Приложения производной с примерами решения

Содержание:

Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям производной при исследовании функций и построении их графиков, рассмотрим несколько основных теорем.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке

Пусть функция дифференцируема на промежутке в точке принимает наименьшее значение (рис. 8.1).

Тогда если и, следовательно, величина при достаточно малых независимо от знака . Отсюда и Переходя к пределу при (справа) и при (слева), получим и .

По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, ее предел при не должен зависеть от способа стремления (справа или слева), т.е.

Аналогично рассматривается случай, когда функция принимает в точке x наибольшее значение. ■

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка , касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ферма может быть использована для доказательства так называемых теорем о среднем, к рассмотрению которых мы переходим.

Теорема Ферма дополнительное подробное объяснение:

Пусть функция у=f(х), непрерывная в некотором интервале  принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке с данного интервала: Если в точке с производная функции f(х) существует, то она равна нулю

Доказательство. Если функция f(х) принимает свое наибольшее значение в точке с, то это значит, что касательная к графику функции в точке с параллельна оси абсцисс, т.е. угол между касательной и осью абсцисс равен нулю. Из геометрического смысла производной непосредственно следует, что

Теорема Ролля

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

• 1) непрерывна на отрезке
• 2) дифференцируема на интервале
• 3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е.

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка в которой производная функции равна нулю:

На основании теоремы Вейерштрасса (см. § 6.7) функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию они равны (т.е. ), а это значит, что функция тождественно постоянна на отрезке Тогда производная равна нулю во всех точках этого отрезка. Если же хотя бы одно из этих значений — максимальное или минимальное — достигается внутри отрезка (т.е. ), то производная в соответствующей точке равна нулю в силу теоремы Ферма. ■

Отметим геометрический смысл теоремы Ролля (см. рис. 8.2): найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю (заметим, что на рис. 8.2 таких точек две: )•

Если то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существенны и при невыполнении хотя бы одного из них заключение теоремы может оказаться неверным. Так, для функций, приведенных на рис. 8.3, нарушено только одно условие: на рис. 8.3а — непрерывность на отрезке на рис. 8.36 — дифференцируемость на интервале на рис. 8.3в — равенство значений

В результате не существует такой точки в которой

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Ролля дополнительное подробное объяснение:

Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале , дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах интервала х = а и х = b равные значения, то существует внутри указанного интервала, по крайней мере, одна точка в которой производная  f'(x) обращается в нуль, т.е. f'(с) = 0.
Замечание. Данная теорема справедлива и для такой дифференцируемой функции, у которой значения на концах отрезка равны и не обязательно равны 0.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

• 1) непрерывна на отрезке
• 2) дифференцируема на интервале

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

Введем новую функцию следующим образом:

Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале и принимает на его концах равные значения:

Следовательно, существует точка такая, что

или откуда

Заключение (8.1) теоремы Лагранжа может быть записано и в виде:

Выясним механический и геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Приращение — это изменение функции на отрезке

—средняя скорость изменения функции на этом отрезке; значения же производной в точке — это «мгновенная» скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка, такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 8.4.

Если перемещать прямую параллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка в которой касательная к графику и хорда , проведенная через концы дуги , параллельны (ибо в соответствии с (4.5) угловой коэффициент секущей а касательной —

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

Возьмем на рассматриваемом промежутке X отрезок Согласно теореме Лагранжа где По условию следовательно, т.е.

Теорема Лагранжа дополнительное подробное объяснение:

Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во его всех внутренних точках, то внутри указанного интервала найдется, по крайней мере, одна точка что

Геометрический смысл равенства из теоремы состоит в следующем: отношение есть угловой коэффициент хорды АВ или тангенс угла наклона хорды АВ, a f'(c) - есть угловой коэффициент касательной или тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику в точке с абсциссой с.

Теорема Лагранжа утверждает, что если во всех точках дуги АВ существуют касательные, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки А и В.

Данное утверждение согласуется с приведенным рисунком 4.1.

Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида то

Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности

Для простоты будем предполагать, что функции а также их производные непрерывны в точке , причем

В этом случае

Применяя теорему Лагранжа для функций на отрезке получим

При в силу непрерывности производных имеем Используя теорему о пределе частного двух функций, получаем равенство (8.3). ■

Замечание. Обращаем внимание, что в правой части формулы (8.3) берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №1

Найти:

Решение:

а) Имеем неопределенность вида правило Лопиталя, получим:

б) Имеем также неопределенность вида .Применим правило Лопиталя раз, если — целое, и раз, если — нецелое (где [] — целая часть числа ):

При каждом применении правила Лопиталя степень числителя будет уменьшаться на единицу и через раз станет отрицательной, т.е. числитель обратится в бесконечно малую величину (если — не целое число; если — целое, то в постоянную величину). Знаменатель же будет оставаться бесконечно большой величиной. Таким образом,

Правило Лопиталя дает возможность сравнения бесконечно больших величин: степенная функция — бесконечно большая более высокого порядка, чем логарифмическая , а показательная — бесконечно большая более высокого порядка, чем степенная ; это означает,что

Пример №2

Найти:

Решение:

а)

Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

б) Имеем неопределенность вида Переписывая данное выражение в виде

получим неопределенность вида .

Применяя правило Лопиталя, получим

Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия неопределенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.

Пример №3

Найти:

Решение:

а) Если применить правило Лопиталя, то получим

т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами; неопределенность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначальный вид. Таким образом, применение этого правила в данном случае не позволяет раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что б) Если применить правило Лопиталя, т.е.

то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует, так как не существует

На самом деле

так как (см. пример 6.8в). ►

Теорема Коши

Если функции f(х) и непрерывны в замкнутом интервале и дифференцируемы во всех его внутренних точках нигде

внутри интервала не обращается в нуль, то в этом интервале найдется хотя бы одна точка что

Заметим, что  т.к. в противном случае по теореме Ролля существовала бы внутри этого интервала точка, в которой производная обращалась бы в нуль, а это противоречит условиям теоремы.

Возрастание и убывание функций

Напомним (см. § 5.3), что функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если для любых верно неравенство

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка , то она возрастает на этом промежутке.

Рассмотрим два значения на данном промежутке . Пусть Докажем, что

Для функции на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа, поэтому

где т.е. принадлежит промежутку, на котором производная положительна, откуда следует, что и правая часть равенства (8.3) положительна. Отсюда и ■

Аналогично доказывается другая теорема.

Теорема (достаточное условие убывания функции)

Теорема (достаточное условие убывания функции): Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка , то она убывает на этом промежутке.

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции приведена на рис. 8.5.

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 8.5а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 8.56), то убывает.

Пример №4

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

Имеем Очевидно и т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале где — абсцисса вершины параболы. ►

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Пример №5

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

Найдем производную Очевидно, что При производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси (см. рис. 5.5). ►

Экстремум функции

В определенном смысле материал этого параграфа наиболее важен для решения задачи исследования функций и построения их графиков. Мы выделим наиболее важные, «узловые», точки функции, нахождение которых во многом определяет структуру графика. Это точки экстремума — максимума и минимума функции.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство (см. рис. 8.6).

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство (см. рис. 8.6).

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой, например на рис.8.6 . Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка вовсе не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

Важность точек экстремума иллюстрируется следующим примером (см. рис. 8.7).

Предположим, график функции имеет вид, изображенный на рисунке сплошной линией. Допустим, мы строим его по точкам, и на рисунок нанесены точки 1, 3, 5, 7, 9. Тогда скорее всею мы получим кривую, изображенную пунктиром, которая совершенно не похожа на истинный график функции .

Если же на рисунок нанесены точки 2, 4, 6, 8, то качественная картина графика определена практически однозначно (по крайней мере на промежутке, содержащем эти точки).

