Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Содержание:

Непрерывные функции и их свойства

Определение непрерывной функции

Всюду далее будем считать, что вещественнозначная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Определение 3.1. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияназывается непрерывной в точке a из X, если для любой окрестности UНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) найдется такая окрестность Ua точки a, что образ множества Ua Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияX при отображении Непрерывные функции и их свойства с примерами решениясодержится в UНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) .

В логической символике это определение записывается так:

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке a ∈ X ⇔ ∀UНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) ∃ Ua : Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(Ua X) ⊂ UНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(a).

Поскольку под окрестностью конечной точки мы понимаем симметричную окрестность, то это определение равносильно следующему:

Определение 3.2 ( по Коши ). Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения называется непрерывной в точке a ∈ X , если для любого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех x ∈ X, удовлетворяющих условию |x - a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, выполняется неравенство |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.

В логической символике последнее определение можно записать так: функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке a ∈ X ⇔
(∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ X, |x - a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.)

Замечание 1. Свойство непрерывности функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения изучается в любой точке a ∈ X , в то время как предел — в предельной точке a множества X , которая может не принадлежать X .

Замечание 2. В определении непрерывной функции в точке a рассматриваются образы всех точек множества XНепрерывные функции и их свойства с примерами решенияUa , а в определении предела функции — образы точек из XНепрерывные функции и их свойства с примерами решенияUa , отличных от a.
Если a ∈ X , но не является предельной точкой множества X , то ее называют изолированной точкой множества X . Ясно, что функция непрерывна в каждой изолированной точке области определения.

Поскольку Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) принадлежит каждой окрестности UНепрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) , то, учитывая определение предела функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке a, получаем следующее определение, равносильное предыдущим.

Определение 3.3. Пусть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения: X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, a ∈ X , a — предельная точка множества X . Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения называется непрерывной в точке a, если существует предел функции в точке a и он равен значению функции f в точке a.

Учитывая представление функции, имеющей в точке конечный предел, получаем: непрерывность функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке a означает, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения имеет представление Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) + o(1), x → a.

Наконец, используя определение предела функции по Гейне, получаем определение, равносильное предыдущим

Определение 3.4 (по Гейне). Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения называется непрерывной в точке a ∈ X, если для любой последовательности {xn} элементов множества X, сходящейся к a, соответствующая последовательность {Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (xn)} образов сходится к Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a).

Замечание. По сравнению с определением Гейне предела функции в определении 3.4 непрерывности функции снято требование, обязывающее все элементы последовательности {xn} быть отличными от a. (В случае, когда a — изолированная точка множества X , все элементы xn , начиная с некоторого, равны a.)

Определение 3.5. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения называется непрерывной на множестве X , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Совокупность вещественнозначных функций, непрерывных на множестве X , обычно обозначается символом C(X).
Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 3.1. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = C, x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, непрерывна на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.
Действительно, для любой точки a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, для ∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| = 0. Поэтому ∀ε > 0∀δ > 0 имеем:
|x - a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.

Последнее означает непрерывность функции в точке a, а значит и на множестве R.

Пример 3.2. Если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = x, ∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C (Непрерывные функции и их свойства с примерами решения).
Зафиксируем произвольную точку a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и число ε > 0. Так как

|Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| = |x - a|, ∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,

то, полагая δ = ε, получим|x

- a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.

Поэтому Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке a и непрерывна на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Пример 3.3. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = sinx непрерывна на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.
Для любых a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения=Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Поэтому для любого ε > 0 положим δ = ε и получим, что, как только |x-a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, так | sin x - sin a| ≤ |x - a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ = ε.

Аналогично доказывается непрерывность функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = cos x.

Пример 3.4. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = |x| непрерывна на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.
Поскольку для любых a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,

то, как и в предыдущих примерах, достаточно положить δ = ε, чтобы доказать непрерывность функцииНепрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке a, а значит на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

К точкам разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения следует отнести те точки множества X , в которых функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения не является непрерывной. Однако такое определение целесообразно уточнить следующим образом.

Определение 3.6. Точка a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения называется точкой разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, если либо a ∈ X , но Непрерывные функции и их свойства с примерами решения не является непрерывной в ней, либо a 6 Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияX , но является двусторонней предельной точкой множества X .

Заметим, что иногда к точкам разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения относят не только двусторонние, но и односторонние предельные точки множества X , которые не принадлежат X .

Учитывая определение 3.6 и определение непрерывной функции в точке a, заключаем, что a из X является точкой разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, если

∃UНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) :∀Ua ∃x∈XНепрерывные функции и их свойства с примерами решенияUa :Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Uf(a)
или
∃ε > 0 : ∀ δ > 0 ∃x ∈ X, |x - a| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ : |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| ≥ ε.

Иными словами, предельная точка a множества X , принадлежащая X , является точкой разрыва функцииНепрерывные функции и их свойства с примерами решения , если либо не существует предела функции f в точке a, либо он существует, но отличен от значения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке a.

