слагаемых или множителей.

Используя правило вычисления предела произведения, получаем:

. Следовательно, постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Для доказательства теоремы о пределе частного сначала рассмотрим случай, когда f (х) = 1, то есть докажем утверждение:

По условию . Это эквивалентно тому, что , где — бесконечно малая функция при . Тогда для можно найти такое > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию | х - а | (кроме, возможно, х = а), выполняется неравенство

Используя неравенство   и неравенство (8), получаем: Следовательно, для выбранных значений х

Рассмотрим для выбранных значений х выражениеи учтем неравенство(9):

Поскольку функция бесконечно малая (при , то функция также бесконечно малая Тогда по свойству 2 бесконечно малых функций получаем, что функция является бесконечно малой при , из этого следует, что

Отсюда, если то, используя формулу предела произведения и полученную формулу, имеем: Следовательно,

Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Пример №106

Найдите

Решение:

 Используя теоремы о пределах суммы, разности и произведения, получаем:

Ответ: 4.

Пример №107

Найдите

Решение:

 Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя.

Разложим числитель на множители: . Поскольку при нахождении предела в точке 3 рассматриваются только значения , то дробь можно сократить на, и поэтому

Ответ: 1.

Теорема о единственности предела. Если функция f (х) в точке а имеет предел, то этот предел единственный.

1 ) Доказательство.

Проведем доказательство методом от противного. Пусть в точке х = а функция f (х) имеет два разных предела А и В. По определению предела для любого существуют такие, что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

а для всех х, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство

Односторонние пределы

В приведенном в пункте 7.1 определении предела функции в точке аргумент х принимает все значения из -окрестности точки а (кроме, возможно, х = а) как слева, так и справа от точки а.

Если при нахождении предела рассматривать значения х только слева от точки а, то такой предел называется левым, или левосторонним, пределом и обозначается или а если рассматривать значения х только справа от точки а, то такой предел называется правым, или правосторонним, пределом и обозначается или

Левосторонние и правосторонние пределы называются односторонними пределами. Для случая, когда расматривают односторонние пределы в точке х = 0 (то есть при ), запись упрощают и записывают для левостороннего предела или f (-0), а для правостороннего пределаили

Сформулируем теперь определение односторонних пределов.

Определение. Число называется правосторонним пределом функции в точке а, если для любого числа найдется такое число , что для всех х из области определения функции, удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство

Аналогично определяется число—левосторонний

предел функции f (х) в точке а. Здесь неравенство

должно выполняться для всех х из левой части -окрестности точки а, то есть при а - х а.

Отметим связь между односторонними пределами и пределом функции в некоторой точке а.

 Если число В является пределом функции f (х) при , то неравенство

справедливо для всех значений х из -окрестности точки . Тогда это неравенство справедливо для всех значений х из левой половины указанной -окрестности и для всех х из ее правой половины, то есть существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке а, и эти пределы равны В. Поэтому, если Имеет место и обратное утверждение: если выполняется равенство

Действительно, если то неравенство (1), определяющее существование правостороннего предела функции, выполняется и слева от точки а (согласно неравенству (2)), но тогда неравенство (1) фактически обращается в неравенство (3), и поэтому

В связи с этим можно сформулировать такой критерий.

Критерий существования предела. Для того чтобы в точке х = а существовал предел В функции f (х), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовал левосторонний предел функции f (х), то есть, и правосторонний предел функции f (х), то есть , и чтобы они равнялись друг другу: , при этом

Пример №108

Выясните существование предела функции f (х) = | х | в точке 0.

Решение:

 Функция f (х) = | х | определена на всей числовой прямой.

(см. рис. 18), то при , поэтому . Аналогично

Таким образом. Поскольку односторонние пределы в точке 0 совпадают, то предел функции f (х) существует и равен их общему значению, то есть

Пример №109

Выясните существование предела в точке 2 для функции

Решение:

 Заданная функция определена на всей числовой прямой.

Найдем односторонние пределы этой функции в точке х = 2. ;. То есть, и поэтому заданная функция не имеет предела в точке х = 2 и не является непрерывной в этой точке. (График этой функции изображен на рисунке 70.)

Непрерывные функции

Напомним, что функция f (х) называется непрерывной в точке а, если

Доказанные свойства предела функции позволяют обосновать свойства непрерывных функций, приведенные в таблице 2:

если функции непрерывны в точке а, то сумма, произведение и частное непрерывных в точке а функций непрерывны в точке а (частное в случае, когда делитель

 Действительно, если функции непрерывны в точке а, то

Тогда. Но это и означает, что функция непрерывна в точке а. Аналогично обосновывается непрерывность произведения и частного двух непрерывных функций.

Согласно определению, непрерывность функции f (х) в точке означает выполнение следующих условий:

1. функция должна быть определена в точке ;
2. у функции должен существовать предел в точке ;
3. предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке. Например, функция определена на всей числовой прямой. Поскольку , то значение f (х) = в точке 1 совпадает с пределом этой функции при , поэтому по определению функция f (х) = непрерывна в точке х = 1.

Если использовать определения левостороннего и правостороннего пределов, то можно дать определения левосторонней и правосторонней непрерывности функции, а именно: функция называется непрерывной слева в точке а, если , и непрерывной справа в точке а, если lim

Например, функция — дробная часть числах, непрерывна в любой точке, кроме целочисленных значений аргумента х, в которых она непрерывна справа (рис. 71).

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой его точке. Функция называется непрерывной на отрезке если она непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке

Если равенство в точке а не выполняется, функция f (х) называется разрывной в точке а (а сама точка называется точкой разрыва функции

Например, функция из задачи 2 является разрывной в точке 2.

Если рассмотреть функцию у = [х] ([х] — целая часть х, то есть наибольшее целое число, которое не превышает х), то эта функция является разрывной в каждой целочисленной точке (рис. 72).

Аналогично для функции у = {х} ({х} — дробная часть х, то есть разность х — [х]) точками разрыва являются все целочисленные значения аргумента х (см. рис. 71).

Понятие непрерывности функции можно связать с понятиями приращения функции и аргумента.

Пусть задана функция f (х) с областью определения D (f) = (a; b) и пусть— некоторое значение аргумента из интервала Тогда если — другое фиксированное значение аргумента, то разность х - называется приращением аргумента и обозначается Отсюда

Разность называется приращением функции f в точке и обозначается

Очевидно, что в случае, когда х стремится к , приращение аргумента стремится к нулю: Если функция f (х) непрерывна в точке , то по

определению и поэтому а это означает, что

Из последнего соотношения получаем, что в случае, когда функция f (х) непрерывна в точке , то малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. Учитывая это свойство, мы строим график непрерывной функции в виде сплошной линии (не отрывая карандаш от бумаги).

Представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, хорошо подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в курсах математического анализа. Приведем примеры таких свойств (табл. 12).

Отметим, что известные вам элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются сплошными кривыми на любом интервале, который полностью входит в область определения (именно на этом свойстве и основывается способ построения графика функции «по точкам»). Например, функциянепрерывна на любом интервале, который не содержит точку 0 (см. рис. 45).

Свойства непрерывных функций

1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.
2. Функция f (х), непрерывная на отрезке , принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка.
3. Если на интервале (a; b) функция f (х) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале функция сохраняет постоянный знак.

Иллюстрация:

1.

2.

3.

Свойства непрерывных функций позволяют корректно обосновать метод интервалов решения неравенств, приведенный в учебнике для 10 класса. Поэтому метод интервалов можно использовать при решении любых неравенств вида — непрерывная в любой точке своей области определения функция.

Предел функции на бесконечности

Часто при изучении функций возникает необходимость найти предел функции на бесконечности, то есть найти такое число В (если оно существует), к которому стремится функция f (х) при неограниченном возрастании аргумента х, или когда х, увеличиваясь по абсолютной величине, остается отрицательным.

Рассмотрим функцию Очевидно, что при увеличении х знаменатель дроби увеличивается, и поэтому значение дроби становится как угодно малым по абсолютной величине. Таким образом, значение функции f (х) при очень больших значениях аргумента х мало отличается от числа 2. В этом случае говорят, что функция f (х) имеет своим пределом число 2 при

Определение: Пусть функция f (х) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом f (х) при если для любого числа найдется такое число М > О, что для всех х, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Это записывается так:

В некоторых случаях поведение функции f (х) разное при и при Поэтому при исследовании свойств функции иногда отдельно рассматривают Эти пределы определяются аналогично определению предела только условие заменяется соответственно на х -М и х > М.

Кроме рассмотренных случаев конечных пределов функции f (х) при (или при ),иногда используется также понятие бесконечного предела.

Например, функция которая определена для всех (рис. 73),

принимает сколь угодно большие значения при В этом случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет бесконечный предел, и пишут:

Определение: Будем считать, что если для любого числа М > О существует такое число что для всех х, удовлетворяющих условиювыполняется неравенство

В математике также используется понятие бесконечного предела при то есть предела типа который определяется так: если для любого числа М > 0 существует такое число что для всех х, удовлетворяющих условию выполняется условие то говорят, что функция f (х) имеет бесконечный предел на бесконечности.

Например, Этот факт выражает известное свойство функциикоторая неограниченно возрастает при увеличении значений

Пример №110

Найдите предел

Решение:

 Вынесем в числителе и знаменателе наивысшую степень переменной за скобки и сократим числитель и знаменатель на Тогда

Пример №111

Найдите предел

Решение:

 Умножим и разделим разность, которая стоит под знаком предела, на сумму Получим

Напомним, что в случае, когда функция называется бесконечно малой при Если жето функция называется бесконечно большой при Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при

Отметим, что в случае, когда функция f (х) является бесконечно малой при из некоторой окрестности точки а, то функция будет бесконечно большой при И наоборот, если функция f (х) бесконечно большая при то функция бесконечно малая при

Например, функция f (х) = х является бесконечно малой при и бесконечно большой при (а также при Тогда функция является бесконечно малой прии бесконечно большой при

Предел последовательности

В математике достаточно распространенными являются бесконечные последовательности, то есть функции заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не х, а Для последовательности достаточно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента (при Определение этого предела в основном аналогично определению предела функции на бесконечности.

Определение. Число В называется пределом последовательности если для любого числа существует такое число М > О, что для всех выполняется неравенство

Для пределов последовательностей выполняются все известные вам теоремы о пределах.

Пример №112

Найдите предел последовательности

Решение:

 Как и в задаче 1, вынесем в числителе и знаменателе за скобки наивысшую степень переменной, сократим числитель и знаменатель на а затем используем теоремы о пределах. Тогда

Предел отношения sin x/x при x →0

Этот предел обычно называют замечательным пределом (точнее первым замечательным пределом), поскольку его часто приходится использовать при нахождении пределов тригонометрических функций.

Теорема

Доказательство. Можно считать, что х принимает только положительные значения. Это следует из того, что функция является

Поскольку то, начиная с некоторого значения, х попадает в первую четверть. Поэтому можно считать, что На рисунке 74 изображена единичная окружность, на которой отложен угол в х радиан и проведена линия тангесов CD. Учитывая определения синуса и тангенса через единичную окружность, получаем АВ = sin х, a CD = tg х. Сравним площади треугольников ОВС, ODC и сектора ОВС. Они удовлетворяют неравенству

Поскольку

а площадь кругового сектора ОВС равна: то, подставив эти значения в неравенство (1), получим

(2)

Поскольку имеем sin х > 0 (и cos х > 0). Поэтому, разделив неравенство (2) на sin х, получим:  (учитывая четность функцииполучаем, что это неравенство выполняется и при

Так как то по теореме о пределе промежуточной функции имеем

Кроме предела часто используют некоторые его вариации.

Пример №113

Докажите, что

Доказательство.

Пример №114

Докажите, что

Доказательство. Очевидно, что Действительно,

Поскольку то, начиная с некоторого значения, попадает в интервал Обозначим sin a = x, тогда a = arcsin x. Если то В этих обозначениях предел обращается в предел

Пример №115

Докажите, что

Доказательство. Сначала рассмотрим предел

Посколькуто, начиная с некоторого значения, попадает в интервал Обозначим tg a=x,Toгда Если

В этих обозначениях из предела

Практическое вычисление предела функции

При вычислении предела функции обычно применяют не определение предела, а теоремы о пределах и приемы, которые мы использовали при нахождении пределов в приведенных выше задачах. Обобщим эти приемы, оформив результат в виде:.

Вычисление предела функции

Основные этапы:

1. Пользуясь непрерывностью функции f (х), пытаемся подставить значение х = а в f (х).
2. Если вычисляется предел при то пытаемся в числителе и знаменателе вынести за скобки наивысшую степень переменной.
3. Если в результате подстановки х = а получили выражение вида то:

а) пытаемся разложить на множители числитель и знаменатель

Примеры:

1.

2.

3. а).

б) если в числитель и знаменатель входят выражения с квадратным или кубическим корнями, то умножаем числитель и знаменатель на соответствующие выражения, чтобы избавиться от корней (иногда вводят замену: выражение с корнем обозначают новой переменной) в) если под знаком предела стоят тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то такие пределы приводят к первому замечательному пределу или к его вариациям:

б).

в).

Сокращаем числитель и знаменатель на переменные, стоящие за скобками. Учитывая, чтои воспользовавшись первым замечательным пределом и его вариациями, получаем, что искомый предел равен:

Асимптоты графика функции

1. Определение и иллюстрация:

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

2. Вертикальные асимптоты (х = а) графика функции у = f (х)

Вертикальная асимптота х = а может быть в точке а, если точка а ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки а значения функции стремятся к бесконечности. х = а-вертикальная асимптота ,если при

Примеры вертикальных асимптот графиков функций:

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты

I. Если — дробно-рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты

Примеры:

При Следовательно, у = х + 2 — наклонная асимптота (также х = -1 — вертикальная асимптота)

При Следовательно, у = 2 — горизонтальная асимптота (также х = 0 — вертикальная асимптота)

II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптот можно получить с использованием формул:

Объяснение и обоснование:

Определение асимптоты

Если кривая у = f (х) имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называется прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается.

Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции асимптотами будут оси

координат, поскольку при и при график функции приближается к прямой у = 0: ось Ох — это горизонтальная асимптота.

А когда функция стремится к (или к ), то кривая приближается к прямой х = 0: ось Оу — это вертикальная асимптота.

Если рассмотреть функцию выражение Вследствие этого график функции приближается к прямой. Поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции (рис. 76) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту х = 0).

Вертикальные асимптоты

Если прямая х = а — вертикальная асимптота, то по определению около точки а кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при (слева или справа) должен равняться бесконечности Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции область определения имеет разрыв в точке х = 1 (область определения: и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Поэтому можно предположить, что прямая х = 1 будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, что функция будет стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Таким образом, прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой х = 1 (рис. 77).

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция имеет область определения Поэтому прямая х = 0 «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Аналогично

Следовательно, около прямой x = 0 функция f (x) не стремится к бесконечности, и поэтому прямая х = 0 не является асимптотой графика данной функции (рис. 78).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию

Выделим целую часть:

При выражение то есть график нашей функции будет неограниченно приближаться к прямой у = х + 1 при . Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая у = х + 1 (см. рис. 77).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

 Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции у = f (х) является прямая По определению асимптоты при график функции f (х) неограниченно приближается к прямой . Другими словами, при с любой точностью будет выполняться равенство

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Получим:

При отношение поэтому отношение То есть

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при то есть

Полученные формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции у = f (х) (при условии, что они существуют).

Замечание. Если у графика функции f (х) есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет у = b (в этом случае Но при из формулы (3) получаем Следовательно, если существует число

то график функции у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту

Пример №116

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функции

Решение:

 Будем искать наклонную асимптоту в виде где находятся по формулам (2) и (3):

Асимптотой графика данной функции будет прямая то есть прямая

Пример №117

Найдите асимптоты графика функции

Решение:

 Область определения функции: х — любое действительное число. То есть На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Тогда

Поэтому заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту

Отметим, что иногда график функции у = f (х) может иметь разные асимптоты при и при Поэтому при использовании формул (2) и (3) иногда приходится отдельно находить значения и при

Производные обратных тригонометрических функций. Доказательство тождеств с помощью производной

1. Формулы производных обратных тригонометрических функций

2. Доказательство тождеств с помощью производной

Условие постоянства функции:

• Функция является постоянной на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда f' (х) = 0 во всех точках этого интервала (а если функция f (х) непрерывна на отрезке

Схема доказательства тождеств вида с помощью производной:

1. Рассмотреть вспомогательную функцию f (х) = (на ее области определения или на заданном интервале).
2. Проверить, что на этом интервале.
3. Исходя из условия постоянства функции, сделать вывод, что функция на рассматриваемом интервале.
4. Чтобы найти постоянную С, нужно подставить вместо х любое значение из рассматриваемого интервала и доказать, что
5. Сделать следующий вывод: поскольку

Пример:

Доказать, что

 Рассмотрим функцию

Ее область определения D (f) = [-1; 1].

На интервале (- 1; 1)

Тогда по условию постоянства функции получаем, что f(x) = С при всех значениях х из интервала (- 1; 1), а с учетом того, что функция f (х) непрерывна на своей области определения, и при всех значениях х из отрезка [-1; 1]. Чтобы найти значение С, подставим в равенство вместо х, например, значение х = 0. Получаем: Значит, при всех значениях х из отрезка [-1; 1 ] Отсюда

Объяснение и обоснование:

Формулы производных обратных тригонометрических функций

Формулы производных обратных тригонометрических функций докажем, используя определение этих функций (существование их производных примем без доказательства).

Например, если у = arcsin х, то по определению арксинуса  Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную sin у как производную сложной функции.

Получаем (sin у)' = х', то есть Учитывая, что получаем Тогда при - 1 х 1

(в этом случае

 Аналогично если у = arccos х, то по определению арккосинуса и Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную cos у как производную сложной функции. Получаем , то

Учитывая, что получаем Тогда при -1 х 1

(в этом случае ) имеем Поэтому при - 1 х 1

 Найдем производную функции у = arctg х. По определению арктангенса После дифференцирования последнего равенства получаем

тогда

Следовательно, при любых значениях х

 Аналогично если , то по определению арккотангенса. После дифференцирования последнего равенства получаем тогда Следовательно, при любых значениях х

Доказательства тождеств с помощью производной

Рассмотрено условие постоянства функции: если на некотором интервале во всех точках этого интервала, то функция f (х) постоянна на этом интервале. Если функция f (х) также непрерывна на отрезке, то она постоянна и на отрезке .

Это условие можно использовать для доказательства некоторых тождеств.

Пример №118

Докажите тождество 2 arccos

Решение:

 Рассмотрим вспомогательную функцию

и найдем ее производную при 0 х 1:

По условию постоянства функции получаем, что f (х) = С при всех значениях х из интервала (0; 1), а учитывая, что функция f (х) непрерывна на своей области определения, — и при всех х из отрезка [0; 1]. Чтобы найти С, отметим, что равенство f (х) = С выполняется тождественно, то есть при любом значении х. Подставляя в это равенство х = 0, получаем

C = f (0) = 2 arccos 0-arccos. Поэтому С = 0 и, значит, f (х) = 0,

то есть 2 arccos

Приведенное решение позволяет предложить следующую схему доказательства тождеств вида с помощью производной.

1. Рассмотреть вспомогательную функцию (на ее области определения или на заданном интервале).
2. Проверить, что на этом интервале.
3. Пользуясь признаком постоянства функции, сделать вывод, что f (х) = С на рассмотренном интервале (если функция также непрерывна на отрезке, содержащем концы рассмотренного интервала, то f (х) = С на этом отрезке).
4. Чтобы найти С, подставляем вместо х любое значение х0 из рассмотренного промежутка и доказываем, что
5. Сделать вывод: поскольку .

Вторая производная. Производные высших порядков. Понятие выпуклости функции

1. Понятие второй производной:

Понятие:

Пусть функция у = f (х) имеет производную f' (х) во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией аргумента х. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной функции f (х) и обозначают

Запись:

Пример:

2. Понятие выпуклости и точек перегиба дифференцируемой на интервале функции

Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале если для любой точки из этого интервала при всех график функции лежит выше касательной к этому графику в точке

Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале , если для любой точки из этого интервала при всех график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке

Точка М графика непрерывной функции f (х), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба графика функции. В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Абсциссу точки М перегиба графика функции f (х) называют точкой перегиба функции f (х). Точка разделяет интервалы выпуклости функции.

3. Свойство графиков выпуклых функций:

Если функция f (х) выпукла вниз на интервале (a; b) и точки являются точками ее графика на этом интервале, то на интервале график функции у = f (х) лежит ниже отpeзкa , то есть график лежит ниже хорды.

Если функция f (х) выпукла вверх на интервале (a; b) и точки являются точками ее графика на этом интервале, то на интервале график функции у = f (х) лежит выше отрезка , то есть график лежит выше хорды.

4. Достаточные условия выпуклости функции, имеющей вторую производную на заданном интервале

Условие выпуклости вниз:

Если на интервале дважды дифференцируемая функция f (х) имеет положительную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вниз.

Условие выпуклости вверх. Если на интерваледважды дифференцируемая функция f (х) имеет отрицательную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вверх.

5. Нахождение точек перегиба функции, имеющей вторую производную на заданном интервале

Необходимое условие:

В точках перегиба функции f (х) ее вторая производная равна нулю или не существует.

Достаточное условие:

Пусть функция f (х) имеет на интервале (a; b) вторую производную. Тогда, если меняет знак при переходе через то — точка перегиба функции f (х).

б. Исследование функции у = f (х) на выпуклость и точки перегиба

Схема:

1. Найти область определения функции.

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

Пример:

1. Область определенияФункция f (х) непрерывна в каждой точке своей области определения (как многочлен).

2. Найти вторую производную.

3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. 3. существует и непрерывна на всей области определения функции f (х).

4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

5. Записать нужный результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба). 5. На интервалах график функции направлен выпуклостью вниз,анаинтервале(-1; 3) — выпуклостью вверх . Точки перегиба: х = -1 и х = 3 (в этих точках меняет знак).

7. Расширенная схема исследования функции для построения ее графика

Схема:

1. Найти область определения функции. Постройте график функции

Пример: Область определения: (то есть

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической*). 2. Функция f (х) ни четная, ни нечетная, поскольку, и не периодическая.

3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти). 3. На оси значение х = 0, тогда у = 0. На оси Ох значение Тогда х = 0, х = 5 — абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.

4. Производная и критические точки функции. 4. Производная существует на всей области определения функции f(x). Поэтому функция f(x) непрерывна в каждой точке своей области определения.. При имеем + 8х - 20 = 0, — критические точки.

* Чаще всего периодичность устанавливают для тригонометрических функций. В рассмотренном примере функция не может быть периодической, так как ограничения области определения не повторяются.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума (и значения функции в этих точках). 5. Отметим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (см. рисунок).

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков и убывает на промежутках [-10; -4) и (-4; 2]. Так как в критической точке (-10) производная меняет знак с « + » на «-», —10 — точка максимума. В критической точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », поэтому х = 2 — точка минимума. Итак,

6. Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).Следовательно, прямая х = -4 — вертикальная асимптота. Так как то при тогда то есть прямая у = х + 9 — наклонная асимптота.

7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках).

Поскольку,то знак второй производной может меняться только в точке х = -4. Получаем такие знаки второй производной и соответствующий характер выпуклости (см. рисунок).

8. Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).

9. На основании проведенного исследования построить график функции.

Объяснение и обоснование:

Вторая производная и производные высших порядков

Если функция У = f (х) имеет производную f' (х) во всех точках некоторого промежутка, то эту производную можно рассматривать как функцию от аргумента х. Если функция f' (х) является дифференцируемой, то ее производную называют второй производной от f (х) и обозначают f" (х) (или у").

Например, если f (х) = 2х - sin х, то

По аналогии со второй производной определяют и производные высших порядков. Производную от второй производной функции f (х) называют третьей производной, или производной третьего порядка этой функции, и т. д. То есть: производной п-го порядка функции f (х) называют производную от производной ( - 1 )-го порядка этой функции. Производную -го порядка функции f (х) обозначают

Например, если

Выпуклость функции

Пусть функция определена на интервале , а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную. В зависимости от расположения графика функции относительно касательной функцию называют выпуклой вниз, если график расположен выше касательной (рис. 80),

или выпуклой вверх, если график расположен ниже касательной (рис. 81). Соответственно, и сам график в первом случае называют выпуклым вниз, а во втором — выпуклым вверх. Приведем соответствующие определения и свойства для функции f (х), определенной и дифференцируемой дважды на интервале .

Функция называется выпуклой вниз на интервале , если для любой точки из этого интервала при всех график функции лежит выше касательной к этому графику в точке

Функция называется выпуклой вверх на интервале , если для любой точки из этого интервала при всех график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке

 

Отметим, что на интервале, где функция f (х) является выпуклой вниз, ее производная f' (х) возрастает.

* Четвертую, пятую и шестую производные функции f часто обозначают соответственно так:

Действительно, как видно из рисунка 80, при возрастании аргумента х величина угла , который касательная к графику функции f (х) образует с положительным направлением оси Ох, возрастает, принимая значения между также возрастает.

На интервале, где функция f (х) является выпуклой вверх, ее производная убывает. Действительно, как видно из рисунка 81, при возрастании аргумента х величина угла , который касательная к графику функции f (х) образует с положительным направлением оси Ох, убывает, принимая значения между также убывает.

Можно доказать, что имеют место и обратные утверждения.

1. Если производная функции f (х) возрастает на интервале (a; b), то функция f (х) является выпуклой вниз на этом интервале.
2. Если производная функции f (х) убывает на интервале (a; b), то функция f (х) является выпуклой вверх на этом интервале.

Эти свойства позволяют сформулировать достаточные условия выпуклости функции (и графика функции).

1. Если на интервале ( дважды дифференцируемая функция f (х) имеет положительную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вниз.
2. Если на интервале дважды дифференцируемая функция f(х) имеет отрицательную вторую производную (то есть при всех то ее график на интервале направлен выпуклостью вверх.

Действительно, пусть, например, f" (х) > 0 при всех . Если рассматривать f' (х) как функцию от является производной этой функции Тогда, имея положительную производную, функция f' (х) возрастает на интервале . Следовательно, по свойству 1 функция f (х) является выпуклой вниз на этом интервале, а значит, и ее график будет выпуклым вниз на интервале . Аналогично обосновывается и второе достаточное условие.

Отметим, что эти условия является только достаточными, но не являются необходимыми. Например, функция выпуклая вниз на всей числовой прямой (рис. 82), хотя в точке х = 0 ее вторая производная равна нулю.

Обратим внимание, что в случае, когда функция f (х) выпуклая вниз на интервале и точки являются точками ее графика на этом интервале (рис. 83), то на интервале график функции у = f (х) лежит ниже отрезка . Этот отрезок по аналогии с отрезком, соединяющим две точки дуги окружности, часто называют хордой кривой.

Следовательно, в этом случае на интервале график лежит ниже хорды.

Если функция f (х) выпуклая вверх на интервале (a; b) и точки являются точками ее графика на этом интервале (рис. 84), то на интервале график функции у = f (х) лежит выше отрезка то есть график лежит выше хорды.

Точки перегиба

Точка М графика непрерывной функции f(x), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая изменяет направление выпуклости, называется точкой перегиба графика функции.

Учитывая определения выпуклости функции вверх и выпуклости функции вниз, получаем, что касательная к графику функции по одну сторону от точки касания расположена выше графика, а по другую сторону — ниже графика, то есть в точке перегиба касательная пересекает кривую (рис. 85), а сам график функции переходит с одной стороны касательной на другую.

Отметим, что абсциссу точки перегиба графика функции f (х) называют точкой перегиба функции. Тогда является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции f (х).

Точки перегиба дважды дифференцируемой функции можно находить с помощью ее второй производной. Приведем достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть функция имеет на интервале (a; b) вторую производную. Тогда, если f" (х) меняет знак при переходе через — точка перегиба функции .

 Действительно, если функция f (х) имеет на интервале (a; b) вторую производную, то она имеет на этом интервале и первую производную. Следовательно, функция f (х) непрерывна на заданном интервале и существует касательная к графику функции в точке с абсциссой . Пусть (на заданном интервале). Тогда, используя достаточные условия выпуклости функции, получаем, что при график функции f (х) направлен выпуклостью вверх, а при график направлен выпуклостью вниз. Таким образом, точка является точкой перегиба функции f(x). Аналогично рассматривается и случай, когда И в этом случае является точкой перегиба функции

Для нахождения промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба следует учесть следующее.

Пусть функция f (х) задана на интервале ив каждой точке этого интервала имеет вторую производную f" (х), которая является непрерывной функцией на заданном интервале. Если для точки из этого интервала то, учитывая непрерывность функции f" (х), получаем, что в некоторой -окрестности этой точки вторая производная также будет положительной. То есть для всехзначения f" (х) > 0. Но тогда в интервале функция f (х) направлена выпуклостью вниз и точка не может быть точкой перегиба функции f (х). Аналогично, если, то в некоторой окрестности точки функция f (х) направлена выпуклостью вверх и точка не может быть точкой перегиба функции f (х). Следовательно, в рассмотренном случае точкой перегиба может быть только та точка , в которой вторая производная равна нулю. Получаем необходимое условие существования точек перегиба: если функция f (х) задана на интервале , в каждой точке этого интервала имеет вторую производную f" (х), которая является непрерывной функцией на заданном интервале и имеет точку перегиба

Например, функция (рис. 86) имеет точку перегиба х = 0, в которой ее вторая производная равна нулю. Действительно, . При х > 0 значение у" (х) > 0: график направлен выпуклостью вниз; при х 0 значение у" (х)  0: график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, 0 — точка перегиба функции.

Отметим, что точка перегиба функции f (х) может быть и в той точке , в которой f" () не существует (но f () существует).

Например, функция (рис. 87) определена на всей числовой прямой, имеет перегиб в точке 0, в которой существует ее первая производная не существует вторая производная  не существует).

При х > 0 значения у" (х) > 0 и график направлен выпуклостью вниз, а при х 0 значения у" (х) 0 и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, 0 — точка перегиба функции.

Для нахождения промежутков выпуклости функции f (х) необходимо решить неравенства f" (х) > 0 и f" (х) 0 на области определения функции f (х). Поскольку f" (х) также можно рассматривать как функцию переменной х, то в случае, когда функция f" (х) является непрерывной в каждой точке своей области определения, для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, основанное на следующем свойстве: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции f(x) на промежутки, в каждом из которых f" (х) сохраняет постоянный знак.

Учитывая это свойство и рассмотренные условия выпуклости функции и существования ее точек перегиба, можно выделить такую схему исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти область определения функции.
2. Найти вторую производную.
3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует".
4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Записать необходимый результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба).

Обратим внимание, что использование второй производной позволяет более детально исследовать свойства функции для построения ее графика. В таблице 16 приведена расширенная схема исследования функции для построения ее графика и пример ее использования. В эту схему дополнительно включено нахождение интервалов выпуклости функции, точек перегиба и асимптот графика функции.

Применение производной к решению уравнений и неравенств

Было рассмотрено использование свойств функций для решения некоторых уравнений. Иногда для выяснения необходимых свойств функций целесообразно использовать производную. Это прежде всего нахождение промежутков возрастания и убывания функции и оценка области значений функции.

1. Оценка значений левой и правой частей уравнения:

Ориентир

• Если нужно решить уравнение вида и выяснилось, что , то равенство между левой и правой частями возможно только в случае, если одновременно равны

Пример:

Решите уравнение

Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Исследуем функцию (х) на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. , Производная не существует в точках 1 и 3 из области определения функции f (х), но эти точки не являются внутренними для D (f ), следовательно, они не являются критическими. х = 2 — критическая точка . Непрерывная функция* f (х) задана на отрезке [1; 3], поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах этого отрезка, или в критической точке из этого отрезка. Поскольку Кроме того,

Следовательно, заданное уравнение равносильно системе

Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку значений левой и правой частей уравнения, или следующее свойство функций: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения).

*В точке х = 1 функция f (х) непрерывна справа, а в точке х = 3 — слева. " **Мы могли бы точнее оценить область значений непрерывной функции поскольку но для приведенного решения достаточна но оценки

Теоремы о корнях уравнения

1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не больше, чем один корень на этом промежутке.

Пример:

1. Уравнениеимеет корень*

Других корней это уравнение неимеет, поскольку функцияf (х) = + cos х возрастающая (ее производная при всех значениях х из области определения: .

Ответ:

2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не больше, чем один корень на этом промежутке.

Уравнение имеет корень* то есть 1 = 1). Других корней это уравнение не имеет, поскольку его : , и на этой функцияявляется возрастающей (ее производная равна нулю при х = 0 и при х > 0, а, учитывая непрерывность функции f , получаем, що возрастает при . Функция убывает при Следовательно, уравнение имеет единственный корень х = 0.

Ответ: 0.

