Теоремы синусов и косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Теоремы синусов и косинусов

Теорема косинусов

Живший в XII веке и занимающий особое место в истории человечества великий азербайджанский учёный Насреддин Туси сделал особый вклад в астрономию, математику и философию. Насреддин Туси, впервые отделил тригонометрию от астрономии, и представил доказательство теоремы синусов.

Теорема синусов

Для произвольного со сторонами а, b, с и соответствующими противолежащими углами имеет место:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Доказательство: Справедливость теоремы для прямоугольного треугольника покажите самостоятельно. Докажем теорему для остроугольного и тупоугольного треугольников.

Из вершины С треугольника проведём к стороне АВ высоту . Получим два прямоугольных треугольника, для которых имеем .

Из тупоугольного треугольника имеем: . Найдём из этих отношений:

Отсюда получаем, что: .

По аналогичному правилу, если провести высоту из вершины угла А

на сторону ВС, то можно показать, что

По свойству равенства имеем:

Следствия.

1)В треугольнике, напротив равных углов лежат стороны, длины которых равны.

2)В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, а напротив большей стороны лежит больший угол.

На самом деле, для острых углов , если , то .

Так как , то .Для тупого угла угол (180° -)

является острым, а также угол (180° - ) является внешним углом треугольника не смежными с углом и больше него.

Поэтому, . Отсюда снова получаем, что . Если для треугольника заданы два угла и одна сторона, две стороны и угол, противолежащий одной из сторон, то применив теорему синусов, можно найти остальные стороны и углы.

I случай. Даны два угла и одна сторона треугольника.

Пример 1.В

Решение: Зная, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, по двум заданным углам найдём третий, а по теореме синусов неизвестные стороны.

II случай. Даны две стороны и угол, противолежащей одной из сторон.

Пример 2. 1)

Введём число 0,7044 в калькулятор и нажмём кнопку со знаком. Увидим, что угол В равен 44,8°:

Однако, зная, что , тогда получается, что у угла В есть ещё второе значение:

Таким образом, для заданных значений существует два треугольника.

Рассмотрим для II случая следующую ситуацию.

Пусть в

По теореме синусов

Так как

то он не может принимать значение 1,2.

Значит, такой треугольник не существует.

Количество возможных решений треугольников по двум сторонам и одному углу может меняться в зависимости от значений длины сторон и вида угла (градусной меры).

Пример. Водохранилище находится от комплекса 4-ая Вершина на расстоянии 15 км по направлению на северо-запад под углом 25 . Комплекс Гянджилик находится на расстоянии 7,5 км в направлении на северо-восток от комплекса 4-ая Вершина. Найдите расстояние от Гянджилика до водохранилища.

Решение: Согласно плану изобразим треугольник, вершинам которого соответствуют буквы объектов: водохранилище - S, 4-ая Вершина - Т, Гянджилик -G.

Соответствующие расстояния обозначим буквами и .

По теореме синусов:

• Заказать решение задач по высшей математике

Теорема косинусов

Исследование 1. Выполните следующие задания для каждого треугольника с заданными размерами:

1) Запишите углы треугольника в порядке возрастания.

2) Можно ли найти неизвестные стороны или углы применив теорему синусов?

Исследование 2.

1)В тетради изобразите треугольники по двум сторонам и углу между ними и измерьте третью сторону, согласно следующим данным.

2)Для полученных треугольников заполните таблицу.

3)Сравните значения выражений .

Теорема косинусов

Для произвольного треугольника ABC со сторонами a, b и с .

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между сторонами. Доказательство: Для доказательства теоремы косинусов расположим треугольник ABC в координатной плоскости так, чтобы вершина А совпадала с началом координат. В этом случае координаты вершин равны: . По формуле расстояния между двумя точками:

Таким образом, мы доказали, что: . Доказать эту формулу для других сторон, можно расположив другие вершины (В и С) в начале координат.

Замечание: Пусть . Так как ,то формула будет выглядеть так: , т.е. выражает теорему Пифагора. Поэтому теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора

Пример 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Решите треугольник, если в .

Решение.

Если известны три стороны и один из углов треугольника, то можно применить теорему синусов. Найдём угол А. Известно, если сторона а меньше стороны с, то угол напротив этой стороны также будет меньшим, то есть не может быть тупым.

Нажмите кнопку на калькуляторе и введите число 0,7485, тогда можно найти . Теперь, для треугольника ABC известны три стороны и два угла. Третий угол можно найти из формулы суммы внутренних углов треугольника:

Пример 2. Решим треугольник по трём сторонам. В а = 5 см, b = 8 см, с = 12 см.

Решение.

Пример. Поезд прошёл путь 60 км из пункта А в пункт С. После чего он изменил направление на 15° и прошёл ещё 80 км до пункта В. На сколько километров удалился поезд от пункта А?

Решение: Изобразим решение задачи. По рисунку видно, что в треугольнике известны две стороны и угол между ними. Сторону с можно найти по теореме косинусов: