Предел и непрерывность функции с примерами решения

Содержание:

Часто говорят о значении функции в точке, пределе функции в точке, приращении функции в точке, непрерывности функции в точке. О каких точках идёт речь? О точках оси абсцисс — значениях аргумента.

Предел функции

Значение функции в точке:

Пусть задано, например, функцию

Рассмотрим ту же функцию  Если значения её аргумента х достаточно близко и с обеих сторон приближаются к 1, то соответствующие значения функции как угодно близко приближаются к числу 3 (рис. 43). Об этом свидетельствуют данные таблицы (рис. 44), в которой содержатся значения функции  для 10 значений аргумента, близких к числу 1, и график, изображённый на рисунке 43.

Другими словами: разность  может стать и оставаться сколь угодно малой, если разность  будет достаточно малой. В этом случае говорят, что предел функции  в точке  равен 3. Пишут: если 

Существенная деталь: функция может иметь предел даже в такой точке, в которой она не определена. Например, функция  в точке  не имеет значения, потому что знаменатель не может равняться нулю. Во всех остальных точках функция  имеет такие же значения, как и функция  ибо  если  График функции  изображён на рисунке 45. Хотя значение функции  в точке  не существует, а её предел в этой точке существует и равен 3. Определение предела функции можно сформулировать так.

Число  называется пределом функции  в точке  если для любого положительного числа  можно указать такое положительное число  что для всех значений  из промежутка  кроме, возможно, самой точки  справедливо неравенство 

Пишут так: 

Определение предела функции имеет простое геометрическое толкование: какое бы ни было достаточно малое наперёд заданное положительное число  можно указать такое положительное число  что для всех точек  которые удалены от точки  не далее чем на  график функции  лежит внутри полосы шириной  ограниченной прямыми  (рис. 46).

Свойства предела функции

Предел функции имеет интересные свойства. Например:

• функция не может иметь двух различных пределов в точке;
• если  — число, то 

Несколько свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Если каждая из функций  имеет предел в точке  то в этой точке существуют пределы функций  справедливы равенства:

Другими словами можно сказать так.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Предел суммы (разности, произведения) функций равен сумме (разности, произведению) пределов данных функций. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел делителя не равен нулю.

Эти свойства используют для вычисления пределов функций в заданных точках.

Пример №1

При условии, что  вычислите предел функции  если:

Решение:

Замечание: Решая такие упражнения, некоторые преобразования можно выполнять устно.

В предыдущих примерах для нахождения предела достаточно было подставить в данное выражение предельное значение аргумента. Но часто такая подстановка приводит к неопределённости вида  .В таких случаях сначала необходимо преобразовать данное выражение, а уже потом вычислять предел. Нахождение предела таким образом называется раскрытием неопределённостей.

Пример №2

Найдите 

Решение:

Поскольку при  предел знаменателя равен нулю, то использовать теорему о пределе частного нельзя. Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 

Чтобы её раскрыть, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Имеем:

Приращения аргумента и функции

Пусть дано, например, функцию  В точке  её значение  Увеличим значение аргумента на 0,01, то есть, пусть  Соответствующее значение функции  По сравнению с предыдущим значением оно увеличилось на 0,0401. Здесь 0,01 — приращение аргумента, а 0,0401 — соответствующее приращение функции, а именно: приращение функции  на промежутке 

Приращением аргумента в точке  называют разность  где  — произвольное число, которое мало отличается от  и может быть положительным или отрицательным. Соответствующее приращение функции  — разность 

Приращение аргумента  обозначают символом  а приращение функции (читают: дельта икс, дельта эф, дельта игрек). Так, в рассматриваемом примере 

Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции — приращением ординаты этой точки (рис. 47).

Свойства этих понятий показано на рисунках 47 и 48. Если функция  — возрастающая и  — число положительное, а если  — убывающая функция и  — число отрицательное.

Непрерывность функции:

Как связаны между собой приращения аргумента  и функции  в точке  Если  если   и т. д. Вообще, если   т. е. приращение функции стремится к нулю, когда стремится к нулю приращение аргумента (слева или справа). В таком случае говорят, что функция непрерывна в точке 

Функция  называется непрерывной в точке  если в этой точке достаточно малым приращениям аргумента соответствуют сколь угодно малые приращения функции.

Иначе: 

Преобразуем последнее равенство:

Поскольку  когда то получим  отсюда 

Функция  называется непрерывной в точке  если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке 

Использование последней формулы существенно упрощает вычисление пределов для непрерывных функций.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке. График такой функции — непрерывная кривая (её можно провести, не отрывая карандаш от бумаги).

На рисунке 49 изображены графики функций, имеющих разрывы в точке они не являются непрерывными в этой точке.

Непрерывными в каждой точке своей области определения есть элементарные функции — рациональные, тригонометрические,  а также функции, образованные из них с помощью четырёх арифметических действий. Графики элементарных функций на каждом промежутке из области определения являются неразрывными линиями.

Теория пределов — большой и интересный раздел курса математического анализа, который изучается в университетах. В школе этот материал изучают обзорно, на основе наглядных представлений и интуиции. Представление о пределах и их свойствах желательно иметь для изучения производной и её применений — мощного аппарата для исследования многих реальных процессов.

Предлагаем вам ознакомиться с одним из интересных и важных фактов теории пределов. Рассмотрите таблицу, составленную с помощью Excel.

Как видим, при достаточно малых значениях В курсе математического анализа строго доказывается, что

Это равенство называется первым замечательным пределом. Его используют для нахождения пределов функций, связанных с тригонометрическими.

Пример №3

Вычислите предел 

Решение:

Пример №4

Вычислите:

 

Решение:

а) В точке  предел каждой из дробей не существует, поэтому воспользоваться теоремами о пределах мы не можем. Упростим функцию, содержащуюся под знаком предела, выполнив действие вычитания. Имеем:

б) В точке  данная функция не определена, но дробь   можно сократить: 
Поскольку для вычисления предела при  саму точку  можно исключить и не рассматривать, то

в) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряжённые к данным.

Пример №5

Найдите приращение функции  при переходе значения аргумента от 3 до 3,5.

Решение:

Способ I. Имеем  тогда 

По этой формуле можно вычислить значение  для любых  В частности, в нашем примере  поэтому 

Способ 2.  

Пример №6

Для функции  найдите:

а) приращение функции при переходе от некоторой точки  к точке 

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

 

поскольку  — не зависит от

Разберём более подробно:

Понятие предела функции в точке:

Пусть задана некоторая функция, например Рассмотрим график этой функции и таблицу ее значений в точках, которые на числовой прямой расположены достаточно близко к числу 2.

Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент к числу 2 (обозначают: и говорят, что стремится к 2), тем ближе значение функции к числу 3 (обозначают и говорят, что стремится к 3). Это записывают также так: (читается: «лимит при , стремящемся к 2, равен 3») и говорят, что предел функции при , стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3. В общем случае запись обозначает, что , то есть — число, к которому стремится значение функции, когда стремится к .

Запись обозначений с помощью знака модуля:

Обозначение и его смысл:

На числовой прямой точка х находится от точки а на малом расстоянии (меньше 8).

Иллюстрация:

Запись с помощью знака модуля:

Обозначение и его смысл:

Значение f (х) на числовой прямой находится на малом расстоянии от точки В (меньше е).

Иллюстрация:

Запись с помощью знака модуля:

Определение предела функции в точке:

Число называется пределом функции в точке (при , стремящемся к ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Свойства предела функции:

Смысл правил предельного перехода:

Если , то при

Запись и формулировка правил предельного перехода:

Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Смысл правил предельного перехода:

Если при то:

Запись и формулировка правил предельного перехода:

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы- слагаемых существуют.

* Если значение удовлетворяет неравенству , то говорят, что точка находится в -окрестности точки . ** Это определение обязательно только для классов физико-математического профиля.

Смысл правил предельного перехода:

Запись и формулировка правил предельного перехода:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Смысл правил предельного перехода:

Запись и формулировка правил предельного перехода:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Смысл правил предельного перехода:

Запись и формулировка правил предельного перехода:

Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Непрерывность функции в точке:

Определение. Функция называется , если при , то есть

*Элементарными обычно называют функции: а также все функции, которые получаются из перечисленных выше с помощью конечного количества действий сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (функции от функции).

Метод интервалов (решение неравенств вида :

План:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) неравенства.
2. Найти нули функции: .
3. Отметить нули па ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Пусть Функция непрерывна на каждом из промежутков своей области определения как частное двух непрерывных функций, поэтому для решения можно использовать метод интервалов.

1. ОДЗ:

2. Нули функции: (Входит в ОДЗ), (Не входит в ОДЗ).

3.

Ответ:

Понятие предела функции в точке

Простейшее представление о пределе функции можно получить, рассматривая график функции (рис. 1.1). Из этого графика видно: чем ближе выбираются значения аргумента на оси к числу 2 (это обозначается и читается: « стремится к 2»), тем ближе будет значение на оси к числу 3. Это можно записать так:

Знак (читается: «лимит») — краткая запись латинского слова limes (лимес), что означает «предел».

В общем виде запись означает, что при значение , то есть — число, к которому стремится значение функции, когда стремится к .

Чтобы дать определение предела функции в точке, напомним, что расстояние между точками и на координатной оси — это модуль разности , а расстояние между точками и на координатной оси — это модуль разности

Тогда запись означает, что на числовой прямой точка находится от точки па малом расстоянии, например меньше какого-то положительного числа (рис. 1.2). Это можно записать так: .

Обратим внимание, что запись означает, что стремится к , но не обязательно его достигает, поэтому в определении предела функции в точке рассматривают значения Также обратим внимание, что в случае, когда значение удовлетворяет неравенству говорят, что точка находится в точки .

Аналогично запись означает, что значение на числовой прямой находится на малом расстоянии от например меньше какого-то положительного числа (рис. 1.3). Это можно записать так: Тогда можно дать следующее определение предела функции в точке: числоназывают пределом функции в точке (при стремящемся к ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Нахождение числа по функции называют предельным переходом. При выполнении предельных переходов можно пользоваться такими правилами*:

Если нам известны пределы функций то для выполнения предельного перехода над суммой, произведением или частным этих функций достаточно выполнить соответствующие операции над пределами этих функций (для частного только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю).

