Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Содержание:

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

До недавнего времени говоря об угле мы имели в виду угол, полученный между двумя неподвижными сторонами. Угол также можно рассматривать как измерение поворота. Например, радиус колеса, расположенного по горизонтали при вращении вокруг неподвижной оси, через определённое время относительно начального положения образует некоторый угол. К тому же значение угла зависит от направления поворота. Любой угол можно рассматривать как фигуру, полученную вращением луча вокруг начальной точки.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Начальное положение луча соответствует одной стороне угла, конечное положение - другой стороне. При вращении луча на координатной плоскости относительно начала координат в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки, можно получить различные углы.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Начальная сторона угла поворота совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Сторону, полученную при вращении относительно начала координат (вершины угла), назовём конечной стороной. Принято считать, что если поворот происходит в направлении против часовой стрелки, то угол имеет положительное значение, при повороте в направлении по часовой стрелке, угол имеет отрицательное значение,

положительный угол отрицательный угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Координатные оси разбивают координатную плоскость на 4 четверти. Значение угла, в зависимости от того, в какой четверти расположена его конечная сторона, меняется в определенном интервале.

Конечная сторона угла может совершить один или несколько оборотов относительно начала координат. Один полный оборот соответствует углу 360°. Существует бесконечное число углов поворота, у которых начальная и конечная стороны совпадают. Например, конечные стороны углов 30°и 390° совпадают. В общем, для углов поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения произвольное целое число) конечные стороны совпадают.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Радианная и градусная мера угла

Пример 1. Нарисуйте угол заданной величины. Определите какой четверти принадлежит конечная сторона угла. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. На координатной плоскости покажите и запишите градусные меры двух положительных и одного отрицательного угла поворота, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 60°. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Радианное измерение углов

Угол в один радиан-это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Радианная мера угла есть отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Величина угла, выраженная в радианах не зависит от длины радиуса (объясните, воспользуясь подобием фигур на рисунке).

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 1. Сколько радиан составляет центральный угол, длина дуги которого равна 12 см, если радиус окружности равен 4 см?

Решение: 1 радиан соответствует длине дуги 4 см. Дуге длиной 12 см будет соответствовать угол 12 : 4 = 3 радиан. Длина окружности Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Если центральный угол, соответствующий дуге окружности радиуса Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияравен 1 радиану, то дуге, равнойТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения; соответствует центральный угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Ниже показаны радианные меры углов поворота.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Радианная мера одного целого оборота равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, градусная мера 360°. То есть, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан = 360°. Отсюда можно установить следующую связь между радианной и градусной мерой. Преобразование радиан в градусы:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Преобразование градусов в радианы:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Таким образом, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения рад = 180°. Обозначение "рад' часто опускают. Вместо Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения рад = 180° обычно пишут Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения = 180°. Отсюда получаем, что

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Используя соответствующие радианные и градусные меры углов, расположенных в первой четверти, можно найти увеличенные в разы значения других углов. Например, если 30° =Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , тогда 150° =Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Выразите углы, заданные в градусах радианами, а углы, заданные радианами в градусах, а) 60° ; б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение.

а)60° =Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения — радиан Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения 1,047 радиан

б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Выразите углы, конечная сторона которых совпадает с углом 45°, в градусах и радианах.

Решение: Конечная сторона угла 45°совпадает с углами 405° и 315°, а также существует бесконечно много углов, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 45°: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения;

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения илиТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

В радианах это можно записать как

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и т.д. Все углы, конечные стороны которых совпадают с углом Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения в общем виде записываются так: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример, а) Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Все углы поворота, конечные стороны которых совпадают с углом Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

можно найти но формуле Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Как видно, в заданном интервале, расположен всего один угол 425°. Пример. д)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Все углы поворота, конечные стороны которых, совпадают с этим углом можно найти по формуле Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Интервалу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежат углы Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Длина дуги

Запишем формулу нахождения длины дуги, соответствующей центральному углуТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения окружности радиуса Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Используя радианную меру длину окружности можно найти ещё проще. По определению радиана, если Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , тогда длина дуги равна произведению радиуса и радианной меры угла: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Длина дуги окружности находится с радиусом в прямо пропорциональной зависимости.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Площадь сектора

Центральному углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения соответствует сектор площадь которого равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Учитывая что радиальная мера центрального угла равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и обозначив её через Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, запишем формулу нахождения площади сектора Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Пример 1. Длина секундной стрелки часов равна 12 см. Определите длину дуги, которую описывает конец секундной стрелки за 15 секунд.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение. Секундная стрелка за 60 минут совершают один полный оборот. Это соответствует Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радианам. 15 секунд соответствуют Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения части полного оборота: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан. То есть, минутная стрелка за 15 секунд чертит дугу, соответствующую центральному углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Длина этой дуги: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Найдите площадь и периметр закрашенного сектора на рисунке, если радиус круга равен 8 см. Закрашенной части круга соответствует центральный угол:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Площадь сектора равна:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(см2).

