Производные высших порядков - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Пусть функция y=f(x) дифференцируема

Пример:

Решение:

Пример:

Найти k-ю производную функции .
 

Решение:

Пример:

Найти  для функции y=y(x), заданной неявно: 

Решение:

Пусть функция y=y(x) задана параметрически в виде
Пусть x(t) и y(t) дважды дифференцируемы и . Тогда (см. п. 7.2)

первая производная функции y=y(x).
Рассуждая аналогично п. 7:  - вторая производная функции (10.1)

При этом поэтому формула (10.1) перепишется в виде

 

Пример:

Найти  для функции y=y(x), заданной параметрически в виде 

 

Решение:

По формуле (7.3)

Далее, по формуле (10.1)

Теорема 10.1. Пусть Функции n раз дифференцируемы, тогда
(10.2)
(10.3)
формула Лейбница, где  в частности: 

Пример:

Решение:

По формуле (10.3):

остальные слагаемые равны 0.
Далее поэтому

 

Определение 10.2. Пусть функция y=f(x) дифференцируема и – ее дифференциал. Зафиксируем dx и будем рассматривать dy как функцию одной переменной х. Дифференциал от дифференциала dy функции y=f(x) будем называть вторым дифференциалом этой функции и обозначать . Таким образом:

Аналогично 
Преобразуем формулы (10.4) и (10.5):
То есть
При вычислении приращение независимой переменной берем
равным первоначальному приращению dx.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

.
 

Решение:

Свойство инвариантности верное для первого дифференциала не выполняется для второго.

Например, для функции  из примера 10.6 имеем 

Тогда для первого дифференциалано

Таким образом 

Если u=u(x), то для функции верна формула
Если функции n раз дифференцируемы, то для  верны формулы, аналогичные формулам (10.2), (10.3).
В частности: