Функции, их свойства и графики с примерами решения

Содержание:

Функции, их свойства и графики

В этом параграфе вы повторите основные сведения о функции; узнаете, что называют наибольшим и наименьшим значениями функции на множестве, какие функции называют четными, а какие - нечетными; ознакомитесь со свойствами графиков четных и нечетных функций.

Вы узнаете, какую функцию называют стеленной функцией с целым показателем, какими свойствами обладает эта функция; что называют корнем

Вы научитесь извлекать корни -й степени; выполнять возведение в степень с рациональным показателем; преобразовывать выражения, содержащие степени с рациональными показателями и корни -й степени; решать иррациональные уравнения.

Наибольшее и наименьшее значения функции. Четные и нечетные функции

Перед изучением этого пункта рекомендуем выполнить упражнения 1.24-1.28.

В 7 классе вы ознакомились с понятием функции и при изучении многих разделов курса алгебры неоднократно обращались к этому понятию. Такую важную роль функция играет не случайно: ведь математическими моделями многих реальных процессов служат именно функции. Вам знакомы такие понятия, как область определения, область значений, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции. Например, для функции , график которой изображен на рисунке 1.1, имеем:

• область определения: ;
• область значений: ;
• нули: числа -2 и О;

• промежутки знакопостоянства: функция принимает положитель­ные значения на каждом из промежутков и , а отрицательные значения — на промежутке (-2; 0);
• промежутки возрастания и убывания: функция убывает на промежутке ■ -1] и возрастает на промежутке .

Приведенный выше перечень далеко не исчерпывает те свойства, которые целесообразно изучать при исследовании функции. Рассмотрим новые понятия, помогающие более полно охарактеризовать функцию.

Определение. Число называют наибольшим значе­нием функции на множестве , если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Обозначают: .

Определение. Число называют наименьшим значением функции на множестве , если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . Обозначают: .

Рассмотрим несколько примеров.

Для функции и множества имеем (рис. 1.2): , .

Для функции и множества имеем (рис. 1.3): , .

He каждая функция на заданном множестве имеет наименьшее или наибольшее значение. Так, для функции имеем: . Наибольшего значения на множестве действительных чисел эта функция не имеет (рис. 1.4).

Функция на множестве не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений (рис. 1.5).

Определение. Функцию называют четной, если для любого из области определения выполняется равенство .

Определение. Функцию называют нечетной, если для любого из области определения выполняется равенство .

Например, функция — четная, а функция — нечетная. Действительно, , . Для любого выполняются равенства .

Выполнение равенства или равен­ства для любого означает, что область определения функции симметрична относительно начала координат, то есть обладает следующим свойством: если , то .

Из приведенных определений следует, что если область определения функции не симметрична относительно начала координат, то эта функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Например, областью определения функции является множество , которое не симметрично относительно начала координат. Поэтому данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример:

Докажите, что функция является нечетной.

Решение:

Поскольку , то область определения функции симметрична относительно начала координат. Для любого имеем:

Следовательно, функция f нечетная. ◄

Теорема 1.1. Ось ординат является осью симметрии графика четной функции.

Теорема 1.2. Начало координат является центром симметрии графика нечетной функции.

Утверждения теорем 1.1 и 1.2 проиллюстрированы на рисунках 1.6 и 1.7.

Степенная функция с натуральным показателем

Свойства и графики функций и хорошо знакомы вам из курсов математики предыдущих классов. Эти функции являются частными случаями функции , , которую называют степенной функцией с натуральным показателем.

Поскольку выражение , , имеет смысл при любом , то областью определения степенной, функции с натуральным показателем является множество .

Очевидно, что рассматриваемая функция имеет единственный нуль .

Дальнейшее исследование свойств функции , , проведем для двух случаев: — четное натуральное число и — не­ четное натуральное число.

Первый случай: .

Отметим, что при получаем функцию , свойства и гра­ фик которой были рассмотрены в курсе алгебры 8 класса.

Поскольку при любом выражение принимает только не­ отрицательные значения, то область значений рассматриваемой функции не содержит ни одного отрицательного числа.