Пример 3.5. Пусть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : Непрерывные функции и их свойства с примерами решения\{0} → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Точка a = 0 не принадлежит области определения функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения , но является для нее двусторонней предельной. Поэтому a = 0 — точка разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Пример 3.6. Рассмотрим функцию

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Поскольку каждая точка a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0 обладает окрестностью, в которой функция sgn x постоянна, то функция непрерывна в точке aНепрерывные функции и их свойства с примерами решения 0. Далее, на последовательности {xn} : xn=Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, функция принимает значения sgn xn = (-1)n, n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Учитывая, что xn → 0 и не существует предел последовательности {sgn xn}, заключаем, что рассматриваемая функция терпит разрыв в точке a = 0.

Определение 3.7. Пусть a — точка разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, a – двусторонняя (или односторонняя) предельная точка множества X . Точку a называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние (или соответствующий односторонний) пределы функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке a.

Определение 3.8. Если a — точка разрыва первого рода функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и в ней существует предел функции, то точку a называют точкой устранимого разрыва.

Если a — точка устранимого разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения = A, то функция 
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

непрерывна в точке a.

Лемма 3.1. Если a — точка разрыва первого рода функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияи a — односторонняя предельная точка множества X , то она является точкой устранимого разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения .

Утверждение следует из предыдущего определения и теоремы о равносильности предела и одностороннего предела функции в односторонней предельной точке.

Определение 3.9. Если a — точка разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и в этой точке не существует или бесконечен хоть один из односторонних пределов функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то a называется точкой разрыва второго рода.

Из определений 3.7 и 3.9 получаем, что каждая точка разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, которая не является точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго рода.

Возвращаясь к примерам 5 и 6, замечаем, что, так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то a = 0 является точкой устранимого разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) =    , а так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, а так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения,  поэтому a = 0 является точкой разрыва первого рода функции sgn x.

Пример 3.7. Функция Дирихле

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
разрывна в каждой точке a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, поскольку не существует односторонних пределов Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a + 0), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a - 0), то есть любая точка a ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения есть точка разрыва второго рода функции D(x).

Теорема 3.1 (о точках разрыва монотонной функции). Монотонная на промежутке функция может иметь только точки разрыва первого рода.

Пусть для определенности функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения монотонна на (a, b]. Если x0 — точка разрыва функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то либо x0 ∈ (a, b), либо x0 = b. По следствию из теоремы о пределе монотонной функции существуют конечные односторонние пределы Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x0 - 0), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x0 + 0), если x0 ∈ (a, b) и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x0 - 0) если x0 = b. Следовательно, x0 — точка разрыва первого рода.

Часто бывает полезно понятие односторонней непрерывности функции в точке.

Определение 3.10. Пусть a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X и a ∈ X . Говорят, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, определенная на X, непрерывна в точке a слева (справа), если существует предел Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a - 0) (соответственно Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a + 0)) и он равен значению функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке a.

Используя определения Коши и Гейне для одностороннего предела функции, можно получить соответствующие определения односторонней непрерывности функции в точке.

Например, если a — левосторонняя предельная точка X, a ∈ X , то функцию Непрерывные функции и их свойства с примерами решения: X ⊂ Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения называют непрерывной в точке a слева, если ∀{xn} : xn ∈ X, xn Непрерывные функции и их свойства с примерами решения a, xn → a ⇒ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(xn) → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a).

Замечание. В односторонней предельной точке, принадлежащей области определения функции, понятия односторонней непрерывности и непрерывности функции совпадают. Если же рассматриваемая точка является двусторонней предельной, то функция непрерывна в ней тогда и только тогда, когда она непрерывна и слева, и справа.

Пример 3.8. ПустьНепрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = [x] ([x] — целая часть числа x). Фиксируем произвольную точку a из Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Если a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то существует целое число n0 , такое, что n0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения n0 + 1. Поэтому найдется окрестность Ua точки a такая, что Ua ⊂ (n0, n0 + 1). Следовательно, ∀ x ∈ Ua Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = n0 = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) и функцияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке a. Если же a = n0Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то согласно примеру 17 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (n0 - 0) = n0 - 1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения (n0), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (n0 + 0) = n0 = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (n0). Следовательно, функция f в точке n0 ∈ Z терпит разрыв первого рода и является непрерывной в ней справа.

Локальные свойства непрерывной функции

Теорема 3.2. Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения: X → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке a, то она локально ограничена в ней. Если, кроме того, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0, то найдется такая окрестность Ua точки a, что
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0, sgn Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = sgn Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a), ∀x ∈ X\Ua.

Если a — изолированная точка множества X , то утверждения очевидны. Если же a — предельная точка множества X , то утверждения следуют из соответствующих локальных свойств функции, имеющей в точке конечный пределНепрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Теорема 3.3. Если функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, определенные на множестве X, непрерывны в точке a, то функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ± Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, f · Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и, если  (a) 6= 0,    непрерывны в  точке a.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 3.2.