Необходимое условие экстремума

Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма (см. § 8.1), и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция имеет экстремум (минимум) в точке но не дифференцируема в ней (см. пример 7.2 и рис. 7.5). А функция также имеет в точке минимум (рис. 8.8), а производная ее в этой точке бесконечна: .

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными'). Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Пример №6

Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках:

Решение:

а) Производная В точке и действительно в точке функция имеет экстремум (см. рис. 5.6).

б) Функция возрастает на всей числовой оси по свойству степенной функции. Производная в точке равна нулю, т.е. но экстремума в точке нет (см. рис. 8.9).

в) Функция также возрастает на всей числовой оси; производная при не существует, т.е. но экстремума в этой точке нет (см. рис. 8.10). ►

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, — то точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале производная положительна а в некотором интервале — отрицательна Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функция возрастает на интервале и убывает на интервале , (см. рис. 8.11).

По определению возрастающей функции при всех , а по определению убывающей функции при всех т.е. при всех , следовательно, — точка максимума функции .

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с минуса на плюс. ■

Отметим, что дифференцируемость функции в самой точке не использовалась при доказательстве теоремы. На самом деле она и не требуется — достаточно, чтобы функция была непрерывна в точке .

Таким образом, достаточным условием существования экстремума функции в точке является изменение знака ее производной, т.е. углов наклона касательных к кривой : с острых на тупые (рис. 8.12а) при переходе через точку максимума или с тупых на острые (рис. 8.126) при переходе через точку минимума. Если изменения знака производной не происходит, то экстремума нет.

Схема исследования функции y=f(x) на экстремум:

Схема исследования функции на экстремум:

1. Найти производную
2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример №7

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

1°. Производная функции

2°. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции (Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет — определена на всей числовой оси.)

3°. Нанесем критические точки на числовую прямую (рис. 8.13).

Для определения знака у производной слева и справа от критической точки выберем, например, значения найдем

следовательно, при всех

на интервале

Аналогично устанавливаем, что и на интервале Согласно достаточному условию — точка минимума данной функции. В точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума

Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то — точка максимума.

Пусть Это значит, что также и в некоторой окрестности точки , т.е. возрастает на некотором интервале , содержащем точку .

Но, следовательно, на интервале а на интервале т.е. при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, т.е. — точка минимума.

Аналогично рассматривается случай

Схема исследования на экстремум функции с помощью второго достаточного условия в целом аналогична схеме, приведенной выше (совпадают полностью пп. 1°, 2°, 4°). Отличие в п 3°, устанавливающем наличие экстремума: здесь необходимо найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Пример №8

Производитель реализует свою продукцию по цене за единицу, а издержки при этом задаются кубической зависимостью Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Решение:

Обозначим объем выпускаемой продукции . Составим функцию прибыли где — доход от реализуемой продукции.

1°. Находим

2°. Находим критические точки: откуда (вторую критическую точку рассматриваем по смыслу задачи).

3°. Находим и определяем знак второй производной при (в данном случае при любом ), следовательно, приприбыль максимальна. 4°. Находим максимум функции (т.е. максимальный размер прибыли)

Второе достаточное условие экстремума утверждает, что если в критической точке то в этой точке имеется экстремум. Обратное утверждение, однако, неверно. Экстремум в критической точке может быть и при равенстве в ней нулю второй производной.

Рассмотрим, например, функцию . Имеем , . В критической точке вторая производная также обращается в нуль. Но — точка экстремума, а именно — минимума. Так что в отличие от первого второе достаточное условие является именно только достаточным, но не необходимым. Поэтому, если в критической точке то рекомендуется перейти к первому достаточному условию экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений {глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке X.

Согласно теореме Вейерштрасса (§ 6.7), если функция непрерывна на отрезке то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка. Так, на рис. 8.14 наибольшее значение функции на конце отрезка , а наименьшее — в точке минимума .

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1°. Найти производную

2°. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3°. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример №9

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение:

1°.

2°. , откуда критические точки .

