Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Асимптоты графика функции с примерами решения

Содержание:

Понятие асимптоты:

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальные асимптоты Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота, если при Асимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальная асимптота Асимптоты графика функции с примерами решения может быть в точке Асимптоты графика функции с примерами решения если точка Асимптоты графика функции с примерами решения ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки Асимптоты графика функции с примерами решения значения функции стремятся к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функций

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решениявертикальная асимптота (Асимптоты графика функции с примерами решения — также асимптота, но горизонтальная)

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решениявертикальная асимптота

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Наклонные и горизонтальные асимптоты Асимптоты графика функции с примерами решения

I. Если Асимптоты графика функции с примерами решения — дробно рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.

Примеры:

Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения тогда Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, Асимптоты графика функции с примерами решения— наклонная асимптота (также Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота)

Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения тогда Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, Асимптоты графика функции с примерами решения — горизонтальная асимптота (также Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота)

II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптотАсимптоты графика функции с примерами решенияможно получить с использованием формул

Асимптоты графика функции с примерами решения Асимптоты графика функции с примерами решения

Понятие асимптоты

Если кривая Асимптоты графика функции с примерами решения имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения график функции приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения ось Асимптоты графика функции с примерами решениягоризонтальная асимптота. Когда функция стремится к Асимптоты графика функции с примерами решения (или Асимптоты графика функции с примерами решения), то кривая приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения ось Асимптоты графика функции с примерами решениявертикальная асимптота.

Если рассмотреть функциюАсимптоты графика функции с примерами решения то при Асимптоты графика функции с примерами решения выражение Асимптоты графика функции с примерами решенияВследствие этого график функции Асимптоты графика функции с примерами решения приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функцииАсимптоты графика функции с примерами решения(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения).

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.

Асимптоты графика функции с примерами решенияАсимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальные асимптоты

Если прямая Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота, то по определению около точки Асимптоты графика функции с примерами решения кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при Асимптоты графика функции с примерами решения (слева или справа) должен равняться бесконечности (Асимптоты графика функции с примерами решения). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции Асимптоты графика функции с примерами решения область определения Асимптоты графика функции с примерами решения имеет разрыв в точке Асимптоты графика функции с примерами решения (область определения: Асимптоты графика функции с примерами решения и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая Асимптоты графика функции с примерами решения будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Асимптоты графика функции с примерами решения

Аналогично Асимптоты графика функции с примерами решения

Таким образом, прямая Асимптоты графика функции с примерами решения является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.3).

Асимптоты графика функции с примерами решенияАсимптоты графика функции с примерами решения

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция Асимптоты графика функции с примерами решения имеет область определения Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому прямая Асимптоты графика функции с примерами решения «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Асимптоты графика функции с примерами решения АналогичноАсимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, около прямой Асимптоты графика функции с примерами решенияфункция Асимптоты графика функции с примерами решения не стремится к бесконечности, и поэтому прямая Асимптоты графика функции с примерами решения не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию Асимптоты графика функции с примерами решения Выделим целую часть: Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения выражение Асимптоты графика функции с примерами решения то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.3).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции Асимптоты графика функции с примерами решенияявляется прямая Асимптоты графика функции с примерами решения По определению асимптоты при Асимптоты графика функции с примерами решения график функции Асимптоты графика функции с примерами решения неограниченно приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения Другими словами, при Асимптоты графика функции с примерами решения с любой точностью будет выполняться равенство

Асимптоты графика функции с примерами решения (1)

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Асимптоты графика функции с примерами решения Получим: Асимптоты графика функции с примерами решения При Асимптоты графика функции с примерами решения отношение Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому отношение Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения, то есть

Асимптоты графика функции с примерами решения(2)

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при Асимптоты графика функции с примерами решения то есть

Асимптоты графика функции с примерами решения(3)

Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции Асимптоты графика функции с примерами решения (при условии, что они существуют).

Отметим, что если у графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет Асимптоты графика функции с примерами решения (в этом случае Асимптоты графика функции с примерами решения). Но при Асимптоты графика функции с примерами решения из формулы (3) получаем Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, если существует число Асимптоты графика функции с примерами решения то график функции Асимптоты графика функции с примерами решения имеет горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения

Пример:

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функцииАсимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Будем искать наклонную асимптоту в виде Асимптоты графика функции с примерами решения где Асимптоты графика функции с примерами решения и Асимптоты графика функции с примерами решения находятся по формулам (2) и (3):

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптотой графика данной функции будет прямая Асимптоты графика функции с примерами решения то есть прямая Асимптоты графика функции с примерами решения

Пример:

Найдите асимптоты графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Область определения функции: Асимптоты графика функции с примерами решения — любое действительное число, то естьАсимптоты графика функции с примерами решения На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Асимптоты графика функции с примерами решения Тогда

Асимптоты графика функции с примерами решения

Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.5).

Иногда график функции Асимптоты графика функции с примерами решения может иметь разные асимптоты при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения Асимптоты графика функции с примерами решения и Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Как найти асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая Асимптоты графика функции с примерами решения называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке Асимптоты графика функции с примерами решенияравен бесконечности: Асимптоты графика функции с примерами решения Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Асимптоты графика функции с примерами решения

Частным случаем наклонной асимптоты (k=0) является горизонтальная асимптота.

Пример:

Найти асимптоты графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Функция Асимптоты графика функции с примерами решения непрерывна в области определения Асимптоты графика функции с примерами решения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты y=kx+b:

Асимптоты графика функции с примерами решения

Получаем горизонтальную асимптоту y=0.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Исследовать функцию на четность Асимптоты графика функции с примерами решения нечетность Асимптоты графика функции с примерами решения периодичность Асимптоты графика функции с примерами решения
  3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
  4. Найти асимптоты графика функции.
  5. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
  6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
  7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример:

Провести полное исследование функции Асимптоты графика функции с примерами решения и построить ее график.

Решение:

Область определения функции - вся числовая прямая: Асимптоты графика функции с примерами решения

Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для Асимптоты графика функции с примерами решения

Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку Асимптоты графика функции с примерами решения точек разрыва нет.

Строим график функции, используя результаты исследования.

Асимптоты графика функции с примерами решения