Теорема 3.4. Пусть функцияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Y имеет конечный предел в точке a, lim Непрерывные функции и их свойства с примерами решения = b, b ∈ Y , функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : Y → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке b. Тогда a существует предел суперпозиции функций Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения , при этом lim Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b). 

Фиксируем произвольную последовательность
{xn}: xn ∈ X, xn Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияa, xn→ a.

Поскольку Непрерывные функции и их свойства с примерами решения: X → Y и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения = b, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (xn) ∈ Y, n ∈Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(xn) → b. Обозначим a yn = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (xn). Тогда последовательность {yn} обладает свойствами: yn ∈ Y, ∀n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, yn → b. По условию функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решениянепрерывна в точке b, поэтому Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(yn) → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b). Следовательно, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ◦ f (xn) → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b), и, по определению Гейне предела функции, существует предел Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ◦ f = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b).

Cледствие. Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → Y непрерывна в точке x0, а функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : Y → R непрерывна в точке y0 = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x0), то функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке x0 .

Из теорем 3.3 и 3.4 и примеров 2, 3 следует, что многочлен 

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,

является непрерывной на множестве Непрерывные функции и их свойства с примерами решения функцией, а рациональная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения , где P (x) и Q(x) — многочлены, непрерывна в своей области определения.

Глобальные свойства непрерывных функций

Описательно говоря, глобальными называются свойства, справедливые в области определения функции.

Теорема 3.5. Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна на множестве X и X1 ⊂ X, то сужение Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1 — непрерывная функция на X1.

Пусть a — некоторая точка множества X1 . Так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C(X), то

∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ X Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Ua(δ) ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.

Поэтому ∀x ∈ X1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияUa(δ) ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε, то есть

∀x ∈ X1Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияUa(δ) ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения|x1(x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения|x1(a)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε,

Это означает непрерывность Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1 в точке a и то, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1 ∈ C(X1).

Замечание. Из того, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1 непрерывна в точке x0, не следует непрерывность функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в ней. Чтобы подтвердить это, рассмотрим пример.

Пример 3.9. Функция Дирихле, рассмотренная в примере 7, терпит разрыв в каждой точке x0Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, однако, функции D |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения , D |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения является непрерывными в каждой точке их области определения.

Теорема 3.6 (Больцано-Коши о промежуточном значении). Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна на отрезке [a, b] и на концах его принимает различные значения, то есть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b), то для любого числа C, находящегося между Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b), найдется такая точка γ ∈ (a, b), что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(γ) = C.

Для определенности будем считать, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b). Фиксируем произволь­ное число C такое, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b).

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой α1. Может случиться, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1) = C. Тогда задача решена и в качестве γ возьмем α1 . Если же Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C, то из двух полученных отрезков выбираем тот, обозначим его [a1 , b1], на концах которого выполняются условия Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a1) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b1). Такой отрезок обязательно существует: [a1 , b1] = [α1 , b], если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C, и [a1 , b1] = [a, α1], если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (α1) > C.

Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой α2. Если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения2) = C, то γ = α2 и задача решена. ЕслиНепрерывные функции и их свойства с примерами решения2) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C, то из полученных отрезков возьмем тот, обозначим его [a2, b2], для которого Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a2) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b2). Продолжая, в случае необходимости, этот процесс далее, либо на n0 шаге получим точку αn0 — се­редину [an0-1 , bn0-1], в которой Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияn0) = C, либо получим систему вложенных отрезков [an, bn], n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, таких, что bn - an=Непрерывные функции и их свойства с примерами решения при n → ∞, и
f(an)Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияCНепрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(bn), n∈Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (3.1)

В первом случае полагаем γ = αn0 , что приводит к решению задачи. Во втором случае по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка γ , принадлежащая всем отрезкам системы, такая что
lim an = lim bn = γ.

Поскольку γ ∈ [a, b], то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в ней и

lim Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (an) = lim Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (bn) = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(γ).ё

Переходя к пределу в неравенствах (3.1), получим Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(γ) = C. Так как γ ∈ [a, b] и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения C Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b), то γ ∈ (a, b).

Замечание 1. Доказательство теоремы дает алгоритм отыскания корня уравнения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = C на отрезке [a, b], если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна на отрезке [a, b] и число C находится между значениями Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a) и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b) функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения на концах отрезка [a, b].

Замечание 2. Теорема утверждает существование, но не единственность точки γ ∈ (a, b) такой, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(γ) = C.

Замечание 3. В теореме 3.6 нельзя опустить требование непрерывности функцииНепрерывные функции и их свойства с примерами решения на отрезке [a, b]. (В подтверждение можно рассмотреть функцию sgn x на отрезке [-1,1].)

Cледствие 1. Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна на отрезке [a, b] и на концах его принимает значения разных знаков, тo еcть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a) · Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0, то найдется такая точка γ ∈ (a, b), что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (γ) = 0.

Cледствие 2. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами P (x)    = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,

a∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,  k = 0, 1, 2, .., 2n - 1,    a2n-1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0,    n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,

имеет по меньшей мере один действительный корень.