3°. Значения функции в критических точках и на концах отрезка Итак,,

Замечание. Если функция непрерывна на интервале , то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения. В частном случае, если дифференцируемая функция на интервале имеет лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (или наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (или минимумом) этой функции. Например, на интервале функция имеет один минимум , следовательно, это и есть наименьшее значение функции . Заметим, что наибольшего значения данная функция на указанном интервале не имеет.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Ранее мы подробно изучали точки экстремума, нахождение которых во многом определяет структуру графика функции. Определим теперь другие «узловые» точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить ее график.

Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 8.15а. Эта функция возрастает на всей числовой оси и не имеет экстремумов. Очевидно, однако, ее отличие от функций, изображенных на рис. 8.156 и 8.15в. В точках график как бы «перегибается». Поэтому такие точки называются точками перегиба, к строгому определению которых мы и переходим.

Прежде всего определим различие поведения функции по разные стороны от точек

Определение 1. Функция называется выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 8.16. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком (см. рис. 8.16а), если — выпукла вверх, то весь такой отрезок целиком лежит под графиком функции (см. рис. 8.166).

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (см. рис. 8.17а, б). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Используя условия монотонности, мы можем определить следующее достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

 Если , возрастает на промежутке X, следовательно, на основании предыдущей теоремы функция выпукла вниз на промежутке X. Аналогично рассматривается случай

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла на промежутке X, то можно утверждать лишь, что (или Например, функция выпукла на всей

числовой оси, хотя вторая производная не всюду положительна: при

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е..

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Нужно иметь в виду следующую геометрическую интерпретацию точек перегиба (см. рис. 8.18).

В окрестности точки функция выпукла вверх и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки , на которой функция выпукла вниз, картина обратная — график лежит выше касательной. В точке же перегиба касательная разделяет график — он лежит по разные стороны касательной.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1°. Найти вторую производную функции .

2°. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

3°. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4°. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример №10

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение:

1°. (см. пример 8.7). 2°.

3°. на интервалах , следовательно, на этих интервалах функция выпукла вниз; на интервале , следовательно, функция на нем выпукла вверх, а есть точки перегиба.

4°. Значения функции в точках перегиба

Асимптоты графика функции

В предыдущих параграфах мы изучали характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими из них являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рис. 8.20а изображена вертикальная асимптота, на рис. 8.206 — горизонтальная асимптота, а на рис. 8.20в — наклонная. Очевидно, этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при (слева) или при

(справа) равен бесконечности, т.е. или Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Очевидно, что прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке , так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения , если — конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Замечание. Если конечен только один из пределов

, то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Если — наклонная асимптота, то очевидно, что и тем более Поэтому . Теперь из равенства , учитывая, что — конечное число, получаем:

Наклонная асимптота, так же как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Пример №11

Найти асимптоты графика дробно-линейной функции где

Решение:

Из области определения выпадает точка. Найдем пределы функции при .

В силу того, что не является корнем числителя, т.е. при числитель не стремится к нулю. Отсюда и прямая и является вертикальной асимптотой. Далее

Отсюда следует, что прямая является горизонтальной асимптотой. (Заметим, что ранее в § 4.5 уравнения асимптот дробно-линейной функции были найдены путем параллельного переноса осей координат в центр ее графика — равносторонней гиперболы.)

Так, например, асимптотами функции являются прямые (график функции приведен на рис. 4.24). ►

Пример №12

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Очевидно, график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных Найдем наклонную асимптоту.

Таким образом, наклонная асимптота графика функции имеет вид ►

Общая схема исследования функций и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему.

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность—нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения графика с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример №13

Исследовать функцию построить ее график.

Решение:

1°. Область определения

2°.Функция четная, так как , и ее график симметричен относительно оси ординат.

3°. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках . Так как пределы функции при (слева) и при (справа) бесконечны, т.е.

то прямая есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика также вертикальная асимптота.

4°. Поведение функции в бесконечности. Вычислим

В силу четности имеем также , т.е. прямая — горизонтальная асимптота.