Периметр сектора равен сумме длин двух радиусов и длины дуги: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(см)

Линейная скорость и угловая скорость

Скорость при движении по окружности, например, скорость движения произвольной точки Р колеса, которое вращается вокруг точки О, может быть вычислена двумя способами.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

В первом случае, её можно найти используя расстояние и время. Эта скорость называется линейной скоростью. Во втором случае - используя угол поворота (центральный угол). Эта скорость называется угловой скоростью.

Если тело движется но окружности, то линейная скорость равна отношению пройденного пути (длины дуги окружности) к промежутку времени.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Если тело движется по окружности, то угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (в радианах) - угол вращения за промежуток времени Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Между линейной и угловой скоростью существует следующая связь:

линейная скорость = Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения угловая скорость

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Карусель совершает за минуту 8 полных оборотов.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

а)Чему равна угловая скорость карусели за минуту(в радианах)?

б)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 3 м от центра окружности?

в)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 2 м от центра окружности?

Решение:

а) Один целый оборот при вращении соответствует центральному углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. За 8 оборотов этот угол равен Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Угловая скорость за минуту равна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениярадиан/мин.

б)Если лошадь находится на расстоянии 3 м от центра, то она движется по окружности радиуса 3 м.

Линейная скорость:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениям/мин

в)Если лошадь находится на расстоянии 2 м от центра, то она движется по окружности радиуса 2 м.

Линейная скорость:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениям/мин

Тригонометрические функции

Тригонометрические отношении для угла зависят только от значения угла.

Пусть конечная сторона угла а при повороте пересекается с окружностью радиусом г, центр которой находится в начале координат, в точке Р(х; у).

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение ординаты точки Р к длине радиуса называется синусом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение абсциссы точки Р к длине радиуса называется косинусом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение ординаты точки Р к абсциссе называется тангенсом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то есть точка Р не расположена на оси ординат)

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияОтношение абсциссы точки Р к ординате называется котангенсом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то есть точка Р не расположена на оси абсцисс)

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияКосинусом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения называется обратное значение для синуса:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения)

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияСекансом угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения называется обратное значение для косинуса:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения)

Пример 1. Точка А (- 3; 4) расположена на конечной стороне угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

а) Изобразите решение примера.

б) Определите значения тригонометрических отношений для угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение:

а)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Координаты точки на окружности

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Если заданная точка Р окружности находится на конечной стороне угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , то она имеет координаты Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Пример 2. По данным рисунка найдите координаты точки Р.

Точка Р находится во II четверти и косинус отрицательный.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Для некоторых углов, конечная сторона расположена на одной из координатной оси. В этом случае, градусная мера угла поворота равна: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияили Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения радиан.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

В этом случае координаты х или у равны или нулю, или абсолютному значению длины радиуса.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Найдём значения тригонометрических отношений для:

а) а = 90° ; б) а = 180°; в) а = 270° .

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При всех допустимых значениях, каждому значению Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, соответствует единственное значение Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Поэтому тригонометрические отношения являются функциями угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и называются тригонометрическими функциями.

Так как Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то знак косинуса совпадает со знаком х.

Так как Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то знак синуса совпадает со знаком у.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Чтобы вычислить тригонометрические отношения для углов больше 90°, удобно использовать тригонометрические отношения острого угла.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для любого угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениясуществует Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения образованный конечной стороной и прямой, содержащий ось абсцисс.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Используя соответствующие острые углы можно определить тригонометрические отношения для любого произвольного угла. Эти значения можно вычислить точно для углов 30°, 45°, 60°, а для остальных острых углов - при помощи калькулятора.

Пример 1. Для следующих углов, определите острые углы:

а)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение:

а) конечная сторона угла 300° расположена в IV четверти. Соответствующий острый угол равен: 360°- 300° = 60°

б) конечная сторона угла расположена в III четверти. Соответствующий

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияострый угол равен: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Найдём значение основных тригонометрических функций для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Шаги решения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

1.Найдём наименьший положительный угол, конечная сторона которого совпадает с заданным углом и дополняет его до 360°: -135° + 360° = 225°

2.Для угла 225° найдём соответствующий острый угол 225° - 180° = 45°.

3.Определим какой четверти принадлежит угол -135° - угол III четверти.