Объяснение и обоснование

Показано применение производной для реализации тех способов решения уравнений, которые связаны с использованием свойств функций и были рассмотрены и обоснованы в учебнике для 10 класса. Напомним, что эти способы чаще используются в тех случаях, когда мы не можем решить заданное уравнение с помощью равносильных преобразований или уравнений-следствий (или тогда, когда такое решение является очень громоздким).

Отметим, что использование производной также позволяет при решении некоторых уравнений реализовать следующую схему рассуждений.

Допустим, мы смогли подобрать два корня заданного уравнения вида Чтобы доказать, что уравнение не имеет других корней, достаточно убедиться, что функция f (х) имеет только два промежутка возрастания или убывания (на каждом из которых уравнение f (х) = а может иметь только один корень). Если функция f (х) дифференцируема на каком-либо промежутке, то характер возрастания или убывания функции f (х) на этом промежутке может измениться только в ее критических точках. Например, если в точке возрастание дифференцируемой (а следовательно, и непрерывной) функции изменилось на убывание, то это означает, что в точке функция имеет максимум, но тогда — критическая точка. Таким образом, для того чтобы дифференцируемая на интервале функция имела на этом интервале не больше двух промежутков возрастания или убывания, достаточно, чтобы на этом интервале она имела только одну критическую точку.

Пример №119

Решим с помощью указанной выше схемы уравнение

Решение:

Заданное уравнение имеет корни 29 = 29) и Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого достаточно доказать, что функция 26х имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Действительно, существует на всей области определения функции f (х). Если Тогда единственная критическая точка функции f (х). Если отметить эту критическую точку на области определения функции f (х) (на множестве R), то область определения разобьется на два промежутка, в каждом из которых функция будет или возрастать, или убывать (на промежутке функция f (х) убывает, а на промежутке — возрастает). Тогда в каждом из этих промежутков уравнение f (х) = 29 может иметь не больше, чем один корень, то есть всего заданное уравнение может иметь не больше двух корня. Два корня этого уравнения мы уже подобрали. Следовательно, заданное уравнение имеет только эти два корня: х = —1 и х = 2.

Ответ: - 1, 2.

Аналогичные рассуждения для случая, когда для уравнение вида f(x) = а удается подобрать три корня, приведены далее в задаче 2.

Отметим также, что при решении неравенств вида методом интервалов описанные выше приемы решения уравнений с использованием производной часто приходится применять для нахождения нулей функции .

Примеры решения задач:

Пример №120

Решите уравнение

Комментарий:

Поскольку у нас нет формул, которые бы позволяли преобразовывать одновременно и показательные, и тригонометрические выражения, то попробуем решить заданное уравнение, используя свойства соответствующих функций. В частности, оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Для функции, стоящей в правой части уравнения, это легко сделать и без производной, а для исследования функции, стоящей в левой части уравнения, удобно использовать производную.

Решение:

ОДЗ заданного уравнения — все действительные числа R. Оценим значения левой и правой частей уравнения. Поскольку принимает все значения от (-1) до 1, то 1+ принимает всех значения от 0 до 2. Тогда функция принимает все значения от 0 до 6. Следовательно,

Функцию исследуем с помощью производной. D (f ) = R.

существует на всей области определения функции f (х).

Поскольку критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции f (х) и находим знаки производной в каждом из полученных промежутков (рис. 88).

Непрерывная функция f (х) имеет на интервале только одну

критическую точку, и это точка минимума (в ней производная меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, в этой точке функция принимает свое наименьшее значение: f (1) = 6. Таким образом,

Учитывая, что получаем, что заданное уравнение f (х) = g (х)

равносильно системе

Но значение 6 функция f (х) принимает только при х = 1, что удовлетворяет и второму уравнению системы:

Следовательно, полученная система (а значит, и заданное уравнение) имеет единственный корень х = 1.

Ответ: 1.

Отметим, что уравнение (1) можно решить еще одним способом, описанным в учебнике для 10 класса под названием «Ищи квадратный трехчлен», в котором предлагается попробовать рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции).

В частности, заданное уравнение можно записать так:

Если уравнение (2) рассмотреть как квадратное относительно переменной t, то для существования корней его дискриминант должен быть неотрицательным. Следовательно, а учитывая, что всегда, получаем то есть Но в последнем неравенстве знак «больше» не может выполняться (значения косинуса не бывают больше 1), следовательно,

Тогда уравнение (2) преобразуется в уравнение то есть

Обратная замена дает: следовательно, х = 1, что удовлетворяет и уравнению (3).

Ответ: 1.

Пример №121

Решите уравнение

Комментарий:

Если попробовать применить к заданному уравнению схему решения показательных уравнений то удается реализовать только первый ее пункт — избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. А вот привести все степени к одному основанию (с удобными показателями) или к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение, или перенести все члены в одну сторону и разложить полученное выражение на множители — не удается. Остается единственная возможность — применить свойства соответствующих функций. Но и на этом пути нам не удается использовать конечность ОДЗ (она бесконечна), оценку левой и правой частей уравнения (они обе в границах от 0 до Остается только надеяться на возможность использования монотонности функции. Хотя и здесь мы не можем использовать теоремы о корнях (в обеих частях заданного уравнения стоят возрастающие функции). Тогда попробуем подобрать корни этого уравнения и доказать, что других корней оно не имеет (удобно предварительно привести уравнение к виду f (х) = 0). Последовательно подставляя х = 0, х = 1, х = 2, х = 3, выясняем, что то есть уравнение f (х) = 0 имеет три корня. Чтобы доказать, что других корней нет, достаточно доказать, что у функции не больше трех промежутков возрастания или убывания; а учитывая непрерывность f (х) на всей числовой прямой, для этого достаточно доказать, что у нее не больше двух критических точек, то есть уравнение f' (х) = 0 имеет не больше двух корней. Рассматривая теперь уравнение, мы после его преобразования можем провести аналогичные рассуждения, но уже для двух корней. Выполняя преобразования уравнения f' (х) = 0, учтем, что все его члены имеют одинаковую степень — х (то есть оно является однородным относительно трех функций от переменной х, а именно: С помощью деления обеих частей уравнения на степень с основанием 2, 3 или 4 удается уменьшить количество выражений с переменной на одно.

Решение:

Заданное уравнение равносильно уравнению то есть

ОбозначимПосколькуто уравнение f (х) = 0 имеет три корня: 0,1,3. Докажем, что других корней уравнение (1) не имеет. Для этого достаточно доказать, что у функции f (х) есть не больше трех промежутков возрастания или убывания, а учитывая непрерывность функции f (х) на всей числовой прямой, достаточно доказать, что функция имеет не больше двух критических точек. Область определения: D (f) = R.

Производная существует при всех значениях х. Следовательно, критическими точками могут быть только те значения х, при которых . Получаем уравнение

Поскольку то после деления обеих частей последнего уравнения на получаем равносильное уравнение

Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не больше двух корней, достаточно доказать, что функция стоящая в левой части уравнения, имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку. Действительно, существует при всех значениях . Следовательно, критическими точками могут быть только те значения х, при которых . Получаем однородное уравнение

Поскольку то после деления обеих частей уравнения на это выражение получаем равносильное уравнение Отсюда Учитывая, что получаем, что-

Следовательно, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция имеет единственную критическую точку, и поэтому уравнение (2) имеет не больше двух корней. Это означает, что функция f(x) имеет не больше двух критических точек. Тогда уравнение (1) (а значит, и заданное уравнение) имеет не больше трех корней. Но три корня заданного уравнения мы уже знаем: 0, 1,3. Следовательно, других корней заданное уравнение не имеет.

Ответ: 0, 1, 3.

Пример №122

Решите систему уравнений

Решение:

 Заданная система равносильна

Рассмотрим функцию . Поскольку всегда, то на своей области определения функция является возрастающей. Тогда первое уравнение системы (1), которое имеет вид равносильно уравнению х = у. Следовательно, система (1) равносильна системе

Подставляя х =у во второе уравнение системы, имеем

Комментарий:

Решить заданную систему с помощью равносильных преобразований не удается. Поэтому попробуем использовать свойства функций.

Если в первом уравнении системы члены с переменной х перенести в одну сторону, — в другую, то получим в левой и правой частях уравнения значения одной и той же функции. С помощью производной легко проверить, что эта функция является возрастающей. Но равенство для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда х = у, поскольку каждое свое значение возрастающая (или убывающая) функция может принимать только при одном значении аргумента. Коротко этот результат можно сформулировать так: если функция является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

Пример №123

Решите неравенство

Решение:

 Заданное неравенство равносильно неравенству Функция непрерывна в каждой точке своей области определения, поэтому для решения неравенства можно использовать метод интервалов.

2. Нули функции: f (х) = 0. Найдем производную функции f (х):

Если обозначить Но квадратный трехчлен 2 имеет отрицательный дискриминант, тогда для всех t: Следовательно, для всех х значение f' (х) > 0. Тогда функция f (х) возрастает на всей числовой прямой и уравнение f (х) = 0 может иметь только один корень. Поскольку /(-1) = 0, то х = -1 — единственный нуль функции f (х).

3. Отмечаем нули на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ

Комментарий:

Заданное неравенство не удается решить с помощью равносильных преобразований, поэтому используем метод интервалов. Для этого неравенство необходимо привести к виду — непрерывная в каждой точке своей области определения функция, поскольку она является многочленом.

Напомним схему решения неравенств методом интервалов:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции: f (х) = 0.
3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции f (х) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Для нахождения нулей функции надо решить уравнение f (х) = 0, которое не удается решить с помощью равносильных преобразований. Поэтому для его решения целесообразно использовать свойства функции f (х), в частности, ее монотонность, которую можно обосновать с помощью производной.

Пример №124

Решите неравенство

Комментарий:

Попробуем решить заданное неравенство методом интервалов (см. схему решения в задаче 4). Для этого его необходимо привести к виду (где функция f (х) непрерывна в каждой точке своей области определения).

При нахождении нулей функции для решения уравнения f (х) = 0 целесообразно использовать свойства соответствующих функций, в частности, оценку значений левой и правой частей уравнения вида. Значение функциилегко оценить и без применения производной, а для исследования функции используем производную. Отметим, что в данном случае внутри ОДЗ мы не найдем ни одного нуля функции (см. далее решение: нулем является только крайняя точка ОДЗ). Но метод интервалов применим и в этом случае — мы получаем единственный интервал, в котором функция сохраняет свой знак.

Решение:

 Заданное неравенство равносильно неравенству

Функция непрерывна в каждой точке* своей области определения, поэтому для решения неравенства (1) можно использовать метод интервалов.

Это уравнение равносильно уравнению

* Конечно, если учесть, что в точке 3 функция непрерывна справа, а в точке 4 — слева (см. ее ОДЗ).

Оценим значения функций , стоящих соответственно в левой и правой частях уравнения (2).

Исследуем функцию на ОДЗ неравенства (1), то есть при

Функция непрерывна на отрезке [3; 4], поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах, или в критических точках этого отрезка.

не существует в точке 3 отрезка [3; 4], но эта точка не является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, она не является критической. Выясним, когда

Сравнивая значения , получаем, что . Следовательно, . Toгда уравнение (2) равносильно системе Поскольку 2 — наибольшее значение функции g (х), которое достигается только при х = 4, то уравнение имеет единственный корень х = 4, удовлетворяющий и уравнению (действительно, Следовательно, функция f(х) имеет только один нуль: х = 4.

Отмечаем нуль на ОДЗ и находим знак функции в полученном промежутке (рис. 90).

Как видим, функция f(x) не принимает положительных значений и в неравенстве (1) знак «больше» не может выполняться. Следовательно, может выполняться только знак «равно», но f (х) = 0 только при х = 4. Ответ: 4.

Замечание. Используя введенные обозначения, заданное неравен-у,—" — ство можно записать так:

После выполнения оценки значений функций и

и без метода интервалов можно сделать вывод, что неравенство ) не может выполняться. Следовательно, заданное неравенство

имеющей единственное решение х = 4. Но такие рассуждения можно провести только для этого конкретного неравенства, в то время как метод интервалов можно использовать для решения любого неравенства вида (где функция f (х) непрерывна в каждой точке своей области определения). Поэтому основным способом решения таких неравенств мы выбрали метод интервалов.

Применение производной к доказательству неравенств

Производную иногда удается использовать при доказательстве неравенств с одной переменной. Рассмотрим схему такого доказательства.

Пример №125

Докажите неравенство

Решение:

 Для доказательства данного неравенства достаточно доказать неравенство In. Рассмотрим функцию f (х) =

= In (1 + х) - х при Ее производная при х > 0.

Следовательно, функция f(x) убывает на интервале а учитывая не-

прерывность функции f (х) в точке 0 (она непрерывна на всей области определения), получаем, что функция f (х) убывает и на промежутке . Но f (0) = 0. Тогда при значение Следовательно, то естьчто и требовалось доказать. (Отметим, что при х > 0 значение, а при х = 0 заданное неравенство обращается в равенство.)

Это решение позволяет предложить следующую схему доказательства неравенств вида ) с помощью производной.

1. Рассмотреть вспомогательную функцию (на ее области определения или на заданном промежутке).
2. Исследовать с помощью производной поведение функции f (х) (возрастание или убывание, ее наибольшее или наименьшее значения) на рассматриваемом промежутке.
3. Обосновать (опираясь на поведение функции f (х)), что f (х) > 0 (или f (х) 0) на рассматриваемом промежутке, и сделать вывод, что ) на этом промежутке.

Обратим внимание, что при доказательстве некоторых неравенств эту схему приходится использовать несколько раз (см. решение задачи 1).

Примеры решения задач:

Пример №126

Докажите неравенство

Комментарий:

Попробуем применить производную к доказательству данного неравенства. Для этого исследуем функцию, которая является разностью левой и правой частей неравенства:

Учитывая, что эта функция непрерывна на всей числовой прямой и f (0) = 0, достаточно доказать, что функция возрастает на заданном промежутке. (Тогда из непрерывности функции следует, что она будет возрастать и на промежутке ив этом промежутке из неравенства х > 0 будет вытекать неравенство f (х) > f (0) = 0, равносильное заданному.) Для доказательства того, что функция возрастает на заданном промежутке, достаточно доказать, что ее производная f' (х) > 0. Если обозначить производную как новую функцию то нам надо доказать неравенство g (х) > 0, а для этого снова можно использовать приведенные выше рассуждения.

Решение:

Заданное неравенство равносильно неравенству Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную Теперь рассмотрим функцию и докажем, что g (х) > 0 на промежутке Функция g (х) непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную Учитывая, что получаем Следовательно, функция g (х) возрастает на всей числовой прямой и, в частности, на промежутке Тогда по определению возрастающей функции при х > 0 получаем, что g (х) > g (0). Но То есть при Это означает, функция f (х) возрастает на интервале а так как она непрерывна, то она возрастает и на промежутке Тогда из неравенства х > 0 будет вытекать неравенство f (х) >f (0). Но следовательно,f (х) > 0 при всех Таким образом, на этом интервале выполняется неравенство а значит, и неравенство

Пример №127

Докажите, что при всех действительных значениях х выполняется неравенство

Решение:

 Рассмотрим функцию Область определения: D (f) = R. Производная существует на всей области определения.

Следовательно, функция f (х) непрерывна на всей числовой прямой; х = О — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции f (х), определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 91).

Как видим, непрерывная функция f (х) имеет на интервале только одну критическую точку, и это точка минимума. Следовательно, в этой точке функция принимает свое наименьшее значение на этом интервале. Тогда при всех действительных значениях х значения Следовательно, при всех действительных значениях х.

Комментарий:

Используем производную для доказательства данного неравенства. Для этого исследуем функцию f (х), которая является разностью левой и правой частей неравенства. При всех действительных значениях х эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей, и поэтому рассуждения, приведенные при решении предыдущих задач, нельзя использовать. Тогда попробуем в результате исследования найти наибольшее или наименьшее значение функции f (х) на всей числовой прямой. Для этого можно использовать свойство: если непрерывная функция f (х) имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке Далее воспользуемся тем, что когда в точке функция принимает наименьшее значение на заданном интервале, то для всех значений х из этого интервала (если необходимо, то можно также уточнить, что знак равенства достигается только в точке ).

При доказательстве числовых неравенств или для сравнения двух чисел часто бывает удобно перейти к более общему функциональному неравенству.

Пример №128

Сравните числа

Комментарий:

Чтобы составить план решения, можно рассуждать следующим образом. Мы не знаем, какое из заданных чисел больше: или поэтому в ходе анализа поставим между ними знак «V». Это знак неравенства, направленный вниз острым концом, свидетельствующий о том, что мы не знаем, в какую сторону его следует направить. Будем выполнять преобразование неравенства до тех пор, пока не выясним, какое число больше. Затем заменим знак «V» соответствующим знаком неравенства: «>» или «», которое и запишем в решении. (В ходе анализа, в случае необходимости поменять знак неравенства, знак «V» меняем на знак а в записи решения в соответствующем месте меняем знак неравенства.) При анализе запись видатакже будем называть неравенством (но, конечно, не в решении).

Рассмотрим неравенство Это неравенство с положительными членами следовательно, обе его части можно прологарифмировать. Поскольку функция является возрастающей, то после логарифмирования обеих частей по основанию е знак неравенства не изменится, и мы получим неравенство то есть неравенство Так как то после деления обеих частей последнего неравенства на знак неравенства не изменится, и мы получим неравенство Замечаем, что в левой и правой частях этого неравенства стоят значения одной и той же функции Исследуем эту функцию с помощью производной на возрастание и убывание. Далее, учитывая, что сравним полученные выражения, а затем и заданные выражения (выполняя все те преобразования, что и в ходе анализа, только в обратном порядке).

Решение:

Рассмотрим функцию область определения: х > 0. Производная существует на всей области определения. Выясним, когда Тогда на области определения получаем равносильное уравнение In х = 1, то есть х = е — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции f (х) и определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 92).

Функция f (х) убывает на интервале а так как она непрерывна на всей области определения, то она убывает и на промежутке

Поскольку Умножив обе части этого неравенства на положительное число ке (знак неравенства не меняется), получаем неравенство Поскольку функция In t является возрастающей

При доказательстве некоторых неравенств иногда можно использовать вторую производную и выпуклость соответствующих функций.

Пример №129

Докажите, что при всех выполняется неравенство

Решение:

следовательно, на интервале функция f (х) = sin х выпукла вверх. Тогда на этом интервале ее график лежит выше хорды OA (рис. 93).

Прямая OA имеет уравнение и проходит через точкуСледовательно, Отсюда уравнение прямой OA: Таким образом, при всех выполняется неравенство

Комментарий:

На тех интервалах, где функция f (х) = sin х выпукла вверх, график функции f (х) лежит выше соответствующей хорды (рис. 94, а), а на тех интервалах, где эта функция выпукла вниз, график лежит ниже хорды (рис. 94, б). Используем это при доказательстве данного неравенства: с помощью второй производной исследуем функцию f (х) = sin х на выпуклость, рассмотрим уравнение соответствующей хорды АВ и сравним уравнение хорды с уравнением прямой функция, стоящая в правой части неравенства).

Применение производной к решению задач с параметрами

При решении задач с параметрами производная может использоваться для исследования функции на монотонность и экстремумы, для исследования функции и построения ее графика, для записи уравнений касательных к графикам функций, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Пример №130

Найдите все значения параметра а, при которых функция убывает для всех

Решение:

 Область определения функции:D(y) = R.

Функция дифференцируема на всей числовой прямой: Заданная функция будет убывать при всех если на всей числовой прямой, причем уравнение у' = 0 имеет только конечное (или счетное) множество корней. Если а = -2, то и неравенство не выполняется на всей числовой прямойтолько при

Если то производная является квадратичной функцией относительно переменной х, она принимает значения на всей числовой прямой тогда и только тогда (см. таблицу в комментарии), когда выполняются условия

(при этом уравнение у' = 0 может иметь разве что один корень). Из неравенства получаем а -2.

Из неравенства имеем: Учитывая полученное условие а -2, получаем, что (-72а) > 0, тогда из неравенства (2) имеем то есть Следовательно, система (1) равносильна системе

Комментарий:

Используем уточненный вариант условия убывания функции.

Если в каждой точке интервала причем уравнение f' (х) = 0 имеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция f (х) убывает на этом интервале.

Отметим, что это условие является не только достаточным, но и необходимым для дифференцируемой на интервале функции (если на ка-ком-либо интервале функция f (х) дифференцируема и убывает, то на этом интервале. Следовательно, условию задачи могут удовлетворять те и только те значения параметра, которые мы найдем по этому условию.

Анализируя производную данной функции, учитываем, что она является квадратичной функцией только в случае, когда (то есть Поэтому случай а + 2 = 0 (то есть а = -2) следует рассмотреть отдельно.

Для квадратичной функции вспоминаем все возможные варианты расположения параболы относительно оси абсцисс (см. таблицу ниже) и выясняем, когда неравенство выполняется для всех

Обратим внимание, что неравенство которое свелось к неравенству (2), можно было решать отдельно или методом интервалов, или с помощью графика квадратичной функции (исключая точку с абсциссой а = -2), а уже затем находить общее решение системы (1).

Пример №131

Найдите наименьшее значениепри котором график функции касается оси абсцисс.

Решение:

 По условию ось абсцисс (имеющая уравнение у = 0 и угловой коэффициент 0) должна быть касательной к графику функции Если — абсцисса точки касания, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем Чтобы касательной была именно ось абсцисс (а не параллельная ей прямая, имеющая такой же угловой коэффициент), достаточно проверить, что

При уравнение (1) не имеет решения (получаем уравнение Ох + 2 = 0).

Выясним, при каких значениях Учитывая, что получаем

Следовательно, при этих значенияхграфик функции f (х) касается оси абсцисс. Наименьшее из этих значений Ответ: 0,5.

Комментарий:

Для того чтобы график функции касался оси абсцисс, необходимо, чтобы ось абсцисс была касательной к этому графику. Зная уравнение оси абсцисс: заданную ситуацию можно исследовать двумя способами.

1. Если касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой имеет уравнение у = 0, то угловой коэффициент касательной равен 0. Тогда по геометрическому смыслу производной Но угловой коэффициент 0 имеет не только ось абсцисс, но и все прямые, параллельные оси Ох (рис. 95, а, б). Чтобы касательной была именно ось абсцисс, необходимо чтобы точка касания М находилась на оси Ох (рис. 95, а), то есть чтобы ордината этой точки равнялась 0, следовательно,

2. Можно записать также уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой : и сравнить полученное уравнение с уравнением оси абсцисс: (снова получим те же условия

При исследовании уравнения необходимо рассмотреть отдельно.

Пример №132

Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение:

На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям

Замена на ОДЗ) дает равносильное уравнение

Для заданного уравнения требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один не нулевой корень в промежутке [—1; 1]. Для этого достаточно обеспечить, чтобы число а входило в область значений функции

и Найдем эту область значений. Производная существует на всей числовой прямой, и f' (t) = 0 при (то есть критические точки не входят в отрезок [-1; 1], поскольку

Следовательно, на всем заданном отрезке f'(t) сохраняет свой знак. Поскольку то есть функция убывает на отрезке [-1; 1]. Тогда ее наибольшее значение на этом отрезке равно а наименьшее —

Учитывая, что f (0) = 0, получаем, что при непрерывная функция f (t) принимает все значения из промежутков [-6; 0) и (0; 6]. Именно при этих значениях а и будет выполняться требование задачи.

Комментарий:

Сначала начнем решать заданное уравнение по схеме решения тригонометрических уравнений, а именно: попробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу; если удалось привести к одному аргументу, то попробуем привести все тригонометрические выражения к одной функции... Указанные два этапа можно выполнить одновременно, используя формулу

После замены для исследования существования корней у полученного кубического уравнения удобно использовать графическую иллюстрацию решений (приведя уравнение к виду f (t) = а). Также можно найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f (О, заданной на отрезке, или воспользоваться свойствами функции f (t) на отрезке [-1; 1], исследованными с помощью производной (см. решение). Напомним, что после замены переменной требование задачи в задачах с параметрами чаще всего изменяется, поэтому необходимо выяснить новое требование для уравнения (1).

Отметим, что достаточно наглядной является графическая иллюстрация решения (рис. 96), но исследование функции f (t) для построения графика более громоздко, чем в приведенном решении.

Пример №133

При каких отрицательных значениях а уравнениеимеет единственный корень на интервале

Комментарий:

Поскольку в условии задачи идет речь о количестве корней уравнения, то для его исследования удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Для этого исследуем функцию с помощью производной и построим на интервале график этой функции, а также график функцииКоличество точек пересечения этих графиков и будет равняться количеству корней заданного уравнения. При построении графика функции удобно воспользоваться непрерывностью функции на всей числовой прямой и построить график на отрезке а затем исключить крайние точки. Для определения критических точек функции у приходится решать уравнение из которого получаем Последнее уравнение — однородное — решается делением на наивысшую степень одной из переменных. Учитывая, что случай уже рассмотрен, удобно обе части полученного однородного уравнения разделить на (напомним, что при делении на необходимо рассмотреть отдельно).

Решение:

 Исследуем функцию на интервале

Область определения функции — множество всех действительных чисел, следовательно, заданный интервал полностью входит в область определения функции.

Найдем точки пересечения с осями координат. На оси Оу х = 0, тогда у = 0 (но значение х = 0 не принадлежит заданному промежутку). На оси Ох отсюда или В интервал входит только значение (а в отрезок входят также точки которые также являются нулями функции).

Производная существует на всей области определения функции. Следовательно, в критических точках то есть

Уравнение (1) имеет корни которые не принадлежат интервалу Если то, разделив обе части однородного уравнения (2) на получим равносильное ему уравнение Отсюда

Интервалу из множества корней, заданных первой формулой, принадлежит только а из множества 3 корней, заданных второй формулой только

Отмечаем эти критические точки  на интервале и выясняем поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 97).

Находим значения функции в критических точках и строим график функции на интервале (рис. 98). На этом же рисунке строим и график функции у = а при а 0. Как видим, при а 0 уравнение имеет единственный корень на интервале (0;

Дифференциал функции

Пусть функция f (х) в точке имеет производную

Дифференциалом функции в точке называется произведение производной на приращение аргумента

Дифференциал функции обозначается символом Поэтому

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рисунке 99 MB — это касательная в точке М к графику функции у = f (х), длина отрезка Учитывая, что по геометрическому смыслу производной из прямоугольного треугольника AM В получаем то есть Поэтому длина отрезка АВ равна величине дифференциала функции

Исходя из того, что АВ = ВК - АК, можно сформулировать геометрический смысл понятия дифференциала:

С геометрической точки зрения является приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке которому соответствует приращение аргумента

При нахождении дифференциала функции f (х) в любой точке на основании формулы (1) получим

Эта равенство справедливо для любой функции. В частности, для функции f (х) = х равенство (2) обращается в следующее равенство: Отсюда получаем, что дифференциал аргумента равен приращению аргумента

Подставляя dx вместо в формулу (2), получаем

Найденное равенство является основанием для нахождения дифференциала функции.

Пример №134

Найдите для функции f (х) = sin х.

Решение:

 Поскольку

Равенство (3) также показывает, что между понятием производной и понятием дифференциала существует тесная связь. Поэтому и правила нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функций, а именно:

Обоснуем, например, правило 2:

Другие правила обосновываются аналогично (обоснуйте их самостоятельно). Вспомним, что по определению производной Используя понятие бесконечно малой функции (таблица 11), это равенство можно записать так: Тогда приращение

дифференцируемой в точке функции f (х) равно:

В этом равенстве первое слагаемое правой части является дифференциалом функции, следовательно,

Учитывая, что получаем, что второе слагаемое при стремится к нулю быстрее, чем В этом случае говорят, что является величиной более высокого порядка малости, чем то есть второе слагаемое значительно меньше первого слагаемого. Это позволяет сделать следующий вывод:

• дифференциал функции является главной частью приращения функции.

С геометрической точки зрения (см. рис. 99) при расстояние ВС становится значительно меньше, чем расстояние поэтому — главная (т. е. большая) часть отрезка

Если в равенстве (4) принебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях значительно меньше первого слагаемого), то получим приближенное равенство

Тогда

Последнее равенство используется для разных приближенных вычислений функций в тех случаях, когда нетрудно вычислить.

Пример №135

Пользуясь формулой (5), найдите приближенное значение

Решение:

Комментарий:

При вычислении значения по формуле (5):

естественно рассмотреть функцию

взять за число 9, поскольку 9,06 близко к 9. Тогда и значенияи легко находятся при

Отметим, что значение вычисленное с помощью калькулятора, равно 3,00998...

Сведения из истории дифференциального исчисления:

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения аргумента и функции вида которые являются разностями, играют заметную роль в работе с производными. Поэтому естественно появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., то есть во время возникновения нового метода.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова которое ввел в 1797 г. Ж.Лагранж (1736-1813); он же ввел современное обозначение Такое название отражает смысл понятия: функция f' (х) происходит от f (х), является производной от f (х).

Дифференциальное исчисление создано сравнительно недавно, в конце XVII в. Тем удивительнее, что задолго до этого Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.) не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль (используя при этом предельные переходы), но и смог найти максимум функции

Развитию начал дифференциального исчисления способствовали работы математика и юриста П.Ферма (1601-1665), который в 1629 г. предложил правила нахождения экстремумов многочленов. Следует подчеркнуть, что фактически, выводя эти правила, Ферма активно применял предельные переходы, имея простейшее дифференциальное условие максимума и минимума. Развитию нового исчисления способствовали также работы Р. Декарта (1596-1650), разработавшего метод координат и основания аналитической геометрии.

Систематическое учение о производных было развито И. Ньютоном (1643-1727) и Г. Лейбницем (1646-1716), которые независимо друг от друга создали теорию дифференциального исчисления. Ньютон исходил в основном из задач механики (ньютонов анализ создавался одновременно с ньютоновой классической механикой), а Лейбниц преимущественно исходил из геометрических задач. В частности, к определению производной Ньютон пришел, решая задачу о мгновенной скорости, а Лейбниц — рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой.

В дальнейшем работами Л. Эйлера (1707-1783), О. Коши (1789-1857), К. Гаусса (1777-1855) и других математиков дифференциальное исчисление было превращено в целостную теорию для исследования функциональных зависимостей.

О понятии действительного числа:

Хотя математический анализ возник в конце XVII в., однако полное его обоснование было дано только в конце XIX в., когда вслед за теорией пределов, созданной О. Коши, сразу была построена немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вейерштрассом (1815-1897) и Г. Кантором (1845-1918) в нескольких формах теория действительного числа.

Первые представления о числах формировались постепенно под влиянием практики. С давних времен числа применялись в ходе счета и измерения величин.

Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается или натуральным числом, или числом нуль. Следовательно, множество {0; 1; 2; ...} всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратных метра и т. п.

Исторически положительные действительные числа появились как отношение длин отрезков.

С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало понятным, что отношение длин отрезков не всегда можно выразить не только натуральным, но и рациональным числом. Чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, необходимо было ввести новые числа — иррациональные.

Все практические измерения величин имеют только приближенный характер. Их результат с необходимой точностью можно выразить с помощью рациональных дробей или конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до 1 см, мы выясним, что ее длина приближенно равна 1,41 м. Измеряя с точностью до 1 мм, получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м.

Однако в математике часто уклоняются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями являются числа

Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда можно выразить числом, представленным в виде бесконечной десятичной дроби.

Полная теория действительных чисел достаточно сложна и не входит в программу средней школы. Она обычно рассматривается в курсах математического анализа. Однако с одним из способов ее построения мы ознакомимся в общих чертах. 1.

Пусть:

• а) каждому действительному числу соответствует (как его запись) бесконечная десятичная дробь:
• б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь, оканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, только другой записью числа, представленного десятичной дробью, оканчивающей бесконечной последовательностью нулей: 0,9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000... .

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей.

Число — это целая часть положительного числа х, а

— дробная часть числа х. Число называют десятичным приближением х с точностью до с недостатком, а число называют десятичным приближением с точностью до с избытком для числа

Если число х отрицательно, то есть

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число х меньше числа у, когда по меньшей мере для одного выполняется неравенство — десятичные приближения с точностью до с недостатком для чисел х и у. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)

3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).

Суммой двух действительных чисел х и у (обозначается х + у) называют такое действительное число что для любого выполняются неравенства

В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и оно единственное.

Аналогично произведением двух неотрицательных чисел х и у называют такое число (обозначают ху), что при любом п выполняются неравенства

Такое число существует, и оно единственное.

Напомним, что примеры выполнения таким образом определенных действий сложения и умножения действительных чисел было рассмотрены в курсе алгебры 8 класса.

Воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел | х | и | у | уже определено, полагают, что для действительных чисел разных знакова для чисел одинаковых знаков — (как обычно, модулем каждого из чиселназывают число

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью х - у чисел х и у называется такое число что у + z = х. Деление определяется как действие, обратное умножению: частным х : у называется такое число z, что yz = х.

4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные выше, сохраняют основные свойства, присущие им во множестве рациональных чисел.

