Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Одночлены

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен

Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб — третьей степенью.

Соответственно произведение обозначают и называют четвертой степенью числа . В выражении число называют основанием степени, число — показателем степени, а все выражение называют степенью.

Определение:

Степенью числа с натуральным показателем , большим 1, называют произведение множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .

Степень с основанием и показателем записывают так: , читают: « в степени », или «-ая степень числа ».

Итак, по определению

Выясним знак степени с натуральным показателем.

1. тогда — любая натуральная степень числа 0 равна 0.
2. , тогда — любая натуральная степень положительного числа есть положительное число.
3. тогда . Степень отрицательного числа с четным показателем является положительным числом, поскольку произведение четного количества отрицательных чисел положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является отрицательным числом, поскольку произведение нечетного количества отрицательных чисел отрицательно.

Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью микрокалькулятора. Вычислить, например, значение можно по схеме:

или по более удобной схеме:

Получим значение степени: 1838,265625.

Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним, что если выражение без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, а потом — низшей. Так, чтобы найти значение выражения , действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.

Примеры выполнения заданий:

Пример №110

Вычислить

Решение:

Выполняя вычисления, можно:

а) записывать каждое действие в отдельности:

б) записывать вычисления в строчку:

Ответ. 496.

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведения двух степеней с основанием . Учитывая, что , получим:

Следовательно, В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Таким свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и справедливо равенство Доказательство. Учитывая определение степени, получаем:

Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, следует правило умножения степеней:

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Например:

Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим равенство , где Из этого равенства по определению частного имеем: Равенство можно переписать так:

В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 2. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и , где , справедливо равенство:

Доказательство. Поскольку то есть , то по определению частного имеем:

Из доказанного свойства следует правило деления степеней:

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например:

Возведение степени в степень

! Возведем степень в куб:

Итак, Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в куб, нужно оставить то же основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 3. Для любого числа и произвольных натуральных чисел и справедливо равенство

Доказательство.

Из свойства 3 следует правило возведения степени в степень:

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.

Например:

Возведение произведения в степень

Возведем произведение в куб:

Итак, . Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 4. Для любых чисел и и произвольного натурального числа справедливо равенство

Доказательство.

Имеем такое правило:

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например:

Примечание. Доказанные тождества выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, которые стоят в их левых частях, выражениями, которые стоят в правых частях, но и наоборот:

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №111

Упростить выражение

Решение:

Пример №112

Вычислить:

Пример №113

Представить в виде степени с основанием

Решение:

Пример №114

Представить в виде степени произведение

Решение:

Одночлен и его стандартный вид

Рассмотрим две группы выражений:

Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?

Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами. В общем виде одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней.

Выражения второй группы не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения или вычитания.

Рассмотрим одночлен Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени разных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, находящийся на первом месте, ч степени разных переменных.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена равен Считают, что коэффициенты одночленов и соответственно равны 1 и -1, поскольку и

Одночлен не является одночленом стандартного вида, поскольку содержит две степени с основанием . Умножив на этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида:

Умножение одночленов

Перемножим одночлены Используя свойства умножения и свойства степени, получим:

-3а2Ь • 4aby = (-3 • 4) • (а2а) • (ЬЬг) = -12аъЬ\

Итак, произведением одночленов -Ъа2Ь и 4аЬъ является одночлен -12а3Ь*. Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.

Возведение одночлена в степень

Возведем одночлен -5а2Ь в куб. Используя свойства степени, получим:

Итак, кубом одночлена является одночлен Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.

Степень одночлена

В одночлене сумма показателей степеней вcex переменных равна Эту сумму называют степенью одночленa, говорят, что — одночлен шестой степени.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю.

Например: — одночлен девятой степени; — одночлен второй степени; — одночлен первой степени; — одночлен нулевой степени.

Примеры выполнения заданий:

Пример №115

Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №116

Представить одночлен в виде:

а) произведения двух одночленов стандартного вида;

б) произведения двух одночленов, одним из которых является

в) квадрата одночлена стандартного вида.

Решение:

Интересно знать

Понятие степени с натуральным показателем возникло в античные времена в связи с вычислением площадей и объемов. Толкование степеней и было геометрическим: — это площадь квадрата со стороной , — объем куба с ребром . Отсюда и названия «квадрат» и «куб» для степеней и , которые используют и сейчас. К сожалению, такая геометрическая привязка в те времена стала тормозом для развития алгебры. Степени («квадрато-квадрат»), («кубо-квадрат») и т. д. остались как бы «вне закона», поскольку не имели соответствующей геометрической основы.

Только в XVII в. французский математик Рене Декарт (1596-1650) дал геометрическое толкование произведения любого числа множителей после чего и произведение приняло «официальный статус».

Декарт же ввел и современное обозначение степени с натуральным показателем в виде