5°. Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем при не существует при

Однако критической является только точка (так как значения не входят в область определения функции). Поскольку а при (рис. 8.21), то — точка минимума и — минимум функции. На интервалах функция убывает, на интервалах — возрастает.

6°. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем

Очевидно, что на интервале и функция выпукла вниз на этом интервале. на интервалах и на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек перегиба нет.

7°. Точки пересечения с осями. т.е. точка пересечения с осью ординат Уравнение решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс. График функции изображен на рис. 8.22. ►

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №14

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1°. Область определения

2°.Функция нечетная, так как и график ее симметричен относительно начала координат.

3°. Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных значениях .

4°. Поведение функции в бесконечности: В силу нечетности функции , т.е. прямая (ось абсцисс) — горизонтальная асимптота.

5°. Экстремумы и интервалы монотонности:

т.е. критические точки Знаки производной изображены на рис. 8.23.

Таким образом, есть точка минимума; — точка максимума и

Функция убывает на интервалах и возрастает на интервале

6°. Интервалы выпуклости и точки перегиба:

Знаки второй производной изображены на рис. 8.24.

Таким образом, функция выпукла вниз на интервалах и и выпукла вверх на интервалах

— точки перегиба.

7°. Уравнение имеет единственное решение т.е. график функции пересекает оси в начале координат График функции изображен на рис. 8.25. ►

Пример №15

Найти пределы:

Решение:

а) Имеем неопределенность вида Вынося , придем к неопределенности вида

Далее применим правило Лопиталя:

После преобразования (рекомендуем их провести читателю) получим

так как степень старшего члена числителя (единица) ниже степени знаменателя (равного двум).

б) Имеем неопределенность вида Применим правило Лопиталя:

Пример №16

Капитал в 1 млрд. рублей может быть размешен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в При каких значениях вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?

Решение:

Пусть (млрд. рублей) инвестируется в производство, а — размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год станет равным а капитал, вложенный в производство: Издержки составят , т.е. прибыль от вложения в производство Налоги составят т.е. чистая прибыль окажется равной

Общая сумма через год составит:

, и требуется найти максимальное значение этой функции на отрезке Имеем

т.е. согласно второму достаточному условию экстремума — точка максимума.

Чтобы принадлежало отрезку необходимо выполнение условия

Таким образом, если то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если то можно показать, что при

т.е. вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты. ►

Пример №17

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1°. Область определения функции задается системой

решение которой отрезок

2°.Функция общего вида — ни четная, ни нечетная.

3°.Вертикальные асимптоты. Функция непрерывна на всей области определения. Граничными точками области определения являются точки

т.е. вертикальных асимптот нет.

4°. Поведение функции в бесконечности. Так как функция не определена при понятие горизонтальной или наклонной асимптоты для нее не имеет смысла.

5°. Экстремумы и интервалы монотонности.

т.е. критическая точка Заметим, что на интервале это единственная критическая точка.Знаки производной указаны на рис. 8.26.

Таким образом, — точка максимума функции и

6°. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Получим после преобразований (рекомендуется читателю найти самостоятельно)

Очевидно, что при величина положительна, т.е. и функция выпукла вверх на всей области определения. Точек перегиба нет. График функции изображена рис. 8.27. ►

Пример №18

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1°. Область определения —

2°. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как

3°. Вертикальных асимптот нет, так как функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел.

4°. Поведение функции в бесконечности:

Следовательно, горизонтальных асимптот функция не имеет. Найдем наклонные асимптоты:

(так как после упрощения в числителе старший член в знаменателе фактически ). есть наклонная асимптота.

5°. Экстремумы и интервалы монотонности:

— не существует при т.е. критические точки Знаки производной указаны на рис. 8.28.

Таким образом, — точка максимума и — точка минимума и не является точкой экстремума.

6°. Интервалы выпуклости и точки перегиба. После преобразований получим

т.е. нигде не обращается в нуль и не существует в точках Знаки указаны на рис. 8.29. Таким образом, интервалы выпуклости вниз интервал выпуклости вверх а — точка перегиба.