Производная как скорость

До сих пор мы имели дело с геометрическим смыслом производной, то есть понимали под производной угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции. Не менее важно понять и физический смысл производной. Производная функции — это скорость её изменения, то есть скорость протекания процесса, который описывается данной функцией.

Пусть тело движется по прямой с переменной скоростью. Расстояние пройденное телом за время  зависит от  Эта зависимость  — закон движения данного тела. Найдём его мгновенную скорость  в момент 

За время от тело проходит расстояние  За этот промежуток времени  тело движется со средней скоростью. Если  где — скорость движения тела в момент   С другой стороны — если при  — значение производной функции  в точке  Следовательно, если  — закон движения тела, то производная этой функции — скорость движения в момент  Рассмотрим конкретный пример. Как известно, свободное падение тела происходит по закону  где постоянная  — его ускорение. С какой скоростью тело движется в момент  после начала падения?

Решить задачу можно так. За время от  тело проходит расстояние

со средней скоростью — 

Если 

Получили результат, хорошо известный из курса физики. Такой способ решения задачи нерационален, так вынуждены рассуждать те, кто не знает производной и её физического смысла. Если же мы знаем, что скорость прямолинейного движения — это производная функции, выражающей закон этого движения, то задачу можно решить проще:

Так можно находить не только скорость прямолинейного движения, но и скорость протекания многих процессов: химической реакции, радиоактивного распада, нагревания тела, таяния льда, плавления металла, размножения бактерий и т. д. Таким образом, если некоторый процесс происходит по закону  то скорость протекания этого процесса в момент времени  можно определить по формуле 

Кратко говорят: производная — это скорость.

Скорость движения также может изменяться. Скорость изменения скорости движения — его ускорение. Следовательно, ускорение — производная скорости. Если, например, скорость движения выражается формулой  то его ускорение 

Другой пример. Если какой-то процесс происходит по закону 

то скорость его протекания в момент  а его ускорение в этот самый момент: 

С помощью производной решают много задач из различных ' областей науки и практики. Приведём примеры часто применяемых формул, содержащих производную:

•  — угловая скорость — производная от угла поворота;
•  — угловое ускорение — производная от угловой скорости;
•  — сила тока — производная от количества электричества;
•  — мощность — производная от работы;
•  — теплоёмкость — производная от количества теплоты;
•  — производительность труда — производная от объёма продукции.

Пример №136

Сигнальная ракета летит вертикально вверх так, что её движение описывается законом  (время  — в секундах, расстояние  — в метрах). Найдите:

а)    скорость ракеты через 5 секунд движения;

б)    на какую максимальную высоту долетит ракета?

Решение:

а) Найдём скорость ракеты в любой момент времени как производную от функции 

Тогда 

б) Найдём точку экстремума функции  решив уравнения  Отсюда 

Если  Итак  — точка максимума. Тогда

 Ответ. 

Пример №137

Количество теплоты  которое необходимо для нагревания воды массой 1 кг от  до температуры  приближённо можно определить по формуле  Установите зависимость теплоёмкости воды  от температуры.

Решение:

 

Пример №138

Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону  (время  — в секундах, координата  — в метрах). Найдите: а) кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения; б) силу, действующую на тело в это время.

Решение:

а) Кинетическая энергия тела определяется формулой  где  — масса тела, а  — скорость. Найдём скорость тела  в любой момент времени и через 5 с после начала движения — 

Тогда 

б) Сила, действующая на движущееся тело, определяется формулой Найдём ускорение тела  в любой момент времени и через 5 с после начала движения — 

Тогда 

Ответ. 

Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств

Рассмотрим, как с помощью исследования функций можно решать уравнения и неравенства.

Если известно, что непрерывная функция  возрастает на промежутке  а на его концах приобретает числовые значения разных знаков, то это означает, что на  график функции пересекает ось  в одной точке (теорема Больцано—Коши, с. 12 2). Следовательно, на  уравнение  имеет один корень.

Пример №139

Имеет ли уравнение  корни на промежутке 

Решение:

Рассмотрим функцию  Её производная  Критическая точка одна: 

Если  поэтому на промежутке  следовательно, и на  функция  возрастает.

 т. е. на концах промежутка  значения функции имеют разные знаки.

Ответ. На промежутке  данное уравнение имеет один корень.

Пример №140

Решите уравнение 

Решение:

Исследуем функцию  на монотонность. Её область определения — множество действительных чисел  Производная  положительная при всех значениях  Следовательно, на всей области определения функция  возрастает,  Это означает, что её график обязательно пересекает ось  и к тому же — только в одной точке. Вывод: данное уравнение имеет один действительный корень. Поскольку  то точка пересечения графика функции с осью  находится на промежутке (рис. 98). Следовательно, искомый корень уравнения 

Чтобы найти более точное значение корня, сужают рамки промежутка: 

Следовательно, 

 

Подобным способом приближённое значение корня можно найти с любой точностью.

Пример №141

Решите неравенство 

Решение:

Используя рисунок 98, делаем вывод: множество решений данного неравенства — промежуток  где  — корень рассматриваемого выше уравнения. Такой ответ — приближённый. Но если, например, требуется найти целые решения данного неравенства, то ответ можно дать точный:  где 

Рассмотренные способы решения уравнений и неравенств основываются на таком свойстве непрерывных функций. Если функция  непрерывна и не равна нулю ни в одной точке промежутка  то она на этом промежутке сохраняет знак, то есть, её значения на всём промежутке только положительные или только отрицательные. Доказательство этого свойства есть в курсе математического анализа. Мы же ограничимся только наглядным объяснением. Если график непрерывной функции на промежутке  не пересекает ось  то весь он на этом промежутке находится выше оси  или ниже неё.

На этом свойстве непрерывных функций основан и метод интервалов, которым удобно решать неравенства.

Пример №142

Решите неравенство

Решение:

Функция  определена на 

Её значения равны нулю в трёх точках:  Эти точки числовую ось  разбивают на 4 промежутка:  На каждом из этих промежутков значение функции  не равно 0, поэтому на каждом из этих промежутков функция  сохраняет знак. Какие именно знаки, нетрудно определить и устно: Следовательно, схематически график функции  можно изобразить, как показано на рисунке 99. Используя рисунок, сразу можно записать ответ: 

Методом интервалов можно решать и дробно-рациональные неравенства. Ведь, например, неравенство

равносильно рассмотренному выше, поэтому имеет такое же множество решений.

Замечание:. He надо думать, что знаки непрерывной функции  в соседних промежутках всегда разные. Например, график функции  схематически можно изобразить, как показано на рисунке 100. В смежных промежутках  знаки функции одинаковы. Подобное случается, когда функция содержит чётные степени множителей или их модули. Ведь они неотрицательные и на знак функции не влияют.

Применение производной для доказательства неравенств опирается на понятие наибольшего и наименьшего значения функции на множестве или на монотонность функции.

Доказать неравенство вида  можно по следующему плану:

1. запишите функцию 
2. найдите производную 
3. найдите критические точки функции  решив уравнение  и учитывая заданное множество или область определения функции 
4. покажите, что найденная критическая точка является точкой максимума (воспользуйтесь достаточным условием существования экстремума);
5. вычислите  и сравните с нулём;
6. сделайте вывод, воспользовавшись неравенством 

Аналогично можно составить план для доказательства неравенства вида 

Пример №143

Докажите, что для  выполняется неравенство 

Доказательство:

В данном случае 

Найдём производную  Найдём критические точки:  Решая записанное уравнение и учитывая условие  получим  Исследуем знак производной  на интервалах   Для  а для  Следовательно, точка  является точкой максимума функции  Поскольку это единственная точка экстремума на рассматриваемом множестве, то  является наибольшим значением функции на множестве  Поскольку  то или  что и требовалось доказать.

Пример №144

Докажите, что для  выполняется неравенство 

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию  Найдём её производную  Функция имеет одну критическую точку  Она является точкой минимума, поскольку, если  а если  то  Поскольку это единственная критическая точка и она является точкой минимума, то в этой точке функция принимает своё наименьшее значение. Поэтому  Следовательно, для всех 

Следовательно, если 

Пример №145

Сколько корней имеет уравнение 

Решение:

Исследуем функцию  на монотонность и экстремумы.

 Критические точки: 

Поскольку при  то график функции  пересекает ось  один раз на промежутке  и один раз на промежутке  Следовательно, данное уравнение имеет два действительных корня.

Определение производной функции в математике

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Определение производной функции:

В задачах на процессы (движения, работы, планирования и т. д.), как правило, скорость рассматриваемого процесса предполагается постоянной на всем указанном в условии задачи промежутке времени.

Формула, выражающая связь между  (пройденным путем) и  (временем движения) при постоянной скорости движения  имеет вид 

Эта зависимость  от  линейная, ее график удобно изображать в системе координат (рис. 125): горизонтальная ось — ось времени  вертикальная ось — ось пройденного пути 

Графиком линейной зависимости  является прямая.

Заметим, что пройденный путь  численно равен длине отрезка  время  численно равно длине отрезка  Из прямоугольного треугольника отношение катета, противолежащего острому углу  к прилежащему катету равно тангенсу утла  то есть

Таким образом, делением пройденного пути на затраченное на этот путь время находится  — средняя скорость.

Тангенс угла  равен численному значению скорости протекания процесса, а угол наклона прямой  к оси абсцисс характеризует скорость процесса движения.

В реальных процессах скорость движения (других процессов) не является постоянной даже на небольшом промежутке времени. В физике рассматривается как понятие средней скорости, модуль которой равен отношению модуля перемещения ко всему времени перемещения, так и мгновенной скорости.

Рассмотрим алгоритм вычисления этих величин.

Пусть функция  — зависимость пройденного пути от времени — задана графически (рис. 126).

1.  Выберем  — начальный момент времени.
2.  Найдем  — расстояние (пройденный путь) в момент  от начала отсчета.
3.  Выберем — некоторый промежуток времени.
4.  Получим  — новый момент времени.
5.  Отметим  — расстояние в момент времени  от начала отсчета.
6.  Найдем  — расстояние, пройденное за промежуток времени 
7. Найдем среднюю скорость движения на промежутке  
8. Если промежуток  бесконечно уменьшается, говорят «стремится к нулю»  то средняя скорость  стремится к мгновенной скорости 

Мгновенная скорость фиксируется при движении автомобиля на трассе с помощью приборов фиксации скорости, например радара.

По аналогии со средней и мгновенной скоростями процесса движения в математике рассматриваются средняя и мгновенная скорости изменения различных функций.

Для вычисления значений этих величин рассмотрим, как изменяется значение функции при переходе от одного значения аргумента к другому, иначе говоря, найдем приращение функции.

Для того чтобы вычислить приращение функции  нужно:

1.  Выбрать некоторое значение аргумента  — первоначальное значение аргумента.
2.  Найти  — первоначальное значение функции.
3.  Изменить значение аргумента, для этого выбрать  — приращение аргумента.
4.  Получить  — наращенное значение аргумента.
5.  Найти наращенное значение функции 
6.  Найти приращение функции 

Например, используя алгоритм, найдем приращение функции  при переходе от

1. Выберем некоторое значение аргумента  — первоначальное значение аргумента.
2. Найдем  — первоначальное значение функции:
3. Изменим значение аргумента. Выберем  — приращение аргумента.
4. Получим  — наращенное значение аргумента.
5. Найдем наращенное значение функции:
6. Найдем приращение функции:

Пример №146

Найдите значение приращения функции  если:

Решение:

Подставим данные значения  в найденное выражение 

а)При  получим

б) при  получим

в) при  получим

г) при  получим

Заметим, что приращение функции зависит от первоначального значения аргумента и от приращения аргумента.

Для функции  найдем отношение приращения функции к приращению аргумента при переходе от 

Пусть  бесконечно уменьшается, т. е.  стремится к нулю, тогда отношение   стремится к которое уже не зависит от приращения 

При  это число равно 4, при  это число равно 2 и т. д.

Определение:

Производной функции  в точке называется число, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента  при приращении аргумента  стремящемся к нулю. Производная функции обозначается  и читается «эф штрих от 

Поскольку для функции  отношение  стремится к при  стремящемся к нулю, то производная этой функции в точке  равна 

Можно записать  (так как  — произвольная точка, то индекс в обозначении  можно опустить). Производная при данном значении  есть число. Если производная данной функции существует для каждого  из некоторого промежутка, то она является функцией от 

Для того чтобы найти производную функции  нужно:

1. Найти приращение функции при переходе от  к 
2. Найти  отношение приращения функции к приращению аргумента.
3. Найти производную функции  — число, к которому стремится  при условии, что  стремится к нулю.

Найдите производную функции

Пример №147

Найдите производную функции 

Решение:

  тогда 

Отношение  не зависит от  оно постоянно и равно 5, т. е. при получим, что 

Таким образом, 

Пример №148

Найдите производную функции  в точке 

Решение:

Так как  то подставим в выражение  значение 

Принятое обозначение: 

Вернемся к мгновенной скорости движения. При  стремящемся к нулю, средняя скорость стремится к мгновенной  при  следовательно, мгновенная скорость является производной функции 

Пример №149

Закон движения задан функцией  Найдите скорость движения в момент времени 

Решение:

Так как мгновенная скорость  движения, заданного функцией   равна производной этой функции в точке, то найдем производную функции  т. е. 

1. Найдем приращение функции при переходе от 

 тогда

2. 

3. При  получим, что 

Таким образом, 

Скорость движения в момент времени  равна 

Вообще говоря, если изменение какой-то величины задается функцией  то мгновенная скорость изменения этой величины при  равна  или коротко: производная есть скорость изменения функции.

Пример №150

Найдите приращение функции при переходе от  если: 

Решение:

а) 1. Выберем некоторое значение аргумента  — первоначальное значение аргумента.

2. Найдем  —первоначальное значение функции: 

3.Изменим значение аргумента. Выберем  — приращение аргумента.

4.Получим  — наращенное значение аргумента.

5. Найдем наращенное значение функции:

6. Найдем приращение функции:

Пример №151

Найдите отношение  если:

Решение:

Воспользуемся результатами предыдущего задания и получим:

Пример №152

Определите, к чему стремится отношение  для функции:

 — если  стремится к нулю 

Решение:

Используем результаты предыдущего задания и получим:

 так как второе слагаемое в сумме стремится к нулю, то сумма стремится к  т. е. при  получим, что 

 так как отношение  не зависит от  оно постоянно и равно 2. Таким образом, при  получим, что 

Пример №153

Найдите производную функции:

Решение:

Так как производная функции равна числу, к которому стремится  при  то, используя результаты предыдущего задания, получим:

Пример №154

Вычислите производную функции:

Решение:

Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем задании.

а)    Так как  то подставим значения переменной  в выражение  и получим:

 так как производная функции  равна 2 и не зависит от  то при любом значении переменной ее значение равно 2, т. е. 

Пример №155

Закон движения задан функцией:

Найдите скорость движения в момент времени 

Решение:

а) Так как мгновенная скорость движения, заданного функцией  равна производной этой функции, то  В момент  найдем ее значение: 

б)    Так как  не зависит от  то в любой момент времени она равна 2.

Пример №156

Найдите производную линейной функции  

Решение:

1.  тогда

2. 

3. Так как отношение  не зависит от  то оно постоянно и равно  значит, 

Пример №157

Используйте результат предыдущего задания и найдите производную функции:

Решение:

  так как 

Пример №158

Найдите производную постоянной функции 

Решение:

поэтому 

Нахождение производной функции

Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Правила 1—4 называются правилами дифференцирования. Их применяют для вычисления производных различных функций.

Пример №159

Найдите  если:

Решение:

а) Найдем производную функции  по правилам нахождения производной суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и формул производных: 

б) Найдем производную функции  по правилу нахождения производной произведения:

в) Найдем производную функции  по правилу нахождения производной частного:   

г) Используем правило вынесения постоянного множителя за знак производной и правило нахождения производной степени:

Пример №160

Вычислите:  — если 

Решение:

Найдем производную функции  используя правила нахождения производной суммы, степени и вынесения постоянного множителя: 

Подставляя в выражение  указанные значения переменной, находим:

Пример №161

Решите уравнение  если 

Решение:

Найдем производную функции  используя правила нахождения производной суммы, степени и вынесения постоянного множителя:

Тогда уравнение  примет вид:  Решим его:

Ответ:  

Пример №162

Прямолинейное движение точки задано уравнением  (путь измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите скорость движения в момент времени, равный 8 с.

Решение:

Так как мгновенная скорость движения, заданного функцией  равна производной этой функции, то  в момент времени, равный 8 с.

Найдем ее значение: 

Ответ: 

Пример №163

Найдите производную функции, используя правила дифференцирования:

Решение:

Пример №164

Вычислите  если 

Решение:

Найдем производную функции 

По правилу нахождения производной частного получим: 

Тогда: 

Пример №165

Решите уравнение 

Решение:

 

Пример №166

Решим уравнение 

Решение:

Ответ:  

Пример №167

Решите неравенство  если 

Решение:

 

Пример №168

Решим неравенство 

Решение:

Найдем нули функции 

Положительные значения функция принимает левее меньшего корня или правее большего: 

Ответ: 

Пример №169

Решите неравенство  если 

Решение:

Решим неравенство  методом интервалов:

Ответ: 

Пример №170

Закон прямолинейного движения задан функцией 

Найдите, при каких значениях времени мгновенная скорость движения больше 1.

Решение:

Так как мгновенная скорость движения, заданного функцией равна производной этой функции, то 

В соответствии с условием решим неравенство:

Так как 

Ответ: 

Геометрический смысл производной. Связь между знаком производной функции и ее возрастанием или убыванием

Рассмотрим свойства производной функции, которые используют для изучения свойств функции  (рис. 128 на с. 240). Прямую  проходящую через две точки графика функции  называют секущей. Тангенс угла  наклона секущей к оси абсцисс можно определить из прямоугольного треугольника 

Если  стремится к нулю, то точка  двигаясь по кривой, приближается к точке 

В предельном положении, когда точка  совпадет с точкой  прямая займет положение касательной к графику функции в точке 

Тангенс угла  наклона касательной к оси абсцисс равен числу, к которому стремится  при условии, что  стремится к нулю, т. е. производной функции  в точке 

Геометрический смысл производной: если функция  имеет производную в точке  то тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции в точке  равен производной функции в этой точке, т. е.  (рис. 129).

Для того чтобы найти угол наклона касательной к оси абсцисс, проведенной к графику функции  в точке  нужно:

1.  Найти производную функции 
2. Найти значение производной в точке  т. е.  Полученное значение равно тангенсу угла наклона  касательной к оси абсцисс, т. е.
3.  Сравнить значение  с нулем. Если  то угол  острый и  если  то угол  тупой и  если 

Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции  в точке с абсциссой 

1. 

2. 

3. Так как  то угол  острый и  значит, 

Пример №171

Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции  в точке с абсциссой 

Решение:

1. Найдем производную функции:

2. Найдем значение производной в точке 

Получим тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс:

3. Так как  то угол  тупой, значит, 

Заметим, что в уравнении прямой  коэффициент  где  — угол наклона этой прямой к оси абсцисс (рис. 130).

Пример №172

Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке 

Решение:

Запишем уравнение прямой  Если  является касательной к графику функции  в данной точке, то Найдем значение производной функции  в точке   значит,  Тогда 

Найдем значение функции в точке  т. е. прямая   проходит через точку с координатами (1; 2).

Подставим найденные значения в уравнение прямой  и получим: 

Таким образом,  — это уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке 

Заметим, что не в любой точке графика функции можно провести касательную. Например, в точке  касательной к графику функции

 не существует (рис. 131), значит, не существует производной в точке  функции 

Рассмотрим график функции  возрастающей на некотором промежутке. Проведем касательные в точках графика этой функции (рис. 132) и заметим, что углы, которые образуют эти касательные с осью абсцисс, — острые. Следовательно, производная этой функции в каждой точке этого промежутка положительна. Справедлива теорема, которую мы примем без доказательства.

Признак возрастания функции

Теорема 1 (признак возрастания функции). 

Если функция имеет положительную производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает на этом промежутке.

Рассмотрим график функции  убывающей на некотором промежутке. Углы, которые образуют касательные к графику этой функции с осью абсцисс, — тупые (рис. 133). Значит, производная этой функции в каждой точке этого промежутка отрицательна.

Признак убывания функции

Теорема 2 (признак убывания функции).

Если функция имеет отрицательную производную в каждой точке некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Признаки возрастания и убывания функции сформулированы для непрерывных функций.

Представление о непрерывной функции дает ее график: его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Так, на рисунке 134 изображен график непрерывной функции, а на рисунке 135 — график функции, которая не является непрерывной.

 

Нахождение промежутков монотонности функции

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции   нужно:

1. Найти область определения функции 
2. Найти производную функции
3. Решить неравенства  и  Знаки производной и соответствующие промежутки монотонности функции отметить на схеме.
4. Записать ответ: решения неравенства  — это промежутки возрастания данной функции; решения неравенства — это промежутки убывания данной функции. Для непрерывных функций концы промежутков монотонности можно включить в ответ.

Найдите промежутки монотонности функции 

1. 

2. 

3.    при 

4. Ответ: функция возрастает на промежутках  функция убывает на промежутке   

Пример №173

Найдите промежутки монотонности функции

Решение:

1. 

2. 

3. 

Отметим на схеме знаки производной и соответствующие промежутки монотонности функции.

4.Ответ: функция возрастает на промежутках  и убывает на промежутках 

Рассмотрим функцию  заданную графически. Выясним, какой особенностью обладают точки  отмеченные на рисунке 136.

Вблизи абсциссы  точки  во всех точках значения функции (ординаты точек) больше, чем в точке  Таким же свойством обладают точки 

Точки  — точки минимума данной функции (обозначается 

Вблизи абсциссы  точки  во всех точках значения функции (ординаты точек) меньше, чем в точке  Таким же свойством обладают точки Точки  — точки максимума данной функции (обозначается 

Точки минимума и точки максимума называют точками экстремума функции. Так, точки  — точки экстремума данной функции.

На рисунке 137 точка  — точка минимума функции  Значение функции в точке минимума  называют минимумом функции (обозначают fmm).

Точка  — точка максимума функции  Значение функции в точке максимума  называют максимумом функции (обозначают 

Минимумы и максимумы называют экстремумами функции.

В точках экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси абсцисс (точки  на рисунке 138), тогда производная в этой точке равна нулю, либо не существует (точка  это означает, что производная в этой точке не существует.

Заметим, что слева от точки максимума функции  значения производной положительны (функция возрастает), а справа — отрицательны (функция убывает).

Говорят: «при переходе через точку максимума производная меняет знак с «плюса» на «минус» (рис. 139).

Если  — точка минимума функции  то значения производной слева от этой точки отрицательны (функция убывает), а справа — положительны (функция возрастает).

Говорят: «при переходе через точку минимума производная меняет знак с «минуса» на «плюс» (рис. 140). 

Признак точки максимума функции

Теорема 3 (признак точки максимума функции)

Если функция  непрерывна в точке  а производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через эту точку, то эта точка — точка максимума функции.

Признак точки минимума функции

Теорема 4 (признак точки минимума функции)

Если функция  непрерывна в точке  а производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через эту точку, то эта точка — точка минимума функции.

Нахождение точек экстремума функции

Для того чтобы найти точки экстремума функции  нужно:

1. Найти область определения функции 
2. Найти производную функции 
3. Найти точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Если функция непрерывна в точке  а производная при переходе через эту точку  меняет знак:

•     с  на  то эта точка — точка максимума функции;
•     с  на  то эта точка — точка минимума функции.

Найдите точки экстремума функции

1. 

2.

3. 

 существует на всей области определения функции 

 

Пример №174

Найдите точки экстремума и экстремумы функции

Решение:

1 

2. 

3. 

4.

Ответ:  

На рисунках 141, а, б, 6 изображены касательные к графикам функции в точке  Они параллельны оси абсцисс, следовательно, производная в точке  равна нулю во всех трех случаях.

Но производная функции, изображенной на рисунке 141, в, не меняет знак при переходе через эту точку, поэтому в данном случае точка  не является точкой экстремума функции (она называется точкой перегиба).

 

На рисунках 142, а, б, в изображены графики функций, касательная в точке  к которым не существует, т. е. не существует производной в точке  во всех трех случаях. Но на рисунках 142, а, б эти точки являются точками экстремума, а на рисунке 142, в — точка  не является точкой экстремума функции.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются ее критическими точками.

Пример №175

Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции  в точке 

Решение:

1) Найдем производную функции: 

2)    Найдем значение производной в точке 

Пример №176

Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции  точке 

Решение:

1. Найдем производную функции: 

2. Найдем значение производной в точке 

3. 

4. Так как  то угол  тупой, значит, 

5.Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 

Решение:

Уравнение прямой, являющейся касательной к графику данной функции в данной точке, имеет вид  Так как  то найдем значение производной данной функции в точке  значит,  Тогда Найдем значение функции в точке  т. е. прямая проходит через точку с координатами  Подставим найденные значения в уравнение прямой  и получим:  Таким образом,  это уравнение искомой касательной.

Пример №177

Функция  задана графически (рис. 143). Определите значение производной данной функции в точках 

Решение:

Так как касательные к графику функции в точках  параллельны оси абсцисс, то угол наклона касательных в этих точках к оси абсцисс равен нулю, т. е.  тогда  а так как  то 

Пример №178

Для графика функции, изображенного на рисунке 144, выберите верные утверждения:

Решение:

а) На рисунке 144, а изображен график возрастающей функции. На этом графике нет точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс, значит, производная функции положительна  Верно утверждение 3).

б)    На рисунке 144, б изображен график постоянной функции, значит, Верно утверждение 1).

в)    На рисунке 144, в изображен график убывающей функции. На этом графике нет точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс, значит, производная функции отрицательна  Верно утверждение 2).

Пример №179

Найдите промежутки монотонности функции: 

Решение:

 

4. Ответ: функция возрастает на промежутке  функция убывает на промежутке 

Ответ: функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутках 

Пример №180

По графику функции  (рис. 145) найдите точки экстремума и экстремумы функции.

Решение:

Точки минимума: 

Минимумы функции равны:

 

Точки максимума:

Максимумы функции равны: 

Пример №181

Найдите точки экстремума функции 

Решение:

 

Пример №182

Найдите точки максимума и минимума функции 

Решение:

 

При переходе через точку 0 знак производной не меняется.

4.  точек максимума функция не имеет.

Пример №183

Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции 

Решение:

 

Функция возрастает на промежутках 

Функция убывает на промежутках 

Применение производной к исследованию функций

Исследование функций с помощью производной позволяет изучать свойства различных функций, например целых рациональных и дробно-рациональных.

Алгоритм исследования функции с помощью производной

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность.
3. Найти, если возможно, нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), для этого решить уравнение 
4. Найти точку пересечения графика с осью ординат, для этого вычислить значение функции в точке 0, т. е. 
5. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции.
6. Построить график, используя результаты исследования. Рассмотрим некоторые примеры исследования функций и построения их графиков.

Пример №184

Исследуйте функцию  и постройте ее график.

Решение:

1. Найдем область определения функции: 

2. Исследуем функцию на четность:  значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Найдем нули функции, для этого решим уравнение 

4. Найдем точку пересечения графика с осью ординат, для этого вычислим: 

5. Найдем промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции: 

Полученные результаты занесем в таблицу.

6. Построим график, используя результаты исследования:

а)    Отметим точки пересечения графика функции с осями координат по результатам пунктов 3 и 4 исследования (рис. 153, а).

б)    Отметим экстремумы по результатам пункта 5 исследования (рис. 153, б).

в)    Достроим график на промежутках возрастания и убывания функции

Пример №185

Исследуйте функцию  и постройте ее график.

Решение:

Используем алгоритм исследования графика функции с помощью производной: 

 значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

Результаты исследования занесем в таблицу.

6. Построим график, используя результаты исследования (рис. 154).

Пример №186

Постройте график функции, если некоторые ее свойства отражены в таблице:

Решение:

Например:

Пример №187

Исследуйте функцию  и постройте ее график.

Решение:

Используем алгоритм исследования графика функции с помощью производной:

 

значит, функция четная, т. е. ее график симметричен относительно оси ординат. Пусть  тогда уравнение принимает вид

График функции пересекает ось абсцисс в точках 

График функции пересекает ось ординат в точке (0; -4,5).

6. Построим график функции (рис. 155).

Пример №188

Исследуйте функцию  и постройте ее график.

Решение:

Используем алгоритм исследования графика функции с помощью производной: 

 так как  и  то функция не является ни четной, ни нечетной.

 График функции пересекает ось абсцисс между точками  так как 

  График функции пересекает ось ординат в точке 

6. Построим график функции (рис. 156).

Наибольшее и наименьшее значение функции

Рассмотрим задачу:

Для упаковки подарка изготовили коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Коробку украсили, оклеив все ребра параллелепипеда цветной лентой (рис. 160). Всего потребовалось 3,6 м ленты. Найдите размеры коробки, если известно, что ее объем наибольший.

Решение:

Обозначим сторону основания коробки через  а высоту — через  м. Тогда длина ленты равна сумме длин всех ребер коробки: 

Объем коробки равен  Из равенства  выразим  тогда  т.е. 

Получили функцию  для которой нужно найти наибольшее значение при 

Для решения задач на отыскание наибольшего (наименьшего) значения функции применяется производная функции.

Рассмотрим функцию  для  Если внутри отрезка  нет критических точек, тогда она возрастает или убывает на отрезке  (рис. 161). Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке  достигаются на концах промежутка.  

Если же внутри отрезка  есть конечное число критических точек, то эти точки разбивают отрезок на конечное число отрезков (рис. 162). Внутри каждого из них нет критических точек, а значит, на каждом из них функция возрастает или убывает. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции на каждом из них достигаются на концах промежутков. Концы этих промежутков являются или критическими точками данной функции, или концами отрезка   Значит, наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке  достигаются в критических точках или на концах промежутка.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке  нужно:

1. Найти производную функции 
2. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки функции).
3. Выбрать из этих точек те, которые принадлежат отрезку 
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка 
5. Выбрать из этих значений наибольшее значение функции  на отрезке  (обозначается  и наименьшее значение функции  на отрезке  (обозначается 

Рис. 161

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке 

Точек, в которых производная не существует, нет.

Вернемся к задаче, рассмотренной в начале параграфа. Для функции  найдем наибольшее значение на отрезке  (присоединим концы промежутка).

1. Найдем производную функции 

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки функции):

Точек, в которых производная не существует, нет.

3. Выберем из этих точек те, которые принадлежат отрезку 

4. Вычислим значение функции в выбранных критических точках и на концах отрезка 

5. Выберем из этих значений наибольшее:

Таким образом, наибольшее значение функции  для  достигается при 

Найдем значение  Если 

Ответ: коробка имеет наибольший объем, если все ее ребра равны по 0,3 м.

Пример №189

Участок земли прямоугольной формы одной стороной граничит с рекой. При каких размерах площадь участка будет наибольшей, если для его ограждения выделена сетка длиной 900 м?

Решение:

Наибольшее значение нужно найти для площади прямоугольника.

Длина изгороди равна  где  — длины сторон участка прямоугольной формы, причем  — сторона участка, прилегающая к берегу реки.

Площадь прямоугольника: 

Выразим  из условия  и получим  тогда 

По смыслу задачи  значит, 

Рассмотрим функцию  и найдем наибольшее значение этой функции для 

Таким образом, наибольшее значение функции  для  достигается при 

Найдем значение  Если  Ответ: площадь участка будет наибольшей, если сторона, прилегающая к берегу реки, будет равна 450 м, а другая сторона — 225 м.

Алгоритм решения задач на вычисление наибольшего и наименьшего значения величины

1. Выделить в условии задачи величину, для которой нужно найти наибольшее (наименьшее) значение.
2. Записать выражение этой величины в соответствии с условием задачи: получить функцию от одной переменной.
3. Найти промежуток изменения переменной функции.
4. Исследовать функцию на промежутке.
5. Записать ответ в соответствии с условием задачи.

Пример №190

На странице печатный текст должен занимать  Верхнее и нижнее поля страницы равны по 3 см, правое и левое — по 2 см. Какими должны быть размеры страницы, чтобы ее общая площадь была наименьшей?

Решение:

1. Наименьшее значение нужно найти для площади страницы.

2.  где  — размеры страницы.

По условию задачи  откуда 

Тогда 

3. По смыслу задачи 

4. Исследуем функцию  на промежутке 

Точка  — единственная критическая точка данной функции на промежутке  являющаяся точкой минимума.

Следовательно, в этой точке функция  на промежутке  достигает наименьшего значения.

Общая площадь страницы будет наименьшей, еслисм а 

5. Ответ: 14 см и 21 см.

Пример №191

С помощью рисунка 163 (см. с. 270), на котором изображен график функции   найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:

Решение:

 

Пример №192

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке 

Решение:

Точек, в которых производная не существует, нет. 

Пример №193

Открытый бак с квадратным основанием должен вмещать 500 л  жидкости. В каком случае на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?

Решение:

1. Нужное количество материала для изготовления бака (без отходов) равно площади поверхности бака. Наименьшее значение нужно найти для площади поверхности бака.

