Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Квадратные неравенства

Неравенства вида:

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

являются квадратными неравенствами Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример: По графику функции Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения напишите множество решений нижеприведенных неравенств.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

График функции, пересекаясь осью Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения в точках Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, делит ее на три промежутка, в которых принимает положительные и отрицательные значения. Определим значения выражения Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения в каждом из промежутков.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

a) График функции Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения пересекает ось Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения в точках Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и между этими значениями располагается ниже оси Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Значит, решение неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

b) При значениях Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения или же Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения значения фунции (то есть значение выражения Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения) равны нулю или же больше нуля. Значит, решением неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

c) Решением неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения или же Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

d) Решением неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы решить квадратные неравенства с помощью графика:

1. По значению коэффициента Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения выясняется, куда направлены ее ветви (при Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения - вверх, при Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения - вниз).

2. По значению дискриминанта квадратного трехчлена Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения), касается ее в одной точке Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, или не имеет общих точек с осью Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения (при Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения).

3. По точкам пересечения графика функции с осью Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения схематически изображается график функции.

4. По схематическому изображению графика определяются промежутки, соответствующие решениям данных неравенств.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример: Решите неравенство Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Ветви параболы направлены вниз Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Так как уравнение Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения не имеет действительных корней, парабола не пересекает ось абсцисс и целиком лежит в нижней полуплоскости. А это значит, что неравенствоКвадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения верно при любых значениях переменной.

Ответ: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример: Решите неравенство Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Изобразим график функции Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Решим уравнение Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи найдем единственное значение переменной, удовлетворяющее уравнению: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Парабола касается оси Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения в точке Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Как видно из графика, это неравенство верно при любых значениях Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, кроме Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные неравенства можно решать алгебраическим способом, разложив левую часть на множители и по знаку неравенства исследовать возможные случаи.

Пример. Неравенство Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения запишем в виде Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Произведение двух множителей будет отрицательным, если множители будут иметь противоположные знаки.

1-ый случай. Предположим, что Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Решением неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения будут такие значения Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, которые удовлетворяют обоим неравенствам. В этом случае такого значения для Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения нет.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2-ой случай. Предположим что Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Решив эти неравенства, получим Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Все значения промежутка от Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, включая Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Являются решением неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов

1. Напишите уравнение, соответствующее неравенству.

2. Найдите корни уравнения. Отметьте на числовой оси точки, соответствующие корням уравнения. Эти точки называются граничными точками неравенства.

3. В каждом из интервалов, образованных граничными точками, выберите пробные точки и определите какой из интервалов, будет решением неравенства.

Пример. Решите неравенство Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения:

Для того чтобы решить неравенство:

1) Находим корни уравнения Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения:

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2. Отмечаем на числовой оси точки Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Как видно, граничные точки делят числовую ось на 3 интервала.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3. В каждом из интервалов выбираем пробное число Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и проверяем неравенство.Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

4. Запишем решение. Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Исследование 1. Исследуем изменение знаков в интервалах при решении неравенств, в левой части которых произведение множителей вида Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а в правой 0.

Пример. Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения найдем Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения. На числовой оси отметим граничные точки и в каждом интервале (начиная с 1-го правого) определим знак выражения Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, в этом случае знаки на числовой оси при переходе из одного интервала в другой чередуются.

Решением неравенства будут промежутки со знаком минус.

Ответ: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если каждый множитель имеет вид Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения, тогда в первом нравом интервале знак произведения положительный. Если каждый множитель первой степени, то в интервалах знаки чередуются.

Исследование 2. Неравенства, содержащие множители четной степени видаКвадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и изменения знаков в интервалах.

Пример. Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1) Найдем граничные точки Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2) Отметим граничные точки на числовой оси

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Из-за множителя Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения в правой и левой окрестностях точки Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения знак в промежутках повторяется. Неравенство справедливо в промежутках со знаком Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и в граничных точках. Ответ: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если в неравенстве есть множители с четным показателем степени вида Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения то справа и слева от граничной точки Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения знак повторяется.

Решение неравенств методом интервалов

1. Напишите неравенство в виде эквивалентного неравенства, в одной части которого рациональное выражение, а в другой части нуль.

2. Найдите значение переменных, при которых числитель и знаменатель рационального выражения обращается в нуль. Эти значения переменных являются граничными точками данного неравенства.

3. Из интервалов, образованных граничными точками, последовательно выберите пробные точки и проверьте, какие из этих интервалов принадлежат множеству решений неравенства.

Пример.

1) Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2) Найдем нули числителя и знаменателя: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3) Отмечая точки Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения на числовой оси, делим ее на три интервала. Эти точки называются граничными точками.

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Выберем пробные точки и проверим неравенство

Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как при Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения знаменатель обращается в нуль, то эта точка не входит в множество решений, а точка Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения в это множество входит. Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Множество решений неравенства Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения Замечание: Неравенство Квадратные неравенства - определение и вычисление с примерами решения можно также решить, применив правило изменения знаков в интервалах.