7°. Точки пересечения с осями. следовательно, ось ординат пересекает график в точке Уравнение имеет два решения Следовательно, график пересекает ось абсцисс в двух точках График функции изображен на рис. 8.30.

Обратим внимание на то, что в точке экстремума и в точке перегиба х = 3 соответственно первая и вторая производные не обращаются в нуль — они не существуют в этих точках. ►

Приложение производной в экономической теории

Рассмотрим некоторые примеры приложения производной в экономической теории. Как мы увидим, многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем, сформулированных в настоящей главе.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска является оптимальным для производителя, если где — предельные издержки, a — предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за Тогда Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска , при котором функция имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке Но поэтому

Другое важное понятие теории производства — это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Получим это утверждение как следствие теоремы Ферма.

Средние издержки определяются как т.е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции т.е. при условии

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов — закон убывающей доходности — звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина — приращение ресурса, а — приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция ,выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности где — количество товара, a — полезность. Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей  и )

Пусть функции на некотором отрезке  удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х = с этого отрезка, т.е.

Отношение не определено при х = с, но имеет вполне определенный смысл при значении Следовательно, может быть поставлен вопрос о разыскании предела этого отношения при Вычисление пределов такого типа называется обычно «раскрытием неопределенностей вида ».
Неопределенная ситуация складывается также, если В этом случае для вычисления предела отношения    при называется
«раскрытием неопределенностей вида ».
 

Правило Лопиталя. Пусть функции на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль или бесконечность х = с этого отрезка, тогда вычисление предела отношения этих функций при можно заменить вычислением предела отношения их производных

Замечание. Следует избегать распространенной ошибки, когда правая часть читается не как отношение производных, а как производная частного.
Следствие. Если отношение  вновь приводит к
неопределенностям типа  то следует повторно воспользоваться
правилом Лопиталя и т.д. Таким образом, вычисление предела может при повторных появлениях неопределенностей тех же типов выглядеть так:

Замена отношения производных на отношение производных более высокого порядка продолжается до тех пор, пока не исчезнет неопределенность.
 

Пример №19

Найти предел
 

Решение:

Имеем неопределенность типа  Воспользуемся правилом Лопиталя

Вновь получаем неопределенность типа  Продолжаем использование правила Лопиталя 

Подставляя значение х = 3, получаем

Ответ:

Пример №20

Найти предел функции 
 

Решение:

В примере встретилась неопределенность 
Для нахождения предела воспользуемся дважды правилом Лопиталя :

Ответ:
 

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

При изучении различных экономических процессов практически всегда удается установить функциональную связь между величинами или параметрами, характеризующими исследуемые процессы. Эта функциональная зависимость выражается аналитически в виде одной или нескольких формул. Одно из самых важных назначений дифференциального исчисления - это применение его к исследованию функций, т.е. к характеристике поведения функции при изменении независимой переменной.
 

Возрастание и убывание функции

Определение 1. Функция f(х) называется возрастающей в точке если в некоторой -окрестности этой точки при любом положительном

Определение 2. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке если для любых на этом отрезке
Аналогично определяется убывание функции в точке и на отрезке.

Теорема.    1) Если функция f(х), имеющая производную на отрезке

 возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке не отрицательна, т.е.

2)    если функция f(х) непрерывна на отрезке  и дифференцируема

в промежутке , причем то эта функция возрастает на отрезке

3)    если функция f(х) непрерывна на отрезке  не изменяется (есть константа), то производная f'(х) = 0.

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы

Пусть f(х) возрастает на отрезке Придадим аргументу приращение и рассмотрим отношение

Так как f(х) возрастающая, то

В обоих случаях знаки числителя и знаменателя рассматриваемого отношения одинаковы, следовательно, в обоих случаях В итоге

Докажем вторую часть теоремы.

Пусть f'(х)>0 при всех значениях х, принадлежащих промежутку
Рассмотрим два любых значения принадлежащих промежутку.