Иными словами, если то

*Обоснование правил предельного перехода, а также примеры использования определения для доказательства того, что число является пределом функции .

Отметим также, что в случае, когда функция является постоянной, то есть при всех значениях значение равно следовательно, и при значение Таким образом, предел постоянной равен самой постоянной.

Обратим внимание, что согласно определению предел функции при , стремящемся к можно вычислить и тогда, когда значение не входит в область определения функции . Например, областью определения функции являются все действительные числа, кроме числа 0. Для всех выполняется равенство Тогда при значение то есть

Понятие непрерывности функции

Если значение входит в область определения функции то при для многих функций значение то есть Такие функции называются непрерывными в точке* Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка то ее называют непрерывной на промежутке

Графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом промежутке, который полностью входит в область определения. На этом и основывается способ построения графиков «по точкам», которым мы постоянно пользовались. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения, и это можно использовать при построении графиков и вычислении пределов функций.

Например, поскольку многочлен является непрерывной функцией, то

Из правил предельного перехода следует, что в случае, когда функции непрерывны в точке сумма, произведение и частное непрерывных в точке функции непрерывны в точке (частное в случае, когда ).

Например, функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций. (Действительно, а значит, функция — непрерывная.)

Отметим еще одно важное свойство непрерывных функций, полное доказательство которого приводится в курсах математического анализа.

*Если в точке не выполняется условие то функцию называют разрывной в точке (а точку — точкой разрыва функции ).

Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак.

Это свойство имеет простую наглядную иллюстрацию. Допустим, что функция на заданном интервале изменила свой знак (например, «-»> на « + »). Это означает, что в какой-то точке { значение функции отрицательнои тогда соответствующая точка графика функции находится ниже оси В некоторой точке значение функции положительно и соответствующая точка графика находится выше оси Но если график функции (который является неразрывной линией) перешел из нижней полуплоскости относительно оси в верхнюю, то он обязательно хотя бы один раз на заданном интервале пересек ось , например в точке(рис. 1.4). Тогда что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и на заданном интервале функция не может изменить свой знак.

На последнем свойстве непрерывных функций основывается метод решения неравенств с одной переменной, называемый методом интервалов, который мы применяли в 10 классе.

Действительно, если функция непрерывна на интервале и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала, то по сформулирован ному выше свойству непрерывных функций интервал разбивается этими точками на интервалы, в каждом из которых непрерывная функциясохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вы числить значение функции в любой точке каждого из таких интервалов. Схема решения неравенств вида методом интервалов.

 

Примеры решения задач:

Пример №7

Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка:

Решение:

Областью определения функции является множество всех действительных чисел Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка функция непрерывна.

Область определения функции то есть Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения.

Промежуток полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка функция непрерывна. Промежуток содержит точку 3, которая не входит в область определения функции . Следовательно, в этой точке функция не может быть непрерывной (не существует значение поэтому функция не является непрерывной в каждой точке промежутка.

Комментарий:

Многочлен и дробно-рациональная функция являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция непрерывна как частное двух многочленов — непрерывных функций при условии, что знаменатель дроби не равен нулю).

Значит, в каждом из заданий необходимо найти область определения данной функции и сравнить ее с заданным промежутком.

Если этот промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то эта функция будет непрерывной в каждой точке заданного промежутка, а если нет, то функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в ее область определения.

Пример №8

Выясните, к какому числу стремится функция при

Решение:

Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения Число 0 входит в область определения этой функции, поэтому при значение

Ответ:

Комментарий:

Фактически в условии задачи говорится о нахождении предела функции при Дробно рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения как частное двух непрерывных функций — многочленов. Учитывая это, получаем, что при значение f (х то есть

Пример №9

Найдите:

Решение:

1) Многочленявляется непрерывной функцией в каждой точке числовой прямой, поэтому

2) Дробно-рациональная функция является непрерывной в каждой точке ее области определения Число 1 входит в область определения этой функции, поэтому

3) При Тогда

Комментарий:

Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их областей определения. Это означает, что в том случае, когда число а (к которому стремится) входит в область определения функции (задания 1 и 2), получаем

Если же число а не входит в область определения функции (задание 3), то пытаемся выполнить тождественные преобразования выражния при получить функцию, определенную при а затем использовать непрерывность полученной функции при (в данном случае функции).

Напомним, что обозначение означает только то, что стремится к (но не обязательно принимает значение ), и поэтому при значение

Пример №10

Решите неравенство

Решение:

Заданное неравенство равносильно неравенствуПоскольку функция непрерывна в каждом из промежутков своей области определения, то можно применить метод интервалов.

1. ОДЗ: Тогда

2. Нули Из этого уравнения получаем уравнения-следствия:

Проверка показывает, что — посторонний корень, а — корень.

3. Отмечаем нуль функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 1.5).

Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство можно решить или с помощью равносильных преобразований, или методом интервалов. Если мы выберем метод интервалов, то сначала неравенство необходимо привести к виду Для того чтобы решить неравенство методом интервалов, достаточно убедиться, что функция непрерывна (это требование всегда выполняется для всех элементарных функций), и использовать известную схему решения:

• 1) Найти ОДЗ неравенства.
• 2) Найти нули функции:
• 3) Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков у на которые разбивается ОДЗ.
• 4) Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

При нахождении нулей можно следить за равносильностью выполненных (на ОДЗ) преобразований полученного уравнения, а можно использовать уравнения-следствия и в конце выполнить проверку найденных корней. Записывая ответ к нестрогому неравенству, необходимо учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — число 8). Чтобы найти знак функции в каждом из полученных промежутков, достаточно сравнить величину дроби с единицей в любой точке из выбранного промежутка.

Свойства предела функции и предела последовательности

Доказательство основных теорем о пределах:

1. Определение предела функции в точке

Число называют пределом функции в точке (при , стремящемся к ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

2. Основные теоремы о пределах функции

Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности ) их пределов, если пределы слагаемых существуют.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

3. Понятие бесконечно малой функции при

Функцию которая определена в некоторой окрестности точки называют бесконечно малой функцией при стремящемся к если

4. Свойства бесконечно малых функций

• 1. Если функции и являются бесконечно малыми при то их сумма произведение и (где ) также являются бесконечно малыми функциями при
• 2. Если функция — бесконечно малая при и для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство то функция также бесконечно малая при

5. Связь определения предела функции в точке с бесконечно малыми функциями

где — бесконечно малая функция при

*Заметим, что зависит от и поэтому его часто обозначают

Определение предела функции в точке

Сформулируем определение предела, функции в точке (оно уже рассматривалось на с. 5), используя понятие точки. Обычно точки называют промежуток то есть все значения удовлетворяющие неравенству

Пусть задана функция значения которой найдены при некоторых из так называемой точки (из интервала где ).

Из приведенной таблицы видно, что чем ближе значение к тем ближе к числу 7 соответствующее значение Причем, выбирая все меньшую точки можно неограниченно приближать значение к числу 7. Иными словами, можно выбрать такую точки 2, чтобы расстояние от до точки 7 на числовой прямой, то есть было меньше любого положительного числа Как уже отмечалось, в этом случае говорят, что число 7 является пределом функции в точке (или при стремящемся к 2), и записывают:

Определение:

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки . Число называется пределом функции в точке (или при стремящемся к ), если для любого числа найдется такое число что для всех из точки (то есть при и ) выполняется неравенство

Проиллюстрируем применение определения к обоснованию того, что предел функции при стремящемся к равен . В простейших случаях такое обоснование проводится по схеме:

1. для любого положительного числа расматривают неравенство
2. при всех значениях из некоторой окрестности точки из этого неравенства получают неравенство
3. объясняют (опираясь на равносильность выполненных преобразований неравенства или на свойства неравенств), что при полученном значении (которое записывают через ) из неравенства (при) следует неравенство
4. используя определение предела функции в точке , делают вывод, что

Пример №11

Используя определение предела, проверьте, что

Решение:

Пусть и — некоторое положительное число Рассмотрим неравенство и найдем такое число чтобы при выполнялось неравенство (1). Поскольку неравенство равносильно неравенству которое, в свою очередь, равносильно неравенству Поэтому если выбрать то при будет выполняться неравенство а это значит, что

Замечание:

Как видим, выбор зависит от заданного значения Чтобы подчеркнуть этот факт, иногда записывают Напомним, что точка в которой рассматривается предел, может принадлежать области определения функции (как в рассмотренной задаче 1), а может и не принадлежать ей.

Пример №12

Докажите, что

Решение:

Пусть Тогда на области определения функции имеем Если выбрать то получим, что как только Поэтому согласно определению предела

Пример №13

Докажите, что предел постоянной функции равен самой постоянной.

Решение:

Пусть для всех из некоторой окрестности точки Тогда для любого при всех из выбранной окрестности точки Поэтому

Пример №14

Докажите, что

Решение:

Пусть и выбрано некоторое положительное число Если взять то получим, что как только Поэтому согласно определению предела

Пример №15

Докажите, что

Решение:

Пусть и выбрано некоторое положительное число Если взять получим, что как только Поэтому согласно определению предела

Основные теоремы о пределах функции. Понятие бесконечно малой функции при x→a

С помощью определения предела функции можно доказать также теорему о пределе суммы двух функций.

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если пределы слагаемых существуют:

Зададим Если то найдется такое число что при (кроме, возможно, ) выполняется неравенство

(1)

Аналогично, если то найдется такое число что при (кроме, возможно, ) выполняется неравенство

(2)

Если выбрать как число наименьшее из чисел и (это можно обозначить так: ), то это будет общая часть двух окрестностей точки и при (кроме, возможно, ) будут выполняться оба неравенства (1) и (2). Тогда

Из этого следует, что то есть

Для доказательства свойств пределов произведения и частного функций удобно ввести понятие бесконечно малой функции.

Функция которая определена в некоторой окрестности точки называется бесконечно малой функцией при стремящемся к если

С учетом определения предела функции в точке это определение можно сформулировать так:

Функция которая определена в некоторой окрестности точки называется бесконечно малой функцией при стремящемся к если для любого найдется такое число что для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство

Например,

1. (см. задачу 4), следовательно, — бесконечно малая функция при ;
2. (см. задачу 5), следовательно, — бесконечно малая функция при .