2. Площадь поверхности бака  где  — сторона основания,  — высота. Объем бака  Выразим  и получим

 откуда 

3. По смыслу задачи 

4. Исследуем функцию  на промежутке 

  при 

Точка  — единственная критическая точка функции  на промежутке  и она является точкой минимума.

Значит, в этой точке функция  на промежутке достигает наименьшего значения. Таким образом, в том случае, когда сторона основания бака  а высота бака  на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала.

4. Ответ: на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала, если сторона его основания будет равна 10 дм, а высота — 5 дм.

Производная в алгебре

Вычисление и нахождение производной в алгебре одна из самых сложных тем, поэтому начнём с изучение понятия скорости и касательной.

Скорость

Прямолинейным и равномерным движением называется движение, при котором тело (точка) движется по прямой и за равные промежутки времени проходит равные пути. Скоростью этого движения называется отношение пути , пройденного за промежуток времени, к величине этого промежутка, т. е. Если движение неравномерное, то отношение меняется, поэтому говорить о скорости неравномерного движения так просто, как это можно сделать при равномерном движении, нельзя. Разберем подробнее этот вопрос.

Пусть по железной дороге (рис. 44), на которой имеются станции движется поезд от станции до станции согласно приведенному ниже расписанию. В расписании указаны также расстояния от начальной станции. Напомним, что средней скоростью при любом движении называется отношение пути к промежутку времени, за который этот путь пройден.

Весь путь от до поезд проходит за три часа, а это расстояние равно 120 км, поэтому средняя скорость поезда равна 40 км/час.

Но этот же поезд на отдельных перегонах имеет большую среднюю скорость.

На станции , как это видно из расписания, поезд не останавливается. Поставим вопрос: что мы будем понимать под скоростью поезда в момент прохождения им станции и чему эта скорость будет равна? Будем вычислять средние скорости на различных перегонах, имеющих станцию или своим началом, или концом:

• перегон км проходится за 1 час 20 мин; средняя скорость равна 45 км/час;
• перегон проходится за 1 час; средняя скорость равна 40 км/час;
• перегон проходится за 30 мин; средняя скорость равна 40 км/час;
• перегон проходится за 1 час 40 мин; средняя скорость равна 36 км/час;
• перегон проходится за 1 час 5 мин; средняя скорость равна км/час;
• перегон проходится за 40 мин; средняя скорость равна 37,5 км/час.

Как видим, средние скорости меняются от перегона к перегону. Какую же скорость принять за истинную? Ведь мимо станции D поезд проходил с вполне определенной скоростью. Чему же она равна? Ответить на поставленный вопрос нельзя, так как у нас нет для этого оснований. Однако вероятнее всего, что средние скорости на участках и будут лучше отражать истинное положение, так как на перегонах и поезд подвергался меньшим случайностям, чем на больших перегонах. Но и эти скорости не являются ответом на вопрос. Ведь можно и дальше уменьшать перегоны и получать все новые и новые средние скорости. Очевидно, чем меньше перегон, тем лучше средняя скорость будет отображать действительное положение. Поэтому за скорость в данный момент принимают предел средней скорости за промежуток времени, имеющий началом данный момент, при условии, что этот промежуток стремится к нулю.

Касательная

Как известно, касательная к окружности имеет с окружностью одну общую точку. Если же рассмотреть какую-нибудь другую линию, например синусоиду, то прямая, касающаяся синусоиды в точке (рис. 45), пересечет ее в точке , т. е. будет иметь с ней уже две общие точки. Таким образом, определение касательной, данное для окружности, к другим линиям уже неприменимо. Общее определение касательной стало возможным только после того, как было введено понятие предела.

Рассмотрим кривую и на ней точку (рис. 46). Проведем через эту точку прямую, пересекающую линию еще и в точке . Точка может лежать по любую сторону от точки . На рис. 46 указаны два возможных положения точки . Точку не будем менять в процессе рассуждения, а точку , наоборот, начнем двигать по линии в направлении к точке . Тогда секущая будет поворачиваться вокруг точки . Если при этом окажется, что существует предельное положение секущей при условии, что приближается к , то предельное положение секущей и называют касательной к рассматриваемой линии в данной точке .

Выше были рассмотрены два различных примера, между ними есть нечто общее. Для того чтобы это выяснить, нужно стать на функциональную точку зрения.

Пусть дана функция .

Чтобы получить задачу о скорости, будем считать, что независимое переменное есть время, а — расстояние точки, движущейся по прямой, от начала координат. Уравнение в этом случае называется законом движения. Чтобы получить задачу о касательной, будем считать, что —абсцисса и — ордината точки, лежащей на кривой линии, определяемой уравнением .

Будем производить над функцией некоторые операции и одновременно выяснять, что эти операции означают в задаче о скорости и в задаче о касательной.

1. Дадим определенное числовое значение и вычислим соответствующее значение

В задаче о скорости это значит, что для определенного момента времени мы нашли расстояние движущейся точки от начала координат (рис. 47).

В задаче о касательной это означает, что мы определили координаты точки , лежащей на кривой, определенной уравнением (рис. 48).

2. Дадим приращение и вычислим соответствующее приращенное значение , которое отличается от первоначального на величину (приращение функции) (см. гл. V, § 4):

В задаче о скорости тем самым мы определяли положение , движущейся точки в момент времени .

В задаче о касательной получена новая точка . Здесь .

3. Найдем приращение функции ; для этого вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):

В задаче о скорости вычислен путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента до момента . В задаче о касательной вычислен отрезок .

4. Разделим на , т. е. найдем отношение приращения функции к приращению независимого переменного:

В задаче о скорости вычислена средняя скорость за промежуток времени от момента до момента .

В задаче о касательной найдено отношение отрезков и , т. е. тангенс угла , являющийся угловым коэффициентом секущей .

5. Найдем предел при условии, что :

В задаче о скорости найденный предел дает скорость в данный момент. В задаче о касательной этот предел дает тангенс угла наклона касательной к оси .

Таким образом, последовательность операций 1, 2, 3, 4, 5, произведенных над функцией, приводит к двум важным понятиям:

1. скорости в данный момент,
2. углового коэффициента касательной.

Но этими двумя приложениями применение указанной последовательности операций не исчерпывается. Поэтому целесообразно изучить рассмотренную совокупность операций в общем виде. Для этого прежде всего дадим определение.

Определение. Производной от функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимого переменного при условии, что приращение независимого переменного стремится к нулю. Производная от функции обозначается , , или , так что имеем:

Пример №194

Вычислим производную функции

Решение:

Для этого дадим приращение :

Находим приращение функции :

Ищем отношение приращения функции к приращению независимого переменного:

Находим предел этого отношения при условии :

Таким образом, найдена производная функции :

Пример №195

Вычислим производную функции

Решение:

Даем приращение :

Находим приращение функции

Ищем отношение

Находим предел этого отношения, т. е. производную

Итак,

Как видно из приведенных примеров, вычисление производных довольно кропотливо, но однообразно. Поэтому предпочитают заранее вычислить производные часто встречающихся функций, запомнить эти производные и при решении задач уже пользоваться готовыми результатами.

Правила вычисления производных в алгебре

Теперь будем вычислять производные при заданном значении независимого переменного, т. е. будет считаться постоянным, меняться будет его приращение и, следовательно, . Вычисления будут производиться по схеме.

Производная степени

Возьмем степенную функцию

Дадим независимому переменному приращение , тогда функция получит приращение :

найдем приращение функции , вычитая почленно из равенства (2) равенство (1):

Раскладывая по формуле бинома Ньютона, преобразуем правую часть равенства (3):

или, после приведения подобных членов,

Разделим обе части последнего равенства на , тогда

Перейдем к пределу при условии, что стремится к нулю. Так как , то , т. е.

т. е. производная степени равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и показателем, уменьшенным на единицу.

Пример №196

Вычислим производную функции .

Решение:

Применяя выведенное правило, будем иметь , т. е..

Пример №197

Вычислим производную функции или ;

Решение:

применяя выведенное правило, получаем

Это следует запомнить в следующей формулировке:

Производная независимого переменного равна единице.

Примечание. При выводе производной степени мы считали, что — число целое и положительное, однако формула остается верной, если отказаться от этого условия.

Пример №198

Вычислим производную функции , .

Решение:

Здесь , поэтому

Пример №199

Вычислим производную функции , .

Решение:

Следовательно,

Производная синуса

Пусть

Дадим приращение , тогда изменится и будет равен

Найдем приращение , вычитая почленно из равенства (2) равенство (1):

или, после преобразования,

Разделим обе части равенства (3) на приращение независимого переменного:

Переходим к пределу при условии, что . Получим , h_

Так как отношение синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю, равно единице (см. гл. VI, § 2), то

Кроме того, косинус—функция непрерывная (см. гл. VI, § 5), следовательно, . В силу сказанного из равенства (5) получаем , а это значит, что

т. е. производная синуса равна косинусу того же угла.

Производная косинуса

Аналогично тому, как мы вывели производную синуса, можно вывести производную косинуса. Только при этом придется применить формулу разности косинусов. Проделав все выкладки, получим

т. е. производная косинуса равна синусу того же угла, взятому с обратным знаком.

Производная суммы двух функций

Предположим, что производные функций и нам известны. Требуется найти производную от их суммы. Рассмотрим сумму

Дадим приращение , тогда каждая из функций получит приращение и их сумма также получит приращение

Найдем приращение , вычитая из равенства (2) почленно равенство (1):

Разделим обе части последнего равенства на :

Перейдем к пределу при условии, что :

Так как есть приращение функции, а — приращение функции, то

являются производными функций и . Поэтому

или

т. е. производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Производная произведения двух функций

Предположим, что нам известны производные функций и , а требуется найти производную их произведения. Пусть

Дадим приращение , получим

Найдем приращение :

Прибавим и вычтем из правой части равенства (3) выражение , тогда

Разделим обе части равенства (4) на :

Так как

и

то, переходя к пределу в равенстве (5) при условии , получим

или

т. е. производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: первое из них есть произведение первой функции на производную второй, а второе равно произведению производной первой функции на вторую.

Производная функции, сохраняющей одно и то же значение, т. е. производная постоянного

Если функция сохраняет при всех значениях независимого переменного одно и то же значение , то ее график есть прямая линия, параллельная оси , а ее уравнение . Касательная к этой прямой, конечно, совпадает с ней самой, поэтому угол наклона касательной равен нулю, следовательно, и тангенс угла наклона тоже равен нулю, а это и значит, что производная равна нулю. Таким образом, производная постоянного равна нулю, т. е.

Следствие:

Пусть дано произведение некоторой функции на постоянное , т. е. . Найдем производную этого произведения. Применяя формулу (V) этого параграфа, получим

но производная постоянного равна нулю, поэтому и , или

Говорят, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Приведем примеры применения правил (I)—(VII).

Пример №200

Вычислим производную функции .

Решение:

Записываем последовательно . Применяя правило (IV), получим . Применяя правило (VII), получим . Наконец, применяя правило (1), будем иметь окончательный результат

Пример №201

Вычислим производную функции .

Решение:

Применяя правило (VII), получим

Применяя правило (V), получим

Применяя правила (II) и (III), будем иметь

или, произведя упрощения,

Пример №202

Вычислим производную функции , т. е..

Решение:

Применяя (VII), получим ; применяя (IV), получим ; применяя (I), получим ;

применяя (II), получим ].

Производная частного двух функций

Если даны две функции, производные которых известны, то производная их частного вычисляется по следующему правилу:

Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а в знаменателе стоит квадрат знаменателя. Пусть

Производная тангенса

Пусть . Выражая тангенс через синус и косинус, получим . Применим правило (VIII), а потом (II) и (III), тогда получим

Следовательно, производная тангенса равна единице, деленной на Квадрат косинуса того же угла.

Производная котангенса

Вычислим производную котангенса. Пусть .

Применяя правило (VIII), получим

Применяя правила (II) и (111), получим

Производная сложной функции

Прежде чем рассматривать производную сложной функции , представим ее в виде цепочки функций (см. гл. V, § 3):

и

Рассмотрим уравнения и независимо друг от друга. Первое из них дает как функцию ; ее производная равна . Второе определяет как функцию независимого переменного ; ее производная равна . Но на самом деле рассматривать эти два уравнения отдельно друг от друга нельзя. Они связаны между собой. Действительно, если мы дадим приращение , то , как функция , получит приращение , но и есть в то же время независимое переменное для функции . Следовательно, изменяя на , мы изменим и , который получит приращение . По определению производной

Умножим почленно два последних равенства. Так как при приращение тоже стремится к нулю, то

Но есть функция независимого переменного (в силу равенства , поэтому по определению производной

Соединяя равенства и , получим

т. е. производная сложной функции равна произведению производных цепочки функций.

Пример №203

Вычислим производную функции .

Решение:

Представим в виде цепочки функций: и . Так как , то производная равна произведению , или .

Пример №204

Вычислим производную .

Решение:

Представим сложную функцию в виде цепочки:, . Вычислим производные: ; их произведение даст искомую производную

Производная показательной функции

Производная показательной функции находится по правилу, выражаемому формулой

В частности, если , то и

Эта формула имеет много применений.

Пример №205

Найти производную .

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции находится по правилу, выражаемому формулой

Если , то , поэтому

Пример:

Пример:

Производные обратных тригонометрических функций arctg x и arcsin x

Производные обратных тригонометрических функций и .

Эти производные определяются так:

и

Пример:

Пример:

Найдем производную функции . П

Решение:

Представим функцию в виде цепочки: . Так как , то .

Пример:

Найдем производную функции .

Решение:

Представим функцию в виде цепочки: , . Так как , , то .

Пример:

Найдем .

Решение:

Равносильная цепочка будет состоять из . Так как

Когда разовьются навыки в вычислении производных, то представление в виде цепочки можно делать в уме. Покажем это на примере. Конечно, первый пример будет описан подробно, поэтому на первый взгляд не будет заметно упрощения.

Пример:

Вычислим производную функции .

Решение:

Представив эту функцию в виде цепочки, будем иметь

Так как (, то

Первый множитель в правой части последнего равенства получим в следующей формулировке: производная логарифма равна единице, деленной на то, от чего берется логарифм. Так как в этом примере дан , то производная равна . Операция логарифмирования рассмотрена. Осталась функция Второй множитель читаем так: производная синуса равна косинусу того, от чего берется синус. Поэтому производная равна . Операция взятия синуса рассмотрена. Остается. Производная этого выражения равна , это и есть третий множитель.

Пример:

Найдем .

Решение:

Здесь последняя (вторая) операция — возведение в третью степень. Первая операция— взятие арктангенса. Поэтому сначала находим производную степени, получаем , а затем — производную арктангенса, получаем . Перемножая полученные производные, будем иметь

Пример:

Найдем .

Решение:

Здесь последняя (вторая) операция — взятие арктангенса, его производная равна • Первая операция есть возведение в куб, поэтому производная равна . Перемножая полученные выражения, будем иметь

Простейшие применения производной

Уравнение касательной

Как было показано, геометрический смысл производной состоит в том, что ее значение равно угловому коэффициенту касательной в данной точке к кривой, заданной уравнением . Поэтому, если дана кривая и на ней точка с абсциссой , и надо написать уравнение касательной, то поступают так. Вычисляют сначала ординату точки , она равна . Через точку проводят пучок прямых; уравнение пучка, как это было показано в гл. II, напишется следующим образом:

Но надо еще обеспечить касание, т. е. выбрать соответствующий угловой коэффициент. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной, поэтому

Таким образом, уравнение касательной в точке к кривой, заданной уравнением , напишется так:

Пример №206

Напишем уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

Решение:

Вычислим ординату точки :. Ищем производную: — и находим ее значение при . Уравнение касательной к параболе в точке будет иметь вид или .

Пример №207

Написать уравнение касательной к кривой.

Решение:

Здесь не указана точка, в которой происходит касание. Это надо понимать так: написать уравнение, из которого в любой момент можно получить уравнение касательной для любой точки синусоиды.

Возьмем точку ; эта точка лежит на синусоиде. Найдем производную: .

Чтобы не было путаницы, координаты точки, лежащей на касательной, обозначим большими буквами и . Тогда уравнение касательной к синусоиде в любой ее точке запишется в виде

Уравнение нормали

Определение: Нормалью к кривой называется прямая, проведенная через точку касания перпендикулярно касательной.

Если обозначить угловой коэффициент касательной буквой а угловой коэффициент нормали то по условию перпендикулярности (гл. 11) . Поэтому уравнение нормали выглядит так:

Пример №208

Напишем уравнение нормали к кривой, заданной уравнением , в точке, лежащей на этой кривой и имеющей абсциссу, равную 3.

Решение:

Так как точка лежит на кривой, то, подставляя в уравнение , получим ее ординату . Найдем производную: —и ее значение при . Подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим

Угол между двумя кривыми

Определение: Углом их пересечения называется между двумя кривыми в точке угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения.

Пример №209

Найти угол между параболами и в точке их пересечения, лежащей внутри первой четверти.

Решение:

Точки пересечения парабол найдем, решая совместно уравнения , .

Подставляя выражение из первого уравнения во второе, получим уравнение , решая которое, найдем: и ; других действительных корней нет, так как уравнение действительных корней не имеет. Для и найдем и . Таким образом, мы нашли две точки пересечения в первой четверти: (0, 0) и (1, 1). Искомая точка имеет координаты (1, 1) (см. рис. 49).

Найдем производные от функции и от функции (знак минус не берем, так как рассматривается первая четверть):

.

Вычислив значения этих производных при , получаем:

Это угловые коэффициенты касательных. Угол между прямыми (касательными) определяется по формуле (1) из гл. II. Подставляя в нее значения и будем иметь

Следовательно, угол между параболами в точке (1, 1) равен (найден тупой угол).

Если кривая задана уравнением и на ней взята точка с координатами , то касательную к этой кривой в точке можно построить следующим способом (рис. 50).

1. Из точки проведем прямую, параллельную оси , и на ней отложим отрезок , направленный в сторону возрастания абсцисс, длина которого равна единице.
2. Найдем производную функции , т. е.
3. Вычислим ее значение при т. е. . Построим отрезок , равный как по величине, так и по направлению.
4. Соединяем точки и ; получаем прямоугольный треугольник , в котором . Из этого треугольника находим

Отсюда заключаем, что является искомой касательной. В самом деле, эта прямая проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный .

Вторая производная - определение и способы вычисления

Определение: Второй, производной называется производная от производной. Вторая производная обозначается или . Так, по определению

Пример №210

Вычислим Вторую производную от функции .

Решение:

Последовательно находим .

Пример №211

Найдем вторую производную от функции .

Решение:

Находим , поэтому .

Пример №212

Найдем , если .

Решение:

Найдем сначала , а затем .

Определение: Производной порядка п называется производная от производной порядка .

Производная порядка обозначается или . Исключение представляет третья, четвертая и пятая производные, которые чаще записывают .

Пример №213

Вычислим производную четвертого порядка от функции .

Решение:

Последовательно находим: ,.

Пример №214

Найдем , если .

Решение:

Последовательно находим: .Итак, для того чтобы вычислить, скажем, производную десятого порядка, надо вычислить предварительно все производные меньших порядков.

Пример №215

Вычислим производную функции .

Решение:

Вычисляем последовательно . Очевидно, что и все производные высших порядков будут равны , так что и .

Если точка движется прямолинейно, но неравномерно, то скорость ее изменяется. Следовательно, можно говорить о скорости изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением и обозначается буквой . Так как скорость выражается при помощи производной, то ускорение будет выражаться через производную от производной, т. е. ускорение есть вторая производная от пути по времени.

Пример №216

Тело движется по оси . Расстояние от начала координат изменяется по закону (здесь обозначает время). Найти скорость и ускорение тела.

Решение:

Скорость равна производной, поэтому , а ускорение равно второй производной, поэтому .

Применение производной к исследованию функций

Как уже неоднократно замечалось, в окружающем нас мире, во всей деятельности человека, науке, технике, да и в обыденной жизни, встречаются функциональные зависимости. Понятие производной является основным при их изучении.

Возрастание и убывание функции

Определение: Функция называется возрастающей на отрезке , если для любых значений независимого переменного , и , взятых на этом отрезке, всегда из условия вытекает, что .

Таким образом, функция называется возрастающей, если большему значению независимого переменного соответствует большее значение функции. Ясно, что для возрастающей функции меньшему значению независимого переменного соответствует и меньшее значение функции (рис. 51).

Пример:

Рассмотрим функцию . Чем больше положительное , тем больше и его квадрат, т. е. если , то . Следовательно, функция возрастает на любом отрезке, лежащем правее начала координат.

Определение: Функция называется убывающей на отрезке , если для любых значений , и независимого переменного, взятых на этом отрезке, всегда из условия вытекает, что , т. е. функция называется убывающей, если большему значению независимого переменного соответствует меньшее значение функции. Ясно, что для убывающей функции меньшему значению независимого переменного соответствует большее значение функции (рис. 52).

Возрастающая функция имеет график, идущий слева направо вверх. Убывающая функция имеет график, идущий слева направо вниз.

Пример:

Рассмотрим снова функцию . Так как с увеличением абсолютной величины отрицательное число уменьшается, то функция является убывающей на любом отрезке, расположенном слева от начала координат.

Если функция , имеющая производную для каждого значения , возрастает, то ее производная положительна, но может обращайся в нуль в отдельных точках. В самом деле, пусть — произвольное значение, взятое на отрезке . Дадим приращение и найдем соответствующее приращение функции, оно равно

так как функция возрастающая.

Если же дадим отрицательное приращение , то приращение функции , т. е. будет отрицательно, в силу возрастания функции.

Таким образом, для возрастающей функции приращение независимого переменного и приращение функции имеют всегда одинаковые знаки. Следовательно, дробь всегда положительна, а поэтому ее предел, который является значением производной при , или положителен, или равен нулю.

Если функция убывает на отрезке и имеет для каждого значения производную, то ее производная при каждом значении или отрицательна, или равна нулю. Это вытекает из того, что для убывающей функции знаки приращения функции и приращения независимого переменного всегда противоположны, поэтому дробь всегда имеет знак минус, а следовательно, ее предел отрицателен или равен нулю.

Теперь выясним, что можно сказать о функции, если известен знак ее производной. Напомним, что производная есть предел дроби при условии, что . Поэтому, если производная не равна нулю, то ее, знак при достаточно малых совпадает со знаком (см. гл. VI, § 4, свойство 5).

Таким образом, если , то т. е. и одного знака. Функция в этом случае возрастает.

Если , то , т< е. знаки и различны. Функция в этом случае убывает. Эти два последних предложения имеют большое значение для дальнейшего курса.

Определение: Значение независимого переменного, при котором производная равна нулю или не существует, называется критическим значением.

Пример №217

Найдем критические значения для функции

Решение:

Ее производная . Приравняв производную нулю, получим , откуда . Решая это уравнение, находим:

Пример №218

Найдем критические значения функции .

Решение:

Так как , то те значения, при которых производная равна нулю, найдутся из уравнения . Они равны . Производная не существует при тех значениях , при которых знаменатель обращается в нуль, т. е. , откуда находим . Итак, рассматриваемая функция имеет следующие критические значения:

В дальнейшем придется часто пользоваться следующим важным свойством: изменение знака любой, величины может произойти либо когда она проходит через нуль, либо когда она претерпевает разрыв (рис. 53).

Так, например, функция при имеет значение , а при значение , т. е. эта функция меняет знак. В силу указанного свойства она должна пройти через нуль (так как она непрерывна).

Действительно, она равна нулю.

Функция при значении равна , а при принимает значение . На основании указанного свойства можно утверждать, что между и 4 функция или обращается в нуль, или терпит разрыв. Действительно, при она терпит разрыв.

Значит, производная может сменить знак только при переходе через критические значения.

Исследование функций на возрастание и убывание

Изложенное позволяет производить исследование функций на возрастание и убывание. Приведем примеры.

Пример:

Рассмотрим функцию . Для того чтобы выяснить, где эта функция возрастает и где убывает, нужно определить, где ее производная положительна и где отрицательна. Так как смена знаков возможна только при переходе через критические значения, то надо прежде всего найти эти значения. Находим производную: . Критическими значениями будут те, в которых производная обращается в нуль.

Приравнивая производную нулю и решая полученное уравнение, находим критические значения: . Других критических значений нет, потому что производная существует всюду. Таким образом, производная может изменить знак только при переходе независимого переменного через и . Эти значения разбивают ось на три участка: .

При изменении независимого переменного на каждом из этих участков производная сохраняет знак (в противном случае она должна была бы обратиться в нуль еще раз, а этого нет). Для того чтобы узнать, какой знак имеет производная на рассматриваемом участке, возьмем произвольное значение х, принадлежащее этому участку, и найдем знак производной при этом значении . Так, например, на участке возьмем , получим . Для участка возьмем число , получим и, наконец, для участка возьмем число , получим . Итак, при изменении от до производная положительна, поэтому функция возрастает. При изменении от до производная отрицательна, следовательно, функция убывает. И наконец, при изменении от до производная положительна, значит, функция возрастает (рис. 54).

Результаты исследования сводим в таблицу:

Пример:

Рассмотрим функцию. Ее производная обращается в нуль только при и все время положительна, т. е. не образом, функция всегда возрастает таблицу, отражающую исследование: меняет знака. Таким (рис. 55).

Приведем таблицу, отражающую исследование:

Исследование функций на возрастание и убывание позволяет часто решать задачи о нахождении максимальных и минимальных значений, которыми мы и займемся в следующем параграфе.

Максимальные и минимальные значения функции

Значение функции назовем максимальным или максимумом, если оно больше всех значений функции при , достаточно мало отличающихся от . Иначе говоря, можно найти отрезок, содержащий в качестве внутренней точки и такой, что при любом , взятом на этом отрезке , будет иметь место неравенство .

Значение функции называется минимальным или минимумом, если оно меньше всех значений функции при , достаточно мало отличающихся от , т. е. можно найти отрезок, содержащий в качестве внутренней точки и такой, что при любом , взятом на этом отрезке , будет выполнено неравенство .

Максимальные и минимальные значения называются экстремальными значениями функции.

Пример:

Рассмотрим функцию . Эта функция равна нулю при , а при всех остальных значениях х она положительна. Следовательно, при она имеет минимум, равный нулю.

Пример:

Для функции значение является максимальным, так как для всех , отличающихся от меньше чем на , т. е. в этом случае «достаточно мало» означает меньше, чем . Конечно, функция имеет не один максимум.

Пример №219

Докажем, что функция имеет минимум при .

Решение:

Для этого покажем, что или . В самом деле,

Здесь нам удалось доказать, что неравенство справедливо для всех значений , а не только достаточно близких к числу 2. Можно сказать, что в данном случае «достаточно близко» означает на всей оси (рис. 56).

Вообще же доказать существование, а тем более найти экстремальные значения является трудной задачей. При решении этой задачи помогают следующие теоремы.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума). Если, функция имеет экстремум при , то ее производная при или равна нулю, или вовсе не существует.

Доказательство этой теоремы проведем только для случая максимума (для случая минимума доказательство повторяется, только знаки неравенств меняются на обратные).

Итак, пусть функция при имеет максимум, т. е. для всех , достаточно близких к , выполнено неравенство . Это неравенство перепишем, положив , где достаточно мало по абсолютной величине и любое по знаку. Тогда или . Если , то

если , то

Функция при 1) или не имеет производной, 2) или имеет производную. В случае 1) теорема доказана. Если же имеет место случай 2), то, по определению производной, она является определенным числом, равным

В силу производная не может быть положительным числом. Она или отрицательна, или равна нулю. А в силу производная не может быть отрицательной, она или положительна, или равна нулю.

Так как при отыскании производной должно принимать как положительные, так и отрицательные значения, то для того, чтобы не получить противоречия, производная необходимо должна быть равна нулю. Теорема доказана.

Доказанная теорема дает необходимые условия для существования экстремума. Это значит, что если экстремум существует, то одно из указанных условий наверное выполнено. Однако может случиться, что одно из этих условий выполнено, а экстремум не существует. Приведем пример.

Пример:

Рассмотрим функцию . Ее производная обращается в нуль при . Вычислим , но при имеет числовые значения, меньшие единицы, а при ее числовые значения больше, чем единица. Таким образом, нельзя указать отрезка, содержащего внутри себя и такого, чтобы на нем было всегда или , т. е. не является экстремальным значением. Значит, доказанная теорема позволяет найти те значения независимого переменного, при которых возможны экстремумы, но утверждать наличие экстремумов на основании этой теоремы нельзя. Для отыскания экстремумов служит теорема, дающая достаточные условия существования экстремумов. Предварительно условимся об употреблении некоторых выражений. Если функция задана на отрезке, содержащем , и если при функция имеет отрицательные значения, а при положительные значения, то будем говорить, что «при переходе через функция меняет знак минус на плюс» (причем при функция может и не существовать).

После этого разъяснения смысл фразы «при переходе через функция меняет знак плюс на минус» становится также ясным. При употреблении этих выражений мы не обращаем внимания на существование функции при .

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Если функция определена и непрерывна на отрезке, содержащем , и если производная этой, функции при переходе через м меняет знак плюс на минус, то функция при имеет максимум; если же производная при переходе через м меняет знак минус на плюс, то функция при имеет минимум.

Рассмотрим случай изменения знака плюс на минус. По условию при всех значениях , меньших , производная положительна; это значит, что функция возрастает, т. е. при имеем . При , больших , производная отрицательна, поэтому функция убывает, т. е. при имеем . Значит, всегда на отрезке имеем , а это и значит, что — максимальное значение функции.

Случай изменения знака минус на плюс рассматривается аналогично.

Пример №220

Найдем экстремальные значения функции .

Решение:

Ее производная равна ; она, как известно, непрерывна; поэтому критические значения найдем, приравнивая производную нулю и решая полученное уравнение:

В результате получены три критических значения (рис. 57).

Исследуем знаки производной так, как это было показано раньше, и сведем результаты в таблицу:

Отсюда видно, что при переходе через производная меняет знак минус на плюс, значит, при функция имеет минимум. При переходе через производная меняет знак плюс на минус, поэтому при функция имеет максимум. При переходе через производная меняет знак минус на плюс, поэтому при функция имеет минимум. Минимум при равен , максимум при равен 4, и минимум при равен.

Пример №221

Найдем экстремумы функции , рассматриваемой на отрезке .

Решение:

Производная обращается в нуль при , (учитываем только значения, лежащие на отрезке ). Исследуем знаки производной и результаты сведем в таблицу:

Из таблицы видно, что функция , при имеет максимум, равный 4, а при — минимум, равный —2.

Пример №222

Найдем экстремумы функции .

Решение:

Ее производная, равная , нигде не обращается в нуль, но при она не существует, так как знаменатель при этом обращается в нуль. Поэтому единственное критическое значение равно нулю. Исследуем, меняет ли производная при переходе через нуль свой знак. Если , то производная имеет знак минус; если же , то производная имеет знак плюс, так что при переходе через нуль производная меняет знак — на . Следовательно, функция при имеет минимум, равный нулю (см. таблицу и рис. 58).

Пример №223

Железная дорога проложена по берегу моря (рис. 59). На траверзе пункта находится остров (на траверзе—это значит на перпендикуляре, проведенном из точки к линии берега). Остров снабжается продуктами через город , расположенный на расстоянии 600 км по железной дороге от пункта . Расстояние . Грузы из на остров можно отправлять прямо морем или комбинированным путем, сначала по железной дороге, а затем морем. Скорость перевозки по железной дороге равна 50 км/час, а по морю 30 км/час. Стоимость перевозки единицы груза на 1 км по железной дороге в два раза выше, чем по морю.

Нужно определить место перевалочного пункта с железнодорожного транспорта на морской так, чтобы перевозка из на остров происходила в кратчайшее время. Кроме того, надо определить положение другого перевалочного пункта, который обеспечил бы самую дешевую перевозку.

Погрузочные работы в расчет не принимаются.

Решение:

Обозначим через расстояние . Тогда , и из прямоугольного треугольника находим: . Время, необходимое для перевозки по железной дороге . Время, затраченное на перевозку морем, обозначим ; оно равней . Следовательно, время, затраченное на всю перевозку из на остров , равно

.

Надо определить минимум этой функции в зависимости от положения перевалочного пункта . Находим производную: _

Приравнивая производную нулю, будем иметь

Решая это уравнение, получаем:

Найдены два критических значения. Однако по смыслу задачи надо взять только 450 км. Этим первая часть задачи решена.

Вторая часть не требует никаких дополнительных вычислений. В самом деле, путь короче всякого ломаного пути и проходит по морю, поэтому это будет самый дешевый путь. Итак, самая дешевая перевозка осуществится, если перевалочный пункт сделать в городе .

В заключение параграфа рассмотрим задачу, имеющую важное физическое значение. Если в некоторой однородной среде(например, воздухе, воде, стекле и т. д.) прямолинейно и равномерно движется точка со скоростью , то путь , пройденный точкой за промежуток времени , равен . Теперь сформулируем задачу.