4.Найдём значение тригонометрических функций для угла 45° и учтём знак этих функций в III четверти. Получим:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции для произвольного угла можно определить следующим образом:

•определяем соответствующий острый угол;

•находим значение тригонометрических функций для этого угла;

•определяем знак значения тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Так как конечные стороны углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениясовпадают, то значения тригонометрических функций этих углов одинаковы. Если угол изменяется на целое число оборотов, то значение тригонометрических функций не меняется.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Заметим, что если угол меняется на пол оборота, то значения тангенса и котангенса не изменяются.

На самом деле, если углу поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения соответствует точка Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, а углу поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения (или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения) соответствует точка Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то :

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения В общем случае Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения выполняются равенство:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Найдём допустимые значения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, если Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Так как в I и во II четвертях синус положителен.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , значит если Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , то Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Абсцисса этой точки Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тогда Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Единичная окружность и тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций зависят только от значения угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи не зависят от радиуса окружности. Поэтому, не нарушая общности, можно принять Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Окружность, центр которой находится в начале координат, с радиусом равным единице, называется единичной окружностью. Координаты точки, принадлежащей окружности удовлетворяют уравнению Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Если точка Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения является точкой пересечения единичной окружности и конечной стороны угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то между ней и тригонометрическими функциями существует следующая связь: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Таким образом, координаты точки принадлежащей единичной окружности, можно записать как: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Также по заданным координатам можно найти следующие тригонометрические функции: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Зная, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения при определённом повороте на единичной окружности, можно найти соответствующие координаты точки.

Для этого надо выполнить следующие шаги:

1) На единичной окружности отметим точки, соотвегствующие углу поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, найдём координаты этих точек по формуле: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Для некоторой точки, принадлежащей единичной окружности, например Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения ,определите координаты симметричной точки. Как видно но рисунку, существует 3 точки, симметричные точке А, которые расположены во II, III и IV четвертях.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Точка В симметрична точке А относительно оси у, точка С - относительно начала координат, а точка D - относительно оси х. Абсолютные значения координат этих точек равны и отличаются только знаком.

3)Таким образом, можно определить координаты новых точек, зная координаты точки, принадлежащей I четверти. Т.е. получаем единичную окружность, на которой отмечены углы поворота и координаты точек.

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Так как координаты точек на единичной окружности удовлетворяют условиям Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Наибольшее значение Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияравно 1, а наименьшее значение равно -1.

Пример 1. Для угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения вычислите значения основных тригонометрических функций.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение: Конечная сторона угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения расположена в III четверти. Этому углу соответствует острый угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Точка пересечения конечной стороны угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения с единичной окружностью симметрична точке Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения относительно начала координат и соответствует точке Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тогда ,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Точка А, с абсциссойТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения расположена в III четверти и пересекается с единичной окружностью на стороне угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

а)Найдём ординату точки А.

б)Изобразим рисунок, соответствующий условию и для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения найдём значения шести тригонометрических функций.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение:

а)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Так как точка расположена в III четверти Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

б)Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения,Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Пример 3. Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Таким образом, для выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения a НМЗ равно 1, а НБЗ равно 5.

Формулы приведения

Если объект находится в I четверти, то симметричный ему относительно оси у объект находится во II четверти. Симметричный последнему относительно оси х, объект находится в III четверти, и он совпадает с объектом, симметричным начальному объекту из I относительно начала координат. Обратите внимание, что отображение относительно оси у и отображение, относительно оси х, совпадают с поворотом на 180°.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При отображении относительно оси х, точка расположенная на конечной стороне угла изменяет координаты, как показано на рисунке.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

То есть, при этом знак меняет только координата у. Таким образом, так как косинус зависит от х он не меняется, зато меняется знак синуса. Отсюда, для углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения можно записать следующие зависимости между тригонометрическими функциями.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

То есть, синус, тангенс и котангенс нечётные функции, косинус-чётная.

Пример 1:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Конечные стороны углов поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и 360° - Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения симметричны относительно оси х. То есть Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Отсюда получаем:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Запишем для углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи 90° - Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения прямоугольного треугольника с острым углом Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения тригонометрические отношения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При попарном сравнении равенств можно увидеть следующую связь-между значениями тригонометрических функций углов Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и 90° - Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Повернём конечную сторону угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения ещё на 90°. При этом точка Р(х; у), расположенная на стороне преобразуется в точку Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. По определению тригонометрических функций:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Запишем эти формулы в следующем виде: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Как видно но рисунку отображения относительно оси у и оси х эквивалентны повороту на 180°. Изменение координат, можно записать следующим образом: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Как видно по рисунку, при повороте угла а на 180° конечная сторона расположена в противоположных четвертях, но на одной прямой.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для получения аналогичных формул тригонометрических функций угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения достаточно записать Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияи применить последовательность соответствующих формул.