Замечание:

Если то это эквивалентно тому, что где — бесконечно малая функция при

Действительно, если рассмотреть функцию

(3)

то Это означает, что функция является бесконечно малой при Но тогда равенство (3) эквивалентно равенству — бесконечно малая функция при

Свойства бесконечно малых функций

1. Если функции — бесконечно малые при то их сумма и произведения и (где ) также являются бесконечно малыми функциями при
2. Если функция — бесконечно малая при и для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство то функция также бесконечно малая при

Докажем эти свойства^

1. По условию функции — бесконечно малые при Это означает, что и Тогда, используя формулу предела суммы, имеем

Из этого следует, что сумма — бесконечно малая функция. В то же время, если функция — бесконечно малая при это означает, что для любого можно указать такое что для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство

(4)

Аналогично, если функция — бесконечно малая при это означает, что, например, для можно указать такое что для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство (5)

Если выбирать как число наименьшее из чисел и то это будет общая часть двух окрестностей точки и при (кроме, возможно, ) будут выполняться оба неравенства (4) и (5).

Тогда Из этого следует, что — бесконечно малая функция при

Для обоснования того, что функция (где ) является бесконечно малой, достаточно заметить, что при это утверждение выполняется (), а при для любого можно указать такое что для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство Тогда Из этого следует, что функция (где ) — бесконечно малая при 2. По условию функция — бесконечно малая при тогда для любого можно указать такое что для всех , удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство(6)

Кроме того, по условию при всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство (7)

Тогда, если выбирать как число наименьшее из чисел и то это будет общая часть двух окрестностей точки и при (кроме, возможно, ) будут выполняться оба неравенства (6) и (7). Получаем Из этого следует, что функция также является бесконечно малой при

Докажем теорему о пределе произведения:

Если то это эквивалентно тому, что где — бесконечно малая функция при Аналогично, если то это эквивалентно тому, что — бесконечно малая функция при Тогда Учитывая свойства бесконечно малых функций, получаем, что функция — бесконечно малая. Следовательно, — бесконечно малая функция. Из этого следует, что то есть

Предел произведения двух ф нкций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Отметим, что, используя метод математической индукции, правила вычисления пределов суммы и произведения можно обобщить для любого количества слагаемых или множителей.

Используя правило вычисления предела произведения, получаем: Следовательно, то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Для доказательства теореме о пределе частного сначала рассмотрим случай, когда f (х) = 1, то есть докажем утверждение:

По условию (где ). Это эквивалентно тому, что — бесконечно малая функция при Тогда для можно найти такое что для всех удовлетворяющих условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство

Используя неравенство и неравенство (8), получаем Следовательно, для выбранных значений

(9)

Рассмотрим для выбранных значений х выражение и учтем неравенство (9):

Поскольку функция — бесконечно малая (при ), то функция — также бесконечно малая . Тогда по свойству 2 бесконечно малых функций (с. 96) получаем, что функция бесконечно малая при а значит,

Отсюда, если и (где ), то, используя формулу предела произведения и полученную формулу, имеем: Следовательно

Предел частного двух функции равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Пример №16

Найдите

Решение:

Используя теоремы о пределах суммы, разности и произведения, получаем:

Ответ: 4

Пример №17

Найдите

Решение:

Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя.

Разложим числитель на множители: Поскольку при нахождении предела в точке 3 рассматриваются только значения то дробь можно сократить на

Ответ: 1

Теорема о единственности предела:

Если функция в точке а имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

(методом от противного). Пусть в точке функция имеет два разных предела По определению предела для любого существуют такие, что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство

(10)

а для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство

(11)

Из чисел можно выбрать наименьшее. Обозначим его буквой Если взять некоторое удовлетворяющее неравенству то для него выполняются оба неравенства (10) и (11). Вследствие того, что модуль суммы двух слагаемых не превышает суммы модулей этих слагаемых, имеем:

Поскольку — любое положительное число, то возьмем Тогда получим Но это неравенство не может выполняться. Следовательно, наше предположение о существовании двух пределов неверно, поэтому

При изучении пределов иногда приходится выполнять предельный переход в неравенствах с помощью следующей теоремы.

Теорема:

Если причем в некоторой окрестности точки (кроме, возможно, самой точки ) справедливо неравенство

Доказательство (методом от противного).

Допустим противоположное, то есть что Выберем две точек а именно: которые не пересекаются, то есть

(12)

Поскольку то найдется точки в которой , то есть

(13)

Также существует точки а, в которой то есть

(14)

Из чисел выберем наименьшее и обозначим его через Тогда, учитывая неравенства (12)—(14), в точки имеем:

поэтому но это противоречит условию. Значит,

Следствие (предел промежуточной функции).

Если и некоторой окрестности точки (кроме, возможно, самой точки ) справедливо неравенство

(15)

Доказательство

Поскольку все условия последней теоремы выполняются, то выполним предельный переход в неравенствах (15).

Получаем Но эти неравенства могут выполняться только в том случае, когда что и требовалось доказать.

Односторонние пределы

В приведенном в п. 6.1 определении предела функции в точке аргумент принимает все значения из точки (кроме, возможно, ) как слева, так и справа от точки .

Если при нахождении предела рассматривать значения только слева от точки, то такой предел называют левым, или левосторонним, и обозначают или а если рассматривать значения только справа от точки а, то такой предел называют правым, или правосторонним, и обозначают или х-»а+0

Левосторонние и правосторонние пределы называются односторонними пределами. Для случая, когда рассматривают односторонние пределы в точке (то есть при ), запись упрощают и записывают для левостороннего предела или а для правостороннего —

Сформулируем теперь определение односторонних пределов.

Определение:

Число называется правосторонним пределом функции в точке если для любого числа найдется такое число что для всех из области определения функции, удовлетворяющих условию выполняется неравенство (1)

Аналогично определяется число — левосторонний предел функции в точке Здесь неравенство (2) должно выполняться для всех из левой части точки то есть при

Отметим связь между односторонними пределами и пределом функции в некоторой точке

Если число является пределом функции при то неравенство

(3)

справедливо для всех значений из точки

Тогда это неравенство справедливо для всех значений из левой половины указанной и для всех из ее правой половины, то есть существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке а и эти пределы равны Поэтому, если то

Имеет место и обратное утверждение: если выполняется равенство

Действительно, если то неравенство (1), определяющее существование правостороннего предела функции, выполняется и слева от точки (согласно неравенству (2)), но тогда неравенство (1) фактически обращается в неравенство (3), поэтому

В связи с этим можно сформулировать такой критерий.

Критерий существования предела:

Для того чтобы в точке существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали левосторонний предел функции то есть и правосторонний предел функции то есть и чтобы они равнялись друг другу: при этом

Пример №18

Выясните существование предела функции в точке 0.

Решение:

Функция определена на всей числовой прямой (см. рис. 2.8). Поскольку то при поэтому Аналогично Таким образом, Поскольку односторонние пределы в точке 0 совпадают, то предел функции существует и равен их общему значению, то есть

Пример №19

Выясните существование предела в точке 2 для функции

Решение:

Заданная функция определена на всей числовой прямой. Найдем односторонние пределы этой функции в точке Значит, поэтому заданная функция не имеет предела в точке и не является непрерывной в этой точке. (График этой функции изображен на рис. 6.1)

Непрерывность функции

Напомним, что функция называется непрерывной в точке если

Доказанные свойства предела функции позволяют обосновать свойства непрерывных функций, приведенные на с. 6: если функции непрерывны в точке то сумма, произведение и частное непрерывных в точке функций непрерывны в точке (частное в случае, когда делитель

Действительно, если функции непрерывны в точке то

Тогда а это и означает, что функция непрерывна в точке Аналогично обосновывается непрерывность произведения и частного двух непрерывных функций

Согласно определению, непрерывность функции в точке означает выполнение следующих условий:

1. функция должна быть определена в точке ;
2. у функции должен существовать предел в точке ;
3. предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке.

Например, функция определена на всей числовой прямой и Поскольку то значение в точке 1 совпадает с пределом этой функции при поэтому по определению функция непрерывна в точке

Используя определения левостороннего и правостороннего пределов, можно дать определения левосторонней и правосторонней непрерывности функции, а именно: функцию называют непрерывной слева в точке , если и непрерывной справа в точке , если

Например, функция — дробная часть числа непрерывна в любой точке, кроме целочисленных значений аргумента в которых она непрерывна справа (рис. 6.2).

Функцию называют непрерывной на интервале если она непрерывна в каждой его точке. Функцию называют непрерывной на отрезке если она непрерывна на интервале непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке

Если равенство в точке не выполняется, функцию называют разрывной в точке (а сама точку — точкой разрыва функции ). Например, функция из задачи 2 является разрывной в точке 2.

Если рассмотреть функцию — целая часть , то есть наибольшее целое число, которое не превышает то эта функция является разрывной в каждой целочисленной точке (рис. 6.3).

Аналогично для функции — дробная часть , то есть разность точками разрыва являются все целочисленные значения аргумента (см. рис. 6.2).

Понятие непрерывности функции можно связать с понятиями приращения функции и аргумента.

Пусть задана функция с областью определения и пусть — некоторое значение аргумента из интервала Если — другое фиксированное значение аргумента, то разность называют приращением аргумента и обозначают то есть Отсюда

Разность называют приращением функции точке и обозначают

Очевидно, что в случае, когда стремится к , приращение аргумента стремится к нулю: . Если функция непрерывна в точке , то по определению и поэтому а это означает, что

Из последнего соотношения получаем, что в случае, когда функция непрерывна в точке малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. Учитывая это свойство, мы строим график непрерывной функции в виде сплошной линии.

Представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, хорошо подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в курсах математического анализа. Приведем примеры таких свойств:

Свойства непрерывных функций

1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.

Иллюстрация:

Свойства непрерывных функций:

2. Функция непрерывная на отрезке принимает все промежуточные значения между ее значениями и на концах отрезка.

Иллюстрация:

Свойства непрерывных функций:

3. Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале функция сохраняет постоянный знак.