Пример №224

Две различные однородные среды соприкасаются по прямой линии (рис. 60). Точка в каждой из сред может двигаться прямолинейно и равномерно: в первой среде со скоростью , во второй—со скоростью . Точка лежит в первой среде, а точка — во второй. Требуется в кратчайшее время перевести точку из в , а также определить вид ломаной линии, по которой при этом должна двигаться точка .

Решение:

Выберем оси координат так, чтобы ось совпала с прямой, являющейся границей сред, а ось проведем через точку перпендикулярно оси . В этой системе координат абсцисса точки равна нулю, а ордината— некоторому числу , так что . Координаты точки в этой же системе координат обозначим , так что .

Пусть точка , выйдя из , приходит в точку , лежащую на границе сред. Тогда путь пройденный в первой среде, можно найти как расстояние между точками , и , т. е. . Путь от точки до , пройденный во второй среде, выразится так: . Время движения в первой среде . Время движения во второй среде . Следовательно, время , затраченное на прохождение всего пути из , в , равно

Меняя положение точки на оси , мы будем менять время . Таким образом, в задаче требуется определить минимум функции . Для этого найдем ее производную:

Приравнивая производную нулю, получим

откуда

Но

Поэтому равенство можно переписать так:

или

Проведем через точку прямую , перпендикулярную оси , и обозначим . Так как и , то и равенство примет вид

Если угол назовем углом падения, а угол — углом преломления, то равенство даст известный из физики закон преломления света. Здесь, как говорят, осуществляется «минимальный принцип».

• Заказать решение задач по высшей математике

Выпуклость и вогнутость линии. Точка перегиба

Возьмем произвольную точку на кривой, заданной уравнением , и проведем через точку касательную к этой кривой. Тогда могут представиться три случая (рис. 61): 1) вблизи точки кривая расположена ниже касательной (точка ), 2) вблизи точки кривая расположена выше касательной (точка ), 3) кривая пересекает касательную в точке (точка ). В первом случае будем говорить, что кривая выпукла вблизи точки , во втором,— что кривая вогнута вблизи точки , и в третьем,— что кривая имеет точку перегиба . Таким образом, точки перегиба — это точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот.

Чтобы иметь возможность судить по уравнению о выпуклости, вогнутости и наличии точек перегиба, рассмотрим вторую производную . Предположим, что вторая производная отрицательна, т. е. . Так как вторая производная по определению есть производная от производной , то, заключаем, что если, то производная убывает. А это значит, что с возрастанием абсциссы угол наклона касательной к оси уменьшается.

На рис. 62 изображена кривая, у которой угол наклона касательной убывает с возрастанием абсциссы точки касания. Значит, для нее. Как видно из рис. 62, этот случай соответствует выпуклой кривой.

Если вторая производная положительна, т. е. то производная возрастает. Это значит, что с увеличением абсциссы угол наклона касательной к оси увеличивается. Из рис. 63 видно, что в этом случае кривая вогнута. Таким образом, случай выпуклости соответствует неравенству , случай вогнутости соответствует неравенству .

В тех точках, в которых выпуклость сменяется вогнутостью, т. е. в точках перегиба,.

Пример №225

Рассмотрим кривую, заданную уравнением . Производная равна

вторая производная равна

Вторая производная всегда отрицательна, поэтому кривая выпукла, а так как при производная не существует, то график имеет вид, представленный на рис. 58.

Значения независимого переменного, при которых вторая производная или равна нулю, или не существует, называются критическими значениями для второй производной. Вторая производная может сменить знак только при переходе через критические значения (ср. § 1). Значит, точки перегиба могут быть только при критических значениях независимого переменного (ср. необходимые условия существования экстремума). Исследование выпуклости и вогнутости кривой производится по плану, похожему на план исследования экстремумов. Покажем на примере, как это делается.

Пример №226

Исследуем на выпуклость и вогнутость кривую, заданную уравнением

Решение:

Сначала найдем первую производную от функции : , а затем вторую производную:

Находим критические значения для второй производной. Так как она существует всюду, то критические значения найдем из уравнения

Найдены два критических значения. Эти значения разбивают ось х на три участка: 1), 2) , 3) . На первом участке вторая производная имеет знак плюс, на втором знак минус и на третьем знак плюс.

Значит, при переходе через вторая производная меняет знак плюс на минус, т. е. при имеется точка перегиба. При переходе через вторая производная меняет знак минус на плюс, значит, и здесь имеется точка перегиба.

Результаты проведенных рассуждений сведем в таблицу:

Общий план исследования функций и построения графиков

Изложенное в предыдущих параграфах позволяет провести качественное исследование функции и построить ее график. Под качественным исследованием понимают такое исследование, которое позволяет выяснить существенные свойства функции, но не претендует, например, на нахождение точных значений функции. Приведем примеры такого исследования.

Пример №227

Построим график функции

Решение:

1. Так как все действия, указанные в правой части равенства , выполнимы при любых значениях независимого переменного , то функция существует всюду, т. е. ее область существования .

2. Предельные значения при :

3. Вычисляем первую и вторую производные:

4. Находим критические значения для и :

5. Нумеруем критические значения в порядке возрастания:

6. Составляем таблицу:

7. Строим график (рис. 64).

Пример №228

Исследовать и построить график функции

Решение:

1. Находим область существования функции. Так как деление на нуль не имеет смысла, то область существования не содержит , т. е. область существования состоит из двух кусков: и . Значит, и график функции состоит также из двух кусков. 2. Исследуем поведение функции в удаленных частях плоскости и при приближении к границе области существования. Так как степень числителя больше степени знаменателя (см. гл. VI, пр. 8), то

Если приближается к нулю слева, т. е. остается отрицательным, то знаменатель дроби отрицательный, в то время как числитель приближается к , поэтому вся дробь отрицательна и неограниченно увеличивается по абсолютной величине. Это значит, что

Если приближается к нулю справа, т. е. остается положительным, то знаменатель дроби будет положительным, в то время как числитель приближается к , поэтому вся дробь положительна и неограниченно возрастает. Это значит, что

3. Находим первую и вторую производные:

4. Находим критические значения для первой и второй производных:

а) не существует при ; б) ; в) не существует при ; г) не может быть равна нулю ни при каких значениях .

5. Нумеруем критические значения для первой и второй производных в порядке их возрастания:

6. Составляя таблицу, отмечаем в ней знаки производных, тем самым мы исследуем функцию на возрастание и убывание, выпуклость и вогнутость, находим экстремумы и точки перегиба:

7. Строим график (рис. 65).

Пример №229

Исследовать и построить график функции

Решение:

1. Область существования. Так как все действия, указанные в правой части равенства , выполнимы при любом значении независимого переменного , то областью существования является вся ось ; это записываем так:

Значит, график функции состоит из одного куска. 2. Поведение функции в удаленных частях плоскости. Найдем предел функции при неограниченном возрастании независимого переменного:

Найдем предел функции при неограниченном убывании независимого переменного:

3. Находим первую и вторую производные:

4. Находим критические значения для первой и второй производных: а) первая производная существует всюду; б) из находим ; в) вторая производная существует всюду; г) полагаем и решаем полученное уравнение :

5. Пронумеруем критические значения для первой и второй производных в порядке их возрастания:

6. Составляем таблицу, в которой отмечаем знаки производных и тем самым исследуем функцию на возрастание и убывание, выпуклость и вогнутость и наличие экстремумов.

7. Строим график (см. таблицу и рис. 66).

Связь между графиком функции и графиком ее производной

Пусть задана функция , имеющая производную . Рассмотрим, во-первых, кривую, определяемую уравнением , и, во-вторых, кривую, определяемую уравнением . Например, если дана функция , ее производная , то будем рассматривать, во-первых, параболу, определяемую уравнением , и, во-вторых, прямую, уравнение которой .

Если функция при имеет экстремум, то ее производная при этом значении х0 или равна нулю, или вовсе не существует; поэтому график функции при или пересекает ось , или терпит разрыв.

Если график функции при имеет точку перегиба, т.е. если в этом месте выпуклость сменяется вогнутостью (или наоборот), и если существует , то график имеет при экстремум, так как .

Дальше в этом параграфе все рассуждения и заключения будут основываться на графиках, поэтому они не будут претендовать на абсолютную точность. Иными словами, здесь будут проводиться только качественные исследования. Итак, пусть функция определена графиком, изображенным на рис. 67, . Под графиком функции будем строить график функции . На обоих чертежах (а и б) точки, имеющие одинаковые абсциссы, будут расположены на одной прямой, параллельной оси .

На участке функция возрастает, поэтому ее производная положительна, но так как функция на этом участке выпукла, то производная убывает. Следовательно, график функции на соответствующем участке будет определять положительную убывающую кривую. Максимуму функции (точке ) на рис. 67, будет соответствовать точка пересечения с осью (точка ). На участке (рис. 67,) кривая убывает, поэтому соответствующий участок кривой располагается ниже оси и убывает. Точке перегиба на рис. 67, соответствует минимум на рис. 67,. Минимуму на рис. 67, (точке ) соответствует точка пересечения с осью (точка ). Разрыву функции соответствует и разрыв производной. В результате получаем график производной, изображенный на рис. 67,. В § 5 (пр. 1) был построен график функции , а в § 3 гл III была построена парабола ; легко увидеть, что функция является производной от функции . Если соединить графики этих функций, то получим изображенное на рис. 68. Этот чертеж подтверждает сказанное выше.

Производная в высшей математике

Задачи, приводящиеся к понятию производной:

Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная кривая и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке (рис. 7.1).

Прежде всего необходимо выяснить, что мы будем понимать под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке . Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке

Проведем секущую (см. рис. 7.1).

Под касательной к кривой в точке естественно понимать предельное положение секущей при приближении точки к точке при

Уравнение прямой, проходящей через точку , в соответствии с (4.4) имеет вид

Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден из (см. рис. 7.1).Тогда угловой коэффициент касательной

Оставим на время задачу о касательной и рассмотрим другую задачу.

Задача о скорости движения

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону где — пройденный путь, — время, и необходимо найти скорость точки в момент .

К моменту времени пройденный путь равен а к моменту — путь (рис. 7.3).

Тогда за промежуток средняя скорость будет Чем меньше , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент . Поэтому под скоростью точки в момент естественно понимать предел средней скорости за промежуток от до когда т.е.

Задача о производительности труда

Пусть функция выражает количество произведенной продукции за время и необходимо найти производительность труда в момент .

За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения тогда средняя производительность труда за этот период времени Очевидно, что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до т.е.

Рассматривая три различные по характеру задачи, мы пришли к пределу (7.1)—(7.3) одного вида. Этот предел играет чрезвычайно важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

Определение производной в высшей математике

Пусть функция определена на промежутке . Возьмем точку Дадим значению приращение тогда функция получит приращение

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Производная функции имеет несколько обозначений: Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например,

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теперь вернемся к рассмотренным выше задачам.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е.

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени ecть скорость точки в момент

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .

Пример №230

График функции есть полуокружность (см. рис. 7.4). Используя геометрический смысл производной, найти значения производной в точках делящих полуокружность на четыре равные части.

Решение:

В точках углы наклона касательных к графику составляют соответственно 45° и 135°, поэтому

В точке касательная параллельна оси поэтому В точках касательные перпендикулярны к оси — не существует, т.е. функция не дифференцируема в этих точках, точнее — производная в этих точках бесконечна: (знаки, стоящие перед символами бесконечности, определяются тем, что в окрестности точки производная положительна (острый угол наклона касательных), а в окрестности точки — отрицательна (тупой угол наклона).

Пример №231

Доказать, что функция не дифференцируема в точке

Решение:

Производная функции (если она существует) равна

Очевидно, что при производная не существует, так как отношение

равно 1 при при т.е. не имеет предела при (ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке (рис. 7.5).

Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

По условию функция дифференцируема в точке , т.е. существует конечный предел

где — постоянная величина, не зависящая от

Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций (см. § 6.3) можно записать

где — бесконечно малая величина при или

При на основании свойств бесконечно малых устанавливаем, что и, следовательно, по определению (6.24) функция в точке является непрерывной. ■

Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, например, функция непрерывна в точке , ибо (рис. 7.5), но, как было доказано в примере 7.2, недифференцируема в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции — необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.

В математике известны непрерывные функции, не дифференцируемые ни в одной точке.

Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке ,то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция на данном промежутке называется кусочно гладкой.

Схема вычисления производной в высшей математике

Основные правила дифференцирования:

Производная функции может быть найдена по следующей схеме:

1°. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции

2°. Находим приращение функции

3°. Составляем отношение.

4°.Находим предел этого отношения при т.е.— (если этот предел существует)

Пример №232

Найти производную функции

Решение:

1°. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции

2°. Находим приращение функции

3°. Составляем отношение

4°. Находим предел

Итак, мы получили, что Можно доказать (см. § 7.5), что для любого (не только натурального)

Полезно знать частные случаи этой формулы при и

Пример №233

Найти производную функции

Решение:

Представим функцию в виде

Теперь по формуле (7.8)

Пример №234

Составить уравнение касательной к кривой в точке

Решение:

В соответствии с (7.5) уравнение касательной к кривой

в точке По формуле (7.10) найдем производную

Ее значение при Значение функции при

Уравнение касательной или (рис. 7.6).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т.е.

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю.

2. Производная аргумента равна 1, т.е.

Правило следует из формулы (7.8) при

В следующих правилах будем полагать, что — дифференцируемые функции.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

4.Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что ).

В качестве примера докажем правило 4, т.е. формулу (7.12). Пусть — дифференцируемые функции. Найдем производную функции используя схему, приведенную в начале § 7.3.

1°. Дадим аргументу приращение Тогда функции и получат наращенные значения а функция —значение

2°. Найдем приращение функции

3°. Составим отношение которое представим в виде

4°. Найдем предел этого отношения при используя теоремы о пределах

На основании определения производной получили, что

Пример №235

Найти производную функции и вычислить ее значение в точке

Решение:

а) По формулам (7.12), (7.11) и (7.8)

Значение производной в точке есть

б) Сначала вынесем постоянный множитель за знак производной:

в) По формуле (7.15)

Производная сложной и обратной функций

Пусть переменная есть функция от переменной и а переменная и в свою очередь есть функция от независимой переменной , т.е. задана сложная функция (см. § 5.5).

Теорема. Если — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной т.е.

Дадим независимой переменной приращение Тогда функции и = ф соответственно получат приращение

Предположим, что Тогда в силу дифференцируемости функции можно записать

где— величина, не зависящая от

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций

где — бесконечно малая при откуда

Это равенство будет справедливо и при если полагать, что (т.е. доопределить таким образом функцию ).

Разделив обе части равенства (7.17) на получим

Так как по условию функция дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при и

Поэтому, переходя к пределу при в равенстве (7.18), получим

Замечание. Если ограничиться случаями, что при доказательство теоремы можно провести проще исходя из очевидного равенстваи переходя в нем к пределу при

Правило дифференцирования сложной функции (7.16) может быть записано и в других формах:

Выше мы привели формулы для производной степенной функции и ее частных случаев (формулы (7.8) — (7.10)).

С учетом полученного правила дифференцирования сложной функции (7.16) для функции , где можно записать

Пример №236

Найти производные функций:

Решение:

а) Функцию можно представить в виде где Поэтому на основании формулы (7.19)

.

б) Имеем , поэтому по формулам (7.16) и (7.19)

в) Вынося постоянный множитель 12 за знак производной и используя (7.21), получим

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции. Пусть — дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке . Если переменную у рас-

сматривать как аргумент, а переменную как функцию, то новая функция является обратной к данной (см. § 5.5) и;, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке .

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.

По условию функция дифференцируема и

Пусть — приращение независимой переменной — соответствующее приращение обратной функции Тогда справедливо равенство

Переходя к пределу в равенстве (7.23) при и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции получим

Формула (7.22) имеет простой геометрический смысл. Если выражает тангенс угла наклона касательной к кривой к оси — тангенс угла наклона той же касательной к оси причем (если —острые углы) (Рис. 7.7) или (если— тупые углы). Для таких углов или Этому paвенству и равносильно условие

Производные основных элементарных функций

Выведем формулы производных основных элементарных функций и рассмотрим их более подробно:

Производные высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную от функции , называемую производной первого порядка. Но производная сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной -го порядка называется производная от производной -го порядка.

Обозначение производных: — второго порядка (или вторая производная), — третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, или и т.д.

Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону (где — путь, — время), то представляет скорость изменения пути в момент . Следовательно, вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент .

Пример №237

Найти производные до -го порядка включительно от функции

Решение:

и т.д. Очевидно, что производная -го порядка

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции, а) . Воспользуемся схемой нахождения производной, приведенной в § 7.3.

Обозначив , найдем и

В силу непрерывности логарифмической функции, используя (6.25), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа (6.19); получим Итак,

Производная показательной функции

Производная показательной функции, а) (другое обозначение ). Прологарифмируем обе части равенства по основанию , получим Дифференцируя обе части по переменной и учитывая, что — сложная функция, получим с учетом (7.16)

Заметим, что кривая — экспонента, обладает отличающим только ее свойством: в каждой точке ордината кривой равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: (рис. 7.8).

 и по правилу дифференцирования сложной функции ( 7.16)  получим  (7.25)

Производная степенной функции

Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции для любого . Действительно, Дифференцируя обе части равенства, получим

Производная степенно-показательной функции

Найдем Дифференцируя, получим

Учитывая, что получим после преобразований

т.е. для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, достаточно дифференцировать ее вначале как степенную, а затем как показательную и полученные результаты сложить (напомним, что

Замечание. Производная логарифмической функции называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании. Логарифмическую производную называют также относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

Пример №238

Найти производные функций:

Решение:

а) По формуле (7.27) дифференцируем функцию вначале как степенную, а затем как показательную и полученные результаты складываем:

б) Производную можно найти, используя правила дифференцирования (7.9) — (7.15). Но проще это сделать с помощью логарифмической производной. Действительно,

Дифференцируя, находим

или

Подставив выражение для у, окончательно получим

Производные тригонометрических функций

а)

Воспользуемся схемой нахождения производной (см. § 7.3):

(учли первый замечательный предел (6.15) и непрерывность функции ). Итак,

(доказательство аналогично п. a).

(доказательство аналогично п. a).

Обратная функция имеет вид причем если

Используем правило дифференцирования обратной функции (7.22)

При производной не существует. Итак,

Вывод формул аналогично п. д — формулы соответствующих производных приведены в таблице.

Производная неявной функции. Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в виде . Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением (см. § 5.5).

Для нахождения производной функции заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от а затем из полученного уравнения найти производную . Фактически этим методом мы пользовались при выводе производных функций и в примере 7.86 после логарифмирования рассматриваемых функций.

Пример №239

Найти производную функции у, заданной уравнением и вычислить ее значение в точке (2; 1).

Решение:

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что есть функция от , получим откуда

Значение производной при

Экономический смысл производной

Использование понятия производной в экономике:

Производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Издержки производства будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции Пусть — прирост продукции, тогда — приращение издержек производства и среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная — выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение производной в экономике

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков.

Суммарный доход (выручку) от реализации продукции можно определить как произведение цены единицы продукции на количество продукции q, т.е.

В условиях монополии одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса — есть линейная убывающая функция где Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит (рис. 7.9). В этом случае средний доход на единицу продукции

, а предельный доход, т.е. дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции, составит (см. рис. 7.9). Следовательно, в условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.

В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, При этом суммарный доход составит и соответственно средний доход и предельный доход (рис. 7.10). Я

Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка в отличие от монопольного средний и предельный доходы совпадают.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.

Выясним геометрический смысл эластичности функции. По определению (7.33)

где — тангенс угла наклона касательной в точке (см. рис. 7.11). Учитывая, что из треугольника а из подобия треугольников и получим т.е. эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями . Если точки пересечения касательной к графику функции находятся по одну сторону от точки то эластичность положительна (рис. 7.11), если по разные стороны, то отрицательна (рис. 7.12).

Отметим свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции т.е.

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

3. Эластичности взаимно обратных функций — взаимно обратные величины:

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса относительно цены (или дохода ) — коэффициент, определяемый по формуле (7.33) и показывающий приближенно, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) то спрос считают эластичным, если — неэластичным относительно цены (или дохода). Если , то говорят о спросе с единичной эластичностью.

Выясним, например, как влияет эластичность спроса относительно цены на суммарный доход при реализации продукции. Выше мы предполагали, что кривая спроса — линейная функция; теперь будем полагать, что — произвольная функция. Найдем предельный доход

Учитывая, что в соответствии с формулой (7.37) для эластичности взаимно обратных функций эластичность спроса относительно цены обратна эластичности цены относительно спроса, т.е. , а также то, что получим при произвольной кривой спроса

Если спрос неэластичен, т.е. то в соответствии с (7.38) предельный доход отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, т.е. то предельный доход положителен. Таким образом, для неэластичного спроса изменения цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса — в разных. Это означает, что с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса — уменьшается. На рис. 7.9 на кривых доходов выделены области эластичного и неэластичного спроса.

Пример №240

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение:

Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением при = 10 средние издержки (на единицу продукции) равны (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной предельные издержки составят (ден. ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции 10 ед.), составляют 35 ден. ед.

Пример №241

Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс. руб.) и выпуском продукции (млрд. руб.) выражается функцией Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Решение:

По формуле (7.33) эластичность себестоимости

При т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

Пример №242

Найти производные функций:

Решение:

а) При дифференцировании следует учесть, что первое слагаемое представляет степенную функцию ее аргумент — логарифмическую функцию плюс постоянную а второе слагаемое — логарифмическую функцию

б) Данная функция представляет произведение двух функций каждая из которых является сложной функцией

Поэтому

в) Прежде чем дифференцировать функцию, целесообразно упростить ее выражение, применяя формулы логарифмирования:

г) По правилу дифференцирования частного двух функций

Учитывая, что

получим после преобразований

д) Представим функцию в видеТеперь

е) По правилу дифференцирования степенно-показательной функции (7.27)

Учитывая, что

получим после преобразований

ж) При дифференцировании неявно заданной функции учитываем, что есть функция от , получим

Пример №243

Вычислить значение производной функции при

Решение:

а) Вначале найдем производную функцию, предварительно заметив, что Теперь

Решение можно упростить, если вначале преобразовать функцию

Находим значение производной при

б) Производная функции

Значение производной при

Пример №244

Дана кривая Составить уравнения касательных:

а) в точках пересечения ее с прямой б) параллельной и перпендикулярной этой прямой; в) проходящих через точку

Решение:

а) 1. Найдем точки пересечения двух линий, решив систему уравнений:

2.Найдем производную функции . Значения производной в найденных точках

3. Уравнения касательных по формуле (7.5) (см. прямые 1 и 2 на рис. 7.13).

б) Угловой коэффициент заданной прямой прямой, параллельной и перпендикулярной заданной, соответственно Поэтому точки, в которых касательная к кривой параллельна и перпендикулярна данной прямой, находятся из уравнений и откуда соответственно

Найдем ординаты кривой в полученных точках и Соответствующие уравнения касательных будут:

или (см. прямые 3 и 4 на рис. 7.13).

в) Уравнение касательной в точке с угловым коэффициентом имеет вид

Так как по условию касательная проходит через точку (рис. 7.14), то ее координаты должны удовлетворять уравнению (*), т.е.

откуда после преобразований получим: и

Учитывая, что

по формуле (7.5) найдем уравнения касательных соответственно или и (см. прямые 1 и 2 на рис. 7.14).

Пример №245

Тело, выпушенное вертикально вверх, движется по закону , где высота измеряется в метрах, а время — в секундах. Найти: а) скорость тела в начальный момент; б) скорость тела в момент соприкосновения с землей; в) наибольшую высоту подъема тела.

Решение:

а) Скорость тела в момент равна производной в момент

б) В момент соприкосновения с землей , откуда (не подходит по смыслу, ибо ). Скорость тела в момент (минус указывает на то, что скорость тела в момент противоположна направлению начальной скорости).

в) Наибольшая высота подъема будет в момент, когда скорость тела равна 0 и происходит переход от подъема к опусканию тела, т.е.

Наибольшая высота подъема

Пример №246

Объем продукции произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением где — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение:

Производительность труда выражается производной

а скорость и темп изменения производительности—соответственно производной и логарифмической производной

В заданные моменты времени соответственно имеем: и

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Пример №247

Опытным путем установлены функции спроса и предложения — количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, — цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

а) Равновесная цена определяется из условия

откуда т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности по спросу и предложению по формуле (7.33):

Для равновесной цены имеем

Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) иене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшается на следовательно, доход возрастает на 3,5%.

Пример №248

Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение:

Пусть полные затраты предприятия у выражаются функцией где — объем выпускаемой продукции. Тогда средние затраты на производство единицы продукции Найдем предельные издержки предприятия . По условию , т.е. учитывая (7.33), откуда Итак, , т.е. предельные издержки равны средним издержкам (заметим, что полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).

Производная в математическом анализе

Математический анализ — область математики, в которой на основе анализа бесконечно малых исследуются самые разнообразные функции, в частности и те, которые описывают процессы и явления природы и общества. По этому поводу Ж. Фурье писал, что математический анализ столь же широкий, как и сама природа.

Первыми и основными составляющими математического анализа является дифференциальное и интегральное исчисления. Традиционно изучение математического анализа начинается с рассмотрения основ дифференциального исчисления. Интегральное исчисление изучается позже. Исторически развитие этих разделов математического анализа происходило в обратном направлении. В работах математиков древнего мира сначала большее внимание уделялось интегральному исчислению — вычислению площадей и объёмов.

Следует заметить, что и само дифференциальное исчисление развивалось не в той последовательности, как вы его изучали. Сначала учёные научились вычислять производные многих функций и с их помощью решали важные прикладные задачи. Позже начали уточнять, что такое производная. Только в 1823 году французский математик Огюстен Луи Коши (1789—1857) сформулировал строгое определение предела и непрерывности функции.

Производная в математику вошла почти одновременно с понятием функции, хотя материал, который подводил к этим понятиям, накапливался на протяжении многих веков. Ещё Архимед решал задачи, которые теперь решают с помощью производной: исследовал, как построить касательную к спирали, как найти наибольшее значение произведения  и т. д.

Производную произвольного многочлена от одной переменной умел находить П.Ферма.

ФЕРМА Пьер (1601-1665)

Выдающийся французский математик. Юрист, советник парламента. Математикой занимался в свободное от работы время. Создатель теории чисел, один из основоположников аналитической геометрии, дифференциального исчисления и теории вероятностей.

«Ферма сделал больше для развития теории чисел, чем любой другой учёный в течение более тысячи лет».

Для понимания и изучения производной в математического анализе нужно изучить сначала задачу о касательной и скорости.

Задача о касательной

Пусть М — фиксированная точка данной непрерывной кривой К (рис. 99). Рассмотрим секущую ММ', проходящую через точку М. Может случиться, что когда точка М' по кривой неограниченно приближается к точке М, секущая ММ' стремится к некоторому предельному положению МТ, т. е. угол при ММ. Тогда предельная прямая МТ называется касательной.

Определение: Касательной к данной непрерывной кривой в данной ее точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ММ', проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М' неограниченно приближается по кривой к первой.

Если секущая ММ' при М'М не имеет предельного положения, то говорят, что касательной к данной линии в точке М не существует.

Покажем теперь, как находится уравнение касательной по заданному уравнению линии.

Пример:

Зная уравнение непрерывной линии

найти уравнение касательной в данной ее точке М (х, у), предполагая, что касательная существует.

Наряду с точкой М (х, у) возьмем на нашей линии другую точку (рис. 100). Проведя секущую ММ' и

прямые MN || Ох и M'N || Oy, получим прямоугольный треугольник MNM' с катетами .

Пусть секущая ММ' составляет с положительным направлением оси Ох угол ; тогда, очевидно, . Из прямоугольного треугольника MNM' определяем угловой коэффициент секущей:

Пусть теперь М'М; тогда, очевидно, и секущая ММ' стремится к своему предельному положению — касательной МТ в точке М (мы предполагаем, что касательная существует).

Обозначим через а угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. При будем иметь , и если касательная МТ не перпендикулярна оси Ох, то в силу непрерывности тангенса получим

отсюда, переходя к пределу при в равенстве (1), найдем угловой коэффициент касательной МТ:

Предел, стоящий в правой части равенства (2), называется производной функции у = f(x) в точке х и сокращенно обозначается следующим образом:

(у' читается: «игрек штрих»).

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания, т. е.

Зная угловой коэффициент касательной, легко написать ее уравнение. Касательная МТ проходит через точку касания М(х9 у), поэтому ее уравнение имеет вид

где X и У — текущие координаты. Подставляя сюда значение углового коэффициента k и учитывая, что точка М лежит на линии, получаем уравнение касательной к этой линии

Замечание 1. Если обозначить для ясности координаты точки касания через , а текущие координаты, как обычно, через то уравнение касательной к линии у = f(x) в точке имеет вид

где

Замечание 2. При выводе мы предполагали, что касательная МТ к линии в точке М существует. Обратно, легко показать, что если для функции у = f(x) существует в точке х конечная производная, т. е. предел (3) (такая функция называется дифференцируемой в точке х), то график этой функции в соответствующей точке имеет касательную (5), не параллельную оси Оу.

Задача о скорости движения точки

К понятию производной приводит также задача о вычислении скорости неравномерного движения.

Предположим, что точка М движется по некоторой прямой, которую примем за ось Ох (рис. 101). Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = х. Следовательно, можно сказать, что абсцисса х движущейся точки есть функция времени t:

Это уравнение называется уравнением движения; оно выражает закон движения точки.

Пример:

Зная закон движения, найти скорость движущейся точки для любого момента времени.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка занимает положение М, причем ОМ = х. В момент точка займет положение М', где ОМ' = х + . Отсюда х + Ах = = f(t + At). Следовательно, перемещение точки М за время будет

Если точка М в течение промежутка времени двигалась в одном направлении, то численно представляет собой путь, пройденный точкой за время ). Отношение

выражает среднюю скорость изменения абсциссы х за промежуток времени , обычно называемую средней скоростью движения точки. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения в данный момент времени t. Обозначая эту скорость через , получаем

По аналогии с задачей о касательной можно сказать, что полученное выражение (3) представляет собой производную функции х по переменной f, т. е.

Таким образом, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени.

Замечание. Если сохраняет постоянный знак в некотором промежутке , то можно доказать, что для любого момента в течение достаточно малого промежутка точка движется в одном и том же направлении. Таким образом, Ах представляет собой путь, пройденный точкой, и приведенная выше формулировка локально (т. е. для достаточно малого промежутка времени) является точной.

Если же для некоторого момента времени имеем , т. е. при бесконечно малом промежутке времени соответствующее перемещение точки является бесконечно малой более высокого порядка, то , вообще говоря, не является пройденным путем. Например, такая ситуации имеет место, когда точка совершает быстро затухающие колебания около своего положения равновесия. В этом случае формула (3) не адекватна нашему определению. В общем случае перемещение точки и путь, пройденный точкой, различны. Например, если в первую секунду от начала движения точка передвинулась на 10 м вправо, а в следующую секунду — на 10 м влево, то перемещение точки за промежуток времени = 2 с равно = 0, тогда как пройденный путь s = 20 м. 2> Точнее: скорость есть производная абсциссы движущейся точки по времени.

Общее определение производной в математическом анализе

Рассмотрение задач о касательной и скорости движения исторически привело к понятию производной, являющемуся одним из основных понятий высшей математики. При решении этих задач нам, в сущности, приходилось проделывать одну и ту же операцию: находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Сейчас мы разберем этот вопрос в общем виде.

Для простоты мы сначала будем предполагать, что рассматриваемая функция определена на некотором конечном или бесконечном интервале и непрерывна на этом интервале. Пусть — некоторая фиксированная точка интервала . Дадим аргументу х приращение Дд: * 0 такое, что , тогда функция у получит соответствующее приращение

Составим отношение

Это отношение показывает, во сколько раз на данном промежутке приращение функции у больше приращения аргумента х; иными словами, оно дает среднюю скорость изменения функции у относительно аргумента х на промежутке .

Пусть ; тогда и (в силу непрерывности функции у). Обозначим через множество точек интервала , для которых имеет смысл предельный переход

Тогда формула

определяет некоторую функцию , носящую название производной функции .

Определение: Производной функции у = называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует.

Таким образом, производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произведенная (т. е. полученная по определенным правилам) из данной функции.

Функция, имеющая производную на множестве Х19 называется дифференцируемой на этом множестве (см. гл. XII).

Если , фиксировано, то в силу (4) производная у' представляет собой скорость изменения функции у относительно аргумента х в точке х.

Для обозначения производной данной функции у = f(x) кроме

употребляются также символы

(смысл этого обозначения выяснится в гл. XII) и

В тех случаях, когда неясно, по какому аргументу (х, t и т. п.) происходит дифференцирование функции у, для соответствующих производных употребляются обозначения

Замечание. Функция f(x) считается дифференцируемой на отрезке , если она дифференцируема в любой его внутренней точке, т. е. существует предел

причем предполагается, что , а в граничных точках отрезка она имеет так называемые односторонние (правая и левая) производные, т. е. существуют соответствующие односторонние пределы

Для значения производной функции в фиксированной точке употребляются обозначения

Здесь — некоторое число.

Используя формулу (1), выражение для производной можно записать более подробно:

С помощью формулы (5), опираясь на теорию пределов, можно находить производные функций.

Пример №249

Найти производную функции у = х².

Решение:

Пусть х — произвольное фиксированное значение аргумента. Давая х приращение , будем иметь . Отсюда

и, следовательно,

Таким образом,

При решении задачи о касательной был выяснен геометрический смысл производной.

Геометрическое значение производной. Для данной функции у = f(x) ее производная у' = f'(x) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Пример №250

Написать уравнение касательной к кривой в точке М( 1, 1) (рис. 102).

Решение:

Ищем производную у' при х = 1. Согласно формуле (6) имеем

Отсюда

Следовательно, уравнение касательной запишется так:

Заметим, что касательная к графику функции у = f(x) образует в данной точке с положительным направлением оси Ох острый или тупой угол, смотря по тому, будет ли производная функции в этой точке положительна или отрицательна. Если же производная равна нулю, то касательная к графику функции в соответствующей точке, очевидно, параллельна оси Ох. Справедливы также и обратные утверждения.

Далее, из определения производной вытекает, что производная у' дает скорость изменения функции у = f(x) относительно аргумента х. Например, если в некоторой точке х имеем у' = 2, то это означает, что на малом промежутке прирост функции у примерно в два раза больше, чем прирост аргумента х, причем это соотношение будет тем точнее, чем меньше .

Особенно наглядный смысл получает производная функции , если под аргументом х понимать время. Тогда отношение

представляет собой среднюю скорость изменения функции у за промежуток времени , а предел этого отношения

есть скорость изменения функции у в момент времени х.

Таким образом, имеем:

Физическое значение производной

Для функции у = f(x), меняющейся со временем х, производная у'_х есть скорость изменения функции у в данный момент х.

Производная дает возможность изучать характер изменения функции. Чем больше модуль производной, тем резче изменяется функция у при изменении аргумента х и, следовательно, тем круче подымается или опускается график этой функции. Если производная некоторой функции у положительна, то, очевидно, это означает, что с возрастанием аргумента х функция у также растет; если производная функции отрицательна, то это значит, что с возрастанием х функция у убывает.

Понятие производной находит многочисленные применения в геометрии, физике, механике, химии, биологии и других науках.

Другие применения производной

Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т. п., также выражается при помощи производной. Поясним это на примерах.

Пример:

Предположим, что температура тела U есть убывающая функция времени: U = f{t).

Пусть t — фиксированный момент времени. Если t получает приращение , температура U изменяется (уменьшается) на ; тогда отношение

представляет собой среднюю скорость охлаждения тела. А предел этого отношения при , т. е.

выражает скорость охлаждения тела в данный момент t.

Таким образом, скорость охлаждения тела равна производной температуры тела по времени.

Пример:

Обозначим через х количество вещества, образовавшегося при химической реакции за промежуток времени t. Очевидно, х есть функция времени: х = f(t).

Если t получает приращение , то х получает приращение . Тогда отношение

представляет собой среднюю скорость химической реакции, а предел

выражает скорость химической реакции в данный момент t. Таким образом, скорость химической реакции равна производной реагирующей массы по времени.

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Мы видели, что функция

называется непрерывной в точке х, если в этой точке

Функция (1) называется дифференцируемой в точке х, если в этой точке она имеет производную, т. е. если существует конечный предел:

Между этими основными понятиями математического анализа имеется простая связь.

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Доказательство: Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х, т. е. для этой функции выполнено равенство (2). Напишем тождество

Отсюда

Следовательно, функция у = f(x) непрерывна в точке х.

Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Пример непрерывной функции, не имеющей производной в одной точке, представляет функция

(рис. 103). Эта функция непрерывна при х = 0, но не является дифференцируемой для этого значения, так как в точке х = 0 графика функции не существует касательной.

Математикам удалось построить примеры непрерывных функций, не дифференцируемых ни в одной точке (Вейерштрасс и др.).

Впервые отчетливое различие между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции было дано Н. И. Лобачевским.

Замечание. Производная у' = f(x) непрерывной функции caмa не обязательно является непрерывной. Если функция f(x) имеет непрерывную производную f'(x) на промежутке , то функция называется гладкой на этом промежутке. Функция f(x), производная которой f(x) допускает лишь конечное число точек разрыва, и притом первого рода, на данном промежутке , называется кусочно-гладкой на этом промежутке.

Понятие о бесконечной производной

Если функция у = f(x) непрерывна в точке х₀ и

то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке х = х₀. Согласно геометрическому смыслу производной, производная равна угловому коэффициенту касательной а в точке . Поэтому и, следовательно, . Таким образом, условие (1) геометрически означает, что в точке х₀ график функции имеет вертикальную касательную.

Основные теоремы о производных

Как мы видели, решение многих задач сводится к вычислению производных известных функций. Поэтому важно уметь быстро находить производные более или менее сложных функций.

Операция нахождения производной не совсем точно называется дифференцированием, а функция, имеющая конечную производную на данном множестве, носит название дифференцируемой на этом множестве. Учение о производной и ее приложениях составляет предмет дифференциального исчисления.

Мы рассмотрим основные правила дифференцирования функций.

Здесь мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемые функции определены на некотором конечном или бесконечном интервале.

Прежде чем указать на основные правила для нахождения производных, вычислим производные некоторых простых функций.

Производные от некоторых простейших функций

Производная функции у = f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. аргументу х даем приращение и находим для функции у соответствующее приращенное значение
2. вычитая из нового значения функции у + ее прежнее значение у = f(x), получаем приращение функции;
3. составляем отношение ;
4. находим предел этого отношения при условии, что .

Результат предельного перехода и является производной у' от функции у по аргументу х, если, конечно, он существует.

Пользуясь этой схемой, найдем производные некоторых простейших функций.

I. Производная от степени , где — целое положительное число. Пусть

Имеем , или согласно биному Ньютона

отсюда

Переходя к пределу при , находим

Следовательно,

Итак, имеем следующую теорему:

Теорема: Производная от целой положительной степени независимой переменной равна показателю степени, умноженному на основание в степени на единицу меньше. В частности, при = 1 получаем т. е. производная независимой переменной равна единице. Имеем также

и т. д.

Замечание. Как будет показано дальше, формула (1) справедлива для любого действительного постоянного показателя т (в частности, для дробного). Поэтому, например, имеем

т. е. производная квадратного корня из независимой переменной равна обратной величине удвоенного корня.

При х=0 функция имеет производную . Здесь производная односторонняя, так как . Геометрически это означает, что касательная к параболе в точке х=0 перпендикулярна оси Ох.

И. Производная от sin х. Пусть

у = sin х,

где аргумент х выражен в радианной мере. Имеем .

Отсюда

Разделив обе части последнего равенства на , получим

Переходя к пределу при и пользуясь теоремой о пределе произведения, имеем

Из теоремы о пределе отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге следует, что

Кроме того, в силу непрерывности функции cos х имеем

Следовательно,

Итак, получаем теорему: производная от sin х равна cos х.

III. Производная от cos х. Пусть

Тогда и, следовательно,

или

Отсюда

Переходя к пределу при , получим

Так как

то окончательно находим

Таким образом, имеем теорему:

производная от cos х равна sin х, взятому с обратным знаком.

Основные правила дифференцирования функций

Переходим теперь к выводу основных правил дифференцирования функций.

Предположим, что все рассматриваемые функции определены и дифференцируемы на некотором общем интервале, причем все используемые значения аргумента х и приращенные значения принадлежат этому интервалу.

Производная постоянной

Производная постоянной величины равна нулю.

Постоянную величину с можно рассматривать как функцию

принимающую одно и то же значение.

Дадим аргументу х приращение , тогда, так как функция f(x) не меняется при изменении аргумента, будем иметь

Вычитая почленно из второго равенства первое, получим

отсюда

Переходя теперь к пределу при , находим

т. е.

Переводя этот результат на язык механики, получаем следующую наглядную иллюстрацию нашей теоремы:

скорость точки, находящейся в покое, равна нулю.

Производная суммы

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.

Пусть, например,

где u, v и w — некоторые дифференцируемые функции от х. Дадим аргументу х приращение ; тогда каждая из функций .

и получит соответственно приращение и вследствие этого функция у получит некоторое приращение . Имеем

Вычитая почленно из второго равенства первое, находим

Разделив обе части последнего равенства на , будем иметь

Переходя теперь к пределу при и учитывая, что каждое слагаемое правой части имеет предел, находим

или, пользуясь определением производной, окончательно получаем

Таким образом, если каждая из функций дифференцируема, то алгебраическая сумма этих функций (например, ) также дифференцируема; при этом

Пример №251

Найти производную от функции

Решение:

Применяя формулу имеем

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то производные их равны между собой.

В самом деле, если — дифференцируемая функция, а с — постоянное слагаемое, то имеем

Производная произведения

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первого сомножителя на производную второго плюс произведение второго сомножителя на производную первого.

Пусть

где — некоторые дифференцируемые функции от х. Дадим х приращение ; тогда и получит приращение , v получит приращение и у получит приращение . Имеем

или

Следовательно,

Отсюда

Переходя в последнем равенстве к пределу при и учитывая, что и и и не зависят от :, будем иметь

или

Таким образом, если каждый из сомножителей и и v имеет производную, то произведение их uv также имеет производную; при этом

Пример:

Пусть у = х³ sin х.

Применяя формулу (3) и пользуясь формулами (1) и (2) из, будем иметь

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

В самом деле, если с — постоянный множитель, то имеем

отсюда, так как с' = 0, получаем

Следствие 2. Если

где — дифференцируемые функции от х, то

Вообще, производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из этих сомножителей на все остальные.

Производная частного

Если числитель и знаменатель дроби — дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль у то производная дроби равна также дроби у числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

Пусть

где и и v — дифференцируемые функции от х, и . Дадим аргументу х приращение ; тогда и, и, у получат соответственно приращения и мы будем иметь

Вычитая почленно первое равенство из второго, получим

Отсюда находим

Пусть . Так как функция v дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке и, следовательно,

Поэтому, переходя к пределу в равенстве (4) и учитывая, что функции и И v имеют производные, получаем

или окончательно

Пример:

Пусть

Применяя формулу (5), будем иметь

Следствие 1. Если знаменатель дроби — постоянная величина, то

Замечание. Последний результат является очевидным, так как

и, следовательно,

Следствие 2. Если числитель дроби — постоянная величина, то

В частности, при с = 1 находим

Пример:

Если , то в силу формулы (7) имеем

Производная степени с целым отрицательным показателем

Пусть — целое положительное число и

Применяя формулу (7), получаем

Следовательно,

Мы получили то же правило, что и при дифференцировании целой положительной степени.

Производная от tg х

Пусть

Применяя формулу (5), находим

Итак,

Производная от ctg x

Пусть

Тогда имеем

Итак,

Производная сложной функции

Рассмотрим некоторую сложную функцию

Если в цепи функциональных зависимостей аргумент д: является последним, то мы будем называть его независимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что изменение этого аргумента не зависит от поведения других переменных величин).

Таким образом, понятия аргумента и независимой переменной следует различать. Например, пусть

Здесь z есть аргумент функции у, но z, очевидно, не будет независимой переменной.

Для простоты будем предполагать, что функция у = f(z) определена и дифференцируема в интервале (А, В), функция определена и дифференцируема в интервале и принимает значения из интервала (А, В). Тогда функция (1) заведомо будет определена и непрерывна в интервале . Возникает вопрос о дифференцируемости этой функции.

Теорема: Если у = f(z) и z = ф(х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции

существует и равна производной данной функции у по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х, т. е.

Доказательство: Пусть х — допустимое значение независимой переменной. Дадим х отличное от нуля достаточно малое приращение ; тогда и получат соответствующие приращения . Так как производная по условию теоремы существует, то, предполагая, что , можно написать

Отсюда

, где при и, следовательно,

Доопределим бесконечно малую а при , полагая а = О при . Тогда последнее равенство будет справедливо также и при , так как в этом случае, очевидно, обе части его равны нулю. Разделив обе части этого равенства на , будем иметь

Переходя теперь к пределу при и учитывая, что при этом и, следовательно, , получаем

что и доказывает теорему:

Теорема: Дифференцируемая функция от дифференцируемой функции есть функция также дифференцируемая.

Замечание. В обозначениях Лейбница формула (2) принимает вид тождества

Пример №252

Найти производную от функции .

Решение:

Полагаем , тогда . Отсюда

Следовательно, согласно формуле (1) имеем

Пример №253

Найти производную от функции .

Решение:

Полагаем ; тогда . Отсюда

Следовательно,

При достаточном навыке промежуточную переменную не пишут, вводя ее лишь мысленно.

Пример №254

Найти производную от функции

Решение:

Используя формулу для производной квадратного корня и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем

Пример №255

Найти производную от функции .

Решение:

Имеем

Производная обратной функции

Пусть

есть дифференцируемая функция от аргумента х в некотором интервале . Если в уравнении (1) у рассматривать как аргумент, а х как функцию, то эта новая функция

где называется, как мы знаем, обратной по отношению к данной. Нашей задачей является: зная производную функции , найти производную обратной ей функции , предполагая, что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем промежутке (не разрешая уравнения (1)).

Теорема: Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Доказательство: Пусть функция дифференцируема и

Пусть — приращение независимой переменной у, а — соответствующее приращение обратной функции . Напишем равенство

Переходя к пределу в равенстве (2) при и учитывая, что при этом также Ах 0 (в силу непрерывности обратной функции), получаем

Можно доказать, что если при наших условиях . Поэтому равенство (2) не может потерять смысл.

Отсюда

где х'_у — производная обратной функции.

Замечание. Если пользоваться обозначениями Лейбница, то формула (3) примет вид

Вспоминая геометрический смысл производной, можно дать простую иллюстрацию формулы (3). В точке М (х, у) графика функции у = f(x) проведем касательную МТ к этому графику и прямые Мх и My. параллельные соответственно координатным осям Ох и Оу (рис. 104). Обозначая через а и Р углы, образованные касательной МТ с положительными направлениями осей Ох и Оу соответственно, будем иметь

Так как , то отсюда следует

что эквивалентно формуле (2).

Пример:

Пусть . Имеем и, следовательно,

Производная неявной функции

Рассмотрим несколько примеров дифференцирования неявных функций.

Пример №256

Найти производную функции у (у > 0), определяемой уравнением

Решение:

Разрешая это уравнение относительно у и беря знак плюс, в силу условия будем иметь нашу функцию в явном виде:

Дифференцирование ее теперь не представляет никаких затруднений.

Однако в некоторых случаях данное нам уравнение элементарными средствами нельзя разрешить относительно у и приходится рассматривать у как неявную функцию от х. Поэтому укажем другой способ нахождения производной неявной функции у. А именно, предполагая, что в данное уравнение вместо у подставлено его явное выражение, получаем тождество

причем здесь у есть функция от х. Очевидно, если две функции тождественно равны друг другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей предыдущего тождества и применяя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь

отсюда

Пример:

Пусть у есть положительная или отрицательная неявная функция от х, определяемая уравнением

Предполагая, что вместо у подставлено соответствующее явное выражение, и дифференцируя по х левую и правую части полученного тождества, будем иметь

Отсюда

Замечание. Если две функции равны друг другу не тождественно, а лишь для некоторого значения х₀ аргумента

то отсюда, вообще говоря, не следует, что - ясно видно из рис. 105, где

Таким образом, равенство в общем случае нельзя дифференцировать почленно.

Производная логарифмической функции

Пусть

где . Найдем производную этой функции, пользуясь схемой, изложенной в начале.

Дадим аргументу х (х фиксировано) приращение такое, что . Тогда функция у получит приращение и мы будем иметь ; следовательно,

или, так как разность логарифмов равна логарифму частного,

Разделив обе части последнего равенства на , получим

Полагая здесь , находим

или на основании известного свойства логарифма

Пусть , тогда, очевидно, и как произведение бесконечно малой на постоянную величину . Поэтому

Функция , очевидно, непрерывна при . Так как логарифмическая функция также непрерывна и

то знаки можно переставить

Следовательно,

Таким образом, имеем формулу

Пользуясь известным соотношением 

Полагая здесь, в частности, а = е и помня, что In е = 1, получаем

т. е. производная натурального логарифма от независимой переменной равна обратной величине этой независимой переменной.

Другой важный частный случай получаем при а = 10:

где М = ~ 0,43429 — модуль перехода.

Логарифмическая функция у = In х определена лишь при х > 0. Для приложений удобно рассматривать функцию

которая имеет смысл как при х положительном, так и при х отрицательном, т. е. определена при х * 0 (рис. 106). Для нахождения производной этой функции запишем ее с помощью двух равенств:

Отсюда получаем

Следовательно,

Понятие о логарифмической производной:

Пусть

Тогда, применяя формулу дифференцирования сложной функции, получим

Таким образом, имеем

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной функции.

Пример №257

Найти производную функции .

Решение:

Применяя последнюю формулу, имеем

Производная показательной функции

Пусть

Тогда

Взяв производную от левой и правой частей по х, будем иметь

Существование у' вытекает из дифференцируемости логарифмами ческой функции, отсюда

или окончательно

Таким образом, производная показательной функции равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм основания.

Пример №258

Найти производную функции .

Решение:

По формуле (1) имеем

Полагая в формуле (1), в частности, а = е получим

т. е. производная экспоненциальной функции ех равна самой функции. В этом смысле функция е^х является простейшей функцией математического анализа.

В приложениях часто встречаются гиперболические функции, которые формально определяются равенствами

(рис. 107) и

(рис. 108). Из формул (2) получаем основное соотношение

На основании формул (2) и (3) непосредственно находим производные гиперболических функций:

Производная степенной функции

Рассмотрим степенную функцию

где а — любое действительное число.

Логарифмируя равенство (1), получаем

Отсюда

Поэтому в силу теоремы о производной сложной функции степенная функция у дифференцируема.

Дифференцируя по переменной х равенство (2), будем иметь

Отсюда

Таким образом, мы получаем общее правило дифференцирования степенной функции:

т. е. производная степени независимой переменной равна показателю степени, умноженному на основание в степени на единицу меньше.

Если степенная функция (1) имеет смысл при , то формула (3) будет справедлива также и при .

Производные обратных тригонометрических функций

Функции, обратные тригонометрическим функциям, носят название обратных тригонометрических или обратных круговых функций (Arcsin х, Arccos х, Arctg х, Arcctg х и т. д.).

Главные значения обратных тригонометрических функций получаются в результате обращения дифференцируемых (с отличной от нуля производной в соответствующей области) тригонометрических функций и, следовательно, в силу теоремы о производной обратной функции являются также дифференцируемыми. Найдем их производные.

I. Производная от arcsin х. Пусть

где . Обратная функция имеет вид

причем

Используя правило дифференцирования обратной функции, получим

Так как cos у > 0 при , то, учитывая (2), получаем

Следовательно, на основании (3) имеем

Из формулы (4) следует, что кривая (1) при = ±1 имеет вертикальные касательные.

Производная от arccos х

Пусть

тогда

причем

На основании правила дифференцирования обратной функции имеем

Так как sin у > О при , то

Поэтому

Таким образом,

Замечание. Формулу (5) мы могли бы также получить из соотношения

arcsin х + arccos х =

Производная от arctg х

Пусть

и, следовательно, х = tg у.

Имеем

Таким образом,

Производная от arcctg х

Пусть

у = arcctg х

тогда х = ctg у.

Имеем

т. е.

Пример:

Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между переменными х и у иногда удобно задавать двумя уравнениями

где t — вспомогательная переменная (параметр). Особенно часто этим пользуются в механике, где параметр t обычно обозначает время, а уравнения (1) представляют собой параметрические уравнения траектории движущейся точки М(х, у).

Уравнения (1), вообще говоря, определяют у как сложную функцию от х. В самом деле, разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это возможно), будем иметь

где 0 — функция, обратная к функции ф. Отсюда, исключая из уравнений (1) параметр t, получим

Пользуясь формулой (2), легко найти производную у'х как производную сложной функции.

Однако на практике исключение параметра t часто бывает затруднительным, а иногда даже невозможным. Поэтому мы дадим правило для нахождения производной не требующее исключения параметра.

Теорема: Если функция у от аргумента х задана параметрически , где функции дифференцируемы и , то производная этой функции есть

Доказательство: В цепи равенств

где есть обратная функция по отношению к функции , будем рассматривать параметр t как промежуточный аргумент. В таком случае, согласно правилу дифференцирования сложной функции, имеем

Применяя теперь правило дифференцирования обратной функции, получим

Следовательно, из формул (4) и (5) находим что и требовалось доказать.

Замечание. Пользуясь обозначениями Лейбница, формуле (3) можно придать вид очевидного равенства

Этим еще раз подчеркивается удобство обозначений Лейбница.

Пример:

Пусть

Имеем . Следовательно,

Справедливость последней формулы можно непосредственно проверить, исключая из равенств (6) параметр t.

Сводка формул дифференцирования

Выведенные нами правила и формулы дифференцирования для функций одного и того же независимого переменного х объединим в таблицу:

Понятие о производных высших порядков

Производная f(x) от функции f(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Может случиться, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной и обозначается так: f"(x). Итак,

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается так: f"'(x), т. е.

И т. д.

Для обозначения дальнейших производных употребляются римские цифры.

Пример:

Пусть у = sin х. Тогда имеем последовательно

Физическое значение производной второго порядка

Мы видели, что с помощью производной первого порядка можно найти скорость движения. Покажем, что для того, чтобы вычислить ускорение движения, надо воспользоваться производной второго порядка.

Пусть закон движения точки М по оси Ох выражается уравнением х = f(t). Пусть в момент времени t точка М имеет скорость у, а в момент — скорость .

Таким образом, за промежуток времени скорость точки изменилась на величину . Отношение

называется средним ускорением прямолинейного движения за промежуток времени . Предел этого отношения при , т. е.

называется ускорением точки М в данный момент t. Обозначая ускорение буквой j, можем написать . Но . Поэтому

Итак, имеем

т. е. ускорение прямолинейного движения точки равна второй производной от пути по времени.

Приложения производной

Теорема о конечном приращении функции и ее следствия:

Приведем теорему о конечном приращении функции:

Теорема Лагранжа: Конечное приращение дифференцируемой функции равно соответствующему приращению аргумента, умноженному на значение ее производной в некоторой промежуточной точке, т. е. если f(x) есть дифференцируемая функция на некотором промежутке и — любые значения из этого промежутка, то

где

Доказательство: На графике функции у = f(x) проведем секущую АВ через точки и (рис. 109). Будем перемещать эту секущую параллельно начальному положению до тех пор, пока она не превратится в касательную А'С В' к графику нашей функции в некоторой точке его где . Согласно нашему построению угловой коэффициент секущей АВ равен угловому коэффициенту касательной А'СВ' поэтому

Отсюда

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке. В самом деле, если, например,

то, полагая в формуле (1) , где х₀ есть некоторое фиксированное значение из промежутка , и , где х — любое значение из этого промежутка, будем иметь

Отсюда

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то эти функции на рассматриваемом промежутке отличаются друг от друга самое большее на постоянное слагаемое. В самом деле, если

при , то на этом промежутке имеем

Следовательно, в силу следствия 1 функция есть постоянная при а < х < , т. е.

для всех значений х, принадлежащих промежутку .

Пример:

Как известно, для любого значения имеем

Следовательно,

где С — некоторая постоянная. Положив в последнем тождестве х = 1,

получим , т. е. С = . Таким образом,

В дальнейшем нам понадобится теорема о корнях производной:

Теорема Ролля: Между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции всегда содержится по меньшей мере один корень ее производной.

Доказательство: В самом деле, если f(x) — дифференцируемая функция и

то из формулы (1) имеем

или, так как

где

Возрастание и убывание функции одной переменной

Определение: Говорят, что функция f(x) возрастает в промежутке если любому большему значению аргумента х в этом промежутке соответствует большее значение функции; иными словами, f(x) есть возрастающая функция в промежутке , если, каковы бы ни были значения и из этого промежутка (рис. 110, а), из неравенства

вытекает равенство

Аналогично, говорят, что f(x) убывает в промежутке , если любому большему значению аргумента х в этом промежутке соответствует меньшее значение функции; иными словами, f(x) есть убывающая функция (рис. 110,6), если из неравенства

вытекает неравенство

Теорема: (Необходимый признак возрастания (убывания) функции.)

1)Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна в этом промежутке.

2)Если дифференцируемая функция убывает в некотором промежутке, то ее производная неположительна в этом промежутке.

Доказательство: 1) Пусть дифференцируемая функция f(x) возрастает в промежутке . Согласно определению производной,

Если значения х и принадлежат промежутку , то в силу возрастания функции f(x) знак ее приращения , где , одинаков со знаком приращения аргумента х. Следовательно, при достаточно малом по абсолютной величине имеем

Переходя в последнем неравенстве к пределу при и учитывая, что предел положительной функции, очевидно, не может быть отрицательным, получаем

2) Доказательство второй части теоремы вполне аналогично доказательству первой части ее.

Замечание. Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что для графика возрастающей дифференцируемой функции касательные образуют с положительным направлением оси Ох острые углы или в некоторых точках А параллельны оси Ох (рис. 111).

Для графика убывающей дифференцируемой функции все касательные образуют тупые углы с положительным направлением оси Ох или параллельны ей.

Теорема: (Достаточный признак возрастания (убывания) функции.)

1)Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

2)Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Доказательство: 1) Пусть, например, дифференцируемая функция f(x) такова, что

Для любых двух значений , принадлежащих промежутку , в силу теоремы о конечном приращении функции имеем

где — промежуточное значение между и, следовательно, лежащее внутри промежутка . Так как , то отсюда получим

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке .

2) Доказательство второй части этой теоремы совершенно аналогично доказательству первой ее части.

Функция возрастающая (или убывающая) называется монотонной. Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции.

Пример №259

Исследовать на возрастание и убывание функцию

Решение:

Находим производную

Производная обращается в нуль при значениях . Эти значения разбивают всю бесконечную ось Ох на три промежутка:

внутри каждого из которых производная f'(x) сохраняет постоянный знак. Очевидно, внутри первого и третьего промежутков производная f(x) положительна, а внутри второго — отрицательна. В этом проще всего можно убедиться, взяв точки, принадлежащие соответствующим интервалам. Следовательно, функция /(*) возрастает в первом промежутке, убывает во втором и снова возрастает в третьем (рис. 112).

Понятие о правиле Лопиталя

Рассмотрим отношение

где функции определены и дифференцируемы в некоторой окрестности U_а точки а, исключая, быть может, саму точку а. Может случиться, что при ха обе функции стремятся к 0 или к т. е. эти функции одновременно являются или бесконечно малыми, или бесконечно большими при . Тогда говорят, что в точке а функция f(x) имеет неопределенность, соответственно, вида

В этом случае, используя производные можно сформулировать простое правило для нахождения предела функции f(x) при , т. е. дать рецепт для раскрытия неопределенностей вида (1). Этот способ вычисления предела известен под названием правила Лопиталя.

Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует (в указанном смысле).

Доказательство: Доказательство мы проведем только для неопределенности вида , причем для простоты будем предполагать, что функции вместе с их производными и , непрерывны в точке . Доказательство для случая значительно сложнее.

Итак, пусть

Разность ф(х) - ф(а) можно рассматривать как приращение функции ф(х) в точке а, соответствующее приращению аргумента . Поэтому

аналогично,

Учитывая формулы (2) и (2') при , получаем

Отсюда, переходя к пределу при и используя формулы (3) и (3'), будем иметь

Но мы предположили, что производные непрерывны при , причем , поэтому

Сопоставляя формулы (4) и (5), получаем правило Лопиталя

Замечание. Обращаем внимание, что в правой части формулы (6) берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №260

Найти

Решение:

Здесь при х = О числитель и знаменатель дроби равны нулю, т. е. при мы имеем неопределенность вида . Применяя правило JIoпиталя (6), получим

Пример №261

Найти

Решение:

При имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя два раза, получим

Таким образом, при показательная функция е^х растет быстрее степенной функции х².

Указанные выше типы неопределенностей не являются единственными. Например, если

причем при , то при функция f(x) имеет неопределенность вида . Другой пример представляет функция

где При . Здесь при получаем неопределенность вида. Возможны и другие виды неопределенностей. Для раскрытия этих неопределенностей их стараются с помощью тождественных преобразований свести к основным типам неопределенностей . Последние обычно находятся на основании правила Лопиталя.

Пример №262

Найти

Решение:

Здесь мы имеем неопределенность вида . Переписывая данное выражение в виде

получаем неопределенность вида . Отсюда, применяя правило Лопиталя, находим

Пример №263

Найти

Решение:

Данное выражение представляет собой неопределенность вида

Используя формулу , будем иметь

Так как получилась неопределенность вида , то применяем правило Лопиталя:

Последний результат был получен на основании известного предела: . Здесь при нахождении предела оказалось целесообразным, как и во многих других случаях, комбинировать правило Лопиталя с элементарными приемами.

Для функции

в случаях

получаем неопределенности соответственно вида Здесь выгодно логарифмировать функцию f(x).

Пример №264

Найти

Решение:

Выражение (7) представляет собой неопределенность вида . Логарифмируя выражение (7) и используя непрерывность логарифмической функции, находим

Применяя правило Лопиталя к получившейся неопределенности вида , будем иметь

отсюда A = 1.

Формула Тейлора для многочлена

Пусть данный многочлен

требуется разложить по степеням бинома , где — некоторое число. Эту задачу можно решить элементарно, используя тождество . Однако можно указать более простой прием. Пусть

— искомое разложение, коэффициенты которого . требуется найти. Полагая в тождестве (2), получим ; отсюда

Дифференцируя тождество (2), будем иметь

Отсюда, полагая , получим

После вторичного дифференцирования находим

и при имеем , т. е.

Для определения дальнейших коэффициентов разложения (2) можно использовать тот же прием. Довольно очевидно, что имеет место общая формула

где по определению полагают . Формулу (5) можно строго доказать методом математической индукции.

Подставляя коэффициенты (5) в разложение (2), получим формулу Тейлора для многочлена

или короче

Заметим, что, как нетрудно убедиться, старшие коэффициенты разложений (1) и (2) совпадают, т. е. . Поэтому справедливо равенство

Если положить, то правая часть равенства (6) будет тождественно равна правой части многочлена (1). Поэтому справедливы равенства

Пример №265

Многочлен разложить по степеням бинома х + 1.

Решение:

Здесь . Имеем

Таким образом,

Бином Ньютона

Рассмотрим функцию

где — натуральное число. Полагая и используя формулу Тейлора (6) из, получаем

где

Так как из (1) получаем

Таким образом, и

Числа Ак носят название биномиальных коэффициентов и условно обозначаются следующим образом:

где называется числом сочетаний из п элементов по k (комбинаторный смысл чисел будет выяснен позднее; ).

Итак, на основании формулы (2) имеем биномиальную формулу Ньютона

В частности, при а = 1 получаем

Формула Тейлора для функции

Пусть функция имеет непрерывную производную N-ro порядка в интервале их . Используя результаты предыдущего параграфа, построим многочлен Тейлора

степени , где .

Многочлен можно рассматривать как некоторое приближение (аппроксимацию) данной функции. Обозначая через соответствующую ошибку (так называемый остаточный член), будем иметь

Покажем, что при остаточный член будет бесконечно малой порядка выше п (теорема Пеано). В самом деле, рассмотрим предел

Очевидно, мы имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя  последовательно раз и учитывая непрерывность производной , находим

Следовательно,

Таким образом, получаем локальную формулу Тейлора:

В частном случае, при , будем иметь так называемую локальную формулу Маклорена:

Пример №266

Функцию = sinx аппроксимировать в окрестности точки многочленом Тейлора третьей степени.

Имеем Отсюда На основании формулы (6) получаем

Формулу (7) часто используют для нахождения синусов малых углов х, причем следует иметь в виду, что здесь х выражен в радианах.

Полагая и учитывая, что

формулу (5) можно записать в виде

Экстремум функции одной переменной

Определение. Говорят, что при значении аргумента х функция f(x) имеет максимум если в некоторой окрестности точки (возможно, весьма малой) выполнено неравенство (рис. 113)

В общем случае формула (5) оказывается содержательной, если х принадлежит достаточно малой окрестности точки .

Аналогично, говорят, что при значении х₂ аргумента х функция f(x) имеет минимум f(x₂), если в некоторой окрестности точки х₂ имеет место неравенство (рис. 113)

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками минимума функции).

Из определения следует, что экстремум функции, вообще говоря, имеет локальный характер — это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с близлежащими значениями ее. Поэтому наличие экстремума функции при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что минимум функции может быть больше максимума, подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем небольшая вершина.

Пусть функция определена на отрезке и имеет экстремум в точке . Если х₀ — внутренняя точка отрезка, то разность

сохраняет постоянный знак в некоторой двусторонней окрестности точки х₀. Такой экстремум называется двусторонним. Например, функция имеет двусторонний максимум при , так как . Если же х₀ — концевая точка отрезка , например сохраняет знак лишь в некоторой односторонней окрестности точки х₀. Такой экстремум называется односторонним (краевым). Например, функция f(x) = имеет односторонний минимум при х₀ = -1 и при х₀ =1.

В дальнейшем под словом «экстремум» мы будем понимать двусторонний экстремум, т. е. будем предполагать, что для точки экстремума х₀ данной функции f(x) имеется некоторая окрестность точки х₀, в которой разность f(x) - f(x₀) сохраняет постоянный знак.

Необходимое условие экстремума функции

Теорема: В точке экстремума (двустороннего) дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Доказательство: Пусть, для определенности, х0 есть точка минимума функции f(x). Следовательно,

если достаточно мало по абсолютной величине. Отсюда

Переходя в этих неравенствах к пределу при , для производной в точке х₀, равной

соответственно получаем

, если , если .

Так как значение производной f'(x₀) не должно зависеть от способа стремления к нулю, то отсюда следует, что

Теорема доказана.

Геометрическая иллюстрация. Геометрически условие (1) обозначает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у = f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ох (рис. 114, а).

Следствие. Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна нулю или не существует.

Действительно, если в точке х₀ экстремума функции f(x) существует производная f'(x₀), то в силу доказанной теоремы эта производная равна нулю: f,(x₀) = 0.

То, что в точке экстремума непрерывной функции производная может не существовать, показывает пример функции, график которой имеет форму * ломаной» (рис. 114,6).

Те значения аргумента ху которые для данной функции f(x) обращают в нуль ее производную f'(x) или для которых производная f\x) не существует (например, обращается в бесконечность), называются критическими значениями аргумента.

Достаточные условия экстремума функции

Из того обстоятельства, что , вовсе не следует, что функция f(x) имеет экстремум при .

В самом деле, пусть . Тогда и, следовательно, . Однако значение не является экстремумом данной функции, так как разность меняет знак при изменении знака аргумента х (см. рис. 57).

Таким образом, не для всякого критического значения аргумента функции f(x) имеет место экстремум этой функции. Поэтому мы наряду с необходимым условием дадим достаточные условия экстремума функции.

Теорема: (первое правило). Если дифференцируемая функция f(x) такова, что для некоторого значения х0 ее аргумента х производная f\x) равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение то число f(x₀) является экстремумом функции f(x), причем:

1)функция f(x) имеет максимум при х = х₀, если изменение знака производной f\x) происходит с плюса на минус;

2)функция f(x) имеет минимум при х = х₀, если изменение знака производной f'(x) происходит с минуса на плюс.

Мы говорим, что некоторая функция F(x) меняет свой знак при переходе через значение х0, если существует столь малое положительное е такое, что

при и при или наоборот.

Доказательство: 1) Пусть f'(x₀) = 0, причем

где — достаточно малое положительное число.

Отсюда в силу теоремы 2 из  следует, что функция f(x) возрастает на отрезке и убывает на отрезке . Следовательно, в непосредственной близости к значению х имеем

и также

Иными словами, при функция f(x) имеет максимум.

2) Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Замечание. Можно доказать, что теорема остается верной, если в критической точке х₀ производная f'(x₀) не существует, но функция f(x) непрерывна при х = х₀.

Теорема: Если для дифференцируемой функции f(x) ее производная f(x) при х = х₀ обращается в нуль, но при переходе через это значение производная сохраняет постоянный знак, то при х = х₀ функция f(x) не имеет экстремума.

Доказательство: В самом деле, если, например, f'(x₀) = 0 и

то функция f(x) возрастает как на отрезке , так и на отрезке . Следовательно, функция не имеет ни максимума, ни минимума при х = х₀.

Пользуясь этими теоремами при исследовании дифференцируемой функции f(x) на экстремум, сначала находят критические значения аргумента функции, т. е. те значения х₀, для которых

а затем, выбрав для каждого такого значения х₀ столь малый интервал чтобы он не содержал других критических значений (конечно, если это возможно!), проверяют характер этого значения по следующей схеме:

Пример №267

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Находим производную

Приравнивая ее нулю и решая соответствующее квадратное уравнение, получаем корни производной:. Отсюда

Исследуем, как изменяется знак f(x) вблизи значения х =1. При любом достаточно малом положительном числе h имеем

Следовательно, функция f(x) при х = 1 имеет максимум, равный . Аналогично, для значения х = 3 получим

Поэтому функция f(x) при х = 3 имеет минимум, причем .

График функции изображен на рис. 115.

Теорема: (второе правило). Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х₀ ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f"(x) существует и отлична от нуля, т. е.

то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно: 1 )если , то — минимум функции , и 2) если , то — максимум функции .

Доказательство: 1) Положим сначала, что . Пусть — точка, близкая к х₀. Так как вторая производная f"(x) есть производная от первой производной то имеем

(здесь мы воспользовались тем, что f'(x₀) = 0). Таким образом,

переменная величина стремится к пределу , а значит, начиная с некоторого момента эта величина имеет знак своего предела, т. е. в нашем случае знак плюс. Поэтому

где — достаточно малое положительное число. Отсюда получаем, что числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки и, следовательно,

Мы видим, что производная f'(x) при переходе через точку х₀ меняет свой знак с минуса на плюс. На основании теоремы 1 число f(x₀) есть минимум функции f(x).

2) Аналогично доказывается, что если , то f(x₀) — максимум функции f(x).

Теория экстремума функций имеет многочисленные практические применения.

Пример №268

Дан треугольник ABC, основание которого АС = b и высота BL = h (рис. 116). Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.

Решение:

Обозначим высоту KL искомого прямоугольника через х, основание DE через у (рис. 116). Тогда площадь его

Переменные х и у не являются независимыми, они связаны некоторым соотношением. В самом деле, из подобия треугольников DBE и ABC, учитывая, что высоты их ВК и BL пропорциональны основаниям DE и АС, имеем

или так как следовательно,

Отсюда

Исключая у из выражения для U, находим

Ищем максимум этой функции. Дифференцируя, получим

Приравнивая производную нулю, находим

Легко видеть, что это значение х действительно даст максимум функции U. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь

Следовательно, при площадь имеет максимум, причем из формулы (2) получаем

Таким образом, площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.

Вогнутость и выпуклость графика функции

Точки перегиба

Определение: График дифференцируемой функции у = f(x) называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз)) в промежутке если соответствующая часть кривой

расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 117, а).

Аналогично, график дифференцируемой функции у = называется выпуклым вверх (илы вогнутым вниз) в промежутке , если соответствующая часть кривой (1) расположена ниже касательной, проведенной к любой ее точке

Достаточные условия вогнутости (выпуклости) графика функции.

Теорема: 1) Если для дважды дифференцируемой функции у = f(x) вторая ее производная f'(x) положительна внутри промежутка , то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке.

2) Если же вторая производная f'(x) отрицательна внутри промежутка , то график функции у = f(x) вогнут вниз в этом промежутке.

Доказательство: 1) Пусть — любая точка промежутка . Сравним в точке л: ординату у кривой у = f(x) с ординатой ее касательной , проведенной в точке (рис. 118). Так как угловой коэффициент касательной равен то

Отсюда

Используя теорему Лагранжа, будем иметь

где

Поэтому из (2) получаем

Далее, так как — возрастающая функция.

Пусть ; тогда, очевидно, и, следовательно, в силу возрастания f'(x) имеем . В этом случае из формулы (3) получаем .

Если теперь , то и поэтому . Из формулы (3) снова выводим .

Таким образом, при имеем

Отсюда вытекает, что при а < х < b кривая у = f(x) расположена выше своих касательных и, значит, график функции вогнут вверх на промежутке .

2) Аналогично доказывается, что если f"(x) < 0 при то график функции у = f(x) вогнут вниз на промежутке .

Определение: Точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = f(x) называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот (рис. 119).

Теорема: Если для функции у = f(x) вторая производная ее f"(x) в некоторой точке х₀ обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка является точкой перегиба графика функции.

Доказательство: Предположим, что вторая производная f"(x) в точке М обращается в нуль и меняет свой знак, например, с плюса на минус. Тогда левее точки М вторая производная функции f(x) положительна, а потому при график этой функции вогнут вверх; правее точки М вторая производная отрицательна и, следовательно, при график функции у = f(x) выпуклый вверх. Таким образом, в точке М кривая у = f(x) меняет вогнутость на выпуклость, поэтому точка М есть точка перегиба этой кривой.

Замечание. В точке перегиба х₀ функции у = f(x) вторая производная может также не существовать, например обращаться в бесконечность.

Пример:

Пусть дана кривая Гаусса

Имеем

Вторая производная у" обращается в нуль, если ; отсюда

Изменение знака второй производной характеризуется следующей таблицей:

Следовательно, точки являются точками перегиба данной кривой (рис. 120).

Приближенное решение уравнений

Рассмотрим уравнение

где функция f(x) определена и непрерывна на промежутке . Значение , удовлетворяющее уравнению (1), т. е. такое, что , называется корнем этого уравнения (или нулем функции f(x)).

Геометрически корни уравнения (1) представляют собой абсциссы то-y=f(х) чек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис. 121).

Для геометрического решения уравнения (1) иногда удобно заменить его равносильным уравнением

Тогда корни уравнения (1) находятся как абсциссы точек пересечения кривых

Пример №269

Графически решить уравнение

Решение:

Очевидно, имеем . Отсюда корень уравнения (2) представляет собой абсциссу точки пересечения логарифмической кривой у = lg х и прямой (рис. 122).

Построив на миллиметровой бумаге эти кривые, приближенно находим корень уравнения (3):

Геометрически наглядной представляется следующая теорема:

Теорема: Если непрерывная функция f(x) на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. , то внутри отрезка имеется по меньшей мере один нуль функции f(x) (т. е. обязательно существует корень уравнения f(x) = 0). Этот корень будет единственным, если f(x) сохраняет постоянный знак на (ввцду монотонности функции f(x)).

Запись означает, что отрезок содержится в промежутке

Предполагая, что уравнение f(x) = 0, где f(x) непрерывна на , имеет единственный корень внутри отрезка , причем выполнено условие , укажем некоторые простые приемы для приближенного нахождения этого корня.

А. Метод половинного деления. Пусть функция f(x) непрерывна на . Разделим отрезок пополам, и пусть у есть середина этого отрезка. Если , то у есть искомый уровень. Если , то через обозначим ту из половин или , на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Затем повторим прием половинного деления и т. д. В результате или мы найдем точный корень уравнения f(x) = 0, или же получим сужающуюся последовательность отрезков

внутри которых находится искомый корень (*метод вилки»).

Так как длина -го отрезка , равная , стремится к 0 при , то, повторяя этот прием достаточно большое число раз и принимая , можно определить искомый корень с любой, заранее заданной точностью.

Б. Метод хорд. Заменим дугу в кривой у = f(x) ее хордой , проходящей через концевые точки и , и принимаем за приближенное значение корня уравнения f(x) = 0 абсциссу точки пересечения хорды с осью Ох (рис. 123).

Если , то это равносильно тому, что мы в качестве приближенного значения корня берем точку делящую отрезок в отношении (способ пропорциональных частей).

Уравнение хорды имеет вид

Полагая в уравнении (4), находим точку пересечения хорды с осью Ох (рис. 123):

Число принимают за первое приближение корня Если то формулу (5) можно применить к тому из отрезков , на концах которого функция f(x) принимает значения различных знаков, и т. д.

Пример №270

Методом хорд определить корень уравнения

Решение:

Для приближенного нахождения корня уравнения (6) можно нарисовать эскизы графиков функций . Грубой прикидкой мы обнаруживаем, что искомый корень, т. е. абсцисса точки пересечения графиков, находится в интервале (2, 3). Действительно,

Поэтому можно принять

Применяя формулу (5), получим приближенное значение корня:

Заметим, что

Поэтому для уточнения значения корня формулу (5) следует применить к отрезку [2,1; 3].

В. Метод касательных. Заменим теперь дугу кривой у = f(x) касательной АС, проведенной в точке (рис. 124). Так как угловой коэффициент касательной АС равен Да), то ее уравнение имеет вид

Отсюда, полагая , находим для корня его приближенное значение

(формула Ньютона).

Заметим, что если на нашем чертеже (рис. 124) провести касательную в точке , то точка пересечения ее с осью Ох даст плохое приближение корня Здесь следует придерживаться правила: если вторая производная функции f (х) сохраняет постоянный знак в интервале , то касательную следует проводить в той концевой точке дуги , для которой знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Пример:

Методом касательных определить корень уравнения (6), лежащий в интервале (2, 3).

Здесь , причем . Поэтому в формуле (8) полагаем а = 3. Так как , то имеем

Для контроля заметим, что

Так как в нашем случае где то можно положить

Здесь

Для уточнения корня можно применить методы хорд и касательных к отрезку [2,10; 2,23] и т. д.

Построение графиков функций

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить ясное представление о характере функции и, в частности, построить математически грамотный эскиз ее графика.

Исследование функции у = f(x) (которую мы будем предполагать элементарной) в простейших случаях целесообразно проводить по следующей схеме.

1)Анализируя свойства функции f(x), определяем область существования ее; для простоты предположим, что это будет некоторый промежуток . Полезно также выяснить симметрию графика (четность или нечетность, периодичность и т. п.).

2)Находим точки разрыва функции. Исследуем также поведение функции при где а и b — граничные области существования функции.

3)Решая уравнение

определяем корни (нули) функции. Выясняем знак функции в различных областях, учитывая, что элементарная функция может менять свой знак лишь проходя через нуль или через точку разрыва.

4)Решая уравнение

находим критические значения аргумента для функции f(x). Изучая затем знак производной f\x) в каждом из промежутков между двумя соседними критическими значениями, определяем промежутки возрастания и убывания функции и выясняем характер этих критических значений.

5)Решая уравнение

определяем критические значения аргумента для производной f'(x). Выясняя затем знак производной f"(x) в каждом из промежутков между двумя соседними критическими значениями аргумента для производной f'(x) устанавливаем промежутки выпуклости и вогнутости вверх графика функции f(x) и находим его точки перегиба.

В более сложных случаях следует исследовать также те точки, в которых производные f'(x) и f"(x) не существуют.

Для решения уравнений (1), (2) и (3), возможно, придется применить приближенные методы.

Составляя в заключение таблицу значений функции для ее характеристических точек (граничные точки области существования функции, точки разрыва, точки пересечения графика функции с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и т. п.) и учитывая результаты проведенного выше исследования, изображаем эту функцию графически.

Заметим, что иногда достаточно проводить неполное исследование функции.

Пример №271

Построить график функции

Решение:

Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1)Функция определена, если . Отсюда область существования ее: .

2)Точек разрыва нет, причем

3)Решая уравнение , получаем корень функции

при этом у < 0, если , если .

4)Находим производную

Приравнивая ее нулю, получаем критическую точку . Кроме того, очевидно, у' обращается в при . Поэтому также будет критической точкой.

Промежутками монотонности функции являются , причем, как нетрудно убедиться, исследуя знак производной, функция возрастает в первом промежутке и убывает во втором. Следовательно, есть точка максимума функции. В точке очевидно, функция имеет краевой минимум.

5)Находим вторую производную

Так как вторая производная всюду отрицательна, то график функции вогнут вниз и точек перегиба нет.

Результаты наших исследований объединяем в таблицу. Примерный график функции изображен на рис. 125.

Определение производной в математическом анализе

Определение и основные свойства:

Будем считать, что функция определена в некоторой окрестности точки Приращение аргумента равное будем обозначать при этом  Это приращение может обозначаться и иначе, например, Приращение функции в точке равное  будем обозначать

Определение 4.1. Производной функции в точке  называется предел если этот предел конечен или равен Обозначается этот предел

Другие записи:

 

(по теореме 3.5 о замене переменной под знаком предела,  при этом при при ).

Замечание. Функция  не определена при но определена в некоторой проколотой окрестности точки

Пример 4.1.

1) Если (постоянная функция), то в любой точке

2) Если то в любой точке

Определение 4.2. Правой (левой) производной функции в точке называется

 (соответственно если этот предел конечен или равен Обозначается этот предел (соответственно ).

Из леммы 3.5 следует, что тогда и только тогда, когда

Заметим также, что если две функции совпадают в некоторой окрестности точки то существуют одновременно. В случае существования они равны (это следует из соответствующих свойств предела функции). Аналогично, если совпадают в некоторой правой (левой) окрестности точки (соответственно и ) существуют одновременно, в случае существования они равны.

Теорема 4.1. Если функция имеет конечную производную (правую производную, левую производную) в точке  то эта функция непрерывна (соответственно непрерывна справа, непрерывна слева) в этой точке.

Доказательство проведём для обычной производной (для односторонних производных доказательство аналогично).

Если  где  Тогда  Ясно, что т.е. непрерывна в точке

Обратное утверждение неверно.

Пример 4.2.

Рассмотрим функцию Если то в некоторой окрестности точки имеет место равенство значит, Аналогично, если то Поэтому . Если же 0, то в некоторой правой окрестности точки 0 имеет место равенство значит, Аналогично, Поэтому не существует. Но функция непрерывна в точке 0, так как

Пример 4.3.

Рассмотрим функцию

Функция непрерывна в точке х = 0, так как (см. пример 3.29, там же изображен график этой функции). С другой стороны,

Этот предел не существует (см. пример 3.28). Аналогично не существует Итак, непрерывная функция может не иметь даже односторонних производных в точке.

Теорема 4.2. Пусть функции имеют конечные производные в точке Тоща функции имеют производные в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы ). причем в точке выполняются равенства

l) 

2)

Здесь использовано то, что так как по теореме 4.1 функция непрерывна в точке

Здесь использовано то, что

Следствия. 1)  так как (постоянный множитель можно выносить за знак производной);

2)

Замечание. Теорема 4.2 вместе с доказательством сохраняется для односторонних производных суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 4.3 (о производной сложной функции).

Пусть функция имеет конечную производную в точке а функция имеет конечную производную в точке Тогда функция имеет производную в точке , причем (иначе говоря, ).

Пусть Нужно доказать, что производная существует и равна АВ.

По определению производной

Отсюда имеем

Функция определена в некоторой но если доопрелслить  то равенство (4.1) сохранится. Поэтому можно считать, что функция определена в и непрерывна в точке 0. Аналогично считаем, что функция определена в и непрерывна в точке 0, причём 

Рассмотрим функцию она непрерывна в точке 0, и если равенство (4.2) выполнено в то найдётся такая, что при всех  значение можно подставить в качестве в (4.2). Тогда

откуда

Так как по следствию из теоремы 3.8, то

Производные элементарных функций

Теорема 4.4.

1) При в любой точке имеет место равенство

2) в любой точке имеет место равенство
3) при любом в любой точке имеет место равенство

1) (см. пример 3.35); при имеем равенство

2) При

(здесь сделана замена и применена теорема 3.5, после этого применён пример 3.33). В качестве следствия заметим, что при в любой точке имеет место равенство

3) По теореме 4.3

Замечание: Если то пункт 3 теоремы 4.4 сохраняется при всех если то пункт 3 сохраняется при всех

Докажем по индукции, что при всех х, если При это известно (пример 4.1, пункт 2).

Пусть при некотором имеет место равенство Тогда Нужное равенство получено при При утверждение доказано.

Если то нужное равенство верно при Наконец, если где то при всех имеем

Теорема 4.5. В любой точке имеют место равенства

(первый предел равен в силу непрерывности функции  в любой точке, второй предел после замены и применения теоремы 3.5 приводится к пределу который равен 1).

Второе равенство доказывается аналогично. 

Следствие. В любой точке, где имеет место равенство  В любой точке, где имеет место равенство

Второе равенство доказывается аналогично. 

Для производных гиперболических функций имеют место такие же формулы, только в одной из них меняется знак:

(последняя из этих формул верна при ). В самом деле,

Теорема 4.6 (о производной обратной функции).

Пусть функция строго монотонна и непрерывна в некоторой -окрестности точки причем существует (конечная, ). Тогда обратная функция имеет производную в точке причём Равенство формально сохраняется, если или

(если строго возрастает в  если строго убывает в  если или ).

Пусть По теореме об обратной функции, на промежутке определена, строго монотонна в ту же сторону и непрерывна обратная функция При этом существует такое, что В самом деле, Рассмотрим тогда Для определённости считаем, что строго возрастает, тогда а так как — промежуток, то т.е. найдётся такое, что (см. рис. 4.1).

Для нахождения предела сделаем замену (применяем теорему 3.5); в силу непрерывности функции в точке имеет место равенство в силу строгой монотонности функции  при  Далее, Поэтому

Если строго возрастает, то дробь под знаком последнего предела положительна, и Аналогично разбирается случай убывания функции  Наконец, если то из доказательства видно, что

3амечание: Теорема 4.5 вместе с доказательством сохраняется для случая, когда строго монотонна и непрерывна в некоторой правой (левой) окрестности точки причём существует (соответственно ). Тогда обратная функция имеет соответствующую одностороннюю производную, и выполняется нужное равенство.

Пример 4.4.

Рассмотрим функцию где n — нечетное натуральное число. Функция строго возрастает на (). Обратная функция

Тогда в любой точке

Таким образом, для производной обратной функции имеет место равенство

Формально равенство сохраняется и при  т.е. при нечётном натуральном

Отметим, что при х > 0 равенство (4.3) можно переписать так:

что является частным случаем выведенной ранее формулы справедливой при любом действительном а в любой точке х > 0.

3амечание: Равенство (4.3) верно при всех равенство (4.4) — только при х > 0. Тем не менее при вычислении производных часто бывает удобно формально применять равенство (4.4) вместо (4.3) для всех Полученные результаты будут справедливы. И вообще равенство

можно формально применять при всех если — натуральные числа, причём п нечётно. Например,  и т.д.

Пример 4.5.

Рассмотрим функцию где — чётное натуральное число. Функция строго возрастает на обратная функция Аналогично примеру 4.4, в любой точке имеет место равенство  т.е. для производной обратной функции имеет место равенство (4.3), что равносильно (4.4). Формально равенство (4.3) сохраняется и для правой производной в точке т.е. при четном натуральном

Теорема 4.7. 1) В каждой точке имеют место равенства Равенства эти формально сохраняются для односторонних производных в точках т.е.

2) В каждой точке имеют место равенства 

1) Рассмотрим функцию Функция строго возрастает на обратная функция  В любой точке  

(здесь учтено, что ). Таким образом,

 при всех равенство формально сохранястся для односторонних производных в точках 1 и —1. В случае функции нужно применить тождество

2) Рассмотрим функцию Функция строго возрастает на обратная функция    В любой точке

Таким образом,  для всех  В случае функции нужно применить тождество

Итак, все элементарные функции имеют производные во всех точках областей определения (в концах соответствующих промежутков — односторонние производные).

Кривые, заданные параметрически

Определение 4.3. Пусть — две функции переменной ( — некоторый промежуток). Тогда множество точек плоскости называется кривой (параметрически заданной) на плоскости. Если — непрерывные функции на промежутке I, то кривая Г называется непрерывной.

Пример 4.6.

где — прямая линия. Если то кривая является отрезком прямой.

Пример 4.7.

—окружность с центром в начале координат радиуса а (см. рис. 4.2). Геометрический смысл параметра t — угол поворота радиуса-вектора текущей точки кривой против часовой стрелки от радиуса-вектора точки

Пример 4.8.

 - график функции

Отметим, что в примерах 4.6 и 4.8 отображение  задающее кривую, является взаимно однозначным, в примере 4.7 — нет (значения t, отличающиеся на , задают одну и ту же точку кривой).

Теорема 4.8 (о локальном представлении параметрически заданной кривой). Пусть функции  переменной t непрерывны в  причем функция х строго монотонна в этой окрестности. Тогда кривая является графиком непрерывной функции . Если при этом существуют конечные  причем то в точке существует  (иными словами, ).

Так как функция х переменной t непрерывна и строго монотонна на то по теореме об обратной функции на промежутке определена и непрерывна обратная функция Поэтому где т.е. кривая является графиком функции на промежутке J. Функция непрерывна как суперпозиция непрерывных функций Далее по теореме о производной обратной функции в точке существует  а по теореме о производной сложной
существует

Пример 4.9.

Для окружности имеем: Если 0, т.е. то в некоторой окрестности значения параметра t дуга окружности является графиком функции причём  (см. рис. 4.3). Точки окружности, соответствующие «запрещённым» значениям параметра  обозначены крестиками. Ни в какой окрестности таких значений t дуга окружности не является графиком функции . Из других соображений (например, при , т.е. при ) производную можно вычислить как производную явно заданной функции

Замечание. Переменные равноправны. Поэтому имеет место.

Теорема 4.8'. Пусть функции переменной t непрерывны в причем функция у строго монотонна в этой окрестности. Тогда кривая является графиком непрерывной функции Если при этом существуют конечные  причем то в точке существует  (иными словами,  ).

Производная и дифференциал. Геометрический смысл

Определение 4.4. Функция , определённая в некоторой окрестности точки . называется дифференцируемой в точке . если её приращение в этой точке может быть представлено в виде

где

При этом линейная часть приращения называется дифференциалом функции в точке и обозначается

Теорема 4.9. Функция  дифференцируема в точке  существует конечная при этом в случае дифференцируемости

так как

где Поэтому при

Замечание. Дифференциалом независимой переменной х называют приращение  Запись может быть переписана так:  т.е. Отсюда возникает обозначение производной в виде (отношение двух дифференциалов); — коэффициент пропорциональности в формуле прямо пропорциональной зависимости между

Пусть — две дифференцируемые функции в точке Тогда в этой точке  (в последнем случае нужно требовать, чтобы ). Умножая эти равенства на получим

Пусть теперь функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в точке Тогда Умножая это равенство на , имеем

Иными словами,

если — произвольная дифференцируемая функция одной переменной. Таким образом, в равенстве где х — независимая переменная, можно вместо х подставить любую дифференцируемую функцию Внешний вид равенства не изменится. Этот факт называется инвариантностью формы дифференциала относительно замены переменной.

Пример 4.10.

Если х — независимая переменная, то Подставляя вместо х функцию  где  и  — дифференцируемые функции, причём получим

Пусть теперь функция определена в некоторой окрестности точки Рассмотрим точки графика этой функции где Через точки можно провести единственную прямую (не параллельную оси ординат) (см. рис. 4.4). Её угловой коэффициент   Эта прямая называется хордой (или секущей) графика функции

Определение 4.5. Пусть — угловой коэффициент хорды графика функции проходящей через точки Если существует (конечный, ), то прямая с угловым коэффициентом к, проходящая через точку , называется касательной к графику в точке

Так как то существование касательной равносильно существованию производной , причём угловой коэффициент касательной .

Если то (горизонтальная касательная, её уравнение ). Если или , то или (вертикальная касательная, её уравнение ). В общем случае уравнение невертикальной касательной

Отметим, что в случае существования бесконечной производной (т.е. вертикальной касательной) функция не обязана быть непрерывной в точке

Пример 4.11.

Функция

имеет в точке 0 производную, равную , но не является непрерывной в этой точке (график изображён на рис. 4.5).

Если функция определена в правой (левой) окрестности точки , то можно рассматривать точки при (соответственно при ) и исследовать аналогичные пределы при (соответственно при ). Точно так же определяются правая и левая односторонние касательные в точке их угловые коэффициенты равны соответственно

Пример 4.12.

1) Для функции в точке имеем: уравнение касательной

2) Для функции в точке имеем уравнение касательной (вертикальная касательная, рис. 4.6).

3) Для функции в точке имеем: уравнение касательной (вертикальная правая касательная, рис. 4.7).

4) Для функции  в точке (0; 0) имеем: есть правая и левая вертикальные касательные, но нет касательной в смысле определения 4.5; не существует (см. рис. 4.8).

Если — приращение линейной функции, соответствующей уравнению касательной в точке , если приращение аргумента равно (см. рис. 4.4).

Производные и дифференциалы высших порядков

Производная n-го порядка функции в точке ( ...) естественно определяется при помощи рекуррентного соотношения

при условии, что определена и конечна в некоторой окрестности точки Ясно, что применяются также обозначения Для производных более высокого порядка нет специальных символов, пишут и т.д. Ясно также, что при всех выполняется равенство

Приведём некоторые формулы для производных n-го порядка.

1)  в частности,

2)  во всех точках

Если то формула верна во всех точках если то формула верна во всех точках но при (уже при появляется множитель равный 0). Для удобства обозначений вводятся обобщённые биномиальные коэффициенты

Если то при при остальных коэффициенты образуют бесконечную последовательность ненулевых чисел. В этих обозначениях

Последняя формула часто употребляется при
 Так как

3) Так как то

во всех точках х > 0. Отсюда следует, что  во всех точках (

4) Так как  то значения последовательных производных функции повторяются через четыре. Легко записать этот факт одной формулой во всех точках х. Аналогично, во всех точках х.

Записать в общем виде n-ю производную от каждой элементарной функции невозможно. Ясно, что если  существуют и конечны, то в соответствующих точках

где С — постоянная.

А вот для n-й производной сложной функции нет общей формулы. Можно заметить лишь то, что в случае, когда внутренняя функция линейна, п-я производная сложной функции вычисляется так:

Этот результат очень просто устанавливается методом индукции.

/ 1 \ (»») 3" . (-1)" • п'

Например, 

Для n-й производной произведения имеет место

Теорема 4.10 (формула Лейбница). Пусть при натуральном n в точке существуют Тогда произведение имеет в точке производную порядка n, причем в этой точке

(сумма составляется аналогично формуле бинома Ньютона).

Доказательство проведём методом индукции (аналогично можно доказать по индукции и формулу бинома Ньютона).

При имеем известную формулу кстати, при формула тоже верна. Пусть формула Лейбница верна для некоторого натурального докажем её для следующего числа Имеем по предположению индукции:

Во второй сумме произведём сдвиг индекса, т.е. заменим на Вторая сумма примет вид

(для удобства снова обозначим через , какой буквой обозначать индекс суммирования — не имеет значения). Тогда

Известно, что (это соотношение легко доказывается непосредственно из выражения для  и является основой так называемого треугольника Паскаля). Так как  то окончательно получим

т.е. формула Лейбница доказана по индукции.

Формулу Лейбница удобно применять, если одна из двух функций — многочлен. Например, если — многочлен степени , то при в формуле будет не слагаемое, а всего лишь потому что при

Пример 4.13.

Здесь

Так как

Фактически равенство доказано для т.е. при
но сохраняется и при (можно проверить непосредственно).

Если найденная производная нигде не используется в дальнейшем, то упрощать полученное выражение вряд ли имеет смысл.

Пример 4.14.

Равенство доказано для т.е. при Если то искомая производная записывается иначе (содержит логарифм).

Наряду с производными высших порядков можно рассматривать дифференциалы высших порядков. Заметим, что — функция от Если считать приращение фиксированным, а точку х переменной, то можно рассмотреть дифференциал от этой функции переменной х:

Это выражение называют вторым дифференциалом функции в точке х (обозначают ). Выполненные действия допустимы, если имеет конечную производную в данной точке, т.е. если существует конечная Принято писать вместо , т.е. опускать скобки. Таким образом,

Определение 4.6. Дифференциал порядка функции  в точке х определяется по индукции. При

 
— функция от Тогда если — функция от то, считая фиксированным, а — переменным, — это дифференциал от как функции от переменной

Легко доказать, что если в точке х существует конечная

При получаем обычную формулу для Пусть Тогда считаем постоянным, и

Итак, 

Дифференциал второго порядка (а значит, и порядка при ) не обладает инвариантностью формы относительно замены переменной. В самом деле, если х — независимая переменная, то

Пусть теперь — функция от х, имеющая конечную вторую производную. Тогда du уже нельзя считать постоянной величиной, и

Здесь применена инвариантность формы первого дифференциала к Полученная формула

называется формулой второго дифференциала сложной функции. Сравнивая её с (4.5), мы замечаем наличие дополнительного слагаемого которое обращается в нуль, если — независимая переменная или линейная функция от независимой переменной. В общем случае это слагаемое присутствует, что и обуславливает отсутствие инвариантности формы второго дифференциала относительно замены переменной.

Пример 4.15.

Пусть — независимая переменная. Тогда  если В конкретной точке:

Пусть теперь функция имеет конечную первую (или вторую) производную в соответствующей точке. Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала,   По формуле (4.6) имеем

3амечание: Не следует путать следующие 3 выражения:

(здесь x — независимая переменная).

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Определение 4.7. Точка называется точкой строгого (или нестрогого) локального максимума функции если функция определена в некоторой окрестности точки и (соответственно  Точка называется точкой строгого (или нестрогого) локального минимума функции если функция определена в некоторой окрестности точки (соответственно ). Все точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума функции

Теорема 4.11 (Ферма). Если в точке локального экстремума функции (вообще говоря, нестрогого) существует производная (конечная или равная ), то она обязательно конечна и равна 0.