Можно показать, что для любого существует такое значение аргумента , что .

• Сказанное означает, что областью значений функции , где — четное натуральное число, является множество . Если , то .
• Следовательно, промежутки и являются про­межутками знакопостоянства функции где — четное натуральное число.
• Функция , где — четное натуральное число, является четной. Действительно, для любого из области определения выполняется равенство .

Рассмотрим произвольные числа и такие, что , и . Тогда . Воспользовавшись свойством числовых неравенств, получаем: . Отсюда

• Следовательно, функция , где — четное натуральное число, убывает на промежутке . Аналогично можно показать, что эта функция возрастает на промежутке .

Полученные свойства позволяют схематически изобразить гра­фик функции , где — четное натуральное число (рис. 2.1). В частности, график функции изображен на рисунке 2.2.

Второй случай:

Отметим, что при получаем функцию , свойства и гра­фик которой были рассмотрены в курсе алгебры 7 класса.

Теперь пусть .

Можно показать, что для любого существует такое значение аргумента , что .

• Сказанное означает, что областью значений функции , где — нечетное натуральное число, является множество .

Если , то ; если , то .

• Следовательно, промежутки и являются про­межутками знакопостоянства функции , где — нечет­ное натуральное число.
• Функция , где — нечетное натуральное число, является нечетной. Действительно, для любого из области определения выполняется равенство .

Рассмотрим произвольные числа и такие, что . Воспользовавшись свойством числовых неравенств, получаем:

• Следовательно, функция где — нечетное натуральное число, является возрастающей.

Полученные свойства позволяют схематически изобразить гра­фик функции , где — нечетное натуральное число, (рис. 2.3). В частности, график функции изображен на рисунке 2.4.

В таблице приведены свойства функции , , установленные в этом пункте.

Степенная функция с целым показателем

Функцию, которую можно задать формулой , где , называют степенной функцией с целым показателем. Свойства этой функции для натурального показателя были рассмотрены в предыдущем пункте. Здесь мы рассмотрим случаи, когда показатель п является целым отрицательным числом или нулем.

Областью определения функции является множество . областью значений — одноэлементное множество {1}. График этой функции изображен на рисунке 3.1.

Рассмотрим функцию , где .

С частным случаем этой функции, когда , то есть с функцией , вы знакомы из курса алгебры 8 класса. Запишем функцию в виде .

Тогда становится понятно, что областью определения функции , , является множество .

Очевидно, что эта функция нулей не имеет.

Дальнейшее исследование свойств функции , где , проведем для двух случаев: — четное натуральное число и — нечетное натуральное число.

Первый случай: .

Имеем: Так как выражение принимает только положительные значения, то в область значений рассматриваемой функции не входят отрицательные числа, а также число 0. Можно показать, что для любого существует такое значение аргумента , что

• Сказанное означает, что областью значений функции , где — четное натуральное число, является множество .
• Поскольку для любого выполняется неравенство то промежутки и являются промежутками знакопостоянства функции , где — четное натуральное число.
• Функция , где — четное натуральное число, является четной.

Действительно, для любого из области определения выполняется равенство

Рассмотрим произвольные числа и такие, что , и . Воспользовавшись свойством числовых неравенств, получаем: Отсюда

• Следовательно, функция , где — четное натуральное число, убывает на промежутке .
• Можно также показать, что функция , где — четное натуральное число, возрастает на промежутке .

Заметим, что с увеличением модуля значения выражения X, , становятся все меньшими и меньшими. Поэтому расстояние от точки графика функции , до оси абсцисс уменьшается с увеличением модуля абсциссы точки и может стать сколь угодно малым, но никогда не будет равным нулю.

Также можно установить, что с увеличением модуля ординаты расстояние от точки графика функции , до оси ординат уменьшается и может стать сколь угодно малым, но никогда не будет равным нулю. Полученные свойства позволяют схематически изобразить график функции , где — четное натуральное число (рис. 3.2). В частности, график функции изображен на рисунке 3.3.

Второй случай: .

Можно показать, что для любого существует такое значение аргумента , что .

• Сказанное означает, что областью значений функции где — нечетное натуральное число, является множество . Если , то ; если , то .
• Следовательно, промежутки и являются про­межутками знакопостоянства функции , где — нечетное натуральное число.
• Функция , где — нечетное натуральное число, является нечетной. Действительно, для любого из области определения выполняется равенство
• Можно показать, что функция , где — нечетное натуральное число, убывает на каждом из промежутков и .

Полученные свойства позволяют схематически изобразить гра­фик функции , где — нечетное натуральное число (рис. 3.4). В частности, график функции изображен на рисунке 3.5.

В таблице приведены свойства функции , , изученные в этом пункте.

Определение корня n-й степени

Вы знаете, что корнем второй степени (квадратным корнем) из числа а называют такое число, вторая степень которого равна . Аналогично дают определение корня степени из числа , где , .

Определение. Корнем степени из числа , где . , называют такое число, степень которого равна .

Например, корнем пятой степени из числа 32 является число 2, так как ; корнем третьей степени из числа -64 является число -4, так как = -64; корнями четвертой степени из числа 81 являются числа 3 и -3, так как = 81 и .

Если — нечетное натуральное число, то графики функций и при любом пересекаются в одной точке (рис. 4.1).

Это означает, что уравнение имеет единственный корень при любом .

Тогда можно сделать следующий вывод: если — нечетное натуральное число, большее 1, то из любого числа существует корень степени, причем только один.

Корень нечетной степени , , из числа обозначают так: (читают: «корень степени из а»). Например, , .

Знак называют знаком корня степени или радикалом.

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением.

Корень третьей степени принято называть также кубическим корнем.

Например, запись читают: «кубический корень из числа 2».

Подчеркнем, что выражение определено при любом .

Из определения корня степени следует, что при любом выполняется равенство

Например,

Рассмотрим уравнение , где — четное натуральное число.

Из рисунка 4.2 видно: если , то графики функций и не имеют общих точек; если то рассматриваемые графики имеют одну общую точку; если , то общих точек две, причем их абсциссы — противоположные числа.

Тогда можно сде­лать следующий вывод: если — четное натуральное число, то при корень степени из числа не существует; при корень степени из числа равен О; при существуют два противоположных числа, каждое из которых является корнем степени из числа .

Вы знаете, что арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, вторая степень которого равна . Аналогично дают определение арифметического корня степени.

Определение. Арифметическим корнем степени из неотрицательного числа , где , называют такое неотрицательное число, степень которого равна .

Арифметический корень степени из неотрицательного числа обозначают так: .

Например, , поскольку ;

, поскольку и

, поскольку и .

Вообще, если и , где то С помощью знака корня степени можно записывать корни уравнения , где .

Например, корнем уравнения является единственное число ; корнями уравнения являются два числа:

Из определения арифметического корня степени следует, что:

1. (например, -
2. , где а > 0 (например, );
3. (например, ).

Выше было установлено, что корень нечетной степени из любого числа существует и принимает единственное значение. Поэтому каждому действительному числу х можно поставить в соответствие единственное число у такое, что . Указанное правило задает функцию , где , с областью определения R.

График этой функции изображен на рисунке 4.3. На рисунке 4.4 изображен график функции .

Аналогично определяют функцию . Областью Определения этой функции является промежуток .

На рисунке 4.5 изображен график функции , а на рисунке 4.6 — график функции .

В таблице приведены свойства функции .

Пример:

Решите неравенство: 1) .

Решение:

1) Данное неравенство перепишем следующим об­разом: . Поскольку функция является возрастающей, то можно сделать вывод, что . Ответ:

2) Имеем: Поскольку функция является возрастающей и определена на множестве , то данное неравенство равносильно системе Отсюда .

Ответ: [2; 3). ◄

• Заказать решение задач по высшей математике

Свойства корня n-й степени

Свойства корня степени

Рассмотрим теоремы, выражающие свойства корня степени. Теорема 5.1 (первая теорема о корне из степени). Для любого выполняются равенства:

Доказательство. Чтобы доказать равенство , достаточно показать, что . Для первого доказываемого равенства и . Отсюда равенство очевидно.