Иллюстрация :

Отметим, что известные вам элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются сплошными кривыми на любом интервале, который полностью входит в область определения (именно на этом свойстве и основывается способ построения графика функции «по точкам»). Например, функция непрерывна на любом интервале, который не содержит точку 0 (см. рис. 5.19).

Свойства непрерывных функций позволяют корректно обосновать метод интервалов решения неравенств. Поэтому метод интервалов можно использовать при решении любых неравенств вида — непрерывная в любой точке своей области определения функция.

Предел функции на бесконечности

Часто при изучении функций возникает необходимость найти предел функции на бесконечности, то есть найти такое число (если оно существует), к которому стремится функция при неограниченном возрастании аргумента или когда , увеличиваясь по абсолютной величине, остается отрицательным.

Рассмотрим функцию Очевидно, что при увеличении знаменатель дроби увеличивается, поэтому значение дроби становится как угодно малым по абсолютной величине. Таким образом, значение функции при очень больших значениях аргумента мало отличается от числа 2. В этом случае говорят, что функция имеет своим пределом число 2 при и пишут:

Определение:

Пусть функция определена на всей числовой прямой. Число называют пределом при если для любого числа найдется такое число* что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство Это записывается так:

Поведение функции может быть разное при и при поэтому при исследовании свойств функции иногда отдельно рассматривают и Эти пределы определяются аналогично определению предела только условие заменяется соответственно на

*Заметим, что число вообще говоря, зависит от и поэтому его часто обозначают

Кроме рассмотренных случаев конечных пределов функции при (или при ), иногда используется также понятие бесконечного предела. Например, функция которая определена для всех (рис. 6.4), принимает сколь угодно большие значения при В этом случае говорят, что функция в точке имеет бесконечный предел, и пишут:

Определение:

Будем считать, что если для любого числа существует такое число что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Аналогично определяют обозначения и (только в первом случае условие заменяют на а во втором — на

В математике также используется понятие бесконечного предела при то есть предела типа который определяется так: если для любого числа существует такое число что для всех удовлетворяющих условию выполняется условие то говорят, что функция имеет бесконечный предел на бесконечности. Например, Это равенство выражает известное свойство функции которая неограниченно возрастает при увеличении значений

Пример №20

Найдите предел

Решение:

Вынесем в числителе и знаменателе наивысшую степень переменной за скобки и сократим числитель и знаменатель на Тогда

Ответ: -2

Пример №21

Найдите предел

Решение:

Умножим и разделим разность, которая стоит под знаком предела, на сумму Получим

Ответ: 0

Напомним, что в случае, когда функция называется бесконечно малой при Если же то функция называется бесконечно большой при Аналогично определяют бесконечно малые и бесконечно большие функции при

Отметим, что в случае, когда функция является бесконечно малой при и для из некоторой окрестности точки функция будет бесконечно большой при И наоборот, если функция — бесконечно большая при то функция — бесконечно малая при (это свойство было использовано на последнем этапе вычисления предела в задаче 2).

Например, функция — бесконечно малая при и бесконечно большая при (а также при и при ). Тогда функция является бесконечно малой при (при и при ) и бесконечно большой при (аналогично при и при ).

Предел последовательности

В математике достаточно распространены бесконечные последователь поста, то есть функции заданные на множестве натуральных чисел Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает значения только из множества натуральных чисел, его обозначают не а Для последовательности довольно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента (при ). Определение этого предела в основном аналогично определению предела функции на бесконечности.

Определение:

Число называют пределом последовательности если для любого числа существует такое число что для всех выполняется неравенство

Обозначают это так:

Для пределов последовательностей выполняются все известные вам теоремы о пределах (только в их формулировках слово «функция» сле дует заменить на слово «последовательность»).

Пример №22

Найдите предел последовательности

Решение:

Как и в задаче 1, вынесем в числителе и знаменателе за скобки наивысшую степень переменной, сократим числитель и знаменатель на а затем используем теоремы о пределах. Тогда

Ответ: 1.

Предел отношения sin x/x при x→0

Этот gредел отношения ПРИ обычно называют замечательным пределом (точнее первым замечательным), поскольку его часто используют при нахождении пределов тригонометрических функций.

Теорема:

Доказательство:

Можно считать, что принимает только положительные значения. Это следует из того, что функция является четной, так как

Поскольку то, начиная с некоторого значения, попадает в первую четверть. Поэтому можно считать, что На рис. 6.5 изображена единичная окружность, на которой отложен угол в радиан и проведена линия тангенсов Учитывая определения синуса и тангенса через единичную окружность, получаем Сравним площади треугольников и сектора

Они удовлетворяют неравенству

(1)

Поскольку

а площадь кругового сектора равна: то, подставив эти значения в неравенство (1), получим

(2)

Так как — имеем Поэтому, разделив неравенство (2) на получим: Отсюда (учитывая четность функции и получаем, что это неравенство выполняется и при ). Так как то по теореме о пределе промежуточной функции имеем

Кроме предела часто используют некоторые его вариации.

Пример №23

Докажите, что

Доказательство:

Пример №24

Докажите, что

Доказательство:

Очевидно, что Действительно,

Поскольку то, начиная с некоторого значения, попадает в интервал Обозначим тогда Если то В этих обозначениях предел обращается в предел

Пример №25

Докажите, что

Доказательство:

Сначала рассмотрим предел

Поскольку то, начиная с некоторого значения, попадает в интервал Обозначим тогда Если В этих обозначениях из предела получаем

Практическое вычисление предела функции

При вычислении предела функции обычно применяют не определение предела, а теоремы о пределах и приемы, которые мы использовали при нахождении пределов в приведенных выше задачах. Обобщим эти приемы, оформив результат в виде таблицы.

Вычисление предела функции

Основные этапы:

1. Пользуясь непрерывностью функции пробуем подставить значение в

Пример :

Основные этапы:

2. Если вычисляется предел при то пробуем в числителе и знаменателе вынести за скобки наивысшую степень переменной.

Пример:

3. Если в результате подстановки получаем выражение вида , то:

а) пробуем разложить на множители числитель и знаменатель

б) если в числитель и знаменатель входят выражения с квадратным или кубическим корнями, то умножаем числитель и знаменатель на соответствующие выражения, чтобы избавиться от корней (иногда вводят замену: выражение с корнем обозначают новой переменной)

1-й способ:

2-й способ:

Обозначим Отсюда При значение Тогда

в) если под знаком предела стоят тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то такие пределы приводят к первому замечательному пределу или к его вариациям:

Сокращаем числитель и знаменатель на переменные, стоящие за скобками. Учитывая, что и воспользовавшись первым замечательным пределом и его вариациями, получаем, что искомый предел равен:

Пределы и непрерывность в высшей математике

Предел числовой последовательности:

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность

Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента:

Числа называются членами последовательности, а число — общим или -м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

(монотонная, неограниченная),

(немонотонная, ограниченная),

(немонотонная, ограниченная). Рассмотрим числовую последовательность (6.1). Изобразим ее члены точками числовой оси (рис. 6.1).

Можно заметить, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно:

т.е. с ростом будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство

\

Предел числовой последовательности обозначается или при Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Используя логические символы: квантор общности (вместо слова «для любого») и квантор существования (вместо слова «найдется»), символ равносильности , определение предела можно записать в виде

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших члены последовательности как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине меньше, чем на число каким бы малым оно ни было).

Пример:

Доказать, что для последовательности (6.1)

Решение:

Пусть, например, Тогда неравенство

(6.2) выполняется при Аналогично для

Для любого неравенство (6.2) выполняется при

Итак, при любом существует такой номер (или равный целой части ), что для всех при для и т.д.) выполняется неравенство а это и означает, что

Выясним геометрический смысл предела числовой последовательности.

Расположим члены последовательности на числовой прямой. Неравенство (6.2) равносильно двойному неравенству соответствующему попаданию членов последовательности в -окрестность точки (рис. 6.2).

Итак, число есть предел числовой последовательности , если для любого найдется номер , начиная с которого (при ) все члены последовательности будут заключены в г-окрестности точки А, какой бы узкой она ни была. Вне этой е-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная , возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , таких, что верно неравенство:

Этот предел функции обозначается при

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях значения функции ) как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

Выясним функции в бесконечности. Неравенство (6.3) равносильно двойному неравенству соответствующему расположению части графика в полосе шириной (см. рис. 6.3).

Итак, число есть предел функции при если для любого найдется такое число что для всех , таких, что соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример №27

Доказать, что

Решение:

Для любого неравенство (6.3) или выполняется при Итак, для любого существует такое число что

е для всех , таких, что будет верно неравенство где ; а это и означает, что Замечание. Приведенное выше определение предела при предполагает неограниченное возрастание независимой переменной по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. В первом случае основное неравенство (6.3) должно выполняться для всех х, таких, что а во втором — для всех , таких, что

Предел функции в точке

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции стремящемся к (или в точке ), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Этот предел функции обозначается при

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше, неравенство равносильно двойному неравенству соответствующему расположению части графика в полосе шириной (см. рис. 6.4). Аналогично неравенство равносильно двойному неравенству соответствующему попаданию точек -окрестность точки .

Число есть предел функции если для любого найдется такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример №28

Доказать, что

Решение:

Пусть . Тогда неравенство (6.5) будет выполняться при Аналогично при то же неравенство (6.5) будет верно при

Для любого неравенство (6.5) будет выполняться при

Итак, при любом существует такое число (для для и т.д.), что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство а это и означает, что

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке , ибо рассматривает значения в некоторой окрестности точки . Другими словами, рассматривая , мы предполагаем, что стремится к , но не достигает значения . Поэтому наличие или отсутствие предела при определяется поведением функции в окрестности точки , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке .

Замечание 2. Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения, большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа Очевидно, что определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при , если вместо значений , удовлетворяющих условию (6.4), при которых верно неравенство (6.5), рассматривать значения такие, что (слева), или значения такие, что (справа).