Например:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Теперь запишем соответствующие формулы для угла поворота Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Например:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При помощи полученных формул можно найти значения тригонометрических функций произвольного угла, зная значения для соответствующего острого угла. Эти формулы называются формулами приведения. Для формул приведений можно легко увидеть следующую закономерность Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

1)Если аргумент имеет вид Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то функция преобразуется в "сопряжённую" функцию (то есть синус в косинус или наоборот, а тангенс в котангенс или наоборот) угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

2)Если аргумент имеет вид 180° ± Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения или 360° ± Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то функция преобразуется в одноимённую функцию угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

В каждом из обоих случаев, знак полученной в результате преобразования функции имеет одинаковое значение со знаком острого угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения в соответствующей четверти.

Тригонометрические тождества

Для острого угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения прямоугольного треугольника покажите, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, выполнив следующие шаги:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

1)Запишите теорему Пифагора: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Каждую из сторон равенства разделите на с2:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

3)Примените свойство степени:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

4) Примите во внимание, что:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Тождество Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения можно доказать и при помощи координат точки, принадлежащей единичной окружности.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

По координатам точки на единичной окружности и по определениям тригонометрических функций имеем:

Для всех значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, при которых Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для всех значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, при которых Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Из данных равенств имеем,что если для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения одновременно выполняются условия Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то справедливо тождество Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Разделив обе чаете равенства Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения поочередно на Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и на Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения будем иметь: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Полученные выше равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. На основании основных тригонометрических можно написать: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

При помощи основных тригонометрических тождеств можно упрощать тригонометрические выражения и вычислять модуль значения всех остальных функций, зная значение одной из них.

Пример 1. Используя основные тригонометрические тождества, докажите,что: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Доказательство:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Зная, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежит III четверти, найдите

остальные тригонометрические функции.

Из формул Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения получаем: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Так как угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежит III четверти, то

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тогда:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Формулы сложения

Практическая работа .

1)Покажем по шагам, равенство выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

a)Для значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияиТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, вычислим значения выражения в левой части.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения б)Для значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияиТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, вычислим значения выражения в правой части.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Как можно вычислить значение тригонометрических функций для угла 15°, используя разность значений углов 45° и 30°(15° = 45° - 30°)?

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов.Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияСначала докажем тождество Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

На рисунке

а)для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения координаты точки Р1, взятой на единичной окружности равны Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, а для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения координаты точки Р2 равны Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Разместим углы Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения - Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, как показано на рисунке б).

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тогда, для угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения координаты точки Рз будут Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Из того, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения(по признаку СУС ) следует, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияДоказательство тождества Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

учитывая, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решениясправедливость тождества доказана.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияДоказательство тождества Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

no формулам приведения группируя

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

no формуле косинуса разности с учётом формул приведения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияДоказательство тождества Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 1. Найдём значение выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения если

Решение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2.

Найдём значение выражения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения если

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение.

Известно что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Если углу Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения соответствует острый угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, то Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Так как противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, тогда прилежащий катет равен Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и учитывая, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения угол III четверти, получим:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Аналогично, если зная, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения, получаем,

что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения . Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Можно записать формулы сложения для тангенса и котангенса: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

no определению no формулам сложения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Аналогичным образом можно показать, что : Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Следствия из формул сложения

Практическая работа.

Преобразуйте сумму Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения в произведение, выполнив следующие шаги:

1) Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

решив систему уравнений найдите такие углы, чтобы их сумма была равна 70°, а разность Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

2)Запишите следующее 70° = 40° + 30°, 10° = 40° - 30° и упростите

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Преобразование суммы(разности) в произведение

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Формулы преобразования произведения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Справедливость данных тождеств можно показать при помощи формул сложения:

почленно складываем почленно складываем

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Следующее тождество можно доказать аналогичным образом.Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения через тригонометрические функции угла Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Таким образом, получаем тождества, которые называются формулами двойного аргумента:

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Формулы половинного аргумента

Имеем, что Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Отсюда: Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Заменяем в данной формуле Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияна Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения получаем:Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Для половинных аргументов справедливы тождества. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения Знак в правой части в данном равенстве зависит от того, в какой четверги находится угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Пример 1. Упростим выражение Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение. Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. He используя калькулятор, вычислим значения Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения , зная, что угол Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения принадлежит IV четверти и Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Решение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решенияТригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Найдём значений Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Решение:

Используем формулу половинного аргумента Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения угол I четверти и в этой четверти косинус положителен.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Упрощение тригонометрических выражений

Пример 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 2. Разложим на множители и упростим выражение.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 3. Упростим рациональное выражение, содержащее тригонометрические функции.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Пример 4. Освободим знаменатель от радикала Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения

Здесь Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения.

Тригонометрические функции произвольного угла с примерами решения