По теореме Лагранжа имеем но по условиям теоремы f'(с)>0, следовательно а это означает, что f(х) - возрастающая функция.

Отсюда следует, что знак производной функции свидетельствует о её возрастании или убывании на данном промежутке. Поэтому имеет смысл говорить об интервалах возрастания и убывания функций.

Третья часть теоремы очевидна - если f(х)- константа, то ее производная равна нулю: f'(х) = 0.

Пример №21

Определить области возрастания и убывания функции

Решение:

Найдем производную данной функции и определим интервалы, в которых производная положительна и отрицательна.

Очевидно, что производная положительна при х>0 и отрицательна при х<0. Следовательно, исследуемая функция является возрастающей на интервале и убывающей на интервале
 

Экстремум функции

Особую роль в исследовании функций играют значения х, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или интервал убывания от интервала возрастания функции.

Определение. Точка называется точкой максимума функции f'(х), если есть наибольшее значение функции f(х)в некоторой окрестности точки Определение. Точка называется точкой минимума функции f(х), если

есть наименьшее значение функции f(х) в некоторой окрестности точки

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1. (необходимое условие существование экстремума).

Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет в точке максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е.

Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум и минимум.

Например, функция  (рисунок 4.4) имеет в точке х = 0 производную равную нулю, но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв.

Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль f’(x) = 0 или терпит разрыв (f'(х) не существует), называют критическими точками. (Не всякая критическая точка является точкой экстремума).

Теорема 2. (достаточные условия существование экстремума).

Пусть функция y = f(x) непрерывна в некоторой точке и производная функции в этой точке равна нулю. Тогда:

1. если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум;
2. если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс, то при функция имеет минимум;
3. если при переходе слева направо через эту точку производная не меняет знака, значит в этой точке нет локального экстремума.

Точку в которой производная функции обращается в нуль называют стационарной точкой. Точки, в которых не существует, называют критическими точками. (Не всякая критическая точка является точкой экстремума).

Пример №22

Исследовать на наличие локальных экстремумов функцию

Решение:

Найдем производную функции

Очевидно, что (критические точки).

Проанализируем полученные точки в таблице 4.1.

Анализ функции  Таблица 4.1

Итак, производная меняет знак при переходе слева направо через точки х = — 2 с минуса на плюс, значит в этих точках график функции имеет локальные минимумы. При переходе слева направо через точку х = 0 производная меняет знак с плюса на минус, значит в этой точке функция имеет локальный максимум.

Вычислим точки локальных экстремумов:

Выполним построение графика данной функции:

Рисунок 4.2 - График функции 
Ответ: минимумы в точках (-2;-9) и (3;-40,25) и максимум в точке (0;7).

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке

Если функция f(х) непрерывна на отрезке то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения.

Наибольшее и наименьшее значение функции может быть достигнуто как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на фиксированном отрезке изменения аргумента, необходимо:

1. Найти производную функции 
2. Найти критические точки, в которых f'(x) = 0 или не существует.
3. Найти значения функции на концах отрезка.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее из всех найденных значений.

Пример №23

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 на интервале (-3;4,25), которая была ранее исследована на наличие экстремумов в примере 40.

Решение:

Так как минимумы и максимумы на данном интервале уже найдены (см. пример 40), вычислим значения функции на концах интервала:

Для наглядности запишем полученные значения в таблицу 4.2.
Анализ наибольших и наименьших значений функции Таблица 4.2

Из таблицы видно, что данная функция на интервале (-3;4;25) имеет наибольшее значение у = 13,75 при х = -3 и наименьшее значение у = -40,25 при х = 3.

Замечание. Если требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на фиксированном отрезке изменения аргумента, то необходимо:

1. Найти все максимумы и минимумы функции на отрезке.
2. Найти значения функции на концах отрезка.
3. Выбрать наибольшее и наименьшее из всех найденных значений.

Не следует путать, допустим, локальный максимум и максимальное значение функции на отрезке - последнее может быть на конце отрезка, где функция не имеет экстремума, а «принудительно» обрывается. Именно поэтому предусмотрен вышеприведенный пункт 2.