Разумеется, если

Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при если ее предел равен нулю:

Зная определение предела функции при можно дать развернутое определение бесконечно малой величины:

Функция называется бесконечно малой величиной при , если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию

будет верно неравенство

С помощью логических символов приведем это определение к виду:

Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой при если основное неравенство (6.7) рассматривать для достаточно больших Приводим его в краткой форме:

Например, функции есть бесконечно малые величины, ибо их пределы равны нулю.

Не следует путать бесконечно малую переменную величину с очень малым, но постоянным числом ибо по мере приближения значений или по мере увеличения по модулю значений функция в соответствии с (6.7) окажется меньше этого числа (по абсолютной величине).

Связь бесконечно малых величин с пределами функций

Теорема. Если функция имеет при предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при т.е.

Докажем теорему для случая По условию Это означает, что для любого существует такое число что для всех и удовлетворяющих условию будет верно неравенство или, обозначив справедливо неравенство Это и означает, что есть бесконечно малая при

(1 Здесь и далее доказательство основных свойств бесконечно малых и бесконечно больших величин, пределов функций проводим для случая , рассматривая поведение функции в некоторой окрестности точки , т.е. для

Доказательство тех же утверждений для случая

полностью идентично, если рассматривать поведение функции при достаточно больших (по модулю) значениях , т.е. при или при

.)

Верна и обратная теорема:

Теорема. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при то число есть предел этой функции при т.е.

По условию Пусть, например,

Так как функция есть бесконечно малая при то для любого числа существует такое число что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство

Это и означает, что

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

В качестве примера докажем свойство 1 для двух бесконечно малых при . Покажем, что функция также является бесконечно малой при

По условию есть бесконечно малые при .Это означает, что для любого найдутся такие числа что для всех и удовлетворяющих условиям

и

выполняются соответственно неравенства

и

Если взять в качестве числа минимальное из чисел т.е. то неравенству будут удовлетворять решения обоих неравенств (6.9) и (6.10), а следовательно, одновременно будут верны неравенства (6.11) и (6.12). Складывая получено неравенства (6.11) и (6.12), получим, что

Используя свойство абсолютных величин (см. § 5.2), т.е. придем к более сильному неравенству

Итак, для любого существует такое что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство (6.13). А это и означает, что функция есть величина бесконечно малая. ■

Пусть, например, есть бесконечно малые величины при (ибо функция есть функция, ограниченная при (точнее функция ограничена в любом промежутке, а не только в окрестности точки ибо всегда ). А функция при имеет предел (-1), не равный нулю. Тогда функции (по свойству 1),

(по свойству (по свойству 3)есть величины бесконечно малые при

Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух бесконечно малых из-за его неопределенности. Этот предел может быть равен: нулю; числу символу В этом случае бесконечно малая называется соответственно: бесконечно малой более высокого порядка малости, чем; одного порядка малости; более низкого порядка малости, чем . В частности, если то бесконечно малые называются эквивалентными: в этом случае пишут Тот факт, что есть бесконечно малая более высокого порядка, записывается так: (читается «) есть о малое от

» при

Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной при если для любого даже сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию будет верно неравенство

Запись того, что функция бесконечно большая при следующая:

Это же определение можно записать в виде:

Если в приведенном определении то пишут

Аналогично можно было определить понятие бесконечно большой величины при Приведем его в краткой форме:

Так, например, функции при являются бесконечно большими.

Не следует путать бесконечно большую переменную величину с очень большим, но постоянным числом ибо по мере приближения значений к (при ) или по мере увеличения по модулю (при ) в соответствии с определением функция превзойдет это число (по абсолютной величине).

Замечание. В§ 5.3 было дано определение ограниченной функции на некотором промежутке . Следует иметь в виду, что бесконечно большая величина есть функция неограниченная при . В то же время неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция является неограниченной (ее значения могут быть как угодно большими), но не бесконечно большой при так как с ростом х функция все время колеблется, переходя от положительных к отрицательным значениям (и наоборот) и обращаясь в нуль при сколь угодно больших значениях .

Отметим свойства бесконечно больших величин:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Например, если функция есть бесконечно большая величина при хһфункцияимеет предел отличный от нуля, а функция — ограниченная функция, то функции (по свойству 1),

(по свойству 2), (по свойству 3) являются бесконечно большими величинами при

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при то функция является бесконечно большой при И обратно, если функция бесконечно большая при , то функция есть величина бесконечно малая при f(x)

Докажем первое утверждение для случая, т.е. если — бесконечно малая, то есть бесконечно большая .

По условию — бесконечно малая при , следовательно, для любого найдется такое что для всех и удовлетворяющих условию будет верно неравенство Последнее неравенство (в предположении, что в некоторой окрестности точки равносильно следующему

А это и означает, что при функция является бесконечно большой.

Доказательство второго утверждения аналогично. ■

Например, если функции при при есть величины бесконечно малые, то функции при при есть величины бесконечно большие. И наоборот, если функции при есть величины бесконечно большие, то функции при х есть величины бесконечно малые.

Основные теоремы о пределах

Признаки существования предела

Пусть и — функции, для которых существуют пределы при (или при ): Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т.е. что функция имеет два предела Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций в соответствии с формулой (6.8)

где -бесконечно малые при Вычитая почленно эти равенства, получим откуда Это равенство невозможно, так как на основании свойства 1 бесконечно малых есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. ■

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

3. Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций, т.е.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

5. Если то предел сложной функции

6. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) то

Докажем в качестве примера теорему 2. По условию следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций в соответствии с (6.8) где — бесконечно малые величины приПеремножая почленно оба равенства, получим

Ha основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечно малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций это означает, что

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций из чего следуют заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Но необходимо учитывать, что из существования предела суммы, произведения или частного функций еще не следует, что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.

Например, но отсюда еще не следует существование пределов И действительно, в данном случае первого из этих пределов не существует.

Признаки существования предела

Для выяснения вопроса о существовании предела использовать определения предела, сформулированные выше, не всегда удобно. Проще это сделать с помощью признаков существования предела.

Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Возможны два случая: а) последовательность неубывающая и ограниченная сверху (см. рис. 6.5а); б)последовательность

невозрастающая и ограниченная снизу (см. рис. 6.56).

Рис. 6.5 иллюстрирует наличие предела числовой последовательности.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями имеющими одинаковый предел при то функция имеет тот же предел .

Пусть при

Это означает, что для любого найдется такое число что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства

или

Так как по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.

то из неравенств (6.14) следует, что т.е. А это и означает, что

Замечательные пределы

Задача о непрерывном начислении процентов

Первым замечательным пределом называется:

Для доказательства формулы (6.15) рассмотрим круг радиуса с центром в точке Пусть — подвижный радиус, образующий угол

(см. рис. 6.6).

Из геометрических соображений следует, что площадь треугольника меньше площади сектора , которая в свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника т.е.

Так как

то имеем

откуда, разделив части двойного! неравенства на —

Так как функции четные, то полученные неравенства справедливы и при Переходя к пределу при получим (обоснование этого факта см. в примере 6.7). На основании признака существования предела промежуточной функции

Пример №29

Найти:

Решение:

Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность Если вычислять значения членов последовательности, то получим и можно предположить, что последовательность является возрастающей. Действительно, воспользуемся формулой бинома Ньютона (см. § 14.2):

С ростом увеличиваются как число положительных слагаемых (их в формуле ), так и величина каждого слагаемого, т.е.

Последовательность является ограниченной. Это следует из (6.16), если дать оценку :

(полученную после освобождения от скобок, выражения в каждой из которых меньше 1, и замены каждой из дробей большей дробью с двойками в знаменателе:

Сумма представляет сумму членов геометрической прогрессии с первым членом знаменателем Имеем

Так как Согласно признаку существования предела монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Определение. Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности Выше мы фактически установили, что Более точно т.е. число — иррациональное число.

Можно показать, что функция и при (где в отличие от натурального числа «пробегает» все значения числовой оси — не только целые) имеет предел, равный числу .

Полагая найдем

В результате получается еще одна запись числа е:

Число (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции (см. рис. 7.8) получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом

Пример №30

Найти:

Решение:

К числу приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада , через лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину т.е.

На практике значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и тоже число раз, т.е.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а раз, то при том же ежегодном приросте процент начисления за часть года составит , а размер вклада за лет при начислениях составит

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие , ежеквартально , ежемесячно , каждый день, каждый час и т.д., непрерывно . Тогда размер вклада за 1 лет составит

или с учетом (6.18) при

Формула (6.21) выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при) или убывания (при ). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приводятся размеры вкладов , вычисленные при ден. лет.

Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле (6.21) непрерывного начисления процентов по сравнению (6.21) с формулой (6.20) сложных процентов, начисляемых ежегодно , при одной и той же процентной ставке оказалась незначительной (около 2,5%).

Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке. (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Пример №31

Исследовать непрерывность в точке заданных функций:

Решение:

а) В точке функция (см. рис. 6.7а) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности — существование ).

б) В точке функция (см. рис. 6.76) не является непрерывной — первое условие непрерывности выполнено существует но нарушено второе условие — отсутствует (точнее говоря, здесь существуют односторонние пределы функции слева и справа но общего предела при не существует.

в) В точке функция (см. рис. 6.7в) не является непрерывной — первые условия непрерывности выполнены — существуют и конечный предел , но нарушено третье основное условие:

г) В точке функция (см рис. 6.7г) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности

Определение непрерывности функции (6 22) в точке может быть записано и так:

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Очевидно отрыва карандаша от листа бумаги).

Сформулируем еще одно, второе определение непрерывности.

Дадим аргументу приращение . Тогда функция у = f (х) получит приращени определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: (см. рис. 6.8).

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Убедимся в равносильности двух приведенных определений непрерывности. Из первого определения согласно (6.22) при следует так как стремление равносильно условию

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать где есть бесконечно малая при

Точка называется точкой разрыва функции если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односто-ронних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так, точка на рис 6.76 - точка разрыва первою родя, а на рис. 6.7а — точка разрыва второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке. Так, точка на рис. 6.7в является точкой устранимого разрыва.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции непрерывны в точке , то их сумма произведение и частное (при условии являются функциями, непрерывными в точке .

Доказательство теоремы следует из определения непрерывности и аналогичных свойств пределов функций.