Чтобы доказать равенство , достаточно показать, что . Для второго доказываемого равенства имеем: и .

Теорема 5.2 (корень из произведения). Если , то

Доказательство. Для того чтобы доказать равенство , где , достаточно показать, что и . Имеем: . Тогда

Кроме того,

Теорем а 5.3 (корень из частного). Если , то

Теорема 5.4 (степень корня). Если , то

Д о к а за т е л ь с т в о . Если , то доказываемое равенство очевидно. Пусть . Имеем:

Теорем а 5.5 (корень из корня). Если , то

Д о к а за т ел ьст во . Имеем: Кроме того,

Теорема 5.6 (вторая теорем а о корне из степени). Если , то

Д о к а за т е л ь с т в о . Если , то доказываемое равенство очевидно.

Пусть . Имеем:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Воспользовавшись теоремой 5.1, можно записать: 2) 3) Заменив произведение корней корнем из произведения, получим:

4) Заменив частное корней корнем из частного, получим:

Пример:

Упростите выражение:

если

Решение:

1) Применив теорему 5.1, получим:

2) Имеем: Поскольку по условию , то . Тогда

3) 4)

Пример:

Вынесите множитель из-под знака корня: 1) 2).

Решение:

1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде произведения двух чисел, одно из которых является кубом рационального числа, и вынесем множитель из-под знака корня:

2) Из условия следует, что Тогда

Пример:

Внесите множитель под знак корня:

1) 2)

Решение:

1)

2) Из условия следует, что Тогда

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители, получаем:

Определение и свойства степени с рациональным показателем

В 7 классе вы узнали, что степень с натуральным показателем обладает следующими свойствами:

1) 2)

3)

4) Позже вы ознакомились с определениями степени с нулевым показателем и степени с отрицательным целым показателем:

Эти определения весьма удачны: при таком подходе все пять свойств степени с натуральным показателем остаются справедли­выми и для степени с целым показателем.

Введем понятие степени с дробным показателем, то есть степени , показатель которой является рациональным числом вида , где . Желательно сделать это так, чтобы степень с дробным показателем обладала всеми свойствами степени с целым показателем. Подсказкой для такого определения может служить следующий пример. Обозначим через искомое значение степени , то есть

Учитывая свойство , можем записать: . Следовательно, — это кубический корень из числа , то есть . Таким образом, .

Эти соображения подсказывают, что целесообразно принять следующее определение.

Определение. Степенью положительного числа с рациональным показателем , представленным в виде , где , называют число , то есть

Например,

Заметим, что значение степени , где — рациональное число, не зависит от того, в виде какой дроби представлено число . Это можно показать, используя равенства .

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

Определение. где Обратим внимание, что, например, запись не имеет смысла.

Подчеркнем, что в данных определениях не идет речь о степени для , например, выражение остается неопределенным. Вместе с тем выражение имеет смысл. Возникает естественный вопрос: почему бы не считать, что ? Покажем, что такая договоренность привела бы к противоречию:

Получили, что отрицательное число «равно» положительному числу Функцию, которую можно задать формулой называют степенной функцией с рациональным показателем.

Если несократимая дробь является числом положительным, то областью определения функции является промежуток ; а если эта дробь — отрицательное число, то промежуток .

На рисунке 6.1 изображены графики функций .

Покажем, что свойства степени с целым показателем остаются справедливыми и для степени с произвольным рациональным по­казателем.

Теорема 6.1 (произведение степеней). Для любого и любых рациональных чисел р и q выполняется равенство

Доказательство. Запишем рациональные числа р и q в виде дробей с одинаковыми знаменателями: где . Имеем:

Следствие. Для любого и любого рационального числа выполняется равенство

Доказательство. Применяя теорему 6.1, запишем: . Отсюда

Теорема 6.2 (частное степеней). Для любого и любых рациональных чисел р и q выполняется равенство

Доказательство. Применяя теорему 6.1, запишем: . Отсюда

Теорема 6.3 (степень степени). Для любого и любых рациональных чисел р и q выполняется равенство

Доказательство. Пусть Имеем:

Теорема 6.4 (степень произведения и степень част­ного). Для любых и и любого рационального числа выполняются равенства.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и формулу разности квадратов, а затем приведем по­добные слагаемые:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Выполним замену Тогда данное выражение принимает вид Это выражение легко упростить. Завершите решение самостоя­тельно. Ответ:

Иррациональные уравнения

При решении уравнений иногда возникает необходимость воз­вести обе части уравнения в одну и ту же степень. Выясним, как это преобразование влияет на множество корней данного уравнения.

Теорема 7.1. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Возведем обе части данного уравнения в седьмую степень. Получим равносильное уравнение

Отсюда Ответ: -1; 2.

Уравнение, рассмотренное в задаче 1, содержит переменную под знаком корня. Такие уравнения называют иррациональными. Вот еще примеры иррациональных уравнений:

При решении задачи 1 нам пришлось преобразовывать уравнение, содержащее корни нечетной степени. Рассмотрим уравнения, содержащие корни четной степени.

Пример:

Решите уравнение (1)

Решение:

Применяя формулу , заменим данное урав­нение таким: (2) Отсюда

Однако проверка показывает, что число -3 не является корнем исходного уравнения. Говорят, что число -3 является посторонним корнем уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) не имеет корней. Ответ: корней нет.

Причина появления постороннего корня при решении задачи 2 заключается в том, что, применив формулу мы не учли ограничение Поэтому уравнение (2) оказалось не равносильным уравнению (1).

Определение. Если множество корней уравнения содержит множество корней уравнения , то уравнение называют следствием уравнения

Например, уравнение является следствием уравнения Убедитесь в этом самостоятельно. Также говорят, что из уравнения следует уравнение На рисунке 7.1 определение уравнения-следствия проиллюстрировано с помощью диаграммы Эйлера.

Еще одной причиной появления по­сторонних корней является то, что из равенства не обязательно следует равенство Например, , но В то же время из равенства следует равенство

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.2. При возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение является следствием данного.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение, которое является следствием данного:

Отсюда Проверка показывает, что число -1 — посторонний корень, а число 4 удовлетворяет данному уравнению. Ответ: 4.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Возведем обе части данного уравнения в квадрат:

Отсюда Переходя к уравнению-следствию, получаем:

Проверка показывает, что число 42 является посторонним кор­ нем, а число 2 удовлетворяет данному уравнению. Ответ: 2.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Теперь исходное уравнение принимает вид

Отсюда t = -3 или t = 1. В случае, когда t = -3, получаем уравнение не имеющее решений. В случае, когда t = 1, получаем уравнение Завершите решение самостоятельно. Ответ: 0.

Напомним, что с методом, использованным при решении последнего уравнения, вы знакомы еще из курса алгебры 8-9 классов. Этот метод называют методом замены переменной.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 1

Наименьшее и наибольшее значения функции

Если для всех выполняется неравенство где , то число называют наименьшим значением функции на множестве М и записывают:

Если для всех выполняется неравенство , где , то число называют наибольшим значением функции f на множестве М и записывают: .

Четная и нечетная функции

Функцию называют четной, если для любого из области определения выполняется равенство.

Функцию называют нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство

Ось ординат является осью симметрии графика четной функции. Начало координат является центром симметрии графика не­четной функции.

Корень степени

Корнем степени из числа , где , называют такое число, степень которого равна . Арифметическим корнем степени из неотрицательного числа , где называют такое неотрицательное число, степень которого равна .

Для любого и выполняются равенства:

Для любого выполняется равенство

• Если
• Если .
• Если
• Если

Степень с рациональным показателем

Степенью положительного числа с показателем где называют число , то есть где

Функцию, которую можно задать формулой называют степенной функцией с рациональным показателем.

Для любого а > 0 и любых рациональных чисел р и q выполняются равенства: Для любых и любого рационального числа р выполняются равенства:

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными.

Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то по­лучим уравнение, равносильное данному.

При возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение является следствием данного.