Без ограничения общности можно считать a2n-1 = 1. Тогда
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

В силу определения бесконечно большой функции определенного знака, найдутся точки a и b из Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, такие что a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения b и P (a) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0, P (b) > 0. Поскольку P (x) ∈ C(Непрерывные функции и их свойства с примерами решения), то P (x) ∈ C ([a, b]) и по следствию 1 теоремы 3.6 получаем нужное.

Теорема 3.7 (1–ая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем.

Предположим, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C ([a, b]), но Непрерывные функции и их свойства с примерами решения не является ограниченной на отрезке [a, b]. Тогда
∀ n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∃ xn ∈ [a, b] : |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(xn)| > n.

По лемме Больцано-Вейерштрасса из полученной последовательности {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk }. ПустьНепрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Тогда γ ∈ [a, b] и по определению Гейне непрерывной функции

f(xnk) → f(γ) при k → ∞.

С другой стороны,
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(xnk)| > nk, ∀ k ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Следовательно, |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (xnk)| → +∞ при k → ∞. Полученное противоречие завершает доказательство.

Замечание 1. На промежутке, отличном от отрезка, утверждение теоремы 3.7, вообще говоря, неверно. Например, функцияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = 1/x непрерывна на промежутке (0, 1], но не ограничена на нем, поскольку Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1/x = +∞. x→+0

Замечание 2. С помощью теоремы 3.7 иногда удается доказать ограни
ченность функции, непрерывной на промежутке, отличном от отрезка. Например, рассмотрим функцию f(x) = e-1/x, ∀ x ∈ (0, 1]. Так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C((0, 1]) и Непрерывные функции и их свойства с примерами решения f(x) = 0, то функция 

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Теорема 3.9 (Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении). Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна на отрезке [a, b], то образ отрезка [a, b] при отображении Непрерывные функции и их свойства с примерами решения совпадает с отрезком [mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения , MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения], где

mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения = inf {Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) | x ∈ [a, b]}, MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения = sup{Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) | x ∈ [a, b]}.

По второй теореме Вейерштрасса существуют точки p, q ∈ [a, b] такие, что f (p) = MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (q) = mf . Пусть p Непрерывные функции и их свойства с примерами решения q и mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения . Поскольку Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C ([p, q]), то, применяя к функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения на отрезке [p, q] теорему Больцано-Коши о промежуточном значении, получаем, что [mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения, MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения] ⊂ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([a, b]). С другой стороны, по определениям точных верхней и нижней границ числового множества Непрерывные функции и их свойства с примерами решения([a, b]) ⊂ [mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения , MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения]. Следовательно, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([a, b]) = [mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения , MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения]. Если же mНепрерывные функции и их свойства с примерами решения = MНепрерывные функции и их свойства с примерами решения = M , то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = M, ∀x ∈ [a, b], а поэтому Непрерывные функции и их свойства с примерами решения([a, b]) = {M}.

Cледствие. Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна и не убывает (не возрастает) на отрезке [a, b], то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([a, b]) = [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b)] (соответственно, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([a, b]) = [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b), f (a)]).

Замечание 1. Если образом отрезка [a, b] при отображении Непрерывные функции и их свойства с примерами решения является отрезок Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([a, b]), то отсюда, вообще говоря, не следует, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения является непрерывной. Подтверждением служит функция

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

которая терпит разрыв в точке x = 0, однако Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([0, 1]) = [-1, 1].

Замечание 2. Можно доказать, что если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна и не убывает (не возрастает) на интервале (a, b), то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ((a, b)) = (A, B) (соответственно, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ((a, b)) = (B, A)), где

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна и не убывает (не возрастает) на промежутке [a, b), то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения([a, b)) = [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a), B) (соответственно, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ([a, b)) = (B, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a)]).

Предлагаем читателю доказать эти утверждения самостоятельно.

Теорема 3.10 (o непрерывности монотонной функции). Если функция f монотонна на промежутке X и множество Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (X) — промежуток, то функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна на X .

Для определенности считаем, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения не убывает и X = (a, b). Прежде всего, заметим, что в силу теоремы о пределе монотонной функции, в каждой точке x ∈ (a, b) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x - 0) ≤ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) ≤ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x + 0).

Доказательство теоремы проведём методом «от противного». Предположим, что существует точка c ∈ (a, b), в которой функция f терпит разрыв. Тогда выполняется хотя бы одно из двух неравенств

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c-0) Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения (c), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c+0).

Пусть, например,Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c - 0) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c). Поскольку
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c-0) = supНепрерывные функции и их свойства с примерами решения (x), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(c+0) = inf Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x), x∈(a,c)    x∈(c,b)

то на интервале (a, c) и (c, b) функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения не принимает значений, принадлежащих интервалу (Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (c - 0), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (c)). Но этого не может быть, так как множество Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ((a, b)) — промежуток. Следовательно, предположение неверно, то есть, функция f непрерывна на промежутке (a, b).

Cледствие. Если функция f монотонна на промежутке X , то следующие условия эквивалентны:
1)    функцияНепрерывные функции и их свойства с примерами решениянепрерывна на промежутке X ,
2)    Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(X) — промежуток.

Теорема 3.11 (о непрерывности функции, обратной к монотонной). Если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решениявозрастает (убывает) на отрезке [a, b] и непрерывна на нем, то ее обратная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 : [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b)] → [a, b] (соответственно, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 : [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a)] → [a, b] ) непрерывна.

Будем считать для определенности, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения возрастает на отрезке [a, b]. В силу следствия из теоремы 3.9, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения([a, b]) = [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b)]. По теореме о существовании обратной функции к монотонной существует функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 : [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b)] → [a, b], которая возрастает.

Наконец, по определению обратной функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 ([Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (a), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(b)]) = [a, b]. Тогда по теореме 3.10 функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 непрерывна на [Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(a), Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (b)].

Замечание. Аналогично, с учетом замечания 2 к теореме 3.9 можно доказать, что если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения возрастает (убывает) на промежутке X и непрерывна на нём, то обратная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке f (X).

Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 3.10. Пусть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = xn, n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, n ≥ 2, x ∈ [0, +∞). В этом случае степенная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = xn возрастает на промежутке [0, +∞) и непрерывна на нем. ПосколькуНепрерывные функции и их свойства с примерами решения xn = +∞, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(0) = 0, то по замечанию 2) к теореме 3.9 и x→∞
по теоремам 1.1, 3.11 существует обратная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 : [0, +∞) → [0, +∞), которая также возрастает и непрерывна. Её называют арифметическим корнем n–ой степени и обозначают x = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения .

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Графики (см.рисунок выше) функций y = xn и y = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Пример 3.11. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = sin x, x ∈ [-π/2, π/2] возрастает и непрерывна. Поскольку Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (±π/2) = ±1, то по теоремам 1.1, 3.9, 3.11 существует обратная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 : [-1, 1] → [-π/2, π/2], которая возрастает и непрерывна. Её называют функцией "арксинус"и обозначают arcsin. Следовательно, функция arcsin каждому числу x ∈ [-1, 1] ставит в соответствие такое число из отрезка Непрерывные функции и их свойства с примерами решения синус которого равен x.

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Графики (см. рисунок) функций y = sin x, x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и y = arcsin x, x ∈ [-1, 1] симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов. 

Замечание. Аналогично вводятся и рассматриваются непрерывная убывающая функция y = arccos x, которая действует из [-1, 1] в [0, π], и непрерывная возрастающая функция y = arctg x, которая действует из Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в (-π/2, π/2).

Показательная, логарифмическая и степенная функции

В школьном курсе алгебры и начал анализа определена степень ar числа a > 0 с рациональным показателем r, то есть на множестве Q рациональных чисел определена показательная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(r) = ar, выяснены некоторые ее свойства:
1)    ar > 0, ∀r ∈ Q,
2)    Непрерывные функции и их свойства с примерами решения возрастает на Q, если a > 1; Непрерывные функции и их свойства с примерами решения убывает на Q, если a ∈ (0, 1),
3)    ap · aq = ap+q, ∀p, q ∈ Q,
4)    (ap)q = ap·q, ∀p,q ∈ Q,
5)    (a·b)p=ap·bp, ∀p∈ Q,∀a > 0∀b> 0.

Докажем следующие утверждения.

Лемма 3.2. Если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : Q → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(r) = ar, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (r) = 1.

Для определенности будем считать a > 1. Так как
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

то ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : ∀n > N

|a1/n - 1| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε, |a-1/n - 1| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.

Пусть n0 ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и n0 > N . Тогда
1 - ε Непрерывные функции и их свойства с примерами решения a-1/n0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения a1/n0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1 + ε.

Следовательно, если δ =  Непрерывные функции и их свойства с примерами решения , то ∀ r ∈ (-δ, δ) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Q
1-ε Непрерывные функции и их свойства с примерами решения a-1/n0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ar Непрерывные функции и их свойства с примерами решения a1/n0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1+ε.

Иными словами, ∀ ε > 0 ∃δ =Непрерывные функции и их свойства с примерами решения> 0 : ∀r ∈ (-δ, δ) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Q справедливо неравенство |ar - 1| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε, что завершает доказательство.

Случай a ∈ (0, 1) рассматривается аналогично.

Лемма 3.3. Пусть a > 0, {rn} — сходящаяся последовательность рациональных чисел. Тогда последовательность {arn} сходится.

Для определенности будем считать, что a > 1.

Покажем, что числовая последовательность {arn} является фундаментальной. Заметим, что ∀n, m ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
|arn -arm| =arm|arn-rm - 1|.

Так как последовательность {rn} сходится, то существует такое рациональное число A, что rn ≤ A, ∀n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Следовательно, ∀n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
arn ≤ aA = B.