Пусть для определённости — точка локального минимума (для точки максимума доказательство аналогично).

Тогда

так как

Аналогично, так как  при Так как и не может равняться или

Замечание 1. Теорема Ферма даёт необходимое условие точки локального экстремума для функций, имеющих производную. Это необходимое условие не является достаточным (функция имеет в точке  производную но в то же время функция строго возрастает на () и не имеет точек локального экстремума).

Замечание 2. В точке локального экстремума функция, пусть даже непрерывная, может не иметь производной. Например, функция в точке имеет локальный минимум, но не существует (пример 4.2). Функция  в точке имеет локальный минимум (см. рис. 4.8), но не существует (пример 4.12, 4).

Для дальнейшего изложения нам понадобится понятие функции, дифференцируемой на промежутке.

Определение 4.8. Функция называется дифференцируемой на промежутке I, если она имеет конечную производную в каждой внутренней точке , а в концах промежутка (если они ему принадлежат) — соответствующие конечные односторонние производные. Функция называется дифференцируемой в широком смысле на промежутке I, если она непрерывна на I, в каждой внутренней точке I существует (конечная, ), а в концах промежутка (если они ему принадлежат) — соответствующие конечные односторонние производные (конечные, ).

Пример 4.16.

Функции дифференцируемы на Функция  дифференцируема в широком смысле на [0; 1]. Функция дифференцируема в широком смысле на [—1;1]. Функция не является дифференцируемой даже в широком смысле на

Теорема 4.12 (Ролля). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в широком смысле на интервале причем то найдётся точка такая, что

По теоремам 3.11 и 3.12 функция ограничена на причём   достигаются. Если обе точные грани достигаются в концах отрезка, то (так как ), и функция постоянна на значит, во всех точках Пусть теперь хотя бы одна из точных граней, для определённости, , достигается во внутренней точке Тогда — точка локального максимума (вообще говоря, нестрогого), и существует (конечная, ). По теореме Ферма

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что для функции в условиях теоремы 4.12 найдётся точка на интервале , в которой касательная горизонтальна (см. рис. 4.9). Таких точек может быть много.

3амечание: Если функция имеет производную не во всех точках то теорема Ролля не обязана выполняться, пусть даже непрерывна на  и (например, ).

Теорема 4.13 (Коши). Пусть функции непрерывны на отрезке дифференцируема в широком смысле на дифференцируема на причем на Тогда существует точка такая, что

Рассмотрим функцию  Подберём  так, чтобы  откуда  Отметим, что из условий теоремы следует, что  потому что если  то по теореме Ролля существует точка в которой   а это не так. Функция при любом непрерывна на и дифференцируема в широком смысле на так как функция во всех точках имеет конечную производную, а функция имеет производную конечную или равную или

При найденном выше значении для функции выполнены все условия теоремы Ролля. По этой теореме найдётся точка такая, что т.е.  Это означает, что Приравнивая это значение к найденному выше, получаем нужное равенство. 

Теорема 4.14 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке  и дифференцируема в широком смысле на интервале Тогда найдётся точка такая, что

Применим теорему Коши при

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что для функции в условиях теоремы 4.14 найдётся точка на интервале , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы графика — точки (см. рис. 4.10).

Теорема Лагранжа является важнейшей теоремой дифференциального исчисления функций одной переменной — той части математического анализа, которая изучает производную и её применения. Многие утверждения, которые с точки зрения здравого смысла очевидны, но требуют логического доказательства, доказываются именно с помощью теоремы Лаг-ранжа. Докажем несколько таких следствий из теоремы Лаг-ран жа.

Теорема 4.15. Если функция непрерывна на промежутке I и во всех внутренних точках I существует то постоянна на I.

Пусть Тогда на функция непрерывна, а на дифференцируема. Применим к функции на отрезке теорему Лагранжа:

здесь

Значит, для любых точек выполняется равенство т.е. постоянна на I.   

Следствие. Если функции непрерывны на промежутке I и во всех внутренних точках I существуют и , причем во внутренних точках I, то во всех точках I имеет место равенство  где — постоянная.

Рассмотрим функцию Функция непрерывна на I, и во всех внутренних точках I существует поэтому

Это следствие играет важнейшую роль при вычислении неопределённых интегралов, о чём пойдёт речь в главе VIII.

Теорема 4.16. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на причем существует (конечный, ). Тогда существует 

По теореме Лагранжа при всех имеет место равенство Так как то по теореме 3.4  Тогда Согласно теореме 3.5 в пределе, приводящем сделаем замену при причём при Имеем теперь

3амечание: Аналогичное утверждение можно доказать для (и как следствие для ). Таким образом, если функция непрерывна в и дифференцируема в причём то существует где — конечно или равно Обратное утверждение неверно, может существовать, a

Пример 4.17.

Рассмотрим функцию

Ясно, что (пример 3.29). Поэтому функция дифференцируема в любой точке, и

Но не существует (аналогично примеру 3.28), поэтому не существует (если он существовал бы, то из существования следовало бы и существование  ). Итак, существует, a  не существует. Отсюда, кстати, следует, что не является непрерывной в точке хотя существует всюду.

Формула Тейлора

Определение 4.9. Пусть функция такова, что при некотором существует конечная 

Тогда многочлен

называется многочленом Тейлора порядка функции в точке , разность г„(/, называется остаточным членом формулы Тейлора, а равенство — формулой Тейлора для функции  в точке

При (т.е. когда дифференцируема в точке ) имеем: Так как для дифференцируемой функции  при при Этот факт обобщается следующим образом.

Теорема 4.17 (остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано). Пусть при некотором существует конечная Тогда остаточный член формулы Тейлора

Предварительно докажем две леммы.

Лемма 4.1. В любой точке х при

Лемма 4.2. При всех

Так как то при

(остаётся только один член при , члены с  обращаются в нуль).

Значит,

Теперь докажем теорему 4.17.

Применим метод индукции. При утверждение теоремы проверено выше. Предположим, что теорема верна для некоторого Докажем её для следующего значения

Если имеет конечную производную в точке то имеет конечную производную в точке и по предположению индукции при

Так как существует конечная то при некотором при всех существует конечная и, во всяком случае, функция дифференцируема в Значит функция дифференцируема в . При фиксированном значении применим к функции теорему Лагранжа на отрезке  (или на смотря что больше):

В любом случае Но  по теореме 3.5

и подавно

как произволение бесконечно малой функции на ограниченную; второй сомножитель под знаком предела по модулю не превосходит 1. Тогда, так как имеем окончательно

Утверждение теоремы верно для значения    ■

Докажем теперь единственность многочлена, приближающего функцию в окрестности точки до

Лемма 4.3. Пусть при некотором существует конечная Тогда если при где — многочлен степени не выше , то

Опустим для удобства индекс Тогда по теореме 4.17 а значит, при Остаётся доказать, что —  нулевой многочлен.

Так как то по теореме 3.5

( при при ).

Пусть (также многочлен степени не выше ). Докажем, что все коэффициенты этого многочлена равны 0. Так как

Тогда После деления на t получим В пределе при получим и т.д. Последовательно все коэффициенты многочлена оказываются равными 0. 

3амечание: Таким образом, многочлен Тейлора лучше других многочленов степени не выше приближает данную функцию при (с точностью до  При многочлен Тейлора —линейная функция, соответствующая уравнению касательной.

При формула Тейлора называется формулой Маклорена: при (если существует конечная Приведём примеры разложения элементарных функций по формуле Маклорена.

1)

При получим:  (пример 3.34). Но не следует думать, что мы получили новый вывод предела из примера 3.34. Дело в том, что этот предел используется при выводе производной от функции (теорема 4.4).

2) Заменив в предыдущем разложении получим (применяя теорему 3.5)

Тогда

так как

В силу леммы 4.3 это и есть разложения по формуле Маклорена. Поскольку в разложении присутствуют только четные степени, а в разложении — только нечетные степени, то разложения удобно записать в виде

так как

так как

3) 

далее повторение с периодом 4. Поэтому разложение содержит лишь чётные степени, и

4)

 далее повторение с периодом 4. Поэтому разложение содержит лишь нечётные степени, и

Разложения отличаются от разложений и лишь знаками.

5)
 

6)

При получим обычную формулу бинома Ньютона без   При получим

После замены получим

7) Для функции общей формулы для не существует. Поступим следующим образом:

(после замены в разложении — здесь применена теорема 3.5; в дальнейшем при выполнении подобных замен в разложениях по формуле Тейлора мы не будем для краткости ссылаться явно на теорему 3.5). В силу леммы 4.3 мы получили разложение по формуле Маклорена до Понизим точность:

Последняя сумма перед есть    (лемма 4.1). Так как   то по следствию из теоремы 4.15  Постоянную С найдём как (лемма 4.2).

Поэтому

8) Имеем: Воспользуемся разложением   где

Аналогично разложению подставим

Последняя сумма перед  есть По следствию из теоремы 4.15

Окончательно имеем

При легко вычислить

поэтому

Из рассмотренных примеров видно, что разложение по формуле Маклорена четных функций содержит только чётные степени, нечётных функций — только нечётные степени. Для доказательства этого факта докажем сначала вспомогательное утверждение.

Лемма 4.4. 1) Пусть функция определена на где и при всех выполняется равенство  (четная функция). Тогда если дифференцируема в точке то она дифференцируема и в точке причем (производная четной функции нечётна).

2) Пусть функция определена на и при всех  выполняется равенство (нечётная функция). Тогда если дифференцируема в точке то она дифференцируема и в точке причём (производная нечётной функции чётна). 

Докажем первую часть леммы, вторая доказывается аналогично.

Имеем:  В аналогичном пределе для вычисления сделаем замену по теореме 3.5

Теорема 4.18. Пусть при некотором существует конечная Тогда если функция чётна на некотором интервале то многочлен Маклорена содержит лишь чётные степени, а если нечётна — лишь нечётные степени.

Пусть четна. По лемме 4.4 функция нечётна при нечётном Следовательно, при нечётном, и многочлен Маклорена содержит лишь чётные степени. Аналогично доказательство для нечётной функции

Приведём пример разложения функции с фиксированной точностью (разложить в общем виде до или здесь не удастся).

Пример 4.18.

Разложить функцию по формуле Маклорсна до при

Так как функция нечётна, то коэффициент при равен 0, и достаточно разложить до  Тогда

Основное разложение нужно записать с точностью до , так как при  члены с уйдут в остаточный член. Имеем

(вместо сразу пишем так как функция четна, и члена с в разложении нет: при раскрытии скобок чётные степени выше четвёртой не учитываем, они уйдут в остаточный член).

Имеем окончательно

(вместо сразу пишем , так как функция нечётна, и члена с в разложении нет).  

Итак,

Аналогично,  

Теорема 4.19 (остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа). Пусть функция имеет -ю конечную производную в  Тогда, для любого остаточный член формулы Тейлора

(или смотря что больше). В развернутом виде формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

При формула имеет вид и верна для всех  Пусть т.е. (при доказательство аналогично).

Рассмотрим функцию Она имеет -ю конечную производную в причём
(по лемме 4.2). Рассмотрим также функцию Она имеет производные всех порядков, причём в любой точке х. Кроме того понятно, что при всех выполняются неравенства

По теореме Коши 4.13:

Далее применим теорему Коши к функциям

Продолжим цепочку:

Но значит, Так как

Замечание. Теорема 4.19 выводится при более жёстких условиях на функцию чем теорема 4.17. Теорема 4.17 имеет предельный характер и позволяет лишь оценить скорость убывания остаточного члена при но не позволяет сделать его конкретные оценки в фиксированных точках. Теорема 4.19 верна в каждой фиксированной точке и позволяет сделать конкретные оценки остаточного члена.

Пример 4.19.

Разложим функцию по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа при

Имеем: Здесь записан в форме Пеано. Запишем его в форме Лагранжа. Так как Формула Тейлора имеет вид

Такой вид остаточного члена позволяет оценить его в каждой точке:

При теорема 4.19 приобретает вид:
если дифференцируема в — это теорема Лагранжа 4.14.

Формулу Тейлора можно записать при помощи дифференциалов. В самом деле,

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Применение производной в различных вопросах математического анализа

Раскрытие неопределённостей при помощи формулы Тейлора

Определение 5.1. Пусть и при

Тогда функция называется главной частью степенного вида функции при а число — порядком функции при Если то аналогично определяются главная часть степенного вида и порядок функции  при  и при

Пример 5.1.

1) Так как при то функции имеют порядок 1 при

2) при поэтому функция имеет порядок 2 при

3) при поэтому функция имеет порядок —1 при

4)  (в силу непрерывности справа функции в точке 0). Поэтому функция имеет порядок при

Если при

где то по теореме 3.22

Если то аналогичный результат имеет место при

Приведём примеры раскрытия неопределенностей типа  и  при помощи выделения главной части степенного вида с образцами оформления решения.

Пример 5.2.

числитель

При написании разложения сложной функции нужно заранее определить, до какого порядка нужно раскладывать внешнюю функцию. Так как разложение сложной функции нужно до а внутренняя функция имеет порядок 1 по х, то разложение внешней функции нужно брать до Дать универсальный рецепт, до какого порядка нужно сразу раскладывать данные функции, нельзя. В настоящем примере сразу видно, что разложения начинают различаться на члене 3-й степени, поэтому числитель нужно раскладывать до Значит, до такого порядка нужно пытаться раскладывать и знаменатель. В более сложных примерах нужно начинать действовать наугад, возможно, попытку придётся повторить с другим порядком. Большое значение при этом имеют опыт и интуиция.

Пример 5.3.

(при раскрытии неопределённостей типа нужно применить преобразование и воспользоваться теоремой 3.8 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции).

знаменатель

Так как разложение не имеет свободного члена и делится в дальнейшем на х, то при написании разложения сложной функции до разложение функции нужно взять с запасом на 1, т.е. до

Определение 5.2. Пусть при  Тогда функция называется главной частью степенного вида функции при а число — порядком функции при Если то аналогично определяются главная часть степенного вида и порядок функции при

Пример 5.4.

1)  при поэтому функция имеет порядок 2 при

2)  при при Поэтому функция имеет порядок 1 при и при

3)  при Поэтому функция имеет порядок при

Для вычисления главной части степенного вида при часто бывает удобно применить разложение по формуле Тейлора по степеням

Если при

то по теореме 3.22

Если то аналогичный результат имеет место при

Раскрытие неопределённостей по правилам Лопиталя

Теорема 5.1 (первое правило Лопиталя для раскрытия неопределённости ). Пусть функции дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности , где — один из 6 СПС, причем Тогда если

— один из 6 СПС, то также

Отметим, что функция определена в некоторой проколотой окрестности следовательно, в этой проколотой окрестности Докажем сначала теорему для случая  Доопределим Тогда функции и дифференцируемы в и непрерывны в Для любых таких, что на по теореме Коши 4.13 имеем

Так как то по теореме 3.4

По теореме 3.5 Аналогично,

 и для теорема доказана.

Для доказательство аналогично.

Пусть теперь Так как то по теореме 3.5 после замены имеем: Тогда после замены получим

(здесь мы применили теорему 5.1 для уже разобранного случая ). Для  доказательство аналогично.  

Теорема 5.2 (второе правило Лопиталя для раскрытия неопределённости ). Пусть функции дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности где — один из 6 СПС, причем Тогда если

где — один из 6 СПС, то также

Доказательство второго правила Лопиталя значительно сложнее, чем первого, так как невозможно применить теорему Коши на отрезке Приходится вместо рассматривать некоторую переменную точку. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 5.1. Пусть где — один из 6 СПС. Тогда для всех из некоторой проколотой окрестности определена функция такая, что  и при этом

Пусть сначала Так как   то найдётся такое, что и  при     При этом

Далее,  такое, что
(для обоих знаков ±).
Аналогично, такое, что

Строим таким образом последовательность  такую, что  и при всех

Ясно, что последовательность строго убывает, и
(так как при всех ). Для любого найдётся единственное натуральное число такое, что (см. рис. 5.1). Пусть (знак +, если знак —, если ). Ясно, что функция положительна, нестрого убывает на и нестрого возрастает на

Так как функция неограничена на и на то (по теореме 3.9 о пределах монотонных функций). При всех из (5.1) следует, что

поэтому т.е. при

Аналогично, при Наконец, так как то значит, Лемма доказана для случая Для упрощения в доказательстве очевидны.

Если то доказательство аналогично, только  при всех  Последовательность строго возрастает и (так как при всех ). Неравенство (5.1) примет вид

Функция определяется так:
 (знак +, если ; знак -, если х < 0) (см. рис. 5.2).

Упрощения в доказательстве при очевидны.    ■

Доказательство теоремы 5.2.

Определим , как в лемме 5.1. Так как при аналогично
Тогда по теореме 3.22

Функция    определена в некоторой проколотой окрестности следовательно,  в этой проколотой окрестности Применим к функциям теорему Коши 4.13 на отрезке (или на смотря что больше):

Так как то по теореме 3.4 (или её аналогу лемме 3.2 в случае бесконечного символа )

Тогда по теореме 3.5

Пример 5.5.

Доказать, что если , 

Если  то утверждение очевидно (при — произведение двух бесконечно больших положительных функций). При имеем неопределённость   Достаточно доказать утверждение для так как если для утверждение доказано, то для любого р > 0 при x > 1 выполняется неравенство

и по лемме 3.2

При применим раз правило Лопиталя. По теореме 5.2

(после 1-го, 2-го, шага остаётся неопределённость и мы продолжаем применять правило Лопиталя. После -го шага неопределённость исчезает, и доказательство завершено).

Пример 5.6.

Доказать, что если

Это — неопределённость  По теореме 5.2

Неопределённости других типов можно сводить к неопределенностям  или  после чего применять правило Лопиталя.

Пример 5.7.

Доказать, что если

Это — неопределённость Преобразуем выражение к виду  получим неопределённость По теореме 5.2

Пример 5.7. можно вывести из примера 5.6 заменой

Пример 5.8.

Доказать, что

Это — неопределённость Преобразуем выражение к виду , предел показателя уже найден в примере 5.7. По теореме 3.8

Пример 5.9.

Вычислить

Это — неопределённость По теореме 3.8 предел равен В показателе — неопределённость  выражение в показателе преобразуем к виду что даёт неопределённость  По теореме 5.1

Искомый предел равен

Необходимо сделать предостережения о неверном применении правил Лопиталя.

Пример 5.10.

Если формально применить правило Лопиталя, то В то же время очевидно, что данный предел равен 0. Ошибка состоит в том, что правило Лопиталя применяется к неопределённостям если неопределенностей нет, то эти правила применять нельзя.

Пример 5.11.

Легко видеть, что
 В то же время это — неопределённость  и по теореме 5.2  - не существует. Дело в том, что правило Лопиталя даёт лишь достаточные условия существования оно работает «в одну сторону». Если  не существует, ни конечный, ни бесконечный, то о существовании ничего сказать нельзя.

Доказательство неравенств

Теорема 5.3. Пусть функции непрерывны на где b — конечно или и дифференцируемы на , причем при всех Тогда , при всех

Рассмотрим функцию она непрерывна на и дифференцируема на при всех Тогда при всех по теореме Лагранжа так как и Значит, при всех выполняется неравенство

Пример 5.12.

Доказать, что при всех  имеет место неравенство

Рассмотрим функции Ясно, что Далее, неравенство т.е.  равносильно При имеет место неравенство Значит, По теореме 5.3 при всех

Пример 5.13.

Доказать, что при всех имеет место неравенство

Рассмотрим функции при Ясно, что Неравенство выполняется при По теореме 5.3 при всех

Слева от точки теорема 5.3 не выполняется. Поэтому при сделаем замену Нужно доказать, что при имеет место неравенство Рассмотрим функции Ясно, что Неравенство равносильно оно выполняется при всех По теореме 5.3 при всех что равносильно нужному неравенству при

Следствие. Логарифмируя неравенство справедливое при всех получим

(пришлось учесть область определения функции ).

Исследование монотонности и точек экстремума

Теорема 5.4 (необходимые условия монотонности).

Пусть функция дифференцируема на интервале конечном или бесконечном. Тогда если возрастает на то на если убывает на на (монотонность, вообще говоря, нестрогая).

Пусть функция возрастает на (для убывающей функции доказательство аналогично). В произвольной точке 

так как при Значит,

Замечание. Если функция строго возрастает (убывает), то её производная не обязана быть строго положительной (отрицательной) во всех точках Например, функция  строго возрастает на  при

Теорема 5.5 (достаточные условия монотонности). Пусть функция непрерывна на промежутке I и дифференцируема во всех внутренних точках I. Тогда если   во всех внутренних точках I, то функция строго возрастает (соответственно строго убывает) на I. Если во всех внутренних точках I, то функция нестрого возрастает (соответственно нестрого убывает) на I. 

Пусть Тогда по теореме Лагранжа Если  во всех внутренних точках I, то Так как точки —любые такие, что то функция строго возрастает на I. Аналогично доказываются остальные утверждения.

Необходимое условие для точки локального экстремума даст теорема Ферма 4.11 (если в точке локального экстремума существует производная, то она равна 0). Там же отмечалось, что это условие не является достаточным, а также то, что в точке локального экстремума производная может не существовать.

Теорема 5.6 (достаточные условия локального экстремума). Пусть существует такое, что функция непрерывна в и дифференцируема в причём:

Тогда в случае 1) точка — точка строгого локального максимума, в случае 2) точка — точка строгого локального минимума, а в случае 3) точка  не является точкой локального экстремума.

1) По теореме 5.5 функция строго возрастает на ( ] и строго убывает на [). Тогда  при т.е. — точка строгого локального максимума.

2) Доказательство аналогично.

3) Аналогично случаю 1), при функция строго возрастает на и на Значит, f(x) при при т.е. в точке нет локального экстремума. Аналогично разбирается случай

Таким образом, при исследовании точек локального экстремума нужно найти «критические точки», где или не существует, и исследовать знак на интервалах между этими точками.

Пример 5.14.

Исследуем на точки локального экстремума функцию

Имеем:
 Производная обращается в нуль в точках Изобразим схему знаков на интервалах между этими точками (см. рис. 5.3).

Вычислив значения функции в этих точках мы можем построить график функции с точностью до интервалов монотонности и точек локального экстремума (см. рис. 5.4). Обращаем внимание на то, что в точке график имеет горизонтальную касательную (хотя локального экстремума нет).

 

Пример 5.15.

Исследуем на точки локального экстремума функцию

Так как 

Производная не существует в точках в нуль нигде не обращается. Изобразим схему знаков на интервалах между этими точками (см. рис. 5.5).

Вычислив значения функции в этих точках ), мы можем построить график функции с точностью до интервалов монотонности и точек экстремума (см. рис. 5.6). Конечно же, график функции естественно строится и без применения производной.

Замечание 1. В теореме 5.6 требование непрерывности функции в точке существенно. Например, функция  имеет локальный максимум в точке хотя по схеме знаков должен был бы быть локальный минимум (график функции изображен на рис. 5.7).

Замечание 2. Обращаем внимание на то, что необходимые условия монотонности и точек локального экстремума (теоремы 5.4 и 4.11) доказываются с использованием определения производной, достаточные (теоремы 5.5 и 5.6) — при помощи теоремы Лагранжа.

При исследовании достаточных условий точки локального экстремума можно применять производные высших порядков.

Теорема 5.7. Пусть

Тогда

1) если — точка строгого локального минимума;

2) если — точка строгого локального максимума.

Применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (так как существует то можно раскладывать до

Так как  где Поскольку  то по лемме о сохранении знака

Таким образом, если
т.е. — точка строгого локального минимума, если — точка строгого локального максимума. 

В случае теорема 5.7 не даст ответа на вопрос о наличии и характере экстремума в точке

Пример 5.16.

Исследуем функцию из примера 5.14 при помощи теоремы 5.7.

Имеем: (критические точки ), Так как — точка локального минимума, — точка локального максимума. Так как то вопрос о наличии и характере экстремума в точке является открытым.

Теорема 5.8 (обобщение теоремы 5.7). Пусть при некотором Тогда

1) если четно, то в случае точка является точкой строгого локального минимума, а в случае  точка является точкой строгого локального максимума;

2) если нечётно, то точка не является точкой локального экстремума.

Применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (разложение до ):

Так как 

где

Поскольку  то по лемме
о сохранении знака при четном

и доказательство завершается как в теореме 5.7. Пусть теперь нечетно. Рассмотрим для определённости случай Тогда

и, следовательно,

Поэтому точка не может быть точкой локального экстремума.

Пример 5.17.

Исследуем наличие экстремума в точке для функции из примеров 5.14 и 5.16 при помощи теоремы 5.8.

Так как то рассмотрим производные высших порядков. Имеем: Значит, точка не является точкой локального экстремума.

Выпуклость и точки перегиба

Определение 5.3. Функция называется строго выпуклой вверх на промежутке I, если для всех таких, что  выполняется неравенство

Функция  называется строго выпуклой вниз на промежутке I, если для всех таких, что выполняется неравенство  Если соответствующие неравенства нестрогие, то можно говорить о нестрогой выпуклости вверх или вниз.

Функция, график которой изображен на рис. 5.8, выпукла вверх, а на рис. 5.9 — выпукла вниз.

Определение 5.4. Точка называется точкой перегиба функции если существует (конечная, ) и при некотором на () функция выпукла вверх, а на () выпукла вниз (или, наоборот на функция выпукла вниз, а на выпукла вверх).

Замечание. Можно говорить о точках строгого или нестрогого перегиба в зависимости от того, какая выпуклость рассматривается в определении 5.3.

Лемма 5.2. Если в точке существует конечная

то

Применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

По теореме 3.5 (сначала делаем замену затем )

Складывая последние два равенства, получим

откуда следует утверждение леммы.  

3амечание: Равенство (5.2) не может служить определением второй производной, так как предел может существовать для функций, не имеющих второй производной в точке Например, для любой нечетной функции в точке такой предел равен 0.

Теорема 5.9 (необходимые условия выпуклости). Если функция выпукла (вообще говоря, нестрого) вверх (вниз) на интервале I, конечном или бесконечном, причем на этом интервале существует конечная то для всех выполняется неравенство (соответственно ).

Пусть функция выпукла вверх на I. Тогда для любой точки и для любого t такого, что имеем

следовательно, Тогда в силу леммы 5.2

Аналогично проводится доказательство в случае функции, выпуклой вниз.    

3амечание: Если функция строго выпукла вверх (вниз) на интервале I, то в некоторых точках I вторая производная может обращаться в нуль. Например, функция строго выпукла вниз на но

Теорема 5.10 (достаточные условия выпуклости). Пусть функция непрерывна на промежутке I и во всех внутренних точках I существует конечная Тогда если во всех внутренних точках I, то функция строго выпукла вниз (соответственно строго выпукла вверх) на I. Если во всех внутренних точках  то функция нестрого выпукла вниз (соответственно нестрого выпукла вверх) на I.

Пусть —две различные точки из I, для определённости Обозначим Тогда Имеем

где (три раза применена теорема Лагранжа; использовано то, что непрерывна во внутренних точках I, так как существует конечная ).

Если во внутренних точках I, то Так как и строго выпукла вниз на I. Аналогично разбираются остальные случаи.    

■ Теорема 5.11 (достаточные условия точки перегиба). Пусть функция имеет в точке производную (конечную, ), a конечна в некоторой Тогда
1) если (или, наоборот, то — точка строгого перегиба функции
2) если (или в ), то не является точкой перегиба функции

Доказательство сразу следует из определения 5.4 и теоремы 5.10.    

Пример 5.18.

Исследуем функцию из примеров 5.14, 5.16 и 5.17 на выпуклость и точки перегиба. Имеем

Вторая производная обращается в нуль в точках Изобразим схему знаков на интервалах между этими точками (см. рис. 5.10)

Все три точки являются перегибами. График функции изображён на рис. 5.4. Там ещё до вычисления было видно наличие трёх перегибов, один из которых — точка (перегиб с горизонтальной касательной). Координаты двух остальных перегибов теперь мы в состоянии вычислить при помощи второй производной.

Замечание 1. В определении 5.4 точки перегиба не требуется непрерывность функции в точке (если конечна, то непрерывность следует из условия, если же или то непрерывности может и не быть, касательная в этой точке всё равно вертикальна, и по разные стороны от этой касательной график функции имеет разные направления выпуклости; такая функция рассматривается в примере 4.11, график её изображён на рис. 4.5).

Замечание 2. Разные направления выпуклости слева и справа от точки ещё не означают наличие точки перегиба даже при условии непрерывности функции в точке обязательно наличие конечной или бесконечной определённого знака. Функция, график которой изображён на рис. 5.11, не имеет перегиба в точке хотя она выпукла вверх на и выпукла вниз на не существует производной в точке  (ни конечной, ни бесконечной), и рис. 5.11 явно не соответствует нашим интуитивным представлениям о точке перегиба.

Теорема 5.12. Пусть на интервале I (конечном или бесконечном) существует конечная причем во всех точках Тогда если — линейная функция, соответствующая уравнению касательной в точке то для всех выполняется неравенство (соответственно т.е. график функции лежит выше (соответственно ниже, не ниже, не выше) касательной к графику в точке

Применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

где (смотря, что больше). Так как Если сохраняет знак на I, то такой же знак имеет разность

3амечание: Из формулировки теоремы 4.19 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) явно следует лишь то, что полученное равенство верно в любой Но фактически теорема 4.19 доказывалась отдельно для правой и левой окрестности точки и равенство верно для всех

Построение графиков функций

При построении графиков функций нас в первую очередь будут интересовать промежутки монотонности и точки локального экстремума, промежутки выпуклости и точки перегиба, поведение функции в окрестностях точек разрыва самой функции и сё производной, а также поведение при стремлении аргумента к бесконечности. Значения функции в «обычных» точках, где функция имеет непрерывные и не равные нулю первую и вторую производные, не очень существенны. При необходимости можно вычислить побольше таких значений, но мы этим заниматься не будем. Нс будет нас также интересовать и идеальное соблюдение масштаба — нам нужно общее чёткое понятие об изменениях поведения функции. Вот какой общей схемы построения графиков мы будем придерживаться.

1) Найти область определения функции, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат, интервалы знако-постоянства функции. Если функция четна, нечётна или периодична — отмстить это и использовать при построении графика (достаточно построить часть графика, и оставшуюся часть получить при помощи отражения или параллельных переносов).

2) Исследовать асимптоты графика.

3) На основании этих данных построить (пока без нахождения производной) эскиз графика. Производная — это не орудие построения графика, а орудие шлифовки графика, уже построенного предварительно из других соображений.

4) Вычислить Найти критические точки, где или обращаются в нуль или не существуют.

5) Построить схемы знаков на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения функции. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума, интервалы выпуклости вверх и вниз и точки перегиба. Если в точке перегиба касательная вертикальна или горизонтальна — обязательно отметить это.

6) Вычисление значений функции в точках экстремума и перегиба обязательно в случаях, когда это вычисление не слишком сложно. В случае громоздких значений нет необходимости их приближённо вычислять, достаточно грубо указать интервалы, на которых они находятся. Это же относится и к абсциссам нулей функции и критических точек, которые могут не находиться точно. Обязательно находить значения функции и угловые коэффициенты односторонних касательных в точках разрыва

7) Окончательно вычертить график.

Необходимо более подробно остановиться на пункте 2) этой схемы.

Определение 5.5. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции если

Определение 5.6. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции если

 При такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Теорема 5.13. Прямая является наклонной асимптотой графика функции существуют конечные (аналогично для случаев ).

Если  где 

Поэтому

Равенство

очевидно из определения наклонной асимптоты.

Уже из (5.3) очевидно, что

3амечание: Только из существования конечного  ещё не следует наличие асимптоты. Например для функции имеем  —    не существует.

Приведём пример построения графика по общей схеме.

Пример 5.19.

Построить график функции

Функция определена при всех обращается в нуль при

Интервалы знакопостоянства:

Далее, Прямая является левосторонней вертикальной асимптотой. Так как  то возможно наличие наклонной асимптоты. Имеем

(здесь мы сделали замену и применили теорему 3.5).

В последнем пределе выделим главную часть в числителе при помощи формулы Тейлора:

Отсюда видно, что График имеет наклонную асимптоту На основании этих данных можно построить эскиз графика.

Из эскиза видно, что при имеется локальный максимум, а при — локальный минимум. Возможны ещё и другие интересные точки. Существенных уточнений требует поведение функции при Вычислим для выяснения этого

(выкладки опускаем). Возникли критические точки а также Построим схемы знаков и на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую прямую (см. рис. 5.12):

—локальный минимум — локальный максимум — перегиб

Для исследования повеления функции при найдём Для этого сделаем в соответствующем пределе замену  раза применим правило Лопиталя для раскрытия неопределенности 

Будем считать, что В этом случае, по теореме 4.16, существует График имеет правостороннюю горизонтальную касательную в точке Этот факт существенно влияет на вид графика. Окончательный график функции изображен на рис. 5.13. Для лучшего представления о ходе графика масштаб не везде соблюдается. Правая окрестность точки вынесена отдельно крупным планом.