2. Если функция непрерывна в точке то существует такая окрестность точки , в которой

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента в соответствии со вторым определением непрерывности функции (6.24) можно получить как угодно малое приращение функции так что знак функции в окрестности не изменится.

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство состоит в том, что малому приращению аргумента в силу второго определения непрерывности (6.24) функции соответствует как угодно малое приращение приводящее в свою очередь в силу того же определения непрерывности функции к как угодно малому приращению

Свойство 3 может быть записано в виде т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Пример №32

Доказать непрерывность функции

Решение:

Найдем

и по второму определению непрерывности (6.24) функция является непрерывной на всей числовой оси. ►

Замечание. Еще раз подчеркнем, что непрерывность функции в любой точке области определения гарантируется лишь для элементарных функций. Рассмотрим в качестве примера функцию (читается « равно антье »), где [] — целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее (например, В точке функция непрерывна, ибо , а в точке эта функция определена — но терпит разрыв, ибо не существует (точнее существуют неравные между собой конечные пределы функции слева и справа (см. рис. 6.9).

Это связано с тем, что не является элементарной функцией, и, хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 6.10).

2. Если функция непрерывна на отрезке то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса) (см. рис. 6.11).

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что (теорема Больцано-Коши) (см. рис. 6.12).

Пример №33

Найти:

Решение:

а) На основании непрерывности функции в точке искомый предел равен значению функции в этой

точке, т.е.

б) При числитель стремится к (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель — к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной); очевидно, их отношение есть величина бесконечно большая, т.е.

в) ибо отношение ограниченной функции к бесконечно большой величине есть величина бесконечно малая.

г) так как произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию c) есть величина бесконечно малая.

Заметим, что этот предел нельзя вычислять с помощью теоремы о пределе произведения, поскольку не существует (при аргумент косинуса изменяется непрерывно вдоль числовой оси до бесконечности, при этом значения колеблются от -1 до 1 и от 1 до -1, не стремясь ни к какому

числу (пределу). ►

В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа Но чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела неясен: например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших Кроме отмеченных неопределенностей вида в математическом анализе также неопределенности вида

Пример №34

Найти:

Решение:

а) Для раскрытия неопределенности вида разложим числитель на множители и сократим дробь на множитель сокращение возможно, так как при стремится к нулю, но не равен нулю.

б) Для раскрытия неопределенности вида умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

в) Для раскрытия неопределенности вида удобно предварительно сделать замену , а затем

полученные многочлены разложить на множители:

Пример №35

Найти:

Решение:

а) Имеем неопределенность вида Учитывая, что поведение числителя и знаменателя при определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно ), разделим числитель и знаменатель на , т.е. на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя. Используя теоремы о пределах, получим

б) Используя тот же прием, что и в п. а, можно показать, что

т.е. предел отношения двух многочленов

отношению коэффициентов при старших степенях если показатель степени числителя соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя Рекомендуем запомнить это правило. в) Имеем неопределенность вида Здесь выражению в числителе условно можно приписать степень ,а в знаменателе степень так как то на основании правила, сформулированного в п. б, искомый предел равен

Действительно, разделив и числитель и знаменатель на , получим г) При имеем неопределенность вида поведение числителя и знаменателя определяется вторыми слагаемыми, которые возрастают быстрее первых. Разделив числитель и знаменатель на и используя теоремы о пределах, получим поскольку

При имеем неопределенность вида при этом поведение числителя и знаменателя определяется первыми слагаемыми, которые убывают медленнее других. Разделив числитель и знаменатель на и используя теоремы о пределах, получим

д) Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель и знаменатель на . получим

так как (см. пример 6.8 в). ►

Пример №36

Найти:

Решение:

а) Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное выражение, получим

б) При имеем неопределенность вида ибо квадратный корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Решение аналогично примеру 6.11а.

Обращаем внимание на то, что при в знаменателе нет неопределенности, так как он представляет сумму бесконечно больших положительных величин — величину, бесконечно большую.

Простейшие примеры с использованием первого замечательного предела (6.15) были рассмотрены в примере 6.4. Рассмотрим несколько более сложные задачи.

Пример №37

Найти:

Решение:

(сделали замену ) г) При имеем неопределенность вида Сделаем замену тогда и при Получим

Простейшие примеры с использованием числа при раскрытии неопределенности вида мы уже фактически встречали в примере 6.5. Прежде чем рассмотреть более сложные задачи, обратим внимание, что нет неопределенности при вычислении (так как выражение вскобках стремится к а не к 1) или

(так как единица в любой степени равна единице). Поэтому под неопределенностью вида понимается функция, основание степени которой стремится к 1 (но не равно тождественно 1), а показатель степени стремится к бесконечности.

Пример №38

Найти:

Пример №39

а) Имеем неопределенность вида так как

Выделим у дроби целую часть

Обозначим причем Теперь, используя определение числа (6.19), теорему о пределе произведения и свойство (6.25) непрерывности сложной функции, получим

б) Имеем неопределенность вида Это отчетливо видно, если с помощью свойств логарифма представить предел в виде

Ну о новании непрерывности логарифмической функции (6 25) перейдем к пределу под символом логарифма, т.е. в) Имеем неопределенность вида так как

(ибо при ). Преобразуя выражение и используя непрерывность степенно-показательной функции, получим

Пример №40

Доказать непрерывность функции в точке или установить характер точки разрыва функции в этой точке:

Решение:

а) При функция не определена, следовательно, она не непрерывна в этой точке. Так как и соответственно пределы функции слева и справа от точки конечны и равны, т.е. то — точка устранимого разрыва первого рода.

б) По сравнению с п. а функция доопределена в точке так, что следовательно, данная функция непрерывна в этой точке.

в) При функция не определена. Так как пределы функции слева и справа от точки конечны, т.е.

то в точке функция имеет разрыв первого рода.

г) При функция не определена:

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то есть точка разрыва второго рода. 

Пределы и непрерывность в математическом анализе

Понятие числовой последовательности:

Если каждому числу n из натурального ряда чисел по определённому закону поставлено в соответствие вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Обозначается как

Числа  составляющие последовательность, называются её элементами или членами последовательности; число - общий элемент или член последовательности, а число n - номером члена последовательности.

Пример:

Дан общий член последовательности

Написать первые 7 членов последовательности.

Решение. Положив последовательно n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, получим

Ответ:
Геометрически числовая последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности.
 

Предел числовой последовательности

Число называется пределом последовательности при если для любого существует такой номер N, что для всех n > N справедливо равенство

Используя логические символы, определение предела можно записать в

виде:

где:

- квантор общности, вместо слов: «для любого», «каждого», «всех»;

- квантор существования, вместо слов: «найдется», «существует».

Символы:

- равносильность;

: или | - «такой,что»;

! - единственный.
 

Кванторы (символы) - используются для сокращенной записи утверждении и определений; превращают записи в максимально ясный и однозначно понимаемый текст

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №42

Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Решение. Найдём абсолютную величину разности 

Пусть задано. Выберем n так, чтобы выполнялось неравенство

Решая это неравенство, получим 

Положив заключаем, что при имеем  что и
требовалось доказать.

Если то; и все члены, начиная с шестого, лежат в диапазоне
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Вычисление пределов последовательностей

Если последовательности сходящиеся, то:

Предел функции в точке

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть независимая переменная х неограниченно приближается к числу Запишем это так:  и будем говорить, что х стремится к Может оказаться при этом, что соответствующие значения функции f(х) неограниченно приближаются к некоторому числу А. Тогда говорят, что число А есть предел функции (или в точке ) или что функция стремится к числу А при Приближаясь к своему пределу, функция может оставаться больше его или меньше его, а может становиться, по мере приближения аргумента к предельной точке, то больше его, то меньше, т. е. колеблясь около своего предела; при этом она может принимать и значения, равные пределу.

Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки или в некоторых точках этой окрестности (рисунок 2.1).

Определение. Функция у = f(х) стремится к пределу А  (f(х)) при х, стремящемуся к если для каждого сколь угодно малого положительного  можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство

Если А есть предел функции f(х)при то это записывается

(2.3)

Замечания:

1. Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в самой точке а только лишь в её окрестности, т.к. но не достигает точки
2. Если так, что х остаётся меньше то пишут и говорят о пределе функции слева от точки
3. Если так, что х остаётся больше то пишут и говорят о пределе функции справа от точки

Пределы в замечаниях 2 и 3 называются односторонними пределами.
 

Предел функции в бесконечности

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число S, что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство:

Этот предел функции обозначается

С помощью логических символов определение имеет вид:

Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства

Определение. Функция f(х) стремится к бесконечности при если для сколь угодно большого положительного числа М можно найти такое положительное число  что для всех х, отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство Если f(х) стремится к бесконечности при а функцию f(x) называют бесконечно большой.

Если f(х) стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут

Теорема. Если то функция y = f(x) есть ограниченная функция при

Определение. Функция называется бесконечно малой при

или при
 

Связь бесконечно малых величин с пределами функций

Теорема. Если функция f(х) имеет при предел, равный А ,

то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
2. Если есть величина бесконечно большая.
3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть величина (функция) бесконечно малая.
4. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой величины на величину постоянную есть величина бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Замечание: Частное от деления двух бесконечно малых величин не обязательно бесконечно малая!

Свойства бесконечно больших величин

1. Сумма бесконечно больших величин одного знака и величин ограниченных является бесконечно большой.
2. Сумма двух бесконечно больших величин одного знака есть бесконечно большая величина. (Однако сумма бесконечно больших разных знаков может не быть бесконечно большой, т.е - неопределённость).
3. Произведение двух бесконечно больших есть бесконечно большая величина. (Однако частное бесконечно больших величин может быть чем угодно, т.е.  - неопределённость).

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция f(х) имеет при предел, равный  то ее можно представить в виде суммы этого числа  и бесконечно малой при

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Пусть функции - являются бесконечно малыми при

Если где с - некоторое конечное число, отличное от нуля, то функции называются бесконечно малыми одного порядка.

Если с = 1, эквивалентными бесконечно малыми. Это записывается так:

Если с = 0, то функция называется бесконечно малой высшего порядка
по сравнению с

Если функции - являются бесконечно малыми при и если  то 

Последнее выражение отражает принцип замены эквивалентных.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Данные соотношения часто используются в финансовых вычислениях.