Выпуклость и вогнутость кривой

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на этом интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале  если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз - вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функции f(х) отрицательна, то кривая на этом интервале выпукла.

Теорема 2. Если во всех точках интервала вторая производная функции f(х) положительна, то кривая на этом интервале вогнута.

Точки перегиба

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой части, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба). Пусть кривая определяется уравнением у= f(х). Если  не существует и при переходе через значение х = а вторая производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а есть точка перегиба.

Примем данную теорему без доказательства.

Пример №24

Определить точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции

Решение:

Найдем вторую производную функции и её корни

Проверив изменение знака второй производной при переходе через критические точки выясняем, что данные точки являются точками перегиба, причем при  при Вычислим значения функции в точках перегиба, получаем точки на графике (-2;-36) и (1; -12).

Ответ: Точки перегиба (-2;-36) и (1;-12).Кривая вогнута на интервалах выпукла на интервале (-2;1). На рисунке 4.3 хорошо видны интервалы выпуклости и вогнутости функции

Рисунок 4.3 - Точки перегиба функции

Асимптоты

Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой у = f(x), если расстояние от точки М, лежащей на этой кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность.

Различают три вида асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Горизонтальные асимптоты. Если существует предел то прямая у = А является горизонтальной асимптотой кривой у = f(x).

Вертикальные асимптоты. Если существует хотя бы один из пределов

 то прямая х = А является вертикальной асимптотой кривой у = f(x).

Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
или

то прямая у = kх + b является наклонной асимптотой кривой Заметим, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при k=0.
 

Пример №25

Найти асимптоты кривой
 

Решение:

1. Горизонтальные асимптоты:  значит горизонтальных
асимптот нет.

2. Вертикальные асимптоты: кривая имеет вертикальную асимптоту х = 3, так как
3. Наклонные асимптоты:

Следовательно, кривая имеет наклонную асимптоту у = 2х + 6.
На рисунке 4.4 изображены вертикальная х = 3 и наклонная у = 2х + 6 асимптоты функции

Рисунок 4.4 - Асимптоты графика функции 

Общий план исследования функций и построения графиков

1. определение области существования функции;
2. нахождение точек пересечения графика функции с осями координат (если это не вызывает затруднений);
3. выяснение вопроса о четности и нечетности функции;
4. определение точек разрыва функции;
5. нахождение асимптот графика функции;
6. нахождение точек экстремумов;
7. нахождение интервалов возрастания и убывания функции;
8. нахождение точек перегиба;
9. определение областей выпуклости и вогнутости;
10. построение графика.

Замечание 1. Если функция исследуется на определенном интервале, то при необходимости следует найти максимальные и минимальные значения функции.

Замечание 2. Если исследуемая функция четная, то достаточно построить её график при положительных значениях аргумента. График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось симметрии). Если исследуемая функция нечетная, то достаточно построить её график при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен начала координат (центр симметрии).

Замечание 3. Все области экономической теории и практики в определенной, иногда значительной, мере используют графическое представление функциональных зависимостей.

Пример №26

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение:

1.    Область определения функции - все множество действительных чисел; т.е. нет точек разрыва функции, нет вертикальных асимптот.

2.    Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная:

3.    Функция непериодическая.

4.    Пересечение с осями координат.

OY: Точка (0,0)- начало координат.

ОХ:
Точки пересечения с осью ОХ: (0,0) и (-3,0).

5.    Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Исследуем наклонные асимптоты:
т.к. предел не существует, следовательно нет наклонных асимптот.

6.    Точки экстремума:

Получены точки экстремума: (-1;-4) и (-3;0).

7.    Сведем все полученные данные в таблицу 4.3 и заполним ее.
Таблица 4.3

На участках: функция возрастает.

На участке (-3;-1) функция убывает.

8.    Точки перегиба, Точка перегиба (-2;-2). График выпуклый на участке: вогнут-на участке:

Рисунок 4.3 - График функции