По лемме 3.2 ∀ ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀r ∈ (-δ, δ) Непрерывные функции и их свойства с примерами решения выполняется неравенство |ar-1|Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Из фундаментальности последовательности {rn} получаем:

∃N = N(δ) ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : ∀n > N, ∀m > N |rn -rm| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ.

Отсюда ∀n > N, ∀m > N
|arn -arm| =arm|arn-rm - 1| Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения =ε,
B что означает фундаментальность последовательности {arn}.

Определение 3.12. Пусть a > 0, x0Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, {rn} — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x0 . Положим
ax0 = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Лемма 3.4. Определение 3.12 корректно в том смысле, что величина предела Непрерывные функции и их свойства с примерами решения arn не зависит от выбора последовательности рациональных чисел {rn}, сходящейся к x0.

Пусть {rn/}, {rn//} — произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к x0. Согласно лемме 3.3 соответствующие последовательности {arn0}, {arn00} сходятся. Докажем, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Составим новую последовательность {rn} такую, что

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Ясно, что она сходится к числу x0. По лемме 3.3 последовательность {arn} сходится. Учитывая, что последовательности {arn/}, {arn//} являются подпоследовательностями последовательности {arn }, получим
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Замечание. Если x0 = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения — рациональное число, то величина степени ax0, найденная по определению 3.12, совпадает со значением ap/q в ранее известном из школьного курса алгебры смысле, поскольку среди последовательностей рациональных чисел, сходящихся к x0 = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения , есть последовательность
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Определение 3.13. Пусть a — некоторое положительное число и a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1.
Функцию, определенную законом

∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения → ax ,

называют показательной с основанием a.

Изучим некоторые свойства показательной функции.

Теорема 3.12. Если a > 1, то функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = ax возрастает на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Если же a ∈ (0, 1), то функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = ax убывает на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Докажем первую часть утверждения.
Фиксируем произвольные числа x1 , x2 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения такие, что x1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения x2 . По принципу
Архимеда существуют рациональные числа r1 , r2 такие, что x1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения r1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияr2 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения x2 .

Пусть {rn/}, {rn//} — последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2 , причем
rn/ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения r1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения r2 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения {rn// , ∀n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

По свойству 2 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел,
arn/ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ar1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ar2 Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияarn// , ∀n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Переходя в крайних неравенствах к пределу при n → ∞ и учитывая определение 3.12, получим
ax1 ≤ ar1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ar2 ≤ ax2 .

Итак,
∀x1 , x2Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : x1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения x2 ⇒ ax1 Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияax2 ,
что доказывает возрастание функции f(x) = ax на множестве Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, если a > 1.

Случай a ∈ (0, 1) рассматривается аналогично.

Теорема 3.13. Показательная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = ax на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения принимает только положительные значения.

Для определенности рассмотрим показательную функцию с основанием a > 1.

Пусть x0 — произвольное действительное число. По принципу Архимеда найдется целое число n0 такое, что n0 ≤ x0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения n0 + 1. В силу возрастания функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = ax, имеем:
an0 ≤ ax0

Но по свойству 1 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел, an0 > 0. Поэтому ax0 > 0.

Теорема 3.14. Показательная функцияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = ax непрерывна на множестве R действительных чисел.
Функция f монотонна на множестве Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, поэтому имеет конечные односторонние пределы в точке x = 0. Поскольку
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,

то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (+0) =Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (-0) = 1. Следовательно, существует предел

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

что означает непрерывность функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в точке x = 0.

Фиксируем теперь произвольную точку x0 Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 0 и произвольное число ε > 0. Заметим, что
|Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) -Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x0)| = |ax-ax0| = ax0|ax-x0 -1|.

Так как функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения непрерывна в точке x = 0, то
∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, |x - xo| Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияδ ⇒ |ax - 1| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 
Поэтому ∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : |x — x0| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ ⇒ |ax — ax0|Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ax0 . Непрерывные функции и их свойства с примерами решения= ε, что доказывает непрерывность функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения в произвольной точке x0 ∈ aНепрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Теорема 3.15. Если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = ax, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(Непрерывные функции и их свойства с примерами решения) = (0, +∞).

Для определённости будем считать, что a > 1. В силу теоремы 3.12 функция y = ax возрастает на Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Далее, существуют следующие пределы

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Но, как мы знаем, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Поэтому по теореме Гейне о пределе функции
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

По замечанию 2 к теореме 3.9 f (-∞, +∞) = (0, +∞).

Согласно теореме 3.11 о непрерывности обратной функции к монотонной на интервале, показательная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = ax имеет обратную Непрерывные функции и их свойства с примерами решения-1 : (0, +∞) → R, которая непрерывна, возрастает, если a > 1, и убывает, если a ∈ (0, 1). Её называют логарифмической с основанием a (a > 0, a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1) и обозначают loga : (0, +∞) → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. В случае, если a = e, логарифм называют натуральным и обозначают символом ln.

Определение 3.14. Пусть α — некоторое действительное число, отличное от нуля. Функция, которая каждому положительному x ставит в соответствие xα, называется степенной, α — её показателем.