Пример №43

Пусть  - величина бесконечно малая. Заменить эквивалентной бесконечно малой.

Решение. Заметим, что сумма двух бесконечно малых разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка, то есть переход к эквивалентной бесконечно малой равносилен
отбрасыванию бесконечно малой высшего порядка. В нашем случае второе слагаемое является бесконечно малой высшего порядка. Поэтому получаем

Пример №44

Вычислить приближенно

Решение. Воспользуемся формулами пп.5 и 6.

Пусть u(х) и v(x) - функции, для которых при существуют пределы
тогда:

1.    Предел постоянной равен самой постоянной

2.    Постоянный множитель можно выносить за знак предела

3.    Предел непрерывной функции f(х) при  равен значению этой функции при х = а

4.    Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их
пределов: 

5. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

6. Предел дроби равен пределу знаменателя числителя, деленному на предел

7. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:  и в частности 
 

Пример №45

Первый «замечательный» предел

Предел функции в точке х = 0 существует и равен единице

Такой предел называется первым замечательным пределом.
 

Пример №46

Найти предел функции

Решение. Преобразуем дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса; только тогда можно будет применить первый замечательный предел, т.к. при пределом ах также является ноль.

Первый замечательный предел:

Доказательство. Рассмотрим круг радиусом с центром в точке  Пусть -неподвижный радиус, - подвижный, образующий угол  

с радиусом  (рис. 3.2).

Проведем из точки  перпендикуляр к радиусу до пересечения в точке с продолжением радиуса  Тогда

      (3.2)

Так как

то неравенства (3.2) примут вид

после умножения на имеем

Разделим все члены неравенств на Получим

или

    (3.3)

Вычтем (3.3) из числового тождества 1 = 1 = 1. Получим

Так как  то при 

получаем 

Возьмем  и положим Тогда для всех 

удовлетворяющих условиям будет выполнено неравенство Поэтому

откуда

Это означает, что

Так как функция четная, то  В силу теоремы 3.2,

Следствие 3.1 *.

Пример №47

Доказать, что

Решение.

1. В процессе доказательства первого замечательного предела получено  при  Очевидно, что

при Тогда при Так как для указанных значений : выполнено то переходя к пределу при на основании свойств функций, имеющих предел, получаем 

2. Так как  при 
3. 

Вывод. Требуемое доказано.

Пример №48

Вычислить 

Решение.

Ответ: 1.

Пример №49

Вычислить 

Решение.

Ответ: 0.

Второй «замечательный» предел 

Предел переменной величины называется вторым  замечательным пределом, величина которого равна числу е

Отметим без доказательства, что величина предела не меняется при стремлении Если основанием логарифмов является число е, то такие логарифмы называются натуральными или неперовыми (по имени шотландского математика Непера - изобретателя логарифмов) логарифмами.
 

Пример №50

 

Пример №51

Второй замечательный предел:

Из теории последовательностей известно, что 

Пусть  Положим тогда где  - натуральное число, Так как то  Тогда

Перейдем к пределу при

  откуда 

Пусть  Положим  Тогда

Объединив два случая, получим 

Следствие 3.2*. 

Пример №52

Вычислить 

Решение.

Ответ: 

Пример №53

Вычислить 

Решение.

Ответ: 

Пример №54

Вычислить 

Решение.

Ответ: 

Раскрытие неопределенностей в пределах

При нахождении пределов встречаются выражения, которые назвали «неопределенностями» и которые символически можно представить следующим образом как: 

Рассмотрим методы раскрытия (нахождения) пределов с неопределенностями
 

1.  Получена неопределенность
В таких случаях, замечая, что значение (х —а) является нулем обеих функций, делим u(х) и v(x) на (х - а).

Получаем

 

Пример №55

Неопределенность типа 
В таких случаях, обнаружив, что значение x = 2 является нулями функций, расположенных в числителе и знаменателе, сократим числитель и знаменатель на (х — 2). Получим

 

2. Получена неопределенность
Если u(х) и v(x) - полиномы, то следует числитель и знаменатель разделить на максимальную (из присутствующих в полиномах) степень х.
 

Пример №56

 

3. Получена неопределенность В большинстве случаев нахождение такого предела легко осуществляется умножением числителя и знаменателя на сопряженный двучлен, то есть  и последующим алгебраическим преобразованием.

Пример №57

 

4. Неопределенность вида приводится к неопределенностям вида

 преобразованием

 

Пример №58

Пример №59

Пример №60

 

Непрерывность функции

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Пусть функция определена на некотором множестве  

Определение 4.1. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки  и существует конечный предел

Пример №61

Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Функция имеет разрыв в точке

так как не существует

Функция  имеет разрыв в точке  так как 

Определение 4.2 (по Коши). Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки  и

Определение 4.3 (по Гейне). Функция называется непрерывной в точке  если она определена в некоторой окрестности точки и для любой последовательности   соответствующая последовательность значений функции сходится к числу  т. е. 

Рассмотрим определение 4.1, согласно которому выполнено

Тогда  Внесем  под знак предела и учитывая, что получим

    (4.1)

Разность  называется приращением аргумента в точке  и обозначается  разность называется приращением функции в точке  соответствующим приращению аргумента обозначается или Тогда (4.1) можно представить в виде

    (4.2)

Определение 4.4. Функция  называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки и ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при т. е. выполнено (4.2).

Определение 4.5. Функция называется непрерывной на отрезке  если она непрерывна во внутренних точках отрезка, а в граничных точках существуют односторонние пределы.

Заметим, что множество функций, непрерывных на отрезке принято обозначать  поэтому, если функция непрерывна на отрезке это можно показать следующим образом:

Рассмотрим непрерывность функции более подробно:

Пусть функция определена при некотором значении  и в

некоторой окрестности с центром в Пусть

Если х получит некоторое положительное или отрицательное (безразлично) приращение примет значение то и функция у получит некоторое приращение

Новое, наращенное значение функции будет (см. рисунок 2.2.).

Приращение функции выразится формулой

Определение. Функция f(х) называется непрерывной в точке (или при значении ), если:

• она определена в некоторой окрестности точки (очевидно, и в самой точке )
• бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

или, что то же самое,

Условие непрерывности (2.2) можно записать и так

но 

Следовательно, равенство (2.10) можно записать и так:

т.е. для того, чтобы найти предел непрерывной функции при достаточно в выражении функции подставить вместо аргументах его значение

Геометрически, непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции y = f(x) в точках будет по абсолютной величине произвольно малой, если только будет достаточно мало.
 

Пример №62

Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке

Решение.

 

Теорема 1

Если есть две непрерывные в точке функции, то их сумма также непрерывная в этой точке функция.

Аналогично для произведения.

Аналогично для частного, если знаменатель не обращается в нуль.

Теорема 2

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,b) где анепрерывна на этом интервале.

• -    Если функция определена и при х=а, и при этом то говорят, что f(x) в точке х=а непрерывна справа.
• -    Если функция определена и при х=b, и при этом  то говорят, что f(x) в точке х=b непрерывна слева.
• -    Если функция f(х) непрерывна в каждой точке интервала (a,b) и непрерывна на концах интервала, соответственно справа и слева, то говорят, что функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале или на отрезке 

Свойства непрерывных функций

1. Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m.
2. Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется, по крайней мере одна точка в которой функция обращается в ноль:
3. Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке

Если на концах этого отрезка функция принимает разные значения f(a) =A, f(b) =B, то каково бы ни было число заключенное между А и В, найдется такая точка заключенная между а и b, что

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва.

Свойства непрерывных функций:

Теорема 4.1. Если функции  и непрерывны в точке  то функции   (при условии ),  - постоянная) непрерывны в точке 

Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функции.

Например, если  то

Замечание 4.1. Теорема справедлива и при любом конечном числе непрерывных функций.

Теорема 4.2 (Вейерштрасса). Функция ограничена на данном отрезке.

Доказательство. От противного.

Предположим, что функция не ограничена на отрезке  Тогда для любого найдется точка такая, что

Известно, что из ограниченной последовательности   можно выделить сходящуюся подпоследовательность  для которой  (теорема 2.4 Больцано-Вейерштрасса). Тогда, с одной стороны,  - в силу неограниченности     с другой стороны,

- в силу непрерывности функции

k-*x> I к I

Получено противоречие.

Теорема 4.3 (Вейерштрасса)*. Функция  достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней.

Напомним, что точная верхняя грань  непрерывной на отрезке функции  называется максимумом функции на этом отрезке:  точная нижняя грань  - минимумом функции на этом отрезке:  Напомним, также, что нулем функции называется всякое значение при котором

Теорема 4.4 (Коши о нулях функции). Если функция и на концах данного отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка , такая, что

Доказательство.

Пусть, для определенности, 

Разделим отрезок точкой  пополам. Тогда если  то искомая точка  найдена и теорема доказана. Если то возьмем ту половину отрезка для которой  Разделим отрезок точкой  пополам. Если  то искомая точка  найдена и теорема доказана. Если  то возьмем ту половину  отрезка  для которой и выполним очередное разбиение. Продолжив эти рассуждения, получим, что, либо через конечное число шагов найдется точка для которой либо существует конечная последовательность вложенных стягивающихся отрезков для которых   Согласно теореме 2.5 (Кантора) существует единственная точка  общая для всех отрезков, причем

Учитывая непрерывность функции и переходя к пределу в неравенствах  получим

откуда

Теорема 4.5 (Коши о промежуточном значении). Если функция и - любое число, заключенное между  и  то найдется точка  в которой 

Доказательство.

Пусть, для определенности,  Тогда для функции имеем

Итак, функция  на концах отрезка  имеет разные знаки. Согласно теореме 4.4 существует точка такая, что Следовательно, 

Непрерывность сложной функции

Теорема 4.6. Пусть функция непрерывна в точке функция непрерывна в точке тогда сложная функция непрерывна в точке 

Доказательство.

В силу непрерывности функции  в точке   такое, что для

В силу непрерывности функции  в точке для найденного такое, что для т. е. 

Таким образом,  такое, что для

Следовательно, функция непрерывна в точке

Следствие 4.1. Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами, т. е.