Теорема 3.16. Степенная функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = xα непрерывна на интервале (0, +∞).

Утверждение следует из теоремы 3.4 о непрерывности суперпозиции функций, так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = eαlnx.
При α > 0 полагают 0α = 0 и доопределяют степенную функцию в точке x = 0, то есть при α > 0 считают, что степенная функция определена на множестве [0, +∞). При этом

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Следовательно, функция xα, α > 0, непрерывна на множестве [0, +∞).

Теорема 3.17. Пусть функции u(x) и v(x) определены и непрерывны на множестве X. Если u(x) > 0 для всех x ∈ X, то функция (u(x))v(x) непрерывна на X .

Утверждение, так как (u(x))v(x) = ev(x)lnu(x), ∀x ∈ X.

Некоторые замечательные пределы


Лемма 3.5. Если a > 0, a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Пусть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X = (-1, 0)∪(0, +∞) → Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Поскольку Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = loga(1 + x)1/x, ∀x ∈ X, (1 + x)1/x → e при x → 0 и функция loga x непрерывна в точке x = e, то

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Следствие 1. Если а > 0, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Следствие 2.  Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Лемма 3.6. Если a > 0, a Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 1, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения = ln a.
Положим ax  -1 = t, ∀x ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Тогда x = loga(1 + t) — непрерывная на множестве (-1, +∞) функция. Поэтому при t → 0, x(t) → 0 и

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Следствие. Если а > 0, а Непрерывные функции и их свойства с примерами решения1, то ax -1 ~ x ln а при x → 0

В частности, ex — 1 ~ x при x → 0.

Лемма 3.7. Если μ ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения∖{0}, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.
Утверждение верно, так как (1 + x)μ = eμ ln(1+x)

Следствие. Если μ ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения∖{0}, то (1 + x)μ - 1 ~ μx при x → 0. 

3.7 Равномерная непрерывность функции 

Определение 3.15. Функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → R называется равномерно непрерывной на множестве X , если для любого числа ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) > 0, что для любых точек x/ и x// из X таких, что |x/ - x// | Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, выполняется неравенство | Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияx/ ) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x// )| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.

С помощью символики это определение записывается так:

функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : X → R равномерно непрерывна на X ⇔
(∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀x/ , x// ∈ X, |x/ - x// | Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ ⇒ |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x/ ) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x//)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε.)

Очевидно, что если функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения равномерно непрерывна на множестве X , то она непрерывна на нем, то есть непрерывность — необходимое условие равномерной непрерывности. Однако непрерывность функции на множестве, вообще говоря, не влечет ее равномерной непрерывности на этом множестве, поскольку
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C(X) ⇔ ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0∃δ= δ(x0,ε) > 0 :
|Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x0)| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ε, ∀x ∈ X : |x - x0| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ.

В этом определении число δ зависит не только от ε, но и от точки x0 ∈ X .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.12. Покажем, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения равномерно непрерывна на множестве [1, +∞), но не является равномерно непрерывной на множестве (0, 1].

1)    Пусть X = [1, +∞). Для любых двух точек x/ и x// из [1, +∞)

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

Зафиксируем ε > 0 и положим δ = ε. Тогда

x/, x// ∈ [1, +∞) |x/ - x// | Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ ⇒ || (x/ ) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x// )| ≤ | x/ - x//| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ = ε.

Поэтому функция | равномерно непрерывна на множестве [1, +∞).

2)    Теперь покажем, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = — не является равномерно непрерывной на промежутке (0, 1], хотя и непрерывна на нём. В связи с этим запишем отрицание свойства равномерной непрерывности функции:
функция | : X → R не является равномерно непрерывной на X Непрерывные функции и их свойства с примерами решения|
∃ ε > 0 : ∀δ > 0 ∃ x/δ, x//δ ∈ X : |x/δ - x//δ | Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, но |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x/δ) - f(x//δ) |≥ ε.

Зафиксируем произвольно δ ∈ (0, 1). Пусть x/δ — произвольная точка из интервала (0, δ) ⊂ (0,1), а Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Тогда x/δ - x//δ∈ (0,1],
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Следовательно, для числа ε = 1 и для любого - > 0 ∃ x/δ, x//δ ∈ (0, 1] :

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения,
то есть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения не является равномерно непрерывной на промежутке (0, 1].

Пример 3.13. Покажем, что функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x) = sin — не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1), хотя является ограниченной и непрерывной на нем.

Для доказательства рассмотрим последовательность точек
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения​​

Очевидно, что xn ∈ (0,1), ∀n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, и xn → 0 при n → +∞. Поэтому

∀δ ∈ (0, 1), ∃n0 ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения : |xn| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, ∀n > n0.

Учитывая, что (xn) = sin Непрерывные функции и их свойства с примерами решения = (—1)n, получим, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Следовательно, ∃ ε0 = 2 : ∀ δ ∈ (0, 1), ∃ x/δ = xn, x//δ = xn+1 , n > n0 :

|x/δ- x//δ |= |xn- χn+1|Непрерывные функции и их свойства с примерами решенияδ, но |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x/δ)- Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x//δ )|≥ εo.

Это означает, что рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).

Пример 3.14. Докажем, что функцияНепрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = x2 не является равномерно непрерывной на множестве [1, +∞). 

Рассмотрим последовательность точек xn = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Очевидно, что xn ∈ [1, +∞), и

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

В то же время,  |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(xn) - Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (xn+1 )| = |n -(n+1) | = 1.
Так как Непрерывные функции и их свойства с примерами решения→ 0 при n → +∞, то n

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения 

значит, ∣xn — xn+1Непрерывные функции и их свойства с примерами решения Непрерывные функции и их свойства с примерами решения= Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ для n > n0. Пусть ε = 1, δ — произвольное положительное число. Положим x/δ = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, x//δ = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, n > n0. Тогда 

∀δ > 0∃x/δ,x//δ ∈ [1, +∞) : |x/δ - x//δ| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x/δ) - f(x//δ)| = 1 = ε.

Следовательно, функция Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x) = x2 не является равномерно непрерывной на [1, +∞).

Теорема 3.18 (Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.

Предположим, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения ∈ C ([a, b]), но не является равномерно непрерывной на отрезке [a,b]. Тогда cуществует ε0 > 0 такое, что для любого δ > 0 найдутся точки x/δ, x//δ ∈ [a, b], ∣x/δ — x//δ| Непрерывные функции и их свойства с примерами решения δ, но |f (x/δ) — f (x//δ)| ≥ ε0. Возьмем, например, последовательность чисел δn = Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, ∀ n ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Тогда найдутся последовательности {x/n}, {x//n} ∈ [a, b] такие, что

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Поскольку последовательность {x/n} ограничена, по лемме Больцано-Вейершт-расса она имеет сходящуюся подпоследовательность {x/nk }. Пусть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения x/nk = γ. 

Очевидно, что γ ∈ [a, b]. Далее, в силу выбора последовательностей,
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Поскольку lim nk = +∞, то подпоследовательность {x//nk } сходится к той же точке γ. Далее, Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x/nk) →Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(γ) ,Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(x//nk) →Непрерывные функции и их свойства с примерами решения(γ)→ при k → ∞, поэтому разность Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x/nk ) — Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x//nk) обязана быть бесконечно малой. С другой стороны, в силу выбора элементов x/nk, x//nk, |Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x/nk ) — Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x//nk)| ≥ ε0, ∀ k ∈ Непрерывные функции и их свойства с примерами решения. Следовательно, число 0 не является пределом последовательности {Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x/nk ) — Непрерывные функции и их свойства с примерами решения (x//nk )}. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Замечание 1. Приведенные примеры показывают, что в условиях теоремы Кантора нельзя заменить отрезок на промежуток другого вида.

Замечание 2. Из доказательства теоремы Кантора следует, что она остаётся в силе на ограниченном множестве X , содержащем все свои предельные точки.

0----------------

Свойства непрерывных функций

Определение 11.1. Пусть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения подмножество во множестве действительных чисел R. Х называется ограниченным сверху (снизу), если Непрерывные функции и их свойства с примерами решения такое число М(m), что выполняется неравенство Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
При этом M(m) называется верхней (нижней) гранью множества Х. Наименьшая из всех возможных верхних граней множества Х называется точной верхней гранью множества Х и обозначается sup X (латинское supremum (супремум) – наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества Х называется точной нижней гранью множества Х и обозначается inf X (латинское infimum (инфимум) – наинизшее).


П р и м е р 11.1
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество Непрерывные функции и их свойства с примерами решения имеет конечные точные верхние и нижние грани sup X и inf X .
Для функции Непрерывные функции и их свойства с примерами решения определяются, как sup f( X) и inf f(X ) – множества значений f(X ) функции y=f(x) при Непрерывные функции и их свойства с примерами решения.

П р и м е р 11.2
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Теорема 11.1 . (теорема Вейерштрасса). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней, то есть Непрерывные функции и их свойства с примерами решения такие, что Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

При этомНепрерывные функции и их свойства с примерами решения
Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал ( a,b ) или полуинтервал, то она не выполняется.
Например, для y=f(x) из примера 11.2Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

не имеет минимума на множестве ( -1,1).

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Найти Непрерывные функции и их свойства с примерами решения на этих множествах.
 

Теорема 11.2. (теорема Больцано–Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке Непрерывные функции и их свойства с примерами решения и принимает на его концах значения разных знаков, то Непрерывные функции и их свойства с примерами решения, такая, что f(c)=0.
 

П р и м е р 11.3
Проверить, что уравнение cosx= x имеет корень на интервалеНепрерывные функции и их свойства с примерами решения рис. 11.3.

Непрерывные функции и их свойства с примерами решения

Р е ш е н и е
Функция y=cos x - x непрерывна . Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
Непрерывные функции и их свойства с примерами решения
по теореме 2 0; Непрерывные функции и их свойства с примерами решения такая что f(c)=0.