Непрерывность элементарных функций

Теорема 4.7*. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Докажем непрерывность некоторых из элементарных функций.

1. Функция непрерывна для 

Действительно, 

2. Функция где непрерывна для  Действительно,

Тогда многочлен от степени

будет непрерывной функцией как сумма непрерывных функций вида рациональная функция  будет непрерывной функцией во всех точках, где как отношение двух непрерывных функций.

3. Функция непрерывна на всей числовой прямой. Предварительно покажем, что

      (4.3)

Действительно, (4.3) верно при

При  если то согласно доказательству первого замечательного предела; если то (4.3) будет выполнено, так как функция  четная; если то (4.3) верно, так как Тогда

согласно (4.3), т.е. Отсюда следует, что если  то  т. е. функция  непрерывна на всей числовой прямой.

Аналогичным образом доказывается непрерывность функции - на всей числовой прямой.

Функция непрерывна в точках, где  т. е. в точках Функция непрерывна в точках, где т. е. в точках

Точки разрыва функции и их классификация

Определение. Если функция у = f(х), такова, что существуют конечные пределы но

• или (т.е. если пределы слева и справа существуют, но не равны между собой);
• или значение функции f(х) при не определено, то точка называется точкой разрыва первого рода функции f(x).

Пример №63

Определить характер разрыва функции в точке х = 0.

Решение.

Определим

Левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны между собой, значит точка х = 0 - точка разрыва первого рода.

Точка  называется точкой устранимого разрыва функции у = f(x), если предел функции в точке существует, но в самой точке функция, либо не определена, либо не равна
 

Пример №64

Можно предположить, что f(х) = 0 при х = 0, так как пределы слева и справа равны нулю (рисунок 2.3)

Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва второго рода функции f(х) в точке

Пример №65

Исследовать непрерывность функции

 

Решение.

После преобразования функции видно, что в точках х = -3 и х = 3 функция имеет особенности. Найдем левосторонние и правосторонние пределы исследуемой функции в этих точках.

Так как данные пределы бесконечны, то следует сделать вывод: точки х = — 3 и     х = 3 являются точками разрыва второго рода.
 

Классификация точек разрыва функции:

Пусть функция  определена в некоторой проколотой окрестности точки

Определение 4.6. Точка называется точкой разрыва функции если функция в этой точке не определена или же не является в ней непрерывной.

Определение 4.7. Точка называется точкой устранимого разрыва функции (рис. 4.1), если

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно принять  В этом случае говорят, что функция доопределена по непрерывности в точке

Определение 4.8. Точка называется точкой разрыва первого рода функции (рис. 4.2), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой, т. е.

где 

Разность представляет скачок функции  в точке

Определение 4.9. Точка называется точкой разрыва второго рода функции (рис. 4.3), если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов равен или или вообще не существует. Причем если хотя бы один предел не существует, то точка называется точкой неопределенности, если хотя бы один из односторонних пределов равен или то точка называется точкой бесконечного скачка.

Пример №66

Определить точки разрыва функции 

и их характер. Построить схематичный график функции.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки т. е. Следовательно, точка  является точкой разрыва данной функции. Выясним характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы в этой точке. Так как

то

Так как односторонние пределы конечны, но  то в точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачок функции составляет 

График функции представлен на рис. 4.4.

Ответ: - точка разрыва первого рода.

Пример №67

Определить точки разрыва функции  и их характер. Построить схематичный график функции.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки  т. е. Следовательно, точка  является точкой разрыва данной функции. Выясним характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы в этой точке

Следовательно, в точке данная функция имеет точку разрыва второго рода, а именно бесконечный скачок. Для схематичного построения графика найдем 

График функции представлен на рис. 4.5.

Ответ:  - точка разрыва второго рода.

Пример №68

Дана функция  точки ее разрыва и их характер. Построить схематичный график функции.

Решение.

Данная функция непрерывна для так как на каждом из этих интервалов формулы, задающие функцию, определяют элементарные непрерывные функции. Точкой разрыва может быть лишь точка в которой меняется аналитическое выражение функции Найдем односторонние пределы:

Так как односторонние пределы конечны, но то в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции составляет График функции представлен на рис. 4.6.

Ответ: - точка разрыва первого рода.

Предел функции в точке и на бесконечности

Пусть функция определена на некотором множестве В качестве множества можно рассматривать: и др.

Определение 3.1. Число  называется пределом функции в точке если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки   и если для найдется такое, что для любых удовлетворяющих условиям будет выполнено

Таким образом,

Данное определение предела функции в точке называется определением предела по Коши.

Пример №69

Для функции  найти предел в точке

Решение. Так как при вычислении предела в точке сама точка в расчет не принимается то

Докажем, что  Для этого зададим и в соответствии с формулой (3.1) рассмотрим разность Полагая получаем, что как только

Таким образом,

Ответ: 6.

Геометрический смысл определения предела функции в точке: если для любой окрестности точки найдется проколотая окрестность точки  такая, что для всех  из этой окрестности значения будут принадлежать окрестности точки  (рис. 3.1), т. е.

Определение 3.2. Число  называется пределом функции в точке если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для любой последовательности сходящейся к соответствующая последовательность значений функции  сходится к при

Таким образом,

Данное определение предела функции в точке называется определением предела по Гейне.

Пример №70

Используя определение предела функции по Гейне, доказать, что

Решение. Рассмотрим функцию  Возьмем произвольную числовую последовательность сходящуюся к 2, с членами, принадлежащими  и отличными от 2:

Рассмотрим соответствующую последовательность значений данной функции Докажем, что эта последовательность сходится к 15:

Таким образом, по определению предела функции по Гейне, имеем 

Теорема 3.1*. Определения предела функции в точке по Коши и но Гейне эквивалентны.

Из определения предела функции  в точке  следует, что сама точка исключается из рассмотрения, а функция считается определенной в некоторой достаточно малой окрестности точки . Существование предела функции в точке является локальным свойством функции.

Пусть аргумент функции т. е. возрастает по модулю.

Определение 3.3. Число  называется пределом функции при если найдется такое, что для любых удовлетворяющих условию будет выполнено 

Таким образом,

Односторонние пределы

Определение 3.4. Число  называется правым (левым) пределом функции в точке  если для любой последовательности сходящейся к элементы которой больше (меньше) соответствующая последовательность значений функции сходится к при

Таким образом, определение правого предела:

определение левого предела:

Предел справа обозначается предел слева

Теорема 3.2*. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке 

Пример №71

Найти односторонние пределы функции  в

точке 

Решение. По определению,

Вывод. Так как односторонние пределы функции  в точке существуют, но не равны между собой, то данная функция не имеет предела в этой точке.

Свойства функций, имеющих предел

Свойства будут сформулированы для функций, имеющих предел в точке, но они очевидным образом могут быть перенесены на случай предела функции на бесконечности.

1. Если функция имеет предел в точке, то он единственен.

2. Функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

3. Если  то найдется проколотая окрестность точки в которой функция имеет знак, совпадающий со знаком предела

4. Если функции в некоторой проколотой окрестности точки  связаны соотношением 

причем то существует 

5. Если  то:

5.1.

5.2.

5.3. при условии

5.4.

Доказательство этих свойств вытекает из аналогичных свойств пределов числовых последовательностей, если воспользоваться определением предела функции в точке по Гейне.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 3.5. Функция называется бесконечно малой функцией (БМФ) в точке (или при ), если 

По определению предела функции в точке:

Аналогичным образом определяются бесконечно малые функции (БМФ) при

Теорема 3.3. Алгебраическая сумма и произведение любого конечного числа БМФ при  а также произведение БМФ на ограниченную функцию, являются БМФ при

Доказательство следует из определения предела функции по Гейне и теорем о БМП.

Пусть в некоторой проколотой окрестности точки  определены функции и являющиеся БМФ при 

Определение 3.6. Функция называется БМФ более высокого порядка, чем при если

Если при этом  то называется БМФ порядка  по сравнению с БМФ при

Обозначается: при

Определение 3.7. Функции  и называются БМФ одного порядка при если  где - конечное число, отличное от нуля.

Определение 3.8. Функции и называются эквивалентными ВМФ при если

Обозначается: при 

Пример №72

Функции и являются при БМФ одного порядка. Действительно,

Пример №73

Функция  является при  БМФ второго порядка малости по отношению к БМФ  Действительно,

 

Теорема 3.4*. Предел произведения или частного БМФ не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей БМФ.

Пусть - БМФ при

Имеют место следующие эквивалентности:

Пример №74

Вычислить 

Решение.

Ответ: 5.

Как и в случае установленной в теореме 2.2 связи последовательности, ее предела и БМП, аналогичная связь наблюдается и между функцией, ее пределом и БМФ.

Теорема 3.5. Число  является пределом функции в точке тогда и только тогда, когда имеет место равенство

где - БМФ при

Доказательство.

Необходимость.

Пусть  Тогда, обозначив  получим

т. е.  - БМФ при 

Достаточность. Пусть где

Покажем, что  Имеем

Определение 3.9. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) в точке (или при ), если  

В этом случае пишут:  Если     если

По аналогии с ББП, можно сформулировать основные свойства ББФ:

1. Произведение двух ББФ есть ББФ.

2. Если в некоторой проколотой окрестности точки для функции выполнено условие где  - константа, а - ББФ при то функция - ББФ при

3. Если - ББФ при то функция  БМФ при Если - БМФ при (причем в некоторой проколотой окрестности точки ), то функция  при

Заметим, что в случае вычисления предела выражения  при

где  и  - БМФ при считают, что получена неопределенность типа  в случае вычисления предела выражения  при  где и - ББФ при считают,

что получена неопределенность типа  дела выражения при  где и -ББФ при считают, что получена неопределенность типа  в случае вычисления предела выражения  при где есть БМФ и есть ББФ при считают, что получена неопределенность типа В решении задач встречаются

неопределенности типа   Выражение «раскрыть неопределенность» означает - найти предел соответствующего выражения, если он существует.

Пример №75

Вычислить 

Решение.

Ответ: 

Пример №76

Вычислить

Решение.

Пример №77

Вычислить 

Решение.

Ответ: 3.